INTERAKTIVNÍ PRŮVODCE · LISTOPAD 2026

Solitaire a pasiánsy

Od prvního rozdání
po řešiče a pravděpodobnost

Na pozadí hraje počítač Klondike po jedné kartě podle zásad z kapitoly 4: nejdřív odkrývá sloupce s nejvíc rubovými kartami, krále pouští jen do prázdného sloupce a na základny posílá hned jen karty, které už nikdo nepotřebuje. Pod rub nevidí – hraje jako člověk, a proto taky prohrává. Po výhře se karty rozskáčou po stole.

tah–

karet na základnách–

rubových karet–

výhry / partie–

Začít 🎮 Hrát ve 3DKolik her jde vyhrát?

Úvodem

Jak průvodce používat

Pasiáns je hra pro jednoho, u které se dá odpočinout i přemýšlet. Tento průvodce vede od francouzských karet a pojmů přes Klondike, FreeCell, Pavouka, Pyramidu a další pasiánsy ke strategii, která zvyšuje počet vyhraných her, a nakonec k matematice a informatice pod kapotou: kolik je možných rozdání, kolik her jde vůbec vyhrát, jak pracují řešiče a kolikrát je potřeba balíček zamíchat. Je pro hráče, kteří si občas zahrají na mobilu a chtějí hrát lépe, pro rodiče a děti i pro studenty matematiky a informatiky.

🃏

Tři patra každé kapitoly. Nahoře krátké vysvětlení a laboratoř nebo minihra, kde si věc vyzkoušíte klepáním na karty. Pod ní dvě mise za XP. Dole rozbalovací teorie pro ty, kdo chtějí jít do hloubky: přesná pravidla, odvození, řešené příklady a procvičení s řešením. Teorie bývá o úroveň náročnější než úvod kapitoly. Barevná tečka v obsahu ukazuje úroveň. Postup se ukládá jen ve vašem prohlížeči.

Hned za úvodem najdete sekci Hrajte pasiánsy ve 3D: Klondike po jedné i po třech kartách, FreeCell, Pavouka, Tři vrcholy, Pyramidu a denní výzvu na zeleném suknu. Trenér v ní radí stejnými zásadami, jaké vykládají kapitoly 4 až 8, a u každé rady odkáže na kapitolu průvodce.

Mapa průvodce

**Tab. 0.1**Kapitoly, úroveň a co se v nich naučíte
Kapitola	Úroveň	Co se naučíte
1 Pasiánsy, karty a pojmy	základy	historie od 18. století, francouzské karty, sloupce, základny, lízací balíček, odkládací hromádka, volné buňky, rezerva
2 Klondike krok za krokem	základy	rozdání do sedmi sloupců, střídání barev, lízání po jedné a po třech, průchody balíčkem, bodování
3 Rodina pasiánsů	základy	FreeCell, Pavouk, Pyramida, Tři vrcholy, Golf, Yukon a Canfield v kostce a čím se liší
4 První strategie Klondike	základy	který sloupec odkrývat, král do prázdného sloupce, nespěchat se základnami, barva krále, souboj strategií
5 Pokročilá Klondike	pokročilí	cyklus balíčku po třech, plánování, odklad tahu, vracení ze základny, kdy je hra ztracená
6 FreeCell a supertah	pokročilí	volné buňky, odvození vzorce (f + 1) · 2^e, prázdné sloupce, plánování, rozdání č. 11982
7 Pavouk	pokročilí	sady od krále k esu, jedna, dvě a čtyři barvy, segmenty, prázdné sloupce, kdy rozdat další řadu
8 Pyramida, Tři vrcholy a Golf	pokročilí	součty 13, řetězy, počítání karet a odhad rizika
9 Pravděpodobnost a kombinatorika	mistr a věda	52!, počet rozdání, kde leží esa, hypergeometrické rozdělení, očekávané hodnoty, simulace
10 Kolik her jde vyhrát	mistr a věda	výzkumy vyhratelnosti Klondike a FreeCellu, neřešitelná rozdání, člověk proti stroji
11 Algoritmy a řešiče	mistr a věda	stavový prostor, prohledávání do hloubky, A*, heuristiky, transpoziční tabulka, NP-úplnost, Monte Carlo
12 Míchání a férová rozdání	mistr a věda	riffle míchání a sedm zamíchání, generátory náhodných čísel a seed, zaručeně řešitelná rozdání, proč nás pasiáns baví

Co budete potřebovat

Stačí zvědavost. Balíček francouzských karet se hodí, ale není nutný – všechny pozice si naklikáte v laboratořích. Pro první dvě části stačí sčítání a trocha trpělivosti, od kapitoly 9 se hodí tužka a papír, zlomky, procenta a mocniny. Kde je potřeba víc (faktoriál, kombinační čísla, logaritmus), průvodce to vysvětlí na místě.

Navazující látku najdete v sousedních průvodcích: hru proti soupeři, prohledávání stromu variant a hodnocení pozice v průvodci Šachy, pravděpodobnost, rozdělení a simulace do hloubky v průvodci Statistika a modely, důkazy, výroky a rozhodování v průvodci Logika a kritické myšlení, algoritmy, složitost a umělou inteligenci obecně v průvodci Informatika a kombinatoriku a posloupnosti v průvodci Matematika.

Modelové předpoklady

Pravidla se vykládají podle uvedených příruček a výzkumných prací (příloha C). Laboratoře počítají s těmito předpoklady:

Veličina	Hodnota	Kde se používá
Klondike: rozdání do sloupců 1 až 7, lízací balíček	28 + 24 karet	kapitoly 2, 4, 5, 9; hero
Průchody balíčkem v simulacích	neomezeně	konec hry = celý průchod bez jediného tahu; kapitoly 4 a 9
Strategie hráčů v simulaci	3 modelové	náhodný, hltavý, odkrývač – nevidí pod rub; kapitola 4
Vyhratelnost se znalostí všech karet	81,945 % (po 3)	Blake a Gent; kapitola 10
Mini FreeCell v řešiči	16 nebo 20 karet	4 barvy × A až 4 (5), 4 (5) sloupce, 0 až 2 volné buňky; kapitola 11
Míchání	model GSR	riffle podle Gilberta, Shannona a Reedse; kapitola 12

Simulace jsou modelové: hrají je jednoduché strategie, ne nejlepší možný hráč. Čísla ze simulací proto ukazují rozdíl mezi strategiemi, ne skutečnou šanci zkušeného člověka.

Čtyři druhy rámečků

Příklad Řešená pozice nebo výpočet

Řešený příklad, který si můžete přepočítat nebo přehrát v laboratoři.

Z historie

Odkud se hra vzala, kdo ji popsal a jak se měnila pravidla, nebo zajímavost z výzkumu.

Mistrovská pomůcka

Rychlé pravidlo, které zlepší hru, nebo způsob, jak věc vysvětlit dítěti.

Pozor

Častá chyba, mýtus nebo past, do které se snadno spadne.

Studijní materiál o hře. Hrajte pro radost a s mírou – bez sázek a peněz. Bodování „Vegas“ průvodce uvádí jen jako historický způsob počítání bodů. Nejmenuje komerční aplikace, operační systémy ani jejich výrobce a nic nedoporučuje ke stažení. U dětí patří ke hře na obrazovce přestávky a pohyb. Údaje z výzkumů mají v příloze C zdroj a datum ověření (stav k 7. 11. 2026).

Rozsahem odpovídá: matematika – kombinatorika a pravděpodobnost na úrovni úvodních vysokoškolských kurzů (faktoriál, kombinační čísla, hypergeometrické rozdělení, střední hodnota, Monte Carlo, totální variace); informatika – úvod do umělé inteligence a algoritmů prohledávání stavového prostoru (DFS, A*, heuristiky, transpoziční tabulky, třída NP); pravidla her – podle uvedených příruček a pramenů v příloze C.

Hrajte

Pasiánsy ve 3D

📲 Hrát jako aplikace – samostatná stránka hry: nainstalujete si ji do telefonu nebo počítače a hrajete i bez připojení.

Karty na zeleném suknu se skutečně otáčejí, zvedají a vrhají stín. Na výběr je Klondike po jedné a po třech kartách (pravidla v kapitole 2), FreeCell (kapitola 6), Pavouk (kapitola 7), Tři vrcholy a Pyramida (kapitola 8) a Denní výzva, ve které dostanou všichni v daný den stejné rozdání (jak to funguje, vysvětluje kapitola 12). Kartu přetáhnete prstem nebo myší na cílové místo (dovolený cíl se zlatě orámuje); když na ni jen klepnete, sama skočí na nejlepší dovolené místo. Trenér na požádání ukáže další rozumný tah, řekne proč a odkáže na zásady z kapitoly 4 a kapitoly 5.

Jak to funguje: obtížnost 1 až 5 mění rozdání a pravidla. U Klondike dostanete na obtížnostech 1 až 3 jen rozdání, která řešič předem ověřil jako vyhratelná (princip v kapitole 11); na vyšších obtížnostech je rozdání zcela náhodné, takže některé hry vyhrát nejde (kapitola 10). U Pavouka obtížnost určuje počet barev (1, 2 nebo 4), u FreeCellu ubývají na nejvyšší obtížnosti volné buňky. Tahy jde neomezeně vracet, hotovou hru dokončí automatické přesunutí na základny. Za výhru dostanete jednu až tři hvězdičky podle času, počtu nápověd a kroků zpět; rekordy a série denních výzev se ukládají jen ve vašem prohlížeči. Po výhře karty poskakují po stole ve 3D vodopádu. Hra je určena pro radost – nehraje se o body ani o peníze.

Část IZáklady

Pasiánsy, karty a pojmyzáklady

Pasiáns je karetní hra pro jednoho hráče: karty se rozloží podle pevných pravidel a cílem je přeskládat je do pořádku, obvykle od esa ke králi. Každý pasiáns se skládá z několika stejných stavebních kamenů – sloupců, základen, lízacího balíčku a odkládací hromádky. Kdo je zná, naučí se novou hru za pár minut.

🧩

Pasiáns je jako skládačka, jejíž díly leží zčásti obrácené. Víte, jak má vypadat hotový obrázek – čtyři úhledné hromádky od esa ke králi –, ale díly musíte vyhrabávat ve správném pořadí. Francouzské slovo patience znamená trpělivost a sedí přesně: kdo spěchá, zahrabe si potřebné karty ještě hlouběji.

Obr. 1.1 Rozložení Klondike, nejznámějšího pasiánsu. Nahoře lízací balíček, odkládací hromádka a čtyři základny, dole sedm sloupců. V každém sloupci leží rubové karty a navrchu jedna karta lícem. Stejné části v různých kombinacích tvoří skoro všechny pasiánsy.

Kam patří karta?

Vyberte barvu a hodnotu karty a pravidla hry. Laboratoř v celém balíčku vyznačí, kam kartu smíte položit (oranžově), které karty smíte položit na ni (modře) a s čím se páruje nebo na co navazuje na základně (zeleně). Na počítači můžete klepnout přímo na kartu v mřížce.

LABORATOŘ

Hodnota

Model: jeden balíček 52 francouzských karet bez žolíků. Klondike a FreeCell staví ve sloupcích dolů se střídáním červené a černé, na základny od esa ke králi v jedné barvě. Pavouk staví dolů bez ohledu na barvu (přesouvat smíte jen řady v jedné barvě). Pyramida páruje karty se součtem 13. Tři vrcholy a Golf hrají o jednu výš nebo níž bez ohledu na barvu; Tři vrcholy spojují krále s esem, Golf ne a na krále v něm nic nepřiložíte.

Minihra: Najdi na stole

Laboratoř zadá úkol – například „klepněte na odkládací hromádku“ nebo „kam patří piková osmička?“ – a vy klepnete na kartu nebo místo na stole. Správnost se ukáže až po klepnutí. Kolo má osm úkolů; za aspoň sedm správných získáte 15 XP.

MINIHRA

0 / 8

+Teorie: co je pasiáns, historie, francouzské karty a pojmy rozložení

1.1Co je pasiáns

Pasiáns (z francouzského patience, trpělivost) je karetní hra pro jednoho hráče, ve které se karty podle pravidel rozloží a postupně přeskládávají do předepsaného pořadí. Hráč nehraje proti soupeři, ale proti náhodě rozdání a proti vlastním chybám. Česky je slovo pasiáns rodu mužského (ten pasiáns, hrát pasiáns) a Internetová jazyková příručka uvádí i rod ženský; v průvodci používáme mužský.patience, solitaire

Britská angličtina říká patience, americká od 20. století solitaire. Badatel David Parlett dává přednost slovu patience, protože solitaire označuje i jiné hry pro jednoho – třeba hlavolam s kolíčky a důlky – a protože pasiáns lze hrát i soutěžně. V češtině se vedle pasiánsu ujalo i anglické slovo solitaire, hlavně pro pasiáns v počítači.

1.2Z historie

Obr. 1.2 Časová osa. Oranžově jsou milníky, ke kterým se průvodce vrací: pravidla Klondike (kapitoly 2 až 5), FreeCell (kapitola 6) a výzkumy vyhratelnosti (kapitola 10). Zdroje v příloze C.

Nejstarší známý popis pasiánsu je v německé sbírce her Das neue Königliche L’Hombre-Spiel z roku 1783, kde se hra jmenuje „Patience“. Hry pro jednoho se nejspíš zrodily v německy nebo skandinávsky mluvících zemích koncem 18. století, v době, kdy byl oblíbený výklad karet. Počátkem 19. století se pasiánsy rozšířily ve Francii, ve druhé polovině století v Británii a Americe. První samostatná kniha pasiánsů vyšla v Rusku roku 1826; nejstarší americká je Patience: A Series of Games with Cards Ednah Dow Littlehale Cheneyové z roku 1869 a velmi oblíbená britská sbírka Illustrated Games of Patience lady Adelaide Cadoganové vyšla kolem roku 1870.history of patience

Z historie

Pasiánsy se tradičně spojují s Napoleonem, který je prý hrál ve vyhnanství na Svaté Heleně, a několik her nese jeho jméno. Spolehlivý doklad, že je Napoleon opravdu hrál, ale chybí – jména her vznikla později. Doložené prameny začínají až rokem 1783.

Pravidla dnešního Klondike se poprvé objevují v americké příručce her z roku 1907 pod názvem „Seven-Card Klondike“. Jméno se spojuje se zlatou horečkou na Klondiku (1896–1899), přímý doklad pro to ale není. V Americe se hra dříve říkalo také Canfield, v Británii se tak dnes jmenuje jiný pasiáns (kapitola 3). Masově se Klondike rozšířila s pasiánsem v osobních počítačích od roku 1990.

1.3Francouzské karty

Pasiánsy se kladou z francouzského balíčku o 52 kartách (bez žolíků). Karty mají čtyři barvy (anglicky suits) po třinácti hodnotách: eso (A), 2 až 10, kluk (J), dáma (Q) a král (K). V pasiánsech je eso obvykle nejnižší karta s hodnotou 1, kluk 11, dáma 12 a král 13.French-suited deck, suit, rank, ace, jack, queen, king

**Tab. 1.1**Čtyři barvy francouzských karet
Symbol	Česky	Anglicky	Barva	Karet
♠	piky	spades	černá	13
♥	srdce	hearts	červená	13
♦	káry	diamonds	červená	13
♣	kříže (trefy)	clubs	černá	13

Slovo „barva“ má v češtině dva významy: barva karty (piky, srdce, káry, kříže) a její červená nebo černá barva. Průvodce píše „barva“ pro piky, srdce… a „červená/černá“ pro to druhé.

Pozor

V Česku jsou rozšířené i mariášové karty (32 karet: srdce, kule, listy, žaludy, hodnoty od sedmičky). Pasiánsy v průvodci se ale kladou z francouzského balíčku o 52 kartách – s mariášovými kartami se počty v kapitole 9 nesejdou.

1.4Pojmy rozložení

Sloupce (tableau) jsou hlavní pracovní plocha. Karty se v nich stavějí dolů: na kartu smí přijít karta o jednu nižší. Klondike a FreeCell přitom vyžadují střídání barev (na červenou černou a naopak), Pavouk staví dolů bez ohledu na barvu, některé hry jen v barvě (na ♠9 jen ♠8).tableau, build down, alternating colours, in suit

Základny (foundations) jsou cílové hromádky. V Klondike a FreeCellu se na ně staví nahoru v barvě od esa ke králi; kdo dostane všech 52 karet na čtyři základny, vyhrál. V Pavoukovi odchází na základnu rovnou celá sada od krále k esu.foundation, build up in suit

Lízací balíček (zásoba, stock) jsou karty rubem nahoru, ze kterých se líže. Líznuté karty se kladou lícem na odkládací hromádku (waste); hrát smíte jen její vrchní kartu. Když balíček dojde, obrátí se odkládací hromádka zpět – to je nový průchod balíčkem.stock, waste, redeal, pass

Volné buňky (free cells) jsou místa pro jednu kartu, kam si ji můžete odložit (FreeCell). Rezerva (reserve) je hromádka karet stranou, ze které se hraje jen vrchní karta (Canfield). Prázdný sloupec (space) smí v Klondike obsadit jen král, ve FreeCellu a Pavoukovi libovolná karta.free cell, reserve, space, empty column

Otevřené a zavřené pasiánsy

V otevřeném pasiánsu leží od začátku všechny karty lícem (FreeCell, Golf ve sloupcích): o výsledku rozhoduje jen přemýšlení. V zavřeném pasiánsu jsou některé karty skryté (Klondike, Pavouk) a hráč se rozhoduje s neúplnou informací, takže hraje i náhoda. Pro výzkum se proto zavádí varianta „se znalostí všech karet“ (thoughtful), ve které hráč vidí i pod rub (kapitola 10).open patience, closed patience, thoughtful solitaire

Mistrovská pomůcka

Dětem pomůže rytmus „červená – černá – červená“ a říkanka „o jednu níž a jinou barvou“. Pro kontrolu: na černou devítku patří červená osmička, tedy srdcová nebo kárová. Každá karta ve sloupci má proto právě dvě karty, na které ji lze položit (kromě krále), a dvě, které na ni lze položit (kromě esa).

Příklad Kolik karet „přijme“ celý stůl?

Na stole leží navrchu sloupců ♠K, ♥7, ♣2, ♦9, ♥Q, ♣6 a ♦A (obr. 1.1). Které karty by šlo na ně přiložit? Na ♠K červené dámy (♥Q, ♦Q), na ♥7 černé šestky (♠6, ♣6), na ♣2 červená esa – ta ale ve sloupcích nehrají, patří na základnu –, na ♦9 černé osmičky, na ♥Q černí kluci, na ♣6 červené pětky a na ♦A nic. Celkem 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 karet. Některé z nich už jsou vidět: ♥Q smí na ♠K, ♣6 na ♥7 a ♠8 z hromádky na ♦9.

1.5Procvičení

Kolik karet má francouzský balíček, kolik je v něm karet jedné barvy a kolik červených?

52 karet, 4 barvy po 13 kartách. Červené jsou srdce a káry: 2 · 13 = 26 karet, černých je také 26.

Kolik různých karet smíte v Klondike přiložit na srdcovou osmičku a na kolik různých karet smíte srdcovou osmičku přiložit vy?

Na ♥8 patří černé sedmičky ♠7 a ♣7, tedy 2 karty. ♥8 sama patří na černé devítky ♠9 a ♣9, opět 2 karty.

V Pyramidě se odebírají dvojice se součtem 13. S kterými kartami se páruje kárová čtyřka a kolik jich je v balíčku?

4 + 9 = 13, páruje se tedy s devítkami. V balíčku jsou 4 devítky (♠9, ♥9, ♦9, ♣9) – barva nehraje roli.

Čím se liší otevřený a zavřený pasiáns? Uveďte ke každému jeden příklad a řekněte, kde víc rozhoduje náhoda.

V otevřeném leží všechny karty lícem od začátku (FreeCell), v zavřeném jsou některé skryté (Klondike). Náhoda víc rozhoduje v zavřeném: hráč neví, co leží pod rubem, a může se rozhodnout správně podle toho, co vidí, a přesto prohrát.

Na stole jsou čtyři základny s vrchními kartami ♠3, ♥A, ♦5 a prázdná. Které karty smí přijít na základny jako další?

♠4 na pikovou, ♥2 na srdcovou, ♦6 na károvou a na prázdnou základnu jen ♣A (jediné eso, které ještě chybí). Celkem tedy čtyři konkrétní karty.

Co si odnést

Pasiáns = hra pro jednoho; nejstarší doklad je z roku 1783, Klondike má dnešní pravidla od roku 1907.
Sloupce se staví dolů (v Klondike a FreeCellu se střídáním červené a černé), základny nahoru v barvě od esa ke králi.
Lízací balíček, odkládací hromádka, volné buňky a rezerva jsou stavební kameny skoro každého pasiánsu.

Část IZáklady

Klondike krok za krokemzáklady

Klondike se rozdá do sedmi sloupců s jednou až sedmi kartami, zbylých 24 karet tvoří lízací balíček. Ve sloupcích se staví dolů se střídáním červené a černé, na základny nahoru v barvě. Zbytek je otázka toho, kolik karet se líže najednou a kolikrát smíte balíčkem projít.

⛏️

Klondike připomíná rýžování zlata, po kterém možná dostala jméno. Většina toho, co potřebujete, je zpočátku zasypaná pod rubovými kartami a v balíčku. Každý tah, který odkryje novou kartu, je jako propláchnutá pánev: někdy nic, někdy přesně to, co jste hledali. Kdo jen přehazuje kameny sem a tam, zlato nenajde.

Obr. 2.1 Rozdání Klondike. Sloupec 1 má jednu kartu, sloupec 7 sedm. V každém sloupci je navrchu jedna karta lícem, pod ní rubové karty: 0 + 1 + … + 6 = 21 rubových karet. Na stole je 28 karet, v lízacím balíčku 24.

Rozdání a první tahy

Laboratoř rozdá náhodnou hru a vypíše všechny tahy, které jsou hned k dispozici. Tlačítkem Líznout procházíte balíček po jedné nebo po třech kartách a sledujete, které karty se dostanou navrch. Přepínač „pod rub“ ukáže skryté karty slabě, jako by hráč viděl skrz – tak hraje počítačový řešič v kapitole 10.

LABORATOŘ

Model: náhodně zamíchaný balíček (Fisherův–Yatesův algoritmus, kapitola 12), rozdání po řadách zleva doprava. Výpis tahů nezahrnuje líznutí a vracení ze základny. „Dostupné v 1. průchodu“ jsou karty, které se dostanou navrch odkládací hromádky, když z ní nic neodehrajete: po jedné všech 24, po třech každá třetí.

Obr. 2.2 Lízání po jedné a po třech. Po třech je hra těžší: ze tří líznutých karet smíte hrát jen vrchní a v prvním průchodu se navrch dostane jen každá třetí karta balíčku – 8 z 24.

Kalkulačka bodů

Zadejte, kolik tahů kterého druhu jste za hru udělali. Laboratoř spočítá body podle standardního bodování, srážku za čas, bonus za rychlou výhru a pro srovnání historické počítání „Vegas“. Počty karet hlídá: na základnu nemůže odejít víc karet, než kolik jich v balíčku je.

LABORATOŘ

Z hromádky na základnu Ze sloupců na základnu

Z hromádky do sloupců Otočené rubové karty

Ze základny zpět do sloupců Další průchody balíčkem (po 1)

Čas hry

Model: standardní bodování pasiánsu v osobních počítačích (tab. 2.1): hromádka → sloupec +5, hromádka → základna +10, sloupec → základna +10, otočení rubové karty +5, základna → sloupec −15, další průchod balíčkem při lízání po jedné −100, skóre nejméně 0. Při hře na čas −2 body za každých 10 sekund a za výhru bonus 700 000 / (čas v sekundách), pokud hra trvala aspoň 30 sekund. „Vegas“: start −52, za každou kartu na základně +5 bodů, jen jako způsob počítání.

+Teorie: rozdání, dovolené tahy, lízání, průchody, konec hry a bodování

2.1Rozdání

Z dobře zamíchaného balíčku se rozdává po řadách: první řada sedm karet zleva doprava, první lícem a ostatní rubem; druhá řada šest karet od sloupce 2, první z nich lícem; a tak dál až po poslední kartu do sloupce 7. Výsledek: sloupec k má k karet, z toho k − 1 rubem. Na stole leží

Karty na stole po rozdání\[1 + 2 + \dots + 7 = \frac{7 \cdot 8}{2} = 28,\qquad \text{rubem } 0 + 1 + \dots + 6 = 21,\qquad \text{balíček } 52 - 28 = 24.\]

Na pořadí rozdávání nezáleží, pokud je balíček opravdu náhodně zamíchaný – každá karta má stejnou šanci skončit na kterémkoli místě. Na skutečném stole ale rozdávání po řadách pomáhá: nedostatečně zamíchané shluky karet se rozdělí do různých sloupců.deal, tableau, face down, face up

2.2Dovolené tahy

Sloupec → sloupec. Přesunout smíte vrchní kartu nebo celou řadu lícových karet, pokud nejspodnější karta řady pasuje na cíl: o jednu nižší a opačné barvy (na ♦9 jen ♠8 nebo ♣8).
Prázdný sloupec smí obsadit jen král (sám nebo s řadou, která na něm leží).
Hromádka → sloupec a hromádka → základna: jen vrchní karta odkládací hromádky.
Sloupec → základna: vrchní karta sloupce, pokud navazuje v barvě (na ♥4 jen ♥5; na prázdnou základnu jen eso).
Základna → sloupec (vracení, anglicky worrying back): vrchní kartu základny smíte vrátit do sloupce, pokud tam pasuje. Některé verze to zakazují.
Otočení: když ve sloupci nezůstane navrchu lícová karta, vrchní rubovou kartu otočíte lícem. Je to automatické a nepočítá se jako tah.

Pozor

Řadu lícových karet ve sloupci smíte rozdělit: z řady ♠10 ♥9 ♣8 můžete přesunout jen ♥9 ♣8 nebo jen ♣8. Nesmíte ale vzít kartu ze středu řady bez karet, které na ní leží. A dámu do prázdného sloupce nedáte, ani když by se to hodilo.

2.3Lízání a průchody balíčkem

Když nevíte, co dál, lížete. Po jedné kartě se otočí vždy jedna karta na odkládací hromádku. Po třech kartách se otočí tři najednou (při konci balíčku méně) a hrát smíte jen vrchní z nich; karta pod ní se uvolní, až vrchní odehrajete. Když balíček dojde, odkládací hromádku obrátíte a začnete nový průchod ve stejném pořadí.draw one, draw three, redeal

Příručky uvádějí několik variant: po třech s neomezenými průchody, po třech se třemi průchody, po jedné se třemi průchody, po jedné s jediným průchodem a po jedné bez omezení. Čím méně průchodů a čím víc karet najednou, tím je hra těžší – výzkum v kapitole 10 to ukazuje i v číslech.

2.4Konec hry

Hra je vyhraná, když je všech 52 karet na základnách. Jakmile jsou všechny karty lícem a balíček je prázdný, je výhra jistá – zbývá karty postupně odnést, což počítač dělá automaticky. Hra je prohraná, když už nezbývá žádný smysluplný tah: celý průchod balíčkem nepřinese nic, co by šlo zahrát, a ve sloupcích nejde nic odkrýt.win, auto-complete, no more moves

Příklad Kolik karet uvidíte v prvním průchodu

Po jedné kartě: všech 24. Po třech kartách bez hraní z hromádky: karty na pozicích 3, 6, 9, …, 24, tedy 24 / 3 = 8. Kdyby měl balíček 23 karet, bylo by to 7 celých trojic a navrch se dostane i poslední karta zbylé dvojice: ⌊23 / 3⌋ + 1 = 8. V laboratoři si to můžete ověřit tlačítkem Líznout.

2.5Bodování

Klasická Klondike se boduje jednoduše: vyhrál jsem, nebo ne. Pasiáns v osobních počítačích ale zavedl body, které odměňují tahy vedoucí k výhře a trestají vracení karet a opakované procházení balíčku.standard scoring, timed game, time bonus

**Tab. 2.1**Standardní bodování Klondike
Tah	Body
z odkládací hromádky do sloupce	+5
z odkládací hromádky na základnu	+10
ze sloupce na základnu	+10
otočení rubové karty ve sloupci	+5
ze základny zpět do sloupce	−15
další průchod balíčkem při lízání po jedné	−100 (skóre nejméně 0)
hra na čas: každých 10 sekund	−2
výhra na čas (aspoň 30 s): bonus	700 000 / čas v s

Příklad Body za vyhranou hru

Po jedné kartě, vyhráno: 10 karet z hromádky na základnu, 43 ze sloupců na základnu (jedna z nich se mezitím vrátila do sloupce), 14 z hromádky do sloupců, otočeno všech 21 rubových karet, dva další průchody. Body: 10 · 10 + 43 · 10 + 14 · 5 + 21 · 5 − 15 − 2 · 100 = 100 + 430 + 70 + 105 − 15 − 200 = 490. Hra na čas trvala 300 sekund: srážka 2 · 30 = 60 a bonus ⌊700 000 / 300⌋ = 2 333, celkem 490 − 60 + 2 333 = 2 763. Kontrola počtů: z hromádky odešlo 10 + 14 = 24 karet, ze sloupců na základnu 28 + 14 + 1 = 43.

Historické počítání „Vegas“

Druhý způsob počítání se jmenuje podle amerického herního města. Hráč začíná na −52 bodech (jeden bod za kartu) a za každou kartu na základně dostane +5. Obvykle se líže po jedné s jediným průchodem nebo po třech se třemi průchody. Nula se překoná při 11 kartách na základnách (−52 + 55 = 3), maximum je −52 + 5 · 52 = 208. Průvodce ho uvádí jen jako způsob počítání bodů; skóre se dá sčítat přes víc her a ukazuje, že i vyhraná část hry má hodnotu.Vegas scoring

Mistrovská pomůcka

Body nejsou cíl, jen zpětná vazba. Kdo honí body za čas, hraje zbrkle a prohrává hry, které šly vyhrát. Rozumné pořadí: nejdřív se naučit vyhrávat (kapitoly 4 a 5), teprve potom zrychlovat.

2.6Procvičení

Kolik rubových karet je po rozdání ve sloupcích 5, 6 a 7 dohromady a jaký je to podíl všech rubových karet?

4 + 5 + 6 = 15 z 21, tedy 15 / 21 = 5 / 7 ≈ 71,4 %. Tři pravé sloupce skrývají většinu karet – proto je strategie v kapitole 4 odkrývá přednostně.

Hrajete po třech a balíček má právě 20 karet. Které pozice se v průchodu dostanou navrch, když nic neodehrajete? Kolik jich je?

Trojice 1–3, 4–6, …, 16–18 a zbylá dvojice 19–20: navrch jsou pozice 3, 6, 9, 12, 15, 18 a 20, tedy ⌊20 / 3⌋ + 1 = 7 karet.

Spočítejte standardní body (bez času) za hru: 6 karet z hromádky na základnu, 20 ze sloupců na základnu, 9 z hromádky do sloupců, 15 otočených karet, žádné vracení, jeden další průchod po jedné.

6 · 10 + 20 · 10 + 9 · 5 + 15 · 5 − 100 = 60 + 200 + 45 + 75 − 100 = 280 bodů.

Při počítání „Vegas“ skončila hra s 17 kartami na základnách. Kolik je to bodů a kolik karet by bylo potřeba na 100 bodů?

−52 + 17 · 5 = 33 bodů. Na 100 bodů: 5k ≥ 152, tedy k ≥ 30,4, potřeba je 31 karet (−52 + 155 = 103).

Smíte v Klondike přesunout ♥Q do prázdného sloupce, když na ní leží ♣J a ♦10? A ♠K s ♥Q, ♣J a ♦10?

První tah ne – prázdný sloupec smí obsadit jen král. Druhý ano: celá řada začíná králem, smíte ji přesunout najednou.

Co si odnést

Rozdání: 28 karet ve sloupcích (21 rubem, 7 lícem) a 24 v balíčku.
Prázdný sloupec jen pro krále; řady se přesouvají celé nebo po částech od spodní pasující karty.
Po třech kartách vidíte v prvním průchodu jen každou třetí kartu – hra je výrazně těžší než po jedné.

Část IZáklady

Rodina pasiánsůzáklady

Pasiánsů jsou stovky, ale většinu z nich poskládáte z několika dílů: sloupce, základny, lízací balíček, volné buňky, rezerva. Liší se tím, kolik karet je vidět, jak se staví a co se smí přesouvat. FreeCell je skoro čisté přemýšlení, Pyramida počítání do 13, Tři vrcholy a Golf honba za dlouhým řetězem.

👪

Pasiánsy jsou jako velká rodina na fotografii: Klondike je babička, kterou zná každý, FreeCell vnuk-matematik, Pavouk strýc, který si všechno bere dvakrát, a Tři vrcholy s Golfem neposedná sestřenice, která nechce přemýšlet a chce rychle. Kdo pozná rodinné rysy, rozezná příbuzné i na první pohled.

Obr. 3.1 FreeCell (vlevo) má všech 52 karet lícem v osmi sloupcích, čtyři volné buňky a čtyři základny. Pavouk (vpravo) hraje se dvěma balíčky: 54 karet v deseti sloupcích a 50 karet v zásobě, která se rozdává po deseti.

Porovnání pasiánsů

Vyberte pasiáns. Laboratoř nakreslí výchozí rozložení (rubové karty modře) a spočítá, kolik karet leží na stole, kolik je skrytých a kolik zbývá v zásobě. Poslední dlaždice uvádí, jakou část rozdání jde vyhrát, pokud ji výzkum spolehlivě změřil.

LABORATOŘ

Model: výchozí rozložení podle pravidel v teorii této kapitoly. Vyhratelnost je podíl rozdání, která jde vyhrát se znalostí všech karet (Blake a Gent; u FreeCellu jsou všechny karty vidět vždy). Pyramida podle příruček her; tam, kde spolehlivý údaj chybí, je pomlčka.

Obr. 3.2 Pyramida, Tři vrcholy a Golf. Všechny tři hry odebírají karty ze stolu: Pyramida v dvojicích se součtem 13, Tři vrcholy a Golf na odkládací hromádku o jednu výš nebo níž. Na výsledku hodně záleží na náhodě, proto jsou oblíbené na krátkou hru.

Minihra: Který pasiáns to je?

Laboratoř popíše jeden rys hry a vy vyberete, o který pasiáns jde. Vysvětlení se ukáže až po výběru. Kolo má osm popisů; za aspoň sedm správných získáte 15 XP.

MINIHRA

0 / 8

+Teorie: pravidla FreeCellu, Pavouka, Pyramidy, Tří vrcholů, Golfu, Yukonu a Canfieldu

3.1FreeCell

Jeden balíček, všech 52 karet lícem v osmi sloupcích: čtyři po sedmi a čtyři po šesti kartách. Nad nimi čtyři volné buňky, každá pro jednu kartu, a čtyři základny. Ve sloupcích se staví dolů se střídáním barev, na základny nahoru v barvě. Přesouvá se po jedné kartě; větší řadu lze přenést postupně přes volné buňky a prázdné sloupce (supertah, kapitola 6). Prázdný sloupec smí obsadit libovolná karta.FreeCell, free cell, cascade

FreeCell je téměř čistě hra přemýšlení: všechno je vidět a skoro každé rozdání jde vyhrát. Jeho předchůdce, Bakerova hra (Baker’s Game), staví ve sloupcích v barvě místo střídání barev; popsal ji Martin Gardner v časopise Scientific American v červnu 1968. Paul Alfille ji změnil na střídání barev a roku 1978 naprogramoval první počítačový FreeCell na univerzitním systému PLATO.

3.2Pavouk

Dva balíčky (104 karet), deset sloupců: první čtyři po šesti kartách, ostatní po pěti, navrchu vždy jedna karta lícem. Zbylých 50 karet je zásoba; jedno rozdání z ní položí po jedné kartě na každý sloupec (pět rozdání po deseti). Rozdávat nesmíte, dokud je některý sloupec prázdný.Spider, two decks, deal from stock

Ve sloupcích se staví dolů bez ohledu na barvu, ale přesouvat celou řadu smíte jen tehdy, když je v jedné barvě. Úplná sada od krále k esu v jedné barvě sama odejde na základnu; osm sad znamená výhru. Obtížnost se volí počtem barev: s jednou barvou (jen piky) je hra nejsnazší, se dvěma střední, se čtyřmi těžká. Jméno připomíná osm „nohou“ – osm základen.

3.3Pyramida

28 karet lícem v sedmi řadách do tvaru pyramidy (1 + 2 + … + 7). Karta je volná, když ji nekryjí dvě karty v řadě pod ní. Odebírají se dvě volné karty se součtem 13 (eso 1, kluk 11, dáma 12); král má hodnotu 13 a odchází sám. Zbylých 24 karet se otáčí po jedné na odkládací hromádku a její vrchní karta se může párovat s volnou kartou pyramidy nebo s další kartou balíčku. Počet průchodů se v pravidlech liší (jeden až tři). Příručky uvádějí, že při nejpřísnějších pravidlech vyjde zhruba jedna hra z padesáti.Pyramid, pair to 13

3.4Tři vrcholy

Pasiáns Tři vrcholy (TriPeaks) vymyslel Robert Hogue roku 1989. Tři „vrcholy“ po šesti kartách rubem a pod nimi řada deseti karet lícem, celkem 28 karet; 24 karet tvoří zásobu. Na odkládací hromádku smíte dát volnou kartu, která je o jednu vyšší nebo nižší než vrchní karta hromádky, bez ohledu na barvu; král a eso na sebe obvykle navazují. Karta se otočí lícem, jakmile ji nic nekryje. Když nemůžete hrát, otočíte kartu ze zásoby. Cílem je vyklidit všechny tři vrcholy; dlouhé řetězy (komba) se odměňují body.TriPeaks, Tri Peaks, chain, combo

3.5Golf

Sedm sloupců po pěti kartách lícem (35 karet), jedna karta začne odkládací hromádku a 16 zbývá v zásobě. Na hromádku smíte dát vrchní kartu sloupce o jednu vyšší nebo nižší bez ohledu na barvu. V přísné verzi se král s esem nespojují a na krále nic nepřiložíte. Zásoba se otáčí po jedné a jen jednou. Boduje se jako v golfu: počet karet, které zůstaly ve sloupcích, a čím méně, tím lépe; vyklizení stolu se odměňuje zbylými kartami zásoby.Golf patience

3.6Yukon

Yukon vypadá jako Klondike bez balíčku: rozdá se všech 52 karet do sedmi sloupců s 1, 6, 7, 8, 9, 10 a 11 kartami. Rubových je stejně jako v Klondike 21 (0 + 1 + … + 6), lícových 31. Staví se dolů se střídáním barev, ale přesunout smíte libovolnou lícovou kartu i s kartami, které na ní leží, i když nejsou seřazené – rozhoduje jen, zda spodní karta skupiny pasuje na cíl. Prázdný sloupec smí obsadit král. Ruský pasiáns (Russian Solitaire) je stejný, jen se staví v barvě.Yukon, Russian Solitaire

3.7Canfield

Do rezervy se rozdá 13 karet rubem s vrchní kartou lícem, jedna karta na první základnu a po jedné kartě do čtyř sloupců; 34 karet je zásoba. Hodnota první karty na základně určí, od čeho začínají i ostatní základny (staví se nahoru v barvě a za králem pokračuje eso). Ve sloupcích se staví dolů se střídáním barev, prázdné místo se doplní z rezervy. Zásoba se otáčí po třech. Hra je pojmenována po Američanovi Richardu A. Canfieldovi, v Británii se jí říká Demon; podrobnosti pravidel se v příručkách liší.Canfield, Demon, reserve

**Tab. 3.1**Pasiánsy v číslech
Hra	Karet	Na stole	Rubem	Zásoba	Staví se
Klondike	52	28	21	24	dolů střídavě
FreeCell	52	52	0	0	dolů střídavě, 4 buňky
Pavouk	104	54	44	50	dolů, přesun jen v barvě
Pyramida	52	28	0	24	dvojice do 13
Tři vrcholy	52	28	18	24	±1 na hromádku
Golf	52	35	0	16 + 1	±1, na krále nic
Yukon	52	52	21	0	dolů střídavě, i neseřazené skupiny
Canfield	52	18	12	34	dolů střídavě, rezerva 13

Canfield: na stole 13 karet rezervy, 4 karty ve sloupcích a 1 na základně. Golf: 16 karet zásoby a 1 výchozí karta na hromádce.

Příklad Kolik rubových karet má Pavouk

Čtyři sloupce po šesti kartách mají po pěti rubových, šest sloupců po pěti po čtyřech: 4 · 5 + 6 · 4 = 20 + 24 = 44 rubových karet. Lícem je 10 karet (jedna v každém sloupci) a 104 − 54 = 50 karet čeká v zásobě. Skrytých je tedy na začátku 44 + 50 = 94 karet ze 104 – víc než 90 %.

Z historie

Tři vrcholy jsou mladý pasiáns s doloženým autorem a rokem (Robert Hogue, 1989). U většiny starých pasiánsů autora neznáme: pravidla se předávala ústně a v příručkách se lišila. Proto mají některé hry víc jmen a jedno jméno může v různých zemích označovat různé hry – jako Canfield a Demon.

Mistrovská pomůcka

Pro děti je nejlepší začít Golfem nebo Pyramidou: pravidla se vejdou do jedné věty a trénují počítání (o jednu víc, o jednu míň, doplněk do 13). Klondike přidá plánování, FreeCell a Pavouk dlouhodobé plánování s prázdnými sloupci.

3.8Procvičení

Kolik karet má v Yukonu nejdelší sloupec, kolik je v něm rubových a kolik lícových karet?

Sloupec 7 má 11 karet: 6 rubových a 5 lícových. (Sloupce 2 až 7 mají vždy 5 lícových karet na 1 až 6 rubových.)

Z kolika karet se skládá pyramida s osmi řadami a kolik karet by zůstalo v zásobě z jednoho balíčku?

1 + 2 + … + 8 = 8 · 9 / 2 = 36 karet, v zásobě 52 − 36 = 16 karet.

V Golfu leží na hromádce ♠J. Které hodnoty na ni smíte přiložit? A na ♥K?

Na kluka desítku nebo dámu (libovolné barvy, celkem až 8 karet). Na krále v přísné verzi nic: pravidlo zakazuje přiložit na krále i dámu, přestože je o jednu nižší, a eso se s králem nespojuje. Král na hromádce tedy uzavře řetěz a další kartu musíte vzít ze zásoby.

V Canfieldu leží na první základně ♦8. Od kterých karet začnou ostatní základny a která karta přijde na ♦8?

Ostatní základny začínají osmičkami (♠8, ♥8, ♣8). Na ♦8 přijde ♦9, za ♦K pokračuje ♦A až po ♦7.

Proč je FreeCell hrou „přemýšlení“ a Klondike hrou „přemýšlení a náhody“? Uveďte dva rozdíly v pravidlech.

Ve FreeCellu jsou všechny karty vidět od začátku, v Klondike je 21 karet rubem a 24 v balíčku. FreeCell má navíc volné buňky a prázdný sloupec pro libovolnou kartu, takže se dá dlouho dopředu plánovat; v Klondike se často rozhodujete, aniž víte, co leží pod rubem.

Co si odnést

FreeCell: vše lícem, 4 volné buňky, prázdný sloupec pro libovolnou kartu.
Pavouk: 2 balíčky, sady od krále k esu, přesouvají se jen řady v jedné barvě.
Pyramida páruje do 13, Tři vrcholy a Golf hrají o jednu výš nebo níž; Yukon a Canfield jsou příbuzní Klondike.

Část IZáklady

První strategie Klondikezáklady

Klondike se nevyhrává rychlým klikáním, ale odkrýváním. Čtyři zásady pokryjí většinu rozhodnutí: odkrývejte sloupce s nejvíc rubovými kartami, prázdný sloupec držte pro krále, který něco uvolní, na základny posílejte jen karty, které už nikdo nepotřebuje, a krále vybírejte podle toho, kdo na něj čeká.

🔦

Hrát Klondike je jako hledat klíče ve tmě s baterkou. Každá otočená karta je kousek osvětlené podlahy. Kdo svítí pořád na stejné místo – přehazuje karty, které nic neodkryjí –, klíče nenajde. Kdo posvítí tam, kde je nejvíc tmy, má největší šanci.

Obr. 4.1 Zásada 1 v praxi. Na srdcovou osmičku můžete přeložit pikovou i křížovou sedmičku. Oba tahy otočí jednu kartu, ale ♣7 uvolňuje sloupec s pěti rubovými kartami – tam leží nejvíc neznámých karet, které budete jednou potřebovat.

Minihra: Který tah je nejlepší?

Laboratoř ukáže pozici a tři možnosti. Vyberte tu, kterou byste podle zásad zahráli jako první. Vysvětlení a vyznačení karet se ukážou až po výběru. Kolo má šest pozic; za aspoň pět správných získáte 20 XP.

MINIHRA

0 / 6

Souboj strategií

Počítač odehraje stejná náhodná rozdání třemi hráči. Náhodný vybírá náhodně mezi užitečnými tahy a líznutím. Hltavý pošle na základnu všechno, co jde, a jinak táhne první tah, který najde. Odkrývač hraje podle zásad této kapitoly. Nikdo z nich nevidí pod rub. Graf ukazuje podíl vyhraných her s 95% intervalem spolehlivosti.

LABORATOŘ

Model: Klondike s neomezenými průchody balíčkem, bez vracení ze základny; hra končí výhrou, nebo když celý průchod balíčkem nepřinese jediný tah (odkrývač pak zkusí ještě riskantní tah na základnu). Každá strategie hraje stejná rozdání (stejný seed). Interval spolehlivosti z normální aproximace: p ± 1,96 · √(p(1 − p)/n). Jde o jednoduché modelové hráče, ne o nejlepší možnou hru.

+Teorie: čtyři zásady Klondike, bezpečný tah na základnu a co ukázala simulace

4.1Zásada 1: odkrývejte, kde je nejvíc tmy

Rubové karty jsou jediné, které v Klondike nemůžete hrát, dokud je neodkryjete. Každý tah proto hodnoťte otázkou: odkryje něco? Když máte víc tahů, které odkrývají, dejte přednost sloupci s nejvíc rubovými kartami. Po rozdání skrývají sloupce 5, 6 a 7 dohromady 15 z 21 rubových karet; dokud se do nich nedostanete, chybí vám skoro třetina balíčku.uncover, face-down cards

Tah, který nic neodkryje a nic neuvolní (přesun řady z jednoho sloupce do druhého jen proto, že to jde), je většinou zbytečný a někdy škodlivý: může zakrýt kartu, kterou byste za chvíli potřebovali.

4.2Zásada 2: prázdný sloupec jen pro krále, který něco uvolní

V Klondike smí prázdný sloupec obsadit jen král. Vyprázdnit sloupec má proto smysl, když je po ruce král, jehož přesun odkryje rubovou kartu (leží na rubových kartách) nebo uvolní odkládací hromádku. Král, který už leží na dně sloupce bez rubových karet pod sebou, se nepřesouvá – nic by to nepřineslo.empty column, space

Obr. 4.2 Zásada 4: barva krále. Na černou dámu ♠Q, která blokuje čtyři rubové karty, čeká jen červený král. Rozhoduje součet: kolik karet která volba celkem uvolní.

4.3Zásada 3: nespěchejte se základnami

Karta na základně je pryč – na sloupci by ale mohla posloužit jako místo, kam přiložit jinou kartu. Srdcová trojka je potřeba, dokud na ni může přijít černá dvojka. Užitečné pravidlo: kartu hodnoty r je bezpečné poslat na základnu, když obě základny opačné barvy už mají aspoň hodnotu r − 1 – pak žádná karta, která by na ni mohla přijít, už ve hře není.safe move to foundation

Bezpečný tah na základnu\[\text{karta } r \text{ (červená)}:\ F_{\spadesuit} \ge r-1 \ \wedge\ F_{\clubsuit} \ge r-1;\qquad \text{esa a dvojky vždy}\]

Esa a dvojky jsou bezpečné vždy: na eso ve sloupci nic nepřijde a dvojka by mohla přijmout jen eso, které patří na základnu. Nebezpečný tah na základnu ale není zakázaný – někdy je to jediný způsob, jak odkrýt kartu. Pak ho zahrajte, ale vědomě.

4.4Zásada 4: kterého krále

Máte-li jeden prázdný sloupec a dva krále, vyberte toho, po kterém následuje víc užitku. Podívejte se, jaké dámy a kluci čekají: na červeného krále půjde černá dáma, na ni červený kluk. Když černá dáma blokuje sloupec s rubovými kartami, je červený král cennější. Pokud nic nečeká, dejte přednost králi, který sám leží na rubových kartách.choice of king

Příklad Bezpečné, nebo ne?

Základny: ♠ do 4, ♥ do 6, ♦ do 3, ♣ do 5. Je bezpečné poslat ♥7? Opačné barvy (♠, ♣) mají 4 a 5, potřeba je aspoň 6 – ne, ♠6 ještě může chtít místo na ♥7. A ♣6? Opačné barvy (♥, ♦) mají 6 a 3, potřeba je aspoň 5 – ne, ♦5 ještě není na základně. A ♠5? Potřeba ♥ ≥ 4 a ♦ ≥ 4; káry mají jen 3 – ne. Bezpečná by byla jen ♦4 (♠ ≥ 3 a ♣ ≥ 3 platí).

4.5Další dobré návyky

Než líznete, projděte stůl. Tah ve sloupcích, který odkryje kartu, má skoro vždy přednost před líznutím.
Z hromádky hrajte, když to pomůže. Karta z odkládací hromádky na sloupec nic neodkryje, ale uvolní kartu pod ní a zkrátí balíček.
Přemýšlejte o dvou tazích dopředu. Když po tahu A půjde ještě tah B, který odkryje kartu, je A lepší než tah, po kterém nic nenásleduje.
Pozor na zablokování. Když dáte červenou osmičku na jediný dostupný černý devítku, zablokujete tím místo pro druhou červenou osmičku. Mějte přehled, kolik míst pro kterou kartu ještě zbývá.

4.6Co ukázala simulace

Tři modeloví hráči odehráli po 20 000 stejných náhodných rozdání (seed 2027 pro lízání po jedné, 2029 po třech). Výsledky s 95% intervalem spolehlivosti:

**Tab. 4.1**Podíl vyhraných her a průměrný počet karet na základnách (20 000 rozdání na hráče)
Hráč	Po 1: výhry	Po 1: karet na základnách	Po 3: výhry	Po 3: karet na základnách
náhodný	20,2 % ± 0,6	17,9	0,8 % ± 0,1	4,3
hltavý	31,1 % ± 0,6	24,2	7,3 % ± 0,4	10,9
odkrývač	41,1 % ± 0,7	27,0	13,3 % ± 0,5	12,7

„Náhodný“ hráč vybírá jen mezi užitečnými tahy (tahy, které odkryjí kartu, vyprázdní sloupec nebo pošlou kartu na základnu), proto není úplně bezradný. Kdyby táhl zcela náhodně, přesouval by karty tam a zpět a skoro nevyhrál.

Zásady přidávají odkrývači proti hltavému hráči zhruba deset procentních bodů výher po jedné kartě a šest po třech. Lízání po třech je výrazně těžší pro všechny: jednoduché strategie vyhrají jen zlomek her. Kapitola 10 ukáže, že i se znalostí všech karet jde po třech vyhrát nejvýš asi 82 % rozdání; zbytek rozdílu je informace, kterou hráč nemá, a strategie, kterou neumí.

Pozor

Průměr 41 % neznamená, že každá prohraná hra byla chyba. Část rozdání vyhrát nejde vůbec a část jde vyhrát jen s pohledem pod rub. Prohra po rozumné hře je normální; poučit se dá z her, kde jste v rozhodující chvíli zvolili tah proti zásadám.

Mistrovská pomůcka

Než klepnete, řekněte si nahlas jednu větu: „Tímhle tahem odkryju…“ Když větu nedokončíte, tah nejspíš nic nepřinese. Funguje to i u dětí – učí se hodnotit tah podle cíle, ne podle toho, že je možný.

4.7Procvičení

Základny: ♠ do 2, ♥ do 3, ♦ do 3, ♣ do 4. Které z karet ♥4, ♣5, ♦4, ♠3 je bezpečné poslat na základnu?

♥4: černé ♠2, ♣4, potřeba ≥ 3 – ne (piky mají 2). ♣5: červené ♥3, ♦3, potřeba ≥ 4 – ne. ♦4: ♠2, ♣4, potřeba ≥ 3 – ne. ♠3: ♥3, ♦3, potřeba ≥ 2 – ano. Bezpečná je jen ♠3.

Máte prázdný sloupec, ♠K leží na dně sloupce 1 bez rubových karet a ♥K leží na čtyřech rubových kartách ve sloupci 5. Kterého krále přesunete a proč?

♥K ze sloupce 5: odkryje jednu ze čtyř rubových karet. Přesun ♠K by nic neodkryl, jen by „přestěhoval“ prázdný sloupec.

Hltavý hráč vyhrál 31,1 % a odkrývač 41,1 % z 20 000 her. Kolik her navíc vyhrál odkrývač a o kolik procent relativně je lepší?

Rozdíl 10 procentních bodů z 20 000 her je asi 2 000 her. Relativně 41,1 / 31,1 ≈ 1,32, tedy zhruba o 32 % víc výher.

Simulace po 300 hrách ukáže 40 % výher. Jak široký je 95% interval spolehlivosti a stačí 300 her k rozlišení 31 % a 41 %?

√(0,4 · 0,6 / 300) ≈ 0,0283, interval ± 1,96 · 0,0283 ≈ ± 5,5 procentního bodu, tedy asi 34,5 až 45,5 %. Pro 31 % vychází polovina intervalu asi 5,2 bodu. Součet 5,2 + 5,5 = 10,7 bodu je větší než rozdíl 10 bodů, intervaly se tedy těsně překrývají – 300 her stačí jen na hrubé rozlišení. Na jisté srovnání je potřeba 1 000 a víc her (při 1 000 hrách jsou poloviny intervalů asi 2,9 a 3,0 bodu).

Proč odkrývač nezačíná přesunem řady ♥9 ♣8 ze sloupce bez rubových karet na ♠10 v jiném sloupci, když nečeká žádný král?

Tah nic neodkryje (pod řadou nic není) a vyprázdněný sloupec nemá kdo obsadit. Navíc zablokuje ♠10 pro druhou červenou devítku. Tah má smysl až ve chvíli, kdy je po ruce král, jehož přesun něco uvolní.

Co si odnést

Každý tah hodnoťte otázkou „co odkryje?“; přednost má sloupec s nejvíc rubovými kartami.
Prázdný sloupec vytvářejte pro krále, jehož přesun něco uvolní; krále vybírejte podle karet, které na něj čekají.
Esa a dvojky na základnu vždy; ostatní karty, až když je obě opačné barvy nepotřebují.

Část IIPokročilí

Pokročilá Klondikepokročilí

Po třech kartách se z balíčku dostane navrch jen každá třetí karta – a které to budou, rozhodujete vy tím, co z odkládací hromádky odehrajete. Pokročilý hráč proto s balíčkem plánuje, někdy tah záměrně odloží, umí vrátit kartu ze základny a pozná, kdy je hra ztracená.

⚙️

Balíček po třech je jako ozubené kolo, které se otáčí po třech zubech. Dokud nic nevyndáte, ukazuje pořád stejné zuby. Každá odehraná karta posune další zuby o jeden – najednou uvidíte karty, které předtím byly vždy schované. Kdo to ví, točí kolem úmyslně.

Obr. 5.1 Posun trojic. V prvním průchodu se navrch dostanou pozice 3, 6, …, 24. Když odehrajete kartu z pozice 6, ve druhém průchodu se trojice za ní posunou o jednu a navrch se dostanou karty 3, 7, 10, 13, 16, 19, 22 a 24 – šest z nich jste dosud neviděli.

Cyklus balíčku

Balíček je rozložený v řadě v pořadí, v jakém se líže. Oranžově jsou karty, které se v tomto průchodu dostanou navrch, když už nic neodehrajete; modře je aktuální vrchní karta odkládací hromádky. Lízejte a zkuste vrchní kartu „zahrát“ (odebrat) – sledujte, jak se v příštím průchodu posune oranžová sada.

LABORATOŘ

Karet v balíčku

Model: karty jsou očíslované podle pořadí v balíčku na začátku hry (1 = první líznutá). Neomezeně průchodů; po obrácení hromádky zůstává pořadí karet stejné. „Zahrát“ znamená, že kartu odnesete na sloupec nebo základnu; karta pod ní se tím stane vrchní kartou hromádky.

Minihra: Je hra ztracená?

U každé situace rozhodněte, zda je hra už ztracená, nebo se ještě dá hrát (případně je dokonce vyhraná). Vysvětlení se ukáže po výběru. Za aspoň 7 správných z 8 získáte 15 XP.

MINIHRA

0 / 8

+Teorie: matematika cyklu balíčku, plánování, odklad tahu, vracení ze základny a konec hry

5.1Cyklus balíčku po třech

Má-li balíček s karet a líže se po k, rozdělí se průchod na ⌈s/k⌉ líznutí. Navrch se dostanou karty na pozicích k, 2k, 3k, … a poslední karta balíčku, pokud s není násobek k. Počet karet, které v průchodu uvidíte, je proto

Viditelné karty v jednom průchodu\[v(s,k) = \left\lceil \frac{s}{k} \right\rceil,\qquad v(24,3) = 8,\quad v(23,3) = 8,\quad v(21,3) = 7.\]

Klíčové pozorování: když z hromádky nic neodehrajete, další průchod je stejný – uvidíte zase tytéž karty. Při neomezených průchodech se tedy zbylé karty balíčku nikdy neukážou. Jakmile ale kartu z pozice p odehrajete, posunou se v dalším průchodu všechny trojice za ní o jednu pozici. Zároveň se během téhož průchodu uvolní karta pod odehranou kartou (pozice p − 1), která byla dosud skrytá.stock cycle, draw three, phase

Příklad Co se stane po dvou odehraných kartách

Balíček 24 karet, po třech. V prvním průchodu odehrajete kartu 6 a hned pod ní uvolněnou kartu 5. Zbývá 22 karet v pořadí 1, 2, 3, 4, 7, 8, …, 24. Druhý průchod: trojice (1, 2, 3), (4, 7, 8), (9, 10, 11), (12, 13, 14), (15, 16, 17), (18, 19, 20), (21, 22, 23) a zbytek (24). Navrch se dostanou karty 3, 8, 11, 14, 17, 20, 23 a 24 – po dvou odehraných kartách se trojice posunuly o dvě pozice.

5.2Plánování a počítání karet

Pokročilý hráč si pamatuje, kde leží důležité karty: které esa a dvojky už viděl v balíčku, kolik míst zbývá pro červenou osmičku (dvě černé devítky – leží obě na stole, nebo je jedna zakopaná?), které krále ještě nezná. Z toho plyne plán: odkrýt sloupec, kde musí ležet chybějící karta, nebo v balíčku „naladit“ trojice tak, aby se potřebná karta dostala navrch.card counting, planning

V Klondike po jedné kartě je plánování s balíčkem jednodušší: každou kartu uvidíte v každém průchodu. Hlavní rozhodnutí jsou pak ve sloupcích – a v tom, zda kartu z hromádky zahrát hned, nebo nechat na příští průchod.

5.3Odklad tahu

Ne každý možný tah je dobré zahrát hned. Typické důvody k odkladu:

Blokování místa. ♠8 z hromádky na jedinou volnou ♥9 zabere místo, které bude potřebovat ♣8 ležící na rubových kartách. Lepší je nejdřív odkrýt sloupec.
Fáze balíčku. Po třech kartách každé odehrání posune trojice. Když víte, že ve třetí trojici leží potřebné eso, může být výhodnější nic nehrát, než ho „přeskočit“.
Bezpečnost základny. Nebezpečný tah na základnu (kapitola 4) odložte, dokud není potřeba.

5.4Vracení ze základny

Pravidla většinou dovolují vrátit vrchní kartu základny do sloupce. Pomůže, když potřebujete místo pro kartu opačné barvy o jednu nižší: ♥5 ze základny na ♠6 a na ni ♣4, která tím odkryje rubovou kartu. Ve standardním bodování to stojí 15 bodů. Výzkum Blakea a Genta zjistil, že vracení je nezbytné k výhře jen v malém podílu rozdání: po třech kartách v 0,52 % ± 0,04 % her, po jedné v 0,34 % ± 0,08 % (počítáno se znalostí všech karet).worrying back

5.5Kdy je hra ztracená

Při neomezených průchodech je hra ztracená, když celý průchod balíčkem nepřinese jediný tah a ve sloupcích ani ze základny nejde nic zahrát: každý další průchod bude přesně stejný. Při omezeném počtu průchodů končí hra s posledním průchodem.

Druhý typ prohry je zablokování (deadlock): karta leží nad všemi kartami, na které by mohla přijít. Například ve sloupci leží rubem ♣5, ♥7 a ♦7 a navrchu ♣6. Křížová šestka by potřebovala červenou sedmičku – obě leží pod ní. Na základnu potřebuje ♣5 – leží pod ní. A do prázdného sloupce smí jen král. ♣6 se nikdy nepohne a karty pod ní se nikdy neodkryjí. Taková hra je ztracená už od rozdání, jen to hráč neví.deadlock, unwinnable deal

Z výzkumu

Vlastní simulace průvodce (100 000 náhodných rozdání pro každý způsob lízání): hned po rozdání nejde ve sloupcích ani na základnu zahrát nic zhruba v 8,8 % her. Úplně „nehratelné“ rozdání, kdy se ani během celého prvního průchodu neobjeví jediný tah, vyšlo po třech kartách ve 0,24 % her a po jedné kartě ani jednou – po jedné totiž projdete všech 24 karet balíčku.

Mistrovská pomůcka

Než prohlásíte hru za ztracenou, udělejte „kontrolní kolo“: projděte všechny sloupce zleva doprava a u každé lícové karty se zeptejte, kam by mohla jít (sloupec, základna) a co by ji mohlo nahradit (vracení ze základny). Teprve pak lízejte dál.

5.6Procvičení

Balíček má 17 karet a líže se po třech. Kolik karet uvidíte v průchodu a na kterých pozicích?

⌈17 / 3⌉ = 6 karet: pozice 3, 6, 9, 12, 15 a poslední 17.

Balíček 24 karet, po třech. V prvním průchodu odehrajete jen kartu 3. Které pozice uvidíte ve druhém průchodu?

Zbývá 1, 2, 4, 5, …, 24 (23 karet). Trojice (1, 2, 4), (5, 6, 7), (8, 9, 10), …, (20, 21, 22) a zbytek (23, 24): navrch 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 24.

Kolik průchodů po třech s balíčkem 24 karet potřebujete nejméně k tomu, abyste viděli všech 24 karet, když z hromádky nikdy nic neodehrajete?

Nikdy je neuvidíte – každý průchod je stejný, navrch se dostanou pořád karty 3, 6, …, 24 (8 karet). Ostatních 16 se ukáže, až když něco odehrajete.

Ve sloupci leží odspodu rubem ♦9 a ♥9 a navrchu lícem ♠8. Pikové karty ♠A až ♠7 leží jinde (ve sloupcích a v balíčku). Je hra kvůli tomuto sloupci ztracená?

Ne nutně. ♠8 sice nemůže na červenou devítku (obě leží pod ní) ani do prázdného sloupce (není král), ale může odejít na základnu, jakmile tam budou ♠A až ♠7 – a ty leží jinde, takže to jde. Zablokování by nastalo, kdyby pod ♠8 ležela i některá z karet ♠A až ♠7.

Proč je ve hře po jedné kartě s neomezenými průchody „nehratelné“ rozdání tak vzácné?

Po jedné uvidíte v každém průchodu všech 24 karet balíčku. Aby nešlo nic zahrát, nesmí žádná z 24 karet balíčku ani ze 7 lícových karet pasovat na sloupec ani na základnu – mezi 31 viditelnými kartami nesmí být žádné eso ani vhodná dvojice. To je velmi nepravděpodobné; v simulaci 100 000 her nenastalo ani jednou.

Co si odnést

Po třech kartách: bez odehrání z hromádky je každý průchod stejný; každá odehraná karta posune trojice.
Někdy je lepší tah odložit – kvůli blokování místa, fázi balíčku nebo bezpečnosti základny.
Hra je ztracená, když celý průchod nic nepřinese, nebo když se karta zablokuje nad vším, co potřebuje.

Část IIPokročilí

FreeCell a supertahpokročilí

Ve FreeCellu je všechno vidět a skoro každé rozdání jde vyhrát. Rozhoduje plánování a hospodaření s volnými buňkami a prázdnými sloupci. Kolik karet najednou přenesete, říká jednoduchý vzorec (f + 1) · 2^e: volná buňka přidá jednu kartu, prázdný sloupec počet zdvojnásobí.

🧳

Volné buňky jsou jako odkládací místa na nádraží: do každé se vejde jedno zavazadlo. Prázdný sloupec je celá úschovna – můžete do něj dočasně postavit půlku hromady a pak ji přenést zpátky. Kdo úschovnu zbytečně zaplní jedním kufrem, bude ji za chvíli marně shánět.

Obr. 6.1 Supertah se čtyřmi kartami přes jednu volnou buňku a jeden prázdný sloupec. Bez prázdného sloupce by šly přenést jen 2 karty (karta do buňky, karta na cíl, karta z buňky). Prázdný sloupec počet zdvojnásobí: dvakrát po dvou kartách a jednou zpátky, celkem 3 + 3 + 3 = 9 jednotlivých přesunů.

Kalkulačka supertahu

Nastavte počet volných buněk a prázdných sloupců a zda cílem je karta v jiném sloupci, nebo prázdný sloupec. Laboratoř spočítá největší přenositelnou řadu a pro zvolenou délku řady vypíše plán jednotlivých přesunů. Graf ukazuje, jak největší řada roste s prázdnými sloupci.

LABORATOŘ

Volné buňky f Prázdné sloupce e

Délka řady n

Model: FreeCell, přesouvá se vždy jedna karta. Řada se přenáší rekurzivně: horní část do jednoho prázdného sloupce, spodní část na cíl, horní část z pomocného sloupce na cíl. Když je cílem prázdný sloupec, nemůže zároveň sloužit jako pomocný, proto se počítá s e − 1 sloupci. Karty v plánu jsou očíslované od spodní (1) po vrchní (n).

Minihra: Kolik karet přesunete?

Laboratoř popíše situaci ve FreeCellu a vy vyberete, kolik karet nejvýš přenesete jedním supertahem. Výsledek a výpočet se ukážou až po výběru. Kolo má šest situací; za aspoň pět správných získáte 15 XP.

MINIHRA

0 / 6

+Teorie: odvození supertahu, počet přesunů, plánování a neřešitelná rozdání

6.1Pravidla v kostce

Osm sloupců (4 × 7 a 4 × 6 karet), všechny karty lícem, čtyři volné buňky a čtyři základny. Ve sloupcích se staví dolů se střídáním barev, na základny nahoru v barvě. Pravidla dovolují přesunout jednu kartu: vrchní kartu sloupce na jiný sloupec, do buňky nebo na základnu, kartu z buňky na sloupec nebo základnu. Prázdný sloupec smí obsadit libovolná karta.FreeCell rules, single-card moves

6.2Supertah: odvození vzorce

Přenést celou řadu najednou pravidla nedovolují – ale řadu jde přenést posloupností jednotlivých přesunů. Počítačové verze to dělají za vás a nazývají to supertah (supermove). Kolik karet se tak dá přenést?supermove, sequence move

Bez prázdných sloupců (e = 0): horních f karet řady odložíte do f volných buněk, spodní kartu přesunete na cíl a karty z buněk vrátíte na ni v opačném pořadí. Přenesete tedy f + 1 karet.

S prázdnými sloupci: označme C(f, e) největší řadu, kterou přenesete s f buňkami a e prázdnými sloupci na kartu v jiném sloupci. Jeden prázdný sloupec použijeme jako úschovnu: horní část řady do něj přeneseme (máme přitom k dispozici f buněk a e − 1 dalších prázdných sloupců, tedy až C(f, e − 1) karet), spodní část přeneseme na cíl (opět až C(f, e − 1) karet) a horní část z úschovny přeneseme na cíl (zase až C(f, e − 1) karet). Proto

Supertah (odvození indukcí)\[C(f,0) = f+1,\qquad C(f,e) = 2\,C(f,e-1)\quad\Rightarrow\quad C(f,e) = (f+1)\cdot 2^{e}.\]

Když je cílem prázdný sloupec, nemůže zároveň sloužit jako úschovna, takže se počítá jen s ostatními e − 1 prázdnými sloupci: C = (f + 1) · 2^e−1. Tento počet je největší, jaký se dá popsaným postupem přenést, a počítačové verze ho používají jako limit supertahu.

**Tab. 6.1**Největší přenositelná řada (f + 1) · 2^e na kartu v jiném sloupci
buňky f \ prázdné sloupce e	0	1	2	3	4
0	1	2	4	8	16
1	2	4	8	16	32
2	3	6	12	24	48
3	4	8	16	32	64
4	5	10	20	40	80

Ve skutečné hře je řada omezená i tím, že v ní musí karty jít po sobě se střídáním barev – nejdelší možná je 13 karet od krále k esu.

Kolik jednotlivých přesunů supertah stojí

Řadu f + 1 karet přes buňky přenesete za 2f + 1 přesunů (f do buněk, jedna na cíl, f zpět). Každý prázdný sloupec znamená, že se poloviční úloha řeší třikrát. Pro největší řadu proto

Počet přesunů největšího supertahu\[M(f,e) = (2f+1)\cdot 3^{e},\qquad M(1,1) = 9,\quad M(2,2) = 45,\quad M(3,2) = 63.\]

Příklad Osm karet přes jednu buňku a dva sloupce

C(1, 2) = 2 · 2² = 8. Postup: horní 4 karty do prázdného sloupce A (přitom pomáhá buňka a sloupec B; 9 přesunů), spodní 4 karty na cíl (9 přesunů), 4 karty ze sloupce A na cíl (9 přesunů). Celkem 27 přesunů, tedy (2 · 1 + 1) · 3² = 27.

Pozor

Častá chyba je sčítat: „mám 2 buňky a 2 sloupce, přesunu 5 karet“. Ve skutečnosti 3 · 2² = 12. A naopak: když chcete řadu přesunout do prázdného sloupce, počítejte o jeden prázdný sloupec méně – se 2 buňkami a 1 prázdným sloupcem jako cílem přesunete jen 3 karty.

6.3Plánování

Najděte esa a dvojky. Ležící hluboko ve sloupcích určují plán: kolik karet nad nimi musíte někam přesunout.
Prázdný sloupec je cennější než buňka. Buňka přidá jednu kartu supertahu, sloupec ho zdvojnásobí. Vyprázdnit krátký sloupec bývá dobrý začátek.
Buňky šetřete. Každá obsazená buňka zmenší supertah. Odkládejte do ní kartu jen s plánem, kdy ji zase uvolníte.
Myslete pozpátku. Ptejte se: „Abych uvolnil ♣A, musím přesunout ♦7, ♠5 a ♥Q – kam?“

6.4Slavná neřešitelná rozdání

FreeCell, který se v 90. letech rozšířil s osobními počítači, obsahoval 32 000 číslovaných rozdání; číslo rozdání sloužilo jako seed generátoru náhodných čísel (kapitola 12). V letech 1994–1995 je dobrovolníci na internetu prošli jedno po druhém (Internet FreeCell Project, srpen 1994 až duben 1995) a vyřešili všechna kromě jediného: rozdání č. 11982. Počítačové řešiče později prošly i první milion rozdání v tomto číslování a našly osm neřešitelných: 11982, 146692, 186216, 455889, 495505, 512118, 517776 a 781948.deal 11982, unsolvable deal

Ve velkých vzorcích náhodných rozdání vychází neřešitelné zhruba jedno rozdání z 85 až 90 tisíc: výzkum Blakea a Genta uvádí vyhratelnost 99,998881 % ± 0,000207 %. S méně buňkami hra rychle těžkne:

**Tab. 6.2**Vyhratelnost FreeCellu podle počtu volných buněk (Blake a Gent)
Volné buňky	4	3	2	1	0
vyhratelných rozdání	99,999 %	99,358 %	79,544 %	19,348 %	0,214 %

Z historie

Bakerovu hru, předchůdce FreeCellu se stavěním v barvě, popsal Martin Gardner v rubrice Matematické hry časopisu Scientific American (červen 1968). Paul Alfille změnil stavění na střídání barev a roku 1978 hru naprogramoval jako student na univerzitním systému PLATO. Masově se FreeCell rozšířil v 90. letech v osobních počítačích.

Mistrovská pomůcka

Pamatujte si tabulku „1–2–4–8“: bez buněk přenesete s 0, 1, 2, 3 prázdnými sloupci 1, 2, 4, 8 karet. Každá buňka pak tento řádek vynásobí: se 2 buňkami trojnásobek (3, 6, 12, 24), se 3 buňkami čtyřnásobek.

6.5Procvičení

Máte 3 volné buňky a 1 prázdný sloupec. Kolik karet přenesete na kartu v jiném sloupci a kolik do prázdného sloupce?

Na kartu: (3 + 1) · 2¹ = 8. Do prázdného sloupce: (3 + 1) · 2⁰ = 4.

Chcete přenést řadu 10 karet. Kolik nejméně prázdných sloupců potřebujete se 2 buňkami? A s 4 buňkami?

Se 2 buňkami: 3 · 2^e ≥ 10 ⇒ 2^e ≥ 3,34 ⇒ e = 2 (12 karet). Se 4 buňkami: 5 · 2^e ≥ 10 ⇒ e = 1 (10 karet).

Kolik jednotlivých přesunů stojí přenos 6 karet se 2 buňkami a 1 prázdným sloupcem?

Jde o největší řadu pro f = 2, e = 1: (2 · 2 + 1) · 3¹ = 15 přesunů (3 karty do prázdného sloupce za 5, 3 karty na cíl za 5, 3 karty zpět za 5).

Kdy zvýší největší supertah víc jeden prázdný sloupec navíc než jedna volná buňka navíc? Porovnejte 2 · C(f, e) a C(f + 1, e).

2(f + 1) · 2^e > (f + 2) · 2^e ⇔ 2f + 2 > f + 2 ⇔ f > 0. Při aspoň jedné buňce je prázdný sloupec cennější; bez buněk (f = 0) přidají sloupec i buňka stejně (z 1 na 2).

Rozdání FreeCellu jde vyhrát s pravděpodobností 99,998881 %. Kolik neřešitelných rozdání čekáte mezi 32 000 a mezi milionem náhodných rozdání?

Podíl neřešitelných 0,001119 %: mezi 32 000 asi 32 000 · 0,00001119 ≈ 0,36 (tedy nejspíš žádné nebo jedno – skutečně bylo jedno), mezi milionem asi 11. Pozorovaných 8 v prvním milionu číslovaných rozdání je s tím v souladu (náhodné kolísání kolem 11 je zhruba ± 3).

Co si odnést

Supertah: (f + 1) · 2^e karet na kartu, (f + 1) · 2^(e − 1) do prázdného sloupce.
Prázdný sloupec zdvojnásobí supertah, buňka přidá jednu kartu – sloupce jsou cennější.
Skoro každé rozdání FreeCellu jde vyhrát; nejslavnější výjimka je č. 11982.

Část IIPokročilí

Pavoukpokročilí

Pavouk se hraje se dvěma balíčky a cílem je složit ve sloupcích osm sad od krále k esu v jedné barvě. Přikládat smíte bez ohledu na barvu, ale přesouvat celou řadu jen tehdy, je-li v jedné barvě. Celá strategie se točí kolem toho: stavět v barvě, uvolňovat prázdné sloupce a rozdávat další řadu až ve chvíli, kdy už nejde nic zlepšit.

🕸️

Pavouk je jako úklid ponožek po praní. Hodit ponožku na jakoukoli hromádku je snadné, ale dvojice dáte dohromady, jen když k sobě dáváte stejné barvy. Kdo hází všechno dohromady, má na konci hromadu, se kterou se nedá hnout. A každé další rozdání je nový koš prádla, který vám někdo vysype na všechny hromádky najednou.

Obr. 7.1 Řada v jedné barvě se přesouvá najednou, smíšená řada jen po částech (segmentech). Úplná sada od krále k esu v jedné barvě sama odejde ze hry. Prázdné sloupce fungují jako ve FreeCellu bez buněk: každý zdvojnásobí, kolik segmentů přenesete.

Barvy a první rozdání

Laboratoř rozdá tisíce náhodných her Pavouka s jednou, dvěma nebo čtyřmi barvami a spočítá, kolik tahů mezi deseti lícovými kartami je hned po rozdání možných a kolik z nich vytvoří řadu v barvě. Nahoře je jedno ukázkové rozdání: zeleně tahy v barvě, oranžově ostatní.

LABORATOŘ

Model: 104 karet (8 sad po 13), u jedné barvy 8 × piky, u dvou barev 4 × piky a 4 × srdce. Rozdání: 4 sloupce po 6 a 6 sloupců po 5 kartách, vrchní karta lícem. Tah = lícová karta na jinou lícovou kartu o jednu vyšší (uspořádané dvojice sloupců). Přesná střední hodnota: 90 · 12 · (8/104) · (8/103) ≈ 6,45 tahů; v barvě 6,45, 3,23 a 1,61 pro 1, 2 a 4 barvy.

Minihra: Rozdat další řadu?

U každé situace rozhodněte, zda je správný čas rozdat ze zásoby další řadu, nebo zda máte ještě něco udělat (nebo rozdávat ani nesmíte). Vysvětlení se ukáže po výběru. Za aspoň 7 správných z 8 získáte 15 XP.

MINIHRA

0 / 8

+Teorie: pravidla, barvy a obtížnost, segmenty a prázdné sloupce, kdy rozdávat

7.1Pravidla

Dva balíčky (104 karet). Do deseti sloupců se rozdá 54 karet – čtyři sloupce po šesti, šest po pěti –, navrchu každého sloupce jedna karta lícem; 50 karet zůstane v zásobě. Na kartu smí přijít karta o jednu nižší libovolné barvy. Přesunout smíte vrchní kartu nebo řadu, která je seřazená dolů v jedné barvě. Prázdný sloupec smí obsadit libovolná karta nebo řada. Když ve sloupci vznikne úplná sada od krále k esu v jedné barvě, odejde na základnu. Jedno rozdání ze zásoby položí po jedné kartě na každý z deseti sloupců; rozdávat se nesmí, dokud je některý sloupec prázdný. Osm sad znamená výhru.Spider rules, complete suit sequence

Počty karet v Pavoukovi\[4\cdot 6 + 6\cdot 5 = 54,\qquad \text{rubem } 4\cdot 5 + 6\cdot 4 = 44,\qquad \text{zásoba } 104 - 54 = 50 = 5 \cdot 10.\]

7.2Barvy a obtížnost

S jednou barvou (8 × piky) je každá přiložená karta zároveň v barvě – každou vzniklou řadu jde přesouvat najednou. Se dvěma barvami (piky a srdce) je v barvě v průměru polovina přiložení, se čtyřmi jen čtvrtina. Počet možností je přitom pořád stejný: hned po rozdání je mezi lícovými kartami v průměru 6,45 tahu (uspořádaných dvojic „karta na kartu o jednu vyšší“), ať hrajete s jakoukoli barvou. Mění se jen to, kolik z nich je „dobrých“: 6,45, 3,23, nebo 1,61.one suit, two suits, four suits

Střední počet tahů mezi 10 lícovými kartami\[E[T] = 90 \cdot 12 \cdot \frac{8}{104}\cdot\frac{8}{103} \approx 6{,}45,\qquad E[T_{\text{v barvě}}] = 90 \cdot 12 \cdot \frac{8}{104}\cdot\frac{8/b}{103} \approx \frac{6{,}45}{b}\]

kde b je počet barev (1, 2, 4): karet o jednu vyšší a stejné barvy je v balíčku 8/b. Simulace v laboratoři tyto hodnoty potvrzuje a dodává, co vzorec neřekne: zhruba v 0,6 % rozdání není hned po rozdání možný žádný tah.

7.3Segmenty a prázdné sloupce

Smíšenou řadu, třeba ♠10 ♥9 ♥8 ♠7, tvoří tři segmenty v barvě (♠10 | ♥9 ♥8 | ♠7). Každý segment se přesouvá najednou, ale celou řadu najednou ne. Přenést ji jde přes prázdné sloupce stejně jako ve FreeCellu bez volných buněk: s e prázdnými sloupci přenesete na kartu v jiném sloupci až 2^e segmentů, do prázdného sloupce 2^e−1.segment, suit run

Přenos smíšené řady v Pavoukovi\[S(e) = 2^{e}\ \text{segmentů na kartu},\qquad S'(e) = 2^{e-1}\ \text{do prázdného sloupce}\quad(\text{FreeCell s } f = 0)\]

Příklad Přesun smíšené řady

Řada ♠10 | ♥9 ♥8 | ♠7 má 3 segmenty a cílem je ♦J. S jedním prázdným sloupcem přenesete jen 2¹ = 2 segmenty – nestačí. Se dvěma prázdnými sloupci X a Y až 2² = 4: ♠7 do X, ♥9 ♥8 do Y, ♠10 na ♦J, ♥9 ♥8 z Y na ♠10 a ♠7 z X na ♥8. Celkem 5 přesunů segmentů a na ♦J leží celá řada.

7.4Strategie

Stavějte v barvě, kdykoli to jde. Má-li ♥9 na výběr ♠10 a ♥10, patří na ♥10 – řada v barvě se pak přesouvá najednou.
Odkrývejte vysoké sloupce (první čtyři mají pět rubových karet). Platí totéž co v Klondike: rubové karty jsou největší překážka.
Prázdný sloupec je zlato. Slouží k přeskládání smíšených řad do barvy a k přesunu dlouhých řad. Nezaplňujte ho kartou, která tam jen „překáží“.
Přeskládejte před rozdáním. Rozdání položí kartu na každý sloupec. Řada v barvě pod ní zůstane přesunutelná, smíšená řada se zablokuje ještě víc.

7.5Kdy rozdat další řadu

Rozdávejte, až když žádný tah nezlepší pozici: nic se neodkryje, nevznikne řada v barvě, nevyprázdní se sloupec a nedokončí se sada. Před rozdáním musí být všechny sloupce obsazené – pravidla nedovolí rozdávat s prázdným sloupcem. Nejlepší výplň prázdného sloupce před rozdáním je král nebo dlouhá řada v barvě, na kterou nová karta nic nezkazí.deal from stock

Pozor

Častá chyba začátečníků je rozdávat hned, když nevidí zjevný tah. Každé rozdání přidá 10 karet na stůl – a pokud ležely na smíšených řadách, prakticky je pohřbí. Před rozdáním si projděte, zda nejde nějaká karta přeložit do barvy.

Z historie a výzkumu

Pavouk patří mezi nejoblíbenější pasiánsy se dvěma balíčky; jméno odkazuje na osm „nohou“ – osm sad. Příručky her uvádějí, že při dobré hře se čtyřmi barvami vyjde zhruba každá třetí hra. Se znalostí všech karet vychází podle dosavadních odhadů vyhratelnost přes 98 % (Blake a Gent uvádějí 98,5 % ± 1,5 %, starší výpočet ještě víc). Zobecněný Pavouk je NP-úplný (J. Stern, 2011; kapitola 11).

7.6Procvičení

Kolik rozdání ze zásoby máte za hru a kolik karet bude celkem ve sloupcích po všech rozdáních, pokud mezitím neodejde žádná sada?

5 rozdání po 10 kartách; 54 + 50 = 104 karet (celé dva balíčky).

Řada ♣Q ♣J ♦10 ♦9 ♠8 má kolik segmentů? Kolik prázdných sloupců potřebujete na její přenos na červeného krále?

Segmenty: ♣Q ♣J | ♦10 ♦9 | ♠8 = 3. Potřeba 2^e ≥ 3, tedy e = 2.

Hrajete se dvěma barvami. Jaký je střední počet tahů v barvě mezi lícovými kartami po rozdání? Kolikrát je menší než u jedné barvy?

90 · 12 · (8/104) · (4/103) ≈ 3,23, tedy přesně dvakrát méně než 6,45 u jedné barvy.

Proč smí ve sloupci vzniknout smíšená řada, když ji pak nejde přesunout? Kdy se takové přiložení vyplatí?

Pravidla přikládání barvu nehlídají. Smíšené přiložení se vyplatí, když odkryje rubovou kartu nebo vyprázdní sloupec – zisk informace je větší než ztráta pohyblivosti. Bez takového zisku je lepší čekat na kartu v barvě.

Kolik procent karet je na začátku skrytých (rubem nebo v zásobě)?

44 + 50 = 94 ze 104, tedy 94 / 104 ≈ 90,4 %.

Co si odnést

Přikládat smíte bez ohledu na barvu, přesouvat najednou jen řady v jedné barvě.
S e prázdnými sloupci přenesete 2^e segmentů – prázdný sloupec je v Pavoukovi nejcennější.
Rozdávejte, až když nic nezlepší pozici; s prázdným sloupcem rozdávat nesmíte.

Část IIPokročilí

Pyramida, Tři vrcholy a Golfpokročilí

Tři rychlé pasiánsy, ve kterých se karty ze stolu odebírají: v Pyramidě dvojice se součtem 13, ve Třech vrcholech a v Golfu karty o jednu výš nebo níž. Náhoda tu hraje velkou roli, ale ne celou: kdo plánuje pořadí, šetří s kartami z balíčku a počítá, kolik potřebných karet ještě zbývá, vyhrává znatelně častěji.

🎯

Tři vrcholy jsou jako skákání po kamenech přes potok: smíte jen na kámen o jedna výš nebo níž. Dlouhý skok bez zastávky – řetěz – je radost, ale moudrý skokan se dívá, kam ho který kámen dovede dál. Když máte na výběr dvě karty, vyberte tu, po které zbude víc cest.

Obr. 8.1 Šest typů dvojic se součtem 13 a král, který odchází sám. Každá karta má ve zbytku balíčku čtyři možné partnery – tolik, kolik je karet doplňkové hodnoty.

Minihra: Pyramida

Klepněte na dvě volné karty se součtem 13 (eso 1, kluk 11, dáma 12); krále stačí klepnout jednou. Volná je karta, kterou nic nekryje, a vrchní karta odkládací hromádky. Klepnutím na balíček otočíte další kartu; balíčkem smíte projít třikrát. Za odebrání aspoň 21 z 28 karet pyramidy získáte 15 XP.

MINIHRA

0 / 28

Model: pyramida 28 karet lícem, balíček 24 karet se otáčí po jedné na odkládací hromádku, tři průchody. Pár tvoří dvě volné karty pyramidy nebo volná karta pyramidy a vrchní karta hromádky; dvě karty z hromádky spolu pár netvoří. Výhra = vyklizená pyramida (balíček vyklidit nemusíte).

Obr. 8.2 Řetěz ve Třech vrcholech. Na hromádku jde karta o jednu vyšší nebo nižší bez ohledu na barvu, směr se smí měnit. Sedm karet za sebou bez líznutí ze zásoby vyklidí čtvrtinu stolu.

Řetězy a riziko

Kolik je šance, že další karta ze zásoby naváže na kartu na hromádce? Zvolte hru a hodnotu karty na hromádce, kolik sousedních karet (o jednu výš a níž) jste ještě nikde neviděli a kolik karet je celkem neznámých. Laboratoř spočítá pravděpodobnost a průměrné čekání na první navazující kartu.

LABORATOŘ

Karta na hromádce

Neviděných sousedních karet Neznámých karet celkem

Model: neznámé karty (zásoba a rubové karty) jsou náhodně zamíchané. Pravděpodobnost, že další karta ze zásoby naváže: k / u. Průměrné pořadí první navazující karty mezi u neznámými kartami s k „úspěchy“: (u + 1) / (k + 1). V Golfu se král s esem nespojuje a na krále nic nepřiložíte, proto má eso jen čtyři sousedy (dvojky) a král žádného.

+Teorie: Pyramida, Tři vrcholy a Golf do hloubky, počítání karet a odhad rizika

8.1Pyramida

Karta v řadě r na pozici k je kryta dvěma kartami řady r + 1 (pozice k a k + 1). Volná je, až obě zmizí. Vrchol pyramidy proto uvolníte až po odebrání všech 27 karet pod ním. Odebírají se dvojice se součtem 13 a samotní králové.Pyramid, uncovered card

Typů dvojic je šest (A + Q, 2 + J, 3 + 10, 4 + 9, 5 + 8, 6 + 7). Každá karta má v balíčku čtyři partnery. V celém balíčku je 6 · 4 · 4 = 96 dvojic se součtem 13 a čtyři králové. Úplná výhra (pyramida i balíček) vyžaduje rozložit všech 48 nekrálovských karet do 24 dvojic.

Pozor

Karta nemůže tvořit pár s kartou, která ji kryje: šestka ležící na sedmičce ve vyšší řadě ji zakrývá a obě volné nebudou nikdy zároveň. Taková sedmička potřebuje jinou šestku. Když jedna šestka kryje všechny zbývající sedmičky a ostatní šestky už jsou pryč, je pyramida zablokovaná.

Zásady pro Pyramidu

Páry ze stolu mají přednost. Karta z balíčku se dá často spárovat i později, karta v pyramidě blokuje karty nad sebou.
Uvolňujte karty, které kryjí dvě. Karta v nižší řadě drží až dvě karty nad sebou.
Hlídejte čtyři kopie. Když jsou tři sedmičky pryč, poslední šestka potřebuje poslední sedmičku – nevyhazujte ji s jinou šestkou z balíčku, pokud šestka v pyramidě jinou možnost nemá.

8.2Tři vrcholy

Na hromádku jde volná karta o jednu vyšší nebo nižší, bez ohledu na barvu; král a eso na sebe navazují. Rubové karty vrcholů se otáčejí, když je nic nekryje. Řetěz (kombo) je řada karet zahraných ze stolu bez líznutí ze zásoby; v bodovaných verzích roste odměna s délkou řetězu.TriPeaks, chain, combo

Když jde zahrát víc karet, vybírejte podle dvou otázek: která karta odkryje rubovou kartu (otevírá nové možnosti) a po které bude řetěz pokračovat. Máte-li na hromádce 9 a na stole 8 i 10, podívejte se, zda po osmičce půjde sedmička nebo devítka, a po desítce kluk nebo devítka. Často se vyplatí jít „dolů a zase nahoru“ (9 → 8 → 9 → 10…).

8.3Golf

Všech 35 karet ve sloupcích je vidět, skrytá je jen zásoba (16 karet). Golf je proto zčásti otevřená hra: řetěz se dá plánovat dopředu. Král řetěz ukončí – nic na něj nepřiložíte – a pak musíte vzít kartu ze zásoby. Výsledek se počítá jako v golfu: kolik karet zůstalo ve sloupcích (méně je lépe). Se znalostí všech karet jde podle Blakea a Genta vyhrát 45,1 % rozdání.Golf patience, stroke

8.4Počítání karet a riziko

Ve všech třech hrách se vyplatí vědět, kolik potřebných karet ještě může přijít. Neviděných karet je u a z nich k by navázalo na kartu na hromádce. Pak

Šance a čekání na navazující kartu\[P(\text{další karta naváže}) = \frac{k}{u},\qquad E[\text{pořadí první navazující}] = \frac{u+1}{k+1}.\]

Druhý vzorec plyne z toho, že k „dobrých“ karet rozdělí u − k ostatních do k + 1 mezer, které jsou v průměru stejně velké: každá má (u − k)/(k + 1) karet, takže první dobrá karta přijde v průměru na pozici (u − k)/(k + 1) + 1 = (u + 1)/(k + 1).negative hypergeometric distribution

Příklad Golf: kolik karet ze zásoby čekat

Na hromádce je devítka, ve sloupcích vidíte tři osmičky a dvě desítky (zbytek leží v zásobě). V zásobě je 16 karet a sousedů v ní zbývá 8 − 5 = 3. Pravděpodobnost, že další karta naváže: 3 / 16 = 18,75 %. První navazující karta přijde v průměru na pozici (16 + 1)/(3 + 1) = 4,25 v zásobě. Když ale můžete hrát ze stolu na jinou kartu a řetěz přesměrovat na hodnotu s víc neviděnými sousedy, je to lepší volba.

Mistrovská pomůcka

Ve Třech vrcholech na začátku hry (41 neznámých karet: 18 rubových a 23 v zásobě) je šance, že náhodná karta naváže na sedmičku, 8 / 41 ≈ 19,5 %, pokud jste žádnou šestku ani osmičku ještě neviděli. Každá viděná šestka nebo osmička šanci sníží zhruba o 2,4 procentního bodu. Než líznete, spočítejte, kolik sousedů už leží na hromádce nebo na stole.

8.5Procvičení

Kolik karet musíte v Pyramidě odebrat, aby se uvolnila karta ve 4. řadě shora na 2. pozici?

Kryjí ji karty pod ní v trojúhelníku: v řadě 5 pozice 2–3 (2 karty), v řadě 6 pozice 2–4 (3), v řadě 7 pozice 2–5 (4). Celkem 2 + 3 + 4 = 9 karet.

Kolik je v balíčku dvojic karet se součtem 13, pokud za dvojici považujete i krále se sebou samým?

96 dvojic dvou karet (6 typů · 4 · 4) a 4 králové, celkem 100 „odebratelných skupin“.

Tři vrcholy: na hromádce je dáma, neznámých karet je 30 a z králů a jedenáctek (kluků) jste viděli dva krále a jednoho kluka. Jaká je šance, že další karta ze zásoby naváže?

Sousedé dámy jsou kluci a králové (8 karet), viděné 3, zbývá k = 5. P = 5 / 30 ≈ 16,7 %; průměrné čekání (30 + 1)/(5 + 1) ≈ 5,2 karty.

Proč má v Golfu eso na hromádce jen čtyři možné sousedy a král žádného?

V Golfu se král a eso nespojují: na eso jde jen dvojka (4 karty), protože nižší karta neexistuje. Na krále pravidla nedovolují přiložit nic, ani dámu – proto žádný.

Pyramida: volné jsou ♠6 a ♥6, na hromádce leží ♥7. Přímo pod ♥6 je ♦7, kterou kromě ♥6 už nic nekryje. Jiná sedmička ve hře nezbyla. Kterou šestku spárujete se ♥7?

♥6. Ta kryje ♦7, takže s ní pár tvořit nemůže – jejím jediným partnerem je ♥7. Po odebrání ♥6 se uvolní ♦7 a spáruje se s ♠6. Opačná volba (♠6 + ♥7) by nechala ♥6 bez partnera a pyramida by se zablokovala.

Co si odnést

Pyramida: dvojice do 13, král sám; karta nikdy nespáruje s kartou, která ji kryje.
Tři vrcholy a Golf: volte kartu, která odkryje rub a po které řetěz pokračuje; v Golfu král řetěz končí.
Šance na navazující kartu = neviděných sousedů / neznámých karet; průměrné čekání (u + 1)/(k + 1).

Část IIIMistr a věda

Pravděpodobnost a kombinatorikamistr a věda

Balíček 52 karet se dá seřadit 52! způsoby – číslo s 68 číslicemi. Prakticky každé dobře zamíchané rozdání je proto v dějinách poprvé. Z kombinatoriky plyne i to, co hráč cítí: kolik es leží pod rubovými kartami, kolik karet uvidíte v prvním průchodu balíčkem a jak přesně umí simulace odhadnout pravděpodobnost výhry.

🎲

Představte si, že každé zrnko písku na všech plážích světa je celý vesmír a v každém z nich celý život mícháte karty. Ani pak byste 52! pořadí nevyčerpali. Proto se v kapitole budeme opírat o vzorce a simulace, ne o vypisování všech možností.

Obr. 9.1 Číslo 52! na logaritmické ose. Kdyby osm miliard lidí míchalo od velkého třesku jednou za sekundu, vyzkoušeli by zhruba 3,5 · 10²⁷ pořadí, tedy asi 4 · 10⁻⁴¹ všech možností.

Kolik je n!

Zvolte velikost balíčku a podívejte se, jak rychle roste počet pořadí. Tlačítkem zamícháte balíček a laboratoř spočítá pořadové číslo právě tohoto pořadí mezi všemi n! možnostmi (přesně, s velkými celými čísly).

LABORATOŘ

Karet v balíčku

Model: pořadové číslo = Lehmerův kód permutace (kolik menších karet leží za každou kartou, v soustavě s faktoriálovými řády), počítáno od 1. Pravděpodobnost, že se dvě z N náhodných míchání shodují: přibližně N² / (2 · n!) (narozeninový problém, platí pro malé hodnoty).

Obr. 9.2 Kolik es leží po rozdání Klondike pod 21 rubovými kartami. Nejčastěji jedno nebo dvě; všechna čtyři jen ve 2,2 % her, žádné v 11,6 %.

Kde leží esa

Zvolte skupinu karet v rozdání Klondike a spusťte simulaci. Modré sloupce jsou přesný výpočet (hypergeometrické rozdělení), oranžové body výsledek simulace. Nahoře je poslední simulované rozdání: esa jsou zvýrazněná, i když leží rubem.

LABORATOŘ

Model: náhodné pořadí 52 karet, rozdání po řadách do sloupců 1–7, zbylých 24 karet tvoří balíček. „1. průchod po 3“ = 8 karet, které se při lízání po třech bez jediného zahrání dostanou navrch (3., 6., …, 24. karta balíčku). Interval je 95% (± 1,96 směrodatné chyby).

+Teorie: faktoriál a Stirlingův vzorec, počet rozdání, hypergeometrické rozdělení, střední hodnoty, přesnost simulace

9.1Kolik je 52!

Na první místo v balíčku můžete dát kteroukoli z 52 karet, na druhé kteroukoli z 51 zbylých a tak dál. Pořadí je tedy 52 · 51 · … · 2 · 1 = 52! (čti „padesát dva faktoriál“):factorial, permutation

52! = 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000 ≈ 8,07 · 10⁶⁷

Dvanáct nul na konci pochází z dvanácti činitelů 5 (5, 10, 15, … a dvojnásobně 25 a 50) spárovaných se sudými čísly. Velikost faktoriálu dobře odhadne Stirlingův vzorec:

Stirlingův vzorec\[n! \approx \sqrt{2\pi n}\,\left(\frac{n}{e}\right)^{n},\qquad \log_{10} 52! \approx 67{,}906\ \ (\text{přesně } 67{,}9066).\]

Pro n = 52 se odhad liší od přesné hodnoty jen o 0,16 %. Na „podpis“ jednoho pořadí potřebuje počítač log₂ 52! ≈ 225,6 bitu – víc, než nabízí běžný 32bitový nebo 64bitový generátor náhodných čísel (kapitola 12).

9.2Kolik je různých rozdání

V Klondike má každá z 52 pozic jiný význam (sloupec, rubová/lícová, pořadí v balíčku), takže různých rozdání je 52!. Některá jsou ale stejná až na přejmenování barev: prohodit srdce s káry, piky s kříži nebo obě červené barvy s oběma černými nemění průběh hry. Tyto záměny tvoří 2 · 2 · 2 = 8 symetrií, takže podstatně různých rozdání Klondike je přibližně 52!/8 ≈ 1,01 · 10⁶⁷.symmetry, distinct deals

Ve FreeCellu se navíc dají libovolně prohodit čtyři sloupce se sedmi kartami a čtyři se šesti kartami. Proto se uvádí 52!/(8 · 4! · 4!) ≈ 1,75 · 10⁶⁴ podstatně různých her.

9.3Hypergeometrické rozdělení: esa pod rubem

V Klondike leží rubem 21 karet (0 + 1 + … + 6), lícem 7 a v balíčku 24. Kolik es padne do skupiny o velikosti n? Vybíráme n karet z 52, z nichž 4 jsou esa:hypergeometric distribution

Hypergeometrické rozdělení\[P(X = k) = \frac{\binom{4}{k}\binom{48}{n-k}}{\binom{52}{n}},\qquad E[X] = 4\cdot\frac{n}{52}.\]

**Tab. 9.1**Počet es ve skupinách rozdání Klondike (přesný výpočet)
Skupina	Karet	0 es	1	2	3	4	Průměr
rubem	21	11,6 %	34,9 %	36,1 %	15,2 %	2,2 %	1,62
lícem	7	55,0 %	36,7 %	7,7 %	0,6 %	0,01 %	0,54
balíček	24	7,6 %	29,0 %	38,5 %	20,9 %	3,9 %	1,85
1. průchod po 3	8	50,1 %	39,1 %	9,8 %	0,9 %	0,03 %	0,62

Aspoň jedno eso tedy leží pod rubem v 88,4 % her, aspoň jedno je hned vidět ve 45,0 % her. Konkrétní eso leží rubem s pravděpodobností 21/52 ≈ 40,4 %.

9.4Střední hodnoty a linearita

Střední hodnotu počtu es nemusíte počítat z celé tabulky. Stačí linearita: každé ze 4 es leží v dané skupině s pravděpodobností n/52, a střední hodnota součtu je součet středních hodnot. Proto 4 · 21/52 ≈ 1,62. Stejný trik funguje i pro závislé jevy.linearity of expectation

Příklad Kde je první eso

Čtyři esa rozdělí zbylých 48 karet do pěti mezer, každá má v průměru 48/5 = 9,6 karty. První eso je proto v náhodně zamíchaném balíčku v průměru na pozici 9,6 + 1 = 10,6. Obecně (n + 1)/(k + 1) – stejný vzorec jako u řetězů v kapitole 8.

9.5Simulace a její přesnost

Když vzorec chybí (třeba pro pravděpodobnost výhry konkrétní strategie), pomůže metoda Monte Carlo: odehrát hodně náhodných her a spočítat podíl. Odhad p̂ z N her má směrodatnou chybu

Přesnost odhadu podílu\[SE = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{N}},\qquad 95\%\ \text{interval: } \hat p \pm 1{,}96\cdot SE.\]

Pro p̂ = 40 % je to při 1 000 hrách ± 3,0 procentního bodu, při 10 000 hrách ± 0,96 bodu. Desetkrát víc her zpřesní odhad jen asi třikrát (√10 ≈ 3,16).Monte Carlo, standard error

Pozor

Simulace odhaduje jen to, co modeluje. Výsledek „41 % výher“ z kapitoly 4 platí pro konkrétní naprogramovanou strategii a konkrétní pravidla (lízání po jedné, neomezeně průchodů). Jiný hráč nebo jiná pravidla dají jiné číslo – i když je simulace přesná na desetinu procenta.

Z historie

Matematik Stanisław Ulam vyprávěl, že ho na myšlenku metody Monte Carlo přivedl právě pasiáns: v roce 1946 při rekonvalescenci přemýšlel, jaká je šance, že vyjde Canfield. Místo složitého výpočtu ho napadlo hry prostě mnohokrát odehrát a spočítat úspěchy. Metodu pak s Johnem von Neumannem a Nicholasem Metropolisem rozvinuli pro výpočty na prvních počítačích.

9.6Procvičení

Jaká je pravděpodobnost, že ♥A leží po rozdání Klondike lícem nahoru ve sloupcích?

Lícových karet je 7 z 52: 7/52 ≈ 13,5 %.

Kolik es je v průměru v balíčku 24 karet? A kolik mezi osmi kartami, které uvidíte v prvním průchodu při lízání po třech?

4 · 24/52 ≈ 1,85 a 4 · 8/52 ≈ 0,62 esa (linearita střední hodnoty).

Jak pravděpodobné je, že všechna čtyři esa leží rubem?

\(\binom{21}{4}/\binom{52}{4} = 5\,985 / 270\,725 \approx\) 2,2 %, tedy zhruba jednou za 45 her.

Simulace 10 000 rozdání dala 4 470krát aspoň jedno eso lícem. Odpovídá to přesné hodnotě 44,96 %?

SE = √(0,4496 · 0,5504 / 10 000) ≈ 0,50 procentního bodu. Rozdíl 44,70 − 44,96 = −0,26 bodu je asi 0,5 SE, daleko uvnitř 95% intervalu (± 0,98). Ano, odpovídá.

Kolik náhodných míchání by bylo potřeba, aby se s pravděpodobností 50 % aspoň dvě z nich shodovala?

Narozeninový problém: N ≈ √(2 ln 2 · 52!) ≈ 1,18 · √52! ≈ 1,06 · 10³⁴. To je asi 3 miliony krát víc než 3,5 · 10²⁷ míchání všech lidí od velkého třesku.

Co si odnést

52! ≈ 8,07 · 10⁶⁷; podstatně různých rozdání Klondike je asi 10⁶⁷, FreeCellu 1,75 · 10⁶⁴.
Počet es ve skupině má hypergeometrické rozdělení; průměr = 4 · velikost skupiny / 52.
Přesnost simulace roste s odmocninou počtu her: 10krát víc her = asi 3krát přesnější odhad.

Část IIIMistr a věda

Řešitelnost: kolik her jde vyhrátmistr a věda

Jak velká část rozdání Klondike se dá vyhrát? Na tuhle jednoduchou otázku dlouho neexistovala přesná odpověď. Dnes víme, že se znalostí všech karet je to při lízání po třech 81,9 % her a FreeCell jde vyřešit téměř vždy. Zkušený člověk přitom vyhraje mnohem méně. Kapitola vysvětlí proč – a jak poznat, jestli hrajete dobře.

🧭

Představte si bludiště, které jde skoro vždy projít – ale vy vidíte jen pár metrů před sebe. „Dá se vyhrát“ a „vyhraju“ jsou dvě různé otázky. První řeší počítač, který vidí celé bludiště. Druhou řešíte vy: s mapou, kterou si kreslíte cestou.

Obr. 10.1 Kolik rozdání Klondike jde vyhrát se znalostí všech karet podle toho, kolik karet se líže najednou. Výsledky řešiče Blakea a Genta, 95% interval nejvýš ± 0,12 procentního bodu.

Minihra: Pravda, nebo mýtus?

U každého tvrzení o řešitelnosti pasiánsů rozhodněte, zda je pravdivé, nebo je to mýtus. Vysvětlení se zdrojem se ukáže až po výběru. Za aspoň 7 správných z 8 získáte 15 XP.

MINIHRA

0 / 8

Obr. 10.2 Člověk proti stroji v Klondike se znalostí všech karet (lízání po třech). Expert vyhrál 36,6 % z 2 000 her, program s pěti vnořenými rollouty asi 70 % (z 200 her, ± 8 bodů). Vpravo podíl vyhratelných rozdání.

Vyhratelnost a vaše skóre

Zadejte, kolik her Klondike jste odehráli a kolik vyhráli. Laboratoř spočítá váš podíl výher s 95% intervalem a porovná ho s naprogramovanými strategiemi z kapitoly 4, s expertem a s podílem vyhratelných her.

LABORATOŘ

Odehraných her Z toho výher

Model: 95% Wilsonův interval pro podíl výher. Strategie: naše simulace 20 000 her na strategii, neomezeně průchodů balíčkem (kapitola 4). Expert a vyhratelnost platí pro hru se znalostí všech karet – běžná hra je těžší, proto je to horní mez.

+Teorie: vyhratelnost se znalostí karet, Klondike, FreeCell, další hry, člověk a stroj, neřešitelná rozdání

10.1Dvě různé otázky

Vyhratelnost rozdání znamená, že existuje řada tahů vedoucí k výhře. Počítač ji hledá ve variantě se znalostí všech karet (anglicky thoughtful): vidí i pod rub a do balíčku. Hráč, který karty nevidí, nemůže vyhrát víc her, než kolik jich je vyhratelných – a obvykle vyhraje znatelně méně, protože se často musí rozhodnout dřív, než zjistí, co leží pod rubem.winnability, thoughtful solitaire

Horní mez\[P(\text{výhra hráče}) \le P(\text{rozdání je vyhratelné}).\]

10.2Klondike

Charles Blake a Ian Gent (2019, rozšířeno a publikováno 2026) nechali řešič Solvitaire projít náhodná rozdání desítek pasiánsů. Pro Klondike s lízáním po třech, neomezeně průchody a vracením ze základny vyšlo 81,945 % ± 0,084 % vyhratelných rozdání, při lízání po jedné 90,480 % ± 0,116 %. Vyhratelnost rychle klesá s počtem lízaných karet (Obr. 10.1).Klondike winnability

Ze stejné práce: vracet karty ze základny je k výhře nutné jen v 0,52 % rozdání (po třech), resp. 0,34 % (po jedné). Pravidlo tedy pomáhá zřídka, ale když pomůže, je to rozhodující tah.

Příklad Neřešitelné hned od začátku

Naše simulace 100 000 rozdání: hned po rozdání nejde v sedmi lícových kartách zahrát nic (ani na základnu) v 8,8 % her. To ještě nic neznamená – zbývá balíček. Když ale ani v celém prvním průchodu balíčkem po třech nejde zahrát jediná karta, hra je ztracená bez jediného tahu: stalo se to v 0,24 % her, tedy asi jednou za 420 her. Při lízání po jedné to v simulaci nenastalo ani jednou.

10.3FreeCell: skoro vždy

S klasickými čtyřmi volnými buňkami jde vyřešit 99,9989 % rozdání (Blake a Gent: 99,998881 % ± 0,000207 %). Mezi 32 000 číslovanými rozdáními známé sady z 90. let je neřešitelné jediné, č. 11982; ověřil to dobrovolnický projekt v letech 1994–1995. V prvním milionu je neřešitelných osm (11982, 146692, 186216, 455889, 495505, 512118, 517776 a 781948).FreeCell deal #11982

Každá ubraná buňka výrazně snižuje vyhratelnost (Tab. 6.2) – přesně podle supertahu z kapitoly 6: s méně buňkami se přenášejí jen krátké řady. Neřešitelné je se čtyřmi buňkami zhruba 1 rozdání z 89 000, se třemi 1 ze 156, se dvěma 1 z 5, s jednou 4 z 5 a bez buněk 998 z 1 000.

10.4Další pasiánsy

**Tab. 10.1**Vyhratelnost se znalostí všech karet (Blake a Gent, 95% interval)
Hra	Vyhratelných
Pavouk, 4 barvy	98,5 % ± 1,5 %
Klondike po 1	90,5 %
Klondike po 3	81,9 %
Canfield	71,2 %
Golf	45,1 %

U Pavouka je interval široký: dvoubalíčková hra má obrovský stavový prostor a výpočet je velmi náročný. Jiný výpočet (Robinson, 2020), který Blake a Gent citují, odhaduje ještě vyšší podíl, kolem 99,99 %.

10.5Člověk proti stroji

Xiang Yan, Persi Diaconis, Paat Rusmevichientong a Benjamin Van Roy (2004) změřili, jak dobře hraje Klondike se znalostí karet člověk a jak program. Expert – americký matematik – odehrál pečlivě 2 000 her, v průměru 20 minut na hru, a vyhrál 36,6 %. Jednoduchá heuristika vyhrála 13 %, program, který každý tah prověřuje simulacemi dalšího průběhu (rollouty), až kolem 70 %. Autoři tehdy nazvali neznalost vyhratelnosti Klondike „jednou z ostud aplikované matematiky“.rollout, Monte Carlo planning

Mistrovská pomůcka

Svůj podíl výher porovnávejte se správnou laťkou. Ve hře bez znalosti karet s lízáním po třech vyhrála naprogramovaná strategie z kapitoly 4 v naší simulaci 13 % her, s lízáním po jedné 41 %. Podíl vyhratelných her (81,9 %, resp. 90,5 %) je strop pro dokonalého hráče, který vidí všechno – ne norma.

Pozor

Malý vzorek klame. Deset výher z 30 her (33 %) má 95% interval zhruba 19 až 51 %. Než usoudíte, že vám nová strategie pomohla, odehrajte stovky her nebo porovnávejte na stejných rozdáních.

10.6Procvičení

Kolik ze 1 000 náhodných rozdání FreeCellu s jedinou volnou buňkou čekáte vyřešitelných?

19,348 % · 1 000 ≈ 193 rozdání.

Vyhráli jste 12 ze 40 her Klondike po třech. Jaký je 95% interval pro váš skutečný podíl výher?

Podíl 30 %, Wilsonův interval přibližně 18 % až 45 %. Ze 40 her se dovedností jistě neodlišíte.

Hráč vyhrává 25 % her po třech (bez znalosti karet). Jakou část vyhratelných her tedy vyhraje?

25 / 81,945 ≈ 30,5 % vyhratelných her. (Expert se znalostí karet: 36,6 / 81,945 ≈ 44,7 %.)

Proč je Klondike po jedné vyhratelnější než po třech, i když řešič vidí všechny karty?

Při lízání po třech je v každém průchodu dostupná jen každá třetí karta balíčku a pořadí se mění jen hraním karet. Některé potřebné karty se proto nedají dostat ven v pravý čas, i když víte, kde leží. Po jedné je dostupná každá karta balíčku.

Kolik neřešitelných rozdání FreeCellu byste čekali v prvním milionu, když je vyřešitelných 99,998881 %? Odpovídá tomu skutečných osm?

0,001119 % · 1 000 000 ≈ 11,2. Skutečný počet 8 je při náhodném kolísání (Poissonovo rozdělení se střední hodnotou 11,2, směrodatná odchylka asi 3,3) v pořádku.

Co si odnést

Se znalostí všech karet jde vyhrát 81,9 % her Klondike po třech a 90,5 % po jedné; FreeCell 99,9989 %.
Expert vidící všechny karty vyhrál 36,6 % – „vyhratelné“ a „vyhrané“ dělí velký kus dovednosti.
Svůj podíl výher hodnoťte s intervalem spolehlivosti; desítky her nestačí.

Část IIIMistr a věda

Algoritmy a řešičemistr a věda

Jak počítač pozná, že rozdání jde vyhrát? Prohledává stavový prostor: pozice jsou uzly, tahy hrany a hledá se cesta k cíli. Tahle kapitola ukáže tři základní postupy – prohledávání do hloubky, transpoziční tabulku a A* –, vysvětlí, proč je obecný pasiáns výpočetně těžký (NP-úplný), a jak si se skrytými kartami poradí metoda Monte Carlo.

🤖

Řešič je jako turista v bludišti s křídou. Bez křídy chodí pořád dokola po stejných chodbách. S křídou (transpoziční tabulkou) si označí, kde už byl. A s kompasem (heuristikou) jde nejdřív tam, kde to vypadá na východ.

Obr. 11.1 Stavový prostor. Do stejné pozice se dá dojít různým pořadím tahů (transpozice, oranžově). Řešič, který si pamatuje navštívené pozice, ji prozkoumá jen jednou. Šedé uzly jsou slepé uličky, zelená cesta vede k výhře.

Řešič malého FreeCellu

Zmenšený FreeCell: 16 nebo 20 karet (eso až čtyřka, nebo eso až pětka ve čtyřech barvách) ve 4 nebo 5 sloupcích, 0–2 volné buňky, pravidla jako ve FreeCellu (střídání barev, jedna karta na tah). Vyberte algoritmus a spusťte řešič; laboratoř ukáže, kolik pozic (uzlů) prozkoumal, jak dlouho počítal a jak dlouhé řešení našel. Řešení si pak můžete přehrát.

LABORATOŘ

Model: tah = jedna karta (ze sloupce nebo buňky na základnu, do buňky, na kartu o jednu vyšší opačné barvy nebo do prázdného sloupce). Pozice se porovnávají bez ohledu na pořadí sloupců a buněk. Limit 100 000 uzlů; DFS končí v hloubce 200. A* používá odhad h = počet karet mimo základny.

Minihra: Který algoritmus to je?

Přiřaďte každý popis k algoritmu. Vysvětlení se ukáže po výběru. Za aspoň 7 správných z 8 získáte 15 XP.

MINIHRA

0 / 8

Obr. 11.2 Princip důkazu NP-úplnosti. Libovolnou logickou formuli 3-SAT jde rychle přepsat na rozdání (zobecněného) pasiánsu, které je vyhratelné právě tehdy, když je formule splnitelná.

+Teorie: stavový prostor, DFS, transpoziční tabulka, A* a heuristiky, dominance, NP-úplnost, Monte Carlo

11.1Stavový prostor

Pozice (stav) obsahuje rozložení všech karet: sloupce, buňky, základny, u Klondike i balíček a rubové karty. Z každé pozice vede tolik hran, kolik je dovolených tahů – to je větvení b. Řešení je cesta z výchozí pozice do pozice, kde jsou všechny karty na základnách. Když je řešení dlouhé d tahů, naivní strom má až b^d listů.state space, branching factor

Velikost stromu prohledávání\[N \approx b^{d},\qquad \text{např. } b = 10,\ d = 30:\ N \approx 10^{30}.\]

Ve skutečnosti se do stejných pozic dá dojít mnoha cestami (transpozice), takže různých pozic je mnohem méně než větví stromu. Na tom stojí všechny dobré řešiče.

11.2Prohledávání do hloubky (DFS)

DFS jde po první možné cestě co nejhlouběji. Když narazí na slepou uličku, vrátí se o krok zpět (backtracking) a zkusí další tah. Paměť mu stačí úměrná hloubce. Bez paměti navštívených pozic ale prozkoumává stejné pozice znovu a znovu a v bludišti s cykly se může točit v kruhu – proto se aspoň hlídá, aby se pozice na aktuální cestě neopakovala.depth-first search, backtracking

11.3Transpoziční tabulka a symetrie

Transpoziční tabulka je množina už prozkoumaných pozic: když na pozici řešič narazí podruhé, rovnou ji přeskočí. Pozice se ukládají jako krátký klíč, obvykle hash – oblíbené je Zobristovo hašování (1970), kde se klíč po tahu jen opraví operací XOR. Ještě víc pomůže symetrie: ve FreeCellu nezáleží na pořadí sloupců ani buněk, takže se klíč tvoří ze seřazených sloupců. U pěti sloupců to sloučí až 5! = 120 pozic v jednu.transposition table, Zobrist hashing, symmetry

**Tab. 11.1**Malý FreeCell, 20 karet, 1 buňka: 200 náhodných rozdání (naše simulace, limit 100 000 uzlů)
Algoritmus	Vyřešeno	Průměr uzlů	Délka řešení
DFS	179 (20× limit)	10 744	43,0
DFS + tabulka	198	1 329	48,1
A*	198	1 443	25,4

Dvě rozdání z 200 jsou neřešitelná – DFS s tabulkou i A* to dokázaly vyčerpáním všech pozic. Samotné DFS se ve 20 rozdáních „utopilo“ v opakovaných pozicích a nedokončilo. S 16 kartami a bez buňky je vyřešitelných jen 96 z 200 rozdání (48 %).

11.4A* a heuristiky

A* (Hart, Nilsson a Raphael, 1968) rozvíjí vždy pozici s nejmenším součtem f = g + h: g je počet dosud provedených tahů a h odhad, kolik tahů ještě zbývá. Když odhad nikdy nepřecení skutečnost (je přípustný), najde A* nejkratší řešení. Naše h = počet karet mimo základny je přípustné, protože každý tah dá na základnu nejvýš jednu kartu.A* search, admissible heuristic

A*\[f(s) = g(s) + h(s),\qquad h(s) \le h^{*}(s)\ \Rightarrow\ \text{nalezené řešení je nejkratší}.\]

Za optimálnost se platí pamětí: A* drží frontu všech otevřených pozic. Pro řešitelnost (ano/ne) se proto u velkých her používá spíš DFS s tabulkou – nejkratší řešení není potřeba.

11.5Dominance a bezpečné tahy

Řešič Solvitaire (Blake a Gent) kombinuje DFS s tabulkou, symetriemi a dominancemi: tahy, o kterých se dá dokázat, že nic nezkazí, provede rovnou bez větvení. Typickým příkladem je bezpečný tah na základnu z kapitoly 4. Každá dominance odstraní z prohledávání celé podstromy. Autoři k tomu přidali „streamlinery“ – zkusmo zakázané tahy, které obvykle nepomáhají; když to bez nich nejde, řešič je povolí.dominance, streamliner

11.6NP-úplnost

Problém je NP-úplný, když se navržené řešení dá rychle (v polynomiálním čase) ověřit a zároveň se na něj dá rychle převést každý jiný takový problém – například 3-SAT, splnitelnost logických formulí. Pokud by existoval rychlý řešič, rychle by se řešily všechny problémy z NP; to se považuje za velmi nepravděpodobné.NP-completeness, reduction

FreeCell zobecněný na n karet je NP-úplný (M. Helmert, 2003).
Klondike se znalostí karet zobecněný na n karet je NP-úplný (L. Longpré a P. McKenzie, 2009).
Pavouk zobecněný je NP-úplný (J. Stern, 2011).

Pozor

NP-úplnost mluví o tom, jak roste obtížnost s počtem karet n. Neříká, že běžné rozdání s 52 kartami je těžké: dobré řešiče je zvládnou většinou za zlomek sekundy. Těžké jsou jen vzácné případy a hlavně rostoucí velikost.

11.7Monte Carlo a skryté karty

Ve skutečné hře řešič pod rub nevidí. Pomůže metoda Monte Carlo: pro každý možný tah se mnohokrát náhodně dosadí skryté karty, hra se dohraje jednoduchou strategií (rollout) a vybere se tah s nejvíc výhrami. Yan a kol. (2004) vnořovali rollouty do sebe a v Klondike se znalostí karet (tam se nic dosazovat nemusí) dosáhli až kolem 70 % výher. Z obecné myšlenky vyrostlo prohledávání stromu Monte Carlo (MCTS), známé z programů pro go.rollout, determinization, MCTS

Z historie

Dobrovolníci v letech 1994–1995 vyřešili všech 32 000 číslovaných rozdání FreeCellu kromě č. 11982; počítačové řešiče, které prohledají všechny pozice, potvrdily, že řešení nemá. Algoritmus A* byl publikován v roce 1968 pro plánování cesty pohyblivého robota Shakey ve Stanfordském výzkumném institutu.

11.8Procvičení

Proč je heuristika „počet karet mimo základny“ přípustná, kdežto „dvojnásobek počtu karet mimo základny“ ne?

Každá karta musí na základnu aspoň jedním tahem, takže zbývá aspoň tolik tahů, kolik je karet. Dvojnásobek by mohl skutečný počet přecenit (např. když už všechny karty leží připravené k odkládání) a A* by pak nemusel najít nejkratší řešení.

Ve stejném rozdání našlo DFS s tabulkou řešení o 151 tazích, A* o 30 tazích. Jak je to možné?

DFS bere první nalezenou cestu, včetně zbytečných tahů tam a zpátky. A* rozvíjí pozice podle g + h a s přípustnou heuristikou najde nejkratší řešení.

Kolikrát nejvýš zmenší počet pozic to, že u FreeCellu se 4 buňkami a 8 sloupci nezáleží na pořadí buněk ani sloupců?

Až 4! · 8! = 24 · 40 320 = 967 680krát (když jsou všechny sloupce a buňky různé). Ve skutečnosti méně, protože prázdné buňky jsou stejné.

Znamená NP-úplnost FreeCellu, že řešení konkrétního rozdání s 52 kartami trvá roky?

Ne. NP-úplnost se týká zobecnění na libovolně mnoho karet a nejhorších případů. Konkrétní rozdání řeší dobré programy obvykle za zlomek sekundy.

Proč rollouty v běžném Klondike (bez znalosti karet) dosazují skryté karty náhodně, a ne podle skutečného rozdání?

Hráč – a férový program – skutečné rozdání nezná. Náhodné dosazení zprůměruje všechna rozdání, která odpovídají tomu, co je vidět; tah, který vyhrává v nejvíce z nich, je nejlepší odhad.

Co si odnést

Řešič prohledává stavový prostor; transpoziční tabulka a symetrie ušetří opakované pozice.
A* s přípustnou heuristikou najde nejkratší řešení, DFS s tabulkou rychle odpoví ano/ne.
Zobecněné pasiánsy jsou NP-úplné, konkrétní rozdání s 52 kartami ale řešiče zvládnou rychle.

Část IIIMistr a věda

Míchání a férová rozdánímistr a věda

Kolikrát je potřeba zamíchat karty, aby bylo pořadí opravdu náhodné? Jak míchá počítač a proč má číslo rozdání? Jak vznikají rozdání, která jdou zaručeně vyhrát? A proč nás vlastně pasiáns tak baví? Poslední kapitola spojuje matematiku míchání s herním designem.

🔀

Zamíchat balíček je jako rozmíchat kapku mléka v kávě. Po jednom zamíchání vidíte bílé pruhy, po třech šmouhy, po sedmi je káva skoro stejnoměrně světlá. Matematicky přesně se dá spočítat, kdy už pruhy nejsou poznat.

Obr. 12.1 Riffle míchání (prolnutí dvou půlek). Po jednom míchání tvoří karty nejvýš dvě rostoucí posloupnosti – stopa původního pořadí, kterou další míchání jen pomalu smazávají.

Riffle míchání

Balíček začíná seřazený (barevný přechod od první do poslední karty). Zvolte počet riffle míchání a sledujte, jak se barevné pruhy rozpadají. Laboratoř spočítá rostoucí posloupnosti v ukázce a přesnou vzdálenost od náhodného pořadí podle Bayera a Diaconise.

LABORATOŘ

Počet míchání

Model: Gilbert–Shannon–Reeds. Balíček se rozdělí podle binomického rozdělení (každá karta s pravděpodobností ½ do levé části) a karty padají z části s a a b zbylými kartami s pravděpodobností a/(a + b). Vzdálenost = totální variace mezi rozdělením pořadí po m mícháních a rovnoměrným rozdělením (0 = dokonale náhodné, 1 = zcela předvídatelné).

Obr. 12.2 Vzdálenost balíčku 52 karet od náhodného pořadí. Až do pěti míchání zůstává skoro 1, mezi pátým a osmým prudce klesá a pak se s každým dalším mícháním zhruba půlí.

Číslo rozdání a denní výzva

Počítač míchá pomocí generátoru pseudonáhodných čísel. Stejné startovní číslo (seed) dá vždy stejné rozdání – proto mají hry čísla a denní výzvu může hrát každý stejně. Zadejte číslo, nechte si vytvořit dnešní, nebo najděte nejbližší rozdání, které vyhraje jednoduchá strategie z kapitoly 4.

LABORATOŘ

Číslo rozdání (0 až 2 147 483 647)

Model: lineární kongruenční generátor x ← (1 103 515 245 · x + 12 345) mod 2³¹, výstup horních 15 bitů; míchání Fisherovým–Yatesovým algoritmem. Je to výuková ukázka – čísla rozdání neodpovídají číslům rozdání v žádné konkrétní hře. „Vyhratelné“ = vyhrála ho strategie z kapitoly 4 (Klondike po jedné), tedy zaručeně vyhratelné.

+Teorie: model míchání, rostoucí posloupnosti a sedm míchání, počítačové míchání a seed, zaručeně řešitelná rozdání, herní design a psychologie

12.1Model riffle míchání

Při riffle míchání se balíček rozdělí zhruba na půl a obě části se palci prolnou. Model Gilbert–Shannon–Reeds (GSR) to popisuje přesně: počet karet v levé části má binomické rozdělení Bin(n, ½) a další karta padá z části, ve které zbývá víc karet, s úměrně vyšší pravděpodobností. Pozorování skutečných míchání model dobře odpovídá, i když zkušení míchači prolínají pravidelněji.riffle shuffle, GSR model

12.2Rostoucí posloupnosti a sedm míchání

Rostoucí posloupnost je maximální řada karet s čísly k, k + 1, k + 2, …, které v balíčku leží v tomto pořadí (ne nutně vedle sebe). Seřazený balíček má jednu, po jednom riffle míchání nejvýš dvě, po m mícháních nejvýš 2^m. Náhodné pořadí 52 karet jich má v průměru (52 + 1)/2 = 26,5. Dave Bayer a Persi Diaconis (1992) odvodili přesnou pravděpodobnost každého pořadí:rising sequence, total variation distance

Bayer–Diaconis: pořadí s r rostoucími posloupnostmi po m mícháních\[P_m(\pi) = \frac{1}{2^{mn}}\binom{2^{m} + n - r}{n},\qquad d_m = \frac{1}{2}\sum_{r=1}^{n} A(n,r)\,\Bigl|\,\frac{1}{2^{mn}}\binom{2^{m}+n-r}{n} - \frac{1}{n!}\Bigr|.\]

Tady A(n, r) je Eulerovo číslo – počet pořadí s r rostoucími posloupnostmi. Pro 52 karet vychází vzdálenost d_m:

**Tab. 12.1**Vzdálenost od náhodného pořadí, 52 karet (přesný výpočet)
Míchání m	1–4	5	6	7	8	9	10
Vzdálenost	1,000	0,924	0,614	0,334	0,167	0,085	0,043

Vzdálenost se drží u 1, pak náhle spadne (tzv. cutoff, zlom kolem (3/2) · log₂ n ≈ 8,6 míchání) a dál se už jen půlí. Proto se říká, že sedm riffle míchání „stačí“: po sedmi mícháních klesne vzdálenost zhruba na třetinu a každé další míchání ji přibližně půlí.

Příklad Co znamená vzdálenost 0,334

Totální variace 0,334 říká, že existuje skupina pořadí, která má po sedmi mícháních pravděpodobnost o 33,4 procentního bodu jinou, než by měla u dokonalého míchání. Pro běžnou hru je to málo znát, kouzelník nebo matematik s chytrým trikem by to ale využít uměl.

12.3Jak míchá počítač

Počítač míchá Fisherovým–Yatesovým algoritmem (v dnešní podobě Durstenfeld, 1964): projde balíček odzadu a každou kartu prohodí s náhodně vybranou kartou na stejné nebo nižší pozici. Při dokonalém zdroji náhody vznikne každé z 52! pořadí se stejnou pravděpodobností – po jediném průchodu.Fisher–Yates shuffle, PRNG, seed

Náhodu dodává generátor pseudonáhodných čísel: deterministický výpočet, který ze startovního čísla (seedu) vyrábí čísla vypadající náhodně. Má to dva důsledky:

Opakovatelnost. Stejný seed = stejné rozdání. Proto mají rozdání čísla, jde je sdílet a denní výzva je pro všechny stejná.
Omezení. Se seedem o 31 bitech vznikne nejvýš 2³¹ = 2 147 483 648 různých rozdání, tedy podíl 2,7 · 10⁻⁵⁹ ze všech 52!. Na všechna pořadí by bylo potřeba aspoň log₂ 52! ≈ 225,6 bitu, tedy 29 bajtů náhody.

Pozor

Častá chyba v programech je „zkrácení modulem“: náhodné číslo z 0 až 32 767 se vydělí 52 a vezme se zbytek. Protože 32 768 = 630 · 52 + 8, padá prvních 8 hodnot s pravděpodobností 631/32 768 a ostatní jen 630/32 768 – rozdíl 0,16 %. Pro pasiáns zanedbatelné, pro šifrování nepřijatelné. Ještě horší je naivní míchání „každou kartu prohoď s libovolnou kartou“, které dává některá pořadí výrazně častěji.

12.4Zaručeně řešitelná rozdání

Hra, která nabízí „jen vyhratelná rozdání“, je obvykle vyrábí jedním ze dvou způsobů:

Vygeneruj a ověř. Rozdání se zamíchá náhodně a řešič ověří, že jde vyhrát; když ne, zkusí se další. Rozdělení zůstává rovnoměrné mezi vyhratelnými rozdáními. Při vyhratelnosti 82 % je potřeba v průměru 1/0,82 ≈ 1,22 pokusu.
Hraj pozpátku. Začne se od složených základen a tahy se provádějí obráceně, až vznikne rozdání. Je zaručeně řešitelné, ale některá rozdání vznikají častěji než jiná a hra může působit „povědomě“.

Obtížnost se dá řídit tím, kterou strategií se rozdání ověřuje: rozdání, které vyhraje i jednoduchá strategie, bývá snadné. Laboratoř nahoře takto najde nejbližší rozdání, které vyhraje strategie z kapitoly 4 – po jedné to při úspěšnosti 41 % trvá v průměru 2,4 pokusu.guaranteed solvable deals, reverse dealing

12.5Herní design a psychologie: proč nás pasiáns baví

Psycholog Mihály Csíkszentmihályi popsal stav plynutí (flow): soustředění, ve kterém člověk zapomene na čas. Vzniká, když má činnost jasný cíl, okamžitou zpětnou vazbu a obtížnost odpovídá dovednosti. Pasiáns to splňuje skoro učebnicově:flow, feedback, sense of control

Jasný cíl a viditelný pokrok. Základny rostou karta po kartě, každý odkrytý rub je malý úspěch.
Okamžitá zpětná vazba. Každý tah hned ukáže, co otevřel nebo zablokoval.
Pocit kontroly s trochou náhody. Rozhodujete vy, ale výsledek není předem jistý – proto se chce hrát „ještě jednu“.
Krátké hry. Partie trvá pár minut, hodí se do přestávky. Právě proto je dobré hlídat si čas a dát si po pár hrách pauzu.

Mistrovská pomůcka

Neomezené „zpět“ dělá z Klondike skoro hru se znalostí karet: podíváte se pod rub a vrátíte tah. Chcete-li se zlepšovat, hrajte bez vracení tahů a s vracením si jen prohlížejte, kde jste mohli hrát lépe.

Z historie

Persi Diaconis byl v mládí profesionální kouzelník, než se stal matematikem; míchání karet zkoumal celý život. Výsledek „sedm míchání“ se dostal i do novin. Stejný Diaconis je spoluautorem práce o Klondike z kapitoly 10.

12.6Procvičení

Po třech riffle mícháních má balíček nejvýš kolik rostoucích posloupností? Kolik jich čekáte u náhodného balíčku 52 karet?

Nejvýš 2³ = 8; náhodný balíček má v průměru 26,5. Po třech mícháních je tedy pořadí velmi daleko od náhody.

Kolik bitů náhody potřebuje generátor, aby mohl vytvořit každé z 52! pořadí?

log₂ 52! ≈ 225,6, tedy aspoň 226 bitů (29 bajtů). Běžný 32bitový nebo 64bitový seed na to nestačí.

Hra ověřuje rozdání řešičem a ponechá jen vyhratelná. Kolik náhodných rozdání musí v průměru vyzkoušet u Klondike po jedné (vyhratelnost 90,48 %)?

1 / 0,9048 ≈ 1,11 rozdání (geometrické rozdělení).

Vzdálenost od náhody je po 7 mícháních 0,334 a po 8 mícháních 0,167. Kolik míchání je potřeba, aby klesla pod 0,05?

Po 9 mícháních 0,085, po 10 mícháních 0,043. Stačí tedy 10 míchání.

Proč dává denní výzva všem hráčům stejné rozdání, i když se nic neposílá po síti?

Seed se spočítá z data (např. 20261107) a generátor je deterministický: ze stejného seedu vznikne na každém zařízení stejné pořadí karet.

Co si odnést

Po m riffle mícháních je nejvýš 2^m rostoucích posloupností; pro 52 karet stačí zhruba 7 míchání.
Počítač míchá Fisherovým–Yatesovým algoritmem; seed dělá rozdání opakovatelná, ale omezuje jejich počet.
Pasiáns baví, protože má jasný cíl, okamžitou zpětnou vazbu a obtížnost na hraně dovednosti – hrajte s mírou.

PřílohaA

Slovníček

Česká hesla s anglickým termínem. Hledat lze v obou jazycích.

PřílohaB

Vzorce a pravidla

Pravidla v kostce

**Tab. B.1**Nejhranější pasiánsy na jednom místě
Hra	Rozdání	Stavění ve sloupcích	Cíl
Klondike	7 sloupců (1–7 karet, navrchu lícem), 24 karet v balíčku	dolů, střídání barev; na prázdné místo jen král	4 základny A → K
FreeCell	8 sloupců (4 × 7, 4 × 6) lícem, 4 volné buňky	dolů, střídání barev; jedna karta na tah	4 základny A → K
Pavouk	2 balíčky, 10 sloupců (54 karet), 50 v zásobě	dolů bez ohledu na barvu; přesun řady jen v barvě	8 sad K → A
Pyramida	pyramida 28 karet, balíček 24	odebírají se dvojice se součtem 13, král sám	vyklidit pyramidu
Tři vrcholy	3 vrcholy (18 rubem, 10 lícem), zásoba 23 + 1	na hromádku o jednu výš nebo níž, K a A navazují	vyklidit stůl
Golf	7 sloupců po 5 lícem, zásoba 16 + 1	na hromádku o jednu výš nebo níž; na krále nic	vyklidit sloupce
Yukon	7 sloupců (1, 6, 7, …, 11 karet), bez balíčku	dolů, střídání barev; přesun libovolné skupiny lícových karet	4 základny A → K
Canfield	rezerva 13, 4 sloupce, 1 karta na základně, balíček po 3	dolů, střídání barev, kolem dokola (A na 2, K na A)	4 základny od rozdané hodnoty

Vzorce na jednom místě

Klondike: karty po rozdání (kap. 2)\[1 + 2 + \dots + 7 = 28,\qquad \text{rubem } 21,\qquad \text{balíček } 24,\qquad \text{po třech v průchodu vidět } \lceil 24/3 \rceil = 8\]

Historické bodování „Vegas“ – jen počítání bodů (kap. 2)\[B = -52 + 5\cdot k,\qquad k = \text{karet na základnách}\]

Bezpečný tah na základnu (kap. 4)\[\text{karta hodnoty } r:\ r \le 2\ \ \vee\ \ \text{obě základny opačné barvy} \ge r-1\]

Supertah ve FreeCellu (kap. 6)\[C(f,e) = (f+1)\cdot 2^{e}\ \text{(na kartu)},\qquad (f+1)\cdot 2^{e-1}\ \text{(do prázdného sloupce)},\qquad M(f,e) = (2f+1)\cdot 3^{e}\]

Pavouk (kap. 7)\[S(e) = 2^{e}\ \text{segmentů},\qquad E[T] = 90\cdot 12\cdot\frac{8}{104}\cdot\frac{8/b}{103}\approx\frac{6{,}45}{b}\]

Řetězy a čekání na kartu (kap. 8)\[P = \frac{k}{u},\qquad E[\text{pořadí první navazující}] = \frac{u+1}{k+1}\]

Kombinatorika (kap. 9)\[52! \approx 8{,}07\cdot 10^{67},\qquad n! \approx \sqrt{2\pi n}\,(n/e)^{n},\qquad \frac{52!}{8} \approx 1{,}01\cdot 10^{67},\qquad \frac{52!}{8\cdot 4!\cdot 4!} \approx 1{,}75\cdot 10^{64}\]

Hypergeometrické rozdělení (kap. 9)\[P(X=k) = \frac{\binom{4}{k}\binom{48}{n-k}}{\binom{52}{n}},\qquad E[X] = \frac{4n}{52}\]

Přesnost simulace a Wilsonův interval (kap. 9 a 10)\[SE = \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{N}},\qquad \frac{\hat p + \frac{z^2}{2N} \pm z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{N} + \frac{z^2}{4N^2}}}{1 + \frac{z^2}{N}},\quad z = 1{,}96\]

A* (kap. 11)\[f(s) = g(s) + h(s),\qquad h(s) \le h^{*}(s)\ \Rightarrow\ \text{nejkratší řešení}\]

Míchání (kap. 12)\[P_m(\pi) = \frac{1}{2^{mn}}\binom{2^m + n - r}{n},\qquad x_{k+1} = (1\,103\,515\,245\,x_k + 12\,345) \bmod 2^{31},\qquad \log_2 52! \approx 225{,}6\]

PřílohaC

Zdroje a předpoklady

Ověřené údaje

Ověřeno 7. 11. 2026.

Vyhratelnost pasiánsů: C. Blake, I. P. Gent: The Winnability of Klondike Solitaire and Many Other Patience Games. arXiv:1906.12314 (2019, verze 6 ze 3. 3. 2026), Journal of Artificial Intelligence Research 85 (2026). Klondike se znalostí karet po třech 81,945 % ± 0,084 %, po jedné 90,480 % ± 0,116 %, po dvou až sedmi 88,620; 69,337; 53,434; 35,854; 23,779 %; nutnost vracení ze základny 0,52 % (po třech) a 0,34 % (po jedné); FreeCell 99,998881 % ± 0,000207 %, se 3, 2, 1, 0 buňkami 99,3583; 79,544; 19,348; 0,2137 %; Canfield 71,245 %; Golf 45,109 %; Pavouk 98,487 % ± 1,513 % (a odkaz na výpočet Robinson 2020: 99,9886 %); řešič Solvitaire (DFS, transpoziční tabulky, symetrie, dominance, streamlinery).
Člověk proti stroji: X. Yan, P. Diaconis, P. Rusmevichientong, B. Van Roy: Solitaire: Man Versus Machine. Advances in Neural Information Processing Systems 17 (NIPS 2004, vyd. 2005), 1553–1560. Expert hrající se znalostí karet 36,6 % z 2 000 her, asi 20 minut na hru; heuristika 13,05 %; vnořené rollouty 31,20 / 47,60 / 56,83 / 60,51 / 70,20 % (200 her, ± 8,34); citát o „ostudě aplikované matematiky“.
Historie pasiánsů: encyklopedická hesla Patience (game), Klondike (solitaire), FreeCell, Spider (solitaire), Pyramid, TriPeaks, Golf (patience), Yukon, Canfield (anglická Wikipedie) a Pasiáns (česká Wikipedie): první zmínka 1783 (Das neue Königliche L’Hombre-Spiel), první kniha pasiánsů 1826 (Rusko), rozšíření ve Francii na počátku 19. století a v Británii a Americe v druhé polovině; kniha Lady Adelaide Cadoganové (kolem 1870); jméno Klondike v knize Hoyle’s Games 1907; TriPeaks – Robert Hogue 1989; Canfield – Richard A. Canfield, v Británii Demon. Původ jména Klondike a příběhy o Napoleonovi nejsou doložené.
FreeCell: M. Gardner, Mathematical Games, Scientific American, červen 1968 (Bakerova hra, C. L. Baker); P. Alfille 1978, systém PLATO, University of Illinois; Internet FreeCell Project (srpen 1994 – duben 1995): ze 32 000 rozdání neřešitelné jen č. 11982; neřešitelná rozdání v prvním milionu (11982, 146692, 186216, 455889, 495505, 512118, 517776, 781948) podle zveřejněných výsledků nezávislého řešiče, který prošel prvních milion rozdání.
Složitost: M. Helmert: Complexity results for standard benchmark domains in planning. Artificial Intelligence 143(2), 2003, 219–262 (FreeCell); L. Longpré, P. McKenzie: The complexity of Solitaire. Theoretical Computer Science 410(50), 2009, 5252–5260 (Klondike se znalostí karet); J. Stern: Spider Solitaire is NP-Complete. arXiv:1110.1052 (2011).
Míchání: D. Bayer, P. Diaconis: Trailing the Dovetail Shuffle to its Lair. Annals of Applied Probability 2(2), 1992, 294–313 – tabulka vzdáleností pro 52 karet souhlasí s výpočtem laboratoře (1; 1; 1; 1; 0,924; 0,614; 0,334; 0,167; 0,085; 0,043).
Monte Carlo: vzpomínka S. Ulama na rok 1946 a otázku, jak často vyjde Canfield (heslo Monte Carlo method, anglická Wikipedie, s odkazem na Ulamův text); N. Metropolis, S. Ulam: The Monte Carlo Method. Journal of the American Statistical Association 44(247), 1949, 335–341.
Jazyk: Internetová jazyková příručka ÚJČ AV ČR – pasiáns (rod mužský neživotný, řidčeji ženský), z francouzského patience (trpělivost).

Literatura

Parlett, D. (1979): The Penguin Book of Patience. Penguin, Harmondsworth.
Parlett, D. (1991): A History of Card Games. Oxford University Press, Oxford.
Cadogan, A. (kolem 1870): Illustrated Games of Patience. London (2. vydání 1874).
Aldous, D.; Diaconis, P. (1986): Shuffling Cards and Stopping Times. American Mathematical Monthly 93(5), 333–348.
Durstenfeld, R. (1964): Algorithm 235: Random Permutation. Communications of the ACM 7(7), 420.
Fisher, R. A.; Yates, F. (1938): Statistical Tables for Biological, Agricultural and Medical Research. Oliver & Boyd, London.
Hart, P. E.; Nilsson, N. J.; Raphael, B. (1968): A Formal Basis for the Heuristic Determination of Minimum Cost Paths. IEEE Transactions on Systems Science and Cybernetics 4(2), 100–107.
Zobrist, A. L. (1970): A New Hashing Method with Application for Game Playing. Technical Report 88, University of Wisconsin.
Browne, C. B. a kol. (2012): A Survey of Monte Carlo Tree Search Methods. IEEE Transactions on Computational Intelligence and AI in Games 4(1), 1–43.
Wilson, E. B. (1927): Probable Inference, the Law of Succession, and Statistical Inference. Journal of the American Statistical Association 22(158), 209–212.
Csikszentmihalyi, M. (1990): Flow: The Psychology of Optimal Experience. Harper & Row, New York.

Modelové předpoklady laboratoří

Všechny laboratoře počítá vlastní kód průvodce. Klondike: rozdání po řadách, lízání po 1 nebo po 3, neomezeně průchodů; naprogramovaní hráči (náhodný, jednoduchá pravidla, strategie z kapitoly 4) nevracejí karty ze základny a hra končí, když celý průchod balíčkem nic nezmění. Výsledky tabulky 4.1 pocházejí z 20 000 rozdání na hráče (seed 2027 pro lízání po 1, 2029 po 3); náhodná rozdání v laboratořích používají jiné seedy, proto se čísla mírně liší. Pavouk: počty tahů jen mezi lícovými kartami po rozdání. Malý FreeCell: 16 nebo 20 karet, pozice porovnávané bez ohledu na pořadí sloupců a buněk, limit 100 000 uzlů. Míchání: model Gilbert–Shannon–Reeds a přesný vzorec Bayera a Diaconise s Eulerovými čísly; generátor rozdání je výuková ukázka a jeho čísla neodpovídají číslům rozdání v žádné konkrétní hře. Všechna čísla v textu (kombinatorika, pravděpodobnosti, intervaly) byla spočítána skriptem.

Interaktivní průvodce Solitaire a pasiánsy (listopad 2026). Studijní materiál o hře – hrajte pro radost a s mírou, bez sázek a peněz. Průvodce nejmenuje obchodní aplikace ani jejich výrobce; historické bodování „Vegas“ uvádí jen jako způsob počítání bodů.