Matematika

1.1Číselné obory

Přirozená čísla \(\mathbb N = \{1, 2, 3, \dots\}\) slouží k počítání. Sčítání a násobení z nich nevyvede, odečítání ano: \(3-5\) přirozené číslo není. Proto vznikla celá čísla \(\mathbb Z = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\).natural numbers, integers

Dělení ani v celých číslech nefunguje vždy (\(1:3\)), a tak přišla racionální čísla \(\mathbb Q\): všechny podíly \(p/q\), kde \(p\) je celé a \(q\) přirozené číslo. V nich jde sčítat, odčítat, násobit i dělit (kromě nulou) bez omezení. Přesto jim něco chybí: délka úhlopříčky čtverce o straně 1 je \(\sqrt2\) a to zlomek není (oddíl 1.7). Doplněním všech takových „děr“ vznikají reálná čísla \(\mathbb R\), tedy všechny body číselné osy. Reálná čísla, která nejsou racionální, se nazývají iracionální: \(\sqrt2\), \(\pi\), \(e\).rational numbers, real numbers, irrational numbers

1.2Dělitelnost a prvočísla

Číslo \(a\) dělí číslo \(b\) (píšeme \(a \mid b\)), jestliže \(b = a\cdot k\) pro nějaké celé \(k\). Prvočíslo je přirozené číslo větší než 1, které má právě dva dělitele: jedničku a sebe. Ostatní čísla větší než 1 jsou složená. Jednička není ani prvočíslo, ani složené číslo.divisibility, prime number, composite number

Základní věta aritmetiky: každé přirozené číslo větší než 1 lze rozložit na součin prvočísel, a to až na pořadí činitelů jednoznačně. Prvočísla jsou tedy „atomy“ násobení: \(360 = 2^3\cdot 3^2\cdot 5\), \(1001 = 7\cdot 11\cdot 13\). Prvočísel je nekonečně mnoho; důkaz z Eukleidových Základů najdete v kapitole 12.fundamental theorem of arithmetic

Největší společný dělitel \(D(a,b)\) a nejmenší společný násobek \(n(a,b)\) se z rozkladů vyčtou snadno: do NSD jdou společná prvočísla s menším exponentem, do nsn všechna prvočísla s větším exponentem. Vždy platí \(D(a,b)\cdot n(a,b) = a\cdot b\).greatest common divisor (gcd), least common multiple (lcm)

1.3Zlomky

Zlomek \(\frac{a}{b}\) znamená \(a\) dílů z celku rozděleného na \(b\) stejných dílů; \(a\) je čitatel, \(b \ne 0\) jmenovatel. Vynásobením čitatele i jmenovatele stejným nenulovým číslem se hodnota nezmění (rozšíření), vydělením společným dělitelem také ne (krácení). Zlomek, který už krátit nejde, je v základním tvaru.fraction, numerator, denominator

Při sčítání je výhodnější místo součinu \(bd\) použít nejmenší společný násobek jmenovatelů; výsledek pak není třeba tolik krátit. Dělit zlomkem znamená násobit převrácenou hodnotou: kolikrát se \(\frac cd\) vejde do \(\frac ab\).

1.4Desetinná čísla

Každé racionální číslo má desetinný rozvoj buď konečný (\(\frac38 = 0{,}375\)), nebo nekonečný periodický (\(\frac13 = 0{,}\overline{3}\), \(\frac{1}{7} = 0{,}\overline{142857}\)). Konečný je právě tehdy, když jmenovatel v základním tvaru nemá jiná prvočísla než 2 a 5. Iracionální čísla mají rozvoj nekonečný a neperiodický.terminating decimal, repeating decimal

Periodické číslo převedeme na zlomek tak, že periodu napíšeme do čitatele a do jmenovatele tolik devítek, kolik má perioda číslic: \(0{,}\overline{36} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}\). Proč: označme \(x = 0{,}\overline{36}\). Pak \(100x = 36{,}\overline{36}\) a odečtením \(99x = 36\).

Zaokrouhlení na daný řád: rozhoduje první vynechaná číslice, 0–4 dolů, 5–9 nahoru. \(\pi \approx 3{,}14\) na setiny, \(\approx 3{,}1416\) na desetitisíciny. Zaokrouhlujte až výsledek, ne mezivýsledky.

1.5Procenta

Procento je setina celku: \(p\ \% = \frac{p}{100}\). Tři veličiny: základ \(z\) (celek, 100 %), počet procent \(p\) a procentová část \(č = z\cdot\frac{p}{100}\). Zvýšení o \(p\) % znamená násobit \(\big(1+\frac{p}{100}\big)\), snížení násobit \(\big(1-\frac{p}{100}\big)\).percent, base, percentage

Procentní bod (p. b.) je rozdíl dvou procentních údajů. Vzroste-li sazba z 4 % na 5 %, vzrostla o 1 procentní bod, ale o 25 procent. Tuhle záměnu najdete ve zprávách často.percentage point

1.6Mocniny a odmocniny

Mocnina \(a^n\) s přirozeným exponentem je součin \(n\) činitelů \(a\). Pravidla plynou přímo z počítání činitelů a rozšiřují se na celé a racionální exponenty tak, aby zůstala v platnosti:power, exponent, root

Proč \(a^0 = 1\): z pravidla \(a^n/a^n = a^{n-n}\) a zároveň \(a^n/a^n = 1\). Proč \(a^{1/2} = \sqrt a\): aby platilo \(\big(a^{1/2}\big)^2 = a^1\). Exponenty nejsou libovůle, ale jediná rozumná dohoda. Pro neceločíselné exponenty bereme \(a \gt 0\).

Vědecký zápis \(a\cdot 10^{k}\) s \(1 \le |a| \lt 10\) se hodí pro velká i malá čísla: Avogadrova konstanta je přesně \(6{,}022\,140\,76\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}\) (definice SI od roku 2019), \(0{,}000\,45 = 4{,}5\cdot 10^{-4}\).

1.7Reálná osa, intervaly a proč \(\sqrt2\) není zlomek

Reálná čísla jsou body přímky s vyznačenou nulou a jednotkou. Množiny souvislých úseků se zapisují jako intervaly: \(\langle a; b\rangle\) uzavřený (krajní body patří), \((a; b)\) otevřený, \(\langle a; \infty)\) neomezený. Česká škola píše uzavřený interval lomenými závorkami; v zahraniční a části vysokoškolské literatury se píše \([a, b]\) s desetinnou tečkou a čárkou mezi mezemi. Body v rovině průvodce píše \([x; y]\). Absolutní hodnota \(|x|\) je vzdálenost čísla \(x\) od nuly a \(|a-b|\) vzdálenost dvou čísel. Nerovnice \(|x-3| \lt 2\) tedy znamená „vzdálenost od 3 menší než 2“, tj. \(x \in (1; 5)\).interval, absolute value

Věta. \(\sqrt2\) není racionální číslo. Důkaz sporem: předpokládejme, že \(\sqrt2 = \frac pq\) a zlomek je v základním tvaru. Umocněním \(p^2 = 2q^2\), takže \(p^2\) je sudé, a proto i \(p\) je sudé (liché číslo má lichou druhou mocninu). Pišme \(p = 2k\). Pak \(4k^2 = 2q^2\), tedy \(q^2 = 2k^2\) a i \(q\) je sudé. Zlomek \(\frac pq\) by tak šel krátit dvěma, což je spor s předpokladem. \(\blacksquare\)

1.8Procvičení

2.1Výrazy a jejich úpravy

Proměnná je písmeno, za které lze dosadit číslo. Výraz je zápis z čísel, proměnných, operací a závorek; dosazením dostaneme jeho hodnotu. Mnohočlen je součet násobků mocnin proměnné s přirozenými exponenty, třeba \(3x^2 - 5x + 2\); nejvyšší exponent je jeho stupeň.variable, expression, polynomial, degree

Úpravy výrazů stojí na třech zákonech: komutativním (\(a+b = b+a\)), asociativním (\((a+b)+c = a+(b+c)\)) a hlavně distributivním \(a(b+c) = ab+ac\). Zleva doprava se mu říká roznásobení, zprava doleva vytýkání. Z distributivního zákona plynou i vzorce, které se vyplatí znát nazpaměť:distributive law, factoring

2.2Lineární rovnice

Rovnice je výrok o rovnosti dvou výrazů s neznámou. Řešit ji znamená najít všechna čísla, pro která platí. Ekvivalentní úpravy množinu řešení nemění: přičtení stejného výrazu k oběma stranám a vynásobení obou stran stejným nenulovým číslem. Rovnice, kterou jde upravit na tvar \(ax + b = 0\), je lineární.equation, equivalent transformation, linear equation

1. Odstraňte zlomky (vynásobte společným jmenovatelem) a závorky.
2. Členy s neznámou převeďte na jednu stranu, čísla na druhou.
3. Vydělte koeficientem u neznámé.
4. Udělejte zkoušku: dosaďte do původní rovnice a porovnejte levou a pravou stranu zvlášť.

Lineární rovnice \(ax = b\) má pro \(a \ne 0\) právě jedno řešení \(x = b/a\). Pro \(a = 0\) buď žádné (\(0x = 5\)), nebo nekonečně mnoho (\(0x = 0\): vyhovuje každé číslo).

Neznámá ve jmenovateli

Nejdřív podmínky: jmenovatel nesmí být nula. Pak násobíme výrazem, a to už nemusí být ekvivalentní úprava. Zkouška nebo kontrola podmínek je proto povinná.

2.3Lineární nerovnice

U nerovnic platí stejné úpravy jako u rovnic s jedinou výjimkou: násobení nebo dělení záporným číslem obrátí znak nerovnosti. Proč: \(2 \lt 3\), ale \(-2 \gt -3\); zrcadlení kolem nuly prohodí pořadí. Řešením bývá interval.linear inequality

2.4Soustavy dvou lineárních rovnic

Soustava \(a_1x + b_1y = c_1\), \(a_2x + b_2y = c_2\) hledá dvojice \((x,y)\), které splňují obě rovnice. Tři metody:system of linear equations

• Dosazovací: z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme do druhé.substitution method
• Sčítací: rovnice vynásobíme tak, aby se po sečtení jedna neznámá odečetla.elimination method
• Grafická: každá rovnice je přímka; řešení je průsečík.

Rovnoběžky mají stejnou směrnici a různý posun: rovnice si odporují (\(2x + y = 3\) a \(4x + 2y = 5\), druhá by po vydělení dvěma říkala \(2x + y = 2{,}5\)). Totožné přímky dávají dvě rovnice, z nichž jedna je násobkem druhé, takže vlastně máme jen jednu podmínku pro dvě neznámé. Obecné soustavy s mnoha neznámými řeší Gaussova eliminace v kapitole 10.

2.5Slovní úlohy a úměrnost

Postup: označit neznámé (a napsat, co znamenají), přeložit každou větu zadání do rovnice, vyřešit, ověřit v zadání (ne jen v rovnici) a odpovědět větou s jednotkou.

Přímá úměrnost \(y = kx\): kolikrát víc jednoho, tolikrát víc druhého (cena a množství). Nepřímá úměrnost \(y = k/x\): kolikrát víc jednoho, tolikrát méně druhého; konstantní je součin \(xy\).direct proportion, inverse proportion

2.6Procvičení

3.1Úhly a rovnoběžky

Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem (vrcholem). Měří se ve stupních: plný úhel má 360°, přímý 180°, pravý 90°. Úhel menší než pravý je ostrý, mezi pravým a přímým tupý.angle, acute, right, obtuse

Vedlejší úhly mají společné rameno a dohromady 180°. Vrcholové úhly jsou si rovny. Když dvě rovnoběžky protne třetí přímka, jsou si rovny souhlasné i střídavé úhly. Z toho plyne nejdůležitější věta elementární geometrie:supplementary, vertical, corresponding, alternate angles

Věta. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°. Důkaz: vrcholem \(C\) vedeme rovnoběžku se stranou \(AB\). Úhly \(\alpha\) a \(\beta\) se na ní objeví jako střídavé úhly a spolu s \(\gamma\) tvoří přímý úhel. \(\blacksquare\)

Každý konvexní \(n\)-úhelník se úhlopříčkami z jednoho vrcholu rozdělí na \(n-2\) trojúhelníků, takže součet jeho vnitřních úhlů je \((n-2)\cdot 180°\). Pravidelný šestiúhelník: \(720°\), každý úhel \(120°\).

3.2Trojúhelník

Trojúhelníková nerovnost: každá strana je kratší než součet zbylých dvou. Z délek 2, 3 a 6 trojúhelník nesestrojíte. Shodné jsou trojúhelníky, které jde přemístit na sebe; stačí ověřit jednu z vět sss (tři strany), sus (dvě strany a úhel jimi sevřený), usu (strana a dva přilehlé úhly), Ssu (dvě strany a úhel proti větší z nich).triangle inequality, congruence

3.3Pythagorova věta

Věta. V pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami \(a\), \(b\) a přeponou \(c\) platí \(a^2 + b^2 = c^2\). Platí i obrácená věta: když pro strany trojúhelníku platí \(a^2+b^2 = c^2\), je úhel proti straně \(c\) pravý. Pro \(c^2 \gt a^2+b^2\) je tupý, pro \(c^2 \lt a^2+b^2\) ostrý (důvod ukáže kosinová věta v kapitole 5).Pythagorean theorem, hypotenuse, legs

Důkaz přeskládáním je v laboratoři. Trojice přirozených čísel, které větu splňují, se jmenují pythagorejské trojice: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17. Všechny základní trojice dává Eukleidův vzorec \(a = m^2 - n^2\), \(b = 2mn\), \(c = m^2 + n^2\) pro nesoudělná \(m \gt n\) různé parity: \(m = 2, n = 1\) dává 3, 4, 5; \(m = 3, n = 2\) dává 5, 12, 13; \(m = 4, n = 1\) dává 15, 8, 17.Pythagorean triple

3.4Podobnost a Thalétova věta

Dva útvary jsou podobné, když jeden vznikne z druhého zvětšením nebo zmenšením s koeficientem podobnosti \(k\) (a případně přemístěním). Úhly se nemění, všechny délky se násobí \(k\). Trojúhelníky jsou podobné, když se shodují ve dvou úhlech (věta uu) nebo mají úměrné strany.similarity, scale factor

Plocha se skládá z čtverečků a každý se zvětší \(k\)-krát v obou směrech; objem z krychliček zvětšených ve třech směrech. Mapa 1 : 50 000 má \(k = 50\,000\): 3 cm na mapě je 1,5 km, ale 2 cm² na mapě je \(2\cdot 50\,000^2\ \text{cm}^2 = 0{,}5\ \text{km}^2\).

Thalétova věta: úhel nad průměrem kružnice je pravý. Každý bod kružnice s průměrem \(AB\) tvoří s body \(A\), \(B\) pravoúhlý trojúhelník. Důkaz: spojnice se středem \(S\) rozdělí trojúhelník na dva rovnoramenné; jejich úhly při základnách \(\varphi\) a \(\psi\) dávají \(2\varphi + 2\psi = 180°\), takže \(\varphi+\psi = 90°\).Thales’s theorem

3.5Obvody a obsahy

Obsah trojúhelníku je polovina obdélníku, který ho obepíná; rovnoběžník se odstřižením a přiložením trojúhelníku změní na obdélník. Číslo \(\pi \approx 3{,}141\,59\) je poměr obvodu kruhu k jeho průměru, stejný pro všechny kruhy, protože všechny kruhy jsou si podobné. Archimédés ho ve 3. století př. n. l. sevřel mezi \(3\frac{10}{71}\) a \(3\frac17\) pomocí mnohoúhelníků s 96 stranami.perimeter, area, Heron’s formula

3.6Tělesa

Cavalieriho princip: mají-li dvě tělesa ve všech výškách stejně velké řezy, mají stejný objem. Proto má šikmý válec stejný objem jako kolmý. Proč jehlan a kužel mají třetinu: krychli lze rozřezat na tři shodné jehlany se společným vrcholem; obecně to dokáže integrál (kapitola 9).Cavalieri’s principle

3.7Procvičení

4.1Co je funkce

Funkce \(f\) na množině \(D \subseteq \mathbb R\) je předpis, který každému \(x \in D\) přiřadí právě jedno reálné číslo \(f(x)\). Množina \(D = D(f)\) je definiční obor, množina všech hodnot \(H(f)\) obor hodnot. Graf je množina bodů \([x, f(x)]\) v rovině. Každá svislá přímka protne graf funkce nejvýš jednou.function, domain, range, graph

Vlastnosti, na které se u funkce ptáme:

• rostoucí (z \(x_1 \lt x_2\) plyne \(f(x_1) \lt f(x_2)\)) a klesající na intervalu;increasing, decreasing
• sudá (\(f(-x) = f(x)\), graf souměrný podle osy \(y\)) a lichá (\(f(-x) = -f(x)\), souměrný podle počátku);even, odd function
• omezená (hodnoty leží mezi dvěma čísly), maximum a minimum;
• prostá: různým \(x\) přiřazuje různé hodnoty. Jen prostá funkce má inverzní funkci;injective (one-to-one)
• periodická s periodou \(p\): \(f(x+p) = f(x)\) (goniometrické funkce, kapitola 5).

4.2Lineární funkce

Lineární funkce \(f(x) = kx + q\) má za graf přímku. Směrnice \(k\) říká, o kolik se změní \(y\), když \(x\) vzroste o 1; je to tangens úhlu, který přímka svírá s osou \(x\). Úsek \(q = f(0)\) je průsečík s osou \(y\). Pro \(k \gt 0\) funkce roste, pro \(k \lt 0\) klesá, pro \(k = 0\) je konstantní.linear function, slope, intercept

4.3Kvadratická funkce a kvadratická rovnice

Kvadratická funkce \(f(x) = ax^2 + bx + c\) s \(a \ne 0\) má za graf parabolu; pro \(a \gt 0\) otevřenou nahoru. Doplněním na čtverec se převede na vrcholový tvar, ze kterého je vidět vrchol i všechno ostatní:quadratic function, parabola, vertex, completing the square

Položíme-li výraz roven nule, vyjde rovnou vzorec pro kořeny kvadratické rovnice. Číslo \(D\) je diskriminant: pro \(D \gt 0\) má rovnice dva reálné kořeny, pro \(D = 0\) jeden dvojnásobný, pro \(D \lt 0\) žádný reálný (parabola osu \(x\) neprotne; komplexní kořeny ukáže kapitola 11).discriminant, quadratic formula

4.4Mocninné funkce a nepřímá úměrnost

Mocninná funkce \(f(x) = x^n\). Pro sudé \(n\) je sudá a graf připomíná parabolu, pro liché \(n\) je lichá a rostoucí. Pro \(n = -1\) dostáváme nepřímou úměrnost \(y = \frac kx\), jejímž grafem je hyperbola s asymptotami v osách. Odmocnina \(\sqrt x = x^{1/2}\) je definovaná pro \(x \ge 0\) a je inverzní k \(x^2\) na intervalu \(\langle 0; \infty)\).power function, hyperbola, asymptote

Asymptota je přímka, ke které se graf neomezeně blíží. Funkce \(\frac{1}{x-b} + c\) má svislou asymptotu \(x = b\) (tam není definovaná) a vodorovnou \(y = c\) (hodnota, ke které se blíží pro \(x \to \pm\infty\)).

4.5Exponenciální funkce

Exponenciální funkce \(f(x) = a^x\) s \(a \gt 0\), \(a \ne 1\), má proměnnou v exponentu. Charakteristická vlastnost: při posunu \(x\) o stejný krok se hodnota násobí stejným číslem (\(a^{x+1} = a\cdot a^x\)). Proto popisuje růst, který je úměrný velikosti: úrok z úroku, množení bakterií, radioaktivní rozpad. Pro \(a \gt 1\) roste, pro \(0 \lt a \lt 1\) klesá; vždy je kladná a osa \(x\) je její asymptota.exponential function, exponential growth and decay

Zvláštní roli má základ \(e = 2{,}718\,28\ldots\) (Eulerovo číslo). Funkce \(e^x\) je jediná exponenciála, jejíž směrnice tečny v každém bodě je rovna její hodnotě (kapitola 8). Číslo \(e\) je limita \(\big(1+\frac1n\big)^n\), tedy výsledek „nekonečně častého“ připisování úroku.Euler’s number

4.6Logaritmus

Logaritmus o základu \(a\) odpovídá na otázku, na kolikátou je třeba umocnit \(a\), aby vyšlo \(x\): \(\log_a x = y \iff a^y = x\), pro \(x \gt 0\). \(\log_{10}\) se píše \(\log\), přirozený logaritmus o základu \(e\) se píše \(\ln\). Logaritmus převádí násobení na sčítání, a proto se s ním před kalkulačkami počítalo na logaritmickém pravítku.logarithm, natural logarithm

4.7Inverzní funkce

Je-li \(f\) prostá, existuje inverzní funkce \(f^{-1}\), která vrací výstup zpět na vstup: \(f^{-1}(f(x)) = x\). Najdeme ji tak, že v rovnici \(y = f(x)\) vyjádříme \(x\) a pak písmena přejmenujeme. Definiční obor a obor hodnot si vymění role a graf \(f^{-1}\) je zrcadlovým obrazem grafu \(f\) podle přímky \(y = x\).inverse function

4.8Procvičení

5.1Míra úhlu: stupně a radiány

Ve stupních má plný úhel 360° (babylonské dědictví). Matematika ale dává přednost obloukové míře: velikost úhlu v radiánech je délka oblouku, který úhel vytne na kružnici s poloměrem 1. Plný úhel má tedy \(2\pi\) rad, přímý \(\pi\), pravý \(\frac\pi2\). Jeden radián je asi 57,30°.degree, radian, arc length

Radiány nejsou rozmar: jen s nimi platí jednoduché vzorce analýzy, třeba \((\sin x)' = \cos x\) nebo \(\sin x \approx x\) pro malá \(x\) (kapitola 8). Kalkulačka v režimu DEG a RAD dává pro \(\sin 1\) dvě úplně různá čísla.

5.2Pravoúhlý trojúhelník

Pro ostrý úhel \(\alpha\) pravoúhlého trojúhelníku jsou poměry stran stejné ve všech podobných trojúhelnících, a proto závisí jen na úhlu:sine, cosine, tangent

5.3Jednotková kružnice

Pro libovolný úhel \(\varphi\) (i tupý, záporný nebo větší než plný) naneseme úhel od kladné poloosy \(x\) proti směru hodinových ručiček a najdeme bod \(P\) na kružnici s poloměrem 1. Definujeme \(\cos\varphi\) jako x-ovou a \(\sin\varphi\) jako y-ovou souřadnici bodu \(P\). Pro ostré úhly to souhlasí s definicí v trojúhelníku.unit circle

Odkud se hodnoty berou: rovnostranný trojúhelník se stranou 1 rozpůlený výškou má úhly 30° a 60°, kratší odvěsnu \(\frac12\) a výšku \(\frac{\sqrt3}2\). Polovina čtverce má úhel 45° a odvěsny \(\frac{\sqrt2}2\).

Sinus a kosinus jsou periodické s periodou \(2\pi\), tangens s periodou \(\pi\). Sinus je lichý (\(\sin(-x) = -\sin x\)), kosinus sudý. Grafem sinu je sinusoida; kosinus je tatáž křivka posunutá o \(\frac\pi2\) doleva: \(\cos x = \sin\big(x+\frac\pi2\big)\).periodic function, sinusoid

5.4Vzorce

Součtové vzorce plynou z otočení: otočení o úhel \(x\) a pak o \(y\) je otočení o \(x+y\). V řeči matic (kapitola 10) i komplexních čísel (kapitola 11) je to jediný řádek; tam také najdete jejich nejkratší důkaz.

5.5Goniometrické rovnice

Kvůli periodicitě mají goniometrické rovnice nekonečně mnoho řešení. Postup: najít řešení v jedné periodě (z jednotkové kružnice jsou obvykle dvě) a přičíst násobky periody.trigonometric equation

5.6Sinová a kosinová věta

V obecném trojúhelníku značíme strany \(a, b, c\) a protilehlé úhly \(\alpha, \beta, \gamma\). Platí:law of sines, law of cosines

kde \(R\) je poloměr kružnice opsané. Kosinová věta je zobecněná Pythagorova věta: pro \(\gamma = 90°\) je \(\cos\gamma = 0\). Pro tupé \(\gamma\) je \(\cos\gamma \lt 0\), takže \(c^2 \gt a^2+b^2\); to je důvod pravidla z minihry v kapitole 3.

Důkaz kosinové věty souřadnicemi: dejme vrchol \(C\) do počátku, \(B = [a; 0]\) a \(A = [b\cos\gamma; b\sin\gamma]\). Pak \(c^2 = (a - b\cos\gamma)^2 + b^2\sin^2\gamma = a^2 - 2ab\cos\gamma + b^2(\cos^2\gamma+\sin^2\gamma)\), a to je věta. Sinovou větu dá výška \(v_c = b\sin\alpha = a\sin\beta\).

5.7Kmitání a vlny

Funkce \(y = A\sin(\omega t + \varphi_0)\) popisuje harmonické kmitání: \(A\) je amplituda, \(\omega\) úhlová frekvence, perioda \(T = \frac{2\pi}{\omega}\) a \(\varphi_0\) počáteční fáze. Graf \(\sin 3x\) má tedy periodu \(\frac{2\pi}{3} \approx 2{,}094\). Stejnou funkcí se popisuje kyvadlo, struna i napětí v zásuvce s frekvencí 50 Hz (podrobně v průvodcích Fyzika a Elektrotechnika). Že se ze sinusovek dá složit téměř jakýkoli periodický signál, ukáže Fourierova řada v kapitole 12.harmonic oscillation, amplitude, period, phase

5.8Procvičení

6.1Souřadnice a vektory

V kartézské soustavě je bod \(A = [a_1; a_2]\). Vektor je posunutí: \(\mathbf u = (u_1, u_2)\) říká, o kolik se posunout ve směru os. Vektor z bodu \(A\) do bodu \(B\) je \(\overrightarrow{AB} = B - A = (b_1 - a_1, b_2 - a_2)\). Jeho velikost (délka) plyne z Pythagorovy věty.Cartesian coordinates, vector, magnitude

Vektory se sčítají po složkách (geometricky „řetězením“ nebo úhlopříčkou rovnoběžníku) a násobí číslem (prodloužení, zkrácení, otočení o 180° pro záporné číslo). Výraz \(s\mathbf u + t\mathbf v\) je lineární kombinace; každý vektor roviny je lineární kombinací dvou nerovnoběžných vektorů. Na tom stojí lineární algebra (kapitola 10).linear combination

6.2Skalární součin

Skalární součin dvou vektorů je číslo

Proč se oba výrazy rovnají: na trojúhelník se stranami \(\mathbf u\), \(\mathbf v\) a \(\mathbf u - \mathbf v\) použijeme kosinovou větu, \(|\mathbf u-\mathbf v|^2 = |\mathbf u|^2 + |\mathbf v|^2 - 2|\mathbf u||\mathbf v|\cos\varphi\), a levou stranu rozepíšeme po složkách. Nejdůležitější důsledek: vektory jsou kolmé, právě když je jejich skalární součin nulový.dot product (scalar product), orthogonal

6.3Přímka v rovině

Přímku určuje bod \(A\) a směrový vektor \(\mathbf u\), nebo bod a normálový vektor \(\mathbf n\) (kolmý k přímce). Tři zápisy:direction vector, normal vector

• parametrický: \(X = A + t\,\mathbf u\), \(t \in \mathbb R\) (bod se pohybuje s „časem“ \(t\));parametric equation
• obecný: \(ax + by + c = 0\), kde \(\mathbf n = (a, b)\) je normálový vektor;general (implicit) equation
• směrnicový: \(y = kx + q\) (nejde pro svislé přímky).

Dvě přímky jsou rovnoběžné, mají-li rovnoběžné normálové vektory, a kolmé, je-li skalární součin normálových vektorů nulový. Průsečík je řešení soustavy dvou lineárních rovnic (kapitola 2).

6.4Kružnice

Kružnice se středem \(S = [m; n]\) a poloměrem \(r\) je množina bodů ve vzdálenosti \(r\) od středu: \((x-m)^2 + (y-n)^2 = r^2\). Z obecného tvaru se střed a poloměr zjistí doplněním na čtverec. Tečna v bodě \(T\) je kolmá k poloměru \(ST\), takže \(\overrightarrow{ST}\) je její normálový vektor.circle, tangent

6.5Kuželosečky

Řezy kuželu rovinou (Apollónios z Pergy, kolem 200 př. n. l.) dávají čtyři křivky. V analytické geometrii je definujeme vzdálenostmi:conic sections, ellipse, hyperbola, parabola

6.6Vektory v prostoru

V prostoru má bod tři souřadnice a vektor tři složky. Velikost i skalární součin se počítají stejně, jen s třetím členem. Nově přibývá vektorový součin \(\mathbf u\times\mathbf v\): vektor kolmý k oběma, jehož velikost je obsah rovnoběžníku napnutého \(\mathbf u\) a \(\mathbf v\). Rovina má obecnou rovnici \(ax + by + cz + d = 0\) s normálovým vektorem \((a, b, c)\).cross product, plane

6.7Procvičení

7.1Posloupnosti a aritmetická posloupnost

Posloupnost je funkce definovaná na přirozených číslech: každému \(n\) přiřadí člen \(a_n\). Zadat ji lze vzorcem pro \(n\)-tý člen (\(a_n = n^2\)) nebo rekurentně, tedy pomocí předchozích členů: Fibonacciho posloupnost \(1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots\) má \(F_{n+1} = F_n + F_{n-1}\).sequence, recursive definition

Aritmetická posloupnost má stálý rozdíl sousedních členů, diferenci \(d\). Její graf leží na přímce.arithmetic sequence, common difference

7.2Geometrická posloupnost

Geometrická posloupnost má stálý podíl sousedních členů, kvocient \(q\). Je to diskrétní obdoba exponenciální funkce (kapitola 4): růst o stálé procento, úrok z úroku, dělení buněk.geometric sequence, common ratio

Vzorec pro součet: \(s_n\) a \(q\,s_n\) se liší jen prvním a posledním členem, takže \(q s_n - s_n = a_1 q^n - a_1\).

7.3Nekonečná geometrická řada

Sčítat nekonečně mnoho čísel znamená sledovat částečné součty \(s_n\) a ptát se, k čemu se blíží (limita, kapitola 8). Pro \(|q| \lt 1\) jde \(q^n\) k nule a součet konverguje:infinite series, convergence

\(\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots = 1\), \(3 + 1 + \frac13 + \dots = 4{,}5\) a \(0{,}\overline{9} = \frac{0{,}9}{1-0{,}1} = 1\). Zénónův paradox o Achilleovi, který nedohoní želvu, protože musí uběhnout nekonečně mnoho úseků, řeší právě to, že nekonečně mnoho úseků může mít konečný součet.

7.4Kombinatorika

Základ je pravidlo součinu: má-li první volba \(m\) možností a druhá \(n\) možností (nezávisle na první), je dvojic \(m\cdot n\). Odtud všechny vzorce:rule of product, combinatorics

Faktoriál \(n! = 1\cdot 2\cdots n\), \(0! = 1\). Kombinace jsou variace vydělené \(k!\): každý neuspořádaný výběr odpovídá \(k!\) uspořádaným. Permutace s opakujícími se prvky: \(\frac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots}\).factorial, permutation, variation, combination, binomial coefficient

7.5Binomická věta a Pascalův trojúhelník

Při roznásobení \((a+b)(a+b)\cdots(a+b)\) vybíráme z každé závorky \(a\), nebo \(b\); člen \(a^{n-k}b^k\) vznikne tolikrát, kolika způsoby lze vybrat \(k\) závorek s \(b\). Druhý vzorec je pravidlo Pascalova trojúhelníku: výběry \(k\) prvků z \(n\) se dělí na ty, které obsahují poslední prvek, a ty, které ho neobsahují. Dosazením \(a = b = 1\) vyjde, že součet \(n\)-tého řádku je \(2^n\): počet všech podmnožin \(n\)-prvkové množiny.binomial theorem, Pascal’s triangle

7.6Klasická pravděpodobnost

U náhodného pokusu s konečně mnoha stejně možnými výsledky (množina \(\Omega\)) je pravděpodobnost jevu \(A\) podíl příznivých výsledků (Laplace, 1812). Z definice plynou pravidla:classical probability, sample space, event

Jevy jsou nezávislé, když \(P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)\): výsledek jednoho nemění šance druhého (dva hody kostkou). Otázku „aspoň jednou“ je téměř vždy snazší řešit přes doplněk „ani jednou“.independent events, complement

7.7Binomické rozdělení

Opakujeme-li \(n\)-krát nezávisle pokus s pravděpodobností úspěchu \(p\), je pravděpodobnost právě \(k\) úspěchů

Binomický koeficient počítá, na kterých místech úspěchy jsou, zbytek je pravidlo součinu pro nezávislé jevy. Deset hodů mincí dá právě 5 rubů s pravděpodobností \(\binom{10}{5}/2^{10} = 252/1\,024 = 24{,}6\ \%\), aspoň 8 rubů s pravděpodobností \(56/1\,024 = 5{,}5\ \%\). Střední hodnotu, rozptyl, zákon velkých čísel a přechod k normálnímu rozdělení vykládá průvodce Statistika a modely.binomial distribution

7.8Procvičení

8.1Limita posloupnosti

Posloupnost \(a_n\) má limitu \(L\), jestliže se k \(L\) blíží libovolně těsně: pro každé \(\varepsilon \gt 0\) existuje \(n_0\) takové, že \(|a_n - L| \lt \varepsilon\) pro všechna \(n \ge n_0\). Píšeme \(\lim_{n\to\infty} a_n = L\). Definice nemluví o „nekonečně malých“ veličinách, jen o konečných číslech \(\varepsilon\) a \(n_0\); tak ji v 19. století zpřesnili Cauchy a Weierstrass.limit of a sequence, epsilon–delta

8.2Limita funkce

\(\lim_{x\to a} f(x) = L\) znamená: pro každé \(\varepsilon \gt 0\) existuje \(\delta \gt 0\) tak, že \(|f(x) - L| \lt \varepsilon\), kdykoli \(0 \lt |x - a| \lt \delta\). Hodnota \(f(a)\) sama nehraje roli, funkce v \(a\) ani nemusí být definovaná. Limity se sčítají, násobí a dělí jako čísla (dělit jen nenulovou limitou).limit of a function, one-sided limit

V první limitě je „\(\frac00\)“ jen zdánlivý problém: pro \(x \ne 2\) lze zlomek krátit. Druhá (úhel v radiánech) říká, že pro malé \(x\) je \(\sin x \approx x\): \(\frac{\sin 0{,}1}{0{,}1} = 0{,}99833\), \(\frac{\sin 0{,}01}{0{,}01} = 0{,}99998\). Geometricky: krátký oblouk na jednotkové kružnici je skoro stejně dlouhý jako jeho svislý průmět.

8.3Spojitost

Funkce je spojitá v bodě \(a\), když \(\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\): graf se dá nakreslit bez zvednutí tužky. Polynomy, exponenciála, sinus a kosinus jsou spojité všude, kde jsou definované. Spojité funkce na uzavřeném intervalu \(\langle a; b\rangle\) mají dvě klíčové vlastnosti:continuity

• Bolzanova věta: mají-li \(f(a)\) a \(f(b)\) opačná znaménka, má \(f\) mezi nimi nulový bod.intermediate value theorem
• Weierstrassova věta: funkce nabývá na \(\langle a; b\rangle\) svého maxima i minima.extreme value theorem

8.4Derivace

Směrnice sečny grafu mezi body \(a\) a \(a+h\) je diferenční podíl. Jeho limita pro \(h \to 0\) je derivace funkce \(f\) v bodě \(a\) a geometricky je to směrnice tečny ke grafu:difference quotient, derivative, tangent line

Funkce, která má derivaci, je spojitá. Opak neplatí: \(|x|\) je v nule spojitá, ale má tam „zlom“; zleva má směrnici −1, zprava +1, a derivace neexistuje.

8.5Pravidla derivování

Odkud \((\sin x)' = \cos x\): \(\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} = \sin x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h}\) a pro \(h\to 0\) jde první zlomek k 0 a druhý k 1 (oddíl 8.2). Součinové pravidlo plyne z obsahu obdélníku \(f\cdot g\), jehož strany se změní o \(\Delta f\) a \(\Delta g\).product rule, quotient rule, chain rule

8.6Průběh funkce a extrémy

Je-li \(f' \gt 0\) na intervalu, funkce tam roste; je-li \(f' \lt 0\), klesá. V bodě lokálního extrému diferencovatelné funkce je tečna vodorovná: \(f'(a) = 0\) (Fermatova věta). Mění-li \(f'\) v takovém stacionárním bodě znaménko z + na −, jde o maximum, z − na + o minimum. Druhá derivace měří zakřivení: \(f'' \gt 0\) znamená konvexní („úsměv“), \(f'' \lt 0\) konkávní; bod, kde se zakřivení mění, je inflexní.stationary point, local maximum, convex, inflection point

8.7Optimalizace

Úloha „najdi nejlepší“ se řeší ve třech krocích: vyjádřit veličinu jako funkci jedné proměnné, najít body s nulovou derivací (a krajní body), porovnat hodnoty.

8.8Taylorův polynom a Newtonova metoda

V okolí bodu \(a\) se funkce dá nahradit polynomem se stejnými derivacemi. Tečna je polynom prvního stupně, další členy zpřesňují:Taylor polynomial, Newton’s method

Pro \(e^x\) kolem nuly: \(e^{0{,}1} \approx 1 + 0{,}1 + 0{,}005 = 1{,}105\) (přesně 1,10517); \(e \approx 1 + 1 + \frac12 + \frac16 + \frac1{24} = 2{,}708\,3\). Tak počítají sinus a exponenciálu kalkulačky a počítače.

Newtonova metoda hledá kořen rovnice \(f(x) = 0\) tak, že graf nahradí tečnou a vezme její průsečík s osou: \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\). Pro \(f(x) = x^2 - 2\) dává \(x_{n+1} = \frac12\big(x_n + \frac{2}{x_n}\big)\): z \(x_0 = 1\) postupně 1,5; 1,416667; 1,414216; 1,41421356. Počet správných číslic se v každém kroku zhruba zdvojnásobí.

8.9Procvičení

9.1Plocha pod grafem a Riemannův součet

Interval \(\langle a; b\rangle\) rozdělíme body \(a = x_0 \lt x_1 \lt \dots \lt x_n = b\) a v každém dílku zvolíme bod \(\xi_i\). Riemannův součet je součet obsahů obdélníků. Je-li funkce na dílku nejmenší, dostaneme dolní součet, je-li největší, horní součet; skutečná plocha leží mezi nimi.Riemann sum, partition, lower and upper sum

Funkce je integrovatelná, když limita existuje a nezávisí na volbě bodů \(\xi_i\), tedy když se dolní a horní součty sbíhají ke stejnému číslu. To platí pro každou spojitou funkci na uzavřeném intervalu a pro každou omezenou funkci s konečně mnoha skoky. Bernhard Riemann tuto definici podal v roce 1854. Symbol \(\int\) je protažené S (summa), jak ho zavedl Leibniz.integrable function

9.2Primitivní funkce

Funkce \(F\) je primitivní k \(f\), když \(F' = f\). Primitivní funkce se liší jen o konstantu, proto píšeme \(\int f(x)\,dx = F(x) + C\) a mluvíme o neurčitém integrálu. Tabulka je obrácená tabulka derivací:antiderivative, indefinite integral

9.3Newtonova–Leibnizova věta

Věta. Je-li \(f\) spojitá na \(\langle a; b\rangle\) a \(F\) její primitivní funkce, pak

Proč: označme \(A(x) = \int_a^x f(t)\,dt\) plochu od \(a\) do \(x\). Když \(x\) posuneme o malé \(h\), přibude proužek široký \(h\) a vysoký přibližně \(f(x)\): \(A(x+h) - A(x) \approx f(x)\,h\). Po vydělení \(h\) a limitě dostaneme \(A'(x) = f(x)\), takže \(A\) je primitivní funkce. Dvě primitivní funkce se liší o konstantu a \(A(a) = 0\), proto \(A(b) = F(b) - F(a)\). Přesně to ukazuje druhá laboratoř.fundamental theorem of calculus

9.4Metody integrace

Substituce je obrácené řetízkové pravidlo: \(\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du\) s \(u = g(x)\). Per partes je obrácené pravidlo pro součin: \(\int u\,v'\,dx = uv - \int u'\,v\,dx\).substitution, integration by parts

9.5Aplikace

• Plocha mezi křivkami: \(\int_a^b (f - g)\,dx\) pro \(f \ge g\). Mezi \(y = x\) a \(y = x^2\) na \(\langle 0; 1\rangle\): \(\frac12 - \frac13 = \frac16\).
• Objem rotačního tělesa: \(V = \pi\int_a^b f(x)^2\,dx\) (tenké kotouče). Koule: \(\pi\int_{-r}^{r}(r^2 - x^2)\,dx = \frac43\pi r^3\). Rotací \(y = \sqrt x\) na \(\langle 0; 4\rangle\) vznikne paraboloid s objemem \(\pi\int_0^4 x\,dx = 8\pi \approx 25{,}13\).volume of revolution
• Střední hodnota funkce: \(\frac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx\). Sinus na \(\langle 0; \pi\rangle\) má průměr \(\frac2\pi \approx 0{,}637\); proto efektivní a střední hodnoty střídavého proudu nejsou totéž (průvodce Elektrotechnika).mean value
• Dráha z rychlosti: \(s = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt\). Auto zrychluje rychlostí \(v = 3t\) m/s po 10 s: ujede \(\int_0^{10}3t\,dt = 150\) m. Práce síly po dráze, náboj z proudu nebo energie z výkonu se počítají stejně (průvodce Fyzika).

9.6Numerická integrace a nevlastní integrály

Počítače integrují numericky. Obdélníková metoda s levými okraji má chybu úměrnou \(h = \frac{b-a}{n}\), lichoběžníková a středová \(h^2\) a Simpsonova (paraboly přes tři body) \(h^4\). Pro \(\int_0^\pi\sin x\,dx = 2\) se čtyřmi dílky: lichoběžníky 1,8961, středy 2,0523, Simpson 2,0046.trapezoidal rule, midpoint rule, Simpson’s rule

Nevlastní integrál má nekonečnou mez (nebo neomezenou funkci) a počítá se limitou: \(\int_1^\infty\frac{dx}{x^2} = \lim_{b\to\infty}\big(1 - \frac1b\big) = 1\). Nekonečně dlouhá plocha má konečný obsah. Naopak \(\int_1^\infty\frac{dx}{x} = \lim\ln b = \infty\), stejně jako harmonická řada z kapitoly 7.improper integral

9.7Procvičení

10.1Matice a počítání s nimi

Matice typu \(m\times n\) je obdélníková tabulka čísel s \(m\) řádky a \(n\) sloupci. Matice stejného typu se sčítají po prvcích a násobí číslem po prvcích. Součin \(AB\) matic typu \(m\times n\) a \(n\times p\) má na místě \((i, j)\) skalární součin \(i\)-tého řádku \(A\) a \(j\)-tého sloupce \(B\).matrix, matrix product

Násobení matic není komutativní: \(AB \ne BA\) obecně. Je ale asociativní, a to stačí, protože odpovídá skládání zobrazení (oddíl 10.5). Jednotková matice \(I\) má na diagonále jedničky a jinde nuly; \(AI = IA = A\).identity matrix, non-commutative

10.2Soustavy rovnic a Gaussova eliminace

Soustavu \(m\) lineárních rovnic o \(n\) neznámých zapíšeme \(A\mathbf x = \mathbf b\). Gaussova eliminace převede rozšířenou matici \((A\,|\,\mathbf b)\) řádkovými úpravami na schodovitý tvar, ze kterého se neznámé dopočítají odspodu (zpětná substituce). Pokračováním až k jednotkové matici vlevo (Gauss–Jordan) se řešení přečte přímo.Gaussian elimination, row echelon form, back substitution

Hodnost matice je počet nenulových řádků ve schodovitém tvaru. Frobeniova věta: soustava má řešení, právě když má matice soustavy stejnou hodnost jako rozšířená matice. Je-li hodnost rovna počtu neznámých, je řešení jediné; je-li menší, je jich nekonečně mnoho a počet volných parametrů je rozdíl.rank, Rouché–Capelli theorem

10.3Determinant

Determinant čtvercové matice je číslo, které říká, kolikrát matice zvětší obsah (ve 3D objem) a zda převrátí orientaci (záporné znaménko). Je nulový, právě když matice „zplácne“ rovinu do přímky nebo bodu; pak nemá inverzi a soustava \(A\mathbf x = \mathbf b\) nemá jediné řešení.determinant

Platí \(\det(AB) = \det A\cdot\det B\): zvětšení obsahu se při skládání násobí. Cramerovo pravidlo pro soustavu s \(\det A \ne 0\): \(x_i = \frac{\det A_i}{\det A}\), kde \(A_i\) vznikne nahrazením \(i\)-tého sloupce pravou stranou. Pro velké soustavy je pomalé, ale ukazuje, že řešení spojitě závisí na koeficientech.Cramer’s rule

10.4Inverzní matice

Čtvercová matice \(A\) s \(\det A \ne 0\) má inverzní matici \(A^{-1}\), pro kterou \(AA^{-1} = A^{-1}A = I\). Řešení soustavy je pak \(\mathbf x = A^{-1}\mathbf b\). Pro matici 2×2:inverse matrix

Větší matice se invertují Gaussovou eliminací: matici \((A\,|\,I)\) upravíme na \((I\,|\,A^{-1})\).

10.5Lineární zobrazení

Zobrazení \(f\) je lineární, když zachovává součty a násobky: \(f(\mathbf u + \mathbf v) = f(\mathbf u) + f(\mathbf v)\), \(f(c\mathbf u) = cf(\mathbf u)\). Každé lineární zobrazení roviny je násobení maticí a sloupce matice jsou obrazy bázových vektorů \((1, 0)\) a \((0, 1)\). Přímky přejdou v přímky, rovnoběžky v rovnoběžky a počátek zůstane na místě.linear map (linear transformation), basis

Složení zobrazení odpovídá součinu matic. Otočení o \(\beta\) a pak o \(\alpha\) je otočení o \(\alpha+\beta\); roznásobením matic vyjdou přesně součtové vzorce \(\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\) a \(\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\) z kapitoly 5.

10.6Vlastní čísla a vlastní vektory

Nenulový vektor \(\mathbf v\) je vlastní vektor matice \(A\) s vlastním číslem \(\lambda\), když \(A\mathbf v = \lambda\mathbf v\): matice ho jen natáhne, zkrátí nebo otočí o 180°. Rovnice \((A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0\) má nenulové řešení, jen když \(\det(A - \lambda I) = 0\); to je charakteristická rovnice.eigenvalue, eigenvector, characteristic equation

Má-li matice \(n\) nezávislých vlastních vektorů, dá se zapsat jako \(A = PDP^{-1}\), kde \(D\) je diagonální s vlastními čísly a sloupce \(P\) jsou vlastní vektory (diagonalizace). Pak \(A^n = PD^nP^{-1}\): umocnit diagonální matici je snadné. Dlouhodobé chování \(A^n\mathbf x\) proto určuje největší vlastní číslo.diagonalization

10.7Vektorové prostory

Všechno výše funguje nejen pro šipky v rovině. Vektorový prostor je jakákoli množina, ve které jde rozumně sčítat a násobit čísly: \(n\)-tice, polynomy, spojité funkce, signály. Vektory jsou lineárně nezávislé, když žádný není lineární kombinací ostatních; nezávislá množina, která celý prostor „vygeneruje“, je báze a počet jejích prvků dimenze. Polynomy stupně nejvýš 2 tvoří prostor dimenze 3 s bází \(1, x, x^2\); derivace je na něm lineární zobrazení. Fourierova řada v kapitole 12 je rozklad funkce do báze sinů a kosinů.vector space, linear independence, basis, dimension

10.8Procvičení

11.1Komplexní čísla

Komplexní číslo je \(z = a + bi\), kde \(a, b\) jsou reálná čísla a \(i\) je imaginární jednotka s vlastností \(i^2 = -1\). \(a = \operatorname{Re} z\) je reálná a \(b = \operatorname{Im} z\) imaginární část. Počítá se jako s mnohočleny, jen se \(i^2\) nahradí −1. Komplexně sdružené číslo je \(\bar z = a - bi\) a absolutní hodnota \(|z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z\bar z}\).complex number, imaginary unit, complex conjugate, modulus

11.2Gaussova rovina a goniometrický tvar

Číslo \(a + bi\) je bod \([a; b]\) roviny. Jeho vzdálenost od počátku je \(r = |z|\), úhel od kladné reálné osy je argument \(\varphi\). Odtud goniometrický tvar \(z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\). Při násobení se absolutní hodnoty násobí a argumenty sčítají; odtud Moivreova věta:complex plane, argument, polar form, de Moivre’s formula

11.3Eulerův vzorec a základní věta algebry

Dosadíme-li do Taylorovy řady \(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots\) (kapitola 8) imaginární číslo \(i\varphi\) a rozdělíme sudé a liché členy, dostaneme řady pro kosinus a sinus. To je Eulerův vzorec (Leonhard Euler, 1748):Euler’s formula

Poslední rovnost spojuje pět nejdůležitějších konstant matematiky. Praktičtější je pravidlo \(e^{i\alpha}e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}\): jeho reálná a imaginární část jsou součtové vzorce z kapitoly 5. Základní věta algebry (první důkaz Gauss 1799, úplně přesný až později) říká, že každý polynom stupně \(n \ge 1\) má v komplexních číslech \(n\) kořenů (počítáno s násobností). Rovnice \(x^2 + 2x + 5 = 0\) s \(D = -16\) má kořeny \(-1 \pm 2i\).fundamental theorem of algebra

11.4Diferenciální rovnice 1. řádu

Obyčejná diferenciální rovnice (ODR) svazuje neznámou funkci s jejími derivacemi. Řešit ji znamená najít všechny funkce, které ji splňují; obecné řešení obsahuje konstanty, které určí počáteční podmínka. Nejjednodušší a nejdůležitější je rovnice růstu a rozpadu:ordinary differential equation (ODE), initial condition

Odvození separací proměnných: \(\frac{dy}{y} = k\,dt\), integrací \(\ln|y| = kt + C\). Rychlost změny úměrná velikosti dává exponenciálu; proto se tak chová úrok, množení bakterií i radioaktivní rozpad (průvodce Jaderná fyzika).separation of variables

Logistická rovnice \(y' = ry\big(1 - \frac yK\big)\) přidává strop \(K\) (kapacitu prostředí). Řešení \(y(t) = \frac{K}{1 + \frac{K - y_0}{y_0}e^{-rt}}\) roste nejdřív exponenciálně, pak se zpomalí a přimkne ke \(K\). Pro \(K = 1\,000\), \(r = 0{,}5\) a \(y_0 = 10\) dosáhne poloviny kapacity v čase \(\frac{\ln 99}{0{,}5} = 9{,}19\). Stav \(y = K\) je stabilní, \(y = 0\) nestabilní rovnováha.logistic equation, carrying capacity, equilibrium

Směrové pole zakreslí v každém bodě sklon, který rovnice předepisuje; řešení jsou křivky tečné k poli. Eulerova metoda po poli kráčí krokem \(h\): \(y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n, y_n)\). Pro \(y' = y\), \(y(0) = 1\) a \(h = 0{,}1\) dá po deseti krocích \(1{,}1^{10} = 2{,}594\) místo \(e = 2{,}718\); chyba je úměrná \(h\). Laboratoř používá přesnější metodu Runge–Kutta s chybou úměrnou \(h^4\).slope field, Euler’s method

11.5Lineární rovnice 2. řádu

Rovnice \(y'' + py' + qy = 0\) s konstantními \(p, q\) popisuje pružinu s tlumením, obvod RLC, kyvadlo při malých výchylkách. Zkusmé řešení \(y = e^{\lambda t}\) vede na charakteristickou rovnici \(\lambda^2 + p\lambda + q = 0\) a její kořeny rozhodnou o všem:second-order linear ODE, characteristic equation, damped oscillator

Komplexní kořeny dávají kmity díky Eulerovu vzorci: \(e^{(\alpha + \beta i)t} = e^{\alpha t}(\cos\beta t + i\sin\beta t)\). Netlumený oscilátor \(x'' + \omega^2x = 0\) má kořeny \(\pm\omega i\) a řešení \(A\cos(\omega t + \varphi_0)\) z kapitoly 5. Matematické kyvadlo délky \(l\) má pro malé výchylky \(\omega = \sqrt{g/l}\); pro \(l = 1\) m a normální tíhové zrychlení \(g = 9{,}806\,65\ \text{m/s}^2\) je perioda \(2\pi\sqrt{l/g} = 2{,}006\) s.

11.6Fázový portrét a stabilita

Rovnici 2. řádu přepíšeme na soustavu dvou rovnic 1. řádu: \(x' = v\), \(v' = -\omega^2 x - 2\zeta\omega v\). Stav systému je bod \([x; v]\) ve fázové rovině a řešení jsou křivky, po kterých se stav pohybuje. Soustava je \(\mathbf u' = A\mathbf u\) s maticí \(A = \begin{pmatrix}0&1\\-\omega^2&-2\zeta\omega\end{pmatrix}\) a typ rovnovážného bodu v počátku určují vlastní čísla matice \(A\) (kapitola 10).phase portrait, equilibrium, stability

11.7Procvičení

12.1Výroky a důkazy

Matematická věta má obvykle tvar implikace \(A \Rightarrow B\): jestliže platí předpoklad \(A\), platí závěr \(B\). S ní je ekvivalentní obměna \(\neg B \Rightarrow \neg A\), ale ne obrácená implikace \(B \Rightarrow A\). Negace „pro každé \(x\) platí \(P\)“ je „existuje \(x\), pro které \(P\) neplatí“. Formální logiku a typické chyby v úsudcích podrobně vykládá průvodce Logika a kritické myšlení.implication, contrapositive, quantifier

• Přímý důkaz: řetězec implikací od předpokladu k závěru. Součet dvou lichých čísel je sudý: \((2k+1) + (2l+1) = 2(k+l+1)\).direct proof
• Důkaz obměnou: je-li \(n^2\) sudé, je \(n\) sudé. Dokážeme obměnu: je-li \(n = 2k+1\) liché, je \(n^2 = 2(2k^2+2k)+1\) liché.
• Důkaz sporem: předpokládáme opak a odvodíme nesmysl. Tak se dokazuje iracionalita \(\sqrt2\) (kapitola 1) i nekonečnost prvočísel (níže).proof by contradiction
• Protipříklad: jediný stačí k vyvrácení obecného tvrzení. \(n^2 + n + 41\) je prvočíslo pro \(n = 0, 1, \dots, 39\), ale pro \(n = 40\) dává \(1\,681 = 41^2\). Čtyřicet příkladů není důkaz.counterexample

12.2Matematická indukce

Chceme dokázat tvrzení \(V(n)\) pro všechna přirozená \(n\). Stačí dvě věci: základ \(V(1)\) platí a indukční krok: z \(V(n)\) plyne \(V(n+1)\). Jako řada kostek domina: padne první a každá shodí další.mathematical induction, base case, inductive step

12.3Množiny a nekonečna

Dvě množiny mají stejnou mohutnost, když mezi nimi existuje bijekce, tedy párování prvek na prvek. Pro konečné množiny je to počet prvků. Množina je spočetná, když má stejnou mohutnost jako \(\mathbb N\): její prvky jde seřadit do posloupnosti. Spočetné jsou překvapivě i \(\mathbb Z\) (0, 1, −1, 2, −2, …) a \(\mathbb Q\).cardinality, bijection, countable set

Věta (Cantor). Reálná čísla z intervalu \((0; 1)\) spočetná nejsou. Diagonální důkaz (1891): předpokládejme, že je seřadíme do posloupnosti \(x_1, x_2, \dots\) Sestrojíme číslo \(y\), které se od \(x_n\) liší v \(n\)-té desetinné číslici (třeba 5 změníme na 6 a vše ostatní na 5). Pak \(y\) není nikde v seznamu, protože se od každého jeho členu liší aspoň v jedné číslici. Spor: žádný seznam nemůže obsahovat všechna reálná čísla.Cantor’s diagonal argument, uncountable set

Obecně platí Cantorova věta: množina všech podmnožin \(A\) má vždy větší mohutnost než \(A\). Nekonečen je tedy nekonečně mnoho druhů. Zda existuje mohutnost mezi \(\mathbb N\) a \(\mathbb R\) (hypotéza kontinua), nejde z obvyklých axiomů teorie množin (ZFC) ani dokázat (Paul Cohen, 1963), ani vyvrátit (Kurt Gödel, 1940).Cantor’s theorem, continuum hypothesis

12.4Teorie čísel: prvočísla, kongruence a myšlenka RSA

Prvočísel ubývá, ale pomalu. Věta o prvočíslech (Hadamard a de la Vallée Poussin, 1896) říká, že počet prvočísel do \(n\) je přibližně \(\frac{n}{\ln n}\): do milionu je jich 78 498, odhad dává 72 382 a relativní chyba s rostoucím \(n\) klesá k nule. Největší známé prvočíslo je k 13. 10. 2026 Mersennovo prvočíslo \(2^{136\,279\,841} - 1\) se 41 024 320 číslicemi, nalezené v říjnu 2024 projektem dobrovolných výpočtů GIMPS.prime number theorem, Mersenne prime

Čísla \(a\), \(b\) jsou kongruentní modulo \(m\), \(a \equiv b \pmod m\), když dávají stejný zbytek po dělení \(m\). S kongruencemi se sčítá a násobí jako s čísly; je to aritmetika hodin. Dnes, 13. 10. 2026, je úterý. Za 100 dní bude, protože \(100 = 14\cdot 7 + 2\), o dva dny dál v týdnu: čtvrtek 21. 1. 2027.congruence, modular arithmetic

Příklady: \(3^4 = 81 \equiv 1 \pmod 5\), \(2^{10} = 1\,024 \equiv 1 \pmod{11}\). Velké mocniny se tak zkracují: \(7^{100} \bmod 13\): protože \(7^{12} \equiv 1\) a \(100 = 8\cdot 12 + 4\), je \(7^{100} \equiv 7^4 = 2\,401 \equiv 9 \pmod{13}\).

Eukleidův algoritmus počítá NSD opakovaným dělením se zbytkem, protože \(D(a, b) = D(b, a \bmod b)\): \(1\,071 = 2\cdot 462 + 147\), \(462 = 3\cdot 147 + 21\), \(147 = 7\cdot 21 + 0\), tedy \(D = 21\). Zpětné dosazení dá Bézoutovu rovnost \(21 = -3\cdot 1\,071 + 7\cdot 462\). Odtud se počítají inverze modulo \(m\): číslo \(d\) s \(ed \equiv 1 \pmod m\).Euclidean algorithm, Bézout’s identity, modular inverse

Mnoho otázek o prvočíslech je stále otevřených. Goldbachova hypotéza (každé sudé číslo větší než 2 je součtem dvou prvočísel; 100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53) je ověřena počítači do obrovských čísel, ale nedokázána. Nevíme, zda je nekonečně mnoho prvočíselných dvojčat (pod 100 jich je 8 dvojic). A Riemannova hypotéza o rozložení prvočísel je jedním ze sedmi problémů tisíciletí.

12.5Fourierovy řady

Joseph Fourier (Analytická teorie tepla, 1822) tvrdil, že každou rozumnou periodickou funkci s periodou \(2\pi\) lze napsat jako součet sinů a kosinů:Fourier series, harmonics

Proč právě takové koeficienty: funkce \(\cos kx\) a \(\sin kx\) jsou navzájem „kolmé“ ve smyslu skalárního součinu \(\int_{-\pi}^{\pi}f\,g\,dx\) (integrál součinu dvou různých je nula). Koeficient je tedy průmět funkce do jednoho směru báze, přesně jako souřadnice vektoru v kapitolách 6 a 10. Pro obdélníkový signál (±1) vyjde \(b_k = \frac{4}{\pi k}\) pro lichá \(k\) a nula jinak.orthogonality, inner product of functions

12.6Hranice matematiky

Eukleidés postavil geometrii na pěti postulátech. Pátý (o rovnoběžkách) se dva tisíce let marně pokoušeli dokázat z ostatních, až Nikolaj Lobačevskij (1829) a János Bolyai (1832) ukázali, že bez něj vzniká bezesporná neeukleidovská geometrie, ve které má trojúhelník součet úhlů menší než 180°. Axiomy nejsou samozřejmé pravdy, ale volba výchozích pravidel.axiomatic method, non-Euclidean geometry

David Hilbert v roce 1900 doufal, že matematiku půjde celou vystavět na axiomech, ze kterých se mechanicky dokáže každé pravdivé tvrzení. Kurt Gödel v roce 1931 dokázal, že to nejde: každá bezesporná teorie, ve které jde počítat s přirozenými čísly, obsahuje pravdivá tvrzení, která v ní dokázat nelze, a nemůže dokázat ani vlastní bezespornost (věty o neúplnosti). Alan Turing v roce 1936 ukázal, že neexistuje algoritmus, který by o každém programu rozhodl, zda se zastaví (podrobně průvodce Informatika).incompleteness theorems, halting problem

Hranice se posouvají i jinak. Větu o čtyřech barvách (každou mapu lze obarvit čtyřmi barvami) dokázali Appel a Haken v roce 1976 s pomocí počítače. Velkou Fermatovu větu, nevyřešenou 350 let, dokázal Andrew Wiles (publikováno 1995). A náhodnost se stala nástrojem: metoda Monte Carlo z laboratoře vychází z úvahy Georges-Louise Buffona (1777) o házení jehly na linkovanou podlahu.

12.7Procvičení