Statistika a modely

1.1Od ceny k výnosu

Základní jednotkou je výnos za dobu držby, tedy změna ceny plus vyplacené příjmy vztažené k počáteční ceně, \(R_t = (P_t - P_{t-1} + D_t)/P_{t-1}\). Výnosy navazujících období se skládají násobením a dlouhé období se převádí na roční míru. To vše podrobně vykládá kapitola 3 průvodce Investování; tady na ni navážeme otázkou, se kterou pracuje celý tento průvodce: jak s výnosy zacházet jako s daty.holding period return (HPR)

Pro statistiku jsou výhodnější logaritmické (spojitě úročené) výnosy \(r_t = \ln(1+R_t) = \ln(P_t/P_{t-1})\) bez dividend. Mají tři vlastnosti, které z nich dělají „surovinu“ statistických modelů:continuously compounded (log) return

• Sčítají se v čase. Výnos za \(T\) období je součet \(r_1 + \dots + r_T\). Součty nezávislých veličin mají jednoduchou statistiku: střední hodnota roste s \(T\), rozptyl také s \(T\) a podle centrální limitní věty (kapitola 5) se součet blíží normálnímu rozdělení.
• Nejsou omezené zdola. Jednoduchý výnos nemůže klesnout pod −100 %, logaritmický může nabývat libovolné záporné hodnoty. Model s normálně rozdělenými logaritmickými výnosy tak nikdy nevygeneruje zápornou cenu.
• Jsou souměrné. Růst ze 100 na 125 a pokles zpět na 100 je \(+22{,}3\ \%\) a \(-22{,}3\ \%\), zatímco jednoduché výnosy dávají +25 % a −20 %.

Je-li logaritmický výnos za rok normálně rozdělený se střední hodnotou \(\mu\) a směrodatnou odchylkou \(\sigma\), má jednoduchý výnos lognormální rozdělení (kapitola 4) a platí

1.2Tři průměry

Z řady výnosů \(R_1,\dots,R_n\) nebo cen lze spočítat tři různé průměry. Každý odpovídá na jinou otázku. Pro kladná čísla (ceny, poměry, hrubé výnosy \(1+R\)) mezi nimi vždy platí nerovnost \(H \le G \le A\), s rovností jen tehdy, když jsou všechny hodnoty stejné.

• Aritmetický průměr je nestranný odhad očekávaného výnosu jednoho období (kapitola 5). Proto patří do optimalizace portfolia a do modelů typu CAPM.arithmetic mean
• Geometrický průměr popisuje tempo, kterým skutečně rostl majetek investovaný po celou dobu. Patří do hodnocení minulé výkonnosti.geometric mean, compound annual growth rate (CAGR)
• Harmonický průměr se hodí na průměrování poměrů a cen, do kterých se vkládají stejné částky: průměrná nákupní cena při pravidelných nákupech za stejnou částku (průvodce Investování, oddíl 7.1) nebo P/E portfolia se stejnými vahami.harmonic mean

Useknutý a winsorizovaný průměr

Jedno extrémní pozorování dokáže aritmetický průměr posunout libovolně daleko. Useknutý průměr vynechá daný podíl nejmenších a největších hodnot, winsorizovaný průměr je nahradí nejbližší ponechanou hodnotou. Oba jsou odolnější vůči odlehlým hodnotám; pracuje s nimi kapitola 2.trimmed mean, winsorized mean

1.3Průměr z minulosti jako předpověď

Investor, který chce odhadnout konečný majetek za \(T\) let, stojí před dilematem. Složený aritmetický průměr \((1+\bar R_A)^T\) je pro jeden rok nestranný, ale pro delší horizont dává nadhodnocený odhad, protože chyba odhadu průměru se složeným úročením zvětšuje. Geometrický průměr naopak odhad podhodnocuje. Blume (1974) ukázal, že přibližně nestranný odhad složené míry na \(T\) let z historie dlouhé \(N\) let je vážený průměr obou:Blume’s estimator

Váhy nejsou žádná kosmetika. Čím delší horizont vzhledem k délce dat, tím víc rozhoduje nejistota samotného odhadu – a ta je u průměrného výnosu velká. Kapitola 5 ukáže, že ani 40 let dat neurčí průměrný výnos akcií přesněji než zhruba na ±5 procentních bodů.

1.4Anualizace a srovnatelnost

Výnos za \(m\) měsíců se převádí na roční míru jako \((1+R)^{12/m} - 1\). Čtvrtletní výnos 2,4 % odpovídá ročním 9,95 %, výnos 18 % za 30 měsíců ročním 6,84 %. Kratší období než rok se na roční míru nepřepočítává, protože by to předpokládalo, že se zbytek roku zopakuje (průvodce Investování, oddíl 3.1).annualized return

Statistiky z měsíčních dat se převádějí takto: průměr logaritmických výnosů se násobí 12, rozptyl také 12, a tedy směrodatná odchylka \(\sqrt{12}\). Násobení rozptylu platí jen pro nezávislé výnosy; při autokorelaci je třeba přidat kovarianční členy (kapitola 9).

1.5Časově a peněžně vážený výnos

Časově vážený výnos (TWR) skládá výnosy úseků mezi vklady a výběry, takže na tocích nezávisí a měří práci správce. Peněžně vážený výnos (MWR) je vnitřní výnosové procento toků investora a měří, jak se vedlo jeho penězům. Definice, řešené příklady a modifikovanou Dietzovu metodu najdete v průvodci Investování (oddíly 3.2 a 8.6).time-weighted and money-weighted return

Mezera v chování

Rozdíl \(R_{MW} - R_{TW}\) se někdy nazývá mezera v chování investora. V laboratoři nahoře má fond za osm let TWR 5,14 % ročně. Investor, který přidává 50 000 Kč po dobrých letech a vybírá po ztrátových, dosáhne MWR jen 2,30 %. Investor, který dělá opak, 11,01 %. Fond je pro oba stejný; liší se okamžiky, kdy do něj nesli peníze.behavior gap

Kolik kořenů má rovnice MWR

Rovnice pro MWR je polynom v proměnné \(x = 1/(1+R)\) a obecně se řeší numericky: půlením intervalu nebo Newtonovou metodou. Dokud tok mění znaménko jen jednou (nejdřív vklady, pak hodnota na konci), má rovnice jediný kladný kořen. Střídají-li se vklady a výběry vícekrát, může mít podle Descartova pravidla znamének víc kořenů.

1.6Hrubý, čistý, po dani a s pákou

Jeden výnos může mít mnoho podob podle toho, co se od něj odečte nebo přičte. Srovnávat lze jen čísla na stejném základě.

• Hrubý výnos je výnos před poplatky za správu, čistý výnos po nich. Fondy obvykle vykazují výnos po průběžných nákladech, ale před vstupními poplatky a daní investora.gross return, net return
• Výnos po dani odečítá daň investora. V Česku je zisk z prodeje cenných papírů u fyzické osoby osvobozený po více než 3 letech držby (časový test) nebo do úhrnu příjmů z prodejů 100 000 Kč za rok (hodnotový test); dividendy z českých zdrojů se daní srážkou 15 %. Podrobně v průvodci Daně investora.after-tax return
• Reálný výnos odečítá inflaci: \((1+R)/(1+\pi) - 1\) (průvodce Investování, oddíl 1.4).real return
• Výnos s pákou je výnos vlastního kapitálu, když je část investice financovaná úvěrem.leveraged return

\(R\) je výnos celé investice, \(V_E\) vlastní kapitál, \(V_B\) půjčené peníze a \(r_D\) úroková sazba úvěru. Páka zvětšuje výnos, když \(R \gt r_D\), a ztrátu, když \(R \lt r_D\); směrodatná odchylka výnosu vlastního kapitálu roste v poměru \(1 + V_B/V_E\).

1.7Procvičení

2.1Data a jejich uspořádání

Investiční data mají tři základní podoby. Průřezová data popisují mnoho subjektů v jednom okamžiku (P/E všech akcií indexu ke konci roku), časová řada jeden subjekt v čase (měsíční výnosy jednoho fondu) a panelová data kombinují obojí (výnosy sta fondů za deset let).cross-sectional data, time-series data, panel data

Podle měřítka se proměnné dělí na nominální (sektor, země), ordinální (rating AAA, AA, A…, kde záleží na pořadí, ale ne na vzdálenostech), intervalové (teplota ve °C) a poměrové se skutečnou nulou (cena, výnos, objem). Průměr a rozptyl mají smysl jen u intervalových a poměrových dat; u ratingu lze spočítat medián, ale ne průměr.nominal, ordinal, interval, ratio scale

Spojitá data se před kreslením rozdělí do tříd a zapíší do tabulky četností: absolutní, relativní a kumulativní četnost. Jejím obrazem je histogram. Počet tříd mění dojem: příliš málo tříd skryje tvar, příliš mnoho z něj udělá šum. Rozumný výchozí bod je zhruba \(\sqrt{n}\) tříd.frequency distribution, histogram

Data posledních let navíc často nejsou čísla: zprávy, přepisy hovorů s analytiky, satelitní snímky. Takovým nestrukturovaným datům se věnuje kapitola 10.structured and unstructured data

2.2Míry polohy

Aritmetický průměr \(\bar x\) je těžiště dat: součet odchylek od něj je nulový. Medián je prostřední hodnota seřazených dat (při sudém počtu průměr dvou prostředních), modus nejčastější hodnota nebo třída. Vážený průměr \(\sum w_ix_i\) se součtem vah 1 je například výnos portfolia z výnosů složek.mean, median, mode, weighted mean

Medián je vůči extrémům odolný, průměr ne. Kompromisem jsou useknutý průměr (vynechá daný podíl krajních hodnot) a winsorizovaný průměr (krajní hodnoty nahradí nejbližší ponechanou). Při souměrném rozdělení se průměr, medián i modus shodují; při záporné šikmosti bývá průměr pod mediánem, při kladné nad ním.trimmed mean, winsorized mean, robust statistics

2.3Kvantily a krabicový graf

Kvantil na úrovni \(y\) % (percentil) je hodnota, pod kterou leží \(y\) % dat. Kvartily dělí data na čtvrtiny, decily na desetiny, kvintily na pětiny. Statistické programy používají několik konvencí; učebnice CFA počítá polohu percentilu v seřazených datech jakoquantile, percentile, quartile, decile, quintile

a mezi sousedními hodnotami lineárně interpoluje. Mezikvartilové rozpětí \(IQR = Q_3 - Q_1\) obsahuje prostřední polovinu dat. Krabicový graf kreslí krabici od \(Q_1\) do \(Q_3\), čáru v mediánu a „vousy“ k nejkrajnějším hodnotám uvnitř hranic \(Q_1 - 1{,}5\,IQR\) a \(Q_3 + 1{,}5\,IQR\); hodnoty za nimi kreslí jednotlivě jako odlehlé.interquartile range (IQR), box-and-whisker plot

2.4Míry variability

Nejjednodušší je variační rozpětí (maximum minus minimum), které ale závisí jen na dvou krajních hodnotách. Průměrná absolutní odchylka \(\text{MAD} = \frac1n\sum|x_i - \bar x|\) je odolnější. Standardem je rozptyl a jeho odmocnina, směrodatná odchylka:range, mean absolute deviation (MAD), variance, standard deviation

Proč \(n-1\)? Odchylky od výběrového průměru jsou v průměru menší než od skutečné střední hodnoty, protože \(\bar x\) je spočítaný ze stejných dat a „přitahuje“ se k nim. Dá se ukázat, že \(E\big[\sum(x_i - \bar x)^2\big] = (n-1)\sigma^2\); dělení \(n-1\) proto dává nestranný odhad rozptylu. Číslu \(n-1\) se říká počet stupňů volnosti: z \(n\) odchylek je volných jen \(n-1\), poslední je dopočtená, protože se všechny sečtou na nulu.degrees of freedom, Bessel’s correction

Variační koeficient \(CV = s/\bar x\) vyjadřuje riziko na jednotku průměrného výnosu a umožní srovnat řady s různou úrovní. U výnosů blízkých nule je ale nestabilní a při záporném průměru nesmyslný.coefficient of variation (CV)

Čebyševova nerovnost

Pro jakékoli rozdělení s konečným rozptylem leží v pásmu průměr ± \(k\) směrodatných odchylek aspoň podíl \(1 - 1/k^2\) hodnot (\(k \gt 1\)): ve dvou směrodatných odchylkách aspoň 75 %, ve třech aspoň 88,9 %. Normální rozdělení dává 95,4 % a 99,7 %. Rozdíl ukazuje, kolik „slibuje“ předpoklad normality navíc.Chebyshev’s inequality

2.5Riziko pod cílem

Směrodatná odchylka trestá odchylky nahoru i dolů stejně. Investora ale obvykle trápí jen výnosy pod nějakým cílem \(B\): nulou, bezrizikovou sazbou, inflací. Semivariance počítá jen záporné odchylky od průměru, cílová semideviace (odchylka pod cílem) jen odchylky pod cílem \(B\):semivariance, target semideviation, downside deviation

Je to jmenovatel Sortinova poměru (průvodce Investování, oddíl 3.7). Pro dvanáct měsíců z příkladu a cíl \(B = 0\) přispívají jen čtyři záporné měsíce: \(\sqrt{(6{,}2^2 + 2{,}3^2 + 1{,}4^2 + 0{,}5^2)/11} = 2{,}04\ \%\). U souměrného rozdělení s cílem v průměru je semideviace zhruba \(s/\sqrt2\); poměr výrazně vyšší naznačuje zápornou šikmost.

2.6Šikmost a špičatost

Šikmost je třetí standardizovaný moment a měří nesouměrnost, špičatost čtvrtý a měří váhu chvostů. Normální rozdělení má šikmost 0 a špičatost 3, proto se uvádí nadbytečná špičatost \(K - 3\). Rozdělení s kladnou nadbytečnou špičatostí je leptokurtické: má víc hodnot blízko průměru i ve chvostech a méně „v ramenou“. Základní vzorce jsou v průvodci Investování (oddíl 3.4); u malých výběrů se používají verze s korekcí:skewness, excess kurtosis, leptokurtic

Pro dvanáct měsíců z příkladu vychází \(S = -1{,}23\) a \(K_E = 1{,}82\); jednoduché populační vzorce dávají −1,07 a 0,69. Na krátké řadě se verze výrazně liší a obě jsou velmi nepřesné: jediný měsíc −6,2 % tvoří většinu šikmosti. Spolehlivý odhad šikmosti a špičatosti potřebuje stovky pozorování.

Odkud se berou tlusté chvosty: směs rozdělení

Laboratoř nahoře generuje výnosy jako směs: s pravděpodobností \(1-p\) klidný měsíc z \(N(\mu_1,\sigma_1^2)\), s pravděpodobností \(p\) krizový z \(N(\mu_2,\sigma_2^2)\). Každá složka je normální, směs už ne. Její momenty plynou z pravidla o celkové střední hodnotě (kapitola 3):mixture distribution

2.7Kovariance a korelace

Výběrová kovariance \(s_{XY} = \frac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)\) měří společný pohyb dvou řad, ale její velikost závisí na jednotkách. Pearsonova korelace ji normuje do intervalu \([-1, 1]\):sample covariance, Pearson correlation coefficient

\(d_i\) je rozdíl pořadí \(i\)-tého pozorování v obou řadách. Spearmanova pořadová korelace je Pearsonova korelace pořadí: zachytí jakýkoli monotónní vztah, nejen lineární, a je odolná vůči odlehlým hodnotám.Spearman rank correlation

Korelace má tři známé slabiny. Měří jen lineární vztah: výnos opční strategie může na trhu záviset silně, a přesto mít korelaci blízkou nule. Je citlivá na odlehlé hodnoty. A korelace není příčinnost: dvě rostoucí časové řady (počet registrovaných aut a cena zlata) mohou mít vysokou korelaci bez jakékoli souvislosti; jde o zdánlivou korelaci, kterou kapitola 9 rozebere u časových řad.spurious correlation

2.8Procvičení

3.1Jevy a pravděpodobnost

Náhodný jev je výsledek nebo skupina výsledků pokusu, jehož výsledek předem neznáme: „index letos klesne“, „emitent nesplatí“. Pravděpodobnost \(P(A)\) je číslo mezi 0 a 1 a pravděpodobnosti všech vzájemně se vylučujících a dohromady vyčerpávajících jevů se sečtou na 1.event, probability, mutually exclusive, exhaustive

Odkud pravděpodobnost bereme? Empirická pravděpodobnost je relativní četnost v datech (v kolika letech ze sta index klesl), apriorní plyne z logiky situace (hod mincí), subjektivní je osobní úsudek (analytik odhaduje převzetí firmy na 30 %). Investiční rozhodování používá všechny tři, často bez rozlišení.empirical, a priori, subjective probability

Sázkové kurzy a zprávy často uvádějí šanci \(P/(1-P)\): pravděpodobnost 20 % odpovídá šanci 1 : 4. Šance se hodí k Bayesově větě a k logistické regresi (kapitola 8).odds

První vzorec je pravidlo sčítání (odečítá se průnik, aby se nepočítal dvakrát), druhý pravidlo násobení, třetí doplněk. Pro neslučitelné jevy je průnik prázdný a pravděpodobnosti se prostě sčítají.

3.2Podmíněná pravděpodobnost a nezávislost

Podmíněná pravděpodobnost \(P(A\mid B) = P(A\cap B)/P(B)\) je pravděpodobnost jevu \(A\), víme-li, že nastal \(B\). Jevy jsou nezávislé, když \(P(A\mid B) = P(A)\), tedy \(P(A\cap B) = P(A)P(B)\): znalost jednoho nemění pravděpodobnost druhého.conditional probability, independence

Je-li \(B_1,\dots,B_k\) úplný systém neslučitelných jevů (třeba scénáře ekonomiky), platí věta o celkové pravděpodobnosti:total probability rule

3.3Stromy a podmíněná očekávání

Pravděpodobnostní strom rozkládá nejistotu do kroků: nejdřív scénář ekonomiky, pak výsledek investice v daném scénáři. Pravděpodobnost koncového uzlu je součin pravděpodobností na cestě k němu. Střední hodnota se počítá „zezadu“: nejdřív podmíněné střední hodnoty v každém scénáři, pak jejich vážený průměr.probability tree, conditional expectation

Rozklad rozptylu na „průměr rozptylů“ a „rozptyl průměrů“ se jmenuje věta o celkovém rozptylu. Stejný rozklad vysvětluje, proč směs rozdělení z kapitoly 2 má tlustší chvosty než každá její složka.law of total variance

3.4Bayesova věta

Bayesova věta obrací podmíněnou pravděpodobnost: z toho, jak pravděpodobný je signál při platnosti hypotézy, spočítá, jak pravděpodobná je hypotéza po pozorování signálu.Bayes’ theorem

\(P(H)\) je apriorní pravděpodobnost hypotézy, \(P(H\mid S)\) aposteriorní. Jmenovatel je celková pravděpodobnost signálu. Ve tvaru se šancemi je věta ještě průhlednější: aposteriorní šance = apriorní šance × věrohodnostní poměr, kde věrohodnostní poměr \(P(S\mid H)/P(S\mid\bar H)\) říká, kolikrát je signál pravděpodobnější, když hypotéza platí.prior, posterior, likelihood ratio

3.5Kovariance ze sdruženého rozdělení

Kapitola 2 počítala kovarianci z historických dat. V modelech se často počítá ze scénářů: sdružené rozdělení přiřazuje pravděpodobnost každé kombinaci výsledků dvou veličin.joint probability distribution

Užitečná pravidla: \(\operatorname{Var}(aX + bY) = a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 + 2ab\operatorname{Cov}(X,Y)\) a \(\operatorname{Cov}(X,X) = \operatorname{Var}(X)\). Nulová kovariance neznamená nezávislost: veličiny \(X\) a \(X^2\) při souměrném \(X\) mají kovarianci nulovou, a přesto je jedna funkcí druhé.

3.6Portfolio a kovarianční matice

Pro \(n\) aktiv se rozptyl portfolia zapisuje maticově \(\sigma_p^2 = \mathbf w^{\top}\Sigma\,\mathbf w\), kde \(\Sigma\) je kovarianční matice s rozptyly na diagonále (průvodce Investování, oddíl 4.3). Pro statistika je důležité, kolik čísel je potřeba odhadnout: \(n\) rozptylů a \(n(n-1)/2\) kovariancí. Pro 50 akcií je to 50 rozptylů a 1 225 kovariancí – z dat, která mají často jen 60 měsíců. Proto se kovarianční matice odhadují pomocí faktorových modelů (kapitola 8) nebo se „smršťují“ k jednoduššímu cíli.covariance matrix, shrinkage

3.7Počítání možností

Kolik je možností, se dozvíme z kombinatoriky. Pravidlo násobení: má-li první krok \(n_1\) možností a druhý \(n_2\), je kombinací \(n_1n_2\). Počet uspořádání \(n\) objektů je \(n!\). Počet výběrů \(k\) objektů z \(n\) jemultiplication rule, factorial, combination, permutation

Pět fondů z dvaceti lze vybrat \(\binom{20}{5} = 15\,504\) způsoby; záleží-li na pořadí (kdo je první, druhý…), je možností 1 860 480. Strategie se třemi parametry, z nichž každý může mít deset hodnot, má 1 000 variant. Tady začíná prohledávání dat: kdo vyzkouší tisíc variant, najde několik „úspěšných“ i v čistém šumu. Kapitoly 6 a 10 ukážou, kolik.data snooping

3.8Procvičení

4.1Náhodné veličiny a jejich rozdělení

Náhodná veličina přiřazuje výsledkům pokusu čísla. Diskrétní nabývá spočetně mnoha hodnot (počet selhání v portfoliu úvěrů) a popisuje ji pravděpodobnostní funkce \(p(x) = P(X = x)\). Spojitá nabývá hodnot z intervalu (výnos) a popisuje ji hustota \(f(x)\): pravděpodobnost jednoho přesného bodu je nulová a pravděpodobnost intervalu je plocha pod hustotou. U obou je distribuční funkce \(F(x) = P(X \le x)\).random variable, probability mass function, probability density function, cumulative distribution function

Nejjednodušší je rovnoměrné rozdělení. Diskrétní přiřazuje \(n\) hodnotám stejnou pravděpodobnost \(1/n\) (hod kostkou). Spojité na intervalu \([a, b]\) má hustotu \(1/(b-a)\), střední hodnotu \((a+b)/2\) a rozptyl \((b-a)^2/12\). Je základem simulací: generátor náhodných čísel vyrábí rovnoměrná čísla z \([0, 1)\) a z nich se transformací získá jakékoli jiné rozdělení.discrete and continuous uniform distribution

4.2Binomické rozdělení a binomický strom

Bernoulliho pokus má dva výsledky: úspěch s pravděpodobností \(p\) a neúspěch. Počet úspěchů v \(n\) nezávislých pokusech má binomické rozdělení:Bernoulli trial, binomial distribution

Ve financích se binomické rozdělení objevuje dvakrát. Jednou jako model počtu „úspěchů“ (kolik let ze deseti fond porazí trh), podruhé jako binomický strom ceny: cena v každém kroku vzroste \(u\)-krát s pravděpodobností \(p\), nebo klesne \(d\)-krát. Po \(n\) krocích s \(k\) růsty je cena \(S_0u^kd^{n-k}\). Je-li \(d = 1/u\), strom se „slévá“: růst a pokles vedou na stejnou cenu jako pokles a růst, takže po \(n\) krocích existuje jen \(n+1\) různých cen.binomial tree, recombining tree

4.3Normální rozdělení

Normální rozdělení \(N(\mu,\sigma^2)\) je souměrné kolem \(\mu\), plně ho určují dva parametry a má hustotu \(f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}\). Každou normální veličinu lze standardizovat, \(Z = (X - \mu)/\sigma\), a pravděpodobnosti číst z tabulky normovaného rozdělení \(N(0,1)\) v příloze C.normal distribution, standardization, z-score

Tři vlastnosti dělají z normálního rozdělení pracovního koně statistiky: lineární kombinace normálních veličin je normální (výnos portfolia z normálních aktiv je normální), podle centrální limitní věty (kapitola 5) se k němu blíží průměry a součty téměř čehokoli a z něj se odvozují rozdělení t, χ² a F pro testy. Ze 68–95–99,7 % pozorování leží v pásmu ±1, ±2 a ±3 směrodatné odchylky.

Vícerozměrné normální rozdělení \(n\) aktiv určuje \(n\) středních hodnot, \(n\) rozptylů a \(n(n-1)/2\) korelací. Pro 50 aktiv je to 1 325 parametrů. To je důvod, proč se v praxi korelace odhadují přes faktorové modely.multivariate normal distribution

4.4Lognormální rozdělení

Veličina je lognormální, když je její logaritmus normální. Cena akcie, jejíž logaritmické výnosy jsou normální, je lognormální: nemůže klesnout pod nulu a je zešikmená doprava. Je-li \(\ln(S_T/S_0) \sim N(\mu T, \sigma^2T)\), pak medián ceny je \(S_0e^{\mu T}\) a střední hodnota \(S_0e^{\mu T + \sigma^2T/2}\), vyšší než medián. Převod parametrů jednoduchého výnosu na logaritmické je v průvodci Investování (oddíl 3.4).lognormal distribution

4.5Rozdělení t, χ² a F

Z normálních veličin se skládají tři rozdělení, která potřebují statistické testy (kapitola 6). Jsou-li \(Z, Z_1, \dots, Z_\nu\) nezávislé \(N(0,1)\):

• Chí-kvadrát s \(\nu\) stupni volnosti je součet čtverců \(\chi^2_\nu = Z_1^2 + \dots + Z_\nu^2\). Je nezáporné, zešikmené doprava, se střední hodnotou \(\nu\) a rozptylem \(2\nu\). Výběrový rozptyl normálních dat splňuje \((n-1)s^2/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}\).chi-square distribution
• Studentovo t je \(t_\nu = Z/\sqrt{\chi^2_\nu/\nu}\): normální veličina dělená odhadnutou směrodatnou odchylkou. Je souměrné, s tlustšími chvosty než normální; rozptyl \(\nu/(\nu-2)\) pro \(\nu \gt 2\), nadbytečná špičatost \(6/(\nu-4)\) pro \(\nu \gt 4\). S rostoucím \(\nu\) se blíží normálnímu.Student’s t-distribution
• F je podíl dvou nezávislých chí-kvadrátů dělených svými stupni volnosti, \(F = (\chi^2_{\nu_1}/\nu_1)/(\chi^2_{\nu_2}/\nu_2)\). Porovnává rozptyly a testuje regresní modely.F-distribution

Při malém počtu pozorování je třeba „vzdálit se“ od průměru víc, aby byl výsledek přesvědčivý. Další hodnoty t, χ² a F jsou v příloze C.

4.6Simulace Monte Carlo

Simulace Monte Carlo nahrazuje výpočet experimentem: z modelu se vylosují tisíce scénářů a hledaná veličina se odečte ze simulovaného rozdělení. Postup má pět kroků: (1) určit veličinu, která nás zajímá, (2) zvolit model a jeho parametry, (3) vygenerovat náhodné vstupy, (4) spočítat výsledek pro každý scénář, (5) shrnout výsledky (průměr, kvantily, pravděpodobnost).Monte Carlo simulation

Odhad pravděpodobnosti \(p\) z \(N\) simulací je podíl úspěchů a jeho směrodatná chyba je

Přesnost roste jen s odmocninou počtu simulací: desetkrát víc simulací znamená zhruba trojnásobnou přesnost. Pro \(p = 4{,}4\ \%\) (ztráta po 20 letech v modelu akcií) dává 1 000 simulací směrodatnou chybu 0,65 p. b., 10 000 simulací 0,21 p. b. Má-li chyba klesnout na 0,1 p. b. při \(p \approx 5\ \%\), je potřeba \(0{,}05\cdot 0{,}95/0{,}001^2 = 47\,500\) simulací.

Monte Carlo umí to, co vzorce ne: závislost na cestě (výběry, rebalancování, bariéry), libovolná rozdělení a nelineární nástroje. Jeho slabinou je model: simulace s normálními vstupy tlusté chvosty nevyrobí. Historická simulace místo modelu losuje ze skutečné minulosti; tlusté chvosty zachová, ale jen ty, které už nastaly. Bootstrap, její statistický příbuzný, rozebírá kapitola 5.historical simulation

4.7Tlusté chvosty

Mandelbrot (1963) ukázal na cenách bavlny, že změny cen mají mnohem víc extrémů, než připouští normální rozdělení, a navrhl jako model stabilní rozdělení s nekonečným rozptylem. Dnes se tlusté chvosty obvykle modelují Studentovým t, směsí rozdělení (kapitola 2) nebo proměnlivou volatilitou GARCH (kapitola 9), která tlusté chvosty vyrábí i z normálních šoků.fat tails, stable Paretian distribution

Rozdělení t přeškálované na jednotkový rozptyl; 252 obchodních dní v roce, dny nezávislé.

Tabulka ukazuje, proč je nebezpečné kalibrovat riziko na „běžných“ dnech. Kolem dvou směrodatných odchylek jsou si rozdělení podobná, ba t dává o chlup menší pravděpodobnost. Rozdíl vzniká až v chvostu, kde je dat nejméně: při čtyřech σ dává t se třemi až pěti stupni volnosti padesát- až stokrát vyšší pravděpodobnost, i s deseti stupni skoro dvacetkrát vyšší. Pád amerického indexu o 22,6 % 19. října 1987 odpovídal při denní volatilitě kolem 1 % zhruba dvaceti směrodatným odchylkám; normální rozdělení takovému dni přisuzuje pravděpodobnost řádu \(10^{-89}\).

QQ graf

Kvantilový graf vynáší seřazená data proti kvantilům teoretického rozdělení. Normální data leží na přímce. Tlusté chvosty se projeví jako „esovitý“ tvar: levý konec padá pod přímku, pravý stoupá nad ni. Je to nejrychlejší vizuální test normality; formální testy (Jarqueův–Berův) jsou v kapitole 6.quantile–quantile (QQ) plot

Kvantil s opravou na šikmost a špičatost

Cornishův–Fisherův rozvoj upravuje normální kvantil \(z\) podle šikmosti \(S\) a nadbytečné špičatosti \(K\):Cornish–Fisher expansion

4.8Procvičení

5.1Populace a výběr

Populace je celek, který nás zajímá (všechny možné měsíční výnosy trhu, všechny fondy na trhu), výběr je jeho pozorovaná část. Charakteristika populace je parametr (\(\mu\), \(\sigma\)), charakteristika výběru statistika (\(\bar x\), \(s\)). Rozdíl mezi nimi je výběrová chyba.population, sample, parameter, statistic, sampling error

• Prostý náhodný výběr: každý prvek má stejnou šanci. Systematický výběr bere každý \(k\)-tý prvek.simple random sampling, systematic sampling
• Stratifikovaný výběr rozdělí populaci do skupin (sektor, splatnost, rating) a vybírá z každé úměrně. Takto se sestavuje portfolio, které má sledovat dluhopisový index s tisíci emisemi, aniž by je drželo všechny.stratified random sampling
• Shlukový výběr vybere celé skupiny (několik regionů) a v nich všechny nebo náhodné prvky. Je levnější, ale přesnost bývá nižší.cluster sampling
• Nepravděpodobnostní výběry – podle dostupnosti nebo podle úsudku odborníka – jsou rychlé, ale zkreslené výběrem.convenience sampling, judgmental sampling

U časových řad výnosů je „populace“ abstraktní: všechny výnosy, které by proces generující trh mohl vyprodukovat. Historie je jediný výběr z ní a nedá se zopakovat. Proto je tak důležité vědět, jak přesný odhad z jediné historie je.

5.2Výběrové rozdělení a centrální limitní věta

Kdybychom mohli historii mnohokrát zopakovat, dostali bychom pokaždé jiný průměr. Rozdělení těchto průměrů je výběrové rozdělení průměru. Jeho směrodatná odchylka je směrodatná chyba:sampling distribution, standard error

Centrální limitní věta říká, že pro nezávislé stejně rozdělené veličiny s konečným rozptylem se výběrový průměr s rostoucím \(n\) blíží normálnímu rozdělení \(N(\mu, \sigma^2/n)\), ať je rozdělení jednotlivých pozorování jakékoli. V praxi stačí \(n \ge 30\); při silné šikmosti nebo tlustých chvostech víc. Na centrální limitní větě stojí intervaly spolehlivosti i testy z kapitoly 6.central limit theorem (CLT)

5.3Vlastnosti dobrého odhadu

Bodový odhad je jedno číslo, intervalový odhad rozpětí. Dobrý bodový odhad má tři vlastnosti:point estimate, interval estimate

• Nestrannost: jeho střední hodnota se rovná parametru. Výběrový průměr je nestranný, výběrový rozptyl s dělením \(n-1\) také (kapitola 2).unbiasedness
• Vydatnost: mezi nestrannými odhady má nejmenší rozptyl. Pro normální data je průměr vydatnější než medián: medián má rozptyl zhruba \(\pi/2 \approx 1{,}57\)krát větší.efficiency
• Konzistence: s rostoucím výběrem se odhad blíží parametru.consistency

5.4Intervaly spolehlivosti

Interval spolehlivosti na hladině \(1-\alpha\) je rozpětí, které při opakování výběru pokryje skutečný parametr v \(100(1-\alpha)\ \%\) případů. Pro průměr:confidence interval

V praxi skoro vždy volatilitu jen odhadujeme, proto se používá Studentovo t s \(n-1\) stupni volnosti; pro velké \(n\) splývá s normálním. Kritické hodnoty jsou v příloze C. Potřebná velikost výběru pro požadovanou polovinu šířky intervalu \(E\) je \(n = (z_{\alpha/2}\,\sigma/E)^2\).

5.5Průměr se odhaduje špatně, volatilita dobře

Merton (1980) upozornil na asymetrii, která má pro investory velké důsledky. Je-li roční volatilita \(\sigma\) a máme \(T\) let dat, je směrodatná chyba odhadu ročního průměrného výnosu \(\sigma/\sqrt T\) bez ohledu na frekvenci dat. Průměr denních výnosů vynásobený 252 je totiž jen celkový výnos za \(T\) let dělený \(T\) a ten závisí jen na první a poslední ceně. Naopak volatilitu zpřesňuje každé další pozorování: její směrodatná chyba je přibližně \(\sigma/\sqrt{2n}\), kde \(n\) je počet pozorování.Merton (1980), estimation risk

Aby byl 95% interval průměrného výnosu široký jen ±1 p. b., bylo by potřeba \((1{,}96\cdot 16)^2 = 983\) let dat; pro směrodatnou chybu 1 p. b. 256 let. Volatilitu přitom zná pět let denních dat (1 260 pozorování) se směrodatnou chybou 0,32 p. b. a dvacet let měsíčních dat s chybou 0,73 p. b.

5.6Bootstrap a jackknife

Pro průměr máme vzorec. Pro medián, Sharpeho poměr nebo 5% kvantil vzorec buď neexistuje, nebo stojí na předpokladech, kterým nevěříme. Efron (1979) navrhl bootstrap: z dat se mnohokrát losuje s vracením výběr stejné velikosti, pro každý se spočítá statistika a rozptyl těchto hodnot odhaduje její směrodatnou chybu. Kvantily bootstrapových hodnot dávají percentilový interval spolehlivosti. Starší jackknife postupně vynechává po jednom pozorování.bootstrap, resampling with replacement, jackknife

Jak přesný je Sharpeho poměr

Pro nezávislé normální výnosy odvodil Lo (2002) přibližnou směrodatnou chybu odhadu Sharpeho poměru z \(n\) pozorování:

Strategie s ročním Sharpeho poměrem 0,5 změřeným z 10 let ročních dat má směrodatnou chybu 0,34. S měsíčními daty (měsíční poměr \(0{,}5/\sqrt{12} = 0{,}144\), \(n = 120\)) je chyba 0,092 měsíčně, tedy 0,32 ročně: frekvence dat skoro nepomůže, protože Sharpeho poměr obsahuje průměr. Při autokorelaci výnosů (vyhlazené ocenění, kapitola 9) je skutečná nejistota ještě větší. Pro závislá data se používá blokový bootstrap, který losuje celé souvislé úseky.block bootstrap

5.7Zkreslení výběru

Statistika ověří, jak velká je náhodná chyba. Systematickou chybu, kterou do dat zanesl způsob jejich pořízení, neodhalí. Nejčastější zkreslení investičních studií:

• Zkreslení přežitím: databáze obsahuje jen fondy nebo firmy, které existují dnes; zrušené a sloučené (obvykle ty horší) chybí (Brown a kol., 1992).survivorship bias
• Zkreslení zpětným doplněním: fond vstoupí do databáze i s historií až poté, co se mu dařilo.backfill bias
• Výhled do budoucnosti: studie používá údaj, který v daném okamžiku ještě nebyl znám (roční zisky zveřejněné až v březnu, dnešní složení indexu).look-ahead bias
• Prohledávání dat: vyzkouší se mnoho modelů na stejných datech a zveřejní se ten nejlepší. Významnost pak neznamená nic (kapitoly 6 a 10).data snooping, data mining bias
• Zkreslení časovým obdobím: výsledek platí pro zvolené období, ne obecně; jedno desetiletí může být výjimečné.time-period bias

5.8Procvičení

6.1Postup testu

Test hypotézy má pevný postup:

1. Formulovat nulovou hypotézu \(H_0\) (obvykle „žádný efekt“: alfa je nulová, korelace je nulová) a alternativní hypotézu \(H_a\), kterou chceme prokázat.null hypothesis, alternative hypothesis
2. Zvolit testovou statistiku a její rozdělení za platnosti \(H_0\) (t, z, χ², F).test statistic
3. Zvolit hladinu významnosti \(\alpha\), obvykle 5 % nebo 1 %.level of significance
4. Stanovit rozhodovací pravidlo: kritické hodnoty, za nimiž \(H_0\) zamítneme.critical value, rejection region
5. Spočítat statistiku z dat a rozhodnout.
6. Posoudit, zda je výsledek významný i ekonomicky: alfa 0,3 % ročně může být statisticky významná, a přesto ji sežerou daně a náklady.economic significance

Oboustranný test (\(H_a\!: \mu \ne 0\)) dělí \(\alpha\) do dvou chvostů, kritická hodnota normálního testu na 5 % je ±1,96. Jednostranný test (\(H_a\!: \mu \gt 0\)) dává celé \(\alpha\) do jednoho chvostu, kritická hodnota je 1,645. Hypotéza, kterou chceme prokázat, patří do \(H_a\): „zamítnout \(H_0\)“ je silné tvrzení, „nezamítnout \(H_0\)“ jen přiznání, že důkaz nestačí.two-tailed test, one-tailed test

6.2Chyby, síla a p-hodnota

Hladina významnosti je pravděpodobnost chyby I. druhu, kterou si předem povolíme. Snížením \(\alpha\) se zvýší \(\beta\): přísnější soud odsoudí méně nevinných, ale pustí víc viníků. Obě chyby současně sníží jen víc dat. Síla testu \(1-\beta\) je pravděpodobnost, že skutečný efekt odhalíme; závisí na velikosti efektu, šumu, počtu pozorování a na \(\alpha\).Type I error, Type II error, power of a test

p-hodnota je nejmenší hladina významnosti, na které bychom \(H_0\) zamítli. Jinak: pravděpodobnost, že by za platnosti \(H_0\) vyšla statistika aspoň tak extrémní jako ta pozorovaná. Zamítáme, když \(p \lt \alpha\).p-value

6.3Test průměru: je alfa správce skutečná?

Testová statistika pro průměr s odhadnutou směrodatnou odchylkou má Studentovo rozdělení s \(n-1\) stupni volnosti:t-test of a mean

Vztah \(t \approx IR\sqrt T\) je klíčem k celé kapitole. Informační poměr 0,5 se považuje za dobrý (průvodce Investování, oddíl 4.7); aby jeho t-statistika v průměru dosáhla 2, je potřeba \((2/0{,}5)^2 = 16\) let.

6.4Kolik let potřebujete

Má-li správce skutečný informační poměr \(IR\), je t-statistika po \(T\) letech přibližně normální se střední hodnotou \(IR\sqrt T\). Síla oboustranného testu a počet let potřebný pro sílu \(1-\beta\):

\(T^{*} = \big((1{,}96 + 0{,}8416)\cdot TE/\alpha\big)^2\); TE je sledovací chyba ročně.

Správce s alfou 2 % a sledovací chybou 6 % (IR 0,33) má po deseti letech sílu testu jen 18 %, po třiceti 45 %. K sílě 80 % potřebuje 71 let. Přitom alfa 2 % ročně by byla pro investora velmi cenná. Z toho plyne nepohodlný závěr: výsledky jednotlivého správce skoro nikdy nestačí k tomu, aby šlo schopnost prokázat, ani k tomu, aby šla vyloučit. Rozhodnutí o aktivní správě proto musí stát i na jiných argumentech: nákladech, procesu, ekonomické logice strategie.

6.5Rozdíl dvou průměrů

Jsou-li dva výběry nezávislé a předpokládáme-li stejný rozptyl, použije se sdružený rozptyl:pooled variance t-test

Jsou-li výběry párové (dva fondy ve stejných měsících), je správné testovat průměr rozdílů \(d_i = x_{1i} - x_{2i}\): \(t = \bar d/(s_d/\sqrt n)\) s \(n-1\) stupni volnosti. Párový test odstraní společný vliv trhu a bývá mnohem silnější.paired comparisons test

6.6Testy rozptylu a normality

Rozptyl jednoho výběru se testuje statistikou \(\chi^2 = (n-1)s^2/\sigma_0^2\) s \(n-1\) stupni volnosti; dva rozptyly podílem \(F = s_1^2/s_2^2\) (větší rozptyl v čitateli) s \((n_1-1, n_2-1)\) stupni volnosti. Oba testy silně spoléhají na normalitu dat.chi-square test of variance, F-test of equal variances

Normalitu výnosů testuje Jarqueův–Berův test ze šikmosti a nadbytečné špičatosti: \(JB = \frac n6\big(S^2 + K_E^2/4\big)\), za normality přibližně \(\chi^2_2\). Pro 120 měsíců se šikmostí −0,6 a nadbytečnou špičatostí 2,0 je \(JB = 20\cdot(0{,}36 + 1) = 27{,}2\) proti kritické hodnotě 5,99: normalitu zamítáme.Jarque–Bera test

6.7Korelace a nezávislost

Nulová korelace se testuje statistikou s \(n-2\) stupni volnosti:test of correlation

Korelace 0,30 z 36 měsíců dává \(t = 0{,}30\sqrt{34}/\sqrt{0{,}91} = 1{,}83\) proti kritické hodnotě 2,03: nevýznamná. Při 36 pozorováních musí korelace přesáhnout 0,33, aby byla významná na 5 %. Stejný test lze použít i pro Spearmanovu korelaci při \(n \gt 30\).

Dvě kategoriální proměnné se testují testem nezávislosti χ² v kontingenční tabulce: \(\chi^2 = \sum (O_{ij} - E_{ij})^2/E_{ij}\), kde \(E_{ij}\) je četnost očekávaná při nezávislosti (součet řádku krát součet sloupce děleno celkem), se \((r-1)(c-1)\) stupni volnosti.chi-square test of independence, contingency table

6.8Mnohonásobné testování

Test na hladině 5 % se mýlí v 5 % případů, kdy platí \(H_0\). Kdo provede \(N\) nezávislých testů bez skutečného efektu, najde aspoň jeden „významný“ s pravděpodobností \(1 - 0{,}95^N\): pro 20 testů 64 %, pro 100 testů 99,4 %. Ve financích, kde se na stejných datech testují tisíce strategií, je to pravidlo, ne výjimka.multiple testing, family-wise error rate

• Bonferroniho oprava testuje každou hypotézu na hladině \(\alpha/N\). Pro 20 testů je to 0,25 % a kritická hodnota oboustranného testu 3,02.Bonferroni correction
• Kontrola podílu falešných objevů (Benjamini a Hochberg, 1995) seřadí p-hodnoty a připouští, že malá část objevů bude falešná; je méně přísná a silnější.false discovery rate (FDR)

Harvey, Liu a Zhu (2016) zmapovali stovky faktorů, které měly vysvětlovat výnosy akcií, a ukázali, že při tolika pokusech je obvyklý práh \(t \gt 2\) příliš nízký. Nový faktor by měl mít t-statistiku nad 3,0, což odpovídá oboustranné p-hodnotě 0,27 %; mnoho publikovaných objevů je podle nich pravděpodobně falešných.Harvey, Liu & Zhu (2016)

6.9Neparametrické testy

Neparametrické testy nepředpokládají konkrétní rozdělení (často pracují s pořadím nebo znaménky). Hodí se pro data s odlehlými hodnotami, pro malé výběry z nenormálních rozdělení a pro ordinální data. Platí za to menší silou, když data normální jsou.nonparametric tests

• Znaménkový test: kolikrát ze \(n\) byl výsledek kladný; za \(H_0\) binomické rozdělení s \(p = 0{,}5\).sign test
• Wilcoxonův test pro párové rozdíly (pořadí absolutních hodnot se znaménky) a Mannův–Whitneyův test pro dva nezávislé výběry.Wilcoxon signed-rank test, Mann–Whitney U test
• Test sérií náhodnosti posloupnosti (střídání nadprůměrných a podprůměrných let) a Spearmanova korelace.runs test

6.10Procvičení

7.1Model a metoda nejmenších čtverců

Jednoduchá lineární regrese vysvětluje závislou proměnnou \(Y\) jednou nezávislou proměnnou \(X\):simple linear regression, dependent variable, independent variable

\(b_0\) je úrovňová konstanta (průsečík), \(b_1\) sklon a \(\varepsilon_i\) reziduum (chyba). Metoda nejmenších čtverců (OLS) volí přímku tak, aby součet čtverců reziduí \(\sum(Y_i - \hat Y_i)^2\) byl nejmenší. Přímka vždy prochází bodem \((\bar X, \bar Y)\).intercept, slope, residual, ordinary least squares (OLS)

V investicích je nejznámější tržní model \(R_{i,t} = \alpha_i + \beta_iR_{m,t} + \varepsilon_{i,t}\): sklon je beta akcie vůči trhu (průvodce Investování, oddíl 4.6), konstanta je výnos nevysvětlený trhem. Používají-li se nadvýnosy nad bezrizikovou sazbou, \(R_i - R_f = \alpha_i + \beta_i(R_m - R_f) + \varepsilon_i\), je konstanta Jensenova alfa.market model, Jensen’s alpha

7.2Předpoklady

1. Linearita: vztah mezi \(X\) a \(Y\) je lineární (v parametrech).
2. Homoskedasticita: rozptyl reziduí je stejný pro všechna pozorování.homoskedasticity
3. Nezávislost: rezidua spolu nekorelují (u časových řad žádná autokorelace).
4. Normalita reziduí: potřebná pro přesné t- a F-testy v malých výběrech; ve velkých výběrech ji nahradí centrální limitní věta.

Porušení se nejlépe pozná z grafu reziduí: vějíř (rozptyl roste s \(X\)) značí heteroskedasticitu, vlny v čase autokorelaci, oblouk nelinearitu. Co s tím, ukáže kapitola 8.

7.3Rozklad rozptylu, R² a F-test

Celkový součet čtverců se rozkládá na vysvětlenou a nevysvětlenou část, \(SST = SSR + SSE\):total, regression and error sum of squares; ANOVA

Koeficient determinace \(R^2\) je podíl rozptylu \(Y\) vysvětlený modelem; v jednoduché regresi se rovná čtverci korelace. Směrodatná chyba odhadu (SEE) je směrodatná odchylka reziduí; u tržního modelu je to specifické riziko akcie. F-test testuje, zda model vysvětluje víc než nic; v jednoduché regresi je \(F = t^2\) pro sklon.coefficient of determination, standard error of the estimate (SEE)

7.4Testy a intervaly koeficientů

7.5Předpověď

Předpověď \(\hat Y = \hat b_0 + \hat b_1X\) má nejistotu ze dvou zdrojů: z nepřesných koeficientů a z nového rezidua. Interval předpovědi je proto vždy širší než interval pro přímku a rozšiřuje se dál od průměru \(\bar X\):prediction interval

7.6Funkční tvary

Lineární regrese je lineární v parametrech, ne nutně v proměnných. Logaritmováním lze modelovat i jiné tvary:functional forms: log-lin, lin-log, log-log

• Log-lin \(\ln Y = b_0 + b_1X\): zvýšení \(X\) o jednotku změní \(Y\) o \((e^{b_1} - 1)\cdot 100\ \%\). Hodí se pro růst v čase (exponenciální trend, kapitola 9).
• Lin-log \(Y = b_0 + b_1\ln X\): zvýšení \(X\) o 1 % změní \(Y\) zhruba o \(b_1/100\) jednotek.
• Log-log \(\ln Y = b_0 + b_1\ln X\): \(b_1\) je elasticita. S \(b_1 = 0{,}8\) znamená o 10 % vyšší tržní kapitalizace o \(1{,}1^{0{,}8} - 1 = 7{,}9\ \%\) vyšší objem obchodů.elasticity

Volba tvaru se posuzuje podle grafu reziduí, \(R^2\) (srovnatelné jen při stejné závislé proměnné), F-statistiky a SEE.

7.7Beta v praxi

Odhad bety závisí na volbách, které nejsou statistické, ale mají velký vliv: délka okna (obvykle 2–5 let), frekvence (denní, týdenní, měsíční), volba tržního indexu a toho, zda se použijí nadvýnosy. Denní data dávají víc pozorování, ale u méně likvidních akcií betu podhodnocují, protože jejich ceny reagují na trh se zpožděním (nesynchronní obchodování).estimation window, nonsynchronous trading

\(SE(\hat\beta) \approx \sigma_\varepsilon/(\sigma_m\sqrt n)\) s volatilitami převedenými na frekvenci dat. U bety (sklonu) frekvence pomáhá, na rozdíl od průměru.

Odhadnuté bety mají sklon „vracet se“ k 1: extrémní odhad je zčásti chyba odhadu a zčásti skutečná vlastnost, která se mění. Blume (1971) to ukázal na amerických akciích; z toho vychází běžná praktická úprava upravené bety \(\beta_{\text{upr}} = \tfrac23\hat\beta + \tfrac13\cdot 1\). Odhad 1,6 se upraví na 1,40, odhad 0,5 na 0,67. Statisticky je to smrštění odhadu k průměru celé populace (bayesovská myšlenka z kapitoly 3).adjusted beta, Blume adjustment, shrinkage

7.8Procvičení

8.1Model a interpretace

Vícenásobná regrese vysvětluje \(Y\) několika proměnnými:multiple regression

Každý koeficient je parciální sklon: o kolik se změní \(Y\), když se \(X_j\) zvýší o jednotku a ostatní proměnné zůstanou stejné. Proto se koeficient téže proměnné v jednoduché a vícenásobné regresi může lišit, pokud jsou proměnné navzájem korelované. K předpokladům z kapitoly 7 přibývá jeden: žádná nezávislá proměnná není přesnou lineární kombinací ostatních.partial slope coefficient

8.2Kvalita modelu

\(R^2\) přidáním proměnné nikdy neklesne, i kdyby proměnná byla čistý šum. Proto se modely s různým počtem proměnných srovnávají podle upraveného R² nebo informačních kritérií, která za každý parametr penalizují:adjusted R², Akaike information criterion (AIC), Bayesian information criterion (BIC)

Lepší je model s nižším AIC nebo BIC. AIC se hodí pro výběr modelu k předpovědi, BIC penalizuje parametry přísněji a vybírá úspornější model. Upravené R² může být i záporné a nemá výklad jako podíl vysvětleného rozptylu.

8.3Společný F-test

Mají-li proměnné \(X_{k-q+1},\dots,X_k\) dohromady nějaký přínos, se testuje porovnáním omezeného modelu (bez nich) s neomezeným:joint F-test, restricted and unrestricted model

Speciálním případem je F-test celého modelu (všechny sklony nulové), který vypisuje každý regresní program. Může se stát, že žádný koeficient není individuálně významný, a přesto je F-test významný: proměnné jsou korelované a „dělí se“ o vysvětlení (multikolinearita, oddíl 8.5).

8.4Faktorové modely a alfa

Fama a French (1993) přidali k tržnímu faktoru faktor velikosti SMB a hodnoty HML, Carhart (1997) momentum MOM (podrobně průvodce Investování, oddíl 4.8). Regrese nadvýnosů fondu na faktorové výnosy

rozloží průměrný nadvýnos na faktorové expozice krát průměrné faktorové výnosy a na alfu. Vynechá-li model faktor, na který má fond expozici a jehož průměrný výnos je kladný, „schová“ se výnos tohoto faktoru do konstanty. To je zkreslení vynechanou proměnnou v praxi.factor loadings, omitted variable bias

8.5Porušení předpokladů

Durbinova–Watsonova statistika (Durbin a Watson, 1950) je blízko 2 bez autokorelace, pod 2 při kladné a nad 2 při záporné.heteroskedasticity, Breusch–Pagan test, serial correlation, Durbin–Watson statistic, Newey–West standard errors, multicollinearity, variance inflation factor (VIF) Hodnota 1,2 odpovídá autokorelaci reziduí asi 0,4. Pro 60 pozorování a jednu proměnnou je dolní kritická hodnota na 5% hladině přibližně 1,55; 1,2 leží pod ní, a hypotézu „žádná kladná autokorelace“ proto zamítáme. U fondu Gama vychází \(DW = 1{,}91\), Breuschův–Paganův test \(nR^2 = 4{,}34\) proti kritické hodnotě \(\chi^2_{0{,}95;\,4} = 9{,}49\) a VIF všech faktorů do 1,1: model je v pořádku, jak má modelová data být.

8.6Chybná specifikace a vlivná pozorování

Model může být chybně specifikovaný: vynechá podstatnou proměnnou (koeficienty ostatních jsou zkreslené o \(b_{\text{vynech}}\cdot\delta\), kde \(\delta\) je sklon vynechané proměnné na zahrnutou), má nevhodný funkční tvar, nevhodně škáluje proměnné nebo spojuje data z období s různými režimy. Nejčastější finanční případ je „alfa“ z modelu bez faktorů, na které má fond expozici.model misspecification

Jednotlivá pozorování mohou výsledek ovládnout. Pákový bod má extrémní hodnotu \(X\) (hodnota „páky“ \(h_{ii}\) nad \(3(k+1)/n\)), odlehlá hodnota extrémní reziduum (studentizované reziduum nad kritickou hodnotou t). Cookova vzdálenost \(D_i\) spojuje obojí a měří, jak moc se změní všechny odhady po vynechání pozorování; hodnoty nad \(2\sqrt{k/n}\) stojí za prozkoumání. Jeden krizový měsíc může změnit odhad bety o desetiny.high-leverage point, outlier, studentized residual, Cook’s distance

8.7Umělé proměnné

Umělá (dummy) proměnná nabývá hodnot 0 a 1 a kóduje kvalitativní vlastnost: leden, krizové období, sektor. Do modelu jich patří o jednu méně, než je kategorií, jinak vznikne dokonalá multikolinearita s konstantou. Umělá proměnná samostatně posouvá konstantu, ve spojení s jinou proměnnou mění sklon.dummy variable, intercept dummy, slope dummy

Při \(\hat\beta = 0{,}9\) a \(\hat\gamma = 0{,}4\) má fond v klidných měsících betu 0,9, v krizových 1,3. Mnoho „defenzivních“ strategií má právě takovou nesouměrnou citlivost, kterou průměrná beta skryje.

8.8Logistická regrese

Je-li závislá proměnná binární (firma selhala, nebo ne), lineární regrese může předpovídat pravděpodobnosti pod 0 a nad 1. Logistická regrese modeluje logaritmus šance:logistic regression (logit), log-odds, odds ratio

Koeficienty se odhadují metodou maximální věrohodnosti. \(e^{b_j}\) je poměr šancí: kolikrát se zvýší šance, vzroste-li \(X_j\) o jednotku. Kvalitu modelu měří pseudo-R² a testy poměrem věrohodností.maximum likelihood

8.9Procvičení

9.1Trendové modely

Nejjednodušší model časové řady je lineární trend \(y_t = b_0 + b_1t + \varepsilon_t\): řada roste o stejnou částku za období. Pro veličiny, které rostou stejným tempem (tržby, index, HDP), se hodí log-lineární trend \(\ln y_t = b_0 + b_1t + \varepsilon_t\) s tempem růstu \(e^{b_1} - 1\) za období. Měsíční \(b_1 = 0{,}006\) odpovídá \(e^{0{,}072} - 1 = 7{,}47\ \%\) ročně.linear trend, log-linear trend

Trendové modely mají u finančních řad obvykle autokorelovaná rezidua (Durbinova–Watsonova statistika daleko od 2): odchylka od trendu dnes říká hodně o odchylce zítra. Pak je lepší modelovat přímo závislost na minulých hodnotách.

9.2Autoregresní modely

Autoregresní model řádu p, AR(p), vysvětluje řadu jejími vlastními minulými hodnotami: \(x_t = b_0 + b_1x_{t-1} + \dots + b_px_{t-p} + \varepsilon_t\). Odhaduje se běžnou regresí, ale jen pokud je řada kovariančně stacionární: má konstantní střední hodnotu, konstantní rozptyl a kovariance závislou jen na vzdálenosti období, ne na čase.autoregressive model AR(p), covariance stationarity

AR(1) je stacionární pro \(|b_1| \lt 1\). Nad úrovní \(\mu\) předpovídá pokles, pod ní růst: to je návrat k průměru. Poločas udává, za kolik období se odchylka od průměru v očekávání zmenší na polovinu. Vícekrokové předpovědi se počítají řetězovým pravidlem: předpověď na \(t+1\) se dosadí do rovnice pro \(t+2\). Nejistota předpovědí s horizontem roste.mean reversion, half-life, chain rule of forecasting

Je-li model správně specifikovaný, rezidua nejsou autokorelovaná. Testuje se každá autokorelace reziduí \(\hat\rho_k\) statistikou \(t = \hat\rho_k/(1/\sqrt T)\) s \(T-2\) stupni volnosti (Durbinova–Watsonova statistika v modelech s opožděnou závislou proměnnou neplatí). Při \(T = 100\) a \(\hat\rho_1 = 0{,}25\) je \(t = 2{,}5\) nad kritickou hodnotou 1,98: model je třeba rozšířit o další zpoždění. Mezi modely se pro předpověď vybírá podle chyby mimo vzorek, typicky odmocniny střední čtvercové chyby (RMSE).autocorrelation of residuals, out-of-sample forecast, RMSE

9.3Náhodná procházka a jednotkový kořen

Náhodná procházka \(x_t = x_{t-1} + \varepsilon_t\) (s driftem \(x_t = b_0 + x_{t-1} + \varepsilon_t\)) je AR(1) s \(b_1 = 1\). Nemá úroveň návratu (\(b_0/(1-b_1)\) není definováno) a její rozptyl roste s časem, po \(T\) krocích je \(T\sigma^2\). Není kovariančně stacionární; říká se, že má jednotkový kořen. Logaritmy cen akcií a měnové kurzy se náhodné procházce podobají; nejlepší předpověď zítřejší ceny je dnešní cena (plus drift).random walk, drift, unit root

Jednotkový kořen nelze testovat běžným t-testem \(b_1 = 1\), protože za \(H_0\) neplatí obvyklé rozdělení. Dickeyův–Fullerův test odhadne \(\Delta x_t = b_0 + g_1x_{t-1} + \varepsilon_t\), kde \(g_1 = b_1 - 1\), a t-statistiku \(g_1\) porovná se zvláštními kritickými hodnotami (s konstantou na 5 % přibližně −2,86, výrazně dál od nuly než −1,65). \(H_0\!: g_1 = 0\) je jednotkový kořen; zamítnutí znamená stacionaritu.Dickey–Fuller test

9.4Sezónnost

Čtvrtletní nebo měsíční řady (tržby maloobchodu, objemy obchodů) mají často sezónní vzor: letošní čtvrté čtvrtletí se podobá loňskému čtvrtému. Projeví se významnou autokorelací reziduí na sezónním zpoždění (4 u čtvrtletních, 12 u měsíčních dat). Náprava je přidat do modelu sezónní zpoždění, například \(x_t = b_0 + b_1x_{t-1} + b_2x_{t-4} + \varepsilon_t\).seasonality, seasonal lag

Při \(T = 60\) čtvrtletí a autokorelaci reziduí na zpoždění 4 rovné 0,45 je \(t = 0{,}45\sqrt{60} = 3{,}49\): sezónnost je významná.

9.5Volatilita v čase: ARCH a GARCH

Výnosy akcií jsou skoro nekorelované, jejich absolutní velikosti ale korelované silně: po bouřlivém dni přichází spíš bouřlivý den. Engle (1982) navrhl model autoregresní podmíněné heteroskedasticity ARCH, v němž rozptyl dnešního šoku závisí na velikosti včerejšího. Bollerslev (1986) ho zobecnil na GARCH, kde rozptyl závisí i na včerejším rozptylu:ARCH, GARCH, volatility clustering

\(V_L\) je dlouhodobý rozptyl, ke kterému se předpovědi volatility vracejí, \(\alpha + \beta \lt 1\) je setrvačnost a poločas šoku volatility je \(\ln 0{,}5/\ln(\alpha+\beta)\). Předpověď rozptylu za \(k\) období je \(E(\sigma_{t+k}^2) = V_L + (\alpha+\beta)^{k-1}(\sigma_{t+1}^2 - V_L)\). Přítomnost ARCH se testuje regresí čtverců reziduí na jejich zpoždění: významný sklon znamená, že rozptyl je předpověditelný.persistence, long-run variance

GARCH s normálními šoky vytváří tlusté chvosty: směs klidných a bouřlivých období má vyšší špičatost než každé z nich (kapitola 2). Pro hodnoty z příkladu je špičatost \(3(1-0{,}98^2)/(1-0{,}98^2-2\cdot 0{,}08^2) = 4{,}43\), nadbytečná 1,43. Skutečné denní výnosy mají špičatost ještě vyšší, proto se šoky často modelují Studentovým t.

9.6Regrese dvou časových řad a kointegrace

Regrese \(y_t\) na \(x_t\) je v pořádku, když jsou obě řady stacionární. Má-li jednotkový kořen jen jedna z nich, regrese je chybná. Mají-li ho obě, rozhoduje kointegrace: existuje-li jejich lineární kombinace \(y_t - b_1x_t\), která je stacionární, sdílejí řady společný dlouhodobý trend a regrese v úrovních popisuje rovnovážný vztah (Engle a Granger, 1987). Testuje se Dickeyovým–Fullerovým testem reziduí s Englovými–Grangerovými kritickými hodnotami. Nejsou-li kointegrované, regrese je zdánlivá a pracuje se s diferencemi.cointegration, Engle–Granger test

Příkladem kointegrace bývají ceny téže akcie na dvou burzách nebo spotová cena a cena futures; na ní stojí párové obchodování. Nevýhodou je, že vztah se může rozpadnout a odhad z historie to neukáže dopředu.

9.7Procvičení

10.1Co je strojové učení

Strojové učení je soubor metod, které se vzory učí z dat, místo aby je člověk předem zapsal do modelu. Klasická statistika obvykle začíná modelem (lineární regrese) a ptá se, zda data odpovídají; strojové učení začíná daty a hledá model, který nejlépe předpovídá. Cílem je obvykle předpověď, ne výklad příčin.machine learning (ML)

• Učení s učitelem: data mají známou cílovou proměnnou (výnos příštího měsíce, selhání úvěru). Regrese předpovídá čísla, klasifikace kategorie.supervised learning, target, features
• Učení bez učitele: cílová proměnná chybí, algoritmus hledá strukturu – shluky podobných fondů, společné faktory.unsupervised learning
• Hluboké učení (neuronové sítě s mnoha vrstvami) a posilované učení (agent se učí z odměn za své akce) jsou výkonné, ale potřebují velmi mnoho dat.deep learning, reinforcement learning

10.2Přeučení, zkreslení a rozptyl

Model je přeučený, když se kromě skutečného vztahu naučil i šum trénovacích dat: v tréninku má malou chybu, na nových datech velkou. Nedoučený model je příliš jednoduchý a chybuje všude. Očekávaná chyba předpovědi se rozkládá na tři části:overfitting, underfitting, bias–variance trade-off

Se složitostí modelu zkreslení klesá a rozptyl roste. Nejlepší model leží uprostřed, a kde přesně, závisí na množství dat a síle šumu: s více daty si lze dovolit složitější model. Laboratoř nahoře to ukazuje: pro 20 bodů a silný šum je testová chyba nejmenší u polynomu nízkého stupně, s 60 body a slabým šumem lze jít výš.

Data se proto dělí na trénovací (odhad parametrů), validační (volba složitosti a ladicích parametrů) a testovací vzorek, na který se sáhne jen jednou, na konci. Každé nahlédnutí do testovacích dat při vývoji z nich dělá data trénovací.training, validation and test sample

10.3Křížová validace

Při \(k\)-násobné křížové validaci se trénovací data rozdělí na \(k\) částí; model se \(k\)-krát natrénuje na \(k-1\) částech a vyhodnotí na zbylé. Průměr chyb odhaduje chybu mimo vzorek. Pro volbu ladicího parametru z 20 hodnot pětinásobnou validací je třeba \(5\cdot 20 = 100\) tréninků plus jeden konečný.k-fold cross-validation, hyperparameter

10.4Regularizace

Regularizace přidá k součtu čtverců reziduí pokutu za velikost koeficientů a tím model zjednoduší:regularization, penalized regression

LASSO (Tibshirani, 1996) některé koeficienty stlačí přesně na nulu, a tak zároveň vybírá proměnné; hodí se, když kandidátů je mnoho a podstatných málo. Hřebenová regrese koeficienty zmenšuje, ale nenuluje; hodí se při multikolinearitě. Velikost pokuty \(\lambda\) se volí křížovou validací. Je to stejná myšlenka jako upravená beta z kapitoly 7: smrštit odhad k jednoduššímu tvaru výměnou za menší rozptyl.LASSO, ridge regression

10.5Algoritmy učení s učitelem

• Rozhodovací strom (CART) dělí data postupnými otázkami („P/E pod 12?“, „zadlužení nad 60 %?“) do skupin s podobnou cílovou hodnotou. Je srozumitelný, ale snadno se přeučí; omezuje se hloubkou a prořezáváním.classification and regression tree (CART), pruning
• Náhodný les (Breiman, 2001) průměruje stovky stromů naučených na bootstrapových výběrech a náhodných podmnožinách proměnných. Průměrování snižuje rozptyl; jde o souborovou metodu, stejně jako boosting, který stromy učí postupně na chybách předchozích.random forest, ensemble learning, bagging, boosting
• k nejbližších sousedů (kNN) klasifikuje pozorování podle většiny z \(k\) nejpodobnějších; je jednoduché, ale citlivé na volbu vzdálenosti a měřítka proměnných.k-nearest neighbors (kNN)
• Metoda podpůrných vektorů (SVM) hledá hranici mezi třídami s největším odstupem; neuronové sítě skládají mnoho jednoduchých nelineárních jednotek a zvládnou velmi složité vztahy, ale potřebují hodně dat a jsou těžko vysvětlitelné.support vector machine (SVM), neural network

10.6Učení bez učitele

Analýza hlavních komponent (PCA) nahradí mnoho korelovaných proměnných několika nekorelovanými kombinacemi, které zachytí co nejvíc rozptylu. U výnosové křivky státních dluhopisů obvykle první tři komponenty vysvětlí přes 90 % pohybů a dají se číst jako posun úrovně, změna sklonu a zakřivení (Litterman a Scheinkman, 1991). Komponenty ale nemusí mít ekonomický výklad.principal component analysis (PCA), dimension reduction

Shlukování seskupí podobná pozorování. Metoda k-průměrů rozdělí data do \(k\) shluků kolem středů, hierarchické shlukování postupně spojuje (nebo dělí) skupiny a výsledek kreslí jako strom (dendrogram). Shlukováním výnosů fondů lze zjistit jejich skutečný styl, který se nemusí shodovat s tím deklarovaným.clustering, k-means, hierarchical clustering, dendrogram

10.7Hodnocení klasifikace

Výsledek klasifikátoru shrnuje matice záměn: správně pozitivní (TP), falešně pozitivní (FP), falešně negativní (FN) a správně negativní (TN). Z ní plyne přesnost \(TP/(TP+FP)\) (kolik označených je opravdu pozitivních), úplnost \(TP/(TP+FN)\) (kolik pozitivních jsme našli), správnost \((TP+TN)/n\) a jejich harmonický průměr \(F_1\). Křivka ROC kreslí úplnost proti podílu falešných poplachů pro všechny prahy, plocha pod ní (AUC) je 0,5 pro náhodný a 1 pro dokonalý model.confusion matrix, precision, recall, accuracy, F1 score, ROC curve, AUC

10.8Velká data a text

Velká data se popisují čtyřmi V: objem (volume), rychlost (velocity), rozmanitost (variety) a věrohodnost (veracity). Investiční svět k tradičním cenám a výkazům přidává alternativní data: satelitní snímky parkovišť, platební transakce, vyhledávání na internetu, data ze senzorů. Mají potenciál, ale bývají krátká, drahá, zkreslená a právně citlivá.big data, alternative data

Text se pro model připravuje v krocích: čištění (odstranění značek, čísel, interpunkce), tokenizace na slova, odstranění stop slov (a, the, že…), převod na základní tvar (stemming nebo lemmatizace), pak pytel slov a matice dokumentů a termínů, případně s n-gramy (dvojice slov). Váha slova se často počítá jako TF-IDF: četnost v dokumentu krát logaritmus vzácnosti napříč dokumenty.tokenization, stop words, stemming, lemmatization, bag-of-words, document term matrix, n-grams, TF-IDF

Slovo „ztráta“ se v 500slovné zprávě objeví 5krát (TF = 0,01) a vyskytuje se ve 100 z 10 000 zpráv (IDF = \(\ln 100 = 4{,}61\)): TF-IDF = 0,046. Zpráva s 12 pozitivními a 20 negativními slovy má čistý sentiment \((12-20)/32 = -0{,}25\). Obecné slovníky sentimentu ve financích selhávají: slova jako „liability“ (závazek) nebo „tax“ jsou v účetnictví neutrální. Loughran a McDonald (2011) proto sestavili finanční slovník; v češtině je třeba podobnou práci udělat znovu.sentiment analysis

10.9Proč backtesty lžou

Backtest je historická simulace strategie. Kdo vyzkouší \(N\) variant a vybere nejlepší, dostane Sharpeho poměr nadsazený výběrem, i když žádná varianta nemá skutečnou výhodu. Odhad Sharpeho poměru z \(T\) let má (při nulovém skutečném poměru) směrodatnou chybu zhruba \(1/\sqrt T\) (kapitola 5) a očekávané maximum z \(N\) nezávislých normálních veličin je přibližněbacktest overfitting, selection bias

\(\Phi^{-1}\) je kvantilová funkce normovaného normálního rozdělení a \(\gamma \approx 0{,}5772\) Eulerova–Mascheroniho konstanta. Bailey, Borwein, López de Prado a Zhu (2014) z toho odvodili minimální délku backtestu: aby nejlepší z \(N\) bezcenných strategií neměla v očekávání roční Sharpeho poměr aspoň 1, musí backtest trvat zhruba \(E[\max_N]^2\) let.minimum backtest length (MinBTL)

S pěti lety dat stačí vyzkoušet zhruba 45 nezávislých variant, aby nejlepší měla v backtestu Sharpeho poměr kolem 1 bez jakékoli skutečné výhody. Varianty v praxi nezávislé nejsou (liší se jedním parametrem), takže „efektivní“ počet pokusů je menší, ale bývá ho vidět jen v laboratorním deníku autora, ne ve výsledku. Bailey a López de Prado (2014) navrhli deflovaný Sharpeho poměr, který změřený poměr porovná s očekávaným maximem při daném počtu pokusů a opraví ho i o šikmost a špičatost výnosů.deflated Sharpe ratio

10.10Procvičení