INTERAKTIVNÍ PRŮVODCE · ŘÍJEN 2026

Robotika

Od senzoru po autonomní stroj –
jak stroj vnímá, rozhoduje a jedná

Rameno o dvou článcích sahá po cílech, které se objevují na stole. Ke každému cíli musí spočítat úhly obou kloubů – inverzní kinematiku – a pak k nim plynule dojet. Stejnou úlohu řeší každý průmyslový robot mnohokrát za sekundu.

cíl (x, y)–

úhel ramene θ₁–

úhel lokte θ₂–

uchopeno–

ZačítRovnou na plánování cesty

Úvodem

Jak průvodce používat

Robotika spojuje mechaniku, elektroniku, řízení a informatiku do jednoho stroje, který vnímá okolí, rozhoduje a jedná. Průvodce vede od otázky „co vlastně je robot“ přes senzory, kinematiku a řízení kloubů, mobilní roboty, lokalizaci a plánování cesty až k počítačovému vidění, uchopování, strojovému učení a bezpečnosti průmyslových a kolaborativních robotů. Každý princip si vyzkoušíte v laboratoři a spočítáte na příkladu.

🤖

Tři patra každé kapitoly. Nahoře krátké vysvětlení a laboratoř: rameno, které můžete natáčet, regulátor, který můžete rozladit, robot, kterého můžete navigovat bludištěm. Pod ní mise za XP, od zvědavce po mistra robotiky. Dole rozbalovací teorie s definicemi, vzorci, odvozeními, řešenými příklady a procvičením s úplným řešením. Teorie jde často o úroveň výš než text nad ní. Barevná tečka v obsahu ukazuje náročnost. Postup se ukládá jen ve vašem prohlížeči.

Mapa průvodce

Kapitola	Úroveň	Co se naučíte
1 Co je robot	základy	definice podle normy, smyčka vnímej–rozhoduj–jednej, druhy robotů, historie, kolik robotů pracuje ve světě
2 Senzory a akční členy	základy	enkodér, ultrazvuk, lidar, kamera, síla; elektromotory, převodovky, hydraulika a pneumatika
3 Kinematika ramene	základy	klouby a stupně volnosti, dopředná a inverzní kinematika dvoučlánkové ruky, pracovní prostor
4 Souřadnicové transformace	střední škola	rotační matice, homogenní transformace, skládání a inverze, Denavitova–Hartenbergova úmluva v principu
5 Dynamika a řízení	střední škola	moment setrvačnosti a pohybová rovnice kloubu, zpětná vazba, PID regulátor, překmit a ustálení
6 Mobilní roboti	střední škola	diferenciální podvozek, okamžitý střed otáčení, odometrie a její chyby, další typy podvozků
7 Lokalizace a mapování	střední škola	nejistota, Kalmanův filtr v jedné dimenzi, částicový filtr, mřížkové mapy, SLAM v principu
8 Plánování cesty	střední škola	konfigurační prostor, algoritmus A* na mřížce, heuristiky, vzorkovací plánovače, potenciálová pole
9 Počítačové vidění	vysoká škola	model dírkové komory, kalibrace, stereovidění a hloubka, hrany a příznaky, neuronové sítě pro vnímání
10 Manipulace a uchopování	vysoká škola	tření a kužel tření, silové a tvarové uzavření, přísavky, Jacobiho matice a statika ramene
11 Strojové učení v robotice	vysoká škola	posilované učení, Q-učení, učení z demonstrací, přenos ze simulace do reality, limity a bezpečnost
12 Průmysl, koboti, bezpečnost a etika	vysoká škola	průmyslové a kolaborativní roboty, posouzení rizika, bezpečné vzdálenosti, normy a předpisy EU, etické otázky

Co budete potřebovat

Základy (kapitoly 1–3): zlomky, desetinná čísla, převody jednotek, úhly ve stupních. Kapitola 3 používá funkce sinus a kosinus; stačí vědět, že udávají průmět úsečky do os.
Střední škola (kapitoly 4–8): vektory a jejich složky, goniometrie, jednoduché rovnice, základní pojmy pravděpodobnosti (průměr, rozptyl). Teorie místy používá derivaci jako „rychlost změny“ a matice.
Vysoká škola (kapitoly 9–12): maticový počet, derivace a parciální derivace, normální rozdělení, základy programování.
Sousední průvodci: matice a lineární algebru vykládá do hloubky průvodce Matematika (kapitola Lineární algebra), elektrické obvody, motory a zpětnovazební řízení průvodce Elektrotechnika (kapitola Řízení a zpětná vazba), grafové algoritmy a umělou inteligenci průvodce Informatika (kapitoly Grafové algoritmy a Umělá inteligence a software), mechanismy, převody a výrobní stroje průvodce Strojírenství, pravděpodobnost a odhady průvodce Statistika a modely, síly a pohyb průvodce Fyzika. Tady z nich najdete jen to, co robotika potřebuje.

Čtyři druhy rámečků

Příklad Řešený výpočet

Zadání, postup a výsledek s jednotkami. Čísla jsou spočítaná skriptem a zaokrouhlená tak, jak je uvádí text.

Z praxe

Kde se princip uplatní v továrně, ve skladu, v nemocnici, na poli nebo ve výzkumu a jak se k němu došlo.

Pomůcka

Rychlé pravidlo, odhad nebo způsob, jak si vztah zapamatovat.

Pozor

Místo, kde se nejčastěji chybuje – ve výpočtu, v představě o robotech nebo v bezpečnosti.

Studijní materiál, nenahrazuje učebnici ani výuku. Bezpečnost: průmyslový robot je stroj s velkou silou a rychlostí; do jeho pracovního prostoru smí jen poučená osoba podle místních pravidel a návodu výrobce, ochranná zařízení se nikdy nepřemosťují. Výpočty bezpečných vzdáleností v kapitole 12 jsou výukové modely a nenahrazují posouzení rizika ani normy. Pokusy s elektronikou dělejte jen s bezpečným napětím; se síťovým napětím pracuje jen osoba s odbornou způsobilostí. Průvodce nejmenuje komerční produkty, firmy ani obchodní názvy robotů. Statistiky, normy a předpisy mají zdroj a datum ověření v příloze C.

Rozsahem odpovídá: kapitoly 1–3 tématům technika, robotika a digitální technologie v Rámcovém vzdělávacím programu pro základní vzdělávání (RVP ZV, oblasti Člověk a svět práce a Informatika) a běžným školním kroužkům robotiky, kapitoly 4–8 gymnaziální úrovni (RVP G – matematika, fyzika, informatika) a středním technickým oborům mechatronika a automatizace, kapitoly 9–12 úvodním vysokoškolským kurzům robotiky, mobilní robotiky, počítačového vidění a bezpečnosti strojů na technických univerzitách. Rozbalovací teorie jde v každé kapitole často o úroveň výš než úvodní text.

Část IZáklady

Co je robotzáklady

Robot je stroj, který vnímá své okolí, sám rozhoduje a podle rozhodnutí jedná – pohybuje se nebo s něčím manipuluje. Od obyčejného automatu ho odlišuje programovatelnost a míra samostatnosti. Srdcem každého robota je smyčka: vnímej, rozhodni, jednej, a znovu.

🧹

Robotický vysavač nemá mapu bytu v hlavě od výrobce. Narazí do židle, nárazník sepne spínač, program rozhodne „otoč se“ a motory kola otočí. Tisíckrát za úklid. I tak jednoduchá smyčka stačí, aby za hodinu prošel skoro celou místnost.

Reaktivní robot v místnosti

Robot jede rovně, a když narazí na stěnu nebo překážku, otočí se. Nic si nepamatuje a mapu nemá. Zvolte, o kolik se po nárazu otočí, a sledujte, jakou část podlahy za daný čas projede. Tlačítko Nová místnost změní náhodu.

LABORATOŘ

Otočení po nárazu Doba úklidu

Model: místnost 5 × 4 m se dvěma překážkami, robot průměru 0,3 m jede 0,25 m/s; pokrytí se počítá na mřížce 5 cm. U náhodného úhlu je otočení po nárazu náhodné (posuvník se neuplatní), u pevného vždy stejné. Skutečné vysavače kombinují reaktivní chování s mapou a plánováním (kapitoly 7 a 8).

Minihra: robot, nebo automat?

Podle definice potřebuje robot pohon, programovatelnost a aspoň nějakou samostatnost (vnímá a reaguje). Rozhodněte u osmi strojů. Sedm správně stačí na odměnu.

MINIHRA

0 / 8

+Teorie: definice, architektury řízení, druhy robotů, historie a statistiky

1.1Definice robota

Mezinárodní norma ISO 8373 (slovník robotiky, vydání 2021) definuje robota jako programovaný pohyblivý mechanismus s určitou mírou autonomie, který vykonává pohyb, manipulaci nebo polohování. Autonomie je schopnost vykonávat úkol podle aktuálního stavu a vnímání bez zásahu člověka. Průmyslový robot je podle téže normy automaticky řízený, přeprogramovatelný víceúčelový manipulátor programovatelný ve třech nebo více osách.robot, autonomy, industrial robot

Tři znaky robota si můžete pamatovat jako tělo, smysly, mozek: mechanismus s pohony (akční členy), senzory a řídicí počítač s programem. Pračka má pohon i program, ale program se nemění podle okolí jinak než sledem pevných kroků – je to automat. Dálkově řízený dron bez vlastního rozhodování je manipulátor ovládaný člověkem (teleoperace).

Obr. 1.1 Základní smyčka robota. Senzory měří stav světa, program rozhoduje, akční členy na svět působí. Svět se tím změní a smyčka běží znovu – u průmyslového řízení kloubů stokrát až tisíckrát za sekundu.

1.2Architektury řízení

Deliberativní (plánovací) architektura postupuje „vnímej – vytvoř model světa – naplánuj – jednej“. Je chytrá, ale pomalá a citlivá na chyby modelu. Reaktivní architektura spojuje vjem přímo s akcí podle jednoduchých pravidel („narazíš – otoč se“); je rychlá a robustní, ale nic neplánuje. Rodney Brooks v roce 1986 navrhl architekturu podřazení (subsumpce), kde vyšší vrstvy chování potlačují nižší. Dnešní roboti používají hybridní architekturu: reaktivní vrstva hlídá bezpečnost a nárazy, deliberativní plánuje trasu a úkoly.deliberative, reactive, subsumption, hybrid architecture

Příklad Laboratoř nahoře

Reaktivní robot s náhodným otočením pokryje za 20 minut velkou část místnosti, ale přírůstek se zpomaluje: poslední procenta dobírá dlouho, protože místa už projetá navštěvuje znovu. Robot s mapou by stejnou plochu projel systematicky v pruzích jednou. To je cena za jednoduchost.

1.3Druhy robotů

**Tab. 1.1**Hlavní skupiny robotů podle použití
Skupina	Příklady	Typické rysy
průmyslové manipulátory	svařování, lakování, montáž, paletizace	pevná základna, 4–6 os, vysoká opakovatelnost, oddělení od lidí
kolaborativní roboti (koboti)	podávání dílů, šroubování vedle člověka	omezená síla a rychlost, sdílený prostor s člověkem (kap. 12)
mobilní roboti	skladová vozíta, vysavače, sekačky, planetární vozítka	kola nebo pásy, navigace, lokalizace (kap. 6–8)
servisní a zdravotnické	asistence při operacích, rehabilitace, dezinfekce	práce v prostředí lidí, vysoké nároky na bezpečnost
létající a podvodní	inspekce mostů, mapování dna	6 stupňů volnosti tělesa, omezená energie
kráčející a humanoidní	výzkum, inspekce v terénu	rovnováha, dynamická chůze, mnoho kloubů

1.4Stručné dějiny

Obr. 1.2 Milníky robotiky. Osa není v měřítku. Slovo robot pochází z Čapkovy hry R.U.R. (1920); nařízení EU 2023/1230 o strojních zařízeních se použije od 20. 1. 2027.

Slovo robot uvedl Karel Čapek ve hře R.U.R. (Rossumovi univerzální roboti) z roku 1920; podle Karlova vlastního svědectví ho vymyslel jeho bratr Josef. Isaac Asimov formuloval v povídce z roku 1942 „tři zákony robotiky“ – literární, ne technické pravidlo, ale dodnes výchozí bod etických debat (kap. 12). V roce 1954 podal George Devol patentovou přihlášku programovatelného manipulátoru (udělen 1961) a v roce 1961 začal první průmyslový robot pracovat v americké automobilce u tlakového lití. V letech 1966–1972 vznikl ve Stanfordském výzkumném institutu mobilní robot, který jako první spojil vnímání, plánování a pohyb; z tohoto výzkumu vzešel i algoritmus A* (kap. 8).

Z praxe

Podle zprávy World Robotics 2026 Mezinárodní federace robotiky (IFR, zveřejněno 24. 9. 2026) bylo v roce 2025 instalováno 603 307 průmyslových robotů, o 11 % více než v roce 2024 (542 076), a ve světě jich pracuje rekordních zhruba 5 milionů. Na Čínu připadlo 59 % instalací. Průměrná hustota robotizace ve světovém zpracovatelském průmyslu byla v roce 2024 podle IFR 177 robotů na 10 000 zaměstnanců.

Pozor

Humanoid z filmu není typický robot. Naprostá většina robotů jsou nenápadná ramena v továrnách a vozíta ve skladech. A „umělá inteligence“ v robotu neznamená vědomí: jde o algoritmy pro vnímání a rozhodování v úzce vymezené úloze.

1.5Procvičení

Podle IFR bylo v roce 2024 instalováno 542 076 a v roce 2025 celkem 603 307 průmyslových robotů. O kolik procent instalace vzrostly?

\(603\,307/542\,076 = 1{,}113\), tedy nárůst o 11,3 %, zaokrouhleně 11 %, jak uvádí IFR.

Továrna má 450 zaměstnanců ve výrobě. Kolik robotů by měla, kdyby odpovídala světovému průměru hustoty robotizace 177 na 10 000 zaměstnanců?

\(450\cdot 177/10\,000 = 7{,}97\), tedy asi 8 robotů.

Rozhodněte a zdůvodněte: je robotem automatická myčka aut s pevným programem, která se nepřizpůsobí tvaru vozu?

Podle definice ne: má pohony, ale neprogramuje se pro různé úlohy a nemá autonomii založenou na vnímání. Je to automat. Kdyby kartáče podle senzorů sledovaly tvar karoserie a program šlo měnit, blížila by se robotu – hranice není ostrá.

U robotického vysavače rozdělte na vnímání, rozhodování a jednání: nárazník, gyroskop, program úklidu, motory kol, kartáč, senzor schodů.

Vnímání: nárazník, gyroskop, senzor schodů (měří vzdálenost k podlaze). Rozhodování: program úklidu. Jednání: motory kol a kartáč.

Co si odnést

Robot = programovatelný pohyblivý mechanismus s určitou autonomií: tělo (akční členy), smysly (senzory), mozek (program).
Reaktivní řízení je rychlé a jednoduché, deliberativní plánuje; praxe je kombinuje.
Většina robotů jsou průmyslová ramena; v roce 2025 jich bylo instalováno přes 600 tisíc a celkem pracuje asi 5 milionů.

Část IZáklady

Senzory a akční členyzáklady

Senzory jsou smysly robota: měří jeho vlastní stav (úhly kloubů, otáčky kol, náklon) i okolí (vzdálenosti, obraz, sílu dotyku). Akční členy jsou jeho svaly: elektromotory, hydraulické a pneumatické válce. Žádný senzor neměří přesně a žádný motor nedodá libovolnou sílu – s tím musí počítat celý návrh.

🦇

Netopýr vykřikne a poslouchá ozvěnu. Čím později se vrátí, tím dál je překážka. Ultrazvukový dálkoměr na robotu dělá totéž – a stejně jako netopýr musí vědět, jak rychle se zvuk šíří. V mrazu je zvuk pomalejší a dálkoměr, který s tím nepočítá, se mýlí.

Ultrazvukový dálkoměr a teplota

Senzor vyšle impulz a měří dobu, než se ozvěna vrátí. Vzdálenost spočítá z rychlosti zvuku. Nastavte skutečnou vzdálenost překážky a teplotu vzduchu a porovnejte měření s pevnou rychlostí 343 m/s a s teplotní kompenzací.

LABORATOŘ

Skutečná vzdálenost Teplota vzduchu

Model: rychlost zvuku v suchém vzduchu \(c \approx 331{,}3 + 0{,}606\,T\) m/s (T ve °C), vzdálenost \(d = c\,t/2\). Kompenzovaný senzor zná teplotu přesně. Šum, šířku svazku a odrazy od šikmých ploch model nezahrnuje.

Minihra: který senzor?

Ke každé úloze vyberte nejvhodnější senzor. Pět správně ze šesti stačí na odměnu.

MINIHRA

0 / 6

+Teorie: druhy senzorů, enkodéry, měření vzdálenosti, motory a převody

2.1Proprioceptivní a exteroceptivní senzory

Proprioceptivní senzory měří vnitřní stav robota: polohu a rychlost kloubů, proud motoru, zrychlení a natočení těla. Exteroceptivní senzory měří okolí: vzdálenost, obraz, dotyk, sílu interakce. Senzor je aktivní, když do okolí sám vysílá energii (ultrazvuk, lidar), a pasivní, když jen přijímá (kamera, mikrofon).proprioceptive, exteroceptive, active and passive sensor

Obr. 2.1 Senzory podle toho, co měří. Mobilní robot obvykle kombinuje enkodéry kol a IMU (odometrie, kap. 6) s lidarem nebo kamerou (lokalizace, kap. 7).

2.2Enkodér

Inkrementální enkodér má kotouč se štěrbinami a dva optické nebo magnetické snímače A a B posunuté o čtvrt periody. Počítáním pulzů zjistí natočení, z pořadí A a B směr otáčení. Při vyhodnocení všech hran obou kanálů (kvadraturní režim) dává čtyřikrát víc kroků, než má kotouč štěrbin. Absolutní enkodér zná polohu i po zapnutí bez najetí na referenci.incremental encoder, quadrature, absolute encoder

Obr. 2.2 Kvadraturní enkodér. Každá hrana kanálu A nebo B je jeden krok; pořadí hran určuje směr.

Rozlišení enkodéru\[\Delta\varphi = \frac{360^\circ}{4N},\qquad \Delta s = \frac{\pi D}{4N}\ \text{(dráha kola průměru } D\text{ na krok)}\]

Příklad Kolo s enkodérem

Enkodér má \(N = 1024\) štěrbin, kvadraturně \(4096\) kroků na otáčku. Úhlové rozlišení \(360/4096 = 0{,}088^\circ\). Je-li přímo na kole průměru 65 mm, odpovídá kroku dráha \(\pi\cdot 65/4096 = 0{,}050\) mm.

2.3Měření vzdálenosti doletem signálu

Ultrazvuk, lidar i radar měří dobu letu (time of flight) impulzu k překážce a zpět: \(d = v t/2\). U ultrazvuku je rychlost asi 343 m/s, ozvěna z 1 m se vrátí za 5,8 ms. Lidar používá světlo, ozvěna z 1 m přijde za 6,7 ns, a proto potřebuje velmi rychlou elektroniku, ale měří přesně a daleko. Ultrazvuk má široký svazek (desítky stupňů), takže nepozná, kde přesně překážka je, a od šikmých hladkých ploch se odráží jinam.time of flight, lidar, ultrasonic rangefinder

Doba letu a rychlost zvuku\[d = \frac{c\,t}{2},\qquad c \approx 331{,}3 + 0{,}606\,T\ \ \text{m/s}\ (T\ \text{ve}\ ^\circ\text{C})\]

Příklad Chyba bez kompenzace

Při 0 °C je \(c = 331{,}3\) m/s. Překážka ve 2 m vrátí ozvěnu za \(4/331{,}3 = 12{,}07\) ms. Senzor počítající s 343 m/s udá \(343\cdot 0{,}01207/2 = 2{,}071\) m – chyba 7 cm, tedy 3,5 %.

Každé měření má rozlišení (nejmenší rozpoznatelná změna), přesnost (jak blízko je průměr měření skutečné hodnotě) a opakovatelnost (rozptyl opakovaných měření). Soustavná chyba jako v příkladu se dá odstranit kalibrací, náhodný šum průměrováním a filtrací (kap. 7).resolution, accuracy, repeatability

2.4Akční členy

Většina robotů používá elektromotory: stejnosměrné s kartáči, bezkartáčové (BLDC, elektronicky komutované) a krokové. Servopohon je motor s enkodérem a regulátorem, který drží zadanou polohu (kap. 5). Hydraulika dává obrovskou sílu při malé hmotnosti akčního členu (těžké stroje, kráčející roboti), pneumatika je levná a poddajná (chapadla, přísavky). Princip motorů vykládá průvodce Elektrotechnika, hydrauliku průvodce Strojírenství.DC motor, brushless motor, stepper, servo, hydraulic, pneumatic actuator

Motor se točí rychle a má malý moment. Převodovka s převodovým poměrem \(i\) zmenší otáčky \(i\)krát a moment zvětší \(i\)krát (krát účinnost). Robotické klouby používají převody s velkým poměrem (50–160) a malou vůlí.

Převodovka\[\omega_\text{výst} = \frac{\omega_\text{mot}}{i},\qquad M_\text{výst} = \eta\, i\, M_\text{mot}\]

Příklad Převod 50 : 1

Motor dává 0,05 N·m při 3000 ot/min. Převodovka 50 : 1 s účinností 80 % dá na výstupu \(0{,}8\cdot 50\cdot 0{,}05 = 2{,}0\) N·m při \(3000/50 = 60\) ot/min. Kolo průměru 65 mm pak jede \(\pi\cdot 0{,}065\cdot 60/60 = 0{,}20\) m/s.

Pozor

Velký převod robot zpomalí a udělá ho „tuhým“ – kloub se rukou téměř nedá otočit, a při nárazu proto předá velkou sílu. Kolaborativní roboti proto měří proud nebo moment v kloubech a při kontaktu zastaví (kap. 12).

2.5Procvičení

Ultrazvukový senzor naměřil dobu ozvěny 10 ms při 20 °C. Jak daleko je překážka?

\(c = 331{,}3 + 0{,}606\cdot 20 = 343{,}4\) m/s. \(d = 343{,}4\cdot 0{,}010/2 = 1{,}72\) m.

Za jak dlouho se vrátí ozvěna lidaru od zdi vzdálené 1 m? Rychlost světla 299 792 458 m/s.

\(t = 2d/c = 2/299\,792\,458 = 6{,}67\cdot 10^{-9}\) s, tedy 6,7 ns. Chyba časování 1 ns odpovídá chybě vzdálenosti 15 cm.

Kolik kroků na otáčku dává kvadraturně vyhodnocený enkodér s 500 štěrbinami a jaké je jeho úhlové rozlišení?

\(4\cdot 500 = 2000\) kroků, rozlišení \(360/2000 = 0{,}18^\circ\).

Kloub potřebuje moment 6 N·m. Motor dává 0,08 N·m, převodovka má účinnost 75 %. Jaký nejmenší převodový poměr potřebujete?

\(i \ge 6/(0{,}75\cdot 0{,}08) = 100\). Potřebujete převod aspoň 100 : 1.

Proč robot nemůže spoléhat jen na enkodéry kol, aby věděl, kde je?

Enkodér měří otočení kola, ne skutečný pohyb robota. Prokluz, nerovnosti a nepřesný průměr kola způsobují chyby, které se sčítají (kap. 6). Proto se odometrie doplňuje exteroceptivními senzory a filtrací (kap. 7).

Co si odnést

Proprioceptivní senzory měří robota, exteroceptivní okolí; aktivní vysílají, pasivní jen přijímají.
Doba letu: \(d = vt/2\); u ultrazvuku záleží na teplotě vzduchu.
Převodovka mění otáčky na moment: \(M_\text{výst} = \eta\,i\,M_\text{mot}\), \(\omega_\text{výst} = \omega_\text{mot}/i\).

Část IZáklady

Kinematika ramenezáklady

Kinematika popisuje pohyb bez ohledu na síly. U robotického ramene řeší dvě zrcadlové otázky. Dopředná: známe úhly kloubů – kde je ruka? Inverzní: chceme ruku dostat do bodu – jaké úhly nastavit? První má vždy jednu odpověď, druhá žádnou, jednu, dvě, nebo nekonečně mnoho.

💪

Natáhněte ruku k hrnku na stole. Mozek bleskově zvolí úhel v rameni i v lokti. Zkuste na stejný hrnek sáhnout s loktem zvednutým nahoru – jde to také. Dva různé postoje, jeden cíl. Přesně to je dvojí řešení inverzní kinematiky.

Dvoučlánkové rameno

V režimu Dopředná nastavujete úhly kloubů a sledujete polohu ruky. V režimu Inverzní zadáte cíl a rameno spočítá úhly samo; přepínač lokte vybere jedno ze dvou řešení. Šedé mezikruží je pracovní prostor – body, kam rameno dosáhne.

LABORATOŘ

Úhel ramene θ₁ Úhel lokte θ₂

Cíl x Cíl y Délka předloktí L₂

Model: rovinné rameno se dvěma rotačními klouby, rameno L₁ = 0,4 m, předloktí L₂ nastavitelné, úhly bez omezení dorazů. θ₁ se měří od osy x, θ₂ od směru ramene; kladný úhel je proti směru hodinových ručiček.

+Teorie: klouby a stupně volnosti, dopředná a inverzní kinematika, pracovní prostor, singularity

3.1Články, klouby a stupně volnosti

Rameno je řetězec tuhých článků spojených klouby. Rotační kloub (R) dovolí otáčení kolem osy, posuvný (P, prizmatický) posun podél osy. Každý z nich přidává jeden stupeň volnosti (DOF). Těleso v prostoru má 6 stupňů volnosti – 3 polohy a 3 natočení – proto má univerzální průmyslový robot 6 kloubů. V rovině stačí 3 (x, y a natočení).link, joint, revolute, prismatic, degree of freedom

Obr. 3.1 Tři běžné stavby ramen. Písmena udávají typy kloubů od základny: R rotační, P posuvný. SCARA je obecný název uspořádání (ramenový robot poddajný v rovině), ne značka.

Pro rovinné mechanismy udává počet stupňů volnosti Grüblerův vzorec \(M = 3(n-1) - 2j\), kde \(n\) je počet článků včetně rámu a \(j\) počet jednoduchých kloubů. Prostorový tvar: \(M = 6(n-1) - 5j\). Šestiosé rameno má 7 článků (s rámem) a 6 kloubů: \(6\cdot 6 - 5\cdot 6 = 6\).Grübler (Chebyshev–Grübler–Kutzbach) formula

3.2Dopředná kinematika

U rovinného dvoučlánkového ramene je loket v bodě \((L_1\cos\theta_1,\ L_1\sin\theta_1)\). Předloktí míří pod úhlem \(\theta_1+\theta_2\), protože úhel lokte se měří od směru ramene. Sečtením obou průmětů dostaneme dopřednou kinematiku:forward kinematics

Dopředná kinematika 2R ramene\[x = L_1\cos\theta_1 + L_2\cos(\theta_1+\theta_2),\qquad y = L_1\sin\theta_1 + L_2\sin(\theta_1+\theta_2)\]

Příklad Kde je ruka?

\(L_1 = 0{,}4\) m, \(L_2 = 0{,}3\) m, \(\theta_1 = 30^\circ\), \(\theta_2 = 45^\circ\). Loket: \((0{,}4\cos 30^\circ,\ 0{,}4\sin 30^\circ) = (0{,}346;\ 0{,}200)\). Předloktí pod úhlem 75°: \(x = 0{,}346 + 0{,}3\cos 75^\circ = 0{,}424\) m, \(y = 0{,}200 + 0{,}3\sin 75^\circ = 0{,}490\) m.

3.3Inverzní kinematika

Ruka, loket a základna tvoří trojúhelník se stranami \(L_1\), \(L_2\) a \(r = \sqrt{x^2+y^2}\). Z kosinové věty plyne úhel lokte, z něj pak úhel ramene:inverse kinematics, law of cosines

Inverzní kinematika 2R ramene\[\begin{aligned}\cos\theta_2 &= \frac{x^2+y^2-L_1^2-L_2^2}{2L_1L_2},\qquad \theta_2 = \pm\arccos(\cos\theta_2)\ \theta_1 &= \operatorname{atan2}(y,x) - \operatorname{atan2}(L_2\sin\theta_2,\ L_1+L_2\cos\theta_2)\end{aligned}\]

Obr. 3.2 Ke stejnému cíli vedou dvě konfigurace, zrcadlově podle spojnice základna–cíl (L₁ = 0,4 m, L₂ = 0,3 m).

Příklad Cíl (0,5; 0,3)

Čitatel \(0{,}25 + 0{,}09 - 0{,}16 - 0{,}09 = 0{,}09\), jmenovatel \(2\cdot 0{,}4\cdot 0{,}3 = 0{,}24\), takže \(\cos\theta_2 = 0{,}375\) a \(\theta_2 = \pm 67{,}98^\circ\). Pro \(\theta_2 = +67{,}98^\circ\) (loket dole) vyjde \(\theta_1 = 2{,}48^\circ\), pro \(\theta_2 = -67{,}98^\circ\) (loket nahoře) \(\theta_1 = 59{,}45^\circ\). Dosazením do dopředné kinematiky dostanete v obou případech zpět (0,5; 0,3).

Pomůcka

Funkce atan2(y, x) vrací úhel bodu (x, y) v celém rozsahu −180° až 180° a správně rozliší kvadranty. Obyčejný \(\arctan(y/x)\) by zaměnil body (1; 1) a (−1; −1).

3.4Pracovní prostor a singularity

Pracovní prostor 2R ramene je mezikruží s poloměry \(|L_1 - L_2|\) a \(L_1 + L_2\). Mimo něj je \(|\cos\theta_2| > 1\) a řešení neexistuje. Na vnější hranici (natažená ruka) a na vnitřní (složená) obě řešení splynou v jedno. Takové polohy jsou singulární: rameno v nich ztrácí schopnost pohnout rukou v některém směru – natažená ruka se nemůže dál prodloužit. Blízko singularity vyžaduje i malý pohyb ruky velké rychlosti kloubů (kap. 10).workspace, singularity

U šestiosých ramen má inverzní úloha až 8 (u obecných 6R mechanismů až 16) řešení a řeší se analyticky pro zvláštní geometrie (osy zápěstí se protínají v bodě) nebo numericky iterací. Rameno se 7 a více klouby je redundantní: řešení je nekonečně mnoho a volnost se využívá k obcházení překážek.redundant manipulator

Pozor

Úhly z inverzní kinematiky musí ještě respektovat dorazy kloubů a nesmí vést ke kolizi ramene s okolím nebo se sebou. Matematické řešení ještě není proveditelný pohyb.

3.5Procvičení

Rameno má \(L_1 = L_2 = 1\) m, \(\theta_1 = 90^\circ\), \(\theta_2 = -90^\circ\). Kde je ruka?

Loket v (0; 1). Předloktí pod úhlem \(90^\circ - 90^\circ = 0^\circ\), tedy vodorovně: ruka v (1; 1).

Jaký je pracovní prostor ramene s \(L_1 = 0{,}4\) m a \(L_2 = 0{,}3\) m a jakou má plochu?

Mezikruží s poloměry 0,1 m a 0,7 m. Plocha \(\pi(0{,}7^2 - 0{,}1^2) = 1{,}51\ \text{m}^2\).

Pro rameno z úlohy 2 najděte úhly lokte pro cíl (0,6; 0).

\(\cos\theta_2 = (0{,}36 - 0{,}16 - 0{,}09)/0{,}24 = 0{,}458\), \(\theta_2 = \pm 62{,}7^\circ\). Pro \(+62{,}7^\circ\) je \(\theta_1 = 0 - \operatorname{atan2}(0{,}3\sin 62{,}7^\circ;\ 0{,}4 + 0{,}3\cos 62{,}7^\circ) = -26{,}4^\circ\); druhé řešení je zrcadlové: \(\theta_1 = +26{,}4^\circ\), \(\theta_2 = -62{,}7^\circ\).

Kolik stupňů volnosti má rovinný čtyřkloubový mechanismus (4 články včetně rámu, 4 rotační klouby)?

\(M = 3(4-1) - 2\cdot 4 = 1\). Jedním motorem je pohyb celého mechanismu určen.

Proč má univerzální průmyslové rameno právě šest kloubů?

Nástroj je těleso v prostoru a jeho poloha a natočení mají 6 stupňů volnosti (x, y, z a tři úhly). Šest nezávislých kloubů je nejmenší počet, kterým lze obecně nastavit všechny. Pro jednodušší úlohy (třeba pokládání dílů shora) stačí 4 osy.

Co si odnést

Dopředná kinematika: z úhlů kloubů poloha ruky – sečtou se průměty článků.
Inverzní kinematika: z cíle úhly – kosinová věta a atan2; obvykle dvě řešení (loket dole a nahoře), mimo pracovní prostor žádné.
Těleso v prostoru má 6 stupňů volnosti, proto má univerzální rameno 6 kloubů.

Část IIStřední škola

Souřadnicové transformacestřední škola

Robot žije v mnoha souřadnicových soustavách najednou: soustava světa, základny, každého článku, nástroje, kamery i uchopovaného dílu. Kamera vidí šroub „30 cm před sebou“, ale rameno potřebuje vědět, kde je šroub vůči základně. Převod mezi soustavami zařídí jediná matice – homogenní transformace.

🗺️

Kamarád vám do telefonu řekne: „Jsem dva kroky vpravo od tebe.“ Abyste ho našli na mapě, potřebujete vědět, kde stojíte vy a kam se díváte. Vaše poloha a natočení na mapě – to je transformace z vaší soustavy do soustavy mapy.

Homogenní transformace v rovině

Modrá soustava je otočená o úhel θ a posunutá o (tₓ, t_y) vůči šedé soustavě světa. Oranžový bod má v modré soustavě souřadnice (pₓ, p_y). Laboratoř spočítá jeho polohu ve světě a vypíše matici. Přepínač pořadí ukáže, že záleží na tom, zda se nejdřív otáčí, nebo posouvá.

LABORATOŘ

Natočení θ Posun tₓ Posun t_y

Bod pₓ (v modré) Bod p_y (v modré)

Model: \(\mathbf{p}_\text{svět} = \mathbf{T}\,\mathbf{p}_\text{modrá}\) v homogenních souřadnicích \((x, y, 1)\). Pořadí „posun · rotace“ je obvyklá úmluva: nejdřív se bod otočí kolem počátku modré soustavy, potom se přesune. Obrácené pořadí posune bod a pak ho otočí kolem počátku světa.

+Teorie: rotační matice, homogenní souřadnice, skládání a inverze, prostorové rotace, Denavitova–Hartenbergova úmluva

4.1Rotační matice v rovině

Otočení bodu o úhel \(\theta\) kolem počátku zapíšeme maticí \(\mathbf R(\theta)\). Její sloupce jsou jednotkové vektory os otočené soustavy vyjádřené ve světě. Rotační matice je ortogonální: \(\mathbf R^{\mathsf T}\mathbf R = \mathbf I\), takže inverze je prostě transpozice, a \(\det\mathbf R = 1\). Maticový počet vykládá průvodce Matematika v kapitole Lineární algebra.rotation matrix, orthogonal matrix

Rotace v rovině\[\mathbf R(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},\qquad \mathbf R(\theta)^{-1} = \mathbf R(\theta)^{\mathsf T} = \mathbf R(-\theta)\]

4.2Homogenní transformace

Poloha a natočení soustavy B vůči soustavě A (póza) se skládá z rotace \(\mathbf R\) a posunu \(\mathbf t\). Bod se převede vztahem \(\mathbf p_A = \mathbf R\,\mathbf p_B + \mathbf t\). Když k souřadnicím připíšeme jedničku, dá se obojí zapsat jedním násobením maticí – homogenní transformací. Výhoda: řetězec soustav se skládá prostým násobením matic.pose, homogeneous coordinates, homogeneous transformation

Homogenní transformace v rovině a v prostoru\[{}^A\mathbf T_B = \begin{pmatrix}\mathbf R & \mathbf t\\ \mathbf 0^{\mathsf T} & 1\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}\mathbf p_A\\1\end{pmatrix} = {}^A\mathbf T_B\begin{pmatrix}\mathbf p_B\\1\end{pmatrix},\qquad {}^A\mathbf T_C = {}^A\mathbf T_B\,{}^B\mathbf T_C\]

Příklad Bod v otočené soustavě

Soustava B je otočená o 90° a posunutá o (2; 1). Bod má v B souřadnice (1; 0). \(\mathbf R\mathbf p_B = (\cos 90^\circ\cdot 1 - \sin 90^\circ\cdot 0;\ \sin 90^\circ\cdot 1 + \cos 90^\circ\cdot 0) = (0; 1)\), po přičtení posunu \(\mathbf p_A = (2; 2)\). Při \(\theta = 30^\circ\), \(\mathbf t = (1; 0{,}5)\) a \(\mathbf p_B = (0{,}5; 0{,}2)\) vyjde \(\mathbf p_A = (0{,}866\cdot 0{,}5 - 0{,}5\cdot 0{,}2 + 1;\ 0{,}5\cdot 0{,}5 + 0{,}866\cdot 0{,}2 + 0{,}5) = (1{,}333;\ 0{,}923)\).

Obr. 4.1 Řetězec transformací. Pevné matice (umístění základny, nástroje a kamery) se změří kalibrací, ᴮT_E plyne z úhlů kloubů (dopředná kinematika), ᶜT_O z počítačového vidění (kap. 9). Násobením dostane robot polohu objektu vůči své základně.

4.3Inverze a pořadí

Násobení matic není komutativní: \(\mathbf T_1\mathbf T_2 \ne \mathbf T_2\mathbf T_1\). Otočit a pak posunout dá jiný výsledek než posunout a pak otočit – to ukazuje přepínač v laboratoři. Inverzní transformace (z A zpět do B) má tvar:

Inverze homogenní transformace\[{}^A\mathbf T_B^{-1} = {}^B\mathbf T_A = \begin{pmatrix}\mathbf R^{\mathsf T} & -\mathbf R^{\mathsf T}\mathbf t\\ \mathbf 0^{\mathsf T} & 1\end{pmatrix}\]

Příklad Zpět do soustavy B

Soustava B: \(\theta = 90^\circ\), \(\mathbf t = (2; 1)\). Bod světa (3; 3) má v B souřadnice \(\mathbf R^{\mathsf T}(\mathbf p - \mathbf t) = \mathbf R^{\mathsf T}(1; 2)\). \(\mathbf R^{\mathsf T}\) otáčí o −90°: \((1; 2)\mapsto(2; -1)\). Kontrola: \(\mathbf R(2; -1) + \mathbf t = (1; 2) + (2; 1) = (3; 3)\).

4.4Rotace v prostoru

V prostoru je rotační matice \(3\times 3\). Základní rotace kolem os x, y, z se skládají; natočení lze zapsat třemi úhly (například náklon, klopení, stáčení – roll, pitch, yaw), osou a úhlem nebo jednotkovým kvaternionem. Úhly jsou názorné, ale v některých polohách ztrácejí jeden stupeň volnosti (gimbal lock); kvaterniony tento problém nemají, a proto je řídicí software používá pro interpolaci natočení.roll, pitch, yaw, quaternion, gimbal lock

Rotace kolem osy z\[\mathbf R_z(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

4.5Denavitova–Hartenbergova úmluva

Jacques Denavit a Richard Hartenberg v roce 1955 navrhli, jak popsat každý článek ramene jen čtyřmi čísly. Soustava kloubu \(i\) se umístí tak, že osa \(z_i\) leží v ose kloubu. Transformace mezi sousedními soustavami je pak složením čtyř jednoduchých pohybů: otočení o \(\theta_i\) kolem \(z\), posun o \(d_i\) podél \(z\), posun o \(a_i\) podél nové osy \(x\), otočení o \(\alpha_i\) kolem \(x\). U rotačního kloubu je proměnná \(\theta_i\), u posuvného \(d_i\). Dopředná kinematika celého ramene je součinem \(\mathbf T = \mathbf A_1\mathbf A_2\cdots\mathbf A_n\).Denavit–Hartenberg parameters

Obr. 4.2 Čtyři DH parametry: θ a d popisují pohyb podél a kolem osy kloubu, a a α tvar článku (vzdálenost a zkřížení sousedních os).

**Tab. 4.1**DH parametry rovinného ramene 2R z kapitoly 3
Článek i	θᵢ	dᵢ	aᵢ	αᵢ
1	θ₁ (proměnná)	0	L₁ = 0,4 m	0
2	θ₂ (proměnná)	0	L₂ = 0,3 m	0

Pozor

Existují dvě varianty: klasická (Denavit–Hartenberg) a modifikovaná (zavedená v učebnici J. J. Craiga), které umisťují soustavy jinak. Tabulky parametrů z různých zdrojů proto nemíchejte.

4.6Procvičení

Ověřte, že \(\mathbf R(\theta)^{\mathsf T}\mathbf R(\theta) = \mathbf I\).

Prvek (1,1): \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\). Prvek (1,2): \(-\cos\theta\sin\theta + \sin\theta\cos\theta = 0\). Obdobně (2,1) = 0 a (2,2) = 1.

Čemu se rovná \(\mathbf R(30^\circ)\mathbf R(60^\circ)\)?

Rotace v rovině se sčítají: \(\mathbf R(90^\circ) = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\). V rovině na pořadí rotací kolem stejného bodu nezáleží, v prostoru kolem různých os ano.

Kamera na ruce robota vidí díl v bodě (0; 0,2) své soustavy. Kamera je vůči základně otočená o 90° a posunutá do (0,5; 0,3). Kde je díl vůči základně?

\(\mathbf R(90^\circ)(0; 0{,}2) = (-0{,}2; 0)\), plus posun: (0,3; 0,3).

Proč se k souřadnicím přidává jednička?

Posun není lineární zobrazení (posune i počátek), a nedá se proto zapsat maticí 2 × 2. S třetí souřadnicí 1 se posun stane posledním sloupcem matice 3 × 3 a rotaci s posunem i jejich řetězce lze zapsat jedním násobením.

Kolik DH parametrů potřebuje šestiosé rameno a kolik z nich se mění za pohybu?

Čtyři na článek, celkem 24. Mění se jen šest kloubových proměnných (u rotačních kloubů úhly θᵢ); ostatních 18 je dáno konstrukcí.

Co si odnést

Póza = rotace + posun; homogenní matice 3 × 3 (v rovině) nebo 4 × 4 (v prostoru) obojí spojí.
Řetězce soustav se násobí, na pořadí záleží; inverze rotace je transpozice.
DH úmluva popisuje článek čtyřmi parametry θ, d, a, α; součin matic dá dopřednou kinematiku.

Část IIStřední škola

Dynamika a řízenístřední škola

Kinematika řekne, kam má kloub dojet. Dynamika řekne, jakou silou ho tam motor musí dotlačit – článek má hmotnost, setrvačnost a táhne ho gravitace. Regulátor se zpětnou vazbou pak každou milisekundu porovná skutečný úhel s požadovaným a podle rozdílu upraví moment motoru.

🚿

Ve sprše nastavujete teplotu: příliš studená, otočíte doprava; za chvíli opaří, otočíte zpět. Když točíte moc rychle a moc, teplota kmitá. Když opatrně, trvá to věčnost. Regulátor kloubu řeší totéž – jen to musí udělat tisíckrát za sekundu a bez kmitání.

PID regulátor kloubu

Kloub má najet z 0 na 1 rad (57,3°). Nastavte zesílení P (síla úměrná odchylce), I (sčítá odchylku v čase) a D (brzdí podle rychlosti). Zapněte zátěž – gravitaci, která kloub táhne dolů – a sledujte, co se stane s ustálenou odchylkou.

LABORATOŘ

Zesílení K_P Zesílení K_I Zesílení K_D

Model: \(J\ddot\theta = u - b\dot\theta - M_z\), moment setrvačnosti J = 0,2 kg·m², viskózní tření b = 0,5 N·m·s, zátěž M_z = 0 nebo 1 N·m, moment motoru omezen na ±50 N·m, krok simulace 1 ms. Derivační složka působí na rychlost (ne na odchylku), aby skok žádané hodnoty nezpůsobil ráz. Doba ustálení: poslední okamžik, kdy je odchylka větší než 2 %.

+Teorie: pohybová rovnice kloubu, dynamika ramene, zpětná vazba, PID, ladění a stabilita

5.1Pohybová rovnice jednoho kloubu

Pro otáčení platí obdoba druhého Newtonova zákona: součet momentů sil je moment setrvačnosti krát úhlové zrychlení, \(\sum M = J\,\varepsilon\). U článku, který otáčí motor proti gravitaci a tření, dostaneme:equation of motion, moment of inertia

Kyvadlový článek poháněný motorem\[J\ddot\theta + b\dot\theta + m g\,l_t\cos\theta = M_\text{mot},\qquad J_\text{tyče, konec} = \tfrac13 m L^2\]

Zde \(l_t\) je vzdálenost těžiště od osy a \(\theta\) úhel od vodorovné roviny. Gravitační moment je největší, když je článek vodorovně.

Příklad Kolik momentu potřebuje kloub?

Článek je tyč hmotnosti 2 kg a délky 0,5 m otáčená kolem konce. \(J = \tfrac13\cdot 2\cdot 0{,}5^2 = 0{,}167\) kg·m². Ve vodorovné poloze je gravitační moment \(2\cdot 9{,}81\cdot 0{,}25 = 4{,}91\) N·m. Má-li se článek z vodorovné polohy rozjet nahoru se zrychlením 5 rad/s², potřebuje \(0{,}167\cdot 5 + 4{,}91 = 5{,}74\) N·m. Přes převod 100 : 1 (bez ztrát) to je na motoru 0,057 N·m.

5.2Dynamika celého ramene

U ramene s více klouby se pohyby navzájem ovlivňují: když se točí rameno, působí na předloktí odstředivé a Coriolisovy síly a setrvačnost ramene závisí na poloze lokte. Pohybová rovnice má maticový tvar (Lagrangeovy rovnice, které vykládá průvodce Fyzika v kapitole Analytická mechanika):manipulator dynamics, Coriolis, inertia matrix

Dynamika manipulátoru\[\mathbf M(\mathbf q)\ddot{\mathbf q} + \mathbf C(\mathbf q,\dot{\mathbf q})\dot{\mathbf q} + \mathbf g(\mathbf q) = \boldsymbol\tau\]

\(\mathbf M\) je matice setrvačnosti, \(\mathbf C\dot{\mathbf q}\) odstředivé a Coriolisovy členy, \(\mathbf g\) gravitace, \(\boldsymbol\tau\) momenty motorů. Inverzní dynamika z požadovaného pohybu spočítá potřebné momenty; regulátory ji používají jako dopřednou složku (výpočet momentu, computed torque) a zpětná vazba pak dorovná jen malé chyby.inverse dynamics, computed torque control

5.3Zpětná vazba a PID

Řízení v otevřené smyčce pošle motoru předem spočítaný příkaz a doufá. Zpětná vazba (uzavřená smyčka) měří výsledek a koriguje: regulační odchylka \(e = r - y\) je rozdíl žádané a skutečné hodnoty. Nejrozšířenější je PID regulátor. Teorii řízení, přenosy a stabilitu do hloubky vykládá průvodce Elektrotechnika (kapitola Řízení a zpětná vazba).open loop, feedback, error, PID controller

Obr. 5.1 Zpětnovazební smyčka. Enkodér měří úhel, regulátor ze zbývající odchylky počítá moment motoru. Zátěž (gravitace, náraz) působí jako porucha.

PID regulátor\[u(t) = K_P\,e(t) + K_I\int_0^t e(\tau)\,\mathrm d\tau + K_D\frac{\mathrm de}{\mathrm dt}\]

P tlačí úměrně odchylce. Větší \(K_P\) = rychlejší, ale víc kmitá. Proti stálé zátěži zůstane ustálená odchylka \(M_z/K_P\): motor musí zátěž držet a k tomu potřebuje nenulovou odchylku.
I sčítá odchylku v čase, dokud nezmizí. Odstraní ustálenou odchylku, ale zpomaluje a zvyšuje sklon ke kmitání.
D reaguje na rychlost změny a působí jako tlumič. Zmenší překmit, ale zesiluje šum měření.

Obr. 5.2 Ukazatele kvality odezvy na skok: překmit (o kolik výstup přestřelí), doba ustálení (kdy naposledy opustí pásmo ±2 %) a ustálená odchylka (co zbude na konci).

5.4Kloub s PD regulátorem jako tlumený oscilátor

Bez zátěže a bez I složky dává PD regulátor (s derivací rychlosti) rovnici \(J\ddot\theta + (b + K_D)\dot\theta + K_P\theta = K_P r\) – tlumený oscilátor. Jeho vlastní úhlová frekvence a poměrný útlum jsou

Druhý řád\[\omega_n = \sqrt{\frac{K_P}{J}},\qquad \zeta = \frac{b + K_D}{2\sqrt{K_P J}},\qquad \text{překmit} = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\ (\zeta < 1),\qquad t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}\]

Příklad Laboratoř s K_P = 5

\(J = 0{,}2\), \(b = 0{,}5\). Samotné P: \(\omega_n = \sqrt{5/0{,}2} = 5\) rad/s, \(\zeta = 0{,}5/(2\sqrt{5\cdot 0{,}2}) = 0{,}25\), překmit \(e^{-\pi\cdot 0{,}25/\sqrt{1-0{,}0625}} = 44{,}4\) %, doba ustálení odhadem \(4/(0{,}25\cdot 5) = 3{,}2\) s (simulace dá 2,8 s). Přidáním \(K_D = 1\): \(\zeta = 1{,}5/2 = 0{,}75\), překmit 2,8 %, doba ustálení odhadem 1,1 s. Se zátěží 1 N·m a samotným P zůstane odchylka \(1/5 = 0{,}2\) rad – odstraní ji až I složka.

Pomůcka

Ruční ladění: nejdřív zvyšujte P, dokud odezva není dost rychlá; pak přidejte D, dokud nezmizí kmitání; nakonec malé I na odstranění ustálené odchylky. Útlum kolem 0,7 je dobrý kompromis mezi rychlostí a překmitem.

Pozor

Integrační složka se při nasycení motoru (moment narazí na limit) „natahuje“ a pak způsobí velký překmit – wind-up. Praktické regulátory integraci při nasycení zastavují. Skutečné klouby mají navíc vůli v převodech a pružnost, které vysoká zesílení rozkmitají.

Z praxe

Průmyslový servopohon má regulátory v kaskádě: vnitřní smyčka proudu (moment) běží typicky desítky kHz, nad ní smyčka rychlosti a nejvýš smyčka polohy. Každá vnější smyčka je pomalejší než vnitřní, takže vnitřní se pro ni chová jako ideální akční člen.

5.5Procvičení

Kloub s \(K_P = 20\) drží zátěž 2 N·m jen P regulátorem. Jaká je ustálená odchylka ve stupních?

\(e = M_z/K_P = 2/20 = 0{,}1\) rad \(= 5{,}7^\circ\).

Pro \(J = 0{,}2\), \(b = 0{,}5\), \(K_P = 20\), \(K_D = 3\) spočítejte \(\omega_n\), \(\zeta\) a překmit.

\(\omega_n = \sqrt{20/0{,}2} = 10\) rad/s, \(\zeta = 3{,}5/(2\sqrt{4}) = 0{,}875\), překmit \(e^{-\pi\cdot 0{,}875/\sqrt{1-0{,}766}} = 0{,}34\) %, doba ustálení odhadem \(4/8{,}75 = 0{,}46\) s.

Proč je gravitační moment článku největší ve vodorovné poloze?

Moment je síla krát rameno. Rameno tíhové síly vůči ose je vodorovná vzdálenost těžiště od osy \(l_t\cos\theta\); je největší při \(\theta = 0\) (vodorovně) a nulové, když článek míří svisle.

Jaký moment setrvačnosti má tyč 3 kg, 0,6 m otáčená kolem konce, a jaký moment potřebuje na zrychlení 4 rad/s² ve svislé poloze?

\(J = \tfrac13\cdot 3\cdot 0{,}36 = 0{,}36\) kg·m². Ve svislé poloze gravitace moment nevytváří: \(M = 0{,}36\cdot 4 = 1{,}44\) N·m (bez tření).

Co se stane, když v laboratoři nastavíte velké \(K_D\) a skutečný enkodér by měl šum?

D složka derivuje měřený signál a šum má velké rychlé změny; výstup regulátoru by „sršel“, motor by hučel a hřál se. Proto se D složka filtruje a zesílení se volí s ohledem na šum.

Co si odnést

Moment motoru = setrvačnost × úhlové zrychlení + tření + gravitace; u více kloubů se pohyby navzájem ovlivňují.
PID: P rychlost, I odstraní ustálenou odchylku, D tlumí překmit.
PD kloub je tlumený oscilátor; útlum ζ ≈ 0,7 je dobrý kompromis.

Část IIStřední škola

Mobilní robotistřední škola

Mobilní robot nemá pevnou základnu – celý se pohybuje po podlaze, poli nebo skladu. Nejjednodušší a nejčastější je diferenciální podvozek: dvě samostatně poháněná kola na jedné ose. Stejnými otáčkami jede rovně, rozdílnými zatáčí, protisměrnými se otočí na místě. Kde je, si počítá z otáček kol – a pomalu se při tom mýlí.

🚜

Pásový bagr zatáčí tak, že jeden pás zpomalí. Tank se otočí na místě, když se pásy točí proti sobě. Robotický vysavač, invalidní vozík i skladové vozítko používají totéž – jen místo pásů dvě kola a k nim podpěrné kolečko.

Diferenciální podvozek

Nastavte rychlost levého a pravého kola a dobu jízdy. Modrá čára je skutečná dráha, okamžitý střed otáčení ukazuje šedý kroužek. Minihra: dojeďte co nejblíž k oranžovému terči (do 25 cm); po zásahu tlačítko Nový cíl. Přepínač chyby kola ukáže, jak se odometrie odchýlí od skutečnosti.

LABORATOŘ + MINIHRA

Levé kolo v_L Pravé kolo v_R

Rozchod kol b Doba jízdy

zásahy 0

Model: kinematika bez prokluzu, robot startuje v bodě (0; 0) natočený ve směru osy x, rychlosti kol jsou po celou jízdu stálé. Při chybě kola si robot myslí, že jede po šedé čárkované dráze (odometrie s nominálním průměrem), ale ve skutečnosti jede po modré.

+Teorie: kinematika diferenciálního podvozku, okamžitý střed otáčení, odometrie a nejistota, typy podvozků, neholonomní vazby

6.1Rychlost a otáčení

Dopředná rychlost robota je průměr rychlostí kol, úhlová rychlost rozdíl rychlostí dělený rozchodem \(b\). Robot se v každém okamžiku otáčí kolem okamžitého středu otáčení (ICR) ležícího na ose kol ve vzdálenosti \(R\) od středu.differential drive, wheel track, instantaneous centre of rotation

Kinematika diferenciálního podvozku\[v = \frac{v_R + v_L}{2},\qquad \omega = \frac{v_R - v_L}{b},\qquad R = \frac{v}{\omega} = \frac b2\,\frac{v_R + v_L}{v_R - v_L}\]

Obr. 6.1 Diferenciální podvozek. Obě kola leží na jedné ose; okamžitý střed otáčení je na jejím prodloužení na straně pomalejšího kola.

Příklad Laboratoř ve výchozím nastavení

\(v_L = 0{,}2\) m/s, \(v_R = 0{,}4\) m/s, \(b = 0{,}3\) m. \(v = 0{,}3\) m/s, \(\omega = 0{,}2/0{,}3 = 0{,}667\) rad/s, \(R = 0{,}3/0{,}667 = 0{,}45\) m. Celý kruh objede za \(2\pi/0{,}667 = 9{,}42\) s.

Zvláštní případy: \(v_R = v_L\) – rovně (\(R\to\infty\)); \(v_R = -v_L\) – otáčení na místě (\(R = 0\)); jedno kolo stojí – otáčení kolem něj (\(R = b/2\)).

6.2Odometrie

Odometrie odhaduje pózu \((x, y, \varphi)\) sčítáním malých pohybů změřených enkodéry kol. V každém kroku \(\Delta t\) se poloha posune o \(v\Delta t\) ve směru natočení a natočení se změní o \(\omega\Delta t\):odometry, dead reckoning

Krok odometrie (Eulerova integrace)\[x_{k+1} = x_k + v\,\Delta t\cos\varphi_k,\qquad y_{k+1} = y_k + v\,\Delta t\sin\varphi_k,\qquad \varphi_{k+1} = \varphi_k + \omega\,\Delta t\]

Chyby odometrie se sčítají a nikdy nezmizí: nepřesný průměr kola, nepřesný rozchod, prokluz, nerovnosti. Chyba natočení je nejhorší, protože se při další jízdě přemění na rostoucí boční chybu polohy. Proto robot potřebuje vnější měření (lidar, kamera, značky) a filtr, který je spojí s odometrií (kap. 7).

Příklad Chyba rozchodu

Robot si myslí, že má rozchod o 1 % menší, než je skutečnost. Při otáčení na místě tak spočítá natočení o 1 % větší. Když si myslí, že se otočil desetkrát dokola (3600°), ve skutečnosti se otočil o 36° méně.

Pozor

Systematické chyby (průměr kola, rozchod) jdou kalibrovat – klasický test je jízda po čtverci oběma směry. Náhodné chyby (prokluz, kamínky) kalibrovat nejdou; jen se odhaduje jejich rozptyl.

6.3Typy podvozků a neholonomní vazby

Diferenciální podvozek ani auto se nemohou pohnout bokem: kola nedovolí boční skluz. Taková omezení rychlosti, která nelze převést na omezení polohy, se nazývají neholonomní vazby. Auto přesto do mezery u chodníku zaparkuje – jen musí couvat a zatáčet. Plánování pohybu takových robotů je proto složitější než u ramene.nonholonomic constraint

Obr. 6.2 Běžné podvozky mobilních robotů. Všesměrový podvozek je holonomní – může se pohnout libovolným směrem bez otáčení.

Z praxe

Skladová vozítka často používají diferenciální podvozek, protože se otočí na místě v úzké uličce. Venkovní roboti v terénu volí pásy nebo více hnaných kol. Kráčející roboti (čtyřnozí, humanoidi) zvládnou schody, ale řízení jejich rovnováhy je kapitola sama pro sebe.

6.4Procvičení

Robot s rozchodem 0,3 m se má otočit na místě o 90°. Kola jedou 0,1 m/s proti sobě. Jak dlouho to trvá?

\(\omega = (0{,}1 - (-0{,}1))/0{,}3 = 0{,}667\) rad/s. \(t = (\pi/2)/0{,}667 = 2{,}36\) s.

Jaké otáčky musí mít kolo poloměru 5 cm, aby robot jel 0,3 m/s?

\(\omega_k = v/r = 0{,}3/0{,}05 = 6\) rad/s, tedy \(6\cdot 60/(2\pi) = 57{,}3\) ot/min.

Robot (b = 0,4 m) má jet po kružnici poloměru 1 m rychlostí 0,5 m/s. Jaké rychlosti nastavíte kolům?

\(\omega = v/R = 0{,}5\) rad/s. Vnitřní kolo je na poloměru \(R - b/2 = 0{,}8\) m: \(v_L = 0{,}4\) m/s, vnější na 1,2 m: \(v_R = 0{,}6\) m/s (pro zatáčku doleva).

Vysvětlete, proč chyba natočení 1° způsobí po 10 m jízdy rovně boční chybu asi 17 cm.

Boční odchylka je \(10\cdot\sin 1^\circ = 10\cdot 0{,}01745 = 0{,}175\) m. Malá úhlová chyba se dráhou zesiluje – proto je přesné měření natočení (gyroskop, kompas, lidar) tak cenné.

Co si odnést

\(v = (v_R + v_L)/2\), \(\omega = (v_R - v_L)/b\), poloměr zatáčky \(R = v/\omega\).
Odometrie sčítá malé kroky – a s nimi i chyby; natočení je nejcitlivější.
Kolové podvozky obvykle nemohou bokem (neholonomní vazba); všesměrové ano.

Část IIStřední škola

Lokalizace a mapovánístřední škola

Robot se nikdy přesně neví, kde je. Odometrie ujíždí, senzory šumí. Lokalizace proto nepracuje s jednou polohou, ale s rozdělením pravděpodobnosti: „jsem tady, plus minus tolik“. Kalmanův filtr v každém kroku spojí předpověď z pohybu s novým měřením a váhy jim přidělí podle toho, komu víc věří.

🧭

Jdete v mlze po známé louce a počítáte kroky. Po stovce kroků si už nejste jistí, kde jste. Pak z mlhy vystoupí známý strom – nejistota se rázem zmenší. Kdybyste strom viděli jen rozmazaně, posunuli byste svůj odhad jen trochu. Přesně tak počítá Kalmanův filtr.

Kalmanův filtr v jedné dimenzi

Robot jede chodbou a chce jet 0,5 m za krok, ale kola prokluzují (šum pohybu). Občas změří vzdálenost od začátku chodby (šum měření). Šedá čára je skutečnost, tečky měření, oranžová odhad filtru a pás kolem ní ±2σ. Měňte oba šumy a četnost měření.

LABORATOŘ

Šum pohybu σ_Q Šum měření σ_R Měření každý

Model: \(x_{k+1} = x_k + 0{,}5 + w_k\), \(w_k\sim N(0,\sigma_Q^2)\); měření \(z_k = x_k + v_k\), \(v_k\sim N(0,\sigma_R^2)\). Start z polohy 0 se známou nejistotou σ = 0,5 m, 60 kroků, pevné semínko náhody (Nová simulace ho změní). Chyby (RMSE) se počítají jen v krocích s měřením.

+Teorie: nejistota polohy, Bayesův filtr, Kalmanův filtr, částicový filtr, mapy a SLAM

7.1Poloha jako rozdělení pravděpodobnosti

Pravděpodobnostní robotika popisuje znalost robota o stavu světa rozdělením pravděpodobnosti, tzv. přesvědčením (belief). U jednorozměrné polohy s normálním rozdělením stačí dvě čísla: střední hodnota \(\hat x\) a rozptyl \(P = \sigma^2\). Normální rozdělení a odhady do hloubky vykládá průvodce Statistika a modely.probabilistic robotics, belief, variance

7.2Bayesův filtr: predikce a korekce

Každý krok má dvě fáze. Predikce: robot se pohne, odhad se posune podle povelu a nejistota vzroste (přičte se šum pohybu). Korekce: přijde měření a odhad se upraví podle Bayesovy věty – nejistota klesne. Obecný postup se jmenuje Bayesův filtr; jeho přesným řešením pro lineární systém s normálním šumem je Kalmanův filtr, který Rudolf Kálmán publikoval v roce 1960.prediction, correction (update), Bayes filter, Kalman filter

Obr. 7.1 Korekce Kalmanova filtru. Zpřesněný odhad leží mezi předpovědí a měřením, blíž k tomu přesnějšímu, a je užší než obě.

Kalmanův filtr v 1D\[\begin{aligned}\text{predikce: }&\hat x^- = \hat x + u,\qquad P^- = P + Q\ \text{korekce: }&K = \frac{P^-}{P^- + R},\qquad \hat x = \hat x^- + K(z - \hat x^-),\qquad P = (1-K)P^-\end{aligned}\]

Kalmanovo zesílení \(K\) mezi 0 a 1 říká, jakou váhu dostane měření. Velký šum měření \(R\) → malé \(K\), filtr věří předpovědi; velký šum pohybu \(Q\) → velké \(K\), filtr věří měření.Kalman gain

Příklad Jeden krok korekce

Předpověď \(\hat x^- = 10{,}0\) m s rozptylem \(P^- = 4\) m², měření \(z = 10{,}5\) m s rozptylem \(R = 1\) m². \(K = 4/5 = 0{,}8\), \(\hat x = 10 + 0{,}8\cdot 0{,}5 = 10{,}4\) m, \(P = 0{,}2\cdot 4 = 0{,}8\) m². Směrodatná odchylka klesla z 2 m na 0,89 m – menší než u předpovědi i u měření.

Když filtr běží dlouho se stálými \(Q\) a \(R\), ustálí se. Z podmínky \(P^-_{k+1} = P^-_k\) plyne ustálená předpověď a zesílení:

Ustálený stav\[P^-_\infty = \frac{Q + \sqrt{Q^2 + 4QR}}{2},\qquad K_\infty = \frac{P^-_\infty}{P^-_\infty + R}\]

Příklad Laboratoř ve výchozím nastavení

\(\sigma_Q = 0{,}1\), \(\sigma_R = 1\), tedy \(Q = 0{,}01\), \(R = 1\). \(P^-_\infty = (0{,}01 + \sqrt{0{,}0001 + 0{,}04})/2 = 0{,}105\), \(K_\infty = 0{,}095\). Filtr dává měření jen 9,5% váhu a výsledná σ je \(\sqrt{0{,}095} = 0{,}31\) m, třikrát méně než u jednoho měření. Při \(Q = R = 1\) je \(K_\infty = 0{,}618\) – převrácená hodnota zlatého řezu.

Pozor

Kalmanův filtr je optimální jen pro lineární model s normálním šumem a se správně zadanými \(Q\) a \(R\). Když filtru „nalžete“, že měření je přesnější, než je, bude sebejistě chybovat. Pro nelineární pohyb robota v rovině se používá rozšířený Kalmanův filtr (EKF), který model v každém kroku linearizuje.

7.3Částicový filtr

Když rozdělení není jednovrcholové – robot se probudí v jedné ze dvou stejných chodeb – Gaussovka nestačí. Částicový filtr (Monte Carlo lokalizace) reprezentuje přesvědčení tisíci vzorků, „částic“. Každá se pohne podle odometrie s náhodným šumem, pak dostane váhu podle toho, jak dobře by z jejího místa seděla měření s mapou, a nakonec se částice převzorkují úměrně vahám. Shluky částic ukazují, kde robot pravděpodobně je.particle filter, Monte Carlo localization, resampling

7.4Mapy a SLAM

Mřížková mapa obsazenosti dělí prostor na buňky a každé přiřadí pravděpodobnost, že je obsazená. Lidar ji aktualizuje: buňky podél paprsku jsou spíš volné, buňka na konci spíš obsazená. Mapa význačných bodů si pamatuje polohy výrazných objektů (rohů, značek).occupancy grid map, landmark map

SLAM (simultánní lokalizace a mapování) řeší úlohu slepice a vejce: k lokalizaci potřebuji mapu, k mapě polohu. Moderní řešení skládají graf póz: uzly jsou pózy robota v čase a polohy význačných bodů, hrany měření mezi nimi (odometrie, pozorování). Když robot pozná místo, kde už byl (uzavření smyčky), přibude hrana, která „stáhne“ nahromaděnou chybu. Optimalizace pak najde pózy, které všem měřením odporují co nejméně (metoda nejmenších čtverců).simultaneous localization and mapping, pose graph, loop closure

Obr. 7.2 SLAM jako graf. Opakovaná pozorování stejných význačných bodů a uzavření smyčky svazují pózy dohromady; optimalizace grafu rozloží nahromaděnou chybu odometrie po celé trase.

Z praxe

Robotický vysavač s lidarem nebo kamerou si během prvního úklidu vytvoří mapu bytu (SLAM) a příště už jen lokalizuje v hotové mapě. Venku pomáhá satelitní navigace, ale v hale, v tunelu nebo mezi vysokými domy nestačí – tam je SLAM nutnost.

7.5Procvičení

Dvě nezávislá měření polohy: 12 m s rozptylem 4 m² a 10 m s rozptylem 1 m². Jaký je nejlepší společný odhad a jeho rozptyl?

Váhy jsou převrácené rozptyly: \(\hat x = (12/4 + 10/1)/(1/4 + 1) = 13/1{,}25 = 10{,}4\) m, \(P = 1/1{,}25 = 0{,}8\) m². Je to tentýž výpočet jako korekce Kalmanova filtru.

Odhad má rozptyl \(P = 0{,}5\), šum pohybu \(Q = 0{,}2\). Jaký je rozptyl po třech krocích bez měření?

Při predikci se rozptyly sčítají: \(0{,}5 + 3\cdot 0{,}2 = 1{,}1\) m², σ = 1,05 m.

Spočítejte ustálené zesílení pro \(Q = 0{,}1\), \(R = 1\).

\(P^-_\infty = (0{,}1 + \sqrt{0{,}01 + 0{,}4})/2 = 0{,}370\), \(K_\infty = 0{,}370/1{,}370 = 0{,}270\).

Kdy dává smysl částicový filtr místo Kalmanova?

Když je rozdělení polohy vícevrcholové nebo silně nenormální – globální lokalizace bez znalosti startu, symetrické prostředí, „unesený robot“ přenesený jinam. Cenou je výpočetní náročnost (tisíce částic).

Co si odnést

Poloha je rozdělení pravděpodobnosti; pohyb nejistotu zvětšuje, měření zmenšuje.
Kalman: \(K = P^-/(P^- + R)\), odhad = předpověď + K · (měření − předpověď).
SLAM staví mapu a lokalizuje současně; uzavření smyčky stáhne nahromaděnou chybu.

Část IIStřední škola

Plánování cestystřední škola

Robot ví, kde je, a ví, kam chce. Mezi tím jsou zdi, regály a lidé. Plánovač najde cestu, která překážky obchází a je co nejkratší. Klasický algoritmus A* prohledává mřížku chytře: přednost dává buňkám, které jsou blízko startu a zároveň podle odhadu blízko cíle.

🧩

Když hledáte cestu v bludišti na papíře, nezkoušíte všechny chodby stejně. Přednostně jdete tam, kde to „vypadá blíž k cíli“, a když narazíte na slepou uličku, vrátíte se. A* dělá totéž – jen svůj odhad nikdy nepřeceňuje, a proto najde nejkratší cestu zaručeně.

A* na mřížce

Klepnutím na buňku přidáte nebo odeberete překážku. Start je modrý, cíl oranžový. Zvolte heuristiku a váhu a porovnejte, kolik buněk algoritmus prozkoumal (světle vyplněné) a jak dlouhou cestu našel.

LABORATOŘ

Váha heuristiky w

Model: mřížka 20 × 12 buněk, krok rovně stojí 1, šikmo √2 (šikmo jen tam, kde jsou volné obě sousední buňky – robot neřeže rohy). Prohledávání: \(f = g + w\cdot h\). Délka optimální cesty se pro srovnání počítá Dijkstrovým algoritmem.

+Teorie: konfigurační prostor, grafové plánování, A* a heuristiky, vzorkovací plánovače, potenciálová pole, lokální plánování

8.1Konfigurační prostor

Konfigurace je soubor čísel, který jednoznačně určuje polohu všech částí robota: u mobilního robota \((x, y, \varphi)\), u ramene úhly kloubů. Množina všech konfigurací je konfigurační prostor (C-prostor). Překážky se do něj zobrazí jako zakázané oblasti. U kulatého robota stačí překážky „nafouknout“ o jeho poloměr a robota pak plánovat jako bod.configuration, configuration space, obstacle inflation

Obr. 8.1 Kulatý robot poloměru r mezi překážkami se rovná bodu mezi překážkami zvětšenými o r (čárkovaně, včetně okrajů). Úzká mezera, kterou robot neprojede, se v C-prostoru uzavře.

8.2Graf a A*

Prostor se převede na graf: uzly jsou buňky mřížky (nebo body cesty), hrany průjezdné přechody s cenou (délkou). Nejkratší cestu v grafu najde Dijkstrův algoritmus (1959), který rozšiřuje uzly v pořadí podle vzdálenosti od startu \(g(n)\). A* (Hart, Nilsson, Raphael 1968) přidává heuristiku \(h(n)\) – odhad zbývající vzdálenosti do cíle – a rozšiřuje uzel s nejmenším \(f(n) = g(n) + h(n)\). Grafové algoritmy, prioritní frontu a jejich složitost vykládá do hloubky průvodce Informatika (kapitola Grafové algoritmy).graph, Dijkstra's algorithm, A* search, heuristic

A*\[f(n) = g(n) + h(n),\qquad h \text{ přípustná} \iff h(n) \le h^*(n)\ \text{pro všechny } n\]

Heuristika je přípustná, když nikdy nepřecení skutečnou zbývající cenu \(h^*\). Pak A* najde optimální cestu. Čím je heuristika bližší skutečnosti (a přitom přípustná), tím méně uzlů A* prozkoumá. \(h = 0\) je přípustná, ale z A* udělá Dijkstrův algoritmus.admissible heuristic, consistent heuristic

**Tab. 8.1**Heuristiky na mřížce (Δx, Δy = rozdíl souřadnic buněk k cíli)
Heuristika	Vzorec	Přípustná pro 4 sousedy	Přípustná pro 8 sousedů (šikmo √2)
nulová	0	ano	ano (Dijkstra)
eukleidovská	\(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)	ano	ano
oktilová	\(\max + (\sqrt2 - 1)\min\)	ano	ano, a přesná bez překážek
manhattanská	\(\Delta x + \Delta y\)	ano, přesná bez překážek	ne – přeceňuje šikmé cesty

Příklad Odhady pro cíl o (6; 4) buněk dál

Manhattanská: \(6 + 4 = 10\). Eukleidovská: \(\sqrt{36+16} = 7{,}21\). Oktilová: \(6 + 0{,}414\cdot 4 = 7{,}66\) – to je přesně délka cesty se 4 šikmými a 2 rovnými kroky \((4\sqrt2 + 2)\). Pro 8 sousedů manhattanská přeceňuje (10 > 7,66), A* s ní může najít delší cestu.

Vážený A* používá \(f = g + w\,h\) s \(w > 1\). Prozkoumá méně uzlů a je rychlejší, ale cesta může být až \(w\)krát delší než optimální. V robotice se to často vyplatí, protože se plán stejně průběžně přepočítává.weighted A*

Pozor

Nejkratší cesta na mřížce vede těsně kolem rohů a po „schodech“. Skutečný robot potřebuje odstup od překážek a plynulou trajektorii respektující jeho dynamiku. Proto se překážky nafukují s rezervou a cesta se následně vyhlazuje.

8.3Vzorkovací plánovače

Rameno se šesti klouby má šestirozměrný C-prostor; mřížka s 100 hodnotami na osu by měla \(10^{12}\) buněk. Proto se používají vzorkovací plánovače: PRM (pravděpodobnostní cestovní mapa) náhodně rozmístí bezkolizní konfigurace a propojí sousední, RRT (rychle se rozrůstající náhodný strom) roste ze startu směrem k náhodným bodům. Nezaručí nejkratší cestu, ale najdou nějakou rychle; varianta RRT* se k optimu blíží s rostoucím počtem vzorků. Kolize se zjišťuje jen pro jednotlivé vzorky – C-prostor se celý nikdy nepočítá.sampling-based planning, probabilistic roadmap, rapidly-exploring random tree

Obr. 8.2 RRT: strom roste od startu k náhodně vybraným bodům, dokud se nedotkne cíle. Větve, které by prošly překážkou, se zahodí.

8.4Potenciálová pole a lokální plánování

Metoda potenciálových polí si představí cíl jako důlek, který robota přitahuje, a překážky jako kopce, které ho odpuzují; robot sjíždí po spádu. Je rychlá a reaguje na pohyblivé překážky, ale může uvíznout v lokálním minimu (například v koutě tvaru U). Praxe proto kombinuje globální plánovač (A* na mapě) s lokálním, který v reálném čase vybírá rychlosti tak, aby robot sledoval globální cestu a vyhnul se čerstvě zjištěným překážkám.potential field, local minimum, global and local planner

Z praxe

Algoritmus A* vznikl v roce 1968 ve Stanfordském výzkumném institutu právě pro mobilního robota, který měl plánovat cestu mezi bednami v místnosti. Dnes ho najdete v navigaci vozítek ve skladech, v počítačových hrách i v plánování tras.

8.5Procvičení

Na prázdné mřížce s 8 sousedy je cíl o 3 buňky vpravo a 4 nahoru. Jaká je délka nejkratší cesty?

Tři šikmé kroky a jeden rovný: \(3\sqrt2 + 1 = 5{,}24\). Oktilová heuristika dá přesně tuto hodnotu.

Proč je eukleidovská vzdálenost přípustná heuristika pro jakoukoli mřížku?

Přímka je nejkratší spojnice dvou bodů. Žádná cesta po mřížce, ať s jakýmikoli kroky, nemůže být kratší než přímá vzdálenost, takže ji eukleidovská heuristika nikdy nepřecení.

Vážený A* s \(w = 2\) našel cestu délky 30. Optimální délka je \(L^*\). Co o ní víte?

S přípustnou heuristikou platí \(L \le w L^*\), tedy \(30 \le 2L^*\) a \(L^* \ge 15\). Zároveň \(L^* \le 30\), protože nalezená cesta existuje. Optimum je tedy mezi 15 a 30.

Kulatý robot průměru 0,6 m má projet dveřmi širokými 0,7 m. Mapa má buňky 5 cm. O kolik buněk nafouknete překážky a projede?

O poloměr 0,3 m = 6 buněk. Dveře se zúží o 2 × 0,3 m na 0,1 m = 2 buňky – v C-prostoru zůstane průchod, robot projede (bez rezervy). Přidáte-li bezpečnostní odstup 10 cm, průchod se uzavře.

Co si odnést

Plánuje se v konfiguračním prostoru; kulatého robota nahradí bod a nafouknuté překážky.
A* rozšiřuje uzly podle \(f = g + h\); s přípustnou heuristikou najde nejkratší cestu.
Pro mnoho rozměrů (ramena) se používají vzorkovací plánovače, pro reakci na okolí lokální plánování.

Část IIIVysoká škola

Počítačové viděnívysoká škola

Kamera je nejlevnější a nejbohatší senzor robota, ale dává jen pole čísel – jasy pixelů. Počítačové vidění z nich musí vytáhnout geometrii (kde věci jsou a jak daleko) a význam (co to je). Geometrii popisuje model dírkové komory a triangulace, význam dnes většinou rozpoznávají neuronové sítě.

👀

Zavřete jedno oko a zkuste trefit prstem špičku tužky, kterou drží někdo před vámi. Jde to hůř. Dvě oči vidí předmět z trochu jiného místa a mozek z rozdílu spočítá vzdálenost. Stereokamera robota dělá totéž – a čím je předmět dál, tím je rozdíl menší a odhad nejistější.

Stereovidění: hloubka z disparity

Dvě rovnoběžné kamery vzdálené o základnu B vidí bod v různém místě obrazu. Posun (disparita d, v pixelech) určuje hloubku. Sledujte, jak chyba hloubky roste s druhou mocninou vzdálenosti a jak ji zmenší delší základna nebo ohnisková vzdálenost.

LABORATOŘ

Skutečná hloubka Z Základna B

Ohnisková vzdálenost f Nejistota disparity Δd

Model: ideální kalibrované rovnoběžné kamery (rektifikované snímky), \(Z = fB/d\), chyba \(\Delta Z \approx Z^2\Delta d/(fB)\) z derivace. Ohnisková vzdálenost v pixelech; obraz 640 pixelů na šířku. Chyby párování (hladké plochy bez textury, odlesky) model nezahrnuje.

+Teorie: dírková komora, kalibrace, stereovidění, hrany a příznaky, neuronové sítě, vizuální řízení

9.1Model dírkové komory

Ideální kamera promítá bod prostoru \((X, Y, Z)\) v soustavě kamery přes střed promítání na rovinu obrazu. Podobné trojúhelníky dávají perspektivní projekci: souřadnice v obraze jsou úměrné \(X/Z\) a \(Y/Z\). Ohnisková vzdálenost \(f\) se vyjadřuje v pixelech, \((c_x, c_y)\) je hlavní bod (obvykle blízko středu obrazu).pinhole camera model, perspective projection, principal point

Perspektivní projekce\[u = f\frac{X}{Z} + c_x,\qquad v = f\frac{Y}{Z} + c_y,\qquad \begin{pmatrix}u\\v\\1\end{pmatrix} \sim \underbrace{\begin{pmatrix}f & 0 & c_x\\ 0 & f & c_y\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}}_{\mathbf K}\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}\]

Obr. 9.1 Dírková komora v řezu. Podobné trojúhelníky: \(u/f = X/Z\). Skutečný obraz je převrácený; v modelu se rovina obrazu obvykle kreslí před střed promítání a obraz je pak vzpřímený.

Příklad Kde bude bod v obraze?

\(f = 700\) px, \(c_x = 320\) px, bod 0,2 m vpravo od osy ve vzdálenosti 2 m: \(u = 700\cdot 0{,}2/2 + 320 = 390\) px. Předmět velký 1 cm ve 2 m zabere \(700\cdot 0{,}01/2 = 3{,}5\) px. Zorný úhel kamery se šířkou obrazu 640 px je \(2\arctan(320/700) = 49{,}1^\circ\).

9.2Kalibrace

Vnitřní parametry (\(f\), \(c_x\), \(c_y\) a zkreslení objektivu) a vnější parametry (póza kamery vůči robotu nebo světu) se zjistí kalibrací: kamera snímá vzor se známou geometrií (šachovnici) z několika poloh a parametry se dopočítají metodou nejmenších čtverců. Kalibrace kamery vůči ruce robota („ruka–oko“) dává transformaci \({}^E\mathbf T_C\) z obr. 4.1.intrinsic, extrinsic parameters, camera calibration, hand–eye calibration

9.3Stereovidění a hloubka

Jedna kamera ztrácí hloubku – blízký malý a vzdálený velký předmět vypadají stejně. Dvě kamery se známou vzdáleností \(B\) (základna) vidí bod posunutý o disparitu \(d = u_L - u_R\). Z podobných trojúhelníků:stereo vision, baseline, disparity, triangulation

Obr. 9.2 Triangulace. Čím je bod blíž, tím víc se jeho obrazy v levé a pravé kameře liší.

Hloubka ze stereo a její chyba\[Z = \frac{fB}{d},\qquad \Delta Z \approx \left|\frac{\partial Z}{\partial d}\right|\Delta d = \frac{Z^2}{fB}\,\Delta d\]

Příklad Výchozí nastavení laboratoře

\(f = 700\) px, \(B = 0{,}12\) m, disparita 42 px: \(Z = 84/42 = 2{,}0\) m. Při nejistotě disparity 0,25 px je \(\Delta Z = 4\cdot 0{,}25/84 = 0{,}012\) m. Pro disparitu 10 px je \(Z = 8{,}4\) m a \(\Delta Z = 0{,}21\) m – 4,2krát větší vzdálenost, 17,6krát větší chyba.

Nejtěžší je párování: najít v pravém snímku tentýž bod jako v levém. Po rektifikaci leží odpovídající body na stejném řádku a hledá se jen v jednom směru. Hladké plochy bez textury párovat nejde; pomáhá aktivní stereo (promítnutý vzor) nebo kamery měřící dobu letu světla.correspondence problem, rectification, active stereo

9.4Hrany, příznaky a segmentace

Klasické vidění začíná konvolucí obrazu s malým jádrem. Sobelův operátor aproximuje derivaci jasu; velký gradient znamená hranu. Příznaky (rohy, výrazné skvrny) s popisem okolí se dají najít i v jiném snímku – na nich stojí párování, odhad pohybu kamery a vizuální SLAM. Segmentace rozdělí obraz na oblasti (předmět, pozadí).convolution, Sobel operator, edge, feature, segmentation

Sobelovo jádro pro derivaci ve směru x\[G_x = \begin{pmatrix}-1 & 0 & 1\\ -2 & 0 & 2\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix} * I,\qquad |\nabla I| \approx \sqrt{G_x^2 + G_y^2}\]

9.5Neuronové sítě pro vnímání

Konvoluční neuronové sítě se jádra konvoluce učí samy z tisíců označených snímků. Robotika je používá k detekci objektů (obdélník a třída), sémantické segmentaci (třída každého pixelu), odhadu hloubky z jednoho snímku a odhadu pózy předmětu pro uchopení. Výsledky jsou výborné tam, kde se data podobají trénovacím, a nespolehlivé jinde – proto se v bezpečnostních funkcích neuronová síť nikdy nepoužívá jako jediná pojistka (kap. 12). Podrobněji o strojovém učení průvodce Statistika a modely a Informatika.convolutional neural network, object detection, semantic segmentation

Z praxe

Vychystávací robot ve skladu vidí přepravku s promíchaným zbožím. Síť najde jednotlivé předměty, stereo nebo hloubková kamera dodá jejich 3D tvar, algoritmus vybere bod uchopení (kap. 10) a transformace z kap. 4 ho převede do souřadnic ramene. Vizuální servořízení pak během přiblížení průběžně opravuje pohyb podle obrazu.

Pozor

Kamera je citlivá na osvětlení, odlesky, průhledné a lesklé předměty a na zakrytí. Robot, který spoléhá jen na vidění, potřebuje plán pro situaci „nevidím dost dobře“ – zastavit, zpomalit, požádat o pomoc.

9.6Procvičení

Kamera s \(f = 700\) px vidí kouli průměru 6,5 cm jako kruh průměru 35 px. Jak daleko je?

\(Z = f\cdot D/d = 700\cdot 0{,}065/35 = 1{,}3\) m.

Stereokamera má \(f = 700\) px a \(B = 0{,}12\) m. Jaká disparita odpovídá hloubce 4 m a jaká je chyba při \(\Delta d = 0{,}25\) px?

\(d = 84/4 = 21\) px. \(\Delta Z = 16\cdot 0{,}25/84 = 0{,}048\) m, asi 5 cm.

Chcete při hloubce 4 m chybu jen 1,2 cm (jako ve 2 m). Kolikrát musíte prodloužit základnu?

Chyba je úměrná \(Z^2/B\). Dvojnásobná hloubka čtyřnásobí chybu, takže základnu je třeba prodloužit čtyřikrát, na 0,48 m (nebo zvětšit \(f\)).

Jaký je zorný úhel kamery s obrazem šířky 1280 px a \(f = 1000\) px?

\(2\arctan(640/1000) = 2\cdot 32{,}6^\circ = 65{,}2^\circ\).

Co si odnést

Projekce: \(u = fX/Z + c_x\); hloubka se jedním snímkem ztrácí.
Stereo: \(Z = fB/d\); chyba roste se čtvercem hloubky, zmenší ji delší základna.
Význam (co to je) dnes rozpoznávají neuronové sítě, geometrie (kde to je) dál stojí na kalibraci a triangulaci.

Část IIIVysoká škola

Manipulace a uchopovánívysoká škola

Dojet rukou k předmětu umí rameno díky kinematice. Uchopit ho tak, aby nevyklouzl, nerozmáčkl se a nespadl při rychlém pohybu, je jiná úloha – úloha sil a tření. Spojení mezi silami na ruce a momenty v kloubech dává Jacobiho matice, nejdůležitější nástroj analýzy manipulátorů.

🥚

Vajíčko vezmete do prstů tak jemně, že nepraskne, a přesto vám nevypadne. Mokré mýdlo naopak vyklouzne, i když ho svíráte silně. Rozdíl dělá tření: s malým třením potřebujete mnohem větší stisk. Chapadlo robota musí tenhle odhad udělat dřív, než předmět zvedne.

Dvouprsté chapadlo: udrží předmět?

Dva prsty svírají předmět silou F z obou stran. Udrží ho jen tření. Nastavte hmotnost, součinitel tření, zrychlení ramene směrem nahoru a bezpečnostní koeficient. Graf ukazuje potřebnou sílu v závislosti na tření; vlevo kužel tření.

LABORATOŘ

Hmotnost m Součinitel tření μ Zrychlení nahoru a

Bezpečnostní koeficient Největší síla chapadla

Model: Coulombovo tření na dvou plochých kontaktech, svislé zrychlení, \(2\mu F \ge m(g + a)\), g = 9,81 m/s². Nezahrnuje klopný moment (předmět držený mimo těžiště se pootočí), deformaci prstů ani křehkost předmětu.

+Teorie: kontakty a kužel tření, silové a tvarové uzavření, typy chapadel, Jacobiho matice, statika ramene, poddajné řízení

10.1Kontakt a kužel tření

Prst působí na předmět silou, kterou rozložíme na normálovou složku \(F_n\) a tečnou \(F_t\). Podle Coulombova zákona prst neprokluzuje, dokud \(|F_t| \le \mu F_n\). Geometricky: výsledná síla musí ležet uvnitř kužele tření s poloosou v normále a polovičním vrcholovým úhlem \(\arctan\mu\).Coulomb friction, friction cone

Obr. 10.1 Dvouprsté sevření. Každý prst přenese svisle nejvýš μF; dohromady 2μF musí unést tíhu a setrvačnou sílu m(g + a).

Potřebná síla sevření\[2\mu F \ge m(g + a)\quad\Rightarrow\quad F_\text{min} = \frac{m(g + a)}{2\mu},\qquad F = k\,F_\text{min}\]

Příklad Výchozí nastavení laboratoře

\(m = 0{,}5\) kg, \(\mu = 0{,}4\), \(a = 2\) m/s²: \(F_\text{min} = 0{,}5\cdot 11{,}81/0{,}8 = 7{,}38\) N, s koeficientem 2 je to 14,8 N. Poloviční úhel kužele \(\arctan 0{,}4 = 21{,}8^\circ\). Pogumované prsty s \(\mu = 0{,}8\) by vystačily s polovinou, 3,69 N bez rezervy.

10.2Silové a tvarové uzavření

Úchop má tvarové uzavření, když předmět nemůže uniknout žádným pohybem jen kvůli geometrii prstů (bez tření) – jako kulička v sevřené pěsti. Silové uzavření znamená, že kontaktní síly uvnitř kuželů tření dokážou vyrovnat libovolnou vnější sílu a moment. Dvouprsté sevření s třením je silově uzavřené, pokud spojnice kontaktů leží uvnitř obou kuželů tření. Kvalita úchopu se měří tím, jak velkou vnější sílu v nejhorším směru unese na jednotku stisku.form closure, force closure, grasp quality

**Tab. 10.1**Typy chapadel
Chapadlo	Princip	Hodí se pro
dvou- a tříprsté paralelní	tření, případně tvarově tvarované čelisti	pevné díly, obrábění, montáž
vakuová přísavka	podtlak × plocha	krabice, plechy, sklo – hladké rovné plochy
magnetické	elektromagnet nebo permanentní magnet	ocelové plechy a díly
poddajné a měkké	pružné prsty, granulátové „vaky“	ovoce, potraviny, nepravidelné tvary
víceprstá ruka	mnoho kloubů, dotykové senzory	výzkum, obratná manipulace

Příklad Přísavka

Přísavka průměru 30 mm s podtlakem 60 kPa: plocha \(\pi\cdot 0{,}015^2 = 7{,}07\cdot 10^{-4}\) m², síla \(60\,000\cdot 7{,}07\cdot 10^{-4} = 42{,}4\) N. S bezpečnostním koeficientem 2 udrží svisle předmět do \(42{,}4/(2\cdot 9{,}81) = 2{,}16\) kg (v klidu, bez zrychlení a bez úniku vzduchu).

10.3Jacobiho matice

Jacobiho matice \(\mathbf J(\mathbf q)\) převádí rychlosti kloubů na rychlost ruky: \(\dot{\mathbf x} = \mathbf J\dot{\mathbf q}\). Její prvky jsou parciální derivace dopředné kinematiky. Pro rovinné rameno 2R z kapitoly 3 (\(s_1 = \sin\theta_1\), \(s_{12} = \sin(\theta_1+\theta_2)\) atd.):Jacobian matrix

Jacobián ramene 2R\[\mathbf J = \begin{pmatrix} -L_1 s_1 - L_2 s_{12} & -L_2 s_{12}\\ L_1 c_1 + L_2 c_{12} & L_2 c_{12}\end{pmatrix},\qquad \det\mathbf J = L_1 L_2\sin\theta_2\]

Když \(\det\mathbf J = 0\) (\(\theta_2 = 0\) nebo \(180^\circ\), ruka natažená nebo složená), je rameno v singularitě: některým směrem se ruka pohnout nemůže a inverze \(\mathbf J^{-1}\) neexistuje. V blízkosti singularity vyžaduje malá rychlost ruky obrovské rychlosti kloubů – proto řídicí systémy singularitám vyhýbají nebo v nich zpomalují.kinematic singularity

10.4Statika: síly na ruce a momenty v kloubech

Z rovnosti výkonů \(\boldsymbol\tau^{\mathsf T}\dot{\mathbf q} = \mathbf F^{\mathsf T}\dot{\mathbf x}\) plyne, že síla \(\mathbf F\) působící na ruku vyžaduje v kloubech momenty

Princip virtuální práce\[\boldsymbol\tau = \mathbf J^{\mathsf T}(\mathbf q)\,\mathbf F\]

Příklad Natažené rameno nese břemeno

Rameno \(L_1 = 0{,}4\) m, \(L_2 = 0{,}3\) m je natažené vodorovně (\(\theta_1 = \theta_2 = 0\)), na ruce visí síla 10 N dolů, \(\mathbf F = (0; -10)\). \(\mathbf J^{\mathsf T}\) má řádky \((0;\ 0{,}7)\) a \((0;\ 0{,}3)\), takže \(\tau_1 = 0{,}7\cdot(-10) = -7\) N·m a \(\tau_2 = -3\) N·m. Velikosti 7 a 3 N·m jsou přesně „síla krát rameno“ a záporné znaménko říká, že síla táhne klouby po směru hodinových ručiček; motory musí působit opačně.

Stejný vztah dovoluje měřit sílu na ruce z momentů v kloubech (z proudů motorů) a řídit sílu místo polohy. Impedanční řízení předepisuje, aby se ruka chovala jako pružina s tlumičem: při kontaktu s okolím povolí místo toho, aby tlačila stále větší silou. Je základem montáže typu „kolík do díry“, leštění i bezpečné spolupráce s člověkem.virtual work, force control, impedance control, compliance

Pozor

Příliš velká síla sevření poškodí předmět – nebo prst člověka, který se mezi čelisti dostane. Chapadla kolaborativních robotů proto mají omezenou sílu a zdvih a jejich riziko se posuzuje stejně pečlivě jako riziko ramene (kap. 12).

10.5Procvičení

Jakou nejmenší silou musí dvouprsté chapadlo sevřít předmět 1,2 kg s \(\mu = 0{,}5\), pohybuje-li se se zrychlením 3 m/s² nahoru?

\(F_\text{min} = 1{,}2\cdot(9{,}81 + 3)/(2\cdot 0{,}5) = 15{,}4\) N.

Pro stejný předmět ověřte, zda chapadlo s maximální silou 40 N vyhoví s bezpečnostním koeficientem 2,5.

Potřeba \(2{,}5\cdot 15{,}4 = 38{,}4\) N \(\le 40\) N – vyhoví, s malou rezervou.

Spočítejte \(\det\mathbf J\) ramene 2R (0,4 m a 0,3 m) při \(\theta_2 = 90^\circ\) a \(\theta_2 = 10^\circ\). Co to znamená?

\(0{,}12\sin 90^\circ = 0{,}12\) m²; \(0{,}12\sin 10^\circ = 0{,}021\) m². Při 10° je rameno blízko singularity: stejná rychlost ruky v „nevýhodném“ směru vyžaduje asi \(0{,}12/0{,}021 \approx 5{,}8\)krát větší rychlosti kloubů.

Jaký podtlak potřebuje přísavka průměru 40 mm, aby udržela 3 kg s koeficientem 2?

Síla \(2\cdot 3\cdot 9{,}81 = 58{,}9\) N, plocha \(\pi\cdot 0{,}02^2 = 1{,}257\cdot 10^{-3}\) m², podtlak \(58{,}9/1{,}257\cdot 10^{-3} = 46{,}8\) kPa.

Co si odnést

Úchop třením drží, dokud síla leží v kuželu tření: \(F_\text{min} = m(g+a)/(2\mu)\) pro dva prsty.
Jacobiho matice: \(\dot{\mathbf x} = \mathbf J\dot{\mathbf q}\), \(\boldsymbol\tau = \mathbf J^{\mathsf T}\mathbf F\); \(\det\mathbf J = 0\) značí singularitu.
Silové a impedanční řízení dovolí ruce povolit při kontaktu – základ jemné montáže i bezpečné spolupráce.

Část IIIVysoká škola

Strojové učení v roboticevysoká škola

Ne každé chování se dá ručně naprogramovat. Jak přesně sevřít měkký předmět, jak chodit po kamení, jak poznat hrnek na neuklizeném stole? Strojové učení nechá robota chování odvodit z dat – z označených příkladů, z ukázek člověka nebo z vlastních pokusů a omylů. Cenou je potřeba spousty dat a obtížnější záruky bezpečnosti.

🐕

Psa nenaučíte aportovat popisem pohybů. Necháte ho zkoušet a odměníte, když se trefí. Posilované učení dělá s robotem totéž: odměna za úspěch, malá pokuta za každý zbytečný krok, velká za pád. Z tisíců pokusů se robot naučí, co se vyplácí.

Q-učení v mřížkovém světě

Robot začíná vlevo dole a má dojít do cíle vpravo nahoře (+10). Oranžové buňky jsou díry (−10, pokus končí), každý krok stojí −0,1. Nastavte počet pokusů (epizod) a parametry učení. Šipky ukazují naučenou strategii, sytost barvy hodnotu buňky. V kluzkém světě se robot s pravděpodobností 20 % pohne náhodným směrem.

LABORATOŘ

Počet epizod Rychlost učení α

Diskontní faktor γ Průzkum ε

Model: tabulkové Q-učení, mřížka 7 × 5, 4 akce, nejvýš 100 kroků na epizodu, ε-hladová volba akce, počáteční Q = 0, pevné semínko náhody. Graf: klouzavý průměr výnosu za posledních 20 epizod. „Naučená cesta“ sleduje nejlepší akce bez náhody.

+Teorie: učení s učitelem pro vnímání, posilované učení, Q-učení, učení z demonstrací, simulace a realita, limity

11.1Tři způsoby učení

Učení s učitelem se učí z dvojic vstup–správná odpověď; v robotice hlavně pro vnímání (kap. 9). Posilované učení se učí z odměn za vlastní akce. Učení z demonstrací (napodobování) se učí z ukázek, které předvede člověk – vedením ruky robota, dálkovým ovládáním nebo videem. Základy strojového učení vykládá průvodce Informatika (kapitola Umělá inteligence a software), statistické pozadí průvodce Statistika a modely.supervised learning, reinforcement learning, learning from demonstration, imitation learning

Obr. 11.1 Posilované učení. Agent volí akci, prostředí odpoví novým stavem a odměnou. Cílem je strategie, která maximalizuje součet budoucích odměn.

11.2Posilované učení

Úloha se formuluje jako Markovův rozhodovací proces: stavy \(s\), akce \(a\), pravděpodobnosti přechodu a odměny \(r\). Výnos je diskontovaný součet odměn; diskontní faktor \(\gamma < 1\) říká, o kolik méně váží odměna o krok později. Strategie \(\pi\) přiřazuje stavům akce.Markov decision process, return, discount factor, policy

Výnos\[G_t = r_{t+1} + \gamma r_{t+2} + \gamma^2 r_{t+3} + \dots = \sum_{k=0}^{\infty}\gamma^k r_{t+k+1}\]

Příklad Jak moc platí odměna později

Odměna 10 přijde až pátým krokem (\(r_{t+5}\)). Při \(\gamma = 0{,}9\) má dnes hodnotu \(10\cdot 0{,}9^4 = 6{,}56\), při \(\gamma = 0{,}99\) hodnotu \(9{,}61\). Součet nekonečně mnoha odměn 1 je \(1/(1-\gamma)\): 10 pro 0,9 a 100 pro 0,99 – \(\gamma\) tedy určuje „horizont“, na který agent hledí.

11.3Q-učení

Akční hodnota \(Q(s, a)\) je očekávaný výnos, když ve stavu \(s\) provedu akci \(a\) a pak už jednám optimálně. Optimální \(Q^*\) splňuje Bellmanovu rovnici. Q-učení (C. Watkins, 1989) ji řeší iteračně ze zkušeností, bez znalosti modelu prostředí: po každém kroku posune odhad o díl \(\alpha\) směrem k „cíli“ \(r + \gamma\max_{a'}Q(s', a')\).action value, Bellman equation, Q-learning, temporal difference

Q-učení\[Q(s,a) \leftarrow Q(s,a) + \alpha\big[r + \gamma\max_{a'}Q(s',a') - Q(s,a)\big]\]

Příklad Jedna aktualizace

\(Q(s,a) = 2\), odměna \(r = 1\), v novém stavu je nejlepší \(Q = 5\), \(\gamma = 0{,}9\), \(\alpha = 0{,}5\). Cíl \(1 + 0{,}9\cdot 5 = 5{,}5\), chyba \(5{,}5 - 2 = 3{,}5\), nová hodnota \(2 + 0{,}5\cdot 3{,}5 = 3{,}75\).

Agent musí vyvažovat průzkum (zkoušet nové akce) a využívání (dělat to, co zatím vypadá nejlépe). Nejjednodušší je ε-hladová volba: s pravděpodobností \(\varepsilon\) náhodná akce, jinak nejlepší známá. Pro spojité stavy (úhly, rychlosti, obraz) tabulka nestačí a \(Q\) nebo přímo strategii aproximuje neuronová síť – hluboké posilované učení.exploration vs. exploitation, epsilon-greedy, deep reinforcement learning

Pomůcka

V laboratoři porovnejte přesný a kluzký svět. V kluzkém se naučená cesta často vzdálí od děr, i když je delší: se šancí na náhodný krok se úzká stezka mezi dírami nevyplatí. Učení samo objevilo opatrnost – ale jen proto, že pokuta za díru byla v odměně zapsaná.

11.4Simulace, realita a učení z demonstrací

Posilované učení potřebuje miliony pokusů; skutečný robot by se při tom opotřeboval a byl nebezpečný. Proto se učí v simulaci a strategie se pak přenáší do reality. Rozdíl mezi simulací a skutečností (sim-to-real gap: tření, zpoždění, šum, vzhled) se zmenšuje randomizací domény – v simulaci se parametry náhodně mění, aby strategie byla odolná. Učení z demonstrací potřebuje mnohem méně dat: robot napodobí desítky ukázek a posilování pak jen dolaďuje.simulation, sim-to-real gap, domain randomization, behaviour cloning

Obr. 11.2 Typická cesta naučené strategie k reálnému robotu. Bezpečnostní funkce zůstávají mimo naučenou část.

Pozor

Naučená strategie optimalizuje přesně to, co stojí v odměně – nic víc. Chybně navržená odměna vede k „obcházení“ úlohy (agent najde zkratku, kterou nikdo nečekal). Neuronové sítě se navíc obtížně ověřují a mohou selhat mimo trénovací data. Bezpečnostní funkce proto stojí na ověřených klasických metodách a normách (kap. 12).

Z praxe

Nejrozšířenější je strojové učení ve vnímání (rozpoznání předmětů, odhad místa uchopení). Učení z demonstrací a posilované učení se prosazují u úloh, které se těžko programují: chůze kráčejících robotů, manipulace s měkkými a neznámými předměty. Velké modely propojující jazyk, obraz a akce jsou předmětem intenzivního výzkumu.

11.5Procvičení

Cesta do cíle trvá 8 kroků, každý stojí −0,1, cíl dá +10 (s posledním krokem). Jaký je výnos při \(\gamma = 1\) a při \(\gamma = 0{,}95\)?

Sedm kroků má odměnu −0,1, osmý \(10 - 0{,}1 = 9{,}9\). Při \(\gamma = 1\): \(-0{,}7 + 9{,}9 = 9{,}2\). Při \(\gamma = 0{,}95\): \(-0{,}1\cdot(1 - 0{,}95^7)/0{,}05 + 9{,}9\cdot 0{,}95^7 = -0{,}603 + 6{,}914 = 6{,}31\).

Proč je při \(\varepsilon = 0\) a počátečních \(Q = 0\) učení často neúspěšné?

Agent vždy volí nejlepší známou akci. Na začátku jsou všechny stejné, první náhodně nalezená cesta se ustálí a jiné se nikdy nevyzkoušejí; agent může uvíznout v cyklu nebo na horší cestě. Průzkum (ε > 0 nebo optimistické počáteční hodnoty) je nutný.

Aktualizujte \(Q = 0\) po kroku do díry s odměnou −10 (konec epizody, žádný další stav), \(\alpha = 0{,}5\).

V koncovém stavu je budoucí hodnota 0: cíl je −10, \(Q = 0 + 0{,}5\cdot(-10 - 0) = -5\).

Uveďte dvě výhody a dvě rizika učení v simulaci.

Výhody: rychlé a levné (paralelně, rychleji než reálný čas), bezpečné – pády nic nestojí. Rizika: rozdíl mezi simulací a realitou (strategie selže na skutečném tření a šumu), agent může využít chyby simulátoru, které ve skutečnosti neexistují.

Co si odnést

Vnímání se učí s učitelem, chování z odměn nebo z demonstrací.
Q-učení: \(Q \leftarrow Q + \alpha[r + \gamma\max Q' - Q]\); γ určuje horizont, ε průzkum.
Učí se v simulaci s randomizací; bezpečnost hlídá ověřená pevná vrstva, ne naučená síť.

Část IIIVysoká škola

Průmysl, koboti, bezpečnost a etikavysoká škola

Průmyslový robot je rychlý, silný a nevidí člověka, pokud mu to někdo nedá do vínku. Proto ho dlouho oddělovaly ploty. Kolaborativní aplikace dovolují sdílet prostor s člověkem – ale jen tehdy, když posouzení rizika, bezpečnostní funkce a normy zaručí, že kontakt nezpůsobí zranění. Nad technikou stojí otázky odpovědnosti, práce a soukromí.

🦺

Cirkusový lev může vystupovat v kleci, nebo s krotitelem v manéži. V manéži to jde jen tehdy, když je přesně známo, co lev udělá, jak daleko krotitel stojí a co se stane, když něco selže. Kolaborativní robot je lev bez klece – a každé „co když“ musí mít předem odpověď.

Hlídání rychlosti a vzdálenosti

Člověk se blíží k robotu. Bezpečnostní systém musí robota zastavit dřív, než se setkají. Ochranná vzdálenost se skládá z dráhy člověka během reakce a brzdění robota, dráhy robota během reakce, brzdné dráhy robota a přídavku na nejistotu měření. Posuňte člověka a sledujte, kdy robot musí zastavit.

LABORATOŘ

Rychlost člověka v_h Rychlost robota v_r Reakční doba systému T_r

Doba zastavení robota T_s Brzdná dráha robota S_s Vzdálenost člověk–robot

Model: zjednodušený vztah pro hlídání rychlosti a vzdálenosti \(S = v_h(T_r + T_s) + v_r T_r + S_s + C\) s přídavkem na nejistotu C = 0,1 m; nejhorší případ, kdy jdou člověk i robot proti sobě. Výukový model – skutečné hodnoty určuje posouzení rizika podle norem, měření doby zastavení a údaje výrobce.

Minihra: tři kroky snižování rizika

Norma o bezpečnosti strojů řadí opatření do tří kroků v pořadí přednosti: 1. bezpečná konstrukce, 2. technická ochranná opatření, 3. informace pro používání a organizační opatření. Zařaďte osm opatření. Sedm správně stačí na odměnu.

MINIHRA

0 / 8

+Teorie: průmyslové roboty a buňky, posouzení rizika, kolaborativní provoz, bezpečné vzdálenosti, normy a předpisy EU, etika

12.1Robotická buňka

Průmyslový robot pracuje v buňce: robot, nástroj, podavače, ochranná zařízení a řídicí systém. Robot sám je jen „neúplné strojní zařízení“ – bezpečnost se posuzuje u celé aplikace. Klasické zabezpečení odděluje lidi: pevné oplocení, dveře s blokováním (otevření zastaví robota), světelné závory a laserové skenery chránící vstup. Uvnitř se smí pracovat jen ve zvláštních režimech (ruční režim se sníženou rychlostí, povolovací tlačítko).robot cell, guard, interlock, light curtain, safety laser scanner, enabling device

Obr. 12.1 Klasická buňka. Vstup přes dveře nebo světelnou závoru robota zastaví; ochranné zařízení musí být tak daleko, aby robot zastavil dřív, než k němu člověk dosáhne.

Pozor – bezpečnost práce

Většina vážných úrazů u robotů se nestane při běžném provozu, ale při seřizování, údržbě a odstraňování poruch – když je člověk uvnitř buňky. Ochranná zařízení se nikdy nepřemosťují, před vstupem kvůli údržbě se energie odpojí a zajistí, robot v klidu může náhle pokračovat v programu a uvolněná osa může vlastní vahou klesnout. Do buňky smí jen poučená osoba podle návodu a místních pravidel.

12.2Posouzení rizika

Základní normou bezpečnosti strojů je ISO 12100. Postup: určit meze stroje, identifikovat nebezpečí (mechanická, elektrická, ergonomická…), odhadnout riziko (závažnost újmy a pravděpodobnost) a riziko snižovat metodou tří kroků v pořadí přednosti: 1. bezpečná konstrukce, 2. technická ochranná opatření, 3. informace pro používání. Pořadí je závazné – návod nenahradí kryt a kryt nenahradí lepší konstrukci. Bezpečnostní řídicí funkce (nouzové zastavení, hlídání rychlosti) musí mít požadovanou spolehlivost (úroveň vlastností PL podle ISO 13849-1 nebo SIL podle IEC 62061).risk assessment, three-step method, performance level

12.3Kolaborativní provoz

Kolaborativní aplikace je taková, ve které robot a člověk sdílejí pracovní prostor za provozu. Technická specifikace ISO/TS 15066 (2016) popsala čtyři způsoby; vydání ISO 10218-1 a ISO 10218-2 z roku 2025 její požadavky z velké části převzala a mluví spíše o kolaborativních aplikacích než o kolaborativních robotech – i robot s omezenou silou může být v nebezpečné aplikaci (ostrý nástroj).collaborative application, cobot

Obr. 12.2 Čtyři způsoby kolaborativního provozu podle ISO/TS 15066. Aplikace je často kombinuje.

U omezení síly a výkonu stanoví ISO/TS 15066 v příloze mezní hodnoty tlaku a síly pro jednotlivé části těla, odvozené z biomechanických studií bolesti, a rozlišuje přechodný kontakt (náraz, tělo může uhnout) a kvazistatický (sevření, tělo je přimáčknuté). Sevření je nebezpečnější. Energie nárazu roste se čtvercem rychlosti: rameno s pohyblivou hmotností 10 kg má při 1 m/s kinetickou energii \(\tfrac12\cdot 10\cdot 1^2 = 5\) J, při 0,25 m/s jen 0,31 J.power and force limiting, transient and quasi-static contact

12.4Bezpečné vzdálenosti

Ochranné zařízení musí být tak daleko od nebezpečí, aby se stroj zastavil dřív, než k němu člověk dosáhne. Norma ISO 13855 pro to používá vztah \(S = K\cdot T + C\): \(K\) je rychlost přiblížení (2000 mm/s pro ruce, u větších vzdáleností 1600 mm/s pro chůzi), \(T\) celková doba zastavení a \(C\) přídavek podle toho, zda zařízení „pronikne“ ruka nebo prst. U hlídání rychlosti a vzdálenosti (laboratoř) se navíc počítá s pohybem robota.minimum (separation) distance, approach speed

Ochranná vzdálenost (zjednodušeně)\[S = K\,T + C\quad(\text{ISO 13855}),\qquad S_p = v_h(T_r + T_s) + v_r T_r + S_s + C\quad(\text{hlídání rychlosti a vzdálenosti})\]

Příklad Výchozí nastavení laboratoře

\(v_h = 1{,}6\) m/s, \(T_r = 0{,}1\) s, \(T_s = 0{,}3\) s, \(v_r = 1{,}0\) m/s, \(S_s = 0{,}15\) m, \(C = 0{,}1\) m: \(S_p = 1{,}6\cdot 0{,}4 + 1{,}0\cdot 0{,}1 + 0{,}15 + 0{,}1 = 0{,}99\) m. Zpomalí-li robot na 0,25 m/s s brzdnou dráhou 0,05 m: \(0{,}64 + 0{,}025 + 0{,}05 + 0{,}1 = 0{,}815\) m. Největší položkou zůstává pohyb člověka – proto rozhoduje rychlá reakce a krátká doba zastavení.

Příklad Světelná závora

Závora s rozlišením 14 mm (prst neprojde, \(C = 0\)) a celkovou dobou zastavení 0,2 s: \(S = 2000\cdot 0{,}2 = 400\) mm. Při době 0,35 s by vyšlo 700 mm; protože je to víc než 500 mm, počítá se znovu s \(K = 1600\) mm/s: \(S = 560\) mm.

12.5Předpisy v EU a v Česku

Směrnice 2006/42/ES o strojních zařízeních, v Česku provedená nařízením vlády č. 176/2008 Sb., platí do 19. 1. 2027.
Nařízení (EU) 2023/1230 o strojních zařízeních se použije od 20. 1. 2027 a směrnici nahradí (přímo použitelné, bez prováděcího nařízení). Výslovně řeší autonomní mobilní stroje, spolupráci člověka se strojem včetně psychické zátěže, kybernetickou bezpečnost bezpečnostních funkcí a bezpečnostní komponenty s „samovyvíjejícím se“ chováním založeným na strojovém učení, které zařazuje mezi zvlášť rizikové a vyžaduje u nich posouzení shody třetí stranou.
Akt o umělé inteligenci, nařízení (EU) 2024/1689: systém AI, který je bezpečnostní součástí výrobku podle harmonizovaných předpisů (mj. strojních zařízení), je vysoce rizikový. Nařízení (EU) 2026/1744 („digitální omnibus“, v platnosti od 27. 7. 2026) posunulo použitelnost těchto povinností u výrobků na 2. 8. 2028.
Provoz strojů na pracovišti upravuje v Česku zákoník práce a nařízení vlády č. 378/2001 Sb. o bezpečném provozu a používání strojů; technické normy (ISO 10218-1 a -2:2025, ISO 12100, ISO 13849-1, ISO 13855) jsou dobrovolné, ale harmonizované normy zakládají předpoklad shody.

Z praxe

Podle IFR (World Robotics 2026) se v roce 2025 instalovalo rekordních 603 307 průmyslových robotů. Kolaborativní aplikace rostou, ale tvoří menšinu: většina robotů stále pracuje za ploty, protože svařování, lisování a manipulace s těžkými díly jsou se člověkem v dosahu příliš riskantní i s omezením síly.

12.6Etika robotiky

Etika robotiky se ptá, jak navrhovat a používat roboty tak, aby sloužili lidem. Klíčová témata:robot ethics

Odpovědnost: kdo odpovídá za škodu způsobenou autonomním strojem – výrobce, integrátor, provozovatel, programátor? Evropské právo odpověď hledá v odpovědnosti za vadný výrobek; ani „učící se“ stroj není právní osobou.
Práce: automatizace mění pracovní místa – odstraňuje nebezpečné a monotónní úkoly, vytváří nové profese a vyžaduje rekvalifikaci. Ekonomické studie se v odhadech čistého dopadu rozcházejí; fakta (počty robotů, produktivita) je třeba oddělit od předpovědí.
Soukromí a dohled: mobilní roboti a pečovatelští roboti nosí kamery a mikrofony do domácností a nemocnic.
Důstojnost a péče: robot může pomoci s péčí, ale neměl by nahrazovat lidský kontakt tam, kde je podstatou péče.
Autonomní zbraně: zda a jak omezit zbraňové systémy, které volí a napadají cíle bez lidského rozhodnutí, se mezinárodně jedná v rámci OSN (Úmluva o některých konvenčních zbraních). Diskuse se točí kolem požadavku „smysluplné lidské kontroly“. Průvodce se tématu věnuje jen jako etické otázce.

Pomůcka

Asimovovy tři zákony robotiky (1942) jsou literární nápad, ne návod: pojmy jako „ublížit“ se nedají jednoznačně naprogramovat. Skutečná bezpečnost stojí na posouzení rizika, ověřených bezpečnostních funkcích a odpovědnosti lidí.

12.7Procvičení

Spočítejte ochrannou vzdálenost pro \(v_h = 1{,}6\) m/s, \(T_r = 0{,}2\) s, \(T_s = 0{,}5\) s, \(v_r = 1{,}5\) m/s, \(S_s = 0{,}3\) m, \(C = 0{,}1\) m.

\(1{,}6\cdot 0{,}7 + 1{,}5\cdot 0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}1 = 1{,}12 + 0{,}30 + 0{,}30 + 0{,}10 = 1{,}82\) m.

O kolik se zmenší ochranná vzdálenost z úlohy 1, když se doba zastavení zkrátí na 0,3 s a brzdná dráha na 0,15 m?

\(1{,}6\cdot 0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}15 + 0{,}1 = 1{,}35\) m, tedy o 0,47 m.

Kolikrát se zmenší kinetická energie ramene, když jeho rychlost klesne z 1,5 m/s na 0,5 m/s?

Energie je úměrná \(v^2\): \((1{,}5/0{,}5)^2 = 9\). Zmenší se devětkrát.

Proč nestačí na dveře buňky nalepit výstražnou ceduli „Nevstupovat za provozu“?

Informace pro používání je až třetí krok metody snižování rizika a smí řešit jen zbytkové riziko. Dokud lze riziko snížit konstrukcí nebo technickým opatřením (blokování dveří, závora), musí se to udělat. Cedule nikoho fyzicky nezastaví.

Odkdy se použije nařízení (EU) 2023/1230 a co se stane se stroji uvedenými na trh dříve?

Od 20. 1. 2027. Stroje uvedené na trh v souladu se směrnicí 2006/42/ES před tímto datem zůstávají v souladu; nová pravidla se týkají strojů uváděných na trh od tohoto data (a podstatně změněných strojů).

Co si odnést

Bezpečnost se posuzuje u celé aplikace; riziko se snižuje v pořadí konstrukce → technická opatření → informace.
Kolaborace: monitorované zastavení, ruční vedení, hlídání rychlosti a vzdálenosti, omezení síly a výkonu.
Od 20. 1. 2027 platí nařízení EU 2023/1230; AI jako bezpečnostní součást spadá i pod akt o AI.

PřílohaA

Slovníček

Pojmy z celého průvodce, česky a anglicky. Hledat můžete v obou jazycích.

PřílohaB

Vzorce na jednom místě

Senzory a pohony (kap. 2)\[d = \frac{vt}{2},\qquad c \approx 331{,}3 + 0{,}606\,T,\qquad \Delta\varphi = \frac{360^\circ}{4N},\qquad M_\text{výst} = \eta\,i\,M_\text{mot},\qquad \omega_\text{výst} = \frac{\omega_\text{mot}}{i}\]

Kinematika 2R (kap. 3)\[\begin{aligned}&x = L_1c_1 + L_2c_{12},\qquad y = L_1s_1 + L_2s_{12},\qquad \cos\theta_2 = \frac{x^2+y^2-L_1^2-L_2^2}{2L_1L_2}\ &\theta_1 = \operatorname{atan2}(y,x) - \operatorname{atan2}(L_2s_2, L_1 + L_2c_2)\end{aligned}\]

Stupně volnosti (kap. 3)\[M = 3(n-1) - 2j\ \text{(rovina)},\qquad M = 6(n-1) - 5j\ \text{(prostor, jednoduché klouby)}\]

Transformace (kap. 4)\[\mathbf T = \begin{pmatrix}\mathbf R & \mathbf t\\ \mathbf 0^{\mathsf T} & 1\end{pmatrix},\qquad \mathbf T^{-1} = \begin{pmatrix}\mathbf R^{\mathsf T} & -\mathbf R^{\mathsf T}\mathbf t\\ \mathbf 0^{\mathsf T} & 1\end{pmatrix},\qquad {}^A\mathbf T_C = {}^A\mathbf T_B\,{}^B\mathbf T_C\]

Dynamika a PID (kap. 5)\[\mathbf M(\mathbf q)\ddot{\mathbf q} + \mathbf C\dot{\mathbf q} + \mathbf g(\mathbf q) = \boldsymbol\tau,\qquad u = K_Pe + K_I\!\int e\,\mathrm dt + K_D\dot e,\qquad \omega_n = \sqrt{K_P/J},\quad \zeta = \frac{b + K_D}{2\sqrt{K_PJ}}\]

Diferenciální podvozek (kap. 6)\[v = \frac{v_R + v_L}{2},\qquad \omega = \frac{v_R - v_L}{b},\qquad R = \frac v\omega,\qquad x_{k+1} = x_k + v\Delta t\cos\varphi_k\]

Kalmanův filtr 1D (kap. 7)\[P^- = P + Q,\qquad K = \frac{P^-}{P^- + R},\qquad \hat x = \hat x^- + K(z - \hat x^-),\qquad P = (1-K)P^-\]

A* (kap. 8)\[f(n) = g(n) + w\,h(n),\qquad h_\text{okt} = \max(\Delta x,\Delta y) + (\sqrt2 - 1)\min(\Delta x,\Delta y)\]

Vidění (kap. 9)\[u = f\frac XZ + c_x,\qquad Z = \frac{fB}{d},\qquad \Delta Z \approx \frac{Z^2}{fB}\Delta d\]

Uchopování a statika (kap. 10)\[F_\text{min} = \frac{m(g + a)}{2\mu},\qquad F_\text{přísavka} = \Delta p\,A,\qquad \dot{\mathbf x} = \mathbf J\dot{\mathbf q},\qquad \boldsymbol\tau = \mathbf J^{\mathsf T}\mathbf F,\qquad \det\mathbf J_{2R} = L_1L_2\sin\theta_2\]

Posilované učení (kap. 11)\[G_t = \sum_k \gamma^k r_{t+k+1},\qquad Q(s,a) \leftarrow Q(s,a) + \alpha\big[r + \gamma\max_{a'}Q(s',a') - Q(s,a)\big]\]

Bezpečné vzdálenosti (kap. 12, zjednodušeně)\[S = KT + C,\qquad S_p = v_h(T_r + T_s) + v_rT_r + S_s + C,\qquad E_k = \tfrac12 mv^2\]

PřílohaC

Zdroje a předpoklady

Statistiky, normy a předpisy

IFR – International Federation of Robotics: World Robotics 2026 – Industrial Robots, tisková zpráva a shrnutí z 24. 9. 2026 (instalace 2025: 603 307 kusů, +11 %; provozní stav asi 5 milionů; podíl Číny 59 %). Údaje za rok 2024 (542 076 instalací) a hustota robotizace 177 robotů na 10 000 zaměstnanců zpracovatelského průmyslu (2024) podle IFR, World Robotics 2025 a tiskové zprávy o hustotě robotizace (2026). Ověřeno 13. 10. 2026.
ISO 8373:2021 Robotics – Vocabulary (definice robota, autonomie, průmyslového robota).
ISO 10218-1:2025 a ISO 10218-2:2025 Robotics – Safety requirements (část 1 průmyslové roboty, část 2 aplikace a robotické buňky), vydáno v únoru 2025; nahrazují vydání z roku 2011 a přebírají většinu požadavků ISO/TS 15066:2016 Robots and robotic devices – Collaborative robots. Ověřeno 13. 10. 2026 (katalog ISO a shrnutí odborných organizací); přesný vztah obou dokumentů doporučujeme ověřit v aktuálním katalogu ISO.
ISO 12100:2010 Bezpečnost strojních zařízení – Všeobecné zásady pro konstrukci – Posouzení rizika a snižování rizika; ISO 13849-1:2023 Bezpečnostní části ovládacích systémů; ISO 13855 Umístění ochranných zařízení s ohledem na rychlosti přiblížení částí lidského těla; IEC 62061 Funkční bezpečnost strojních zařízení.
Nařízení Evropského parlamentu a Rady (EU) 2023/1230 o strojních zařízeních (použije se od 20. 1. 2027, kdy zrušuje směrnici 2006/42/ES) a příloha I část A (bezpečnostní komponenty a stroje se samovyvíjejícím se chováním na bázi strojového učení). Ověřeno 13. 10. 2026.
Směrnice 2006/42/ES o strojních zařízeních; nařízení vlády č. 176/2008 Sb., o technických požadavcích na strojní zařízení; nařízení vlády č. 378/2001 Sb., kterým se stanoví bližší požadavky na bezpečný provoz a používání strojů.
Nařízení (EU) 2024/1689 (akt o umělé inteligenci), čl. 6 odst. 1 a příloha I; nařízení (EU) 2026/1744 (digitální omnibus o AI), vyhlášeno v Úředním věstníku 24. 7. 2026, v platnosti od 27. 7. 2026 – povinnosti pro vysoce rizikové systémy AI ve výrobcích podle přílohy I oddílu A se použijí od 2. 8. 2028, samostatné systémy podle přílohy III od 2. 12. 2027. Ověřeno 13. 10. 2026; před použitím ověřte konsolidované znění na eur-lex.europa.eu.

Literatura

Siciliano, B., Khatib, O. (eds.) (2016): Springer Handbook of Robotics, 2. vyd. Springer.
Lynch, K. M., Park, F. C. (2017): Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control. Cambridge University Press.
Craig, J. J. (2018): Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 4. vyd. Pearson.
Spong, M. W., Hutchinson, S., Vidyasagar, M. (2020): Robot Modeling and Control, 2. vyd. Wiley.
Siegwart, R., Nourbakhsh, I. R., Scaramuzza, D. (2011): Introduction to Autonomous Mobile Robots, 2. vyd. MIT Press.
Thrun, S., Burgard, W., Fox, D. (2005): Probabilistic Robotics. MIT Press.
Corke, P. (2023): Robotics, Vision and Control, 3. vyd. Springer.
Hartley, R., Zisserman, A. (2004): Multiple View Geometry in Computer Vision, 2. vyd. Cambridge University Press.
Sutton, R. S., Barto, A. G. (2018): Reinforcement Learning: An Introduction, 2. vyd. MIT Press.
Denavit, J., Hartenberg, R. S. (1955): A kinematic notation for lower-pair mechanisms based on matrices. Journal of Applied Mechanics 22, 215–221.
Kalman, R. E. (1960): A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems. Journal of Basic Engineering 82, 35–45.
Hart, P. E., Nilsson, N. J., Raphael, B. (1968): A Formal Basis for the Heuristic Determination of Minimum Cost Paths. IEEE Transactions on Systems Science and Cybernetics 4(2), 100–107.
Brooks, R. A. (1986): A robust layered control system for a mobile robot. IEEE Journal of Robotics and Automation 2(1), 14–23.
Watkins, C. J. C. H., Dayan, P. (1992): Q-learning. Machine Learning 8, 279–292.
Čapek, K. (1920): R.U.R. (Rossum's Universal Robots). Aventinum, Praha.

Modelové předpoklady laboratoří

Laboratoře jsou výukové modely se zjednodušeními uvedenými v jejich popiscích: rovinné rameno bez dorazů a kolizí, kloub jako setrvačník s viskózním třením, diferenciální podvozek bez prokluzu, lineární Kalmanův filtr s normálním šumem, mřížka s 8 sousedy, ideální rektifikované stereo, Coulombovo tření, tabulkové Q-učení a zjednodušený vztah pro hlídání rychlosti a vzdálenosti. Tíhové zrychlení 9,81 m/s², rychlost zvuku \(331{,}3 + 0{,}606\,T\) m/s, rychlost světla 299 792 458 m/s. Simulace s náhodou mají pevné semínko a tlačítko pro novou simulaci. Čísla v textu jsou spočítaná skriptem a zaokrouhlená na uvedený počet míst. Výpočty bezpečných vzdáleností nenahrazují posouzení rizika podle norem.

Interaktivní průvodce Robotika (říjen 2026). Studijní materiál, nenahrazuje učebnici ani výuku a nenahrazuje posouzení rizika ani školení bezpečnosti práce. Průvodce nejmenuje komerční produkty, firmy ani obchodní názvy robotů.