Oceňování opcíOption pricing

1.1Co je opce

Opce je smlouva, která kupujícímu dává právo, nikoli povinnost, koupit nebo prodat podkladové aktivum za předem dohodnutou cenu. Podkladem bývá akcie, akciový index, měnový kurz, úroková sazba nebo komodita. V této příručce počítáme většinou s akcií; ostatní trhy přijdou na řadu v kapitole 10.option, underlying

• Kupní opce (call) dává právo podklad koupit.call, put
• Prodejní opce (put) dává právo podklad prodat.
• Realizační cena \(K\) je cena, za kterou se při uplatnění obchoduje.strike, exercise price
• Splatnost je den, kdy právo zaniká; dobu, která do něj zbývá, značíme \(T\).expiry, maturity
• Prémie je cena opce: částka, kterou kupující zaplatí prodávajícímu při uzavření obchodu.premium

Kupující (držitel) má dlouhou pozici, prodávající (vypisovatel) krátkou. Role nejsou symetrické. Kupující se rozhoduje, zda právo využije. Prodávající se nerozhoduje o ničem: pokud kupující opci uplatní, musí prodávající podklad dodat, nebo odebrat.long, short; holder, writer

Podle toho, kdy lze právo využít, rozlišujeme tři styly. Evropskou opci lze uplatnit jen v den splatnosti, americkou kdykoli do něj a bermudskou ve vybraných dnech. Názvy nemají nic společného se zeměpisem; většina opcí na jednotlivé akcie je amerických, opce na indexy, měny a úrokové sazby jsou obvykle evropské.European, American, Bermudan

Opce se vypořádá buď fyzicky, tedy dodáním podkladu proti realizační ceně, nebo finančně, kdy se vyplatí jen rozdíl.physical / cash settlement

Burza a OTC. Burzovní opce jsou standardizované: burza určuje realizační ceny, splatnosti i velikost kontraktu (u akcií obvykle 100 kusů) a mezi obě strany vstupuje clearingové centrum. Na mimoburzovním (OTC) trhu, u opcí hlavně mezibankovním, se obchoduje přímo mezi dvěma stranami a parametry se domlouvají na míru. Měnové a úrokové opce se obchodují převážně takto.listed, over-the-counter (OTC)

1.2Výplata a zisk

Při splatnosti je hodnota opce dána jen cenou podkladu \(S_T\) a realizační cenou:

Výplata říká, kolik opce vynese při splatnosti. Zisk od ní odečítá zaplacenou prémii. Kupní opce z našeho příkladu stojí 10,45 Kč, takže kupující vydělá teprve tehdy, když akcie skončí nad 110,45 Kč. To je bod zvratu. U prodejní opce za 5,57 Kč leží na 94,43 Kč.payoff, profit; break-even

Obrázek 1.1 ukazuje čtyři základní pozice. Stojí za to si je zapamatovat i s tím, co která znamená:

• Koupený call: sázka na růst s omezenou ztrátou. Zisk není shora omezen.
• Koupený put: sázka na pokles nebo pojistka držené akcie. Nejvyšší zisk je \(K\) minus prémie, když akcie spadne na nulu.
• Prodaný call: inkaso prémie výměnou za závazek prodat pod trhem. Ztráta není shora omezena.
• Prodaný put: inkaso prémie výměnou za závazek koupit nad trhem. Ztráta může dosáhnout až \(K\) minus prémie.

1.3V penězích, na penězích, mimo peníze

Vnitřní hodnota je to, co by opce vynesla, kdyby se uplatnila hned: u callu \(\max(S-K,0)\). Všechno, co opce stojí navíc, je časová hodnota. Platí se za možnost, že se cena do splatnosti ještě pohne příznivým směrem.intrinsic value, time value

Podle vztahu ceny podkladu a realizační ceny je opce:

• v penězích (ITM), má-li kladnou vnitřní hodnotu,in the money (ITM)
• na penězích (ATM), je-li cena podkladu přibližně rovna realizační ceně,at the money (ATM)
• mimo peníze (OTM), je-li vnitřní hodnota nulová a cena podkladu daleko od realizační ceny.out of the money (OTM)

1.4Co určuje cenu opce

Před splatností záleží cena opce na pěti vstupech; u akcií s dividendou je šestým výše dividendy. Tabulka 1.2 říká, kterým směrem každý z nich cenu posouvá.

Čtyři z pěti vstupů jsou vidět: cenu akcie a úrokovou míru kotuje trh, realizační cenu a splatnost určuje smlouva. Volatilita vidět není. Je to roční směrodatná odchylka výnosů podkladu do splatnosti, tedy údaj o budoucnosti, který musí každý odhadnout. Proto se o ceně opce ve skutečnosti jedná prostřednictvím volatility, a proto jí patří celá kapitola 9.volatility

1.5Co dělá dealer

Dealer v bance nebo u obchodníka s cennými papíry je tvůrce trhu: klientům i jiným bankám kotuje cenu, za kterou opci koupí (bid), a cenu, za kterou ji prodá (offer). Rozdíl mezi nimi je jeho hrubá marže za to, že riziko převezme.market maker; bid, offer (ask)

Převzaté riziko si dealer nenechává celé: zajišťuje se, tedy uzavírá další obchody, které riziko vyruší. Rozloží ho přitom na složky, kterým se říká řecká písmena, a každou řídí zvlášť:

• citlivost na pohyb podkladu (delta): zajišťuje ji nákupem nebo prodejem podkladu,
• citlivost na velikost pohybů (gama) a na změnu volatility (vega): zajišťuje ji jinými opcemi, nebo ji drží v limitech,
• citlivost na plynutí času (théta): každý den mu něco přináší, nebo ubírá.

Výsledek zajištěné opční knihy, tedy souhrnu všech dealerových pozic, proto závisí jen málo na tom, zda trh roste, nebo klesá. Rozhoduje, zda se podklad hýbal víc, nebo méně, než kolik bylo zaplaceno v prémii. Dealer tedy obchoduje s volatilitou. K tomu potřebuje tři věci, kterým se věnuje zbytek příručky: ocenění (kapitoly 3 až 6), míry rizika (kapitoly 7 a 8) a porozumění volatilitě (kapitola 9).

1.1What an option is

An option is a contract that gives the buyer the right, but not the obligation, to buy or sell an underlying asset at a price agreed in advance. The underlying is typically a share, an equity index, an exchange rate, an interest rate or a commodity. In this guide we mostly work with a share; other markets follow in chapter 10.

• A call option gives the right to buy the underlying.
• A put option gives the right to sell the underlying.
• The strike price \(K\) is the price at which the trade takes place on exercise.
• Expiry (maturity) is the day the right lapses; the time remaining until then is denoted \(T\).
• The premium is the price of the option: the amount the buyer pays the seller when the trade is made.

The buyer (holder) has a long position, the seller (writer) a short one. The roles are not symmetric. The buyer decides whether to use the right. The seller decides nothing: if the buyer exercises, the seller must deliver or take delivery of the underlying.

Depending on when the right can be used, there are three styles. A European option can be exercised only on the expiry date, an American one at any time up to it and a Bermudan one on selected dates. The names have nothing to do with geography; most options on single stocks are American, while options on indices, currencies and interest rates are usually European.

An option is settled either physically, by delivering the underlying against the strike price, or in cash, by paying out only the difference.

Exchange and OTC. Listed options are standardised: the exchange sets the strikes, expiries and contract size (usually 100 shares for equities), and a clearing house steps in between the two parties. On the over-the-counter (OTC) market – for options mostly the interbank market – trading is directly between two parties and the terms are tailored. Currency and interest-rate options trade mostly this way.

1.2Payoff and profit

At expiry, the value of the option depends only on the price of the underlying \(S_T\) and the strike:

The payoff says how much the option yields at expiry. The profit deducts the premium paid. The call from our example costs 10.45 CZK, so the buyer makes money only if the share ends above 110.45 CZK. That is the break-even. For the put at 5.57 CZK it lies at 94.43 CZK.

Figure 1.1 shows the four basic positions. It is worth memorising them together with what each one means:

• Long call: a bet on a rise with limited loss. The profit is unlimited on the upside.
• Long put: a bet on a fall, or insurance for a share you hold. The maximum profit is \(K\) minus the premium, if the share falls to zero.
• Short call: collecting a premium in exchange for an obligation to sell below the market. The loss is unlimited on the upside.
• Short put: collecting a premium in exchange for an obligation to buy above the market. The loss can reach \(K\) minus the premium.

1.3In, at and out of the money

Intrinsic value is what the option would yield if exercised immediately: for a call \(\max(S-K,0)\). Everything the option costs on top of that is time value. It pays for the chance that the price will still move favourably before expiry.

Depending on the relationship between the underlying price and the strike, an option is:

• in the money (ITM) if it has positive intrinsic value,
• at the money (ATM) if the underlying price is roughly equal to the strike,
• out of the money (OTM) if its intrinsic value is zero and the underlying price is far from the strike.

1.4What determines the option price

Before expiry, the price of an option depends on five inputs; for shares paying dividends, the dividend is a sixth. Table 1.2 shows in which direction each of them moves the price.

Four of the five inputs are observable: the market quotes the share price and the interest rate, the contract fixes the strike and the maturity. Volatility is not observable. It is the annual standard deviation of the underlying’s returns until expiry, i.e. a statement about the future that everyone has to estimate. That is why option prices are in fact negotiated in terms of volatility, and why it gets a whole chapter, chapter 9.

1.5What a dealer does

A dealer at a bank or a securities firm is a market maker: they quote to clients and other banks the price at which they will buy an option (bid) and the price at which they will sell it (offer). The difference is their gross margin for taking on the risk.

The dealer does not keep all of the risk taken on: they hedge, i.e. enter into further trades that offset the risk. In doing so they decompose it into components called the Greeks and manage each separately:

• sensitivity to moves in the underlying (delta): hedged by buying or selling the underlying,
• sensitivity to the size of the moves (gamma) and to changes in volatility (vega): hedged with other options or kept within limits,
• sensitivity to the passage of time (theta): every day it brings something in or takes something away.

The result of a hedged option book, the sum of all the dealer’s positions, therefore depends little on whether the market rises or falls. What matters is whether the underlying moved more or less than what was paid for in the premium. The dealer is therefore trading volatility. For that they need three things, which the rest of the guide covers: pricing (chapters 3 to 6), risk measures (chapters 7 and 8) and an understanding of volatility (chapter 9).

2.1Arbitráž a forwardová cena

Arbitráž je obchod, který nic nestojí, nemůže skončit ztrátou a s kladnou pravděpodobností skončí ziskem. Na likvidním trhu takové příležitosti mizí během okamžiku, protože je využije každý, kdo si jich všimne. Z toho plyne pracovní pravidlo všech oceňovacích metod: dvě pozice se stejnými budoucími platbami musí dnes stát stejně.arbitrage

Nejjednodušší použití je forward, tedy dohoda koupit akcii za rok za cenu \(F\) sjednanou dnes. Prodávající se může zajistit, tedy uzavřít obchod, který jeho riziko vyruší: akcii koupí hned za \(S_0\) a rok ji drží. Peníze na nákup si půjčí a za rok vrátí \(S_0 e^{rT}\). Aby nikdo nevydělal bez rizika, musí se forwardová cena rovnat právě této částce:forward price

\[F = S_0\,e^{rT} = 100\cdot e^{0{,}05} = 105{,}13\ \text{Kč}.\]

Forwardová cena tedy není předpověď, kde akcie za rok bude. Je to dnešní cena zvětšená o náklady na držení. Stejná logika stojí za celou teorií oceňování opcí.

2.2Hranice ceny

Stejným způsobem lze cenu opce sevřít shora i zdola, aniž víme cokoli o volatilitě.

• Call nestojí víc než akcie: \(C \le S_0\). Právo koupit akcii nemůže být cennější než akcie sama.
• Call stojí aspoň tolik jako forward se stejnou sjednanou cenou: \(C \ge \max(S_0 - Ke^{-rT},\,0)\). Call vyplatí vždy aspoň tolik jako závazek koupit za \(K\), a ten má dnes hodnotu \(S_0 - Ke^{-rT}\).
• Evropský put nestojí víc než současná hodnota realizační ceny: \(P \le Ke^{-rT}\). Víc než \(K\) put vyplatit nemůže, a to až při splatnosti.
• Put stojí aspoň tolik jako prodaný forward: \(P \ge \max(Ke^{-rT} - S_0,\,0)\).

V našem příkladu je \(Ke^{-rT} = 95{,}12\) Kč. Call tedy musí stát mezi 4,88 Kč a 100 Kč, put mezi nulou a 95,12 Kč. Ceny 10,45 Kč a 5,57 Kč leží uvnitř. Hranice jsou široké, ale užitečné: kotace mimo ně je vždy chyba, ať už v datech, nebo ve výpočtu.

2.3Put-call parita

Nejdůležitější vztah nezávislý na modelu spojuje ceny evropského callu a putu se stejnou realizační cenou a splatností. Porovnejme dvě portfolia:put-call parity

• A: koupený call a hotovost \(Ke^{-rT}\) uložená za bezrizikový úrok,
• B: koupený put a jedna akcie.

Při splatnosti má portfolio A hodnotu \(\max(S_T-K,0)+K\) a portfolio B hodnotu \(\max(K-S_T,0)+S_T\). Obojí je \(\max(S_T,K)\). Dvě portfolia se stejnou výplatou musí stát stejně i dnes:

Pravá strana je dnešní hodnota forwardu, tedy závazku koupit akcii při splatnosti za \(K\). Parita tedy říká: koupený call a prodaný put dohromady jsou forward.

V příkladu vychází \(C-P = 10{,}45-5{,}57 = 4{,}88\) Kč a \(S_0 - Ke^{-rT} = 100-95{,}12 = 4{,}88\) Kč.

Syntetické pozice

Paritu lze přeskládat podle toho, co si necháme na levé straně. Každý tvar říká, jak jednu pozici složit ze zbývajících:

2.4Proč se americký call předčasně neuplatňuje

Z dolní hranice plyne důležitý důsledek. U akcie, která do splatnosti nevyplatí dividendu, platí

\[C \;\ge\; S_0 - Ke^{-rT} \;>\; S_0 - K.\]

Živá opce má tedy vždy vyšší cenu, než kolik by vyneslo její okamžité uplatnění. Kdo chce z callu vystoupit, má ho prodat, ne uplatnit. Americký call na akcii bez dividendy proto stojí stejně jako evropský.

Jinak je tomu ve dvou případech:

• Call před dividendou. Držitel opce dividendu nedostane. Pokud je dividenda vyšší než úrok, který držitel ušetří odkladem platby realizační ceny, může se vyplatit opci uplatnit těsně před dnem, od kterého se akcie obchoduje bez nároku na dividendu (oddíl 4.6).
• Put hluboko v penězích. Uplatněním dostane držitel částku \(K\) hned a může ji úročit. Když akcie spadne dost nízko, je tento úrok cennější než zbývající šance na další pokles. Americký put je proto dražší než evropský a jeho ocenění vyžaduje numerickou metodu (oddíl 4.5).

2.1Arbitrage and the forward price

Arbitrage is a trade that costs nothing, cannot end in a loss and ends in a profit with positive probability. In a liquid market such opportunities vanish within moments because anyone who notices them exploits them. This yields the working rule of all pricing methods: two positions with the same future cash flows must cost the same today.

The simplest application is a forward, an agreement to buy a share in one year at a price \(F\) fixed today. The seller can hedge, i.e. enter a trade that offsets their risk: buy the share now for \(S_0\) and hold it for a year. They borrow the money and repay \(S_0 e^{rT}\) after a year. For no one to profit without risk, the forward price must equal exactly this amount:

\[F = S_0\,e^{rT} = 100\cdot e^{0.05} = 105.13\ \text{CZK}.\]

The forward price is therefore not a forecast of where the share will be in a year. It is today’s price increased by the cost of carry. The same logic underlies the whole theory of option pricing.

2.2Price bounds

In the same way the option price can be bounded from above and below without knowing anything about volatility.

• A call is worth no more than the share: \(C \le S_0\). The right to buy a share cannot be worth more than the share itself.
• A call is worth at least as much as a forward with the same agreed price: \(C \ge \max(S_0 - Ke^{-rT},\,0)\). A call always pays at least as much as an obligation to buy at \(K\), which is worth \(S_0 - Ke^{-rT}\) today.
• A European put is worth no more than the present value of the strike: \(P \le Ke^{-rT}\). A put cannot pay more than \(K\), and only at expiry.
• A put is worth at least as much as a short forward: \(P \ge \max(Ke^{-rT} - S_0,\,0)\).

In our example \(Ke^{-rT} = 95.12\) CZK. The call must therefore cost between 4.88 CZK and 100 CZK, the put between zero and 95.12 CZK. The prices 10.45 CZK and 5.57 CZK lie inside. The bounds are wide but useful: a quote outside them is always an error, either in the data or in the calculation.

2.3Put-call parity

The most important model-free relationship links the prices of a European call and put with the same strike and maturity. Compare two portfolios:

• A: a long call and cash \(Ke^{-rT}\) invested at the risk-free rate,
• B: a long put and one share.

At expiry, portfolio A is worth \(\max(S_T-K,0)+K\) and portfolio B \(\max(K-S_T,0)+S_T\). Both equal \(\max(S_T,K)\). Two portfolios with the same payoff must cost the same today as well:

The right-hand side is today’s value of a forward, i.e. of an obligation to buy the share at expiry for \(K\). Parity therefore says: a long call and a short put together are a forward.

In the example, \(C-P = 10.45-5.57 = 4.88\) CZK and \(S_0 - Ke^{-rT} = 100-95.12 = 4.88\) CZK.

Synthetic positions

Parity can be rearranged according to what we keep on the left-hand side. Each form says how to build one position from the others:

2.4Why an American call is not exercised early

The lower bound has an important consequence. For a share that pays no dividend before expiry,

\[C \;\ge\; S_0 - Ke^{-rT} \;>\; S_0 - K.\]

A live option is therefore always worth more than immediate exercise would yield. Anyone who wants to exit a call should sell it, not exercise it. An American call on a non-dividend-paying share is therefore worth the same as a European one.

It is different in two cases:

• A call before a dividend. The option holder does not receive the dividend. If the dividend exceeds the interest the holder saves by deferring payment of the strike, it may pay to exercise just before the day from which the share trades without the dividend entitlement (section 4.6).
• A deep in-the-money put. By exercising, the holder receives \(K\) immediately and can earn interest on it. When the share has fallen far enough, this interest is worth more than the remaining chance of a further fall. An American put is therefore more expensive than a European one and requires a numerical method to price (section 4.5).

3.1Jeden krok, dva scénáře

Začněme nejjednodušším světem. Akcie dnes stojí 100 Kč a za rok bude stát buď 122,14 Kč, nebo 81,87 Kč. Jiná možnost není. Kupní opce s realizační cenou 100 Kč vyplatí v prvním případě 22,14 Kč, ve druhém nic. Kolik má stát dnes?

Odpověď nedostaneme odhadem pravděpodobností, ale tak, že opci napodobíme. Hledáme replikační portfolio: \(\Delta\) kusů akcie a půjčku \(B\), které budou mít za rok v obou scénářích dohromady stejnou hodnotu jako opce:replicating portfolio

\[\Delta\cdot 122{,}14 - Be^{r} = 22{,}14,\qquad \Delta\cdot 81{,}87 - Be^{r} = 0.\]

Odečtením rovnic vypadne půjčka a zbude

\[\Delta = \frac{22{,}14-0}{122{,}14-81{,}87} = 0{,}5498,\qquad B = \Delta\cdot 81{,}87\cdot e^{-0{,}05} = 42{,}82\ \text{Kč}.\]

Koupíme tedy 0,5498 akcie za 54,98 Kč a z toho si 42,82 Kč půjčíme. Z vlastního dáme

\[54{,}98 - 42{,}82 = 12{,}16\ \text{Kč}.\]

Toto portfolio vyplatí za rok přesně totéž co opce, ať nastane kterýkoli scénář. Opce proto musí stát 12,16 Kč. Kdyby stála víc, prodali bychom ji, koupili portfolio a rozdíl by nám zůstal bez rizika; kdyby stála méně, udělali bychom opak.

3.2Totéž jako střední hodnota

Výpočet lze přepsat do tvaru, který se lépe pamatuje. Definujme číslo

\[p = \frac{e^{rT}-d}{u-d} = \frac{e^{0{,}05}-0{,}8187}{1{,}2214-0{,}8187} = 0{,}5775,\]

kde \(u = 1{,}2214\) a \(d = 0{,}8187\) jsou koeficienty, kterými se cena akcie při růstu a při poklesu násobí. Pak platí

\[C = e^{-rT}\big[\,p\cdot 22{,}14 + (1-p)\cdot 0\,\big] = 0{,}9512\cdot 0{,}5775\cdot 22{,}14 = 12{,}16\ \text{Kč}.\]

Je to stejných 12,16 Kč jako z replikace; algebraicky jde o tentýž výpočet. Číslo \(p\) se chová jako pravděpodobnost růstu a cena opce jako diskontovaná střední (očekávaná) výplata. Číslu \(p\) se proto říká rizikově neutrální pravděpodobnost.risk-neutral probability

3.3Proč na očekávaném výnosu nezáleží

Představme si dva analytiky. První věří, že akcie vzroste s pravděpodobností 60 %, druhý, že s 90 %. Oba ale souhlasí s dnešní cenou 100 Kč a s oběma scénáři. Pak musí oba souhlasit i s cenou opce 12,16 Kč, protože replikační portfolio funguje bez ohledu na to, kdo má pravdu.

Zkusme naopak ocenit opci „selským rozumem“: skutečná pravděpodobnost 60 %, očekávaná výplata \(0{,}6\cdot 22{,}14\), diskontováno bezrizikovou mírou. Vyjde 12,64 Kč. Kdo by za tuto cenu opci kupoval, přeplácel by: protistrana by ji prodala, za 12,16 Kč si složila replikační portfolio a rozdíl by si nechala. Chyba je v diskontování. Opce je rizikovější než akcie a riziková výplata se nesmí diskontovat bezrizikovou mírou. Replikace tento problém obchází tím, že správnou přirážku za riziko převezme z ceny akcie.

Dvě věci si z toho odnesme:

• Názor na směr trhu je už obsažen v dnešní ceně akcie. Opce je odvozená od akcie, ne od názoru.
• Cenu opce ovlivňuje jen to, jak daleko od sebe scénáře leží, tedy volatilita. Kdyby akcie mohla skončit na 150 nebo 67 Kč, stála by opce víc, ať je růst jakkoli pravděpodobný.

3.4Obecný recept

Jednokrokový výpočet lze zobecnit na libovolně jemné dělení času i na spojitý model. Výsledek má vždy stejný tvar:

Hodnota opce je diskontovaná střední hodnota její výplaty, počítaná v rizikově neutrálním světě, tedy při pravděpodobnostech \(\mathbb{Q}\), při kterých každé aktivum v průměru vynáší bezrizikový úrok. Akcie v něm roste tempem \(r\) místo svého skutečného očekávaného výnosu; volatilita zůstává stejná.risk-neutral measure

Tento vzorec platí pro jakoukoli výplatu, která závisí jen na ceně při splatnosti. Tři metody z následujících kapitol se liší jen tím, jak střední hodnotu spočítají:

3.1One step, two scenarios

Let us start with the simplest world. A share costs 100 CZK today and in one year it will cost either 122.14 CZK or 81.87 CZK. There is no other possibility. A call with a strike of 100 CZK pays 22.14 CZK in the first case and nothing in the second. What should it cost today?

We get the answer not by estimating probabilities but by replicating the option. We look for a replicating portfolio: \(\Delta\) shares and a loan \(B\) that together will be worth the same as the option in both scenarios in one year:

\[\Delta\cdot 122.14 - Be^{r} = 22.14,\qquad \Delta\cdot 81.87 - Be^{r} = 0.\]

Subtracting the equations eliminates the loan and leaves

\[\Delta = \frac{22.14-0}{122.14-81.87} = 0.5498,\qquad B = \Delta\cdot 81.87\cdot e^{-0.05} = 42.82\ \text{CZK}.\]

So we buy 0.5498 shares for 54.98 CZK, of which we borrow 42.82 CZK. From our own pocket we pay

\[54.98 - 42.82 = 12.16\ \text{CZK}.\]

This portfolio pays exactly the same as the option in one year, whichever scenario occurs. The option must therefore cost 12.16 CZK. If it cost more, we would sell it, buy the portfolio and keep the difference without risk; if it cost less, we would do the opposite.

3.2The same thing as an expected value

The calculation can be rewritten in a form that is easier to remember. Define the number

\[p = \frac{e^{rT}-d}{u-d} = \frac{e^{0.05}-0.8187}{1.2214-0.8187} = 0.5775,\]

where \(u = 1.2214\) and \(d = 0.8187\) are the factors by which the share price is multiplied on a rise and on a fall. Then

\[C = e^{-rT}\big[\,p\cdot 22.14 + (1-p)\cdot 0\,\big] = 0.9512\cdot 0.5775\cdot 22.14 = 12.16\ \text{CZK}.\]

It is the same 12.16 CZK as from replication; algebraically it is the same calculation. The number \(p\) behaves like the probability of a rise and the option price like the discounted expected payoff. The number \(p\) is therefore called the risk-neutral probability.

3.3Why the expected return does not matter

Imagine two analysts. The first believes the share will rise with a probability of 60 %, the second with 90 %. Both agree on today’s price of 100 CZK and on both scenarios. Then both must also agree on the option price of 12.16 CZK, because the replicating portfolio works regardless of who is right.

Now try pricing the option by “common sense”: real probability 60 %, expected payoff \(0.6\cdot 22.14\), discounted at the risk-free rate. The result is 12.64 CZK. Anyone buying the option at that price would overpay: the counterparty would sell it, build the replicating portfolio for 12.16 CZK and keep the difference. The error is in the discounting. The option is riskier than the share, and a risky payoff must not be discounted at the risk-free rate. Replication sidesteps this problem by taking the correct risk premium from the share price.

Two things to take from this:

• A view on market direction is already contained in today’s share price. The option is derived from the share, not from an opinion.
• The option price is affected only by how far apart the scenarios lie, i.e. by volatility. If the share could end at 150 or 67 CZK, the option would be worth more, however likely a rise is.

3.4The general recipe

The one-step calculation can be generalised to an arbitrarily fine division of time and to a continuous model. The result always has the same form:

The value of an option is the discounted expected value of its payoff computed in a risk-neutral world, i.e. under probabilities \(\mathbb{Q}\) under which every asset earns the risk-free rate on average. The share grows there at rate \(r\) instead of its real expected return; volatility stays the same.

This formula holds for any payoff that depends only on the price at expiry. The three methods in the following chapters differ only in how they compute the expected value:

4.1Princip a parametry

Jednokrokový model z minulé kapitoly je příliš hrubý: akcie má za rok víc než dvě možné ceny. Řešení je krok zkrátit a zopakovat ho \(n\)-krát. Po dvou krocích má akcie tři možné ceny, po třech čtyři, po \(n\) krocích \(n+1\). S rostoucím \(n\) se rozdělení koncových cen blíží spojitému rozdělení, se kterým pracuje Black-Scholesův model.binomial tree, lattice; up / down factor

Zbývá určit, o kolik má cena v jednom kroku vzrůst nebo klesnout. Nejpoužívanější nastavení navrhli v roce 1979 Cox, Ross a Rubinstein, odtud zkratka CRR:

Každý parametr má svůj důvod:

• Velikost pohybu \(u\) a \(d\) je zvolena tak, aby rozptyl výnosu za jeden krok byl přibližně \(\sigma^2\Delta t\). Směrodatná odchylka výnosu roste s odmocninou času, proto se v exponentu objevuje \(\sqrt{\Delta t}\).
• Podmínka \(d = 1/u\) zajišťuje, že růst následovaný poklesem vrátí cenu na původní hodnotu. Strom se díky tomu spojuje: po \(i\) krocích má jen \(i+1\) uzlů místo \(2^i\).recombining tree
• Pravděpodobnost \(p\) je rizikově neutrální: akcie při ní v průměru vynese za krok právě \(e^{r\Delta t}\). Odvodili jsme ji v kapitole 3.

4.2Postup krok za krokem

1. Spočítat \(\Delta t\), \(u\), \(d\) a \(p\).
2. Postavit strom cen akcie zleva doprava. Po \(j\) růstech z \(i\) kroků je cena \(S_0\,u^j d^{\,i-j}\).
3. Do koncových uzlů dosadit výplatu opce.
4. Jít odzadu (zpětný průchod). Hodnota v každém uzlu je diskontovaný vážený průměr hodnot ve dvou uzlech, které po něm následují: \[V = e^{-r\Delta t}\big[\,p\,V_u + (1-p)\,V_d\,\big].\]backward induction
5. V prvním uzlu, kořeni stromu, odečíst dnešní cenu opce.

4.3Strom jako součet

U evropské opce není zpětný průchod nutný. Koncová cena závisí jen na počtu růstů \(j\), nikoli na jejich pořadí, a počet růstů má binomické rozdělení. Cenu lze proto napsat jedním součtem:

\[C = e^{-rT}\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}p^{j}(1-p)^{n-j}\max\big(S_0u^{j}d^{\,n-j}-K,\;0\big).\]

Ve tříkrokovém stromu mají čtyři koncové uzly pravděpodobnosti 0,1608; 0,4047; 0,3395 a 0,0950. Nenulovou výplatu dávají jen první dva:

\[C = 0{,}9512\cdot(0{,}1608\cdot 41{,}40 + 0{,}4047\cdot 12{,}24) = 11{,}04\ \text{Kč}.\]

Součet je přesně rizikově neutrální vzorec z kapitoly 3: pravděpodobnosti krát výplaty, diskontováno. Black-Scholesův vzorec vznikne, když v něm necháme \(n\) růst do nekonečna a binomické rozdělení přejde v normální.

4.4Konvergence a její zrychlení

Tři kroky dávají 11,04 Kč, přesná hodnota je 10,45 Kč. Chyba s počtem kroků klesá, ale ne hladce (obrázek 4.2 vlevo): cena je střídavě nad přesnou hodnotou a pod ní. Příčinou je poloha realizační ceny vůči uzlům. Při sudém počtu kroků leží jeden koncový uzel přesně na realizační ceně, při lichém je realizační cena mezi dvěma uzly, a lomená výplatní funkce se pokaždé aproximuje jinak.

Velikost chyby je zhruba nepřímo úměrná počtu kroků: při \(n = 100\) činí 2 haléře a teprve 1 000 kroků ji sníží na pětinu haléře. Výpočetní náročnost přitom roste s druhou mocninou počtu kroků, protože strom s \(n\) kroky má \((n+1)(n+2)/2\) uzlů: pro \(n = 100\) je to 5 151, pro \(n = 1\,000\) už 501 501.

V praxi se proto prostý strom CRR s tisíci kroky nepoužívá. Tabulka 4.1 ukazuje čtyři běžné úpravy:

• Průměr cen ze sudého a z lichého počtu kroků vyruší podstatnou část pilovitého kmitání.
• Vyhlazení posledního kroku odstraní zlom výplatní funkce, který kmitání způsobuje. Chyba pak klesá hladce.
• Extrapolace toho využívá: ze dvou vyhlazených výpočtů s \(n\) a \(n/2\) kroky odhadne limitu pro nekonečně jemný strom.Richardson extrapolation
• Leisen-Reimerův strom (1996) volí \(u\), \(d\) a \(p\) tak, aby realizační cena ležela ve středu stromu. Chyba klesá úměrně \(1/n^2\) a při 101 krocích je menší než setina haléře.

4.5Americké opce

Hlavní důvod, proč se stromy používají, je předčasné uplatnění. Držitel americké opce se v každém okamžiku rozhoduje, zda opci uplatní, nebo si ji nechá. Ve stromu to znamená jedinou změnu: v každém uzlu se porovná hodnota dalšího držení s okamžitou výplatou a vezme se vyšší z nich. Pro put:early exercise, continuation value

\[V = \max\Big(K - S,\;\; e^{-r\Delta t}\big[\,p\,V_u + (1-p)\,V_d\,\big]\Big).\]

Ve stromu s dostatečným počtem kroků vychází americký put z příkladu na 6,09 Kč proti 5,57 Kč u evropského. Právo předčasného uplatnění má tedy hodnotu 0,52 Kč, asi 9 % ceny evropského putu.

Strom zároveň ukazuje, kdy se opci vyplatí uplatnit. V každém okamžiku existuje kritická cena, hranice předčasného uplatnění: klesne-li akcie pod ni, je lepší put uplatnit a inkasovanou realizační cenu úročit. Rok před splatností leží hranice na 80,9 Kč, půl roku před ní na 83,9 Kč a s blížící se splatností stoupá k realizační ceně (obrázek 4.3).early-exercise boundary

4.6Dividendy

Dividenda snižuje cenu akcie, a tím i hodnotu callu; hodnotu putu naopak zvyšuje. Do stromu ji lze zavést dvěma způsoby.dividend yield

Spojitý dividendový výnos. U indexů a měn se dividenda (nebo zahraniční úrok) modeluje jako plynulý výnos \(q\). Akcie pak v rizikově neutrálním světě roste jen tempem \(r-q\) a ve stromu se změní jediný vzorec:

\[p = \frac{e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}.\]

S výnosem \(q = 2\,\%\) klesne cena callu z příkladu z 10,45 na 9,23 Kč a cena putu stoupne z 5,57 na 6,33 Kč.

Diskrétní dividenda. U jednotlivé akcie se vyplácí známá částka ve známý den. Běžný postup je odečíst od dnešní ceny současnou hodnotu dividend, postavit strom pro tuto „očištěnou“ cenu a v uzlech před dnem výplaty ji zase přičíst.escrowed dividend model

Kdy to nastane, říká jednoduché pravidlo. Předčasné uplatnění přichází v úvahu, jen když dividenda převýší úrok z realizační ceny do splatnosti: \(D > K\big(1-e^{-r(T-t_D)}\big)\), kde \(t_D\) je den výplaty dividendy. Zde je pravá strana 2,47 Kč, takže dividenda 3 Kč podmínku splňuje. Při dividendě 2 Kč by americký call stál stejně jako evropský.

4.7Řecká písmena ze stromu

Citlivosti, kterým se věnuje kapitola 7, lze přečíst přímo z uzlů stromu, bez dalšího výpočtu:

• Delta je podíl rozdílu hodnot opce a rozdílu cen akcie v prvním kroku: \((17{,}71-3{,}50)/(112{,}24-89{,}09) = 0{,}614\). Přesná hodnota je 0,6368.
• Gama je rozdíl delt v horní a v dolní polovině druhého kroku dělený rozdílem příslušných cen akcie.
• Théta plyne z porovnání kořene a prostředního uzlu druhého kroku, kde je cena akcie stejná, ale uplynuly dva časové kroky.
• Vega a ró ve stromu obsaženy nejsou. Počítají se přeceněním: strom se postaví znovu s volatilitou nebo úrokovou mírou posunutou o malou hodnotu a citlivost je podíl rozdílu cen a velikosti posunu.

4.8Varianty a příbuzné metody

CRR není jediný způsob, jak strom nastavit. Jarrow-Ruddův strom volí pravděpodobnost \(\tfrac12\) a tempo růstu zabuduje do velikosti pohybů, Tianův strom se s lognormálním rozdělením shoduje i ve třetím momentu. Všechny konvergují ke stejné limitě; liší se rychlostí a hladkostí konvergence.

Trinomický strom přidává třetí možnost, že se cena nezmění. Při stejném počtu kroků je přesnější a snáz se přizpůsobí bariérám nebo proměnlivé volatilitě. Je to zároveň zvláštní případ obecnější rodiny metod konečných diferencí, které řeší Black-Scholesovu rovnici (kapitola 5) na pravidelné mřížce cen a časů. V bankovních systémech se americké a bariérové opce na jeden podklad oceňují většinou právě jimi; logika zpětného průchodu je ale stejná jako u stromu.trinomial tree, finite differences

Stromy a mřížky přestávají stačit ve dvou situacích. Když výplata závisí na celé cestě ceny, strom se nespojuje a počet uzlů roste exponenciálně s počtem kroků. A když opce závisí na více podkladech, roste počet uzlů mřížky exponenciálně s jejich počtem. V obou případech nastupuje Monte Carlo.

4.1Principle and parameters

The one-step model from the previous chapter is too coarse: a share has more than two possible prices in a year. The solution is to shorten the step and repeat it \(n\) times. After two steps the share has three possible prices, after three four, after \(n\) steps \(n+1\). As \(n\) grows, the distribution of terminal prices approaches the continuous distribution used by the Black-Scholes model.

What remains is to decide how much the price should rise or fall in one step. The most widely used set-up was proposed in 1979 by Cox, Ross and Rubinstein, hence the abbreviation CRR:

Each parameter has its reason:

• The move sizes \(u\) and \(d\) are chosen so that the variance of the return over one step is approximately \(\sigma^2\Delta t\). The standard deviation of returns grows with the square root of time, hence \(\sqrt{\Delta t}\) in the exponent.
• The condition \(d = 1/u\) ensures that a rise followed by a fall returns the price to its original value. The tree therefore recombines: after \(i\) steps it has only \(i+1\) nodes instead of \(2^i\).
• The probability \(p\) is risk-neutral: under it the share earns exactly \(e^{r\Delta t}\) per step on average. We derived it in chapter 3.

4.2Step by step

1. Compute \(\Delta t\), \(u\), \(d\) and \(p\).
2. Build the tree of share prices from left to right. After \(j\) up-moves out of \(i\) steps the price is \(S_0\,u^j d^{\,i-j}\).
3. Put the option payoff into the terminal nodes.
4. Go backwards (backward induction). The value in each node is the discounted weighted average of the values in the two nodes that follow it: \[V = e^{-r\Delta t}\big[\,p\,V_u + (1-p)\,V_d\,\big].\]
5. In the first node, the root of the tree, read off today’s option price.

4.3The tree as a sum

For a European option backward induction is not necessary. The terminal price depends only on the number of up-moves \(j\), not on their order, and the number of up-moves is binomially distributed. The price can therefore be written as a single sum:

\[C = e^{-rT}\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}p^{j}(1-p)^{n-j}\max\big(S_0u^{j}d^{\,n-j}-K,\;0\big).\]

In the three-step tree the four terminal nodes have probabilities 0.1608; 0.4047; 0.3395 and 0.0950. Only the first two give a non-zero payoff:

\[C = 0.9512\cdot(0.1608\cdot 41.40 + 0.4047\cdot 12.24) = 11.04\ \text{CZK}.\]

The sum is exactly the risk-neutral formula from chapter 3: probabilities times payoffs, discounted. The Black-Scholes formula arises when we let \(n\) go to infinity and the binomial distribution turns into the normal one.

4.4Convergence and how to speed it up

Three steps give 11.04 CZK, the exact value is 10.45 CZK. The error falls with the number of steps, but not smoothly (figure 4.2, left): the price alternates above and below the exact value. The reason is the position of the strike relative to the nodes. With an even number of steps one terminal node lies exactly on the strike, with an odd number the strike lies between two nodes, and the kinked payoff function is approximated differently each time.

The size of the error is roughly inversely proportional to the number of steps: at \(n = 100\) it is 2 hellers (0.02 CZK) and only 1,000 steps reduce it to a fifth of a heller. Meanwhile the computational cost grows with the square of the number of steps, because a tree with \(n\) steps has \((n+1)(n+2)/2\) nodes: 5,151 for \(n = 100\), already 501,501 for \(n = 1{,}000\).

In practice a plain CRR tree with thousands of steps is therefore not used. Table 4.1 shows four common improvements:

• Averaging the prices from an even and an odd number of steps cancels much of the saw-tooth oscillation.
• Smoothing the last step removes the kink in the payoff that causes the oscillation. The error then falls smoothly.
• Extrapolation exploits this: from two smoothed calculations with \(n\) and \(n/2\) steps it estimates the limit for an infinitely fine tree.
• The Leisen-Reimer tree (1996) chooses \(u\), \(d\) and \(p\) so that the strike lies in the centre of the tree. The error falls in proportion to \(1/n^2\) and with 101 steps it is less than a hundredth of a heller.

4.5American options

The main reason trees are used is early exercise. The holder of an American option decides at every moment whether to exercise or keep the option. In the tree this means a single change: in every node the continuation value is compared with the immediate payoff and the larger one is taken. For a put:

\[V = \max\Big(K - S,\;\; e^{-r\Delta t}\big[\,p\,V_u + (1-p)\,V_d\,\big]\Big).\]

In a tree with enough steps the American put from the example comes out at 6.09 CZK versus 5.57 CZK for the European one. The early-exercise right is therefore worth 0.52 CZK, about 9 % of the European put price.

The tree also shows when it pays to exercise. At every moment there is a critical price, the early-exercise boundary: if the share falls below it, it is better to exercise the put and earn interest on the strike received. One year before expiry the boundary lies at 80.9 CZK, half a year before at 83.9 CZK, and as expiry approaches it rises towards the strike (figure 4.3).

4.6Dividends

A dividend lowers the share price and with it the value of a call; it raises the value of a put. It can be introduced into the tree in two ways.

Continuous dividend yield. For indices and currencies the dividend (or the foreign interest rate) is modelled as a continuous yield \(q\). In the risk-neutral world the share then grows only at rate \(r-q\) and a single formula in the tree changes:

\[p = \frac{e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}.\]

With a yield of \(q = 2\,\%\) the call price from the example falls from 10.45 to 9.23 CZK and the put price rises from 5.57 to 6.33 CZK.

Discrete dividend. A single stock pays a known amount on a known date. The usual approach is to subtract the present value of the dividends from today’s price, build the tree for this “cleaned” price and add the dividends back in the nodes before the payment date.

When this happens is given by a simple rule. Early exercise comes into consideration only if the dividend exceeds the interest on the strike until expiry: \(D > K\big(1-e^{-r(T-t_D)}\big)\), where \(t_D\) is the dividend payment date. Here the right-hand side is 2.47 CZK, so a dividend of 3 CZK satisfies the condition. With a dividend of 2 CZK the American call would be worth the same as the European one.

4.7Greeks from the tree

The sensitivities covered in chapter 7 can be read directly from the tree nodes without further calculation:

• Delta is the ratio of the difference in option values to the difference in share prices in the first step: \((17.71-3.50)/(112.24-89.09) = 0.614\). The exact value is 0.6368.
• Gamma is the difference between the deltas in the upper and lower halves of the second step divided by the difference in the corresponding share prices.
• Theta follows from comparing the root with the middle node of the second step, where the share price is the same but two time steps have passed.
• Vega and rho are not contained in the tree. They are computed by revaluation: the tree is rebuilt with volatility or the interest rate shifted by a small amount and the sensitivity is the ratio of the price difference to the size of the shift.

4.8Variants and related methods

CRR is not the only way to set up a tree. The Jarrow-Rudd tree uses a probability of \(\tfrac12\) and builds the growth rate into the size of the moves; the Tian tree also matches the lognormal distribution in the third moment. All of them converge to the same limit; they differ in the speed and smoothness of convergence.

A trinomial tree adds a third possibility: the price does not change. With the same number of steps it is more accurate and adapts more easily to barriers or varying volatility. It is also a special case of the more general family of finite-difference methods, which solve the Black-Scholes equation (chapter 5) on a regular grid of prices and times. In banking systems, American and barrier options on a single underlying are mostly priced with these; the logic of backward induction is the same as in the tree.

Trees and grids stop being sufficient in two situations. When the payoff depends on the whole price path, the tree does not recombine and the number of nodes grows exponentially with the number of steps. And when the option depends on several underlyings, the number of grid nodes grows exponentially with their number. In both cases Monte Carlo takes over.

5.1Model pohybu ceny

Model předpokládá, že cena akcie se řídí geometrickým Brownovým pohybem. V zápisu pro krátký časový úsek \(\mathrm{d}t\):geometric Brownian motion (GBM)

\[\frac{\mathrm{d}S}{S} = \mu\,\mathrm{d}t + \sigma\,\mathrm{d}W.\]

Slovy: výnos za krátké období má střední hodnotu \(\mu\,\mathrm{d}t\) a směrodatnou odchylku \(\sigma\sqrt{\mathrm{d}t}\), je normálně rozdělený a nezávisí na tom, co se dělo předtím. Náhodnou část nese přírůstek \(\mathrm{d}W\) se střední hodnotou nula a směrodatnou odchylkou \(\sqrt{\mathrm{d}t}\). Parametr \(\mu\) je očekávaný výnos, \(\sigma\) volatilita; oba jsou konstantní.

Sečtením výnosů za celé období dostaneme cenu při splatnosti:

\[S_T = S_0\exp\Big[\big(\mu - \tfrac12\sigma^2\big)T + \sigma\sqrt{T}\,Z\Big],\qquad Z\sim N(0,1).\]

Logaritmus ceny je normálně rozdělený, cena sama má lognormální rozdělení: nemůže být záporná a její rozdělení je zešikmené doprava. Pro oceňování nahradíme podle kapitoly 3 očekávaný výnos \(\mu\) bezrizikovou mírou \(r\).lognormal distribution

V našem příkladu má cena za rok tyto vlastnosti (obrázek 5.1):

• střední hodnota je \(S_0e^{rT} = 105{,}13\) Kč, tedy forwardová cena,
• medián je \(S_0e^{(r-\sigma^2/2)T} = 103{,}05\) Kč; je nižší než střední hodnota, protože tu táhnou nahoru vysoké ceny,
• zhruba s pravděpodobností 68 % skončí cena mezi 84,37 a 125,86 Kč a s pravděpodobností 95 % mezi 69,07 a 153,73 Kč (jedna a dvě směrodatné odchylky logaritmu ceny),
• nad realizační cenou 100 Kč skončí s pravděpodobností 56,0 %.

Člen \(-\tfrac12\sigma^2\) v exponentu je daň za kolísání. Kdo jeden rok vydělá 20 % a druhý 20 % ztratí, skončí na \(1{,}2\cdot 0{,}8 = 0{,}96\), ne na jedničce. Průměrný výnos je nula, ale složený výnos je záporný, a to tím víc, čím větší je volatilita.

5.2Od zajištění k rovnici

Původní odvození Blacka, Scholese a Mertona z roku 1973 stojí na stejné myšlence jako jednokrokový model: opci lze zajistit akcií, jen se zajištění musí neustále upravovat.

Mějme portfolio z jedné koupené opce a \(\Delta\) prodaných akcií. Jeho hodnota je \(\Pi = V - \Delta S\). Za krátký okamžik se změní o

\[\mathrm{d}\Pi = \mathrm{d}V - \Delta\,\mathrm{d}S.\]

Hodnota opce \(V(S,t)\) se mění ze dvou důvodů: plyne čas a hýbe se akcie. Protože je \(V\) zakřivená funkce ceny, přispívá i druhá derivace (to je obsah Itôova lemmatu):

\[\mathrm{d}V = \frac{\partial V}{\partial t}\,\mathrm{d}t + \frac{\partial V}{\partial S}\,\mathrm{d}S + \frac12\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\,\mathrm{d}t.\]

Zvolíme-li \(\Delta = \partial V/\partial S\), náhodné členy s \(\mathrm{d}S\) se vyruší a zbude

\[\mathrm{d}\Pi = \Big(\frac{\partial V}{\partial t} + \frac12\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}\Big)\mathrm{d}t.\]

V této změně už není nic náhodného. Portfolio bez rizika musí vynášet bezrizikový úrok, \(\mathrm{d}\Pi = r\,\Pi\,\mathrm{d}t\), jinak by vznikla arbitráž. Po dosazení dostaneme Black-Scholesovu rovnici; zapíšeme ji rovnou řeckými písmeny \(\Theta = \partial V/\partial t\), \(\Delta = \partial V/\partial S\) a \(\Gamma = \partial^2V/\partial S^2\):Black-Scholes PDE

Rovnice platí pro každou opci na daný podklad; jednotlivé opce se liší jen výplatou při splatnosti. Stojí za povšimnutí, co v ní chybí: očekávaný výnos \(\mu\). Vypadl ve chvíli, kdy jsme se zajistili.

5.3Vzorec a jeho čtení

Řešením rovnice s výplatou \(\max(S_T-K,0)\) je Black-Scholesův vzorec. Stejný výsledek dá přímý výpočet střední hodnoty \(e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\max(S_T-K,0)]\) s lognormálním rozdělením.

\(N(x)\) je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení, tedy pravděpodobnost, že veličina s tímto rozdělením nepřesáhne \(x\). Tabulku najdete v příloze B.

Členy vzorce pro call mají věcný význam:

• \(N(d_2)\) je rizikově neutrální pravděpodobnost, že opce skončí v penězích. Člen \(Ke^{-rT}N(d_2)\) je tedy dnešní hodnota očekávané platby realizační ceny.
• \(S_0N(d_1)\) je dnešní hodnota akcie, kterou držitel dostane, pokud opci uplatní. Je větší než \(S_0N(d_2)\), protože ve scénářích, kdy se opce uplatní, je akcie nadprůměrně drahá.
• \(N(d_1)\) je zároveň delta: počet akcií, kterými se opce zajišťuje. Vzorec tak přímo říká, z čeho se replikační portfolio skládá: \(N(d_1)\) koupených akcií a půjčka \(Ke^{-rT}N(d_2)\).

5.4Výpočet na příkladu

5.5Jak se cena chová

Obrázek 5.2 ukazuje hodnotu callu v závislosti na ceně akcie pro tři doby do splatnosti. Vzdálenost křivky od lomené čáry výplaty je časová hodnota. Je největší kolem realizační ceny a s blížící se splatností mizí.

Tabulka 5.1 přidává dva další pohledy: jak cena roste s volatilitou a s dobou do splatnosti.

Call z příkladu; mění se vždy jen jeden vstup.

Krajní případy stojí za to znát zpaměti, protože slouží jako kontrola každého výpočtu:

• Hluboko v penězích se call chová jako forward: \(C \to S_0 - Ke^{-rT}\) a delta se blíží jedné.
• Hluboko mimo peníze je cena téměř nulová a delta také.
• Při nulové volatilitě zbývá \(\max(S_0 - Ke^{-rT},0)\), tedy dolní hranice z kapitoly 2.
• V den splatnosti se cena rovná výplatě.

5.6Jeden vzorec pro všechny trhy

Vzorec lze přepsat tak, že v něm místo dnešní ceny vystupuje forward \(F\). V tomto tvaru ho v roce 1976 pro opce na futures, burzovní obdobu forwardů, zavedl Fischer Black a dealeři v něm většinou uvažují:Black-76, cost of carry

Výhoda je, že veškeré rozdíly mezi trhy se schovají do výpočtu forwardu. Zbytek vzorce zůstává stejný:

Úprava pro dividendový výnos pochází od Mertona (1973), měnovou verzi publikovali Garman a Kohlhagen (1983). Podrobnosti a příklady jsou v kapitole 10.

5.7Kde model nesedí

Vzorec stojí na předpokladech, které trh nesplňuje:

• Volatilita není konstantní. Mění se v čase a opce s různou realizační cenou trh oceňuje různou volatilitou.
• Výnosy nemají normální rozdělení. Velké pohyby jsou častější, než model připouští, a ceny se občas mění skokem.
• Zajišťovat nelze spojitě ani zadarmo. Úpravy zajištění jsou skokové a platí se za ně transakční náklady.
• Vzorec platí jen pro evropské opce. Výplata smí záviset jen na koncové ceně.

5.1The price model

The model assumes that the share price follows a geometric Brownian motion. Written for a short time interval \(\mathrm{d}t\):

\[\frac{\mathrm{d}S}{S} = \mu\,\mathrm{d}t + \sigma\,\mathrm{d}W.\]

In words: the return over a short period has mean \(\mu\,\mathrm{d}t\) and standard deviation \(\sigma\sqrt{\mathrm{d}t}\), is normally distributed and does not depend on what happened before. The random part is carried by the increment \(\mathrm{d}W\) with mean zero and standard deviation \(\sqrt{\mathrm{d}t}\). The parameter \(\mu\) is the expected return, \(\sigma\) the volatility; both are constant.

Summing the returns over the whole period gives the price at expiry:

\[S_T = S_0\exp\Big[\big(\mu - \tfrac12\sigma^2\big)T + \sigma\sqrt{T}\,Z\Big],\qquad Z\sim N(0,1).\]

The logarithm of the price is normally distributed, the price itself has a lognormal distribution: it cannot be negative and its distribution is skewed to the right. For pricing, following chapter 3, we replace the expected return \(\mu\) by the risk-free rate \(r\).

In our example the price in one year has these properties (figure 5.1):

• the mean is \(S_0e^{rT} = 105.13\) CZK, i.e. the forward price,
• the median is \(S_0e^{(r-\sigma^2/2)T} = 103.05\) CZK; it is lower than the mean because high prices pull the mean up,
• with a probability of roughly 68 % the price ends between 84.37 and 125.86 CZK and with 95 % between 69.07 and 153.73 CZK (one and two standard deviations of the log price),
• it ends above the strike of 100 CZK with a probability of 56.0 %.

The term \(-\tfrac12\sigma^2\) in the exponent is the tax on volatility. Someone who gains 20 % one year and loses 20 % the next ends at \(1.2\cdot 0.8 = 0.96\), not at one. The average return is zero but the compound return is negative, and the more so the higher the volatility.

5.2From hedging to the equation

The original derivation by Black, Scholes and Merton from 1973 rests on the same idea as the one-step model: the option can be hedged with the share, only the hedge has to be adjusted continuously.

Take a portfolio of one long option and \(\Delta\) short shares. Its value is \(\Pi = V - \Delta S\). Over a short moment it changes by

\[\mathrm{d}\Pi = \mathrm{d}V - \Delta\,\mathrm{d}S.\]

The option value \(V(S,t)\) changes for two reasons: time passes and the share moves. Because \(V\) is a curved function of the price, the second derivative also contributes (that is the content of Itô’s lemma):

\[\mathrm{d}V = \frac{\partial V}{\partial t}\,\mathrm{d}t + \frac{\partial V}{\partial S}\,\mathrm{d}S + \frac12\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\,\mathrm{d}t.\]

If we choose \(\Delta = \partial V/\partial S\), the random terms in \(\mathrm{d}S\) cancel and what remains is

\[\mathrm{d}\Pi = \Big(\frac{\partial V}{\partial t} + \frac12\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}\Big)\mathrm{d}t.\]

There is nothing random left in this change. A riskless portfolio must earn the risk-free rate, \(\mathrm{d}\Pi = r\,\Pi\,\mathrm{d}t\), otherwise there would be arbitrage. Substituting gives the Black-Scholes equation; we write it directly in terms of the Greeks \(\Theta = \partial V/\partial t\), \(\Delta = \partial V/\partial S\) and \(\Gamma = \partial^2V/\partial S^2\):

The equation holds for every option on a given underlying; individual options differ only in their payoff at expiry. Note what is missing from it: the expected return \(\mu\). It dropped out the moment we hedged.

5.3The formula and how to read it

Solving the equation with the payoff \(\max(S_T-K,0)\) gives the Black-Scholes formula. The same result follows from directly computing the expected value \(e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\max(S_T-K,0)]\) with the lognormal distribution.

\(N(x)\) is the cumulative distribution function of the standard normal distribution, i.e. the probability that a variable with this distribution does not exceed \(x\). You will find a table in appendix B.

The terms of the call formula have a concrete meaning:

• \(N(d_2)\) is the risk-neutral probability that the option ends in the money. The term \(Ke^{-rT}N(d_2)\) is therefore today’s value of the expected payment of the strike.
• \(S_0N(d_1)\) is today’s value of the share the holder receives if they exercise. It is larger than \(S_0N(d_2)\) because in the scenarios where the option is exercised the share is above-average expensive.
• \(N(d_1)\) is also the delta: the number of shares with which the option is hedged. The formula thus says directly what the replicating portfolio consists of: \(N(d_1)\) long shares and a loan of \(Ke^{-rT}N(d_2)\).

5.4Worked example

5.5How the price behaves

Figure 5.2 shows the call value as a function of the share price for three times to expiry. The distance between the curve and the kinked payoff line is the time value. It is largest around the strike and vanishes as expiry approaches.

Table 5.1 adds two more views: how the price grows with volatility and with time to expiry.

Call from the example; only one input changes at a time.

The limiting cases are worth knowing by heart because they serve as a check of every calculation:

• Deep in the money a call behaves like a forward: \(C \to S_0 - Ke^{-rT}\) and delta approaches one.
• Deep out of the money the price is almost zero and so is delta.
• With zero volatility what remains is \(\max(S_0 - Ke^{-rT},0)\), the lower bound from chapter 2.
• On the expiry date the price equals the payoff.

5.6One formula for all markets

The formula can be rewritten so that the forward \(F\) appears instead of today’s price. In this form it was introduced by Fischer Black in 1976 for options on futures, the exchange-traded counterpart of forwards, and it is how dealers mostly think about it:

The advantage is that all differences between markets are hidden in the calculation of the forward. The rest of the formula stays the same:

The adjustment for a dividend yield comes from Merton (1973), the currency version was published by Garman and Kohlhagen (1983). Details and examples are in chapter 10.

5.7Where the model does not fit

The formula rests on assumptions that the market does not satisfy:

• Volatility is not constant. It changes over time and the market prices options with different strikes at different volatilities.
• Returns are not normally distributed. Large moves are more frequent than the model allows, and prices sometimes jump.
• Hedging is neither continuous nor free. Hedge adjustments are discrete and transaction costs are paid for them.
• The formula holds only for European options. The payoff may depend only on the terminal price.

6.1Princip

Rizikově neutrální vzorec říká, že cena opce je diskontovaná střední hodnota výplaty. Střední hodnotu lze odhadnout průměrem z velkého počtu náhodných pokusů; že průměr k ní konverguje, zaručuje zákon velkých čísel. Na opce metodu poprvé použil Phelim Boyle v roce 1977.Monte Carlo simulation, sample path

1. Vygenerovat \(M\) náhodných scénářů vývoje ceny v rizikově neutrálním světě. Jednomu scénáři se říká cesta.
2. Pro každou cestu spočítat výplatu opce.
3. Výplaty zprůměrovat a průměr diskontovat: \[\hat V = e^{-rT}\,\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}\text{výplata}\big(S^{(i)}\big).\]
4. Ze směrodatné odchylky výplat spočítat chybu odhadu.

Čtvrtý krok není formalita. Výsledek simulace je náhodné číslo a bez údaje o chybě nemá cenu.

6.2Simulace ceny akcie

V Black-Scholesově modelu určuje cenu při splatnosti jediné náhodné číslo \(Z\) z normovaného normálního rozdělení:

\[S_T = S_0\exp\Big[\big(r-\tfrac12\sigma^2\big)T + \sigma\sqrt{T}\,Z\Big].\]

Pokud výplata závisí na průběhu ceny, simuluje se celá cesta po krocích \(\Delta t\) týmž vzorcem:

\[S_{t+\Delta t} = S_t\exp\Big[\big(r-\tfrac12\sigma^2\big)\Delta t + \sigma\sqrt{\Delta t}\,Z_t\Big].\]

Obrázek 6.1 ukazuje 25 takových cest s týdenním krokem.

6.3Chyba odhadu

Odhad \(\hat V\) je průměr \(M\) nezávislých hodnot, a proto má přibližně normální rozdělení se směrodatnou odchylkou

kde \(s\) je směrodatná odchylka diskontovaných výplat. U callu z příkladu je \(s = 14{,}7\) Kč, tedy víc než cena opce sama: bezmála polovina cest nevyplatí nic a několik vyplatí hodně.standard error, confidence interval

Chyba klesá s odmocninou počtu cest (obrázek 6.2). Při 83 500 cestách je interval ±0,10 Kč; na ±0,01 Kč je jich potřeba 8,3 milionu. Každé další desetinné místo stojí stokrát víc práce.

Proti stromu to vypadá špatně: tam chyba klesala úměrně \(1/n\). Monte Carlo má ale jednu vlastnost, kterou strom nemá. Rychlost \(1/\sqrt{M}\) nezávisí na tom, na kolika podkladech nebo časových krocích výplata závisí. Přidat druhou akcii nebo denní sledování ceny znamená jen generovat víc náhodných čísel na jednu cestu.

6.4Jak chybu snížit bez dalších cest

Směrodatná chyba je \(s/\sqrt{M}\). Kdo nechce zvětšovat \(M\), musí zmenšit \(s\). Technikám, které to dělají, se říká redukce rozptylu.variance reduction

Antitetické proměnné. Ke každému \(Z\) se použije i \(-Z\) a obě výplaty se zprůměrují. Když jedna cesta skončí vysoko, její zrcadlový obraz skončí nízko a chyby se zčásti vyruší.antithetic variates

Kontrolní proměnná. Spolu s opcí se na stejných cestách ocení veličina, jejíž přesnou hodnotu známe, a odhad ceny opce se opraví o chybu, kterou simulace u této veličiny udělala. Nejjednodušší kontrolní proměnnou je akcie sama: její diskontovaná střední hodnota musí být \(S_0\). Čím těsněji je kontrolní proměnná s oceňovanou opcí svázaná, tím víc pomůže.control variate

Výběr podle důležitosti. U opcí hluboko mimo peníze skončí většina cest s nulovou výplatou a simulace jimi plýtvá. Cesty se proto generují s posunutým driftem (tempem růstu), aby jich víc dopadlo do oblasti, kde opce něco vyplatí, a každá výplata se vynásobí vahou, která posun kompenzuje.importance sampling

Rovnoměrnější pokrytí. Náhodná čísla se shlukují a nechávají díry. Stratifikace rozdělí rozsah na stejně pravděpodobné přihrádky a z každé vezme jedno číslo. Kvazináhodné posloupnosti, nejčastěji Sobolova, jdou dál a pokrývají rovnoměrně i vícerozměrný prostor (obrázek 6.3).stratified sampling, quasi-Monte Carlo, Sobol sequence

Čísla v tabulce 6.1 je třeba číst s rozmyslem. Evropský call závisí na jediném náhodném čísle a v jednom rozměru je rovnoměrné pokrytí mimořádně účinné. U výplat závislých na stovkách náhodných čísel je zisk z kvazináhodných posloupností menší, typicky jeden až dva řády, a závisí na tom, jak se čísla cestám přiřadí. Kontrolní proměnné a výběr podle důležitosti naopak fungují stejně dobře v libovolném rozměru.

6.5Opce závislé na cestě

Skutečným polem působnosti simulace Monte Carlo jsou opce, jejichž výplata závisí na průběhu ceny, ne jen na koncové hodnotě.path-dependent option

Asijská opce

Asijská opce vyplácí rozdíl mezi průměrnou cenou za dobu trvání opce a realizační cenou, je-li kladný. Používá se u komodit a měn, kde se zajišťuje průběžný nákup, a všude, kde hrozí manipulace s cenou v jediný den. Pro aritmetický průměr neexistuje uzavřený vzorec, protože součet lognormálních veličin lognormální není.Asian (average-price) option

Simulace je přímočará: na každé cestě se zprůměruje 252 denních cen a spočítá výplata. Prosté Monte Carlo se 100 000 cestami dá 5,788 Kč se směrodatnou chybou 0,0254 Kč.

Zde se ukáže síla dobré kontrolní proměnné. Pro geometrický průměr vzorec existuje (součin lognormálních veličin lognormální je) a dává 5,5655 Kč. Geometrický a aritmetický průměr téže cesty se téměř neliší; korelace obou výplat je 0,9996. Použijeme-li geometrickou asijskou opci jako kontrolní proměnnou (Kemna a Vorst, 1990), klesne směrodatná chyba na 0,00070 Kč. Prosté Monte Carlo by ke stejné přesnosti potřebovalo 1 320krát víc cest. S milionem cest vychází cena na 5,781 ± 0,001 Kč.

Asijská opce je o 45 % levnější než evropská se stejnými vstupy. Průměrování tlumí výkyvy: průměr ceny kolísá méně než cena sama.

Bariérová opce

Bariérová opce zaniká, nebo naopak vzniká, když cena podkladu protne stanovenou úroveň. Kupní opce, která zaniká při dotyku horní bariéry 130 Kč (up-and-out call), se chová jako běžný call, dokud akcie nevystoupí na 130 Kč; pak propadá bez náhrady. Je výrazně levnější, protože odřezává právě ty scénáře, ve kterých by vyplatila nejvíc.barrier option; knock-out, knock-in

Pro bariéru sledovanou nepřetržitě vzorec existuje a dává 3,33 Kč, tedy o 68 % méně než běžný call. Smlouvy ale obvykle určují, že se bariéra sleduje jen podle závěrečných cen jednotlivých dní. Mezi dvěma termíny sledování může cena bariéru překročit a vrátit se, aniž opce zanikne, takže diskrétně sledovaná opce je dražší.

Tabulka 6.2 srovnává simulaci s přibližným vzorcem, který odvodili Broadie, Glasserman a Kou (1997): diskrétně sledovanou opci lze ocenit vzorcem pro nepřetržitě sledovanou bariéru, když se bariéra posune dál od ceny na \(H\,e^{0{,}5826\,\sigma\sqrt{\Delta t}}\), kde \(H\) je bariéra a \(\Delta t\) interval mezi termíny sledování. Při denním sledování to znamená bariéru 130,96 Kč místo 130 Kč a shoda se simulací je na setiny. Při měsíčním sledování už korekce cenu nadhodnocuje.continuity correction

6.6Více podkladů a korelace

U opcí na dva a více podkladů je třeba simulovat ceny, které se pohybují společně. Pro dvě akcie s korelací \(\rho\) stačí ze dvou nezávislých čísel \(Z_1\) a \(\varepsilon\) složit

\[Z_2 = \rho Z_1 + \sqrt{1-\rho^2}\,\varepsilon.\]

Číslo \(Z_1\) pohání první akcii, \(Z_2\) druhou. Pro více podkladů se stejný krok zobecní Choleského rozkladem korelační matice.Cholesky decomposition, basket option

Tento příklad ukazuje obecný pracovní postup: nová simulace se nejdřív ověří na výplatě, pro kterou existuje vzorec, a teprve potom se použije na výplatu, pro kterou neexistuje.

6.7Řecká písmena ze simulace

Citlivost ceny na vstup se ze simulace počítá třemi způsoby. Ukážeme je na deltě, jejíž přesná hodnota je 0,6368.bump and revalue, pathwise, likelihood ratio

Přecenění. Opce se ocení při ceně akcie o korunu vyšší a o korunu nižší a rozdíl se vydělí dvěma. Rozhodující je použít pro obě ocenění stejná náhodná čísla. S různými čísly se odečítají dva nezávislé šumy a výsledek je nepoužitelný.

Derivace po cestách. Výplata se zderivuje podle \(S_0\) na každé cestě zvlášť a derivace se zprůměrují. Pro call je derivace výplaty \(S_T/S_0\) na cestách, které skončí v penězích, jinak nula.

Metoda věrohodnostního poměru. Místo výplaty se derivuje hustota pravděpodobnosti. Výplata se na každé cestě vynásobí vahou \(Z/(S_0\sigma\sqrt{T})\). Metoda má větší rozptyl, ale funguje i pro nespojité výplaty, kde derivace po cestách selhává.

6.8Americké opce: metoda nejmenších čtverců

Předčasné uplatnění je pro simulaci těžké. Držitel se rozhoduje podle toho, zda je okamžitá výplata vyšší než hodnota dalšího držení, a ta je sama střední hodnotou přes všechny možné budoucí scénáře. Strom ji zná, protože postupuje odzadu. Simulace jde dopředu a na jedné cestě vidí jen jednu budoucnost.

Řešení, které se prosadilo, navrhl Carriere (1996) a do praxe uvedli Longstaff a Schwartz (2001). Hodnota dalšího držení se odhadne regresí přes všechny cesty najednou.least-squares Monte Carlo (LSM)

1. Nasimulovat cesty až do splatnosti a do každé zapsat výplatu při splatnosti.
2. Jít po termínech uplatnění odzadu. V každém termínu vzít cesty, které jsou v penězích, a proložit jimi křivku: na vodorovné ose cena akcie, na svislé diskontovaný budoucí peněžní tok z opce na téže cestě.
3. Křivku vzít jako odhad hodnoty držení: kde je okamžitá výplata vyšší, opci na cestě uplatnit a budoucí tok nahradit výplatou.
4. Na začátku zprůměrovat diskontované toky všech cest.

Pro put z příkladu s 50 termíny uplatnění a 100 000 cestami dává metoda 6,067 ± 0,027 Kč. Strom se stejnými termíny dává 6,079 Kč, s uplatněním kdykoli 6,09 Kč. Odhad leží v mezích chyby, mírně pod hodnotou ze stromu. Nižší výsledek je pro metodu typický: pravidlo uplatnění odvozené z regrese není dokonalé a nedokonalé pravidlo nemůže dát víc než optimální.

Obrázek 6.4 ukazuje i slabinu. Křivka hodnoty držení a přímka okamžité výplaty se kolem hranice téměř dotýkají, takže průsečík je určen nepřesně. Na ceně se to skoro neprojeví ze stejného důvodu: kde jsou obě hodnoty téměř stejné, je jedno, jak se držitel rozhodne.

6.1Principle

The risk-neutral formula says that the option price is the discounted expected payoff. The expected value can be estimated by the average of a large number of random trials; the law of large numbers guarantees that the average converges to it. Phelim Boyle first applied the method to options in 1977.

1. Generate \(M\) random scenarios of the price path in the risk-neutral world. One scenario is called a path.
2. Compute the option payoff for each path.
3. Average the payoffs and discount the average: \[\hat V = e^{-rT}\,\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}\text{payoff}\big(S^{(i)}\big).\]
4. Compute the error of the estimate from the standard deviation of the payoffs.

The fourth step is not a formality. The result of a simulation is a random number and without an error estimate it is worthless.

6.2Simulating the share price

In the Black-Scholes model the price at expiry is determined by a single random number \(Z\) from the standard normal distribution:

\[S_T = S_0\exp\Big[\big(r-\tfrac12\sigma^2\big)T + \sigma\sqrt{T}\,Z\Big].\]

If the payoff depends on the price path, the whole path is simulated in steps of \(\Delta t\) with the same formula:

\[S_{t+\Delta t} = S_t\exp\Big[\big(r-\tfrac12\sigma^2\big)\Delta t + \sigma\sqrt{\Delta t}\,Z_t\Big].\]

Figure 6.1 shows 25 such paths with a weekly step.

6.3Estimation error

The estimate \(\hat V\) is an average of \(M\) independent values and is therefore approximately normally distributed with standard deviation

where \(s\) is the standard deviation of the discounted payoffs. For the call from the example \(s = 14.7\) CZK, i.e. more than the option price itself: almost half of the paths pay nothing and a few pay a lot.

The error falls with the square root of the number of paths (figure 6.2). With 83,500 paths the interval is ±0.10 CZK; for ±0.01 CZK 8.3 million are needed. Every further decimal place costs a hundred times more work.

Compared with the tree this looks bad: there the error fell in proportion to \(1/n\). But Monte Carlo has one property the tree lacks. The rate \(1/\sqrt{M}\) does not depend on how many underlyings or time steps the payoff depends on. Adding a second share or daily price monitoring just means generating more random numbers per path.

6.4Reducing the error without more paths

The standard error is \(s/\sqrt{M}\). Anyone who does not want to increase \(M\) has to reduce \(s\). Techniques that do this are called variance reduction.

Antithetic variates. For each \(Z\), \(-Z\) is used as well and the two payoffs are averaged. When one path ends high, its mirror image ends low and the errors partly cancel.

Control variate. Along with the option, a quantity whose exact value we know is priced on the same paths, and the option estimate is corrected by the error the simulation made on that quantity. The simplest control variate is the share itself: its discounted expected value must be \(S_0\). The more closely the control variate is tied to the option being priced, the more it helps.

Importance sampling. For deep out-of-the-money options most paths end with a zero payoff and the simulation wastes them. Paths are therefore generated with a shifted drift (growth rate) so that more of them land where the option pays something, and each payoff is multiplied by a weight that compensates for the shift.

More even coverage. Random numbers cluster and leave gaps. Stratified sampling divides the range into equally probable bins and takes one number from each. Quasi-random sequences, most often the Sobol sequence, go further and cover even a multidimensional space evenly (figure 6.3).

The numbers in Table 6.1 must be read with care. The European call depends on a single random number, and in one dimension even coverage is exceptionally effective. For payoffs depending on hundreds of random numbers the gain from quasi-random sequences is smaller, typically one to two orders of magnitude, and depends on how the numbers are assigned to the paths. Control variates and importance sampling, by contrast, work equally well in any dimension.

6.5Path-dependent options

The real domain of Monte Carlo simulation is options whose payoff depends on the course of the price, not just on its terminal value.

Asian option

An Asian option pays the difference between the average price over the life of the option and the strike, if positive. It is used for commodities and currencies, where ongoing purchases are hedged, and wherever there is a risk of price manipulation on a single day. For the arithmetic average there is no closed-form formula, because a sum of lognormal variables is not lognormal.

The simulation is straightforward: on each path the 252 daily prices are averaged and the payoff computed. Plain Monte Carlo with 100,000 paths gives 5.788 CZK with a standard error of 0.0254 CZK.

Here the power of a good control variate shows. For the geometric average a formula exists (a product of lognormal variables is lognormal) and gives 5.5655 CZK. The geometric and arithmetic averages of the same path hardly differ; the correlation of the two payoffs is 0.9996. Using the geometric Asian option as a control variate (Kemna and Vorst, 1990), the standard error falls to 0.00070 CZK. Plain Monte Carlo would need 1,320 times more paths for the same precision. With a million paths the price comes out at 5.781 ± 0.001 CZK.

The Asian option is 45 % cheaper than a European one with the same inputs. Averaging dampens fluctuations: the average price fluctuates less than the price itself.

Barrier option

A barrier option is knocked out, or conversely knocked in, when the price of the underlying crosses a specified level. A call that is knocked out when it touches an upper barrier of 130 CZK (up-and-out call) behaves like an ordinary call until the share rises to 130 CZK; then it expires worthless. It is considerably cheaper because it cuts off exactly the scenarios in which it would pay the most.

For a continuously monitored barrier a formula exists and gives 3.33 CZK, i.e. 68 % less than an ordinary call. Contracts, however, usually specify that the barrier is monitored only on daily closing prices. Between two monitoring dates the price can cross the barrier and come back without the option being knocked out, so a discretely monitored option is more expensive.

Table 6.2 compares the simulation with an approximate formula derived by Broadie, Glasserman and Kou (1997): a discretely monitored option can be priced with the formula for a continuously monitored barrier if the barrier is shifted away from the price to \(H\,e^{0.5826\,\sigma\sqrt{\Delta t}}\), where \(H\) is the barrier and \(\Delta t\) the interval between monitoring dates. With daily monitoring this means a barrier of 130.96 CZK instead of 130 CZK, and the agreement with the simulation is within hundredths. With monthly monitoring the correction already overprices.

6.6Several underlyings and correlation

For options on two or more underlyings, prices that move together must be simulated. For two shares with correlation \(\rho\) it is enough to combine two independent numbers \(Z_1\) and \(\varepsilon\) into

\[Z_2 = \rho Z_1 + \sqrt{1-\rho^2}\,\varepsilon.\]

The number \(Z_1\) drives the first share, \(Z_2\) the second. For more underlyings the same step is generalised by the Cholesky decomposition of the correlation matrix.

This example shows the general workflow: a new simulation is first verified on a payoff for which a formula exists, and only then used for a payoff for which none exists.

6.7Greeks from simulation

The sensitivity of the price to an input is computed from a simulation in three ways. We illustrate them on delta, whose exact value is 0.6368.

Bump and revalue. The option is priced at a share price one koruna higher and one koruna lower and the difference is divided by two. It is crucial to use the same random numbers for both valuations. With different numbers, two independent noises are subtracted and the result is useless.

Pathwise derivative. The payoff is differentiated with respect to \(S_0\) on each path separately and the derivatives are averaged. For a call the derivative of the payoff is \(S_T/S_0\) on paths that end in the money, zero otherwise.

Likelihood ratio method. Instead of the payoff, the probability density is differentiated. The payoff on each path is multiplied by the weight \(Z/(S_0\sigma\sqrt{T})\). The method has a larger variance but also works for discontinuous payoffs, where the pathwise derivative fails.

6.8American options: least-squares Monte Carlo

Early exercise is hard for simulation. The holder decides depending on whether the immediate payoff is higher than the value of continuing to hold, and that is itself an expected value over all possible future scenarios. The tree knows it because it proceeds backwards. A simulation goes forward and on a single path sees only one future.

The solution that prevailed was proposed by Carriere (1996) and brought into practice by Longstaff and Schwartz (2001). The continuation value is estimated by a regression across all paths at once.

1. Simulate paths up to expiry and record the payoff at expiry on each.
2. Go backwards through the exercise dates. At each date take the paths that are in the money and fit a curve through them: share price on the horizontal axis, discounted future cash flow from the option on the same path on the vertical axis.
3. Take the curve as an estimate of the continuation value: where the immediate payoff is higher, exercise the option on that path and replace the future cash flow by the payoff.
4. At the start, average the discounted cash flows of all paths.

For the put from the example with 50 exercise dates and 100,000 paths the method gives 6.067 ± 0.027 CZK. A tree with the same dates gives 6.079 CZK, with exercise at any time 6.09 CZK. The estimate lies within the error, slightly below the tree value. A lower result is typical for the method: the exercise rule derived from the regression is not perfect, and an imperfect rule cannot give more than the optimal one.

Figure 6.4 also shows the weak point. The continuation-value curve and the immediate-payoff line almost touch around the boundary, so their intersection is determined imprecisely. It hardly shows in the price for the same reason: where the two values are almost equal, it does not matter how the holder decides.

7.1Co řecká písmena říkají

Hodnota opce závisí na ceně podkladu, čase, volatilitě a úrokové míře. Řecká písmena jsou derivace hodnoty podle těchto vstupů. Dohromady dávají rozklad změny hodnoty za krátké období:the Greeks, risk sensitivities

Každý člen odpovídá jednomu zdroji zisku nebo ztráty: pohybu podkladu (delta), velikosti pohybu (gama), plynutí času (théta), změně volatility (vega, značená \(\mathcal{V}\)) a změně úrokových měr (ró). Tabulka 7.1 uvádí vzorce v Black-Scholesově modelu a hodnoty pro náš příklad.

7.2Delta

Delta je sklon křivky hodnoty opce: o kolik korun se změní hodnota, když akcie zdraží o korunu. Call z příkladu má deltu 0,64, put −0,36. Delta callu leží mezi nulou a jedničkou, delta putu mezi minus jedničkou a nulou.delta, hedge ratio

Deltu lze číst třemi způsoby a dealer používá všechny:

• Zajišťovací poměr. Kdo prodal call s deltou 0,64, zajistí se nákupem 0,64 akcie na každou opci. Malý pohyb akcie pak hodnotu celku nezmění.
• Ekvivalent v akciích. Opce se z hlediska směru chová jako 0,64 akcie. Pozice se proto sčítají v „deltách“ za opce, akcie i futures dohromady.
• Hrubý odhad rizikově neutrální pravděpodobnosti, že opce skončí v penězích. Přesně je to \(N(d_2) = 56{,}0\,\%\), ne \(N(d_1) = 63{,}7\,\%\), ale u krátkých splatností jsou si obě čísla blízká. Opce s deltou 0,25, mezi dealery „pětadvacetideltová“, se proto běžně chápe jako opce s asi čtvrtinovou šancí.

Delta platí jen pro malé pohyby. Při růstu akcie o 5 Kč zdraží call o 3,407 Kč, kdežto delta slibuje 3,184 Kč; při poklesu o 5 Kč zlevní jen o 2,940 Kč. Rozdíl ve prospěch držitele opce je dílem gamy.

7.3Gama

Gama měří, jak rychle se mění delta. Call z příkladu má gamu 0,0188: když akcie zdraží o korunu, vzroste delta z 0,6368 na přibližně 0,6556. Gama je u koupených opcí vždy kladná, u callu i putu stejná, a je to nejdůležitější číslo pro každého, kdo opce zajišťuje.gamma; long / short gamma

S gamou je odhad změny ceny přesnější o řád:

\[\delta V \approx \Delta\,\delta S + \tfrac12\Gamma(\delta S)^2 = 0{,}6368\cdot 5 + \tfrac12\cdot 0{,}01876\cdot 25 = 3{,}419\ \text{Kč}\]

proti přesným 3,407 Kč. Druhý člen je kladný při růstu i při poklesu. Kdo má dlouhou gamu, vydělává na pohybu kterýmkoli směrem; kdo má krátkou, na pohybu prodělává.

Dvě vlastnosti gamy určují, kdy je zajišťování těžké (obrázek 7.1):

• Gama je největší poblíž realizační ceny a rychle klesá na obě strany.
• S blížící se splatností gama na penězích roste: rok před splatností 0,0188, měsíc před ní 0,0687, týden před ní 0,1437. Opce na penězích těsně před splatností mění deltu z nuly na jedničku při pohybu o pár korun.

7.4Théta

Théta je změna hodnoty opce za jeden den, když se nic jiného nezmění. U koupené opce je téměř vždy záporná: call z příkladu ztrácí 0,0176 Kč denně, v ročním vyjádření 6,414 Kč.theta, time decay

Théta a gama jsou dvě strany téže mince. Kdo drží opci, má dlouhou gamu a platí za ni thétou; kdo opci prodal, inkasuje thétu a nese krátkou gamu. Přesný vztah dává Black-Scholesova rovnice z kapitoly 5 a vrátíme se k němu v oddílu 8.3.

Stejně jako gama se théta s blížící se splatností soustřeďuje kolem realizační ceny. Call na penězích ztrácí rok před splatností 0,0176 Kč denně, měsíc před ní 0,0447 Kč a týden před ní 0,0857 Kč. Časový rozpad tedy není rovnoměrný; zrychluje.

7.5Vega

Vega je citlivost na volatilitu, kterou trh opci oceňuje (implikovanou volatilitu, kapitola 9): o kolik se změní hodnota opce, když trh začne oceňovat volatilitou o jeden procentní bod vyšší. Call i put z příkladu mají vegu 0,375 Kč. Vzroste-li volatilita z 20 na 21 %, zdraží call z 10,45 na 10,83 Kč.vega

Vega není řecké písmeno a v Black-Scholesově modelu, kde je volatilita konstantní, vlastně nemá co dělat. Právě proto je důležitá: měří riziko, že se změní vstup, o kterém model tvrdí, že se nemění.

Vega roste s dobou do splatnosti, zhruba s její odmocninou: měsíční opce má vegu 0,115 Kč, roční 0,375 Kč, dvouletá 0,499 Kč. S gamou je to obráceně. Odtud pravidlo, které se vyplatí pamatovat: opce s krátkou splatností jsou nástroj na gamu, s dlouhou na vegu.

7.6Ró a písmena druhého řádu

Ró měří citlivost na úrokovou míru. Vyšší úroková míra snižuje současnou hodnotu realizační ceny, proto call zdražuje (0,532 Kč na procentní bod) a put zlevňuje (−0,419 Kč). U akciových opcí s krátkou splatností je ró málo významné; u dlouhých splatností a u měnových opcí, kde vystupují dvě úrokové míry, už ne.rho

Kromě pěti základních písmen sledují dealeři i jejich vzájemné závislosti:vanna, volga (vomma), charm

• Vanna říká, jak se delta mění s volatilitou (a stejně tak vega s cenou podkladu). U callu z příkladu −0,0028 na procentní bod.
• Volga říká, jak se vega mění s volatilitou. Je kladná u opcí mimo peníze, které jsou proto „dlouhé volatilitu volatility“: vydělávají, když se volatilita sama hodně hýbe.
• Charm říká, jak se delta mění s plynutím času. Podle něj dealer ví, o kolik se mu zajištění rozejde přes noc nebo přes víkend, i když se trh nepohne.

Vanna a volga vysvětlují, proč trh oceňuje opce mimo peníze jinou volatilitou než opce na penězích. Na měnovém trhu se obchodují přímo, jak ukáže kapitola 10.

7.7Řecká písmena celé pozice

Řecká písmena se sčítají. Delta knihy je součet delt všech pozic vážený jejich velikostí, stejně tak gama, vega i théta. Díky tomu lze tisíce obchodů shrnout do několika čísel a zajistit je najednou.

Co zbylá rizika znamenají, ukáže scénářová tabulka: přecenění celé pozice při různých pohybech trhu. Tabulka 7.2 ji počítá pro pozici z příkladu po zajištění delty.scenario analysis, spot ladder

Tabulka říká tři věci. Zajištěná pozice ztrácí při pohybu nahoru i dolů; to je krátká gama. Ztráta roste s druhou mocninou pohybu: dvouprocentní pohyb stojí čtyřikrát víc než jednoprocentní. A odhad z gamy je pro malé pohyby přesný, pro velké se s přesným přeceněním rozchází, protože gama sama se s cenou mění. Proto dealeři pro velké pohyby nepoužívají řecká písmena, ale přecenění.

Proti těmto ztrátám stojí théta 17,57 Kč za kalendářní den. Z ní ovšem 7,29 Kč denně padne na úrok z půjčky, za kterou dealer akcie koupil. Kde se obě strany potkají, je tématem příští kapitoly.

7.1What the Greeks tell you

The value of an option depends on the underlying price, time, volatility and the interest rate. The Greeks are the derivatives of the value with respect to these inputs. Together they give a decomposition of the change in value over a short period:

Each term corresponds to one source of profit or loss: the move of the underlying (delta), the size of the move (gamma), the passage of time (theta), a change in volatility (vega, denoted \(\mathcal{V}\)) and a change in interest rates (rho). Table 7.1 gives the formulas in the Black-Scholes model and the values for our example.

7.2Delta

Delta is the slope of the option value curve: by how many koruna the value changes when the share rises by one koruna. The call from the example has a delta of 0.64, the put −0.36. A call’s delta lies between zero and one, a put’s between minus one and zero.

Delta can be read in three ways and a dealer uses all of them:

• Hedge ratio. Someone who sold a call with a delta of 0.64 hedges by buying 0.64 shares per option. A small move of the share then does not change the value of the whole.
• Share equivalent. In terms of direction the option behaves like 0.64 shares. Positions are therefore added up in “deltas” across options, shares and futures.
• A rough estimate of the risk-neutral probability that the option ends in the money. Exactly it is \(N(d_2) = 56.0\,\%\), not \(N(d_1) = 63.7\,\%\), but for short maturities the two numbers are close. An option with a delta of 0.25 – among dealers a “25-delta” option – is therefore commonly understood as an option with about a one-in-four chance.

Delta holds only for small moves. When the share rises by 5 CZK the call gains 3.407 CZK, while delta promises 3.184 CZK; when it falls by 5 CZK the call loses only 2.940 CZK. The difference in the option holder’s favour is the work of gamma.

7.3Gamma

Gamma measures how fast delta changes. The call from the example has a gamma of 0.0188: when the share rises by one koruna, delta rises from 0.6368 to approximately 0.6556. Gamma is always positive for long options, the same for calls and puts, and it is the most important number for anyone who hedges options.

With gamma the estimate of the price change is an order of magnitude more accurate:

\[\delta V \approx \Delta\,\delta S + \tfrac12\Gamma(\delta S)^2 = 0.6368\cdot 5 + \tfrac12\cdot 0.01876\cdot 25 = 3.419\ \text{CZK}\]

versus the exact 3.407 CZK. The second term is positive for both a rise and a fall. Whoever is long gamma makes money on a move in either direction; whoever is short loses on it.

Two properties of gamma determine when hedging is hard (figure 7.1):

• Gamma is largest near the strike and falls off quickly on both sides.
• As expiry approaches, at-the-money gamma grows: one year before expiry 0.0188, one month before 0.0687, one week before 0.1437. An at-the-money option just before expiry swings its delta from zero to one on a move of a few koruna.

7.4Theta

Theta is the change in option value over one day when nothing else changes. For a long option it is almost always negative: the call from the example loses 0.0176 CZK a day, 6.414 CZK in annual terms.

Theta and gamma are two sides of the same coin. Whoever holds an option is long gamma and pays for it with theta; whoever sold an option collects theta and carries short gamma. The exact relationship is given by the Black-Scholes equation from chapter 5, and we return to it in section 8.3.

Like gamma, theta concentrates around the strike as expiry approaches. An at-the-money call loses 0.0176 CZK a day one year before expiry, 0.0447 CZK one month before and 0.0857 CZK one week before. Time decay is therefore not uniform; it accelerates.

7.5Vega

Vega is the sensitivity to the volatility at which the market prices the option (implied volatility, chapter 9): how much the option value changes when the market starts pricing it one percentage point higher. The call and put from the example both have a vega of 0.375 CZK. If volatility rises from 20 to 21 %, the call rises from 10.45 to 10.83 CZK.

Vega is not a Greek letter, and in the Black-Scholes model, where volatility is constant, it really has no business being there. That is exactly why it matters: it measures the risk that an input changes which the model claims does not change.

Vega grows with time to expiry, roughly with its square root: a one-month option has a vega of 0.115 CZK, a one-year option 0.375 CZK, a two-year option 0.499 CZK. With gamma it is the other way round. Hence a rule worth remembering: short-dated options are a gamma instrument, long-dated ones a vega instrument.

7.6Rho and second-order Greeks

Rho measures the sensitivity to the interest rate. A higher interest rate lowers the present value of the strike, so the call gains (0.532 CZK per percentage point) and the put loses (−0.419 CZK). For short-dated equity options rho matters little; for long maturities and for currency options, where two interest rates are involved, it does.

Besides the five basic Greeks, dealers also watch their interdependencies:

• Vanna says how delta changes with volatility (and equally how vega changes with the underlying price). For the call from the example −0.0028 per percentage point.
• Volga says how vega changes with volatility. It is positive for out-of-the-money options, which are therefore “long the volatility of volatility”: they make money when volatility itself moves a lot.
• Charm says how delta changes with the passage of time. It tells the dealer how far the hedge will drift overnight or over a weekend even if the market does not move.

Vanna and volga explain why the market prices out-of-the-money options at a different volatility from at-the-money ones. In FX they are traded directly, as chapter 10 shows.

7.7Greeks of the whole position

Greeks add up. The delta of the book is the sum of the deltas of all positions weighted by their size, and likewise for gamma, vega and theta. Thanks to this, thousands of trades can be summarised in a few numbers and hedged at once.

What the remaining risks mean is shown by a scenario table: revaluation of the whole position under various market moves. Table 7.2 computes it for the position from the example after delta hedging.

The table says three things. The hedged position loses on a move both up and down; that is short gamma. The loss grows with the square of the move: a two-percent move costs four times as much as a one-percent one. And the gamma estimate is accurate for small moves but diverges from full revaluation for large ones, because gamma itself changes with the price. That is why dealers use revaluation rather than Greeks for large moves.

Against these losses stands a theta of 17.57 CZK per calendar day. Of that, however, 7.29 CZK a day goes to interest on the loan with which the dealer bought the shares. Where the two sides meet is the subject of the next chapter.

8.1Zajištění delty krok za krokem

Vraťme se k dealerovi, který prodal 1 000 callů a inkasoval 10 451 Kč. Podle delty 0,637 nakoupí 637 akcií. Stojí 63 700 Kč; prémie pokryje jen část a zbylých 53 249 Kč si dealer půjčí. Pak každé čtyři týdny spočítá novou deltu a počet akcií upraví.delta hedging, rebalancing

Tabulka 8.1 sleduje jednu simulovanou cestu, na které akcie skončí na 131,99 Kč. Při splatnosti jsou cally hluboko v penězích a dealer vyplatí \(1\,000\cdot(131{,}99-100) = 31\,990\) Kč. Jeho 998 akcií má hodnotu 131 726 Kč a na účtu je dluh 99 273 Kč. Dohromady:

\[131\,726 - 99\,273 - 31\,990 = +463\ \text{Kč}.\]

Bez zajištění by na téže cestě prodělal 21 004 Kč. Zajištění proměnilo ztrátu ve výši dvou prémií ve výsledek blízký nule.

Tabulka také ukazuje, odkud se bere cena opce. Dealer celou dobu dokupuje akcie, když zdraží, a prodává, když zlevní. Ve 36. týdnu kupuje 30 akcií po 134,24 Kč, o čtyři týdny později jich 12 prodává po 121,43 Kč. Každá taková otočka něco stojí. Součet těchto ztrát je to, co má prémie pokrýt.

8.2Jak často zajišťovat

Výsledek +463 Kč není nula, protože model předpokládá nepřetržité úpravy a dealer upravoval jen třináctkrát. Mezi úpravami se počet držených akcií rozchází s deltou a vzniká chyba zajištění. Na jiné cestě by vyšla jinak, kladná nebo záporná.hedging error, discrete hedging

Obrázek 8.1 ukazuje rozdělení výsledku na 100 000 cestách pro tři četnosti úprav. Střední hodnota je ve všech případech prakticky nula. Směrodatná odchylka klesá z 1,82 Kč při úpravě jednou za čtyři týdny na 0,93 Kč při týdenní a 0,43 Kč při denní, tedy ze 17 na 4 % prémie.

Simulace na obrázku běžela se skutečným očekávaným výnosem akcie 10 %, přestože se oceňovalo a zajišťovalo s bezrizikovou mírou. Průměrný výsledek je i tak nulový. S výnosem 0 % i 20 % vychází totéž. To je rizikově neutrální oceňování v praxi: směr trhu zajištěnou pozici nezajímá.

Pro srovnání: nezajištěný prodej callu má směrodatnou odchylku výsledku 17,80 Kč a v pěti procentech případů končí ztrátou větší než 39,54 Kč, tedy bezmála čtyřnásobkem prémie.

8.3Gama proti thétě

Co se děje se zajištěnou pozicí během jednoho dne? Vezměme opačnou stranu: dealer koupil 1 000 callů a deltu zajistil prodejem akcií. Nemění-li se volatilita ani úroková míra, zbývají z rozkladu z kapitoly 7 po zajištění delty dva členy: gama, která vydělává na pohybu, a théta, která každý den ubírá. Black-Scholesova rovnice je svazuje a po dosazení vyjde:

V hranaté závorce stojí proti sobě dvě čísla: druhá mocnina skutečného denního výnosu a rozptyl, který za jeden den „předplatila“ implikovaná volatilita. Dlouhá gama vydělá, když se akcie pohne víc, než kolik bylo zaplaceno, a prodělá, když se pohne méně.gamma scalping, break-even move

Hranice mezi ziskem a ztrátou je denní bod zvratu:

\[\frac{\delta S}{S} = \sigma\sqrt{\delta t} = \frac{20\,\%}{\sqrt{252}} = 1{,}26\,\%,\]

tedy 1,26 Kč. Pro pozici z příkladu to znamená (obrázek 8.2): den bez pohybu stojí 14,9 Kč, jednoprocentní pohyb ještě ztrátu nepokryje (−5,5 Kč), dvouprocentní vydělá +22,6 Kč a tříprocentní +69,5 Kč.

8.4Realizovaná proti implikované volatilitě

Sečteme-li denní výsledky za celou dobu trvání opce, dostaneme hlavní poučení kapitoly. Zisk zajištěné opce závisí na rozdílu mezi volatilitou, která skutečně nastala (realizovanou), a volatilitou, za kterou byla opce koupena nebo prodána (implikovanou).realised vs. implied volatility

Simulace to potvrzuje. Dealer prodá call za cenu odpovídající volatilitě 20 % a denně zajišťuje:

• pohybuje-li se akcie s volatilitou 25 %, prodělá v průměru 1,95 Kč na opci,
• pohybuje-li se s volatilitou 15 %, vydělá v průměru 1,86 Kč.

Obě čísla lze zhruba odhadnout předem jako vegu krát rozdíl volatilit: \(0{,}375\cdot 5 \approx 1{,}9\) Kč.

Přesně to neplatí a výsledek není jistý ani při správně odhadnuté průměrné volatilitě. Záleží na tom, kde volatilita nastane. Velké pohyby v době, kdy je akcie u realizační ceny a gama je vysoká, stojí prodávajícího mnohem víc než stejné pohyby daleko od ní. Střední výsledek proto závisí i na tom, kudy akcie šla, a směrodatná odchylka výsledku v simulaci byla kolem jedné koruny na opci.

8.5Co model zanedbává

Transakční náklady. Každá úprava zajištění stojí rozpětí mezi nákupem a prodejem. Častější zajišťování snižuje chybu, ale zvyšuje náklady. Leland (1985) ukázal, že prodávající může náklady promítnout do ceny tím, že opci ocení vyšší volatilitou. Při nákladech 0,2 % z objemu každé otočky tam a zpět odpovídá dennímu zajišťování volatilita 21,2 % místo 20 % a cena 10,91 Kč, týdennímu 20,6 % a 10,66 Kč. V praxi se proto nezajišťuje podle hodin, ale podle pásma: deltu dealer upraví, až když se odchýlí o předem danou hodnotu.transaction costs, bid-ask spread

Skoky. Zajištění delty chrání před malými plynulými pohyby. Když cena přes noc poskočí o deset procent, dostane prodávající celou ztrátu z gamy naráz a nic s ní neudělá (tabulka 7.2). Riziko skoku lze zajistit jen jinou opcí.gap risk, jump risk

Riziko u realizační ceny. Pohybuje-li se podklad v den splatnosti těsně u realizační ceny, skáče delta mezi nulou a jedničkou a dealer do poslední chvíle neví, kolik akcií má držet. U opcí s fyzickým vypořádáním navíc neví, zda bude opce uplatněna.pin risk

Proměnlivá volatilita. Delta se počítá s volatilitou, kterou dealer do modelu vloží. Když se implikovaná volatilita změní, změní se delta všech opcí v knize, i když se podklad nepohne. To je vanna z minulé kapitoly.

8.6Zajištění gamy a vegy

Akcie má deltu jedna a gamu i vegu nula. Gamu a vegu lze proto zajistit jen jinými opcemi.gamma hedge, vega hedge

Příklad ukazuje obecné pravidlo. Opcemi s krátkou splatností se zajišťuje gama, s dlouhou vega. Kdo chce vyrovnat obojí najednou, potřebuje dvě různé opce a řeší dvě rovnice o dvou neznámých; deltu nakonec dorovná podkladem.

Dokonale zajistit všechna písmena by znamenalo koupit zpět přesně to, co bylo prodáno, a dealer by nevydělal nic. Jeho práce je rozhodnout, která rizika si nechá a za jakou cenu.

8.1Delta hedging step by step

Let us return to the dealer who sold 1,000 calls and collected 10,451 CZK. According to the delta of 0.637 they buy 637 shares. These cost 63,700 CZK; the premium covers only part, and the dealer borrows the remaining 53,249 CZK. Then every four weeks they compute a new delta and adjust the number of shares.

Table 8.1 follows one simulated path on which the share ends at 131.99 CZK. At expiry the calls are deep in the money and the dealer pays out \(1{,}000\cdot(131.99-100) = 31{,}990\) CZK. Their 998 shares are worth 131,726 CZK and the account shows a debt of 99,273 CZK. In total:

\[131{,}726 - 99{,}273 - 31{,}990 = +463\ \text{CZK}.\]

Without the hedge they would have lost 21,004 CZK on the same path. Hedging turned a loss of two premiums into a result close to zero.

The table also shows where the option price comes from. The dealer keeps buying shares when they get more expensive and selling when they get cheaper. In week 36 they buy 30 shares at 134.24 CZK, four weeks later they sell 12 at 121.43 CZK. Each such round trip costs something. The sum of these losses is what the premium has to cover.

8.2How often to hedge

The result of +463 CZK is not zero because the model assumes continuous adjustments and the dealer adjusted only thirteen times. Between adjustments the number of shares held diverges from delta and a hedging error arises. On another path it would come out differently, positive or negative.

Figure 8.1 shows the distribution of the result over 100,000 paths for three adjustment frequencies. The mean is practically zero in all cases. The standard deviation falls from 1.82 CZK with adjustment every four weeks to 0.93 CZK with weekly and 0.43 CZK with daily adjustment, i.e. from 17 to 4 % of the premium.

The simulation in the figure ran with a real expected return of the share of 10 %, even though pricing and hedging used the risk-free rate. The average result is still zero. With a return of 0 % or 20 % the result is the same. That is risk-neutral pricing in practice: a hedged position does not care about market direction.

For comparison: an unhedged short call has a standard deviation of the result of 17.80 CZK and in five percent of cases ends with a loss of more than 39.54 CZK, almost four times the premium.

8.3Gamma versus theta

What happens to a hedged position during one day? Take the opposite side: a dealer bought 1,000 calls and hedged delta by selling shares. If neither volatility nor the interest rate changes, two terms remain from the decomposition in chapter 7 after delta hedging: gamma, which earns on the move, and theta, which takes something away every day. The Black-Scholes equation ties them together and after substitution we get:

The square brackets set two numbers against each other: the square of the actual daily return and the variance that implied volatility “prepaid” for one day. Long gamma makes money when the share moves more than what was paid for, and loses when it moves less.

The boundary between profit and loss is the daily break-even:

\[\frac{\delta S}{S} = \sigma\sqrt{\delta t} = \frac{20\,\%}{\sqrt{252}} = 1.26\,\%,\]

i.e. 1.26 CZK. For the position from the example this means (figure 8.2): a day without a move costs 14.9 CZK, a one-percent move does not yet cover the loss (−5.5 CZK), a two-percent move earns +22.6 CZK and a three-percent move +69.5 CZK.

8.4Realised versus implied volatility

Adding up the daily results over the whole life of the option gives the main lesson of the chapter. The profit of a hedged option depends on the difference between the volatility that actually occurred (realised) and the volatility at which the option was bought or sold (implied).

The simulation confirms this. A dealer sells a call at a price corresponding to a volatility of 20 % and hedges daily:

• if the share moves with a volatility of 25 %, they lose 1.95 CZK per option on average,
• if it moves with a volatility of 15 %, they gain 1.86 CZK on average.

Both numbers can be roughly estimated in advance as vega times the difference in volatilities: \(0.375\cdot 5 \approx 1.9\) CZK.

This does not hold exactly, and the result is not certain even if the average volatility is estimated correctly. It matters where the volatility occurs. Large moves at a time when the share is near the strike and gamma is high cost the seller much more than the same moves far away from it. The average result therefore also depends on the path the share took, and the standard deviation of the result in the simulation was about one koruna per option.

8.5What the model neglects

Transaction costs. Every hedge adjustment costs the bid-ask spread. More frequent hedging reduces the error but increases costs. Leland (1985) showed that the seller can build the costs into the price by pricing the option at a higher volatility. With costs of 0.2 % of the volume of each round trip, daily hedging corresponds to a volatility of 21.2 % instead of 20 % and a price of 10.91 CZK, weekly hedging to 20.6 % and 10.66 CZK. In practice hedging is therefore done not by the clock but by a band: the dealer adjusts delta only when it drifts by a predetermined amount.

Jumps. Delta hedging protects against small, smooth moves. When the price jumps ten percent overnight, the seller takes the whole gamma loss at once and can do nothing about it (Table 7.2). Jump risk can be hedged only with another option.

Pin risk. If the underlying trades right at the strike on the expiry day, delta jumps between zero and one and the dealer does not know until the last moment how many shares to hold. With physically settled options they also do not know whether the option will be exercised.

Changing volatility. Delta is computed with the volatility the dealer puts into the model. When implied volatility changes, the delta of all options in the book changes even if the underlying does not move. That is vanna from the previous chapter.

8.6Hedging gamma and vega

A share has a delta of one and zero gamma and vega. Gamma and vega can therefore be hedged only with other options.

The example shows a general rule. Gamma is hedged with short-dated options, vega with long-dated ones. Whoever wants to neutralise both at once needs two different options and solves two equations in two unknowns; delta is then squared off with the underlying.

Perfectly hedging all the Greeks would mean buying back exactly what was sold, and the dealer would earn nothing. Their job is to decide which risks to keep and at what price.

9.1Historická volatilita

Historická volatilita je směrodatná odchylka minulých výnosů. Počítá se z logaritmických výnosů \(x_i = \ln(S_i/S_{i-1})\) a přepočítává na rok:historical volatility

Násobí se odmocninou počtu období v roce, protože rozptyl roste úměrně času: u denních dat \(\sqrt{252}\), u týdenních \(\sqrt{52}\), u měsíčních \(\sqrt{12}\).

Odhad je zatížen chybou, která se často podceňuje. Jeho směrodatná chyba je přibližně \(\sigma/\sqrt{2n}\).

Delší okno dává přesnější odhad, ale staršího stavu. Volatilita se v čase mění a přichází ve shlucích: po klidném období bývá klid, po bouřlivém bouře. Proto se používají vážené odhady, které novějším datům dávají větší váhu, a odhady, které kromě závěrečných cen využívají denní maxima a minima.volatility clustering, EWMA

Historická volatilita říká, co bylo. Opce se oceňuje podle toho, co bude.

9.2Implikovaná volatilita

Implikovaná volatilita je volatilita, kterou je třeba dosadit do Black-Scholesova vzorce, aby dal tržní cenu opce. Vzorec se tedy používá obráceně: cena je vstup, volatilita výstup. Protože cena s volatilitou roste, existuje pro každou cenu uvnitř arbitrážních hranic právě jedno řešení. Vzorec pro ně neexistuje, hledá se numericky.implied volatility

Proč dealeři mluví ve volatilitách, a ne v cenách? Ze tří důvodů:

• Srovnatelnost. Cena 12 Kč neříká nic bez znalosti realizační ceny, splatnosti a ceny akcie. Volatilita 24 % je srozumitelná sama o sobě a lze ji porovnávat mezi opcemi i podklady.
• Stálost. Když se pohne podklad, cena opce se změní okamžitě. Volatilita, za kterou je dealer ochoten obchodovat, zůstává; kotace ve volatilitě tak platí déle.
• Oddělení rizik. Kotací volatility říká dealer jen to, co si myslí o budoucím kolísání. Deltu si obě strany vypořádají zvlášť podkladem.

9.3Úsměv a časová struktura

Kdyby Black-Scholesův model platil, měly by všechny opce na stejný podklad stejnou implikovanou volatilitu. Nemají. Graf implikované volatility podle realizační ceny má tvar, kterému se říká úsměv; je-li nesouměrný, mluví se o sklonu úsměvu, hovorově o úšklebku. Závislost na splatnosti se nazývá časová struktura a obojí dohromady plocha volatility.volatility smile, skew; term structure, volatility surface

Obrázek 9.1 ukazuje tvar typický pro akciové indexy. Opce s realizační cenou 80 Kč se oceňuje volatilitou 24,1 %, opce na penězích 20 % a opce s realizační cenou 120 Kč jen 17,0 %. U kratší splatnosti je křivka strmější.

Rozdíl není kosmetický. Put s realizační cenou 80 Kč by při ploché volatilitě 20 % stál 0,69 Kč; s volatilitou z křivky stojí 1,34 Kč, tedy o 94 % víc. Call s realizační cenou 120 Kč naopak zlevní ze 3,25 na 2,27 Kč.

Pravá část obrázku ukazuje totéž jinak. Z cen opcí se všemi realizačními cenami lze zpětně odvodit rizikově neutrální rozdělení, které trh budoucí ceně přisuzuje. Proti lognormálnímu má těžší levý konec: pravděpodobnost, že akcie za rok spadne pod 70 Kč, je v něm 5,5 % proti 2,7 %.

Proč úsměv existuje:

• Velké pohyby jsou častější, než odpovídá normálnímu rozdělení, a ceny se mění i skokem.
• Volatilita není konstantní a u akcií roste, když ceny padají. Pokles je proto nebezpečnější než stejně velký růst.
• Poptávka je nesouměrná. Investoři kupují puty jako pojistku a prodávají cally proti držené akcii.

U akciových indexů je vyšší volatilita nižších realizačních cen trvalá od krachu v říjnu 1987. U hlavních měnových párů bývá úsměv souměrnější, protože velký pohyb je nebezpečný v obou směrech. U komodit bývá sklon opačný: hrozí náhlý nedostatek a skok ceny nahoru.

9.4Jak se s úsměvem pracuje

Pro běžné opce je postup jednoduchý: Black-Scholesův vzorec zůstává, jen se do něj dosadí volatilita odečtená z plochy pro danou realizační cenu a splatnost. Plocha se staví z kotací likvidních opcí a mezi nimi se interpoluje tak, aby nevznikla arbitráž.

Složitější je zajištění. Black-Scholesova delta předpokládá, že se volatilita opce při pohybu podkladu nezmění. Co se s ní ve skutečnosti stane, závisí na tom, jak se pohybuje celá křivka:sticky strike, sticky delta

• Volatilita se drží realizační ceny. Každá realizační cena si svou volatilitu ponechá, ať je podklad kdekoli. Pak platí Black-Scholesova delta.
• Volatilita se drží delty. Křivka se posouvá spolu s podkladem; volatilitu 20 % má vždy opce, která je právě na penězích. Při pohybu podkladu se pak volatilita dané opce mění a delta se musí opravit o vegu krát sklon křivky.

Skutečnost se liší trh od trhu. U akciových indexů volatilita při poklesu obvykle roste, takže správná delta callu bývá nižší než Black-Scholesova; měnové páry se chovají spíš podle druhého pravidla. Dva dealeři se stejnou knihou a různou konvencí proto drží různé zajištění a mají různý denní výsledek, i když se shodnou na všech cenách.

9.5Za hranicemi Black-Scholesova modelu

Pro exotické opce (kapitola 11), jejichž výplata závisí na cestě nebo na budoucí podobě úsměvu, dosazení jedné volatility nestačí. Je potřeba model, který úsměv vytváří sám. Tabulka 9.1 shrnuje hlavní rodiny.

Všechny tyto modely se kalibrují: parametry se nastaví tak, aby model co nejlépe vystihl tržní ceny běžných opcí. Na běžných opcích se pak shodnou. Na exotických se rozejdou, někdy výrazně, protože každý předpokládá jiný budoucí vývoj úsměvu. Tomuto rozdílu se říká modelové riziko a dealer ho musí znát dřív, než kotuje. Rozumný postup je ocenit exotickou opci dvěma modely a rozdíl brát jako míru nejistoty.calibration, model risk

9.6Prémie za riziko volatility

Implikovaná volatilita není nestranná předpověď. U akciových indexů bývá dlouhodobě v průměru vyšší než volatilita, která potom skutečně nastane. Rozdílu se říká prémie za riziko volatility (Carr a Wu, 2009). Kupující opcí ji platí za pojištění proti prudkým pohybům; prodávající ji inkasují výměnou za to, že v krizi utrpí velké ztráty najednou.volatility risk premium

Pro dealera z toho plynou dvě věci. Systematický prodej opcí vypadá dlouho jako bezpracný zisk a pak během několika dní vymaže výnos mnoha let; proto existují limity na gamu a vegu. A rozdíl mezi implikovanou a historickou volatilitou sám o sobě neznamená, že je opce drahá. Může znamenat, že trh ví o události, která v historických datech ještě není.

9.1Historical volatility

Historical volatility is the standard deviation of past returns. It is computed from log returns \(x_i = \ln(S_i/S_{i-1})\) and annualised:

It is multiplied by the square root of the number of periods in a year because variance grows in proportion to time: \(\sqrt{252}\) for daily data, \(\sqrt{52}\) for weekly, \(\sqrt{12}\) for monthly.

The estimate carries an error that is often underestimated. Its standard error is approximately \(\sigma/\sqrt{2n}\).

A longer window gives a more precise estimate, but of an older state. Volatility changes over time and comes in clusters: calm tends to follow calm, storm follows storm. That is why weighted estimates are used that give more weight to recent data, as well as estimates that use daily highs and lows in addition to closing prices.

Historical volatility tells you what was. An option is priced on what will be.

9.2Implied volatility

Implied volatility is the volatility that has to be plugged into the Black-Scholes formula to produce the market price of the option. The formula is used in reverse: price is the input, volatility the output. Because the price increases with volatility, there is exactly one solution for every price within the arbitrage bounds. There is no formula for it; it is found numerically.

Why do dealers talk in volatilities rather than prices? For three reasons:

• Comparability. A price of 12 CZK says nothing without knowing the strike, maturity and share price. A volatility of 24 % is meaningful on its own and can be compared across options and underlyings.
• Stability. When the underlying moves, the option price changes immediately. The volatility at which the dealer is willing to trade stays; a quote in volatility therefore stays valid longer.
• Separation of risks. By quoting volatility the dealer states only what they think about future fluctuation. Both sides settle delta separately with the underlying.

9.3Smile and term structure

If the Black-Scholes model held, all options on the same underlying would have the same implied volatility. They do not. The graph of implied volatility against strike has a shape called the smile; if it is asymmetric, one speaks of the skew of the smile, informally a smirk. The dependence on maturity is called the term structure, and both together the volatility surface.

Figure 9.1 shows the shape typical for equity indices. An option with a strike of 80 CZK is priced at a volatility of 24.1 %, the at-the-money option at 20 % and an option with a strike of 120 CZK at only 17.0 %. For a shorter maturity the curve is steeper.

The difference is not cosmetic. A put with a strike of 80 CZK would cost 0.69 CZK at a flat volatility of 20 %; with the volatility from the curve it costs 1.34 CZK, i.e. 94 % more. A call with a strike of 120 CZK, on the other hand, gets cheaper, from 3.25 to 2.27 CZK.

The right part of the figure shows the same thing differently. From the prices of options with all strikes one can back out the risk-neutral distribution that the market assigns to the future price. Compared with the lognormal one it has a heavier left tail: the probability that the share falls below 70 CZK within a year is 5.5 % versus 2.7 %.

Why the smile exists:

• Large moves are more frequent than the normal distribution implies, and prices also jump.
• Volatility is not constant and for equities it rises when prices fall. A fall is therefore more dangerous than an equally large rise.
• Demand is asymmetric. Investors buy puts as insurance and sell calls against shares they hold.

For equity indices, the higher volatility of lower strikes has been permanent since the crash of October 1987. For the major currency pairs the smile tends to be more symmetric, because a large move is dangerous in both directions. For commodities the skew is often the opposite: there is a risk of sudden shortage and a jump in the price upwards.

9.4Working with the smile

For vanilla options the procedure is simple: the Black-Scholes formula stays, only the volatility read off the surface for the given strike and maturity is plugged in. The surface is built from quotes of liquid options and interpolated between them so that no arbitrage arises.

Hedging is more complicated. The Black-Scholes delta assumes that the option’s volatility does not change when the underlying moves. What actually happens to it depends on how the whole curve moves:

• Sticky strike. Each strike keeps its volatility wherever the underlying is. Then the Black-Scholes delta applies.
• Sticky delta. The curve moves together with the underlying; the 20 % volatility always belongs to the option that is currently at the money. When the underlying moves, the volatility of a given option changes and delta must be corrected by vega times the slope of the curve.

Reality differs from market to market. For equity indices volatility usually rises when the market falls, so the correct delta of a call is usually lower than the Black-Scholes one; currency pairs behave more like the second rule. Two dealers with the same book and different conventions therefore hold different hedges and have different daily results even though they agree on all prices.

9.5Beyond the Black-Scholes model

For exotic options (chapter 11), whose payoff depends on the path or on the future shape of the smile, plugging in a single volatility is not enough. A model that generates the smile itself is needed. Table 9.1 summarises the main families.

All these models are calibrated: the parameters are set so that the model fits the market prices of vanilla options as closely as possible. On vanilla options they then agree. On exotics they diverge, sometimes significantly, because each assumes a different future evolution of the smile. This difference is called model risk and a dealer must know it before quoting. A sensible approach is to price an exotic option with two models and take the difference as a measure of uncertainty.

9.6The volatility risk premium

Implied volatility is not an unbiased forecast. For equity indices it tends to be higher on average over the long run than the volatility that subsequently materialises. The difference is called the volatility risk premium (Carr and Wu, 2009). Option buyers pay it for insurance against sharp moves; sellers collect it in exchange for suffering large losses all at once in a crisis.

For a dealer this has two implications. Systematically selling options looks like easy money for a long time and then wipes out years of returns within a few days; that is why limits on gamma and vega exist. And the difference between implied and historical volatility does not by itself mean an option is expensive. It may mean the market knows about an event that is not yet in the historical data.

10.1Akciové indexy a dividendy

Index vyplácí dividendy průběžně, proto se modeluje se spojitým dividendovým výnosem \(q\). Podle oddílu 5.6 stačí spočítat forward \(F = S_0e^{(r-q)T}\) a dosadit do forwardového tvaru vzorce.

S výnosem \(q = 2\,\%\) je forward v našem příkladu 103,05 Kč místo 105,13 Kč. Call zlevní z 10,45 na 9,23 Kč, put zdraží z 5,57 na 6,33 Kč. Delta callu klesne z 0,637 na 0,587.

10.2Měnové opce

U měnové opce je podkladem kurz, tedy cena jedné měny v jednotkách druhé. Dál budeme počítat s kurzem EUR/CZK: kolik korun stojí jedno euro. Koruna je tu měna domácí, euro zahraniční.domestic / foreign currency, Garman-Kohlhagen

Držet euro znamená dostávat eurový úrok. Zahraniční úroková míra \(r_f\) tak hraje stejnou roli jako dividendový výnos a vzorec, který v roce 1983 publikovali Garman a Kohlhagen, je Black-Scholesův vzorec s \(q = r_f\):

Forward \(F\) je kurz, za který lze dnes sjednat výměnu měn k datu splatnosti; plyne z rozdílu úrokových měr, ne z očekávání trhu.

Každá měnová opce je zároveň call na jednu měnu a put na druhou. Právo koupit euro za 25 Kč je totéž co právo prodat koruny za eura. Proto se vždy říká obojí: „EUR call, CZK put“.

Jak se kotuje

Na mezibankovním trhu se měnové opce nekotují cenou ani realizačním kurzem. Kotuje se volatilita pro standardní splatnosti (týden, měsíc, tři měsíce, rok) a pro standardní delty. Tři čísla popisují celý úsměv:ATM, risk reversal (RR), butterfly (BF)

• ATM: volatilita opce na penězích; úroveň úsměvu.
• Risk reversal (RR): volatilita callu s deltou 0,25 minus volatilita putu s deltou −0,25; dealeři říkají „pětadvacetideltový“. Měří sklon: na kterou stranu se trh bojí víc.
• Butterfly (BF): průměr obou těchto volatilit minus ATM. Měří zakřivení: o kolik jsou křídla, tedy opce daleko od peněz, dražší než střed.

Z nich se volatility na křídlech dopočítají zpět:

\[\sigma_{25C} = \sigma_{ATM} + \mathrm{BF} + \tfrac12\mathrm{RR},\qquad \sigma_{25P} = \sigma_{ATM} + \mathrm{BF} - \tfrac12\mathrm{RR}.\]

Risk reversal je v podstatě obchod s vannou a butterfly s volgou z kapitoly 7: jejich kotace říkají, kolik trh za tato dvě písmena platí.

10.3Úrokové opce

Nejběžnější úrokové opce jsou cap a floor, tedy strop a dno na pohyblivou sazbu, a swapce, opce na úrokový swap, tedy na výměnu pevné sazby za pohyblivou. Cap je řada jednotlivých opcí, capletů; každý vyplatí rozdíl mezi referenční sazbou a realizační sazbou za jedno úrokové období, pokud je kladný.cap, floor, caplet, swaption

Podkladem capletu je forwardová sazba \(F\), a tu kotuje trh. Použije se proto forwardový tvar vzorce z oddílu 5.6:

\[\text{caplet} = L\cdot\tau\cdot P(0,T_p)\big[F\,N(d_1) - K\,N(d_2)\big],\]

kde \(L\) je jmenovitá hodnota, \(\tau\) délka úrokového období v letech a \(P(0,T_p)\) diskontní faktor k datu výplaty. Doba \(T\) v \(d_1\) a \(d_2\) se měří do dne, kdy se sazba stanoví, tedy do začátku období.

Lognormální model má u sazeb vadu: nepřipouští nulové ani záporné sazby a u sazeb blízkých nule dává nesmyslně vysoké volatility. Trh proto vedle něj používá normální model, který navrhl Louis Bachelier už v roce 1900. Sazba se v něm nemění o procenta své hodnoty, ale o absolutní počet bazických bodů, setin procentního bodu:normal (Bachelier) model, basis-point volatility

\[\text{caplet} = L\cdot\tau\cdot P(0,T_p)\big[(F-K)\,N(d) + \sigma_N\sqrt{T}\,n(d)\big],\qquad d = \frac{F-K}{\sigma_N\sqrt{T}}.\]

Volatilita \(\sigma_N\) se udává v bazických bodech za rok. Pro opci na penězích platí přibližně \(\sigma_N \approx \sigma\cdot F\).

U swapcí je postup stejný, jen forwardovou sazbu nahradí forwardová swapová sazba a součin \(\tau\cdot P(0,T_p)\) anuita, tedy součet diskontovaných délek všech období swapu. Úsměv se u sazeb běžně popisuje modelem SABR z kapitoly 9.

10.4Komodity a futures

U komodit se většinou obchodují opce na futures. Forwardový tvar vzorce se použije přímo, s cenou futures na místě \(F\). Náklady na skladování i výnos z držení fyzické komodity jsou v ceně futures už obsaženy.

Při ceně futures i realizační ceně 100 Kč a ostatních vstupech z příkladu stojí call i put shodně 7,58 Kč. Je-li realizační cena rovna forwardu, má forward nulovou hodnotu a z parity plyne stejná cena callu i putu.

Tabulka 10.1 shrnuje celou kapitolu: co se mezi trhy mění a co zůstává.

10.1Equity indices and dividends

An index pays dividends continuously, so it is modelled with a continuous dividend yield \(q\). According to section 5.6 it is enough to compute the forward \(F = S_0e^{(r-q)T}\) and plug it into the forward form of the formula.

With a yield of \(q = 2\,\%\) the forward in our example is 103.05 CZK instead of 105.13 CZK. The call gets cheaper, from 10.45 to 9.23 CZK, the put more expensive, from 5.57 to 6.33 CZK. The delta of the call falls from 0.637 to 0.587.

10.2Currency options

For a currency option the underlying is an exchange rate, i.e. the price of one currency in units of another. From here on we use the EUR/CZK rate: how many koruna one euro costs. The koruna is the domestic currency, the euro the foreign one.

Holding euros means receiving euro interest. The foreign interest rate \(r_f\) thus plays the same role as the dividend yield, and the formula published by Garman and Kohlhagen in 1983 is the Black-Scholes formula with \(q = r_f\):

The forward \(F\) is the rate at which currencies can be exchanged at maturity, agreed today; it follows from the interest-rate differential, not from market expectations.

Every currency option is at the same time a call on one currency and a put on the other. The right to buy euros for 25 CZK is the same as the right to sell koruna for euros. That is why both are always stated: “EUR call, CZK put”.

How it is quoted

In the interbank market, currency options are quoted neither by price nor by strike. Volatility is quoted for standard maturities (one week, one month, three months, one year) and for standard deltas. Three numbers describe the whole smile:

• ATM: the volatility of the at-the-money option; the level of the smile.
• Risk reversal (RR): the volatility of the call with a delta of 0.25 minus the volatility of the put with a delta of −0.25; dealers say “25-delta”. It measures the skew: which side the market is more afraid of.
• Butterfly (BF): the average of these two volatilities minus ATM. It measures the curvature: how much more expensive the wings – options far from the money – are than the centre.

From these the wing volatilities are recovered:

\[\sigma_{25C} = \sigma_{ATM} + \mathrm{BF} + \tfrac12\mathrm{RR},\qquad \sigma_{25P} = \sigma_{ATM} + \mathrm{BF} - \tfrac12\mathrm{RR}.\]

A risk reversal is essentially a trade in vanna and a butterfly a trade in volga from chapter 7: their quotes say how much the market pays for these two Greeks.

10.3Interest-rate options

The most common interest-rate options are caps and floors, a ceiling and a floor on a floating rate, and swaptions, options on an interest-rate swap, i.e. on exchanging a fixed rate for a floating one. A cap is a series of individual options, caplets; each pays the difference between the reference rate and the strike rate for one interest period, if positive.

The underlying of a caplet is a forward rate \(F\), which the market quotes. The forward form of the formula from section 5.6 is therefore used:

\[\text{caplet} = L\cdot\tau\cdot P(0,T_p)\big[F\,N(d_1) - K\,N(d_2)\big],\]

where \(L\) is the notional, \(\tau\) the length of the interest period in years and \(P(0,T_p)\) the discount factor to the payment date. The time \(T\) in \(d_1\) and \(d_2\) is measured to the fixing date of the rate, i.e. to the start of the period.

The lognormal model has a flaw for rates: it does not allow zero or negative rates and gives absurdly high volatilities for rates close to zero. The market therefore also uses the normal model, proposed by Louis Bachelier as early as 1900. In it the rate changes not by a percentage of its value but by an absolute number of basis points, hundredths of a percentage point:

\[\text{caplet} = L\cdot\tau\cdot P(0,T_p)\big[(F-K)\,N(d) + \sigma_N\sqrt{T}\,n(d)\big],\qquad d = \frac{F-K}{\sigma_N\sqrt{T}}.\]

The volatility \(\sigma_N\) is quoted in basis points per year. For an at-the-money option approximately \(\sigma_N \approx \sigma\cdot F\).

For swaptions the procedure is the same, only the forward rate is replaced by the forward swap rate and the product \(\tau\cdot P(0,T_p)\) by the annuity, i.e. the sum of the discounted lengths of all periods of the swap. The interest-rate smile is commonly described with the SABR model from chapter 9.

10.4Commodities and futures

For commodities, mostly options on futures are traded. The forward form of the formula is used directly, with the futures price in place of \(F\). Storage costs and the yield from holding the physical commodity are already included in the futures price.

With a futures price and strike of 100 CZK and the other inputs from the example, the call and put both cost 7.58 CZK. If the strike equals the forward, the forward has zero value and parity implies the same price for the call and the put.

Table 10.1 summarises the whole chapter: what changes between markets and what stays.

11.1Přehled

Dvě z nich potkává dealer nejčastěji a na obou je dobře vidět, proč cena není všechno.

11.2Digitální opce

Digitální call vyplatí pevnou částku, skončí-li podklad nad realizační cenou, jinak nic. Jeho cena plyne přímo z Black-Scholesova vzorce: je to diskontovaná částka krát pravděpodobnost \(N(d_2)\). Digitální call s výplatou 100 Kč a se vstupy z příkladu stojídigital (binary) option, cash-or-nothing

\[100\cdot e^{-rT}N(d_2) = 100\cdot 0{,}9512\cdot 0{,}5596 = 53{,}23\ \text{Kč}.\]

Potíž je v zajištění. Rok před splatností se digitální opce chová krotce. Týden před splatností, je-li akcie u realizační ceny, se její hodnota mění o 14,4 Kč na každou korunu pohybu akcie; v okamžiku splatnosti rozhoduje o celých 100 Kč pohyb o haléř. Takovou deltu nelze držet.

Dealeři proto digitální opci neoceňují jako digitální opci. Nahradí ji rozpětím callů: koupí cally s realizační cenou o něco nižší a stejný počet callů s původní realizační cenou prodají. S rozestupem 5 Kč je to 20 koupených callů na 95 Kč a 20 prodaných na 100 Kč. Takové rozpětí vyplatí plných 100 Kč všude, kde je vyplatí digitální opce, a něco navíc mezi 95 a 100 Kč. Hodnota rozpětí se mění plynule, takže ho lze zajistit. Stojí 57,92 Kč. Rozdíl 4,69 Kč proti vzorci je cena, kterou si dealer účtuje za riziko u realizační ceny; čím užší rozestup, tím menší přirážka a tím hůř se pozice zajišťuje.call spread, overhedge

Tento postup má ještě jeden důsledek. Cena rozpětí závisí na rozdílu volatilit obou callů, tedy na sklonu úsměvu. Digitální opce je proto na sklon citlivá, i když ve vzorci žádný není.

11.3Bariérové opce

Bariérové opce jsme oceňovali v kapitole 6. Čtyři základní typy vzniknou kombinací dvou voleb: bariéra leží nad cenou, nebo pod ní, a opce jejím dotykem zaniká, nebo vzniká. Platí pro ně jednoduchá parita: opce, která dotykem zaniká, a opce, která dotykem vzniká, dají dohromady běžnou opci. Up-and-out call z kapitoly 6 s bariérou 130 Kč stojí 3,33 Kč, up-and-in call tedy \(10{,}45 - 3{,}33 = 7{,}12\) Kč.up-and-out, down-and-in; in-out parity

Bariérové opce jsou oblíbené, protože jsou levné: klient platí jen za scénáře, které ho zajímají. Pro dealera jsou nepříjemné ze tří důvodů:

• U bariéry se láme delta. Up-and-out call těsně pod bariérou má velkou vnitřní hodnotu, kterou dotykem ztratí celou. Jeho delta je tam záporná a zvlášť krátce před splatností velká. Zajištění se u bariéry musí otočit ve chvíli, kdy je trh nejrychlejší.
• Vega mění znaménko. Vyšší volatilita zvyšuje šanci na zisk i šanci na dotyk bariéry. Blízko bariéry převáží druhý vliv a opce s rostoucí volatilitou zlevňuje.
• Záleží na celém úsměvu. Pravděpodobnost dotyku určuje volatilita u bariéry, výplatu volatilita u realizační ceny. Ocenění jednou volatilitou je chybné; modely z kapitoly 9 se na ceně bariérové opce mohou rozejít i o desítky procent.

11.1Overview

Two of them are the ones a dealer meets most often, and both show clearly why price is not everything.

11.2Digital options

A digital call pays a fixed amount if the underlying ends above the strike, nothing otherwise. Its price follows directly from the Black-Scholes formula: it is the discounted amount times the probability \(N(d_2)\). A digital call paying 100 CZK with the inputs from the example costs

\[100\cdot e^{-rT}N(d_2) = 100\cdot 0.9512\cdot 0.5596 = 53.23\ \text{CZK}.\]

The trouble is the hedge. One year before expiry the digital option behaves tamely. One week before expiry, with the share at the strike, its value changes by 14.4 CZK for every koruna the share moves; at the moment of expiry a move of one heller decides the full 100 CZK. Such a delta cannot be held.

Dealers therefore do not price a digital option as a digital option. They replace it with a call spread: they buy calls with a slightly lower strike and sell the same number of calls with the original strike. With a spacing of 5 CZK that is 20 calls bought at 95 CZK and 20 sold at 100 CZK. Such a spread pays the full 100 CZK everywhere the digital option does, plus something extra between 95 and 100 CZK. The value of the spread changes smoothly, so it can be hedged. It costs 57.92 CZK. The difference of 4.69 CZK versus the formula is the price the dealer charges for the risk at the strike; the narrower the spacing, the smaller the charge and the harder the position is to hedge.

This approach has one more consequence. The price of the spread depends on the difference in the volatilities of the two calls, i.e. on the skew. A digital option is therefore sensitive to the skew even though the formula contains none.

11.3Barrier options

We priced barrier options in chapter 6. The four basic types arise from combining two choices: the barrier lies above or below the price, and touching it knocks the option out or in. A simple parity holds for them: an option that is knocked out by the touch and an option that is knocked in by it together make a vanilla option. The up-and-out call from chapter 6 with a barrier of 130 CZK costs 3.33 CZK, so the up-and-in call costs \(10.45 - 3.33 = 7.12\) CZK.

Barrier options are popular because they are cheap: the client pays only for the scenarios they care about. For a dealer they are unpleasant for three reasons:

• Delta breaks at the barrier. An up-and-out call just below the barrier has a large intrinsic value that it loses entirely on a touch. Its delta there is negative and, especially shortly before expiry, large. The hedge has to be flipped at the barrier exactly when the market is moving fastest.
• Vega changes sign. Higher volatility increases both the chance of profit and the chance of touching the barrier. Close to the barrier the second effect prevails and the option gets cheaper as volatility rises.
• The whole smile matters. The probability of a touch is determined by the volatility at the barrier, the payoff by the volatility at the strike. Pricing with a single volatility is wrong; the models from chapter 9 can disagree on the price of a barrier option by tens of percent.

12.1Rozhodovací mapa

Volbu určují dvě otázky: lze opci uplatnit před splatností a závisí výplata jen na koncové ceně jednoho podkladu? Obrázek 12.1 ukazuje čtyři kombinace odpovědí. Tabulka 12.1 staví všechny tři metody vedle sebe.

Na společném příkladu se všechny tři metody potkávají: vzorec dává 10,4506 Kč, strom se 100 kroky 10,4306 Kč (po vyhlazení a extrapolaci 10,4506 Kč) a simulace se 100 000 cestami 10,43 ± 0,09 Kč. V tom je jejich společný přínos. Nový strom, nová simulace i nový systém se nejdřív pustí na evropskou opci, kde je odpověď známá, a teprve potom na to, kvůli čemu vznikly.

12.2Kontrola před kotací

Většina chyb v ocenění nevzniká v modelu, ale ve vstupech. Projít následující seznam zabere minutu.

12.3Pravidla z hlavy

Pravidla v tabulce 12.2 nenahrazují výpočet. Slouží k tomu, aby dealer během vteřiny poznal, že mu systém nebo protistrana říká nesmysl. Všechna platí pro opci s realizační cenou na forwardu, proto je tabulka počítá pro \(K = F\).

12.1Decision map

The choice is determined by two questions: can the option be exercised before expiry, and does the payoff depend only on the terminal price of a single underlying? Figure 12.1 shows the four combinations of answers. Table 12.1 puts all three methods side by side.

On the common example all three methods meet: the formula gives 10.4506 CZK, the tree with 100 steps 10.4306 CZK (10.4506 CZK after smoothing and extrapolation) and the simulation with 100,000 paths 10.43 ± 0.09 CZK. That is their joint value. A new tree, a new simulation and a new system are first run on a European option where the answer is known, and only then on what they were built for.

12.2Checks before quoting

Most pricing errors arise not in the model but in the inputs. Going through the following list takes a minute.

1. Units. Time in years, volatility annual, interest rate in the same convention the formula expects. Mixing up days and years or percentages and decimals is the most common error of all.
2. Forward. Does the forward used in pricing agree with the market? Are dividends and carry costs included?
3. Bounds and parity. Does the price lie between the lower and upper bound? Does \(C - P = e^{-rT}(F-K)\) hold?
4. Rule of thumb. Is the average of the call and put prices close to \(0.4\cdot S\sigma\sqrt{T}\)? In the example: \((10.45+5.57)/2 = 8.01\) CZK versus 8.00 CZK.
5. Volatility. Is it read from the surface for the right strike and maturity? Is it not the at-the-money volatility even though an out-of-the-money option is being priced?
6. Signs. A long vanilla option has positive gamma and vega and usually negative theta. Every exception must be explainable.
7. A second method. For anything other than a vanilla European option: does another method or another model give a similar result? For a simulation: how wide is the confidence interval?
8. The contract. Exercise style, settlement method, barrier or averaging dates, price source. Does the pricing match what is actually being sold?
9. The hedge. What will the position be hedged with, how much will it cost and what will remain unhedged?

12.3Rules of thumb

The rules in Table 12.2 do not replace calculation. They allow a dealer to recognise within a second that a system or a counterparty is telling them nonsense. All of them hold for an option with the strike at the forward, so the table computes them for \(K = F\).