Teorie relativity
Od světelných hodin po černé díry –
jak se prostor a čas ohýbají
Hmota prohýbá časoprostor, naznačený mřížkou. Planeta na něm obíhá po elipse, která se při každém oběhu pootočí, stejně jako se stáčí přísluní Merkuru. Paprsky světla se kolem hmoty ohýbají a hodiny blízko ní jdou pomaleji než hodiny daleko. Všechny efekty jsou pro názornost mnohonásobně zveličené.
Jak průvodce používat
Teorie relativity jsou dvě. Speciální (1905) říká, že čas a délka závisejí na tom, jak se pozorovatel pohybuje, protože rychlost světla je pro všechny stejná. Obecná (1915) říká, že gravitace není síla, ale zakřivení prostoru a času. Obě zní jako sci-fi, a přesto je denně používá každý navigační přijímač v telefonu. Průvodce vede od vlaku a míčku, které zná každý, přes světelné hodiny a E = mc² až k černým dírám, gravitačním vlnám a Einsteinovým rovnicím pole.
Tři patra každé kapitoly. Nahoře krátké vysvětlení a laboratoř, kde si jev vyzkoušíte: rozjedete vlak se světelnými hodinami, pošlete dvojče ke hvězdě, spustíte sondu do černé díry. Pod ní mise za XP, od pasažéra Galileiho lodi až po mistra relativity. Dole rozbalovací teorie pro ty, kdo chtějí jít do hloubky: definice, vzorce, odvození, řešené příklady a procvičení s úplným řešením. Teorie jde často o úroveň výš než text nad ní. Barevná tečka v obsahu ukazuje úroveň. Postup se ukládá jen ve vašem prohlížeči.
Hned za úvodem najdete sekci Einstein vysvětluje: animovaný Albert Einstein v ní anglicky, se syntetickým hlasem a titulky, vypráví hlavní myšlenky obou teorií. Hodí se jako ochutnávka před kapitolami i jako shrnutí na konec. Je to didaktická rekonstrukce, ne záznam jeho slov.
Mapa průvodce
| Kapitola | Úroveň | Co se naučíte |
|---|---|---|
| 1 Relativita pohybu od Galilea | základy | inerciální soustava, Galileiho princip relativity, skládání rychlostí, co je a co není relativní |
| 2 Světlo, éter a dva postuláty | základy | jak se měřila rychlost světla, hledání éteru, Michelsonův–Morleyův pokus, Einsteinovy postuláty z roku 1905 |
| 3 Dilatace času | základy | světelné hodiny, Lorentzův faktor γ, miony z kosmického záření, atomové hodiny v letadlech |
| 4 Současnost a kontrakce délek | základy | vlak a dva blesky, proč současnost není absolutní, zkracování délek, žebřík ve stodole |
| 5 Lorentzova transformace a časoprostor | střední škola | Lorentzova transformace, skládání rychlostí, Minkowského diagram, interval a světelný kužel, paradox dvojčat |
| 6 Energie, hybnost a E = mc² | střední škola | relativistická hybnost a energie, klidová energie, hmotnostní schodek a energie Slunce, Dopplerův jev pro světlo |
| 7 Princip ekvivalence a čas v gravitaci | střední škola | Einsteinův výtah, gravitační dilatace času, Poundův–Rebkův pokus, proč navigační družice potřebují relativitu |
| 8 Zakřivený časoprostor: světlo a Merkur | střední škola | geodetiky, ohyb světla a zatmění 1919, stáčení přísluní Merkuru, Shapirovo zpoždění |
| 9 Geometrie a Einsteinovy rovnice pole | vysoká škola | metrika, Christoffelovy symboly, geodetická rovnice, křivost, slapy, rovnice pole po částech, newtonovská limita |
| 10 Černé díry | vysoká škola | Schwarzschildova metrika, horizont, fotonová sféra, efektivní potenciál, pád sondy, snímky EHT, rotující díry |
| 11 Gravitační čočky a gravitační vlny | vysoká škola | čočková rovnice, Einsteinův prstenec, mikročočkování, linearizovaná gravitace, LIGO a GW150914 |
| 12 Kosmologie, testy a hranice teorie | vysoká škola | metrika rozpínajícího se vesmíru, kosmologický rudý posuv, přehled testů, strhávání soustav, kde teorie končí, časté omyly |
Co budete potřebovat
- Základy (kapitoly 1–4): rychlost jako dráha za čas, převody jednotek, druhá mocnina a odmocnina, Pythagorova věta. Všechny ostatní vztahy se v textu odvodí.
- Střední škola (kapitoly 5–8): úpravy výrazů, soustava dvou lineárních rovnic, graf funkce, kinetická a potenciální energie a gravitační zákon v rozsahu gymnázia. Teorie místy používá derivaci jako „okamžitou rychlost změny“.
- Vysoká škola (kapitoly 9–12): derivace a integrály, parciální derivace, vektory a matice, jednoduché diferenciální rovnice. Indexový zápis tenzorů průvodce zavádí od začátku v kapitole 9. Matematiku najdete v průvodci Matematika.
- Sousední průvodci: průvodce Fyzika vykládá speciální relativitu v jedné kapitole jako součást celé fyziky, průvodce Astronomie obecnou relativitu, černé díry a kosmologii z pohledu astronoma. Tady jdeme výrazně hlouběji do samotné teorie. Jadernou fúzi a štěpení podrobně vykládá průvodce Jaderná fyzika, svět atomů a fotonů průvodce Kvantová fyzika.
Konstanty a značení
| Veličina | Značka | Hodnota |
|---|---|---|
| rychlost světla ve vakuu (přesně, definice metru) | \(c\) | 299 792 458 m/s |
| gravitační konstanta (CODATA 2022) | \(G\) | 6,674 30 · 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² |
| gravitační parametr Slunce (IAU) | \(GM_\odot\) | 1,327 124 · 10²⁰ m³/s² |
| gravitační parametr Země (WGS 84) | \(GM_\oplus\) | 3,986 004 · 10¹⁴ m³/s² |
| poloměr Slunce (IAU), střední poloměr Země | \(R_\odot,\ R_\oplus\) | 695 700 km; 6 371 km |
| Lorentzův faktor | \(\gamma\) | \(1/\sqrt{1-v^2/c^2}\) |
Rychlost často zapisujeme jako zlomek rychlosti světla \(\beta = v/c\): \(\beta = 0{,}6\) znamená 60 % rychlosti světla. Ve vysokoškolských kapitolách používáme i jednotky, ve kterých \(c = 1\) (čas v letech, vzdálenost ve světelných letech), a signaturu metriky \((-,+,+,+)\). Čísla v textu jsou spočítaná skriptem a zaokrouhlená na uvedený počet míst.
Čtyři druhy rámečků
Zadání, postup a výsledek s jednotkami. Čísla si můžete přepočítat.
Jak se jev měřil nebo kde se dnes používá: pokusy, historie objevů, technika.
Rychlé pravidlo, odhad nebo způsob, jak si vztah zapamatovat.
Místo, kde se nejčastěji chybuje, a rozšířené omyly o relativitě.
Studijní materiál, nenahrazuje učebnici ani výuku. Laboratoře jsou modely se zjednodušujícími předpoklady, které uvádí jejich popisek; animace efekty často zveličují, aby byly vidět. Průvodce nejmenuje komerční produkty ani firmy. Výroky Alberta Einsteina neuvádí, protože mnoho rozšířených citátů je smyšlených; jeho práce cituje v příloze C. Konstanty jsou podle CODATA 2022 a IAU, historické údaje a výsledky měření mají v příloze C zdroj a datum ověření (stav k 4. 11. 2026).
Rozsahem odpovídá: kapitoly 1–4 vzdělávacímu oboru Fyzika v RVP ZV (pohyb, rychlost, světlo) s nadstavbou pro zvídavé, kapitoly 5–8 učivu speciální teorie relativity v RVP G a profilové maturitní zkoušce z fyziky (s rozšířením o základy obecné relativity), kapitoly 9–12 úvodním vysokoškolským kurzům speciální a obecné teorie relativity (v rozsahu učebnic Taylor a Wheeler, Hartle, Schutz a úvodních kapitol Carrolla uvedených v příloze C). Rozbalovací teorie jde v každé kapitole často o úroveň výš než úvodní text.
Albert Einstein vysvětluje relativitu
Kreslený Albert Einstein stojí u tabule a v angličtině vypráví, jak přišel na speciální a obecnou teorii relativity: od světelných hodin a vlaku s blesky přes E = mc² až po zakřivený časoprostor, černé díry a gravitační vlny. Kreslí přitom na tabuli a mluví s německým přízvukem. Pod obrazem běží anglické titulky se zvýrazněným slovem a český překlad. Výklad trvá asi šest minut a je rozdělený na deset krátkých částí, mezi kterými můžete přeskakovat. Celou obrazovku zapnete tlačítkem ⛶ nebo klávesou F.
Celý přepis výkladu (anglicky a česky)
Relativita pohybu od Galileazáklady
Pohyb je vždy pohyb vůči něčemu. Míček, který ve vlaku vyhodíte rovně vzhůru, letí pro vás svisle, pro člověka na nástupišti po oblouku. Oba mají pravdu. Galileo Galilei si už v roce 1632 všiml, že žádným pokusem uvnitř rovnoměrně plující lodi nepoznáte, zda pluje, nebo stojí. Na této myšlence stojí celá teorie relativity.
Ve vlaku, který jede plynule po rovné trati, si nalijete kávu stejně jako doma v kuchyni. Když zavřete oči, nepoznáte, jestli jedete, nebo stojíte ve stanici. Prozradí vás teprve brzdění, rozjezd nebo zatáčka, tedy změna rychlosti.
+Teorie: vztažné a inerciální soustavy, Galileiho transformace, co je relativní a co ne
1.1Vztažná soustava
Vztažná soustava je těleso (nebo skupina těles), vůči kterému pohyb popisujeme, spolu s měřítky a hodinami. Poloha, rychlost i dráha mají smysl jen vůči zvolené soustavě. Míček ve vlaku má vůči vagonu jinou rychlost než vůči kolejím a obě čísla jsou stejně správná.reference frame
Inerciální soustava je taková, ve které platí první Newtonův zákon: těleso, na které nepůsobí žádná síla, setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu. Každá soustava, která se vůči inerciální soustavě pohybuje stálou rychlostí bez otáčení, je také inerciální. Soustava, která zrychluje, brzdí nebo se otáčí, inerciální není: v rozjíždějícím se autě se volný míček „sám“ rozjede dozadu, aniž by na něj něco tlačilo.inertial frame
Povrch Země není přesně inerciální soustava: Země se otáčí a obíhá Slunce. Pro krátké pokusy v laboratoři je ale odchylka malá (dostředivé zrychlení na rovníku je asi 0,034 m/s², tedy třetina procenta tíhového zrychlení). Otáčení Země se projeví jen u dlouhých a citlivých dějů: stáčení roviny Foucaultova kyvadla nebo stáčení větrů a mořských proudů.
1.2Galileiho princip relativity
Galileo v knize Dialog o dvou hlavních systémech světa (1632) popsal kajutu pod palubou lodi: motýli, rybky v akváriu, kapky padající z nádoby a skok cestujícího vypadají stejně, ať loď stojí, nebo pluje rovnoměrně po klidné vodě. Moderně: mechanické zákony mají stejný tvar ve všech inerciálních soustavách; žádný mechanický pokus uvnitř soustavy neprozradí její rovnoměrný pohyb.Galilean principle of relativity
1.3Galileiho transformace a skládání rychlostí
Soustava S′ (vlak) se pohybuje vůči soustavě S (nástupiště) rychlostí \(v\) ve směru osy \(x\). V čase \(t = 0\) splývají počátky. Souřadnice téže události převádí Galileiho transformace:Galilean transformation
Poslední rovnost říká, že čas je pro všechny stejný. Zderivujeme-li první rovnici podle času, dostaneme klasické skládání rychlostí: těleso s rychlostí \(u'\) ve vlaku má vůči nástupišti rychlost
Další derivace dá \(a' = a\): zrychlení je ve všech inerciálních soustavách stejné. Protože síly (pružina, gravitace mezi dvěma tělesy) závisejí jen na vzájemných vzdálenostech, má druhý Newtonův zákon \(F = ma\) v S i v S′ stejný tvar. To je matematický obsah Galileiho principu.
Vlak jede 20 m/s (72 km/h), cestující hodí míček dopředu rychlostí 5 m/s vůči vlaku a zároveň vzhůru rychlostí 6 m/s. Doba letu je \(T = 2\cdot 6/9{,}81 = 1{,}22\) s pro oba pozorovatele. Vůči vlaku míček uletí \(5\cdot 1{,}22 = 6{,}1\) m, vůči nástupišti \(25\cdot 1{,}22 = 30{,}6\) m. Výška výstupu \(6^2/(2\cdot 9{,}81) = 1{,}83\) m je pro oba stejná.
1.4Co je relativní a co ne
Relativní (závislá na soustavě) je v Galileiho fyzice poloha, rychlost, dráha a kinetická energie. Absolutní (stejné pro všechny inerciální pozorovatele) je čas, délka tělesa, zrychlení, síla a hmotnost. Einsteinova teorie posune hranici: relativní se stane i čas a délka, ale objeví se nové absolutní veličiny – rychlost světla, vlastní čas a časoprostorový interval (kapitoly 3–5).
Teorie relativity neříká, že „všechno je relativní“. Říká přesně, co na pozorovateli závisí a co ne, a hlavně že přírodní zákony jsou pro všechny inerciální pozorovatele stejné. Velká část teorie je vlastně hledání veličin, na kterých se všichni shodnou.
1.5Kde Galileo přestává stačit
Mechanika s Galileiho transformací souhlasí výborně. Maxwellovy rovnice elektromagnetismu (1865) ale předpovídají vlny, které se šíří rychlostí \(c\), a nikde v nich není řečeno, vůči čemu. Kdyby platilo \(u = u' + v\), musela by existovat jediná zvláštní soustava, ve které má světlo rychlost přesně \(c\), a pohyb vůči ní by šel optickými pokusy změřit. Hledání této soustavy (éteru) a jeho neúspěch popisuje kapitola 2.
Zrychlení „cítíte“ (tlačí vás do sedadla), rovnoměrný pohyb ne. Proto má smysl ptát se „zrychluje vlak?“, ale ne „jede vlak doopravdy?“ bez udání, vůči čemu.
1.6Procvičení
- Rychlost a dráha závisejí na vztažné soustavě; rovnoměrný přímočarý pohyb nelze uvnitř soustavy poznat.
- V inerciální soustavě platí zákon setrvačnosti; zrychlující nebo rotující soustavy inerciální nejsou.
- Galileiho transformace: \(x' = x - vt\), \(t' = t\), rychlosti se sčítají. Pro světlo to nefunguje, a to je začátek Einsteinova příběhu.
Světlo, éter a dva postulátyzáklady
Světlo je nejrychlejší věc, kterou známe, ale jeho rychlost je konečná: 299 792 458 m/s. Fyzici 19. století byli přesvědčeni, že světlo je vlnění neviditelného prostředí, éteru, a že pohyb Země éterem půjde změřit. Nejpřesnější pokus své doby, Michelsonův a Morleyho z roku 1887, žádný „éterový vítr“ nenašel. Einstein v roce 1905 z toho vyvodil odvážný závěr: rychlost světla je stejná pro každého inerciálního pozorovatele.
Plavec v řece s proudem urazí stejnou vzdálenost tam a zpět po proudu pomaleji než tam a zpět napříč, i když plave pořád stejně rychle. Michelson chtěl stejně porovnat dva paprsky světla: jeden „po proudu éteru“ a druhý napříč. Rozdíl měl být malý, ale jeho přístroj by ho zachytil.
+Teorie: měření rychlosti světla, éter, Michelsonův–Morleyův pokus, postuláty speciální relativity
2.1Jak rychlé je světlo
Ole Rømer v roce 1676 vysvětlil, proč zákryty Jupiterova měsíce Io nastávají někdy dřív a jindy později, než by měly: světlo potřebuje čas, aby přeletělo různou vzdálenost mezi Jupiterem a Zemí. Dnes víme, že průměr zemské dráhy přeletí světlo za 16,6 minuty. Hippolyte Fizeau (1849) změřil rychlost světla na Zemi rotujícím ozubeným kolem, Léon Foucault (1862) rotujícím zrcadlem; jejich výsledky se lišily od dnešní hodnoty o několik procent, respektive o necelé procento.
Od roku 1983 je rychlost světla ve vakuu definována přesnou hodnotou \(c = 299\,792\,458\) m/s a metr je dráha, kterou světlo urazí za \(1/299\,792\,458\) sekundy. Rychlost světla se tedy už neměří; měří se délky pomocí času.speed of light, definition of the metre
2.2Maxwell a éter
James Clerk Maxwell (1865) sjednotil elektřinu a magnetismus a jeho rovnice předpověděly elektromagnetické vlny s rychlostí
Hodnota souhlasila s naměřenou rychlostí světla, a světlo se tak ukázalo jako elektromagnetické vlnění. Zvuk potřebuje vzduch a vlny na vodě vodu, proto fyzici předpokládali, že i světlo se vlní v nějakém prostředí: v éteru, který vyplňuje celý prostor a je v klidu v jediné význačné soustavě. Rychlost \(c\) z Maxwellových rovnic by platila jen vůči éteru; Země, která obíhá Slunce rychlostí asi 30 km/s, by měla cítit „éterový vítr“.luminiferous aether, aether wind
2.3Michelsonův–Morleyův pokus (1887)
Albert A. Michelson a Edward W. Morley postavili interferometr na kamenné desce, která plavala ve rtuti, aby se s ní dalo plynule otáčet. Mnohonásobnými odrazy prodloužili dráhu světla v každém rameni na asi 11 m.Michelson–Morley experiment, interferometer
Pokud se přístroj pohybuje éterem rychlostí \(v\) ve směru ramene ∥, letí světlo tam rychlostí \(c - v\) a zpět \(c + v\). V kolmém rameni musí světlo mířit mírně šikmo proti větru a jeho rychlost napříč je \(\sqrt{c^2 - v^2}\). Doby letu tam a zpět:
Pro malé \(\beta = v/c\) je rozdíl \(\Delta t \approx (L/c)\,\beta^2\). Otočením o 90° se rozdíl obrátí, změna je \(2\Delta t\) a proužky se posunou o \(N = 2c\Delta t/\lambda = 2L\beta^2/\lambda\).
\(L = 11\) m, \(\lambda = 550\) nm (tedy \(L = 2\cdot 10^{7}\lambda\)), \(v = 30\) km/s, \(\beta = 10^{-4}\): \(N = 2\cdot 2\cdot 10^{7}\cdot 10^{-8} = 0{,}4\) proužku. S přesnou oběžnou rychlostí Země 29,78 km/s vychází 0,39. Časový rozdíl \(\Delta t = (11/c)\cdot 10^{-8} = 3{,}7\cdot 10^{-16}\) s je nepatrný, ale interferometr ho převádí na viditelný posun proužků.
Michelson a Morley sledovali proužky v červenci 1887 během několika dní, v poledne a večer, při pomalém otáčení přístroje kolem dokola. Uvedli, že skutečný posun, pokud nějaký byl, je jistě menší než dvacetina očekávaných 0,4 proužku a pravděpodobně menší než čtyřicetina. Pozdější experimentátoři pokus opakovali i v jiných ročních obdobích, kdy se Země pohybuje opačným směrem, a výsledek byl stejný. Moderní varianty s optickými rezonátory zjistily, že rychlost světla nezávisí na směru s přesností na úrovni \(10^{-17}\).
Michelson dostal v roce 1907 Nobelovu cenu za fyziku za přesné optické přístroje a měření, které s nimi provedl. Princip jeho interferometru používají dnes detektory gravitačních vln (kapitola 11): ramena dlouhá 4 km zachytí změnu délky menší než tisícina průměru protonu.
2.4Pokusy zachránit éter
George FitzGerald (1889) a Hendrik Lorentz (1892) navrhli, že se tělesa pohybující se éterem ve směru pohybu zkracují faktorem \(\sqrt{1-\beta^2}\), právě o tolik, aby se rozdíl \(t_\parallel - t_\perp\) vyrovnal. Lorentz a Henri Poincaré do roku 1905 odvodili i transformaci, které dnes říkáme Lorentzova, ale vykládali ji jako dynamický účinek éteru na hmotu. Éter v jejich teorii zůstal, jen se stal principiálně nepozorovatelným.Lorentz–FitzGerald contraction
2.5Dva postuláty (1905)
Albert Einstein, tehdy úředník patentového úřadu v Bernu, poslal 30. 6. 1905 do časopisu Annalen der Physik článek Zur Elektrodynamik bewegter Körper („K elektrodynamice pohybujících se těles“). Místo vysvětlování, proč éter nejde zachytit, vyšel ze dvou postulátů:postulates of special relativity
- Princip relativity: fyzikální zákony – mechanické, elektromagnetické i optické – mají stejný tvar ve všech inerciálních soustavách.
- Princip stálé rychlosti světla: světlo se ve vakuu šíří rychlostí \(c\) nezávisle na pohybu zdroje; spolu s prvním postulátem to znamená, že každý inerciální pozorovatel naměří stejné \(c\).
Éter v teorii prostě není potřeba. Cenou je, že se musí změnit naše představa o čase: pokud dva pozorovatelé, kteří se vůči sobě pohybují, naměří pro tentýž záblesk stejnou rychlost, nemohou mít stejný čas ani stejné délky. To je obsah kapitol 3 a 4.
Rok 1905 se nazývá Einsteinovým „zázračným rokem“: kromě relativity vyšly jeho práce o světelných kvantech (fotoelektrický jev), o Brownově pohybu a krátký článek s odvozením \(E = mc^2\) (kapitola 6). Nobelovu cenu za fyziku za rok 1921 (udělenou v roce 1922) dostal za vysvětlení fotoelektrického jevu, ne za relativitu.
Nezávisí rychlost světla na zdroji?
Willem de Sitter (1913) upozornil, že kdyby se rychlost světla skládala s rychlostí hvězdy ve dvojhvězdě, světlo z přibližující se a vzdalující se fáze oběhu by k nám letělo různě rychle a pohyb hvězd by vypadal zkresleně; nic takového se nepozoruje. Přímý test provedli v roce 1964 v CERN: neutrální piony letící rychlostí 0,999 75\(c\) se rozpadaly na fotony gama a ty letěly v laboratoři rychlostí \(c\), ne \(c + v\), s přesností asi \(10^{-4}\).
Michelsonův–Morleyův pokus nebyl Einsteinovou hlavní motivací; on sám vycházel spíš z vnitřních rozporů elektrodynamiky, třeba z toho, že indukovaný proud v obvodu závisí jen na vzájemném pohybu magnetu a cívky. Pokus je ale nejsrozumitelnějším experimentálním dokladem druhého postulátu.
2.6Procvičení
- Světlo je elektromagnetické vlnění s rychlostí \(c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\); od roku 1983 je \(c\) přesně definovaná hodnota.
- Michelsonův–Morleyův pokus (1887) nenašel pohyb Země vůči éteru; očekávaný posun 0,4 proužku se nekonal.
- Einstein (1905): zákony jsou stejné ve všech inerciálních soustavách a rychlost světla je pro všechny stejná. Éter není potřeba.
Dilatace časuzáklady
Když je rychlost světla pro všechny stejná, nemůže být stejný čas. Hodiny, které se vůči vám pohybují, jdou podle vašeho měření pomaleji, a to tím víc, čím víc se jejich rychlost blíží rychlosti světla. Není to porucha hodin ani optický klam: stejně pomaleji probíhá každý děj v pohybující se soustavě, od tikání krystalu po rozpad částic.
Představte si nejjednodušší hodiny na světě: záblesk světla běhá mezi dvěma zrcadly nad sebou a každý odraz dole je jedno „tik“. Ve vlaku, který kolem vás projíždí, běží záblesk po šikmé, delší dráze. Protože letí stejnou rychlostí jako ve vašich hodinách, trvá mu jeden tik déle. Hodiny ve vlaku jdou pomaleji.
+Teorie: světelné hodiny, Lorentzův faktor, vlastní čas, miony, atomové hodiny v letadlech
3.1Odvození ze světelných hodin
Zrcadla jsou ve vzdálenosti \(L\) nad sebou. V soustavě hodin běží záblesk svisle a jeden tik (tam a zpět) trvá \(\Delta\tau = 2L/c\). Hodiny se vůči pozorovateli na nástupišti pohybují rychlostí \(v\) vodorovně. Pro něj urazí záblesk za půl tiku \(\Delta t/2\) šikmou dráhu \(c\,\Delta t/2\), zatímco se hodiny posunou o \(v\,\Delta t/2\). Svislá vzdálenost zrcadel je pro oba stejná (pohyb je kolmý k ní). Z Pythagorovy věty:light clock, time dilation
Veličina \(\gamma\) je Lorentzův faktor. Pro \(v = 0\) je 1, roste nejdřív velmi pomalu, nad 90 % rychlosti světla prudce, a pro \(v \to c\) jde do nekonečna. Pro malé rychlosti platí \(\gamma \approx 1 + \tfrac12\beta^2\).Lorentz factor
| Co se pohybuje | \(\beta = v/c\) | \(\gamma\) (nebo \(\gamma - 1\)) |
|---|---|---|
| auto 130 km/h | 1,2 · 10⁻⁷ | γ − 1 = 7,3 · 10⁻¹⁵ |
| dopravní letadlo 250 m/s | 8,3 · 10⁻⁷ | γ − 1 = 3,5 · 10⁻¹³ |
| kosmická stanice 7,66 km/s | 2,6 · 10⁻⁵ | γ − 1 = 3,3 · 10⁻¹⁰ |
| Země na oběžné dráze 29,8 km/s | 9,9 · 10⁻⁵ | γ − 1 = 4,9 · 10⁻⁹ |
| polovina rychlosti světla | 0,5 | 1,155 |
| 0,6 | 1,25 | |
| 0,8 | 1,667 | |
| hodiny jdou dvakrát pomaleji | 0,866 | 2,000 |
| 0,99 | 7,09 | |
| miony v laboratoři níže | 0,995 | 10,01 |
| 0,9999 | 70,7 |
3.2Vlastní čas
Vlastní čas \(\tau\) je čas měřený hodinami, které se s dějem pohybují (jsou vůči němu v klidu). Je to jediný čas, který má děj „sám pro sebe“: doba života mionu, tep srdce astronauta, perioda atomu. Každý jiný inerciální pozorovatel naměří mezi týmiž dvěma událostmi čas delší, \(\Delta t = \gamma\,\Delta\tau\). Vlastní čas je přitom invariant: na jeho hodnotě se shodnou všichni pozorovatelé, protože jde o údaj jedněch konkrétních hodin.proper time, invariant
Dilatace času je souměrná. Pro cestujícího ve vlaku jdou pomaleji hodiny na nástupišti. Nejde o spor: aby dva pozorovatelé porovnali hodiny, musí porovnat údaje vzdálených hodin v „tentýž okamžik“, a současnost je pro ně různá (kapitola 4). Nesouměrnost vznikne, teprve když se jedny hodiny otočí a vrátí (paradox dvojčat, kapitola 5).
3.3Miony z kosmického záření
Kosmické záření (hlavně protony) naráží do horní atmosféry ve výškách kolem 15 km a vytváří spršky částic. Mezi nimi jsou miony, těžší příbuzní elektronu, se střední dobou života 2,197 µs. I rychlostí světla by za tuto dobu urazily jen 659 m, a přesto jich velká část doletí na zem. Bruno Rossi a David B. Hall (1941) změřili, že miony s vyšší energií se rozpadají pomaleji, a to přesně podle \(\gamma\).muon, cosmic rays
Mion letí rychlostí \(0{,}995c\), \(\gamma = 10{,}01\). Cesta trvá v soustavě Země \(15\,000/(0{,}995\cdot 2{,}998\cdot 10^{8}) = 50{,}3\ \mu\text{s}\), tedy 22,9 doby života. Bez dilatace by přežil zlomek \(e^{-22{,}9} = 1{,}1\cdot 10^{-10}\). Jeho vlastní hodiny ale ukážou jen \(50{,}3/10{,}01 = 5{,}0\ \mu\text{s}\) a přežije \(e^{-5{,}02/2{,}197} = 10\ \%\) mionů.
David H. Frisch a James H. Smith (1963) počítali miony na vrcholu Mount Washington ve výšce asi 1 917 m a pak u hladiny moře v Cambridge. Nahoře zachytili asi 563 mionů za hodinu, dole asi 412. Bez dilatace by jich dole mělo být jen kolem 27. V akumulačním prstenci v CERN (1977) obíhaly miony s \(\gamma = 29{,}3\) a žily v průměru asi 64,4 µs místo 2,2 µs, v souladu s předpovědí na úrovni promile.
3.4Atomové hodiny kolem světa
Joseph C. Hafele a Richard E. Keating v říjnu 1971 obletěli se čtyřmi cesiovými hodinami Zemi pravidelnými linkami, jednou na východ a jednou na západ, a porovnali je s hodinami, které zůstaly v námořní observatoři ve Washingtonu. Hodiny letící na východ se pohybují rychleji než povrch Země (sčítá se rychlost letadla a otáčení Země), proto se opozdily. Hodiny letící na západ šly v nerotující soustavě pomaleji než hodiny na zemi, proto se předběhly. K tomu se přidal efekt výšky z obecné relativity (kapitola 7).
| Let | rychlost (spec. rel.) | výška (obec. rel.) | předpověď celkem | naměřeno |
|---|---|---|---|---|
| na východ | −184 ± 18 | +144 ± 14 | −40 ± 23 | −59 ± 10 |
| na západ | +96 ± 10 | +179 ± 18 | +275 ± 21 | +273 ± 7 |
Pro malé rychlosti se pohybující hodiny opozdí o \(\Delta t\cdot\tfrac12\beta^2\). Desetihodinový let rychlostí 250 m/s: \(36\,000\ \text{s}\cdot 3{,}5\cdot 10^{-13} = 13\) ns. Půlrok na kosmické stanici (7,66 km/s): \(183\cdot 86\,400\cdot 3{,}3\cdot 10^{-10} = 5{,}2\) ms; menší výška nad Zemí z toho asi 0,7 ms vrátí (kapitola 7), takže astronaut zestárne asi o 4,5 ms méně než lidé na Zemi.
3.5Dilatace času jako vlastnost času, ne hodin
Světelné hodiny jsou jen pomůcka k odvození. Kdyby jiné hodiny (mechanické, atomové, biologické) šly v pohybující se soustavě jinak než světelné, mohl by cestující porovnáním svých hodin zjistit, že se pohybuje, a porušil by princip relativity. Proto se stejně zpomalí všechny děje. Dilatace času je vlastnost časoprostoru: vzdálené události mají pro různé pozorovatele různý časový odstup.
3.6Procvičení
- Pohybující se hodiny jdou pomaleji: \(\Delta t = \gamma\,\Delta\tau\), \(\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}\).
- Vlastní čas měří hodiny, které jsou s dějem v klidu; na jeho hodnotě se shodnou všichni.
- Dilataci potvrzují miony z kosmického záření, urychlovače i atomové hodiny v letadlech a na družicích.
Současnost a kontrakce délekzáklady
Dvě vzdálené události, které jsou pro jednoho pozorovatele současné, nemusejí být současné pro jiného, který se vůči němu pohybuje. Z toho plyne druhý překvapivý důsledek: pohybující se těleso je ve směru pohybu kratší. Obojí vychází z jediného předpokladu, že světlo letí pro všechny stejně rychle.
Do obou konců jedoucího vlaku udeří blesk. Výpravčí stojí na nástupišti přesně uprostřed mezi ožehnutými místy a vidí oba záblesky naráz. Cestující uprostřed vlaku ale jede proti světlu z čela a ujíždí světlu z konce, takže čelní záblesk uvidí dřív. Protože ví, že světlo letělo k němu z obou konců stejně dlouho, musí usoudit, že blesk do čela udeřil dřív.
+Teorie: synchronizace hodin, relativnost současnosti, kontrakce délek, paradox žebříku, jak vypadá rychlé těleso
4.1Co znamená „současně“
U dvou událostí na stejném místě je současnost jasná. U vzdálených událostí potřebujeme seřízené hodiny. Einstein navrhl postup, kterému se říká einsteinovská synchronizace: z hodin A pošleme v čase \(t_1\) záblesk k hodinám B, ten se odrazí a vrátí v čase \(t_2\). Hodiny B jsou seřízené, pokud v okamžiku odrazu ukazovaly \((t_1 + t_2)/2\). Postup využívá jen to, že světlo letí tam i zpět stejně rychle.Einstein synchronization, simultaneity
Každý inerciální pozorovatel si takto seřídí síť hodin ve své soustavě. Současné jsou pro něj události, u kterých jeho hodiny ukazují stejný čas. Potíž je v tom, že sítě hodin dvou soustav, které se vůči sobě pohybují, se neshodnou.
4.2Vlak a blesky
Einstein použil vlak a blesky ve své populární knize o relativitě (1917). Blesky udeří do konců vlaku a v soustavě nástupiště jsou současné: výpravčí uprostřed vidí oba záblesky naráz. Cestující uprostřed vlaku vidí záblesk z čela dřív. V soustavě vlaku je vzdálenost obou konců od něj stejná a světlo z obou letí rychlostí \(c\), proto blesk do čela musel udeřit dřív. Z Lorentzovy transformace (kapitola 5) vychází pro dvě události současné v S ve vzdálenosti \(\Delta x\):relativity of simultaneity
Znaménko minus říká, že v soustavě S′ nastane dřív ta událost, která leží dál ve směru pohybu S′ (u nás čelo vlaku).
Vlak s vlastní délkou 300 m jede rychlostí \(0{,}5c\) (\(\gamma = 1{,}155\)). Na nástupišti jsou ožehnutá místa od sebe \(300/1{,}155 = 260\) m. V soustavě vlaku udeřil blesk do čela o \(\Delta t' = \gamma v\Delta x/c^2 = 1{,}155\cdot 0{,}5\cdot 260/c = 0{,}50\ \mu\text{s}\) dřív. Totéž dává jednodušší tvar \(\beta L_0/c\).
„Hodiny vpředu jdou pozadu.“ Hodiny na čele a na konci jedoucího vlaku, seřízené ve vlaku, ukazují z pohledu nástupiště různý čas: hodiny na čele (vpředu ve směru jízdy) jsou pozadu o \(vL_0/c^2\).
4.3Kontrakce délek
Délku pohybující se tyče změříme tak, že současně zaznamenáme polohu obou konců. Protože současnost je relativní, vyjde v různých soustavách různá délka. Vlastní délka \(\ell_0\) je délka měřená v klidové soustavě tělesa; v soustavě, vůči které se těleso pohybuje rychlostí \(v\) ve směru své délky, je
Odvození z mionů: v soustavě Země letí mion 15 km za 50,3 µs. V jeho vlastní soustavě uplyne jen 5,0 µs (\(\gamma = 10{,}01\)) a Země se k němu blíží rychlostí \(0{,}995c\); vrstva atmosféry tedy musí být tlustá jen \(0{,}995c\cdot 5{,}0\ \mu\text{s} = 1{,}5\) km. Kontrakce délek v soustavě mionu je druhá strana dilatace času v soustavě Země.length contraction, proper length
Rozměry kolmé ke směru pohybu se nemění. Kdyby se zkracovaly, dvě stejné trubky letící proti sobě by se nemohly dohodnout, která projde dovnitř které, a princip relativity by byl porušen.
Kontrakce není stlačení. V tyči nevzniká žádné napětí a sama tyč ve své soustavě nic necítí. Je to vlastnost měření v soustavě, vůči které se tyč pohybuje, a je souměrná: pro tyč se zkracuje naopak metr v ruce pozorovatele.
4.4Paradox žebříku ve stodole
Žebřík s vlastní délkou 10 m letí rychlostí \(0{,}6c\) (\(\gamma = 1{,}25\)) do stodoly s vlastní délkou 8 m. V soustavě stodoly má žebřík \(10/1{,}25 = 8\) m a přesně se vejde: obě dveře se mohou na okamžik současně zavřít. V soustavě žebříku má stodola jen \(8/1{,}25 = 6{,}4\) m a žebřík se nevejde. Rozpor zmizí, když se zeptáme, kdy se dveře zavřou. Zavření jsou současná jen pro stodolu. Pro žebřík se výstupní dveře zavřou dřív, o \(\gamma v\cdot 8\ \text{m}/c^2 = 1{,}25\cdot 0{,}6\cdot 8/c = 20\) ns: právě ve chvíli, kdy k nim dorazí čelo žebříku, a hned se zase otevřou. Vstupní dveře se zavřou o 20 ns později, právě když jimi proletí konec žebříku. Při vyšší rychlosti se výstupní dveře zavřou a otevřou ještě před příletem čela a vstupní až po průletu konce.ladder paradox, barn–pole paradox
4.5Jak by rychlé těleso vypadalo
Kontrakce je výsledek měření se sítí seřízených hodin, ne obraz na fotografii. Fotografie zachytí světlo, které do objektivu dorazí současně, ale z různých částí tělesa vyletělo v různou dobu. James Terrell a Roger Penrose (oba 1959) ukázali, že rychle letící koule má na snímku stále kruhový obrys a rychlé těleso se jeví spíš pootočené než zploštělé (Terrellova rotace). Relativita tedy předpovídá kontrakci délek i to, že ji obyčejným pohledem nevidíme.Terrell rotation
4.6Lorentz versus Einstein
Lorentz a FitzGerald vysvětlovali zkrácení jako fyzikální stlačení těles při pohybu éterem. U Einsteina je to důsledek vlastností prostoru a času, platný pro všechny soustavy stejně. Vzorce jsou stejné, výklad zásadně jiný: u Lorentze by existovala „opravdová“ délka v soustavě éteru, u Einsteina jsou všechny inerciální soustavy rovnocenné a vyznačená je jen vlastní délka.
4.7Procvičení
- Současnost vzdálených událostí závisí na soustavě: \(\Delta t' = -\gamma v\Delta x/c^2\); „hodiny vpředu jdou pozadu“.
- Pohybující se těleso je ve směru pohybu kratší: \(\ell = \ell_0/\gamma\); kolmé rozměry se nemění.
- Paradoxy (žebřík ve stodole) mizí, jakmile se ptáme, které události jsou pro koho současné.
Lorentzova transformace a časoprostorstřední škola
Dilatace času, kontrakce délek i relativnost současnosti jsou tři tváře jednoho vztahu, Lorentzovy transformace. Ta mísí prostor a čas podobně, jako otočení mapy mísí sever a východ. Hermann Minkowski z toho v roce 1908 vyvodil, že prostor a čas tvoří jediný čtyřrozměrný časoprostor, ve kterém se všichni shodnou na „vzdálenosti“ dvou událostí: na intervalu.
Dva zeměměřiči mají mapy natočené různě: jeden měří od severu podle kompasu, druhý od severu podle hvězd. O tom, jak daleko „na sever“ a „na východ“ leží kostel, se neshodnou. Na přímé vzdálenosti ke kostelu se ale shodnou vždy. V časoprostoru je „sever“ čas, „východ“ prostor a vzdálenost se počítá s jedním znaménkem minus.
+Teorie: odvození Lorentzovy transformace, rapidita, Minkowského diagram, interval, kauzalita, čtyřvektory, paradox dvojčat, zrychlený pohyb
5.1Odvození Lorentzovy transformace
Soustava S′ se pohybuje vůči S rychlostí \(v\) podél osy \(x\), počátky splývají v \(t = t' = 0\). Hledáme převod souřadnic \((t, x)\) téže události na \((t', x')\). Ze stejnorodosti prostoru a času musí být převod lineární. Počátek S′ (\(x' = 0\)) se v S pohybuje jako \(x = vt\), proto \(x' = \gamma(x - vt)\) s neznámou konstantou \(\gamma\). Podle principu relativity platí obrácený vztah se stejnou konstantou: \(x = \gamma(x' + vt')\). Záblesk vyslaný z počátku v čase 0 má podle druhého postulátu v obou soustavách \(x = ct\) a \(x' = ct'\). Dosazením:Lorentz transformation
Vyjádřením \(t'\) z obou vztahů pro \(x\) dostaneme úplnou transformaci:
Pro \(v \ll c\) je \(\gamma \approx 1\) a člen \(vx/c^2\) zanedbatelný: dostaneme Galileiho transformaci. Z transformace plynou všechny výsledky kapitol 3 a 4. Hodiny v klidu v S′ (\(\Delta x' = 0\)): z inverzní transformace \(\Delta t = \gamma(\Delta t' + v\Delta x'/c^2) = \gamma\Delta t'\), dilatace. Konce tyče v klidu v S′, odečtené v S současně (\(\Delta t = 0\)): \(\Delta x' = \gamma\Delta x\), tedy \(\Delta x = \Delta x'/\gamma\), kontrakce. Současné události v S (\(\Delta t = 0\)): \(\Delta t' = -\gamma v\Delta x/c^2\), relativnost současnosti.
5.2Hyperbolické otočení a rapidita
Zapíšeme-li čas jako \(ct\) a zavedeme rapiditu \(\varphi\) vztahem \(\beta = \tanh\varphi\), je \(\gamma = \cosh\varphi\) a \(\gamma\beta = \sinh\varphi\):rapidity, boost
Je to obdoba otočení roviny o úhel, jen s hyperbolickými funkcemi. Otočení zachovává \(x^2 + y^2\), boost zachovává \(c^2t^2 - x^2\) (protože \(\cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi = 1\)). Dva boosty ve stejném směru se skládají sečtením rapidit, jako se sčítají úhly dvou otočení.
5.3Skládání rychlostí
Těleso se v S′ pohybuje rychlostí \(u' = \mathrm dx'/\mathrm dt'\). Z diferenciálů inverzní transformace \(\mathrm dx = \gamma(\mathrm dx' + v\,\mathrm dt')\), \(\mathrm dt = \gamma(\mathrm dt' + v\,\mathrm dx'/c^2)\) plyne:relativistic velocity addition
Pro \(u' = c\) vyjde \(u = c\) pro každé \(v\): rychlost světla je opravdu stejná ve všech soustavách. Dvě rychlosti \(0{,}5c\) dají \(0{,}8c\), dvě rychlosti \(0{,}8c\) dají \(1{,}6c/1{,}64 = 0{,}976c\), dvě rychlosti \(0{,}99c\) dají \(0{,}999\,95c\). Rapidita \(0{,}8c\) je \(\operatorname{artanh}0{,}8 = 1{,}099\), dvojnásobek 2,197 a \(\tanh 2{,}197 = 0{,}976\).
Dvě rakety letí od Země opačnými směry, každá rychlostí \(0{,}8c\). Pozemšťan vidí, že se vzdálenost mezi nimi zvětšuje o \(1{,}6c\) za jednotku času. To není rozpor: je to rychlost vzdalování měřená v soustavě Země, ne rychlost žádného tělesa. Posádka jedné rakety naměří u druhé rakety rychlost \(0{,}976c\).
5.4Minkowského diagram
V diagramu s osami \(x\) (vodorovně) a \(ct\) (svisle) je každý bod událost a dráha tělesa je světočára. Těleso v klidu má svislou světočáru, světlo přímku pod úhlem 45°. Osa \(ct'\) soustavy S′ je světočára jejího počátku, přímka \(x = \beta ct\). Osa \(x'\) jsou události současné s počátkem v S′, tedy \(ct = \beta x\). Obě osy S′ se sklápějí k přímce světla, jako by se zavíraly nůžky.Minkowski diagram, world line, event
5.5Interval a světelný kužel
Pro dvě události s rozdíly \(\Delta t\) a \(\Delta x\) je výraz \(c^2\Delta t^2 - \Delta x^2\) stejný ve všech inerciálních soustavách. Říkáme mu (kvadrát) intervalu. Ve vysokoškolských kapitolách píšeme \(\Delta s^2 = -c^2\Delta t^2 + \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2\), tedy s opačným znaménkem.spacetime interval, light cone
Je-li výraz kladný, je interval časupodobný: existuje soustava, ve které se obě události odehrají na stejném místě, a \(\Delta\tau\) je vlastní čas mezi nimi. Je-li nulový, je světelný: události spojuje paprsek světla. Je-li záporný, je prostorupodobný: existuje soustava, kde jsou současné, a žádný signál pomalejší než světlo je nespojí. Světelný kužel události odděluje její absolutní budoucnost, absolutní minulost a „jinde“.
Událost E má od startu \(\Delta x = 4\) světelné roky a \(\Delta t = 5\) let. Interval \(25 - 16 = 9\), vlastní čas 3 roky. Cestovatel letící rychlostí \(0{,}8c\) (\(\gamma = 5/3\)) do E opravdu doletí: \(x' = \tfrac53(4 - 0{,}8\cdot 5) = 0\), \(ct' = \tfrac53(5 - 0{,}8\cdot 4) = 3\). V jeho soustavě se obě události staly na stejném místě, 3 roky po sobě.
5.6Kauzalita
U časupodobně oddělených událostí mají všechny inerciální soustavy stejné pořadí: \(\Delta t'\) má stejné znaménko jako \(\Delta t\), protože \(|v\Delta x/c^2| \lt |\Delta t|\). U prostorupodobných lze pořadí obrátit. Kdyby existoval signál rychlejší než světlo, spojoval by prostorupodobně oddělené události a v některé soustavě by dorazil dřív, než byl odeslán. Příjemce by mohl poslat stejně rychlou odpověď, která by dorazila před původním odesláním, a vznikl by příčinný paradox. Proto speciální relativita vylučuje přenos informace rychleji než světlo.causality
5.7Čtyřvektory
Souřadnice události zapíšeme jako čtyřvektor \(x^\mu = (ct, x, y, z)\), \(\mu = 0, 1, 2, 3\). Skalární součin definuje Minkowského metrika \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1, 1, 1, 1)\): \(a\cdot b = \eta_{\mu\nu}a^\mu b^\nu = -a^0b^0 + \vec a\cdot\vec b\) (přes opakované indexy sčítáme). Lorentzovy transformace \(x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu\) jsou právě ty lineární transformace, které tento součin zachovávají: \(\Lambda^T\eta\Lambda = \eta\).four-vector, Minkowski metric
Délka čtyřrychlosti je pro všechna tělesa stejná: každé těleso se časoprostorem „pohybuje rychlostí \(c\)“, jen ji různě rozděluje mezi čas a prostor. Čtyřzrychlení \(a^\mu = \mathrm du^\mu/\mathrm d\tau\) je k \(u^\mu\) vždy kolmé (\(a\cdot u = 0\)), a jeho velikost je vlastní zrychlení, které by změřil akcelerometr na palubě. Fyzikální zákony zapsané rovnostmi čtyřvektorů (a obecněji tenzorů) mají automaticky stejný tvar ve všech inerciálních soustavách.
5.8Paradox dvojčat
Dvojče odletí k nejbližší hvězdě Proxima Centauri (4,25 světelného roku) rychlostí \(0{,}8c\) a hned se vrátí. Na Zemi uplyne \(2\cdot 4{,}25/0{,}8 = 10{,}625\) roku, cestovateli \(10{,}625/1{,}667 = 6{,}375\) roku. Paradox zní: z pohledu cestovatele se pohybovala Země, proč by tedy nemělo být mladší pozemské dvojče? Odpověď: situace není souměrná. Pozemské dvojče zůstává v jedné inerciální soustavě, cestovatel při obratu přestoupí do jiné. Přímá světočára mezi dvěma událostmi má v Minkowského geometrii nejdelší vlastní čas; lomená cesta cestovatele je „kratší“.twin paradox
Tři pohledy na totéž řešení
- Vlastní čas: \(\tau = \int\mathrm dt\,\sqrt{1 - v^2/c^2}\) po světočáře; pro Zemi 10,625 roku, pro cestovatele 6,375 roku.
- Dopplerovy signály: Země posílá záblesk každý rok. Při vzdalování rychlostí \(0{,}8c\) je přijímá cestovatel s faktorem \(k = \sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)} = 3\) řidčeji, při přibližování třikrát hustěji. Každá polovina cesty mu trvá 3,19 roku: tam přijme signály z \(3{,}1875/3 = 1{,}06\) roku, zpět z \(3{,}1875\cdot 3 = 9{,}56\) roku, celkem 10,625 roku. Obě dvojčata se na výsledku shodnou.
- Skok současnosti: těsně před obratem považuje cestovatel za „teď na Zemi“ okamžik 1,91 roku po startu, těsně po obratu 8,71 roku. Rozdíl 6,80 roku „přeskočí“ jen proto, že změnil soustavu a s ní čáru současnosti; nic se na Zemi skokem nestalo.
Rozdíl věku nezpůsobuje zrychlení samo, ale geometrie celé cesty. Při okamžitém obratu trvá zrychlení libovolně krátce, a přesto je rozdíl 4,25 roku. Zrychlení jen prozrazuje, kdo změnil inerciální soustavu.
5.9Zrychlený pohyb a cesta s 1 g
Raketa se stálým vlastním zrychlením \(a\) (posádka cítí stálou „tíhu“) se pohybuje po hyperbole \(x^2 - c^2t^2 = (c^2/a)^2\) posunuté tak, že startuje z klidu. Rapidita roste rovnoměrně s vlastním časem, \(\varphi = a\tau/c\):hyperbolic motion, proper acceleration
Pro \(a = g = 9{,}806\,65\) m/s² (normální tíhové zrychlení) je \(c/a = 0{,}969\) roku a \(c^2/a = 0{,}969\) světelného roku: s pozemskou tíhou se za necelý rok dostanete blízko rychlosti světla. Cesta k Proximě s rozjezdem do poloviny a brzděním: pro posádku 3,54 roku, na Zemi 5,88 roku, nejvyšší rychlost \(0{,}950c\); tam a zpět 7,09 a 11,8 roku. Ke středu Galaxie (asi 26 000 světelných let) by posádce trvala cesta jen 19,8 roku, na Zemi by ale uplynulo přes 26 000 let.
Výpočty ukazují, co geometrie časoprostoru dovoluje, ne co umí technika. Raketa, která by udržela 1 g po roky, by potřebovala nepředstavitelné množství paliva: i s dokonalou přeměnou hmoty na záření by na každou tunu dorazivšího nákladu na cestě k Proximě spotřebovala desítky tun paliva.
5.10Procvičení
- Lorentzova transformace \(x' = \gamma(x - vt)\), \(t' = \gamma(t - vx/c^2)\) obsahuje dilataci, kontrakci i relativnost současnosti.
- Interval \(c^2\Delta t^2 - \Delta x^2\) je pro všechny stejný; světelný kužel odděluje, co spolu může příčinně souviset.
- V paradoxu dvojčat zestárne méně ten, kdo změnil inerciální soustavu; přímá světočára má nejdelší vlastní čas.
Energie, hybnost a E = mc²střední škola
Když se změní čas a prostor, musí se změnit i hybnost a energie, jinak by zákony zachování neplatily ve všech soustavách. Nová mechanika má dva slavné důsledky: žádné hmotné těleso nedosáhne rychlosti světla, a každá hmota má klidovou energii \(E = mc^2\). Změní-li se energie soustavy, změní se i její hmotnost. Tak svítí Slunce.
Slunce každou sekundu vyzáří tolik energie, že tím ztrácí přes čtyři miliony tun hmotnosti. Za celou dobu existence přišlo jen asi o tři setiny procenta. Hmota je nejhustší zásobárna energie, jakou známe: v jednom gramu je jí tolik, kolik vyrobí velká elektrárna za den.
+Teorie: relativistická hybnost a energie, čtyřhybnost, E = mc², hmotnostní schodek a Slunce, invariantní hmotnost, Dopplerův jev
6.1Proč nestačí \(p = mv\)
Představte si pružnou srážku dvou stejných koulí, při které se v jedné soustavě zachovává \(\sum m\vec v\). V jiné inerciální soustavě se rychlosti transformují relativistickým vzorcem (kapitola 5), a součet \(m\vec v\) před srážkou a po ní se už nerovná. Zachovávající se veličina, která pro malé rychlosti přechází v \(m\vec v\), je
Druhý Newtonův zákon platí v podobě \(\vec F = \mathrm d\vec p/\mathrm dt\); neplatí \(\vec F = m\vec a\) s jedinou hmotností. Ke stálé síle patří rychlost, která se k \(c\) jen blíží: hybnost roste nade všechny meze, rychlost ne.relativistic momentum
6.2Energie a kinetická energie
Práce síly na urychlení z klidu vede na
První člen rozvoje je newtonovská kinetická energie. Pro \(v \to c\) jde \(E_k\) do nekonečna, proto žádné těleso s nenulovou hmotností rychlosti světla nedosáhne. Poměr relativistické a newtonovské kinetické energie je 1,008 pro \(0{,}1c\), 1,24 pro \(0{,}5c\), 3,20 pro \(0{,}9c\) a 12,4 pro \(0{,}99c\).rest energy, kinetic energy
Elektron urychlený napětím 1 MV má kinetickou energii 1 MeV: \(\gamma = 1 + 1/0{,}511 = 2{,}957\), \(\beta = \sqrt{1 - 1/\gamma^2} = 0{,}941\). Newtonův vzorec by dal nesmyslnou rychlost \(1{,}98c\). Proton s energií 6,8 TeV v největším urychlovači má \(\gamma = 6\,800\,000/938{,}27 = 7\,247\) a za světlem zaostává jen o \(c/(2\gamma^2) = 2{,}85\) m/s.
6.3Čtyřhybnost a vztah energie a hybnosti
Čtyřhybnost \(p^\mu = m u^\mu = (E/c, \vec p)\) je čtyřvektor; její „délka“ je pro všechny pozorovatele stejná:four-momentum, energy–momentum relation
Částice bez hmotnosti (foton) mají \(E = pc\) a letí vždy rychlostí \(c\). Obecně platí \(\vec v = \vec p c^2/E\). Energii fotonu a jeho kvantovou povahu (\(E = hf\)) vykládá průvodce Kvantová fyzika.
6.4\(E = mc^2\)
Einstein v krátkém článku Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? („Závisí setrvačnost tělesa na jeho obsahu energie?“, Annalen der Physik, 1905) ukázal: vyzáří-li těleso energii \(L\) ve formě světla, zmenší se jeho hmotnost o \(L/c^2\). Obecně: energie soustavy v klidu a její hmotnost jsou totéž v jiných jednotkách, převodní faktor je \(c^2 \approx 9\cdot 10^{16}\) J/kg.mass–energy equivalence
| Děj | energie | změna hmotnosti |
|---|---|---|
| ohřátí 1 l vody o 80 °C | 3,3 · 10⁵ J | 3,7 · 10⁻¹² kg |
| nabití baterie 15 Wh | 5,4 · 10⁴ J | 6,0 · 10⁻¹³ kg |
| spálení 1 kg benzinu | 4,6 · 10⁷ J | 5,1 · 10⁻¹⁰ kg |
| klidová energie 1 g | 9,0 · 10¹³ J = 25 GWh | 10⁻³ kg |
| Slunce za 1 sekundu | 3,828 · 10²⁶ J | 4,26 · 10⁹ kg |
\(E = mc^2\) neznamená, že se „hmota mění v energii“ jen v jaderných reakcích. Hmotnost se mění při každé změně energie, i při ohřátí vody nebo stlačení pružiny; jen je změna nepatrná. Jaderné reakce nejsou jiné principem, ale velikostí: vazebné energie jader jsou miliónkrát větší než chemické.
6.5Hmotnostní schodek a energie Slunce
Jádro deuteria je lehčí než volný proton a neutron dohromady: \(m_pc^2 + m_nc^2 - m_dc^2 = 938{,}272\,09 + 939{,}565\,42 - 1\,875{,}612\,95 = 2{,}224\,56\) MeV. Tolik energie se uvolní při jejich spojení a tolik je potřeba k rozbití deuteronu. Rozdíl hmotností se nazývá hmotnostní schodek a odpovídá vazebné energii.mass defect, binding energy
Ve Slunci se čtyři jádra vodíku postupně spojí v jádro helia. Z hmotností atomů: \(4\cdot 1{,}007\,825 - 4{,}002\,603 = 0{,}028\,697\) u, tedy \(0{,}028\,697\cdot 931{,}494 = 26{,}73\) MeV, 0,712 % původní hmotnosti (asi 2 % z toho odnesou neutrina). Zářivý výkon Slunce \(3{,}828\cdot 10^{26}\) W odpovídá úbytku hmotnosti \(L/c^2 = 4{,}26\cdot 10^{9}\) kg/s. Na helium se tedy každou sekundu přemění asi \(4{,}26\cdot 10^{9}/0{,}007\,12 = 6{,}0\cdot 10^{11}\) kg vodíku, 600 milionů tun. Za 4,6 miliardy let ztratilo Slunce zářením jen 0,031 % své hmotnosti.
Proč je štěpení těžkých a slučování lehkých jader energeticky výhodné, jak vypadá křivka vazebné energie a jak fungují reaktory, vykládá průvodce Jaderná fyzika.
6.6Invariantní hmotnost a mýtus o rostoucí hmotnosti
Hmotnost soustavy těles je dána její celkovou energií a hybností: \(Mc^2 = \sqrt{E_{\text{celk}}^2 - (p_{\text{celk}}c)^2}\). Není součtem hmotností částí. Dva fotony s energií 1 MeV letící proti sobě mají každý hmotnost nulovou, ale soustava má hmotnost 2 MeV/\(c^2\). Krabice s horkým plynem je těžší než s chladným, stlačená pružina těžší než volná.invariant mass
Starší učebnice zaváděly „relativistickou hmotnost“ \(\gamma m\), která „roste s rychlostí“. Moderní fyzika ji nepoužívá: je to jen jiné jméno pro energii dělenou \(c^2\) a svádí k chybám (například \(F = \gamma m a\) neplatí, protože síla a zrychlení nemají obecně stejný směr). Hmotnost \(m\) je jedna, invariantní, stejná pro všechny pozorovatele. S rychlostí rostou energie a hybnost. Těleso se „nestává těžším“ ani se nezačne hroutit v černou díru, protože v jeho vlastní soustavě se nic nezměnilo (L. B. Okun, 1989).
6.7Dopplerův jev pro světlo
Zdroj se vzdaluje rychlostí \(v\) a vysílá světlo s frekvencí \(f\). Mezi dvěma hřebeny vlny uplyne ve zdroji \(1/f\), v soustavě pozorovatele kvůli dilataci \(\gamma/f\); zdroj se mezitím vzdálí o \(v\gamma/f\), takže další hřeben letí déle. Přijímaná vlnová délka je
Pro přibližování se znaménko \(\beta\) obrátí. Na rozdíl od zvuku nezáleží na tom, zda se pohybuje zdroj, nebo pozorovatel; záleží jen na vzájemné rychlosti, jak požaduje princip relativity. Pohybuje-li se zdroj v soustavě pozorovatele kolmo k zornému paprsku, zbude příčný Dopplerův jev \(\lambda_{obs} = \gamma\lambda\), čistý projev dilatace času. Herbert Ives a G. R. Stilwell ho změřili v roce 1938; moderní měření se zrychlenými ionty lithia (2014) potvrdila dilataci času v souladu s relativitou s přesností na \(10^{-9}\).relativistic Doppler effect, transverse Doppler effect, redshift
Pro malé rychlosti \(z \approx \beta\): hvězda vzdalující se 30 km/s má \(z = 10^{-4}\) a čára Hα 656,3 nm se posune o 0,066 nm. Dopplerovský faktor \(k = \sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}\) je stejné číslo, se kterým cestovatel v paradoxu dvojčat přijímá signály ze Země.
6.8Procvičení
- \(\vec p = \gamma m\vec v\), \(E = \gamma mc^2\), \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\); hmotné těleso nedosáhne \(c\).
- \(E = mc^2\): každá změna energie soustavy je změnou její hmotnosti. Slunce ztrácí 4,26 milionu tun za sekundu.
- Hmotnost je invariantní; „relativistická hmotnost rostoucí s rychlostí“ je zastaralý pojem.
Princip ekvivalence a čas v gravitacistřední škola
Všechna tělesa padají stejně rychle. Einstein v tom v roce 1907 uviděl klíč ke gravitaci: v malé kabině nejde rozlišit, zda na vás působí gravitace, nebo zda kabina zrychluje. Z této jediné myšlenky plyne, že se světlo v gravitačním poli ohýbá a že hodiny hlouběji v poli jdou pomaleji. Druhý efekt dnes denně koriguje každý navigační systém.
Ve výtahu, kterému se přetrhlo lano, by vám klíče vypadlé z ruky zůstaly viset před očima. Vy, kabina i klíče padáte stejně, takže uvnitř je stav beztíže. Astronauti na oběžné dráze žijí přesně takto: nejsou mimo gravitaci, jen neustále volně padají kolem Země.
+Teorie: princip ekvivalence, ohyb světla, gravitační rudý posuv, gravitační dilatace času, relativita v navigačních družicích
7.1Princip ekvivalence
Galileo tvrdil a Newton ověřoval kyvadly, že všechna tělesa padají se stejným zrychlením. V Newtonově teorii je to náhoda: setrvačná hmotnost (odpor ke zrychlení v \(F = ma\)) a gravitační hmotnost (síla, kterou těleso přitahuje gravitace) jsou dva různé pojmy, které se náhodou rovnají. Loránd Eötvös kolem roku 1900 ověřil jejich rovnost torzními váhami na úrovni \(10^{-9}\), družice MICROSCOPE (konečný výsledek 2022) na úrovni \(10^{-15}\).equivalence principle, inertial mass, gravitational mass
Einstein (1907) z rovnosti udělal princip. Slabý princip ekvivalence: trajektorie volně padajícího tělesa nezávisí na jeho složení ani hmotnosti. Einsteinův princip ekvivalence: v dostatečně malé, volně padající laboratoři probíhají všechny (negravitační) fyzikální děje jako ve speciální relativitě bez gravitace; a laboratoř v klidu v tíhovém poli \(g\) je k nerozeznání od rakety zrychlující s \(g\). Einstein v nepublikovaném rukopisu z roku 1920 tuto myšlenku označil za nejšťastnější ve svém životě.
7.2Světlo v gravitačním poli
Raketa zrychluje s \(g\) a z levé stěny vyletí vodorovně paprsek. Než přeletí šířku \(w\), raketa se zrychlí a podlaha se k paprsku přiblíží o \(\tfrac12 g(w/c)^2\). Uvnitř se paprsek ohne dolů. Podle principu ekvivalence se totéž musí stát v kabině stojící na Zemi: gravitace ohýbá světlo. Pro kabinu 2 m je pokles \(2{,}2\cdot 10^{-16}\) m. Z principu ekvivalence vychází ohyb paprsku kolem Slunce 0,875″; úplná obecná relativita dá dvojnásobek, protože k zakřivení času přidá zakřivení prostoru (kapitola 8).
7.3Gravitační rudý posuv
V raketě délky \(h\), zrychlující s \(g\), vyšle podlaha záblesk s frekvencí \(f\) ke stropu. Světlo letí dobu \(h/c\) a mezitím strop získá rychlost \(gh/c\) směrem od místa vyslání. Přijímač u stropu proto naměří Dopplerovsky nižší frekvenci, \(\Delta f/f \approx -gh/c^2\). Podle principu ekvivalence platí totéž pro věž na Zemi: světlo stoupající z gravitačního pole ztrácí frekvenci, zčervená.gravitational redshift
Robert Pound a Glen Rebka (1959, publikováno 1960) poslali záření gama ze železa 57 věží Jeffersonovy laboratoře na Harvardu vysokou 22,5 m a pomocí Mössbauerova jevu změřili posun \(gh/c^2 = 9{,}81\cdot 22{,}5/c^2 = 2{,}46\cdot 10^{-15}\) s přesností asi 10 %, později 1 %. Vodíkový maser vynesený raketou do výšky 10 000 km (Gravity Probe A, 1976) potvrdil efekt na úrovni \(10^{-4}\), dvě evropské navigační družice omylem vypuštěné na výstředné dráhy (výsledky 2018) na úrovni několika \(10^{-5}\).
7.4Gravitační dilatace času
Rudý posuv je jen jiný pohled na čas. Hodiny dole vyšlou každou sekundu záblesk; nahoře přijímají záblesky řidčeji, a přitom se žádný záblesk po cestě neztratí. Hodiny dole tedy opravdu jdou pomaleji. Pro hodiny v klidu v gravitačním potenciálu \(\Phi\) (proti hodinám daleko od hmot):gravitational time dilation
Na Sněžce (1 603 m) jdou hodiny o \(gh/c^2 = 9{,}81\cdot 1\,400/c^2 = 1{,}53\cdot 10^{-13}\) rychleji než v Praze asi o 1 400 m níž. Za rok to dělá 4,8 µs, za 80 let 0,39 ms. Hlava je o 1,7 m výš než nohy a za 80 let zestárne o 0,47 µs víc. Povrch Země proti hodinám daleko ve vesmíru: \(GM_\oplus/(R_\oplus c^2) = 7{,}0\cdot 10^{-10}\), 22 ms za rok.
Optické atomové hodiny jsou tak přesné, že změřily rozdíl chodu při zvednutí o 33 cm (2010) a v roce 2022 dokonce gradient rudého posuvu napříč jediným oblakem atomů vysokým asi 1 mm. Hodiny se tak stávají výškoměrem: porovnáním chodu hodin lze určovat nadmořské výšky (relativistická geodézie).
7.5Relativita v navigačních družicích
Navigační přijímač určuje polohu z doby letu signálů od několika družic. Chyba hodin 1 ns znamená chybu vzdálenosti 30 cm, proto družice nesou atomové hodiny a obě relativity musí být započteny.
Družice obíhá po kruhové dráze s poloměrem \(a = 26\,561{,}75\) km (výška asi 20 200 km) rychlostí \(v = \sqrt{GM/a} = 3{,}874\) km/s, oběh trvá 11,97 h. Gravitace: \(\frac{GM}{c^2}\big(\frac1{R} - \frac1a\big)\cdot 86\,400\ \text{s} = +45{,}7\) µs za den (hodiny nahoře jdou rychleji). Pohyb: \(\frac{v^2}{2c^2}\cdot 86\,400\ \text{s} = -7{,}2\) µs za den. Celkem: +38,5 µs za den. Přesnější výpočet s geoidem a otáčením Země dává relativní rozdíl \(4{,}465\cdot 10^{-10}\), tedy 38,6 µs za den. Proto se hodiny družic už před startem seřídí z nominálních 10,23 MHz na 10,229 999 995 43 MHz.
| Dráha | výška | gravitace | pohyb | celkem za den |
|---|---|---|---|---|
| vesmírná stanice | 420 km | +3,7 µs | −28,2 µs | −24,5 µs |
| bod vyrovnání | 3 186 km | +20,1 µs | −20,1 µs | 0 |
| navigační družice | 20 190 km | +45,7 µs | −7,2 µs | +38,5 µs |
| geostacionární | 35 786 km | +51,1 µs | −4,5 µs | +46,5 µs |
Často se říká, že bez relativity by navigace „za den ujela o 11 km“ (\(c\cdot 38{,}5\ \mu\text{s}\)). Jako ilustrace velikosti efektu to sedí; ve skutečnosti by se chyba projevila složitěji, protože přijímač odhaduje i chybu vlastních hodin a pozemní řízení hodiny družic průběžně opravuje. Jisté je, že bez relativistických oprav by systém nemohl dosáhnout přesnosti na metry. Kromě stálého posunu se v přijímačích počítá i periodická oprava kvůli výstřednosti dráhy (pro výstřednost 0,02 až asi 46 ns) a Sagnacův jev z otáčení Země.
7.6Procvičení
- V malé kabině nelze rozlišit gravitaci od zrychlení; volný pád je beztíže.
- Světlo se v gravitačním poli ohýbá a stoupáním z pole zčervená: \(\Delta f/f \approx -gh/c^2\).
- Hodiny hlouběji v poli jdou pomaleji. Navigační družice jdou o 38,6 µs denně napřed a musí se korigovat.
Zakřivený časoprostor: světlo a Merkurstřední škola
V obecné relativitě (1915) není gravitace síla. Hmota a energie zakřivují časoprostor a volně padající tělesa i světlo se v něm pohybují po nejrovnějších možných drahách, geodetikách. V běžných podmínkách dává teorie skoro totéž co Newton. Rozdíly se ale daly změřit hned: ohyb světla u Slunce, nevysvětlené stáčení dráhy Merkuru a zpoždění radarových signálů.
Letadlo z Prahy do San Franciska letí přes Grónsko. Na rovné mapě to vypadá jako oklika, na glóbu je to nejkratší cesta. Dva cestovatelé, kteří vyrazí z rovníku přesně na sever, se k sobě přibližují, i když ani jeden nezatáčí a nic je k sobě netáhne. Na zakřiveném povrchu se rovné dráhy sbíhají. Gravitace dělá s drahami těles totéž.
+Teorie: geodetiky a princip nejdelšího vlastního času, gumová plachta, ohyb světla a zatmění 1919, Merkur, Shapirovo zpoždění, parametry PPN
8.1Gravitace jako geometrie
Princip ekvivalence říká, že volně padající těleso nic necítí: z jeho pohledu na něj nepůsobí žádná síla. Obecná relativita to bere doslova. Volně padající tělesa se pohybují po geodetikách, nejrovnějších čarách zakřiveného časoprostoru; gravitace se projevuje tím, že se sousední geodetiky sbíhají nebo rozbíhají. Zakřivení určuje rozložení hmoty a energie (Einsteinovy rovnice, kapitola 9).geodesic, curved spacetime
Pro hmotná tělesa mají geodetiky jednoduchou vlastnost: ze všech světočar mezi dvěma událostmi je to ta, podél které uplyne nejvíc vlastního času (princip extremálního stárnutí). Vyhodíte-li míček a chytíte ho za 2 s, vybere si dráhu, na které jeho hodiny ukážou nejvíc: vystoupá výš, kde čas běží rychleji, ale ne tolik, aby ho rychlý pohyb příliš zpomalil. V běžných podmínkách určuje pád těles hlavně zakřivení času (gravitační dilatace z kapitoly 7); zakřivení prostoru se projeví u velmi rychlých těles a u světla.principle of extremal aging
Obrázek koule ležící na gumové plaše je užitečná ilustrace, ale zavádějící vysvětlení: kulička se ke středu kutálí, protože ji dolů táhne zemská gravitace, a plachta ukazuje jen zakřivení prostoru, ne času. Skutečný časoprostor je čtyřrozměrný a pro pomalá tělesa je rozhodující právě zakřivení času. Plachta dobře ukazuje jen tvar drah, ne jejich příčinu.
8.2Ohyb světla
Paprsek procházející ve vzdálenosti \(b\) kolem hmoty \(M\) se ohne o úhel
Polovina pochází ze zakřivení času (to dává už princip ekvivalence), polovina ze zakřivení prostoru. Pro paprsek těsně u okraje Slunce: \(\alpha = 4\cdot 1{,}327\cdot 10^{20}/(8{,}988\cdot 10^{16}\cdot 6{,}957\cdot 10^{8}) = 8{,}49\cdot 10^{-6}\) rad \(= 1{,}75''\). Pod takovým úhlem je vidět předmět velký 4 cm ze vzdálenosti 5 km. Hvězda se zdánlivě posune od Slunce.light deflection
Johann von Soldner (1801) spočítal z Newtonovy teorie pro „částice světla“ 0,84″. Einstein v Praze, kde v letech 1911–1912 učil na německé části Karlo-Ferdinandovy univerzity, dostal v roce 1911 z principu ekvivalence 0,83″. Výpravu za zatměním 1914 překazila válka. Teprve úplná teorie z listopadu 1915 dala 1,75″. Při zatmění 29. 5. 1919 fotografovaly hvězdy dvě britské expedice organizované Frankem Dysonem a Arthurem Eddingtonem, v brazilském Sobralu a na ostrově Príncipe. Výsledky 1,98″ ± 0,12″ a 1,61″ ± 0,30″, oznámené 6. 11. 1919 v Londýně, odpovídaly Einsteinovi, ne poloviční hodnotě, a učinily ho slavným. Jeden soubor snímků ze Sobralu s hodnotou blízkou polovině vyřadili kvůli vadám dalekohledu; o tom se diskutuje dodnes. Rádiová interferometrie s kvazary dnes potvrzuje předpověď s přesností asi 0,01 %.
8.3Stáčení přísluní Merkuru
Eliptická dráha Merkuru se pomalu otáčí: přísluní (nejbližší bod ke Slunci) se posouvá asi o 575″ za století. Gravitační rušení ostatními planetami vysvětluje asi 532″. Urbain Le Verrier v roce 1859 upozornil, že zbývající část nesedí, a Simon Newcomb ji v roce 1882 upřesnil na zhruba 43″ za století. Hledala se neznámá planeta uvnitř dráhy Merkuru, nazvaná Vulkán, ale nikdo ji nenašel.perihelion precession of Mercury
Einstein 18. 11. 1915 spočítal, že obecná relativita dává právě chybějící hodnotu. Pro dráhu s velkou poloosou \(a\) a výstředností \(e\) se přísluní za jeden oběh posune o
\(a = 0{,}387\,099\) au \(= 5{,}791\cdot 10^{10}\) m, \(e = 0{,}205\,63\): \(\Delta\varphi = 6\pi\cdot 1{,}327\cdot 10^{20}/(8{,}988\cdot 10^{16}\cdot 5{,}791\cdot 10^{10}\cdot 0{,}957\,72) = 5{,}02\cdot 10^{-7}\) rad \(= 0{,}1035''\) za oběh. Za století (36 525 dní) oběhne Merkur \(36\,525/87{,}969 = 415{,}2\)krát: \(0{,}1035\cdot 415{,}2 = 42{,}98''\).
| Planeta | velká poloosa | výstřednost | stáčení |
|---|---|---|---|
| Merkur | 0,387 au | 0,206 | 42,98″ |
| Venuše | 0,723 au | 0,007 | 8,62″ |
| Země | 1,000 au | 0,017 | 3,84″ |
| Mars | 1,524 au | 0,093 | 1,35″ |
8.4Shapirovo zpoždění
Irwin Shapiro v roce 1964 navrhl čtvrtý test: radarový signál, který letí těsně kolem Slunce k planetě a zpět, se zpozdí, protože v zakřiveném časoprostoru urazí „delší“ cestu a čas u Slunce běží pomaleji. Pro paprsek tam a zpět mezi Zemí (vzdálenost \(r_1\) od Slunce) a planetou (\(r_2\)), který míjí Slunce ve vzdálenosti \(b\):Shapiro time delay
Pro Mars v konjunkci a paprsek těsně u okraje Slunce: \(19{,}7\cdot\ln(4\cdot 1\cdot 1{,}524\ \text{au}^2/R_\odot^2) = 247\ \mu\text{s}\). Radarová měření k Merkuru a Venuši (od roku 1967), přistávací moduly na Marsu (1976) a sonda Cassini (2002, publikováno 2003) efekt potvrdily; Cassini s přesností asi \(2\cdot 10^{-5}\).
8.5Parametry PPN
Aby šlo teorie gravitace srovnávat, zavádí se parametrizovaný post-newtonovský formalismus. V metrice slabého pole \(\mathrm ds^2 = -(1 + 2\Phi/c^2 + 2\beta\Phi^2/c^4)c^2\mathrm dt^2 + (1 - 2\gamma\Phi/c^2)\,\mathrm d\vec x^2\) měří parametr \(\gamma\), kolik zakřivení prostoru vytvoří jednotková hmota, a \(\beta\) nelinearitu gravitace. Obecná relativita má \(\gamma = \beta = 1\). Ohyb světla je úměrný \((1+\gamma)/2\), Shapirovo zpoždění také, stáčení přísluní \((2 + 2\gamma - \beta)/3\). Teorie se zakřiveným jen časem (\(\gamma = 0\)) by dala poloviční ohyb. Nejpřesnější měření (Cassini) dává \(\gamma - 1 = (2{,}1 \pm 2{,}3)\cdot 10^{-5}\).parametrized post-Newtonian formalism
8.6Procvičení
- Gravitace je zakřivení časoprostoru; volná tělesa se pohybují po geodetikách s nejdelším vlastním časem.
- Klasické testy: ohyb světla 1,75″ u Slunce (1919), stáčení přísluní Merkuru 43″ za století, Shapirovo zpoždění.
- Gumová plachta ilustruje tvar drah, ne příčinu gravitace; pro pomalá tělesa je rozhodující zakřivení času.
Geometrie a Einsteinovy rovnice polevysoká škola
Aby šlo zakřivení časoprostoru počítat, potřebujeme tři nástroje: metriku, která měří vzdálenosti a vlastní čas, geodetickou rovnici, která říká, jak se pohybují volná tělesa, a tenzor křivosti, který odlišuje opravdové zakřivení od křivých souřadnic. Einsteinovy rovnice pole pak spojují křivost s hmotou a energií. John A. Wheeler to shrnul slovy, že časoprostor říká hmotě, jak se pohybovat, a hmota říká časoprostoru, jak se zakřivit.
Mravenec, který nikdy neopustí povrch glóbu, může přesto zjistit, že je zakřivený: stačí mu vyměřit velký trojúhelník z nejrovnějších čar a sečíst jeho úhly. Vyjde víc než 180°. Stejně můžeme zakřivení časoprostoru měřit zevnitř, bez „vyšší dimenze“, do které by se zakřivoval.
+Teorie: metrika, geodetická rovnice a Christoffelovy symboly, newtonovská limita, Riemannův tenzor, geodetická deviace, Einsteinovy rovnice pole po částech
9.1Metrika
Metrický tenzor \(g_{\mu\nu}(x)\) určuje „vzdálenost“ sousedních událostí. Indexy \(\mu, \nu\) probíhají 0 až 3, přes opakované indexy sčítáme (Einsteinova sumační konvence):metric tensor, line element
Příklady: rovina v polárních souřadnicích \(\mathrm ds^2 = \mathrm dr^2 + r^2\mathrm d\varphi^2\) (souřadnice křivé, plocha plochá); koule \(\mathrm ds^2 = R^2(\mathrm d\theta^2 + \sin^2\theta\,\mathrm d\varphi^2)\) (opravdu zakřivená); Minkowského časoprostor \(\mathrm ds^2 = -c^2\mathrm dt^2 + \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2\). Ve slabém statickém poli s newtonovským potenciálem \(\Phi\) (\(|\Phi| \ll c^2\)):
První člen je gravitační dilatace času z kapitoly 7, druhý zakřivení prostoru, které zdvojnásobí ohyb světla. Inverzní metrika \(g^{\mu\nu}\) splňuje \(g^{\mu\lambda}g_{\lambda\nu} = \delta^\mu_\nu\) a slouží ke zvedání indexů.
9.2Geodetická rovnice a Christoffelovy symboly
Volně padající těleso se pohybuje po světočáře s extremálním vlastním časem \(\tau = \int\sqrt{-g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}\,\mathrm d\lambda/c\). Eulerovy–Lagrangeovy rovnice této variační úlohy dávají geodetickou rovnici:geodesic equation, Christoffel symbols
Christoffelovy symboly \(\Gamma\) nejsou tenzor: v rovině s polárními souřadnicemi jsou nenulové (\(\Gamma^r_{\varphi\varphi} = -r\), \(\Gamma^\varphi_{r\varphi} = 1/r\)), ačkoli plocha je plochá; v kartézských souřadnicích jsou nulové. Ve volně padající soustavě lze v jednom bodě dosáhnout \(\Gamma = 0\) i v zakřiveném časoprostoru. To je matematická podoba principu ekvivalence: gravitační „sílu“ lze v bodě odstranit, křivost ne. Stejné \(\Gamma\) definují kovariantní derivaci \(\nabla_\mu V^\nu = \partial_\mu V^\nu + \Gamma^\nu_{\mu\lambda}V^\lambda\), derivaci, která dává tenzor.
9.3Newtonovská limita
Pro pomalé těleso je \(\mathrm dx^0/\mathrm d\tau \approx c\) a prostorové složky rychlosti zanedbáme. Ve statickém slabém poli zbude \(\mathrm d^2x^i/\mathrm dt^2 \approx -\Gamma^i_{00}c^2\), a protože \(\Gamma^i_{00} = -\tfrac12\partial_i g_{00}\):
Celá newtonovská gravitace je tedy obsažena v jediné složce metriky, v rychlosti chodu času. Jablko padá, protože čas u země plyne pomaleji.
9.4Křivost: Riemannův tenzor
Přeneseme-li vektor rovnoběžně (paralelním přenosem) po uzavřené smyčce, v ploché geometrii se vrátí stejný, v zakřivené pootočený. Na kouli: vyjdeme z pólu k rovníku, po rovníku o čtvrt obvodu a zpět k pólu; vektor se otočí o 90°, právě o plochu trojúhelníku dělenou \(R^2\). Míru této nesouměnosti v každém bodě udává Riemannův tenzor křivosti:parallel transport, Riemann curvature tensor
Časoprostor je plochý právě tehdy, když je Riemannův tenzor všude nulový. V \(n\) rozměrech má \(n^2(n^2-1)/12\) nezávislých složek: ve 2D jedinou (Gaussovu křivost \(K\)), ve 4D dvacet. Zúžením dostaneme Ricciho tenzor \(R_{\mu\nu} = R^\lambda{}_{\mu\lambda\nu}\) (10 složek) a skalární křivost \(R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\). Zbylých 10 složek tvoří Weylův tenzor, který popisuje slapy ve vakuu a gravitační vlny.Ricci tensor, Ricci scalar, Weyl tensor
Rovnostranný trojúhelník se stranou 100 km na kulové Zemi: \(a = 100/6\,371 = 0{,}015\,70\) rad, sférický přebytek \(= \text{plocha}/R^2 = 4\,330\ \text{km}^2/6\,371^2\ \text{km}^2 = 1{,}067\cdot 10^{-4}\) rad \(= 22{,}0''\). Geodeti s ním při přesných měřeních počítají. Se stranou 1 000 km je přebytek už 0,61°.
9.5Geodetická deviace: slapy jsou křivost
Dvě sousední geodetiky s vektorem odchylky \(\xi^\mu\) se k sobě přibližují nebo vzdalují podle rovnice geodetické deviace:geodesic deviation, tidal tensor
Pro bodovou hmotu je slapový tenzor \(\partial_i\partial_j\Phi\) ve směru k hmotě \(-2GM/r^3\) a napříč \(+GM/r^3\): ve směru pádu se částice rozjíždějí, napříč sbíhají. Stopa \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\) je ve vakuu nulová, a proto se objem oblaku zpočátku nemění, jen tvar. Obecně: Ricciho křivost (určená přímo hmotou v daném místě) mění objem, Weylova (přenášená z dálky) tvar. Slapy Měsíce na Zemi: \(2GM_☾R_\oplus/d^3 = 1{,}10\cdot 10^{-6}\) m/s², Slunce \(5{,}05\cdot 10^{-7}\) m/s², proto jsou sluneční slapy asi poloviční.
9.6Einsteinovy rovnice pole po částech
Einstein předložil konečný tvar rovnic Pruské akademii věd 25. 11. 1915, po několika letech hledání. David Hilbert je souběžně odvodil z variačního principu s účinkem \(S = \frac{c^4}{16\pi G}\int R\sqrt{-g}\,\mathrm d^4x\).Einstein field equations
| Část | Název | Co znamená |
|---|---|---|
| \(R_{\mu\nu}\) | Ricciho tenzor | část křivosti, která mění objem oblaku volných částic; ze druhých derivací metriky |
| \(R\) | skalární křivost | stopa Ricciho tenzoru, jedno číslo v každém bodě |
| \(G_{\mu\nu}\) | Einsteinův tenzor | jediná kombinace křivosti (do druhých derivací metriky), jejíž divergence je identicky nulová: \(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\) (Bianchiho identita) |
| \(\Lambda g_{\mu\nu}\) | kosmologický člen | stálá „energie prázdného prostoru“; dnes \(\Lambda \approx 1{,}1\cdot 10^{-52}\ \text{m}^{-2}\), způsobuje zrychlené rozpínání vesmíru |
| \(8\pi G/c^4\) | vazbová konstanta | \(2{,}08\cdot 10^{-43}\ \text{s}^2\,\text{kg}^{-1}\,\text{m}^{-1}\); časoprostor je extrémně „tuhý“ |
| \(T_{\mu\nu}\) | tenzor energie a hybnosti | \(T_{00}\) hustota energie, \(T_{0i}\) tok energie (hustota hybnosti), \(T_{ij}\) tlak a napětí |
Proč právě takto
Zdrojem gravitace nemůže být jen hustota hmoty, protože ta závisí na soustavě (kontrakce objemu, \(E = \gamma mc^2\)). Tenzor \(T_{\mu\nu}\) obsahuje energii, hybnost i tlak a splňuje zákon zachování \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\). Levá strana proto musí mít automaticky nulovou divergenci, a to splňuje právě \(G_{\mu\nu}\) (a \(g_{\mu\nu}\), odtud možnost členu \(\Lambda\)). Pro ideální tekutinu s hustotou \(\rho\) a tlakem \(p\) je \(T_{\mu\nu} = (\rho + p/c^2)\,u_\mu u_\nu + p\,g_{\mu\nu}\). Tlak také gravituje: v neutronových hvězdách tlak zesiluje gravitaci natolik, že nad určitou hmotností nastane kolaps.
Newtonovská limita a faktor 8π
Rovnice lze přepsat na \(R_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\big(T_{\mu\nu} - \tfrac12 T g_{\mu\nu}\big) + \Lambda g_{\mu\nu}\). Pro slabé statické pole a prach (\(p = 0\)) je \(R_{00} \approx \nabla^2\Phi/c^2\) a pravá strana \(\tfrac12\cdot\frac{8\pi G}{c^4}\rho c^2\). Vyjde \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\), Poissonova rovnice Newtonovy gravitace. Faktor \(8\pi\) je zvolen právě tak, aby tato limita vyšla.
Co z rovnic plyne
- Je to 10 nelineárních parciálních diferenciálních rovnic (\(T_{\mu\nu}\) je symetrický). Čtyři Bianchiho identity a čtyři volby souřadnic nechávají 6 skutečně určujících rovnic.
- Nelinearita znamená, že gravitace gravituje: energie pole sama zakřivuje časoprostor. Proto se černé díry ani splývající dvojhvězdy nedají spočítat sčítáním polí.
- Ve vakuu (\(T_{\mu\nu} = 0\), \(\Lambda = 0\)) platí \(R_{\mu\nu} = 0\), ale časoprostor nemusí být plochý: Weylova křivost zůstává. Takové jsou Schwarzschildova černá díra (kapitola 10) i gravitační vlny (kapitola 11).
- Hustota energie vody (\(\rho c^2 = 9\cdot 10^{19}\) J/m³) dává křivost \(\frac{8\pi G}{c^4}\rho c^2 = 1{,}9\cdot 10^{-23}\ \text{m}^{-2}\), tedy poloměr křivosti asi \(2{,}3\cdot 10^{11}\) m, přes 1,5 au.
„Hmota zakřivuje prostor“ je zkratka. Zdrojem je energie, hybnost a tlak, a zakřivuje se časoprostor. U pomalých těles ve slabém poli dominuje zakřivení času \(g_{00}\); zakřivení prostoru se projeví u světla a rychlých těles.
9.7Procvičení
- Metrika \(g_{\mu\nu}\) měří vlastní čas a délky; volná tělesa se pohybují po geodetikách, Christoffelovy symboly jsou „gravitační síla“ závislá na souřadnicích.
- Opravdové zakřivení popisuje Riemannův tenzor; projevuje se slapy (geodetickou deviací).
- \(G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\): geometrie vlevo, energie, hybnost a tlak vpravo; v limitě slabého pole Newton.
Černé díryvysoká škola
První přesné řešení Einsteinových rovnic našel Karl Schwarzschild už v prosinci 1915. Popisuje časoprostor kolem kulové hmoty a skrývá v sobě černou díru: oblast, ze které neunikne nic, ani světlo. Dnes černé díry vážíme podle drah hvězd, slyšíme jejich splývání v gravitačních vlnách a máme snímky jejich stínu.
Představte si řeku, která teče k vodopádu čím dál rychleji. Rybka plave stále stejně rychle. Daleko od vodopádu se dostane, kam chce. Od určitého místa ale proud teče rychleji, než ona umí plavat, a i když plave proti proudu, je unášena dolů. Tím místem je horizont událostí; „plavcem“ je světlo.
+Teorie: Schwarzschildova metrika, horizont a singularita, efektivní potenciál, fotonová sféra a stín, pád do díry, rotující díry, Hawkingovo záření
10.1Schwarzschildova metrika
Karl Schwarzschild, tehdy dělostřelecký důstojník na ruské frontě, poslal Einsteinovi v prosinci 1915 přesné řešení rovnic pole pro vakuum kolem kulové nerotující hmoty; vyšlo v roce 1916, několik měsíců před jeho smrtí. V souřadnicích \((t, r, \theta, \varphi)\), kde \(r\) je definováno tak, že obvod kružnice je \(2\pi r\):Schwarzschild metric
Birkhoffova věta říká, že každé kulově souměrné vakuové řešení je Schwarzschildovo. Vně pulzující nebo hroutící se kulové hvězdy je proto pole statické a kulově souměrný kolaps nevyzařuje gravitační vlny. Daleko od hmoty (\(r \gg R_s\)) přechází metrika v metriku slabého pole z kapitoly 9 s \(\Phi = -GM/r\).
| Těleso | hmotnost | \(R_s\) |
|---|---|---|
| Země | \(3{,}0\cdot 10^{-6}\ M_\odot\) | 8,9 mm |
| Slunce | 1 \(M_\odot\) | 2,953 km |
| hvězdná černá díra | 10 \(M_\odot\) | 29,5 km |
| Sgr A* (střed Galaxie) | \(4{,}3\cdot 10^{6}\ M_\odot\) | \(1{,}27\cdot 10^{7}\) km = 0,085 au |
| M87* | \(6{,}5\cdot 10^{9}\ M_\odot\) | \(1{,}92\cdot 10^{10}\) km = 128 au |
10.2Horizont a singularita
Při \(r = R_s\) metrika v těchto souřadnicích „vybuchne“, ale jde o souřadnicovou singularitu: invarianty křivosti jsou tam konečné, například Kretschmannův skalár \(R_{\alpha\beta\gamma\delta}R^{\alpha\beta\gamma\delta} = 12R_s^2/r^6\). V jiných souřadnicích (Eddington–Finkelstein, Kruskal–Szekeres) je horizont obyčejné místo, kterým volně padající pozorovatel proletí. Je to ale místo zvláštní: horizont událostí je hranice, odkud už žádná budoucí světočára nevede ven. Uvnitř se světelné kužely sklopí tak, že \(r\) se stane časovou souřadnicí: zmenšování \(r\) je nevyhnutelné jako plynutí času. Skutečná (fyzikální) singularita je v \(r = 0\), kde křivost roste nade všechny meze; není to místo v prostoru, ale okamžik v budoucnosti každého, kdo vstoupí dovnitř.event horizon, coordinate singularity, curvature singularity
10.3Efektivní potenciál a oběžné dráhy
Metrika nezávisí na \(t\) a \(\varphi\), proto se zachovávají energie a moment hybnosti na jednotku hmotnosti: \(\tilde E = (1 - R_s/r)\,c^2\,\mathrm dt/\mathrm d\tau\), \(\tilde L = r^2\,\mathrm d\varphi/\mathrm d\tau\). Dosazením do \(u\cdot u = -c^2\) dostaneme v jednotkách \(c = 1\):effective potential, ISCO
Proti Newtonovi má potenciál člen \(-R_s\tilde L^2/r^3\), který převládne blízko díry: odstředivá bariéra má konečnou výšku a částice s dostatečnou energií ji přeskočí a spadne. Kruhové dráhy existují v extrémech \(V\); stabilní (minimum) jen pro \(\tilde L \ge \sqrt3\,R_s c\). Nejmenší stabilní kruhová dráha (ISCO) má poloměr \(3R_s\) a energii \(\tilde E = \sqrt{8/9}\): plyn, který se v akrečním disku spirálovitě dostane až k ní, vyzáří \(1 - \sqrt{8/9} = 5{,}7\ \%\) své klidové energie, osmkrát víc než při fúzi vodíku. Proto jsou akreující černé díry (kvasary) nejsvítivější objekty vesmíru.
Rovnice dráhy pro \(u = 1/r\) (s \(GM = \tfrac12 R_sc^2\)) je \(u'' + u = \frac{GM}{\tilde L^2} + \frac{3GM}{c^2}u^2\). Poslední člen je relativistická oprava; jako malá porucha dává stáčení přísluní \(6\pi GM/(c^2p)\) za oběh (kapitola 8). Blízko díry je stáčení obrovské: pro dráhu s \(p = 10R_s\) asi 54° za oběh.
10.4Fotonová sféra a stín
Pro světlo je rovnice dráhy \(u'' + u = \frac{3GM}{c^2}u^2\). Má nestabilní kruhové řešení \(r = 3GM/c^2 = 1{,}5R_s\), fotonovou sféru. Paprsek přilétající s záměrnou vzdáleností \(b\) (kolmou vzdáleností přímky, po které by letěl bez gravitace) spadne do díry, pokud \(b \lt b_c = 3\sqrt3\,GM/c^2 = 2{,}598R_s\). Proto vidíme kolem díry tmavý stín o úhlovém poloměru \(b_c/D\), lemovaný jasným prstencem světla, které díru těsně obkroužilo.photon sphere, black hole shadow, impact parameter
Síť radioteleskopů Event Horizon Telescope, propojených po celé Zemi do jednoho virtuálního dalekohledu, zveřejnila 10. 4. 2019 snímek okolí černé díry M87* v galaxii M87 (vzdálenost asi 16,8 Mpc): prstenec o průměru 42 ± 3 mikroúhlové vteřiny. Pro hmotnost \(6{,}5\cdot 10^{9}\ M_\odot\) dává teorie průměr stínu \(2b_c/D = 39{,}7\ \mu\text{as}\); jasný prstenec je o něco větší než stín, takže čísla souhlasí. Snímek Sgr A* ve středu naší Galaxie (12. 5. 2022) ukázal prstenec 51,8 ± 2,3 µas; pro \(4{,}3\cdot 10^{6}\ M_\odot\) ve vzdálenosti 8,28 kpc vychází stín 53 µas. Hmotnost Sgr A* byla předtím změřena z drah hvězd kolem ní (Nobelova cena 2020 pro Reinharda Genzela a Andreu Ghezovou).
10.5Pád do černé díry
Pro radiální pád z klidu ve vzdálenosti \(r_0\) je vlastní čas sondy konečný a dráha je cykloida (jako v newtonovském pádu, jen s \(\tau\) místo \(t\)). Vzdálený čas \(t\) při přiblížení k horizontu roste logaritmicky nade všechny meze: vzdálený pozorovatel nikdy nevidí sondu horizont překročit. Její signál ale exponenciálně rudne s časovou konstantou \(2R_s/c\) (pro 10 \(M_\odot\) jen 0,2 ms) a rychle zmizí.
Z \(r_0 = 10R_s\) do horizontu: pro 10 \(M_\odot\) 4,83 ms vlastního času, do singularity 4,89 ms. Pro Sgr A* (\(4{,}3\cdot 10^{6}\ M_\odot\)) 2 075 s k horizontu a 2 104 s k singularitě, asi 35 minut. Nejdelší vlastní čas, který může kdokoli uvnitř horizontu prožít (i se zapnutými motory), je \(\pi GM/c^3\): 0,15 ms pro 10 \(M_\odot\), 67 s pro Sgr A*, 28 hodin pro M87*.
Malá černá díra je nebezpečnější než velká. Slapové zrychlení na horizontu klesá jako \(1/M^2\): u díry 10 \(M_\odot\) je pro dvoumetrové těleso \(2{,}1\cdot 10^{8}\) m/s² („špagetizace“ dlouho před horizontem), u Sgr A* jen \(1{,}1\cdot 10^{-3}\) m/s². Rovné \(g\) je u díry o hmotnosti asi 46 000 Sluncí.
10.6Rotující černé díry
Skutečné černé díry rotují. Roy Kerr našel v roce 1963 přesné řešení pro rotující díru s momentem hybnosti \(J\), parametrem \(a = J/(Mc) \le GM/c^2\). Vnější horizont má poloměr \(r_+ = GM/c^2 + \sqrt{(GM/c^2)^2 - a^2}\); pro \(a = 0\) je to \(R_s\), pro maximální rotaci polovina. Kolem horizontu leží ergosféra, kde rotace strhává časoprostor tak silně, že nic nemůže stát na místě vůči vzdáleným hvězdám. ISCO se pro dráhy ve směru rotace přibližuje k horizontu a účinnost akrece roste až na 42 %. Podle věty o neexistenci vlasů popisují stacionární černou díru jen tři čísla: hmotnost, moment hybnosti a elektrický náboj. Roger Penrose (1965) dokázal, že při gravitačním kolapsu vzniká singularita obecně, ne jen v dokonale kulovém případě (Nobelova cena 2020).Kerr metric, ergosphere, no-hair theorem
10.7Hawkingovo záření
Stephen Hawking (1974) ukázal, že po započtení kvantových jevů černá díra září jako černé těleso s teplotou
Hvězdné černé díry jsou mnohem chladnější než reliktní záření (2,725 K), takže ho víc pohlcují, než vyzařují. Teplotu 2,725 K by měla díra o hmotnosti \(4{,}5\cdot 10^{22}\) kg, asi 0,6 hmotnosti Měsíce. Doba vypaření díry o hmotnosti Slunce je řádu \(10^{67}\) let. Hawkingovo záření dosud nebylo pozorováno; jeho existence vede k informačnímu paradoxu (kapitola 12).Hawking radiation
10.8Procvičení
- Schwarzschildova metrika: horizont v \(R_s = 2GM/c^2\), fotonová sféra \(1{,}5R_s\), nejmenší stabilní dráha \(3R_s\), stín s poloměrem \(2{,}6R_s\).
- Horizont je souřadnicová singularita, ale skutečná hranice, odkud nic neunikne; fyzikální singularita je v \(r = 0\).
- Snímky EHT (2019, 2022), dráhy hvězd a gravitační vlny potvrzují, že černé díry existují a mají předpovězené rozměry.
Gravitační čočky a gravitační vlnyvysoká škola
Hmota ohýbá světlo jako skleněná čočka, jen jinak: vytváří dvojité obrazy, oblouky a prstence a umí „zvážit“ i neviditelnou temnou hmotu. A zrychleně se pohybující hmota rozvlňuje samotný časoprostor. Gravitační vlny, předpovězené Einsteinem v roce 1916, zachytily detektory LIGO 14. 9. 2015: dvě černé díry splynuly 1,3 miliardy let daleko.
Podívejte se na plamen svíčky přes nožku vinné sklenice. Uvidíte ho rozmazaný do oblouků, a když je plamen přesně za nožkou, do prstence. Gravitační čočka funguje podobně: nemá ohnisko, paprsky blíž ke středu ohýbá víc. Gravitační vlnu si zase představte jako vlnění, které na chvilku natáhne a stlačí všechny vzdálenosti, a to i délku vašeho pravítka.
+Teorie: čočková rovnice, Einsteinův poloměr, mikročočkování, linearizovaná gravitace, polarizace vln, kvadrupólový vzorec, dvojitý pulzar, LIGO a GW150914
11.1Čočková rovnice
Pozorovatel, čočka (hmota \(M\)) a zdroj leží ve vzdálenostech \(D_L\) (k čočce), \(D_S\) (ke zdroji) a \(D_{LS}\) (čočka–zdroj). Zdroj je ve skutečném úhlu \(\beta\) od čočky, jeho obraz pozorujeme v úhlu \(\theta\). Paprsek se u čočky ohne o \(\alpha = 4GM/(c^2D_L\theta)\) (kapitola 8). Pro malé úhly z geometrie plyne čočková rovnice:lens equation, Einstein radius
Obrazy jsou dva, na opačných stranách čočky. Plošná jasnost se zachovává, proto se zdroj zjasní v poměru ploch obrazu a zdroje: \(\mu_\pm = \big[1 - (\theta_E/\theta_\pm)^4\big]^{-1}\), celkové zesílení \(A = (u^2+2)/(u\sqrt{u^2+4})\) s \(u = \beta/\theta_E\). Pro \(u = 0{,}5\) jsou obrazy v \(1{,}281\theta_E\) a \(-0{,}781\theta_E\) se zesíleními 1,591 a 0,591 (druhý obraz je převrácený), celkem 2,18. Při přesném zákrytu vznikne Einsteinův prstenec.
Hvězda o hmotnosti \(0{,}5\ M_\odot\) ve vzdálenosti 4 kpc před hvězdou ve vzdálenosti 8 kpc: \(\theta_E = \sqrt{4\cdot 6{,}64\cdot 10^{19}/c^2\cdot 1/(8\cdot 3{,}086\cdot 10^{19})} = 3{,}46\cdot 10^{-9}\) rad \(= 0{,}71\) tisíciny vteřiny. Obrazy nerozlišíme, ale zjasnění ano: při \(u_0 = 0{,}1\) až desetinásobné. Einstein v krátkém článku v časopise Science (1936) usoudil, že pozorovat to bude téměř nemožné. Bohdan Paczyński (1986) navrhl sledovat miliony hvězd najednou; první události se našly v roce 1993 a mikročočkováním se dnes objevují i exoplanety.
Galaxie a kupy galaxií mají \(\theta_E\) od zlomků až po desítky obloukových vteřin. První dvojitý kvazar Q0957+561 objevili Dennis Walsh, Robert Carswell a Ray Weymann v roce 1979. Kupy galaxií protahují vzdálené galaxie do oblouků; z jejich tvarů se váží kupy včetně temné hmoty. Slabé čočkování mírně deformuje tvary milionů galaxií a statisticky mapuje rozložení hmoty ve vesmíru. Zpoždění mezi obrazy proměnného zdroje (různě dlouhé dráhy) umožňuje měřit Hubbleovu konstantu.
11.2Linearizovaná gravitace a vlny
Daleko od zdrojů je pole slabé: \(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}\), \(|h_{\mu\nu}| \ll 1\). Rovnice pole zlinearizujeme. Pro stopově obrácenou poruchu \(\bar h_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \tfrac12\eta_{\mu\nu}h\) v Lorenzově kalibraci \(\partial^\mu\bar h_{\mu\nu} = 0\) vyjde vlnová rovnice:linearized gravity, gravitational waves
Ve vakuu jsou řešením vlny šířící se rychlostí \(c\). Ve vhodné (příčné bezstopé) kalibraci má rovinná vlna letící podél \(z\) jen dvě nezávislé složky, polarizace \(h_+\) a \(h_\times\):
11.3Kvadrupólový vzorec a dvojitý pulzar
Zachování hmotnosti a hybnosti vylučuje monopólové a dipólové gravitační záření. Nejnižší je kvadrupólové; výkon určuje třetí derivace bezstopého kvadrupólového momentu \(Q_{ij}\):quadrupole formula, binary pulsar
Faktor \(G/c^5\) je nepatrný: soustava Země–Slunce vyzařuje gravitačními vlnami jen asi 196 W. Silné vlny vznikají jen u kompaktních těles na těsných drahách. Russell Hulse a Joseph Taylor objevili v roce 1974 dvojitý pulzar PSR B1913+16: dvě neutronové hvězdy obíhající za 7,75 hodiny. Jeho oběžná doba se zkracuje přesně tak, jak odpovídá ztrátě energie gravitačními vlnami (Nobelova cena 1993). Dvojitý pulzar PSR J0737−3039A/B (objeven 2003) dnes potvrzuje předpověď s přesností lepší než 0,1 %.
11.4LIGO a GW150914
Detektory LIGO v Hanfordu a Livingstonu jsou Michelsonovy interferometry (kapitola 2) s rameny dlouhými 4 km, ve kterých světlo mnohokrát běhá mezi zrcadly. Vlna s amplitudou \(h\) změní rozdíl délek ramen o \(\Delta L = hL\).LIGO, interferometric detector, chirp
14. 9. 2015 v 9:50:45 UTC zachytily oba detektory signál GW150914: během 0,2 s vzrostla frekvence z 35 na asi 250 Hz a pak signál utichl. Odpovídá splynutí černých děr o hmotnostech asi 36 a 29 \(M_\odot\) ve vzdálenosti asi 410 Mpc (1,3 miliardy světelných let) v jednu díru o asi 62 \(M_\odot\). Rozdíl asi \(3\,M_\odot c^2 = 5{,}4\cdot 10^{47}\) J se vyzářil jako gravitační vlny, ve vrcholu výkonem \(3{,}6\cdot 10^{49}\) W, asi 200 hmotností Slunce za sekundu. Amplituda na Zemi byla asi \(10^{-21}\): čtyřkilometrová ramena se změnila o \(4\cdot 10^{-18}\) m, asi dvousetinu poloměru protonu. Rainer Weiss, Barry C. Barish a Kip S. Thorne dostali Nobelovu cenu za fyziku 2017. 17. 8. 2017 zachytily detektory splynutí dvou neutronových hvězd (GW170817) a o 1,7 s později družice zaznamenaly záblesk záření gama; po 130 milionech let cesty dorazily vlna a světlo téměř současně, takže rychlost gravitačních vln se od \(c\) liší nejvýš o \(10^{-15}\).
Síť pozemních detektorů dnes zaznamenává splynutí pravidelně a katalogy obsahují stovky kandidátů. Pro nízké frekvence se připravuje kosmický interferometr LISA s rameny 2,5 milionu km (Evropská kosmická agentura, start plánován kolem roku 2035) a pulzarová časovací pole, která v roce 2023 ohlásila první náznaky vlnového pozadí s periodami let.
Proč světlo v interferometru „nenatáhne“ vlna stejně jako ramena, takže by se nic nezměřilo? Vlna mění dobu letu světla mezi volně visícími zrcadly; to je fyzikální veličina nezávislá na tom, jak si „natažení“ popíšeme. Rozhodující je, že perioda vlny (milisekundy) je mnohem delší než doba letu světla ramenem (13 µs), takže změna se během letu nestihne vyrušit.
11.5Procvičení
- Gravitační čočka: \(\beta = \theta - \theta_E^2/\theta\); dva obrazy, prstenec při zákrytu, zjasnění při mikročočkování.
- Gravitační vlny jsou příčné vlny metriky se dvěma polarizacemi, šíří se rychlostí \(c\), vznikají kvadrupólovým zářením.
- GW150914 (14. 9. 2015): splynutí černých děr 36 a 29 \(M_\odot\), změna délky ramene \(4\cdot 10^{-18}\) m; Nobelova cena 2017.
Kosmologie, testy a hranice teorievysoká škola
Rovnice pole lze použít i na vesmír jako celek. Vyjde z nich, že vesmír nemůže být statický: rozpíná se, nebo smršťuje. Kapitola ukazuje Friedmannovy rovnice a jejich řešení, co znamená kosmologický rudý posuv, jak obecnou relativitu za sto let prověřily desítky pokusů a kde teorie naráží na své hranice.
Nakreslete na nafukovací balonek tečky a nafukujte ho. Každá tečka vidí, jak se ostatní vzdalují, a čím jsou dál, tím rychleji. Žádná tečka není střed a žádná se po povrchu nepohybuje: roste jen povrch mezi nimi. Takhle se rozpíná vesmír, jen ve třech rozměrech a bez „vnitřku“ balonku.
+Teorie: kosmologický princip, metrika FLRW, Friedmannovy rovnice, rudý posuv a vzdálenosti, historie kosmologie, přehled testů obecné relativity, singularity a kvantová gravitace
12.1Kosmologický princip a metrika FLRW
Na velkých škálách (stovky milionů světelných let) vypadá vesmír všude a všemi směry stejně: je homogenní a izotropní. To je kosmologický princip a podporují ho rozložení galaxií i reliktní záření, které má ve všech směrech stejnou teplotu s odchylkami asi \(10^{-5}\). Nejobecnější metrika s touto symetrií je metrika Friedmannova–Lemaîtreova–Robertsonova–Walkerova:cosmological principle, FLRW metric, scale factor
Souřadnice \(r,\theta,\varphi\) jsou souputující: galaxie v nich stojí a vzdálenosti mezi nimi rostou s škálovým faktorem \(a(t)\), dnes \(a = 1\). Čas \(t\) je vlastní čas pozorovatelů, kteří se rozpínáním jen nechávají unášet (kosmický čas). Konstanta \(k\) určuje geometrii prostoru: uzavřený jako povrch koule (\(k = 1\)), plochý (\(k = 0\)) nebo otevřený, hyperbolický (\(k = -1\)), viz kapitola 9.
12.2Friedmannovy rovnice
Dosazením metriky FLRW a ideální tekutiny s hustotou \(\rho\) a tlakem \(p\) do rovnic pole (kapitola 9) dostaneme dvě rovnice pro \(a(t)\). Odvodil je Alexandr Fridman (1922, 1924) a nezávisle Georges Lemaître (1927).Friedmann equations, Hubble parameter, density parameter
Druhá rovnice ukazuje, že hmota i tlak rozpínání brzdí, kladná \(\Lambda\) ho urychluje. Pro hmotu (prach) platí \(\rho \propto a^{-3}\), pro záření \(\rho \propto a^{-4}\). Zavedeme kritickou hustotu \(\rho_c = 3H_0^2/(8\pi G)\) a poměry \(\Omega_i = \rho_i/\rho_c\); první rovnice pak zní
Pro \(H_0 = 67{,}4\) km/s/Mpc je Hubbleův čas \(1/H_0 = 14{,}5\) miliardy let a kritická hustota \(\rho_c = 8{,}5\cdot 10^{-27}\) kg/m³, asi 5 hmotností protonu na krychlový metr. S \(\Omega_m = 0{,}315\), \(\Omega_\Lambda = 0{,}685\) vychází stáří 13,8 miliardy let a zpomalovací parametr \(q_0 = -0{,}53\): rozpínání se dnes zrychluje. Zrychlovat začalo, když \(\Omega_m/(2a^3) = \Omega_\Lambda\), tedy při \(a = 0{,}61\) (\(z = 0{,}63\)), asi před 6,1 miliardy let. Kosmologická konstanta má hodnotu \(\Lambda = 3\Omega_\Lambda H_0^2/c^2 = 1{,}09\cdot 10^{-52}\ \text{m}^{-2}\).
12.3Kosmologický rudý posuv a vzdálenosti
Světlo letí po nulové geodetice a vlnové délky se natahují spolu s prostorem: \(1 + z = a_\text{dnes}/a_\text{vyslání}\). Rudý posuv \(z = 1\) tedy znamená, že když světlo vyšlo, byly všechny vzdálenosti poloviční. Nejde o Dopplerův jev pohybu galaxií prostorem (kapitola 6), i když pro malá \(z\) dává stejný výsledek \(cz \approx H_0D\) (Hubbleův–Lemaîtreův zákon).cosmological redshift, Hubble–Lemaître law, lookback time
Převod rudého posuvu na „velikost“ vesmíru je jednoduchý: \(a = 1/(1 + z)\). Při \(z = 1\) byly vzdálenosti poloviční, při \(z = 3\) čtvrtinové, reliktní záření (\(z \approx 1\,100\)) vyšlo z vesmíru asi tisíckrát menšího.
Ve vesmíru, který se rozpíná, není jediná „vzdálenost“. Tabulka uvádí dobu letu světla a vlastní vzdálenost dnes \(D = c\int \mathrm dt/a\) (kam by došlo pravítko složené z pozorovatelů, kteří by ji změřili všichni ve stejném kosmickém čase).
| Rudý posuv z | Vzdálenosti tehdy (a) | Světlo letělo | Vzdálenost dnes | Rychlost vzdalování dnes |
|---|---|---|---|---|
| 0,1 | 0,91 | 1,35 mld. let | 1,42 mld. ly | 0,10 c |
| 0,5 | 0,67 | 5,2 mld. let | 6,4 mld. ly | 0,44 c |
| 1 | 0,50 | 7,95 mld. let | 11,1 mld. ly | 0,76 c |
| 1,48 | 0,40 | 9,5 mld. let | 14,5 mld. ly | 1,00 c |
| 3 | 0,25 | 11,7 mld. let | 21,2 mld. ly | 1,46 c |
| 10 | 0,091 | 13,3 mld. let | 31,4 mld. ly | 2,17 c |
| 1 089 (reliktní záření) | 0,000 92 | 13,8 mld. let | přes 45 mld. ly | přes 3 c |
Galaxie s \(z > 1{,}48\) se dnes vzdalují rychleji než světlo, a přesto je vidíme. Speciální relativita omezuje rychlost, kterou se dvě tělesa míjejí v jednom místě; rychlost růstu velké vzdálenosti v zakřiveném časoprostoru není rychlostí žádného tělesa vůči místnímu pozorovateli. Světlo, které k nám dnes dorazilo, bylo zpočátku unášeno pryč a k nám se „probojovalo“, až když se Hubbleova vzdálenost zvětšila.
Reliktní záření vzniklo, když vesmír vychladl na asi 3 000 K a elektrony se spojily s jádry v atomy. Od té doby se vlnové délky natáhly 1 090krát, takže dnes má teplotu \(T = 2{,}7255\) K. Objevili ho Arno Penzias a Robert Wilson v roce 1965 (Nobelova cena 1978).
12.4Od statického vesmíru ke zrychlenému rozpínání
Einstein v roce 1917 hledal statický vesmír a zjistil, že s hmotou ho rovnice nedovolí. Přidal proto člen \(\Lambda g_{\mu\nu}\), který gravitaci na velkých vzdálenostech vyvažuje. Willem de Sitter ještě téhož roku našel řešení s \(\Lambda\) bez hmoty. Fridman ukázal, že rovnice obecně vedou k rozpínajícím se nebo smršťujícím se modelům, a Lemaître v roce 1927 spojil rozpínání s rudými posuvy galaxií. Edwin Hubble v roce 1929 změřil, že posuvy rostou se vzdáleností. Einstein v roce 1931 kosmologickou konstantu opustil. Výrok, že to byl jeho „největší omyl“, známe jen ze vzpomínek George Gamowa, v Einsteinových textech doložen není.cosmological constant, dark energy, Hubble tension
V roce 1998 dva týmy z měření vzdálených supernov typu Ia zjistily, že se rozpínání zrychluje (Saul Perlmutter, Brian P. Schmidt a Adam G. Riess, Nobelova cena 2011). Kosmologická konstanta se vrátila jako „temná energie“. Standardní model ΛCDM s šesti parametry dnes popisuje reliktní záření, rozložení galaxií i zastoupení lehkých prvků. Měření družice Planck (2018) dávají \(H_0 = 67{,}4 \pm 0{,}5\) km/s/Mpc a stáří \(13{,}787 \pm 0{,}020\) miliardy let; měření pomocí cefeid a supernov v blízkém vesmíru dávají asi \(73 \pm 1\) km/s/Mpc. Tento rozpor, Hubbleovo napětí, zatím není vysvětlen.
12.5Sto let testů
Obecná relativita prošla všemi dosavadními zkouškami, od Sluneční soustavy přes dvojité pulzary po černé díry. Parametrizovaný postnewtonovský formalismus (PPN) ji porovnává s jinými teoriemi: v OTR jsou \(\gamma = \beta = 1\).tests of general relativity, PPN parameters
| Rok | Test | Výsledek | Kapitola |
|---|---|---|---|
| 1915 | stáčení perihelia Merkuru | 43″ za století, vysvětlen přebytek | 8 |
| 1919 | ohyb světla u Slunce (Eddington, Dyson) | 1,75″ potvrzeno s přesností desítek procent | 8 |
| 1959 | Pound a Rebka, 22,5 m věž | gravitační posuv \(2{,}5\cdot 10^{-15}\), shoda na 10 % | 7 |
| 1968 | Shapirovo zpoždění radarových signálů | zpoždění u Slunce stovky mikrosekund | 8 |
| 1971 | Hafele a Keating, hodiny v letadlech | časové posuny desítky až stovky nanosekund | 3, 7 |
| 1974 | dvojitý pulzar PSR B1913+16 | zkracování oběžné doby gravitačními vlnami | 11 |
| 1976 | Gravity Probe A, maser na raketě do 10 000 km | gravitační posuv s přesností \(7\cdot 10^{-5}\) | 7 |
| 2003 | sonda Cassini, Shapirovo zpoždění | \(\gamma - 1 = (2{,}1 \pm 2{,}3)\cdot 10^{-5}\) | 8 |
| 2011 | Gravity Probe B, gyroskopy na oběžné dráze | geodetická precese 6 602 ± 18 mas/rok (předpověď 6 606), strhávání 37 ± 7 mas/rok (předpověď 39) | 12 |
| 2015 | LIGO, GW150914 | přímá detekce gravitačních vln | 11 |
| 2017 | GW170817 a záblesk gama | rychlost vln rovna \(c\) na \(10^{-15}\) | 11 |
| 2019, 2022 | Event Horizon Telescope, M87* a Sgr A* | stíny černých děr odpovídající předpovědi | 10 |
| 2021 | dvojitý pulzar PSR J0737−3039A/B | kvadrupólový vzorec s přesností \(1{,}3\cdot 10^{-4}\) | 11 |
| 2022 | MICROSCOPE, princip ekvivalence na oběžné dráze | stejné zrychlení těles z titanu a platiny na úrovni \(10^{-15}\) | 7 |
Strhávání soustav. Rotující těleso strhává časoprostor s sebou (Lense–Thirringův jev, 1918), u rychle rotující černé díry až do ergosféry (kapitola 10). U Země je efekt nepatrný: osa gyroskopu na polární dráze ve výšce 642 km se jím stočí o 39 tisícin obloukové vteřiny za rok, zatímco geodetická precese (pohyb v zakřiveném prostoru) dělá 6,6″ za rok. Družice Gravity Probe B nesla čtyři křemenné koule broušené s odchylkou od dokonalé koule asi 10 nm a obě předpovědi potvrdila (Tab. 12.2).frame dragging, Lense–Thirring effect, geodetic precession
K tomu přibývají testy, které by Einstein těžko čekal: optické atomové hodiny rozliší gravitační zpomalení času při rozdílu výšky pod jeden metr, hvězda S2 u centra Galaxie ukázala gravitační rudý posuv (2018) i schwarzschildovské stáčení dráhy (2020) a satelity navigačních systémů denně potvrzují obě složky časové korekce.
12.6Kde teorie končí
- Singularity. Roger Penrose (1965) a spolu se Stephenem Hawkingem (1970) dokázali, že za obecných podmínek obsahují řešení rovnic pole singularity, místa, kde křivost roste nade všechny meze: uvnitř černých děr a na počátku rozpínání. Tam teorie přestává platit. Penrose za to dostal Nobelovu cenu za fyziku 2020 (spolu s Reinhardem Genzelem a Andreou Ghez za objev supermasivního objektu v centru Galaxie).
- Kvantová gravitace. Obecná relativita je klasická teorie; hmota je ale kvantová. Kde se obě setkají, určuje Planckova škála: \(l_P = \sqrt{\hbar G/c^3} = 1{,}6\cdot 10^{-35}\) m, \(t_P = 5{,}4\cdot 10^{-44}\) s, energie \(1{,}2\cdot 10^{19}\) GeV. Kandidáti (teorie strun, smyčková kvantová gravitace a další) zatím nemají pozorovací potvrzení.
- Hawkingovo záření a informace. Hawking (1974) ukázal, že černé díry kvantově vyzařují a pomalu se vypařují (kapitola 10). Zda se informace o tom, co do díry spadlo, v záření zachová, je otevřená otázka.
- Temná hmota a temná energie. Rotace galaxií, čočkování kup a reliktní záření vyžadují asi pětkrát víc hmoty, než je běžné látky. Buď existují zatím nepozorované částice, nebo se gravitace na velkých škálách chová jinak. Naivní odhad energie kvantového vakua s Planckovou škálou převyšuje pozorovanou hustotu temné energie o víc než 120 řádů.
Pro Einsteina a jeho současníky byla obecná relativita až do 50. let spíš krásnou matematikou s třemi skromnými testy. Teprve radar, atomové hodiny, rádiová astronomie a kosmické sondy z ní udělaly experimentální obor; tomuto období se říká renesance obecné relativity.
12.7Procvičení
- Homogenní vesmír popisuje metrika FLRW se škálovým faktorem \(a(t)\); Friedmannovy rovnice určují, jak se mění.
- Kosmologický rudý posuv \(1 + z = 1/a\) je natažení vlnové délky s prostorem; vzdálené galaxie se mohou vzdalovat rychleji než světlo.
- Obecná relativita prošla všemi testy; její hranice jsou singularity, kvantová gravitace a povaha temné hmoty a energie.
Slovníček
Pojmy z celého průvodce s anglickým ekvivalentem. Hledat můžete česky i anglicky, bez ohledu na diakritiku.
Vzorce a konstanty
Speciální relativita (kapitoly 1–6)
Obecná relativita ve slabém poli (kapitoly 7–8)
Geometrie, černé díry, vlny a vesmír (kapitoly 9–12)
| Veličina | Značka | Hodnota | Zdroj |
|---|---|---|---|
| rychlost světla ve vakuu | \(c\) | 299 792 458 m/s (přesně) | SI |
| gravitační konstanta | \(G\) | 6,674 30(15) · 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² | CODATA 2022 |
| redukovaná Planckova konstanta | \(\hbar\) | 1,054 571 817… · 10⁻³⁴ J s | SI |
| Boltzmannova konstanta | \(k_B\) | 1,380 649 · 10⁻²³ J/K (přesně) | SI |
| elektronvolt | eV | 1,602 176 634 · 10⁻¹⁹ J (přesně) | SI |
| hmotnost protonu | \(m_p\) | 1,672 621 925 95(52) · 10⁻²⁷ kg | CODATA 2022 |
| atomová hmotnostní konstanta | \(m_u\) | 1,660 539 068 92(52) · 10⁻²⁷ kg = 931,494 103 72 MeV/c² | CODATA 2022 |
| gravitační parametr Slunce | \(GM_\odot\) | 1,327 124 4 · 10²⁰ m³/s² | IAU 2015 B3 |
| hmotnost Slunce | \(M_\odot\) | 1,988 4 · 10³⁰ kg | \(GM_\odot/G\) |
| poloměr a zářivý výkon Slunce | \(R_\odot,\ L_\odot\) | 695 700 km; 3,828 · 10²⁶ W | IAU 2015 B3 |
| gravitační parametr Země | \(GM_\oplus\) | 3,986 004 418 · 10¹⁴ m³/s² | WGS 84 |
| střední poloměr Země | \(R_\oplus\) | 6 371 km | IUGG |
| normální tíhové zrychlení | \(g_n\) | 9,806 65 m/s² (přesně) | CGPM 1901 |
| astronomická jednotka | au | 149 597 870 700 m (přesně) | IAU 2012 B2 |
| světelný rok (juliánský rok 365,25 dne) | ly | 9,460 730 · 10¹⁵ m | IAU |
| parsek | pc | 3,085 678 · 10¹⁶ m | IAU 2015 B2 |
| Schwarzschildův poloměr Slunce | \(R_{s\odot}\) | 2,953 km | výpočet |
| Hubbleova konstanta, hustoty (model Planck) | \(H_0,\ \Omega_m,\ \Omega_\Lambda\) | 67,4 km/s/Mpc; 0,315; 0,685 | Planck 2018 |
| teplota reliktního záření | \(T_0\) | 2,7255 K | Fixsen 2009 |
Zdroje a předpoklady
Konstanty, normy a data
- CODATA 2022 Recommended Values of the Fundamental Physical Constants (NIST, physics.nist.gov/constants). Konstanty v tab. B.1 a ve všech výpočtech. Ověřeno 4. 11. 2026.
- BIPM: The International System of Units (SI Brochure), 9. vydání (2019). Přesné hodnoty \(c\), \(h\), \(k_B\), \(e\). Ověřeno 4. 11. 2026.
- IAU 2015 Resolution B3 (nominální sluneční a planetární veličiny), IAU 2012 Resolution B2 (astronomická jednotka), IAU 2015 Resolution B2 (parsek). Ověřeno 4. 11. 2026.
- Planck Collaboration (2020): Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. Astronomy & Astrophysics 641, A6. (Kapitola 12.)
- Fixsen, D. J. (2009): The Temperature of the Cosmic Microwave Background. The Astrophysical Journal 707, 916–920.
- Riess, A. G. a kol. (2022): A Comprehensive Measurement of the Local Value of the Hubble Constant… The Astrophysical Journal Letters 934, L7. (Hubbleovo napětí, kapitola 12.)
- Particle Data Group: Review of Particle Physics. Střední doba života mionu 2,196 981 1 µs (kapitola 3).
- Ashby, N. (2003): Relativity in the Global Positioning System. Living Reviews in Relativity 6, 1. (Kapitola 7.)
- Will, C. M. (2014): The Confrontation between General Relativity and Experiment. Living Reviews in Relativity 17, 4. (Přehled testů, kapitoly 8 a 12.)
- Nobelova cena za fyziku (nobelprize.org): 1921 Einstein (za fotoelektrický jev, ne za relativitu), 1978 Penzias a Wilson, 1993 Hulse a Taylor, 2011 Perlmutter, Schmidt a Riess, 2017 Weiss, Barish a Thorne, 2020 Penrose, Genzel a Ghez. Ověřeno 4. 11. 2026.
Pokusy a pozorování
- Michelson, A. A.; Morley, E. W. (1887): On the Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether. American Journal of Science 34, 333–345. (Kapitola 2.)
- Alväger, T. a kol. (1964): Test of the second postulate of special relativity in the GeV region. Physics Letters 12, 260–262. (Kapitola 2.)
- Ives, H. E.; Stilwell, G. R. (1938): An Experimental Study of the Rate of a Moving Atomic Clock. Journal of the Optical Society of America 28, 215–226. Botermann, B. a kol. (2014): Physical Review Letters 113, 120405. (Kapitola 6.)
- Frisch, D. H.; Smith, J. H. (1963): Measurement of the Relativistic Time Dilation Using μ-Mesons. American Journal of Physics 31, 342–355. (Kapitola 3.)
- Bailey, J. a kol. (1977): Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in a circular orbit. Nature 268, 301–305. (Kapitola 3.)
- Hafele, J. C.; Keating, R. E. (1972): Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains; Observed Relativistic Time Gains. Science 177, 166–170. (Kapitoly 3 a 7.)
- Pound, R. V.; Rebka, G. A. (1960): Apparent Weight of Photons. Physical Review Letters 4, 337–341. (Kapitola 7.)
- Vessot, R. F. C. a kol. (1980): Test of Relativistic Gravitation with a Space-Borne Hydrogen Maser. Physical Review Letters 45, 2081–2084. (Kapitoly 7 a 12.)
- Chou, C. W. a kol. (2010): Optical Clocks and Relativity. Science 329, 1630–1633. (Kapitoly 7 a 12.)
- Touboul, P. a kol. (2022): MICROSCOPE Mission: Final Results of the Test of the Equivalence Principle. Physical Review Letters 129, 121102. (Kapitola 7.)
- Dyson, F. W.; Eddington, A. S.; Davidson, C. (1920): A Determination of the Deflection of Light by the Sun's Gravitational Field… Philosophical Transactions of the Royal Society A 220, 291–333. (Kapitola 8.)
- Shapiro, I. I. (1964): Fourth Test of General Relativity. Physical Review Letters 13, 789–791. Bertotti, B.; Iess, L.; Tortora, P. (2003): A test of general relativity using radio links with the Cassini spacecraft. Nature 425, 374–376. (Kapitola 8.)
- Everitt, C. W. F. a kol. (2011): Gravity Probe B: Final Results of a Space Experiment to Test General Relativity. Physical Review Letters 106, 221101. (Kapitola 12.)
- Hulse, R. A.; Taylor, J. H. (1975): Discovery of a pulsar in a binary system. The Astrophysical Journal 195, L51–L53. Kramer, M. a kol. (2021): Strong-Field Gravity Tests with the Double Pulsar. Physical Review X 11, 041050. (Kapitola 11.)
- Walsh, D.; Carswell, R. F.; Weymann, R. J. (1979): 0957 + 561 A, B: twin quasistellar objects or gravitational lens? Nature 279, 381–384. Paczyński, B. (1986): Gravitational microlensing by the galactic halo. The Astrophysical Journal 304, 1–5. (Kapitola 11.)
- LIGO Scientific Collaboration a Virgo Collaboration (2016): Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger. Physical Review Letters 116, 061102. (2017): Gravitational Waves and Gamma-Rays from a Binary Neutron Star Merger: GW170817 and GRB 170817A. The Astrophysical Journal Letters 848, L13. (Kapitola 11.)
- Event Horizon Telescope Collaboration (2019): First M87 Event Horizon Telescope Results. I. The Astrophysical Journal Letters 875, L1. (2022): First Sagittarius A* Event Horizon Telescope Results. I. The Astrophysical Journal Letters 930, L12. (Kapitola 10.)
- GRAVITY Collaboration (2018): Detection of the gravitational redshift in the orbit of the star S2 near the Galactic centre massive black hole. Astronomy & Astrophysics 615, L15. (2020): Detection of the Schwarzschild precession in the orbit of the star S2… Astronomy & Astrophysics 636, L5. (Kapitoly 10 a 12.)
- Riess, A. G. a kol. (1998): The Astronomical Journal 116, 1009–1038. Perlmutter, S. a kol. (1999): The Astrophysical Journal 517, 565–586. Penzias, A. A.; Wilson, R. W. (1965): The Astrophysical Journal 142, 419–421. (Kapitola 12.)
Historické práce
- Einstein, A. (1905): Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Annalen der Physik 17, 891–921.
- Einstein, A. (1905): Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? Annalen der Physik 18, 639–641.
- Minkowski, H. (1909): Raum und Zeit. Physikalische Zeitschrift 10, 104–111 (přednáška z 21. 9. 1908).
- Einstein, A. (1907): Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen. Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik 4, 411–462.
- Einstein, A. (1911): Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes. Annalen der Physik 35, 898–908 (napsáno v Praze).
- Einstein, A. (1915): Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie; Die Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, 831–839 a 844–847.
- Einstein, A. (1916): Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. Annalen der Physik 49, 769–822.
- Schwarzschild, K. (1916): Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, 189–196.
- Einstein, A. (1916, 1918): Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation; Über Gravitationswellen. Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften.
- Einstein, A. (1917): Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie. Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, 142–152.
- Einstein, A. (1920, nepublikovaný rukopis): Grundgedanken und Methoden der Relativitätstheorie in ihrer Entwicklung dargestellt. The Collected Papers of Albert Einstein, sv. 7, dokument 31. Princeton University Press, 2002.
- Friedmann, A. (1922): Über die Krümmung des Raumes. Zeitschrift für Physik 10, 377–386. Lemaître, G. (1927): Annales de la Société Scientifique de Bruxelles A47, 49–59. Hubble, E. (1929): Proceedings of the National Academy of Sciences 15, 168–173.
- Einstein, A. (1936): Lens-Like Action of a Star by the Deviation of Light in the Gravitational Field. Science 84, 506–507.
- Terrell, J. (1959): Invisibility of the Lorentz Contraction. Physical Review 116, 1041–1045. Penrose, R. (1959): The apparent shape of a relativistically moving sphere. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 55, 137–139.
- Penrose, R. (1965): Gravitational Collapse and Space-Time Singularities. Physical Review Letters 14, 57–59. Hawking, S. W. (1974): Black hole explosions? Nature 248, 30–31.
Učebnice a literatura
- Taylor, E. F.; Wheeler, J. A. (1992): Spacetime Physics. 2. vydání. New York: W. H. Freeman. (Kapitoly 3–6.)
- Hartle, J. B. (2003): Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity. San Francisco: Addison-Wesley. (Kapitoly 7–12.)
- Schutz, B. (2009): A First Course in General Relativity. 2. vydání. Cambridge University Press.
- Carroll, S. M. (2004): Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. San Francisco: Addison-Wesley.
- Misner, C. W.; Thorne, K. S.; Wheeler, J. A. (1973): Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman.
- Votruba, V. (1969): Základy speciální teorie relativity. Praha: Academia. Horský, J. (1975): Úvod do teorie relativity. Praha: SNTL.
- Pais, A. (1982): „Subtle is the Lord…“: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford University Press. (Historie.)
Modelové předpoklady laboratoří
Laboratoře používají idealizace uvedené v jejich popiscích. Ve speciální relativitě: inerciální soustavy, okamžité obrátky raket, není-li zvoleno konstantní zrychlení. Gravitační efekty u Země: kulová nerotující Země, kruhové dráhy, efekty prvního řádu v \(GM/(rc^2)\) a \(v^2/c^2\). Stáčení drah v kapitole 8 je zveličené (umělá korekce \(\varepsilon\)), aby bylo vidět během několika oběhů. Černé díry jsou nerotující (Schwarzschildovy), pád je radiální z klidu, dráhy se počítají numericky metodou Rungeho–Kutty. Gravitační čočka je bodová, gravitační vlna rovinná a monochromatická se zveličenou amplitudou. Kosmologický model zanedbává záření. Všechna čísla v textu jsou spočítána z konstant tab. B.1; zaokrouhlení mohou na posledním místě lišit.