Logika a kritické myšlení

1.1Výrok, premisa, závěr

Výrok je věta, o níž má smysl říci, zda je pravdivá, nebo nepravdivá. „Praha leží na Vltavě“ je výrok, stejně jako nepravdivé „Praha leží na Labi“. Otázka „Kolik je hodin?“, rozkaz „Zavři okno“ ani pozdrav výroky nejsou.proposition, statement

Argument je soubor výroků, v němž jedny – premisy – předkládáme jako důvody pro jiný výrok – závěr. Argument tedy není spor ani výměna názorů, ale struktura zdůvodnění.argument, premise, conclusion

V běžné řeči prozrazují závěr slova tedy, proto, a tak, z toho plyne, lze usoudit; premisu slova protože, neboť, jelikož, vzhledem k tomu, že. Závěr nemusí stát na konci: „Vezmi si deštník, protože hlásili déšť“ má závěr na začátku. Rozbor proto začíná otázkou: Co mě tu chce autor přesvědčit? To je závěr. Proč bych tomu měl věřit? To jsou premisy.

Argument zapíšeme ve standardním tvaru: premisy pod sebou, pod čarou závěr se značkou ∴ („tedy“).standard form

Argument s nevyslovenou premisou se nazývá entymém. Je v běžné řeči nejčastější formou argumentu a zároveň místem, kde se nejsnáz schová slabina: skrytá premisa bývá právě ta sporná.enthymeme

1.2Platnost a pravdivost

Deduktivní argument je platný, když není možné, aby byly všechny premisy pravdivé a závěr nepravdivý. Platnost se týká vztahu mezi premisami a závěrem, ne toho, zda premisy skutečně platí. Argument je správný (též korektní), když je platný a jeho premisy jsou pravdivé. Jen správný argument zaručuje pravdivost závěru.valid, sound

Klíčové je, že platnost závisí jen na logické formě. Nahradíme-li v platném argumentu slova jinými slovy stejného druhu, zůstane platný. Odtud praktická metoda protipříkladu: chcete-li ukázat, že argument je neplatný, najděte argument stejné formy s jasně pravdivými premisami a jasně nepravdivým závěrem.logical form, counterexample

1.3Dedukce, indukce a abdukce

Deduktivní argument si klade za cíl, aby závěr plynul nutně: platnost je otázka ano–ne. Závěr přitom neobsahuje nic, co by už nebylo v premisách – dedukce informaci rozbaluje, nepřidává.deductive argument

Induktivní argument usuzuje ze zkušenosti na obecné pravidlo nebo na další případ. Závěr jde za premisy, a proto je jen více či méně pravděpodobný. Místo platnosti mluvíme o síle: induktivní argument je silný, když pravdivé premisy činí závěr pravděpodobným. Silný argument s pravdivými premisami se nazývá přesvědčivý.inductive argument, strong, cogent

• Zobecnění: „V 1 000 náhodně vybraných domácnostech mělo 62 % psa, tedy psa má zhruba 62 % všech domácností.“ (modelový příklad) Síla závisí na velikosti a náhodnosti vzorku (kapitola 8).
• Analogie: „Lék pomohl myším, pomůže i lidem.“ Síla závisí na tom, jak podobné jsou případy v podstatných ohledech.
• Kauzální úsudek: „Po zavedení přechodu ubylo nehod, přechod tedy nehody snižuje.“ Ukáže se, že je to často nejslabší druh (kapitola 6).

Abdukce, neboli usuzování na nejlepší vysvětlení, vychází z pozorování a hledá hypotézu, která ho vysvětluje nejlépe: „Tráva je mokrá, nebe čisté, na stole je předpověď s nočními přeháňkami – v noci asi pršelo.“ Termín zavedl Charles S. Peirce. Takto postupuje lékař při diagnóze, detektiv i vědec při tvorbě hypotézy. Dobré vysvětlení je jednoduché, vysvětluje víc pozorování a dá se ověřit.abduction, inference to the best explanation

1.4Mapa argumentu

Delší argumenty se přehledně kreslí jako mapa: výroky jsou uzly, šipky vedou od důvodů k tomu, co podporují. Rozlišujeme premisy sdružené, které podporují závěr jen společně (odpadne-li jedna, podpora zmizí), a nezávislé, z nichž každá podporuje závěr sama. Mezilehlý závěr, který je zároveň premisou dalšího kroku, se nazývá dílčí závěr.argument map, linked and convergent premises

Mapa pomáhá najít, kam míří kritika. Napadnout lze (1) pravdivost premisy, (2) spojení – tedy zda z premis závěr plyne, (3) nevyslovenou premisu. Odpověď „s tím nesouhlasím“ bez určení, kterou z těchto tří věcí myslíte, debatu neposune.

1.5Princip vstřícnosti

Při rozboru cizího argumentu platí princip vstřícnosti: z možných výkladů zvolte ten, který dává argumentu největší smysl, a nevyslovené premisy doplňte tak, aby byly co nejpřijatelnější. Důvod není zdvořilost. Vyvrátíte-li slabou verzi argumentu, nic jste nedokázali, protože silná verze stojí dál. Krajní podobou je ocelový muž: zformulovat protistraně její argument tak dobře, aby s formulací souhlasila – opak slaměného panáka z kapitoly 2.principle of charity, steelmanning

1.6Procvičení

2.1Formální a neformální klamy

Formální klam je chyba ve formě: argument má neplatnou strukturu, a je proto neplatný bez ohledu na obsah. Patří sem potvrzení důsledku a popření předpokladu z kapitoly 1 nebo nerozdělený střední termín v sylogismu (kapitola 4).formal fallacy

Neformální klam má chybu v obsahu nebo v kontextu: v tom, co premisy říkají, jak souvisejí se závěrem nebo jak se používají slova. Forma bývá v pořádku nebo jde o induktivní argument, jehož síla je jen předstíraná. Neformální klamy se tradičně dělí do čtyř skupin podle toho, co chybí.informal fallacy

2.2Klamy relevance

Premisy mohou být pravdivé, ale se závěrem nesouvisejí. Působí psychologicky, ne logicky.

Ad hominem – útok na osobu

Místo argumentu se napadá ten, kdo ho přednáší. Urážlivá varianta útočí na povahu („co může vědět člověk, který neumí ani zaparkovat“), okolnostní na zájmy („to říká jen proto, že je trenér“), varianta tu quoque – „ty taky“ – na nedůslednost („sám kouříš“). Pravdivost tvrzení na osobě mluvčího nezávisí.ad hominem: abusive, circumstantial, tu quoque

Slaměný panák

Mluvčí vyvrací zkreslenou, přehnanou nebo zjednodušenou verzi cizího tvrzení. „Chci zkrátit tréninky na tři týdně.“ – „Takže ti na týmu vůbec nezáleží.“ Obrana: zopakovat původní tvrzení a zeptat se, zda kritika míří na ně.straw man

Červený sleď

Odvedení pozornosti k jinému, často emotivnímu tématu, které vypadá související. Název podle údajného výcviku psů, kterým se přes stopu táhla uzená ryba.red herring

Argument davem a apel na emoce

Ad populum: „miliony lidí to používají, musí to být dobré“. Popularita je důkazem nanejvýš toho, že je věc populární. Apel na emoce (strach, lítost, lichotka) nahrazuje důvody pocitem. Emoce v argumentaci nejsou zakázané – soucit může být oprávněný –, ale nenahrazují zdůvodnění.appeal to popularity, appeal to emotion

Argument autoritou

Spoléhat na odborníky je rozumné: nikdo nemůže všechno ověřit sám. Klamem je argument falešnou autoritou: autorita mluví mimo svůj obor (slavný herec o šamponu), neexistuje odborná shoda, nebo je autorita jen předstíraná („vědci říkají“ bez jména a studie).appeal to (false) authority

2.3Klamy slabé opory

Premisy se závěrem souvisejí, ale nestačí k němu. Jde většinou o přehnaně sebevědomou indukci.

• Unáhlené zobecnění: z malého nebo nereprezentativního vzorku na celek. „Dvakrát jsem tam koupil prošlý jogurt, prodávají jen zkažené zboží.“hasty generalization
• Post hoc ergo propter hoc („potom, tedy proto“): časová posloupnost se vydává za příčinu. Podrobně kapitola 6.post hoc
• Kluzký svah: malý krok prý nevyhnutelně spustí řetěz až ke katastrofě, ale pravděpodobnosti kroků se nezkoumají. Laboratoř ukazuje, že i řetěz pravděpodobných kroků může být nepravděpodobný.slippery slope
• Argument z neznalosti: „Nikdo nedokázal, že to nefunguje, tak to funguje.“ Absence důkazu proti není důkaz pro. Výjimkou je pečlivé hledání, které by důkaz s vysokou pravděpodobností našlo: když důkladná prohlídka bytu neodhalí kočku, kočka tam nejspíš není.argument from ignorance

2.4Klamy předpokladu

• Kruhový argument (petitio principii): závěr je skrytě obsažen v premisách. „Ta učebnice je spolehlivá, protože se v ní píše, že je spolehlivá.“ Forma bývá platná – \(p \;\therefore\; p\) je platné –, ale argument nic nezdůvodňuje.circular reasoning, begging the question
• Falešné dilema: předstírá, že jsou jen dvě možnosti. „Buď si koupíš nejdražší kolo, nebo cyklistiku vzdej.“ Formálně jde o disjunktivní sylogismus s nepravdivou premisou \(p \vee q\).false dilemma
• Podsouvavá otázka: otázka, na kterou nelze odpovědět bez přijetí skrytého tvrzení. „Už jste přestal opisovat?“ Ano i ne přiznává, že jste opisoval.complex question, loaded question

2.5Klamy jazyka

Ekvivokace využívá dvojí význam slova: „Konec věci je její dokonalost. Smrt je konec života. Smrt je tedy dokonalost života.“ Slovo „konec“ znamená poprvé cíl, podruhé ukončení. Klam skládání přenáší vlastnost částí na celek („každý hráč je skvělý, tým bude skvělý“), klam dělení naopak celku na části („univerzita je stará, její studenti také“).equivocation, composition, division

2.6Jak na klamy odpovídat

Pojmenovat klam nestačí a „to je ad hominem!“ často jen přiostří spor. Užitečnější je ukázat, co chybí: „Souhlasím, že sám kouří. Co ale konkrétně je na jeho radě o běhání špatně?“ Nebo: „Jsou opravdu jen tyto dvě možnosti?“ Otázka dává protistraně šanci argument opravit.

2.7Procvičení

3.1Výroky a proměnné

Výroková logika pracuje s výrokovými proměnnými \(p, q, r, \dots\), které zastupují libovolné výroky, a se spojkami, jimiž se skládají složitější formule. Každé proměnné přiřadíme pravdivostní hodnotu 1 (pravda) nebo 0 (nepravda); takovému přiřazení se říká ohodnocení. Hodnota formule je pak určena jednoznačně – logika je v tomto smyslu pravdivostně funkční.propositional variable, connective, valuation, truth-functional

3.2Spojky a pravdivostní tabulky

• Negace \(\neg p\) („není pravda, že p“) obrací hodnotu.
• Konjunkce \(p \wedge q\) („p a q“) je pravdivá, jen když platí obě části.
• Disjunkce \(p \vee q\) („p nebo q“) je pravdivá, když platí aspoň jedna část – nevylučovací nebo. Vylučovací „buď, anebo“ je \(p \oplus q\), pravdivé právě při jedné pravdivé části.inclusive or, exclusive or (XOR)
• Implikace \(p \to q\) („jestliže p, pak q“) je nepravdivá jen v řádku \(p = 1,\ q = 0\). \(p\) je předpoklad (antecedent), \(q\) závěr (konsekvent).conditional, antecedent, consequent
• Ekvivalence \(p \leftrightarrow q\) („p právě tehdy, když q“) je pravdivá, když mají obě části stejnou hodnotu.biconditional

Formule s \(n\) proměnnými má \(2^{n}\) řádků tabulky. Dvou proměnných se týká \(2^{2^{2}} = 16\) různých pravdivostních funkcí, tří proměnných už \(2^{8} = 256\).

3.3Implikace a její pasti

Logická implikace je materiální: tvrdí jen tolik, že nenastane situace „předpoklad platí a závěr ne“. Neříká nic o příčině, souvislosti ani o čase. Proto jsou pravdivé i podivné věty jako „Jestliže je Měsíc ze sýra, pak je 2 + 2 = 5“ – nepravdivý předpoklad činí implikaci pravdivou. Platí dokonce tautologie \((p \to q) \vee (q \to p)\): ze dvou libovolných výroků vždy jeden „implikuje“ druhý. Těmto výsledkům se říká paradoxy materiální implikace.material conditional, paradoxes of material implication

Obrácení, obměna a negace

Nutná a postačující podmínka

V implikaci \(p \to q\) je \(p\) postačující podmínkou pro \(q\) (stačí, aby nastalo) a \(q\) nutnou podmínkou pro \(p\) (bez ní \(p\) nastat nemůže). „Kyslík je nutný pro hoření“: hoří-li něco, je tam kyslík (hoření → kyslík), ne obráceně. Věta „\(p\), jen když \(q\)“ znamená \(p \to q\); „\(p\), pokud \(q\)“ znamená \(q \to p\); „\(p\) právě tehdy, když \(q\)“ je ekvivalence.sufficient condition, necessary condition, only if, if and only if

3.4Tautologie, kontradikce a ekvivalence

Tautologie je formule pravdivá při každém ohodnocení, kontradikce při žádném, splnitelná formule při aspoň jednom. Formule \(A\) a \(B\) jsou logicky ekvivalentní (\(A \equiv B\)), mají-li stejný sloupec v tabulce – tedy když je \(A \leftrightarrow B\) tautologií.tautology, contradiction, satisfiable, logical equivalence

3.5Normální formy a úplné soustavy spojek

Každou pravdivostní funkci lze zapsat v disjunktivní normální formě (DNF): pro každý řádek s hodnotou 1 napíšeme konjunkci proměnných nebo jejich negací, která platí právě v tom řádku, a tyto konjunkce spojíme disjunkcí. Pro \(p \oplus q\) (řádky 10 a 01) dostaneme \((p\wedge\neg q)\vee(\neg p\wedge q)\). Obdobně konjunktivní normální forma (CNF) vznikne z řádků s hodnotou 0.disjunctive / conjunctive normal form

Z toho plyne, že soustava \(\{\neg, \wedge, \vee\}\) je úplná: vyjádří se jí každá funkce. Díky De Morganovi stačí i \(\{\neg, \wedge\}\) nebo \(\{\neg, \to\}\). Dokonce stačí jediná spojka: Shefferova \(p \uparrow q \equiv \neg(p\wedge q)\) (NAND) nebo Peirceova \(p\downarrow q\equiv\neg(p\vee q)\) (NOR). Platí \(\neg p \equiv p\uparrow p\) a \(p\wedge q \equiv (p\uparrow q)\uparrow(p\uparrow q)\).functional completeness, NAND, NOR

3.6Logické vyplývání

Z premis \(A_1, \dots, A_n\) logicky vyplývá závěr \(B\), píšeme \(A_1,\dots,A_n \models B\), jestliže je \(B\) pravdivé při každém ohodnocení, při kterém jsou pravdivé všechny premisy. Ekvivalentně: formule \((A_1\wedge\dots\wedge A_n)\to B\) je tautologie. Tabulka tak dává mechanický test platnosti každého výrokového argumentu – výroková logika je rozhodnutelná.logical consequence, semantic entailment, decidable

U mnoha proměnných je tabulka dlouhá. Rychlejší je metoda sporu: předpokládáme, že premisy jsou pravdivé a závěr nepravdivý, a dopočítáváme hodnoty. Narazíme-li nutně na spor, argument je platný; jinak jsme našli protipříklad.

3.7Procvičení

4.1Kategorické výroky

Aristotelova logika pracuje se čtyřmi typy výroků o vztahu dvou termínů (tříd) S (podmět) a P (predikát). Písmena A, E, I, O pocházejí ze středověku, z latinských slov AffIrmo (tvrdím) a nEgO (popírám).categorical proposition, term

Termín je distribuovaný, když výrok mluví o celém jeho rozsahu. „Všichni psi jsou savci“ říká něco o všech psech, ale ne o všech savcích: S je distribuovaný, P ne. „Některá S nejsou P“ vylučuje uvedená S z celé třídy P, a proto distribuuje P.distribution of terms

4.2Logický čtverec

Proč hvězdičky? Jsou-li jednorožci prázdná třída, pak v moderním výkladu je „Všichni jednorožci mají roh“ i „Žádný jednorožec nemá roh“ pravdivé (není co by je vyvrátilo), a „Někteří jednorožci mají roh“ nepravdivé. Aristotelés mlčky předpokládal, že termíny nejsou prázdné; s tímto existenčním předpokladem platí celý čtverec.square of opposition, existential import

4.3Kategorický sylogismus

Sylogismus má dvě premisy a závěr, celkem tři termíny. Termín P v přísudku závěru je větší, S v podmětu závěru menší a střední termín M se vyskytuje v obou premisách, ale ne v závěru. Větší premisa obsahuje P, menší S. Figura určuje postavení M, modus typy tří výroků. Modus AAA ve figuře 1 je slavná „Barbara“: Všichni savci jsou obratlovci. Všichni psi jsou savci. ∴ Všichni psi jsou obratlovci.syllogism, major/minor/middle term, figure, mood

Typů premis a závěru je \(4^3 = 64\), figury čtyři, celkem 256 forem. Platných je jen 15 v moderním výkladu a 24 s existenčním předpokladem; laboratoř to ověřuje hrubou silou. Středověcí logici si platné mody pamatovali podle jmen, v nichž samohlásky udávají typy výroků: Barbara, Celarent, Darii, Ferio (figura 1), Cesare, Camestres, Festino, Baroco (2), Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison (3), Camenes, Dimaris, Fresison (4).

Pravidla platnosti

1. Střední termín musí být aspoň v jedné premise distribuován.
2. Termín distribuovaný v závěru musí být distribuován i v premise.
3. Ze dvou záporných premis nic neplyne.
4. Je-li jedna premisa záporná, musí být záporný i závěr; ze dvou kladných premis neplyne záporný závěr.
5. (Moderní výklad) Ze dvou obecných premis neplyne částečný závěr.

Porušení pravidla 1 je klasický klam nerozděleného středního termínu: „Všichni psi jsou savci. Všechny kočky jsou savci. ∴ Všechny kočky jsou psi.“ (AAA-2.) Psi a kočky jsou různé části savců; premisy o nich nic společného neříkají.undistributed middle

Vennovy diagramy

John Venn (1880) navrhl kreslit tři překrývající se kruhy S, P, M, které dělí rovinu na osm oblastí. Obecné výroky (A, E) vyšrafují oblasti, které musí být prázdné; částečné (I, O) do oblasti vepíší ×. Nejdřív se zakreslí obecné premisy, pak částečné. Pokud se částečná premisa týká dvou oblastí a žádná z nich není vyšrafovaná, dá se × na hranici. Sylogismus je platný, když diagram premis už obsahuje informaci závěru.Venn diagram

4.4Predikáty a kvantifikátory

Sylogistika nezvládne vztahy: „Každý má někoho, koho obdivuje.“ Gottlob Frege (1879) proto zavedl predikátovou logiku. Pracuje s predikáty (vlastnostmi a vztahy) \(P(x)\), \(O(x,y)\), s proměnnými, konstantami a dvěma kvantifikátory: obecným \(\forall x\) („pro každé x“) a existenčním \(\exists x\) („existuje x“).predicate logic, first-order logic, universal and existential quantifier

4.5Negace výroků s kvantifikátory

Negace „přeskočí“ kvantifikátor dovnitř a ten se změní na opačný. Zbytek formule se neguje podle pravidel výrokové logiky.

4.6Interpretace a modely

Pravdivost formule predikátové logiky závisí na interpretaci: na neprázdném univerzu objektů a na tom, které objekty mají které vlastnosti a vztahy. Formule je logicky platná, je-li pravdivá v každé interpretaci, například \(\forall x\,P(x)\to\exists x\,P(x)\) (univerzum není prázdné). Na rozdíl od výrokové logiky už nelze projít „všechny řádky“ – interpretací je nekonečně mnoho. Alonzo Church a Alan Turing v roce 1936 dokázali, že platnost formulí predikátové logiky obecně algoritmicky rozhodnout nelze (kapitoly 11 a 12).interpretation, domain, model, validity

4.7Procvičení

5.1Co je pravděpodobnost

Pravděpodobnost \(P(A)\) je číslo mezi 0 a 1, které měří, jak moc je jev \(A\) očekávatelný. Existují tři hlavní výklady:

• klasický (Laplace): počet příznivých ku počtu všech stejně možných výsledků – kostka, karty;classical interpretation
• četnostní: limita relativní četnosti při mnoha opakováních – pojišťovnictví, kvalita výroby;frequentist interpretation
• subjektivní (bayesovský): míra přesvědčení racionálního člověka, která se s novými daty aktualizuje – „pravděpodobnost, že zítra bude pršet“, „pravděpodobnost, že obžalovaný je vinen“.subjective, Bayesian interpretation

Všechny tři se řídí stejnými pravidly (Kolmogorovovy axiomy, 1933): \(P(A)\ge 0\), jistý jev má pravděpodobnost 1 a pravděpodobnosti neslučitelných jevů se sčítají. Z nich plyne \(P(\neg A) = 1-P(A)\) a \(P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)\). Podrobně vykládá pravděpodobnost průvodce Statistika a modely; zde nás zajímá, jak s ní uvažovat.

5.2Podmíněná pravděpodobnost a záměna podmínek

\(P(A\mid B)\) je pravděpodobnost \(A\), víme-li, že nastalo \(B\). Jevy jsou nezávislé, když \(P(A\mid B) = P(A)\), tedy \(P(A\cap B) = P(A)P(B)\).conditional probability, independence

Nejčastější chybou je zaměnit \(P(A\mid B)\) za \(P(B\mid A)\). „Většina profesionálních basketbalistů je vysoká“ (\(P(\text{vysoký}\mid\text{basketbalista})\) je velké) neznamená, že většina vysokých lidí hraje basketbal. U soudu se této záměně říká klam žalobce.confusion of the inverse, prosecutor’s fallacy

5.3Bayesova věta

\(H\) je hypotéza (nemoc), \(D\) data (pozitivní test). \(P(H)\) je apriorní pravděpodobnost – základní míra před testem, \(P(H\mid D)\) aposteriorní pravděpodobnost po něm. \(P(D\mid H)\) je citlivost testu, \(P(D\mid\neg H) = 1-\text{specificita}\) míra falešně pozitivních výsledků.prior, posterior, likelihood, sensitivity, specificity

Elegantní je zápis v šancích (poměr \(P/(1-P)\)):

Věrohodnostní poměr \(LR\) říká, kolikrát pravděpodobnější jsou data při platné hypotéze než při neplatné; měří sílu důkazu. Nezávislé důkazy se násobí.odds, likelihood ratio

5.4Opomíjení základní míry

Kahneman a Tversky (1973) ukázali, že lidé při odhadu pravděpodobnosti hledí hlavně na to, jak dobře případ „sedí“ k popisu, a základní míru přehlížejí. Klasická úloha s taxíky: ve městě jezdí 85 % zelených a 15 % modrých taxíků. Svědek nehody tvrdí, že taxík byl modrý; v testu za stejných podmínek rozpozná barvu správně v 80 % případů. Většina lidí odhadne pravděpodobnost modrého taxíku kolem 80 %. Správně:

Svědectví šance posunulo z 15 % na 41 %, ale pravděpodobnější je pořád zelený taxík.base rate neglect

5.5Hazardní klam, horká ruka a zákon malých čísel

Hazardní klam je víra, že náhoda „vyrovnává“: po pěti hlavách je prý orel na řadě. Nezávislé hody si ale nic nepamatují. Zákon velkých čísel říká, že relativní četnost se s počtem hodů blíží 1/2 – ne tím, že by se odchylky vyrovnávaly, ale tím, že se „rozředí“ v dalších hodech. Tversky a Kahneman (1971) mluvili ironicky o zákonu malých čísel: lidé čekají, že i krátká série bude vypadat „reprezentativně“.gambler’s fallacy, law of large numbers, law of small numbers

Série hlav nebo orlů; spočítáno dynamickým programováním. Lidé, kteří mají „vymyslet“ náhodnou posloupnost, dlouhé série obvykle nepíší – tím se jejich posloupnosti od skutečně náhodných dají odlišit.

Opačná chyba je klam horké ruky: po sérii úspěchů čekat další úspěch. Gilovich, Vallone a Tversky (1985) v datech basketbalistů žádný efekt nenašli. Miller a Sanjurjo (2018) ale ukázali, že jejich metoda měla jemné statistické zkreslení; po opravě se malý efekt „horké ruky“ v některých datech objevuje. Je to dobrá ukázka toho, že i klasické výsledky o klamech se mohou upřesňovat.hot hand fallacy

5.6Monty Hall

Úlohu formuloval Steve Selvin (1975) podle televizní soutěže, proslavila ji Marilyn vos Savantová, když v roce 1990 ve svém časopiseckém sloupku napsala, že se vyplatí přejít – a dostala tisíce nesouhlasných dopisů, mnohé i od lidí s vědeckým titulem.

Formálně: nechť auto je za dveřmi 1, 2, 3 s pravděpodobností 1/3 a vy volíte dveře 1. Je-li auto za 1, moderátor otevře 2 nebo 3 náhodně (po 1/2); je-li za 2, musí otevřít 3; je-li za 3, musí otevřít 2. Pro jev „otevřel 3“:

5.7Regrese k průměru

Francis Galton (1886) si všiml, že děti velmi vysokých rodičů bývají vysoké, ale v průměru méně než rodiče. Nejde o žádnou sílu, která táhne k průměru, ale o statistiku: extrémní měření je extrémní zčásti díky náhodě a ta se příště nezopakuje. Pro standardizované veličiny s korelací \(\rho\) platí:

Při \(\rho = 0{,}5\) mají studenti, kteří byli v prvním testu v průměru 1,75 směrodatné odchylky nad průměrem (to je průměr horních 10 % normálního rozdělení), ve druhém testu v průměru jen 0,88. Na škále 100 ± 15 bodů: z 126,3 na 113,2 bodu – bez jakékoli změny ve schopnostech.regression to the mean

5.8Procvičení

6.1Korelace

Korelace měří, jak těsně spolu dvě veličiny lineárně souvisejí. Pearsonův koeficient \(r\) leží mezi −1 a 1: \(r = 1\) znamená, že body leží na rostoucí přímce, \(r = 0\) žádnou lineární souvislost, \(r \lt 0\) opačný pohyb. \(r^2\) je podíl rozptylu jedné veličiny „vysvětlený“ lineárním vztahem s druhou. Výpočet a testy korelace podrobně vykládá průvodce Statistika a modely.correlation coefficient

6.2Pět důvodů, proč korelace není příčina

1. Společná příčina (matoucí proměnná): Z ovlivňuje X i Y. Zmrzlina a utonutí (léto), počet hasičů a škody (velikost požáru).confounding
2. Obrácená kauzalita: Y ovlivňuje X. Lidé, kteří berou lék, jsou častěji nemocní – protože lék berou kvůli nemoci.reverse causation
3. Náhoda: při mnoha srovnáních se nějaká korelace najde vždy (laboratoř výše, oddíl 8.3).chance, spurious correlation
4. Výběrové zkreslení a kolider: data obsahují jen případy vybrané podle něčeho, co ovlivňují obě veličiny.selection bias, collider bias
5. Ekologický klam: souvislost mezi skupinami (státy, městy) se přenáší na jednotlivce, u nichž nemusí platit.ecological fallacy

6.3Kauzální diagramy

Judea Pearl zavedl pro kauzální úvahy orientované acyklické grafy (DAG): šipka X → Y znamená „X přímo ovlivňuje Y“. Tři základní spojení tří proměnných se chovají úplně jinak:directed acyclic graph, causal diagram

Pearl a Mackenzie (2018) popisují tři příčky žebříku kauzality: asociace (co vidím: „lidé s X mají častěji Y“), intervence (co se stane, když udělám X) a kontrafaktuály (co by se stalo, kdybych X neudělal). Data z pozorování dosáhnou jen na první příčku; vyšší potřebují experiment, nebo kauzální model s předpoklady, které je třeba obhájit.ladder of causation

Má-li model obsahovat matoucí proměnné, říká kritérium zadních dvířek (back-door criterion), které proměnné stačí kontrolovat, aby se z pozorování dal odhadnout účinek zásahu: ty, které zablokují všechny „zadní“ cesty z X do Y začínající šipkou do X, a přitom nejsou důsledkem X.

6.4Simpsonův paradox

Souvislost, která platí v každé podskupině, se po sloučení podskupin může obrátit. Popsal ji Edward Simpson (1951), dříve už Yule a Pearson. Slavný příklad z lékařství:

A je lepší u malých i velkých kamenů, celkově vychází lépe B. Vysvětlení: metodou A se léčily převážně těžší případy (263 z 350, tedy 75 %), metodou B převážně lehčí (jen 80 z 350, 23 %). Celková úspěšnost je vážený průměr a váhy se mezi metodami liší. Velikost kamene je matoucí proměnná – ovlivňuje volbu metody i šanci na úspěch – a správné srovnání je proto uvnitř skupin.

6.5Experiment, nebo pozorování

Randomizovaný kontrolovaný pokus (RCT) přidělí zásah losem. Matoucí proměnné, známé i neznámé, jsou pak v obou skupinách v průměru zastoupené stejně, a rozdíl ve výsledku lze připsat zásahu. Pomáhá kontrolní skupina (srovnání), placebo (odliší účinek zásahu od účinku očekávání) a zaslepení (účastníci ani hodnotitelé nevědí, kdo je ve které skupině).randomized controlled trial, control group, placebo, blinding

Experiment ale není vždy možný ani etický: nikoho nelze losem přidělit ke kouření. Pak pomáhají přirozené experimenty (vnější okolnost rozdělí lidi „jako náhodou“, například hranice školního obvodu) a soubor kritérií, která sestavil epidemiolog Austin Bradford Hill (1965) při posuzování vztahu kouření a rakoviny plic:natural experiment, Bradford Hill criteria

6.6Procvičení

7.1Dva systémy myšlení

Psychologové Keith Stanovich a Richard West (2000) a po nich Daniel Kahneman (2011) popisují myšlení jako souhru dvou „systémů“. Systém 1 je rychlý, automatický a intuitivní: rozpozná tvář, dokončí větu, odhadne náladu. Systém 2 je pomalý, úsilný a vědomý: násobí dvojmístná čísla, kontroluje argument, plní složitý pokyn. Systém 2 je líný – většinu úsudků přenechá Systému 1 a jen některé kontroluje.dual-process theory, System 1, System 2

Jde o užitečnou metaforu, ne o dvě části mozku. Zkreslení nevznikají z hlouposti, ale z toho, že Systém 1 nahradí těžkou otázku snadnější, aniž bychom si toho všimli: místo „jak pravděpodobné to je?“ odpovídá na „jak snadno si vybavím příklad?“.

7.2Tři heuristiky Tverskyho a Kahnemana

Článek Amose Tverskyho a Daniela Kahnemana v časopise Science (1974) popsal tři heuristiky odhadu za nejistoty:

Reprezentativnost

Pravděpodobnost posuzujeme podle podobnosti s typickým případem. Vede k opomíjení základní míry (kapitola 5), k zákonu malých čísel a ke klamu konjunkce. V úloze o Lindě (Tversky a Kahneman 1983) je Linda popsána jako bystrá, angažovaná absolventka filozofie. Většina dotázaných usoudila, že je pravděpodobnější „Linda je bankovní úřednice a aktivní feministka“ než „Linda je bankovní úřednice“. To nemůže být: \(P(A\wedge B)\le P(A)\) vždy.representativeness, conjunction fallacy

Dostupnost

Četnost odhadujeme podle toho, jak snadno si vybavíme příklady. Dramatické, nedávné a mediálně pokryté události (letecká neštěstí, žraloci) přeceňujeme, nenápadné a časté (pády doma, choroby srdce) podceňujeme.availability heuristic

Ukotvení a přizpůsobení

Odhad začneme od výchozího čísla a přizpůsobíme ho nedostatečně. V pokusu Tverskyho a Kahnemana se nejdřív otočilo „kolo štěstí“, které se zastavilo na 10, nebo na 65. Pak měli účastníci odhadnout procento afrických států v OSN. Medián odhadů byl 25 % ve skupině s kotvou 10 a 45 % ve skupině s kotvou 65 – přestože kolo zjevně s otázkou nesouviselo.anchoring and adjustment

7.3Konfirmační zkreslení

Konfirmační zkreslení je sklon hledat, vybírat, vykládat a pamatovat si informace tak, aby potvrzovaly to, co si už myslíme. Nickerson (1998) ho ve velkém přehledu nazval možná nejproblematičtějším aspektem lidského uvažování. Projevuje se ve hře 2-4-6: lidé zkoušejí trojice, které jejich hypotézu potvrdí (8, 10, 12), místo aby zkusili trojici, která by ji mohla vyvrátit (1, 2, 3 nebo 6, 4, 2).confirmation bias

Příbuzné je motivované uvažování: na argumenty pro to, čemu chceme věřit, klademe nižší nároky než na argumenty proti. „Mohu tomu věřit?“ proti „Musím tomu věřit?“. Postihuje lidi všech názorů a vzdělání; vyšší inteligence pomáhá k lepším argumentům, ne nutně k nestrannosti.motivated reasoning

7.4Přehnaná sebedůvěra

Lidé přeceňují přesnost svých znalostí. Když mají uvést interval, ve kterém leží správná hodnota s 90% jistotou, trefí se výrazně méně často (kalibrační test v kapitole 9). Příbuzný je plánovací klam: odhady doby a nákladů vlastních projektů bývají optimistické, i když víme, že minulé projekty trvaly déle (Buehler, Griffin a Ross 1994).overconfidence, planning fallacy

7.5Rámování a ztráty

Efekt rámování: stejná volba popsaná jako zisk, nebo jako ztráta vede k různým rozhodnutím. V úloze „neobvyklé nemoci“ (minihra výše) volilo jistou záchranu 200 lidí 72 % ze 152 dotázaných, ale když se stejné programy popsaly počtem mrtvých, zvolilo riskantní program 78 % ze 155 dotázaných. Vysvětluje to teorie vyhlídek (Kahneman a Tversky 1979): v oblasti zisků se vyhýbáme riziku, v oblasti ztrát ho vyhledáváme a ztráty vnímáme zhruba dvakrát silněji než stejné zisky. Podrobně v průvodcích Investování a Psychologie.framing effect, prospect theory, loss aversion

7.6Další časté pasti

7.7Jak se bránit

• Zvažte opak: než se rozhodnete, sepište důvody, proč byste se mohli mýlit.consider the opposite
• Vnější pohled: místo vyprávění o vlastním případu se podívejte na statistiku podobných případů (referenční třída): jak dlouho obvykle trvají podobné rekonstrukce?outside view, reference class
• Předběžná pitva: představte si, že projekt za rok selhal, a napište proč (Klein 2007).premortem
• Kontrolní seznamy a pravidla předem: rozhodněte, podle čeho budete rozhodovat, dřív než uvidíte konkrétní nabídku.
• Vlastní kotva: udělejte si nezávislý odhad dřív, než uslyšíte cizí číslo.

7.8Procvičení

8.1Typy studií a síla důkazů

Pokusy na zvířatech a na buňkách v laboratoři (in vitro) ukazují mechanismy, ale jejich výsledky se na lidi přenášejí jen zčásti. Látka, která v misce zabíjí nádorové buňky, je zatím jen jednou z mnoha kandidátek – většina takových kandidátek v klinických zkouškách neuspěje.

8.2Vzorek

Výsledek studie platí pro populaci, ze které vzorek pochází. Ptejte se: kolik účastníků, jak vybraných a koho se to týká. Velký, ale nereprezentativní vzorek (dobrovolníci z internetu) může být horší než menší náhodný. Statistická chyba výběru u podílu \(p\) z \(n\) respondentů má 95% interval přibližně

8.3p-hodnoty, významnost a replikační krize

p-hodnota je pravděpodobnost, že bychom za platnosti nulové hypotézy (žádný efekt) dostali data stejně nebo ještě víc vzdálená od ní, než jsou pozorovaná. Je-li menší než předem zvolená hladina (obvykle 0,05), mluví se o statisticky významném výsledku. Americká statistická asociace (Wasserstein a Lazar 2016) shrnula, co p-hodnota neříká: není to pravděpodobnost, že hypotéza platí, ani že výsledek vznikl náhodou; neměří velikost ani důležitost efektu; a hranice 0,05 nemá oddělovat pravdu od nepravdy. Teorii testování vykládá průvodce Statistika a modely.p-value, null hypothesis, statistical significance

Mnohonásobné testování a p-hacking

Testuje-li se mnoho hypotéz, některé vyjdou „významně“ i bez skutečného efektu. Pravděpodobnost aspoň jednoho falešně pozitivního výsledku při \(k\) nezávislých testech na hladině 5 % je \(1-0{,}95^{k}\): 22,6 % pro 5 testů, 40,1 % pro 10, 64,2 % pro 20 a 99,4 % pro 100. p-hacking je zkoušení různých analýz, podskupin a vyřazování dat, dokud nevyjde \(p \lt 0{,}05\) – často bez zlého úmyslu.multiple comparisons, p-hacking

Kolik „objevů“ platí

Ioannidis (2005) ukázal, že podíl pravdivých mezi významnými výsledky závisí na tom, kolik testovaných hypotéz je předem pravdivých a na síle studií. Je-li pravdivá desetina hypotéz, síla 80 % a hladina 5 %, pak z 1 000 hypotéz je 100 pravdivých, z nich 80 vyjde významně, a z 900 nepravdivých vyjde významně 45. Pravdivých je tedy \(80/125 = 64\ \%\) významných výsledků. Při síle 35 % jen 44 %. Je to Bayesova věta z kapitoly 5 v roli vědeckého testu.

8.4Síla efektu: kolik, ne jen zda

Statisticky významný může být i zanedbatelný efekt, pokud je vzorek obrovský. S 10 000 lidmi v každé skupině je významný už rozdíl 0,05 směrodatné odchylky (\(z = 3{,}54,\ p = 0{,}0004\)). Proto se ptejte na sílu efektu. Cohenovo \(d\) je rozdíl průměrů dělený směrodatnou odchylkou; Cohen orientačně označil 0,2 za malý, 0,5 za střední a 0,8 za velký efekt. Při \(d = 0{,}2\) je náhodně vybraný člověk ze skupiny se zásahem lepší než náhodně vybraný z kontrolní skupiny s pravděpodobností jen 55,6 % (při 0,5 je to 63,8 %, při 0,8 71,4 %).effect size, Cohen’s d

\(r_0\) je riziko bez zásahu, \(r_1\) se zásahem. Pokles z 2 % na 1 % je relativně 50 %, absolutně 1 procentní bod a \(NNT = 100\): sto lidí musí podstoupit zásah, aby jeden měl prospěch. Stejné relativní snížení z 40 % na 20 % má \(NNT = 5\). Titulky raději uvádějí relativní čísla, protože jsou větší.relative and absolute risk reduction, number needed to treat

8.5Od studie k titulku

Sumner a kol. (2014) porovnali 462 tiskových zpráv britských univerzit o zdravotním výzkumu s původními studiemi. Přehnanou radu čtenářům obsahovalo 40 % zpráv, kauzální tvrzení z korelační studie 33 % a přenesení výsledků ze zvířat na lidi 36 %. Když zpráva přeháněla, přeháněly i články v médiích výrazně častěji. Zkreslení tedy často nevzniká až v redakci, ale už na univerzitě.

• Korelace jako příčina: „pijáci kávy žijí déle“ ≠ „káva prodlužuje život“ (kapitola 6).
• Zvíře nebo buňka jako člověk: hledejte, na kom se to měřilo.
• Jedna studie jako hotová věc: věda postupuje souhrnem mnoha studií; nejnovější studie bývá nejméně ověřená.
• Relativní riziko bez absolutního.
• Falešná vyváženost: postavit vedle sebe stanovisko odborné shody a okrajový názor, jako by šlo o rovnocenné strany.false balance

8.6Ověřování zdrojů: laterální čtení

Wineburg a McGrew (2019) zadali deseti profesionálním ověřovatelům faktů, deseti historikům s doktorátem a 25 vysokoškolským studentům posoudit důvěryhodnost webů. Historici a studenti četli vertikálně: pečlivě zkoumali stránku samotnou, její vzhled a rubriku „O nás“, a často se nechali zmást. Ověřovatelé četli laterálně: stránku brzy opustili, otevřeli nové panely a hledali, co o zdroji píší jiní. Byli rychlejší a přesnější.lateral reading

Praktický postup shrnuje akronym SIFT (Mike Caulfield): Stop – zastavte se, než sdílíte; Investigate the source – zjistěte, kdo za zdrojem stojí; Find better coverage – najděte, jak o věci píší jiné důvěryhodné zdroje; Trace claims – dohledejte původní zdroj citátu, čísla nebo obrázku.

8.7Jak lžou grafy

Darrell Huff (1954) popsal triky, které se dodnes používají. Edward Tufte (1983) zavedl faktor lži: velikost efektu zobrazená v grafu dělená velikostí efektu v datech.lie factor

• Oříznutá osa: u sloupcových grafů, kde délka sloupce nese hodnotu, má osa začínat nulou. U spojnicových grafů lze osu oříznout, má-li jít o kolísání, ale musí to být zřetelné.
• Výběr období: vybrat začátek a konec tak, aby trend vypadal opačně nebo strměji (laboratoř).
• Dvě osy y: vhodnou volbou měřítek lze „ukázat“ souvislost čehokoli s čímkoli.
• Plocha místo délky: zdvojnásobí-li se hodnota a obrázek se zvětší dvakrát na šířku i na výšku, jeho plocha vzroste čtyřikrát; faktor lži je \((4-1)/(2-1) = 3\).
• Kumulativní součet: vždy roste, i když roční hodnoty klesají.

8.8Procvičení

9.1Rozhodovací matice

Rozhodovací problém má možnosti (akce), stavy světa, které neovlivníme, a výsledky pro každou dvojici. Když pravděpodobnosti stavů neznáme vůbec (rozhodování za neurčitosti), nabízí se několik kritérií:decision matrix, acts, states, outcomes, decision under ignorance

• Maximin (Wald): zvol možnost s nejlepším nejhorším výsledkem – pesimista. Vyhrává sál.
• Maximax: zvol možnost s nejlepším nejlepším výsledkem – optimista. Vyhrává venek.
• Minimax lítosti (Savage): lítost je rozdíl proti nejlepší možnosti v daném stavu (venku v dešti 25 000 − (−20 000) = 45 000, sál za sucha 50 000 − 25 000 = 25 000). Minimalizujeme největší lítost: sál.
• Laplaceovo kritérium: stavy považuj za stejně pravděpodobné: venku \((50\,000-20\,000)/2 = 15\,000\), sál 25 000.

Kritéria se neshodnou, protože každé vyjadřuje jiný postoj. Jakmile ale pravděpodobnosti odhadneme (rozhodování za rizika), je přirozené je použít: při 30% pravděpodobnosti deště vychází venek.

9.2Očekávaná hodnota a Petrohradský paradox

Kritérium očekávané hodnoty je rozumné u mnoha malých a nezávislých rozhodnutí: díky zákonu velkých čísel se průměr výsledků blíží součtu očekávaných hodnot. U jednorázových, velkých rozhodnutí selhává. Nicolaus Bernoulli (1713) navrhl hru: mince se hází, dokud nepadne hlava; padne-li poprvé v \(k\)-tém hodu, vyhrajete \(2^{k}\) dukátů. Očekávaná výhra je \(\sum_k 2^{-k}\cdot2^{k} = 1+1+1+\dots = \infty\), přesto by za hru málokdo zaplatil víc než pár dukátů.expected value, St. Petersburg paradox

Daniel Bernoulli (1738) navrhl, že lidé neváží peníze, ale užitek, který s bohatstvím roste stále pomaleji – třeba logaritmicky. Očekávaný užitek hry je pak \(\sum_k 2^{-k}\ln 2^{k} = 2\ln 2\), čemuž odpovídá jistá částka \(e^{2\ln2} = 4\) dukáty.

9.3Teorie očekávaného užitku

John von Neumann a Oskar Morgenstern (1944) dokázali, že kdo má mezi loteriemi preference splňující čtyři axiomy – úplnost (umí porovnat každé dvě), tranzitivitu, spojitost a nezávislost (přimíchání stejné třetí loterie nemění pořadí) –, ten se chová, jako by maximalizoval očekávaný užitek \(EU(a) = \sum_s P(s)\,u(x(a,s))\) pro nějakou funkci \(u\).expected utility theory, von Neumann–Morgenstern axioms

Konkávní \(u\) znamená averzi k riziku: jistá částka rovná očekávané hodnotě loterie je cennější než loterie. Jistotní ekvivalent \(CE\) splňuje \(u(CE) = EU\) a rozdíl \(EV - CE\) je riziková prémie – kolik je člověk ochoten „zaplatit“ za odstranění rizika. Na tom stojí pojištění.risk aversion, certainty equivalent, risk premium

9.4Rozhodovací stromy

Postupná rozhodnutí se kreslí jako strom: čtverec je rozhodovací uzel (volíme my), kruh náhodný uzel (volí příroda s pravděpodobnostmi), na koncích výsledky. Strom se vyhodnocuje zpětnou indukcí: v náhodných uzlech počítáme očekávanou hodnotu, v rozhodovacích vybíráme maximum, od listů ke kořeni.decision tree, decision node, chance node, rollback

9.5Hodnota informace

Hodnota dokonalé informace (EVPI) je rozdíl mezi očekávanou hodnotou, kdybychom před rozhodnutím věděli, jaký stav nastane, a nejlepší očekávanou hodnotou bez informace. Je to horní mez toho, kolik má smysl za jakoukoli informaci zaplatit.expected value of perfect information (EVPI)

Pro slavnost: s dokonalou informací \(0{,}7\cdot50\,000+0{,}3\cdot25\,000 = 42\,500\), tedy \(EVPI = 42\,500-29\,000 = 13\,500\) Kč. Nedokonalá předpověď (signál \(z\)) má hodnotu výběrové informace EVSI: při přesnosti 80 % 7 300 Kč, při 70 % 4 200 Kč, při 60 % jen 1 100 Kč.expected value of sample information (EVSI)

9.6Kalibrace a skórování předpovědí

Předpověď „70 % déšť“ nelze posoudit podle jednoho dne. Lze ale posoudit mnoho předpovědí: dobře kalibrovaný předpovídač má pravdu zhruba v 70 % případů, kdy řekl 70 %. Kalibrační test výše dělá totéž s intervaly. Lidé bývají přehnaně sebejistí: jejich 90% intervaly zasahují pravdu mnohem méně často (Alpert a Raiffa 1982; Lichtenstein, Fischhoff a Phillips 1982).calibration, overconfidence

Je-li člověk opravdu kalibrovaný, má počet zásahů z deseti 90% intervalů binomické rozdělení s \(p = 0{,}9\). Šest nebo méně zásahů pak nastane jen s pravděpodobností 1,3 %, osm nebo méně s pravděpodobností 26 %. Výsledek 5 z 10 je tedy silný doklad příliš úzkých intervalů.

\(f_i\) je předpovězená pravděpodobnost, \(o_i\) skutečnost (1 nastalo, 0 nenastalo). Brier (1950) navrhl skóre pro meteorology; 0 je dokonalé, stálá předpověď 50 % dá vždy 0,25. Skóre je vlastní: v průměru se nejlépe vyplatí hlásit skutečné přesvědčení, ne přehánět.Brier score, proper scoring rule

9.7Procvičení

10.1Hra v normální formě

Hra je určena hráči, jejich strategiemi a výplatami pro každou kombinaci strategií. U dvou hráčů se zapisuje maticí: řádky volí hráč 1, sloupce hráč 2, v buňce jsou výplaty (hráč 1, hráč 2). Předpokládá se, že hráči jsou racionální a že to o sobě navzájem vědí.normal (strategic) form, players, strategies, payoffs

Hra je vězňovým dilematem, platí-li \(T \gt R \gt P \gt S\) (pokušení, odměna, trest, výplata naivního) a obvykle \(2R \gt T+S\), aby střídání zrady nebylo lepší než spolupráce. Strategie je dominantní, když je nejlepší proti čemukoli. Zrada dominuje: proti spolupráci dá 5 místo 3, proti zradě 1 místo 0. Oba proto zradí a dostanou 1 – přitom spoluprací by oba měli 3. Výsledek (1, 1) není paretovsky efektivní: existuje jiný, lepší pro oba.dominant strategy, Pareto efficiency

10.2Nashova rovnováha

Profil strategií je Nashovou rovnováhou, když strategie každého hráče je nejlepší odpovědí na strategie ostatních – nikomu se nevyplatí jednostranně změnit volbu. John Nash ji definoval v roce 1950 (Nobelova cena za ekonomii 1994).Nash equilibrium, best response

10.3Smíšené strategie

V kámen–nůžky–papír žádná čistá rovnováha neexistuje: na každou volbu je lepší odpověď. Rovnováhou je hrát každou možnost náhodně s pravděpodobností 1/3. Smíšená strategie je pravděpodobnostní volba mezi čistými. Nash dokázal, že každá konečná hra má aspoň jednu rovnováhu ve smíšených strategiích; pro hry s nulovým součtem to dříve ukázal John von Neumann (věta o minimaxu, 1928).mixed strategy, existence theorem, minimax theorem

Ve smíšené rovnováze volí každý hráč pravděpodobnosti tak, aby byl soupeř lhostejný mezi svými čistými strategiemi – jinak by soupeř hrál jen tu lepší a smíšení by nebylo rovnováhou.

10.4Sekvenční hry a zpětná indukce

Když hráči táhnou postupně a vidí předchozí tahy, kreslí se hra jako strom (rozvinutá forma). Řeší se zpětnou indukcí: od posledního tahu zjistíme, co hráč zvolí, a dosazujeme dozadu. Výsledek je podherně perfektní rovnováha (Reinhard Selten): vylučuje nevěrohodné hrozby, které by hráč, až by na ně došlo, sám neprovedl.extensive form, backward induction, subgame perfect equilibrium, credible threat

V ultimátní hře (Güth, Schmittberger a Schwarze 1982) navrhovatel rozdělí částku a příjemce může jen přijmout, nebo odmítnout – pak nedostane nic nikdo. Zpětná indukce předpovídá nejmenší možnou nabídku a její přijetí. Ve skutečnosti lidé v mnoha zemích nabízejí obvykle 40–50 % a nabídky pod 20 % bývají často odmítány (Camerer 2003). Lidé ceníme férovost a jsme ochotni ji vynucovat i za vlastní cenu.ultimatum game

10.5Opakované hry a stín budoucnosti

Hraje-li se vězňovo dilema opakovaně a s pravděpodobností \(\delta\) následuje další kolo (nebo budoucí výplaty diskontujeme faktorem \(\delta\)), může být spolupráce rovnováhou. Strategie zášť (grim trigger) spolupracuje, dokud soupeř nezradí, pak už jen zrazuje. Proti ní se nevyplatí zradit, když

Pro oko za oko (TFT) je podmínka přísnější, protože TFT odpouští a lze ho „vykořisťovat“ střídáním zrady a spolupráce: \(\delta \ge \max\big(\frac{T-R}{T-P},\frac{T-R}{R-S}\big) = \max(0{,}5;\ 0{,}667) = 2/3\) (Axelrod 1984). Lidová věta (folk theorem) říká, že při dost trpělivých hráčích lze rovnováhou udržet téměř jakýkoli výsledek, který dá každému víc než vzájemná zrada. Axelrod tomu říká stín budoucnosti.repeated game, discount factor, grim trigger, folk theorem, shadow of the future

10.6Axelrodovy turnaje

Politolog Robert Axelrod uspořádal v letech 1979–1980 počítačový turnaj iterovaného vězňova dilematu. První kolo mělo 14 přihlášených strategií a k nim strategii RANDOM; každá hrála s každou (i se svým dvojčetem) 200 tahů. Vyhrála nejjednodušší strategie oko za oko, kterou poslal Anatol Rapoport. Do druhého kola přišlo 62 strategií ze šesti zemí; autoři znali výsledky prvního kola a délka zápasů nebyla předem známá (po každém tahu hra pokračovala s pravděpodobností 0,99654, medián délky byl 200 tahů). Oko za oko vyhrálo znovu.

Axelrod (1984) shrnul, co měly úspěšné strategie společné: byly vlídné (nezradí jako první), oplácející (zradu potrestají), odpouštějící (po potrestání se vrátí ke spolupráci) a srozumitelné (soupeř brzy pochopí, s kým hraje). Zajímavý paradox, který ukazuje i laboratoř: oko za oko nevyhraje jediný zápas – nanejvýš remizuje –, a přesto má nejlepší celkový výsledek, protože s vlídnými strategiemi získává hodně. Naopak „vždy zraď“ žádný zápas neprohraje, a přesto končí na chvostu.nice, retaliatory, forgiving, clear

Výsledek závisí na poli soupeřů. Axelrod sám uvádí, že strategie oko za dvě oka (zradí až po dvou zradách soupeře) by první turnaj vyhrála, kdyby ji někdo poslal; ve druhém turnaji, kde na ni byli soupeři připraveni, by dopadla hůř. V laboratoři s „naivními“ soupeři (vždy spolupracuj, náhoda) proto odpouštějící strategie často předběhnou oko za oko.

Šum a evoluce

Axelrodova ekologická simulace nechala strategie množit podle výsledků. Vykořisťující strategie nejdřív rostly na úkor naivních, pak jim „došla potrava“ a vymřely. S šumem (omyly v tazích) má oko za oko slabinu: jediný omyl spustí sérii vzájemných odplat. Lépe pak obstojí velkorysé oko za oko, které zradu občas odpustí (Nowak a Sigmund 1992), nebo Pavlov („vyhraj–zůstaň, prohraj–změň“), který se po omylu rychle vrátí ke spolupráci (Nowak a Sigmund 1993).ecological simulation, noise, generous tit for tat, win-stay lose-shift

10.7Evolučně stabilní strategie

John Maynard Smith a George Price (1973) přenesli teorii her do biologie: strategie je zděděné chování, výplata je reprodukční úspěch. Strategie je evolučně stabilní (ESS), když populace, která ji hraje, nemůže být proniknuta malým počtem mutantů s jinou strategií. V hře jestřáb–holubice se zdrojem hodnoty \(V\) a cenou souboje \(C \gt V\) je ESS směs s podílem jestřábů \(V/C\): pro \(V = 4\), \(C = 6\) dvě třetiny.evolutionarily stable strategy, hawk-dove game

10.8Procvičení

11.1Co je formální systém

Formální systém tvoří (1) jazyk: abeceda a pravidla, které řetězce jsou správně utvořené formule; (2) axiomy: vybrané formule; (3) odvozovací pravidla: předpisy, jak z formulí vytvořit novou. Důkaz formule \(\varphi\) je konečná posloupnost formulí končící \(\varphi\), v níž je každá formule axiom, předpoklad, nebo plyne z předchozích podle pravidla. Dokazatelnou formuli nazýváme větou (teorémem) a píšeme \(\vdash\varphi\), z předpokladů \(\Gamma\vdash\varphi\).formal system, axiom, rule of inference, proof, theorem

Důkaz je čistě syntaktický pojem: pracuje jen s tvarem řetězců. Pravdivost je pojem sémantický: závisí na významu, na interpretaci (kapitoly 3 a 4). \(\Gamma\models\varphi\) znamená, že \(\varphi\) je pravdivá v každé interpretaci, v níž jsou pravdivé formule z \(\Gamma\). Metalogika zkoumá, jak spolu oba pojmy souvisejí.syntax, semantics

11.2Hilbertovský systém

Nejúspornější systémy výrokové logiky mají mnoho axiomů a jediné pravidlo. Oblíbená varianta (podle Łukasiewicze) má spojky \(\neg,\to\), pravidlo modus ponens a tři schémata axiomů (za \(\varphi,\psi,\chi\) lze dosadit libovolné formule):Hilbert-style system

11.3Přirozená dedukce

Gerhard Gentzen (1934/1935) a nezávisle Stanisław Jaśkowski (1934) navrhli systém, který napodobuje skutečné uvažování: žádné axiomy, ale pro každou spojku pravidlo zavedení (jak ji dokázat) a eliminace (jak ji použít). Klíčové jsou dočasné předpoklady, které se později „uzavřou“.natural deduction, introduction and elimination rules

\([A]\dots B\) znamená: za předpokladu \(A\) jsme odvodili \(B\); předpoklad se pravidlem uzavírá. Pro klasickou logiku se přidává pravidlo dvojí negace \(\neg\neg A \vdash A\) (nebo zákon vyloučeného třetího); bez něj vznikne logika intuicionistická (kapitola 12).

11.4Důkazové metody v matematice

• Přímý důkaz: z předpokladů krok za krokem k závěru. „Součet dvou sudých čísel je sudý: \(2a+2b = 2(a+b)\).“
• Důkaz obměnou: místo \(p\to q\) dokážeme \(\neg q\to\neg p\). „Je-li \(n^2\) sudé, je \(n\) sudé“: je-li \(n = 2k+1\) liché, je \(n^2 = 4k^2+4k+1\) liché.
• Důkaz sporem: předpokládáme negaci tvrzení a odvodíme spor. Eukleidés (asi 300 př. n. l.): kdyby prvočísel bylo konečně mnoho, \(p_1,\dots,p_k\), pak \(N = p_1p_2\cdots p_k+1\) nedělí žádné z nich (zbytek je 1), takže \(N\) má prvočíselného dělitele mimo seznam – spor.proof by contradiction
• Matematická indukce: dokážeme tvrzení pro \(n = 1\) a krok „platí-li pro \(n\), platí pro \(n+1\)“. Například \(1+2+\dots+n = n(n+1)/2\): pro \(n = 1\) je \(1 = 1\); a \(n(n+1)/2+(n+1) = (n+1)(n+2)/2\).mathematical induction
• Protipříklad vyvrací obecné tvrzení. „Každé číslo tvaru \(n^2+n+41\) je prvočíslo“ platí pro \(n = 0,\dots,39\), ale \(40^2+40+41 = 1681 = 41^2\).

11.5Korektnost, úplnost, bezespornost, rozhodnutelnost

• Korektnost: \(\Gamma\vdash\varphi \Rightarrow \Gamma\models\varphi\). Ověří se tím, že axiomy jsou platné a pravidla zachovávají pravdivost.soundness
• Úplnost: \(\Gamma\models\varphi \Rightarrow \Gamma\vdash\varphi\). Pro predikátovou logiku prvního řádu ji dokázal Kurt Gödel v disertaci (1929, publikováno 1930).completeness
• Bezespornost teorie: nedokazuje zároveň \(\varphi\) i \(\neg\varphi\). Ve sporné teorii lze v klasické logice dokázat cokoli (ex falso quodlibet, „princip exploze“), proto je spor pro teorii smrtící.consistency, principle of explosion
• Rozhodnutelnost: existuje algoritmus, který o každé formuli v konečném čase rozhodne, zda je dokazatelná.decidability

„Úplnost logiky“ (každá platná formule je dokazatelná) a „úplnost teorie“ (každou větu jazyka teorie lze dokázat, nebo vyvrátit) jsou různé pojmy. Gödel dokázal první pro logiku a vyvrátil druhou pro aritmetiku.

11.6Axiomatické teorie

Eukleidovy Základy (asi 300 př. n. l.) jsou vzorem axiomatické metody. Pátý postulát o rovnoběžkách se zdál méně samozřejmý než ostatní a po staletí se ho matematici snažili dokázat. Lobačevskij (1829) a Bolyai (1832) ukázali, že jeho negací vznikne bezesporná neeukleidovská geometrie – pátý postulát je na ostatních nezávislý. Nezávislost se dokazuje modelem: Beltrami (1868) sestrojil model hyperbolické geometrie uvnitř eukleidovské, takže je bezesporná, pokud je bezesporná eukleidovská.axiomatic method, independence, relative consistency

Peanovy axiomy (1889) popisují přirozená čísla pomocí nuly a následníka \(S(n)\): 0 je číslo; každé číslo má následníka; 0 není následníkem žádného čísla; různá čísla mají různé následníky; a axiom indukce: má-li vlastnost 0 a přenáší-li se z \(n\) na \(S(n)\), mají ji všechna čísla. Sčítání a násobení se definují rekurzivně, například \(n+0 = n\), \(n+S(m) = S(n+m)\).Peano axioms

11.7Invarianty: proč MU nejde

Hofstadter (1979) uvádí systém MIU jako ukázku rozdílu mezi prací v systému (zkoušet pravidla) a úvahou o systému. Uvnitř systému lze zkoušet donekonečna. Mimo něj si všimneme invariantu: počet písmen I v řetězci nikdy není dělitelný třemi. Na začátku je 1. Pravidla I a IV počet I nemění, pravidlo III ho sníží o 3 (zbytek po dělení třemi se nemění), pravidlo II ho zdvojnásobí – a dvojnásobek čísla nedělitelného třemi také není dělitelný třemi. MU má nula I, a nula je dělitelná třemi. MU proto vyrobit nelze. Taková úvaha je metavěta – tvrzení o systému dokázané mimo něj.invariant, metatheorem

11.8Procvičení

12.1Paradoxy a sebereference

Paradox lháře se připisuje Eubulidovi z Mílétu (4. století př. n. l.). Věta, která o sobě tvrdí, že je nepravdivá, nemůže mít žádnou z obou pravdivostních hodnot. Alfred Tarski (1933) z něj vyvodil větu o nedefinovatelnosti pravdy: dostatečně bohatý jazyk nemůže obsahovat vlastní predikát pravdivosti. O pravdivosti vět jazyka mluvíme v metajazyce.liar paradox, Tarski’s undefinability theorem, metalanguage

Russellův paradox: uvažujme množinu \(R = \{x \mid x\notin x\}\) všech množin, které nejsou prvkem sebe sama. Je-li \(R\in R\), pak podle definice \(R\notin R\); je-li \(R\notin R\), pak \(R\in R\). Bertrand Russell ho popsal v dopise Gottlobu Fregovi 16. června 1902 – právě když Frege dokončoval druhý svazek Základních zákonů aritmetiky, jehož systém tím byl sporný. Frege přiznal problém v dodatku svazku (1903).Russell’s paradox

Řešení: Russell navrhl teorii typů (1908), v níž množina nemůže obsahovat objekty svého typu. Ernst Zermelo (1908) a později Abraham Fraenkel vybudovali axiomatickou teorii množin (ZF), v níž lze z dané množiny jen vydělit prvky s vlastností, ne vytvořit množinu „všech \(x\) s vlastností“. Russellův argument pak jen dokazuje, že množina všech množin neexistuje.

12.2Diagonální metoda

Georg Cantor (1891) dokázal, že reálných čísel (i nekonečných posloupností nul a jedniček) je „víc“ než přirozených: nelze je seřadit do seznamu. Kdyby seznam existoval, sestrojíme posloupnost, jejíž \(k\)-tá číslice je opakem \(k\)-té číslice \(k\)-tého řádku. Ta se od každého řádku liší, v seznamu tedy není – spor. Obecně Cantorova věta: žádná množina nemá stejně prvků jako množina všech jejích podmnožin, \(|A| \lt |\mathcal P(A)|\).diagonal argument, uncountable, Cantor’s theorem

12.3Gödelovy věty o neúplnosti

David Hilbert chtěl celou matematiku formalizovat a finitními prostředky dokázat, že je bezesporná (Hilbertův program). Kurt Gödel v roce 1931 ukázal, že to v plném rozsahu nejde. Jeho myšlenka má tři kroky:Hilbert’s program

1. Aritmetizace: každému symbolu, formuli i důkazu přiřadíme číslo (gödelovské číslo). Výroky o formulích a důkazech se tak stanou výroky o číslech, které lze vyjádřit v aritmetice.Gödel numbering
2. Dokazatelnost jako vlastnost čísel: vztah „\(x\) je číslo důkazu formule s číslem \(y\)“ je v aritmetice vyjádřitelný, a tedy i „formule s číslem \(y\) je dokazatelná“.
3. Diagonální lemma: lze sestrojit formuli \(G\), která říká „formule s mým číslem není dokazatelná“ – ne pomocí slova „já“, ale diagonální konstrukcí jako u Cantora.

Je-li \(T\) bezesporná, \(G\) v ní dokazatelná není (jinak by \(T\) dokazovala i nedokazatelnost \(G\)). Za mírně silnějšího předpokladu nelze dokázat ani \(\neg G\); J. Barkley Rosser (1936) ukázal, že stačí bezespornost.

• První věta o neúplnosti: každá bezesporná, efektivně axiomatizovaná teorie, která obsahuje základní aritmetiku přirozených čísel, je neúplná: existuje věta jejího jazyka, kterou v ní nelze dokázat ani vyvrátit.first incompleteness theorem
• Druhá věta o neúplnosti: taková teorie nedokáže svou vlastní bezespornost (formuli \(\mathrm{Con}(T)\)).second incompleteness theorem

12.4Problém zastavení

Hilbert a Ackermann (1928) položili problém rozhodnutelnosti (Entscheidungsproblem): existuje mechanický postup, který o každé formuli predikátové logiky rozhodne, zda je platná? Abychom mohli odpovědět „ne“, bylo třeba přesně říct, co je mechanický postup. Alan Turing (1936) navrhl abstraktní stroj s páskou – Turingův stroj – a Alonzo Church (1936) lambda kalkul. Obě definice se ukázaly ekvivalentní; Churchova–Turingova teze tvrdí, že zachycují vše, co je intuitivně algoritmicky vyčíslitelné.Entscheidungsproblem, Turing machine, Church–Turing thesis

Problém zastavení: existuje program \(H(P, x)\), který o každém programu \(P\) a vstupu \(x\) správně rozhodne, zda se \(P\) na \(x\) zastaví? Ne. Kdyby existoval, sestrojíme program \(D(P)\): „zeptej se \(H(P,P)\); řekne-li zastaví se, zacykli se; řekne-li nezastaví se, skonči“. Zastaví se \(D(D)\)? Zastaví se právě tehdy, když \(H\) tvrdí, že se nezastaví – spor. Je to diagonální argument: \(D\) se liší od každého programu v tom, jak se chová na sobě samém. Riceova věta (1953) z toho vyvozuje, že žádná netriviální vlastnost chování programů není algoritmicky rozhodnutelná. Praktické dopady vykládá průvodce Informatika.halting problem, Rice’s theorem

12.5Modální logika

Modální logika přidává operátory nutnosti \(\Box\) a možnosti \(\Diamond\), přičemž \(\Diamond p \equiv \neg\Box\neg p\). Saul Kripke (1959, 1963) jí dal sémantiku možných světů: model je množina světů s relací dosažitelnosti; \(\Box p\) platí ve světě \(w\), když \(p\) platí ve všech světech dosažitelných z \(w\), a \(\Diamond p\), když aspoň v jednom.modal logic, necessity, possibility, Kripke semantics, possible worlds, accessibility relation

Podle čtení operátoru vznikají epistemická logika (\(\Box p\): „vím, že p“; axiom T: co vím, je pravda), deontická (\(\Box p\): „je povinné, že p“; T zde neplatí – ne vše povinné se děje) a temporální („vždy v budoucnu“). Temporální logiky se používají k automatickému ověřování hardwaru a softwaru (model checking; Clarke, Emerson a Sifakis obdrželi za jeho rozvoj Turingovu cenu za rok 2007).

12.6Fuzzy logika

Je člověk s 1,80 m vysoký? A s 1,79 m? Vágní pojmy nemají ostrou hranici, což vede k paradoxu hromady (sorites): jedno zrnko hromadu nedělá, přidání jednoho zrnka z nehromady hromadu neudělá – a přesto hromady existují. Lotfi Zadeh (1965) zavedl fuzzy množiny s mírou příslušnosti \(\mu(x)\in[0,1]\). Fuzzy logika počítá s pravdivostními hodnotami z intervalu [0, 1]; konjunkci zobecňují t-normy:fuzzy set, membership function, sorites paradox, t-norm

Disjunkce (t-konorma) je duální: \(\max(a,b)\), \(a+b-ab\), \(\min(1,a+b)\). Pro hodnoty 0 a 1 se všechny shodují s klasickou logikou. Fuzzy logika není pravděpodobnost: „sklenice je z 0,5 plná“ je vágnost (sklenice je napůl plná), „sklenice je plná s pravděpodobností 0,5“ je nejistota (buď plná je, nebo není). Teoreticky ji rozpracoval mimo jiné Petr Hájek (1998), jeden z předních českých logiků; prakticky se uplatňuje v řízení spotřebičů, kamer či dopravy.

12.7Intuicionistická a další neklasické logiky

Matematik L. E. J. Brouwer odmítl dokazovat existenci objektu jen tím, že jeho neexistence vede ke sporu: chtěl objekt sestrojit. Arend Heyting (1930) jeho postoj formalizoval jako intuicionistickou logiku. Neplatí v ní zákon vyloučeného třetího \(p\vee\neg p\) ani \(\neg\neg p\to p\); důkaz disjunkce musí říct, která část platí. Podle Curryho–Howardovy korespondence odpovídají intuicionistické důkazy programům a formule typům – na tom stojí řada programovacích jazyků a nástrojů pro ověřování.intuitionistic logic, law of excluded middle, Curry–Howard correspondence

• Vícehodnotové logiky: Jan Łukasiewicz (1920) přidal třetí hodnotu „možné“; dnes třeba „neznámé“ v databázích.
• Parakonzistentní logiky odmítají princip exploze: spor v datech nemusí znamenat, že platí cokoli.
• Logiky vyšších řádů kvantifikují i přes vlastnosti; jsou výrazově silnější, ale přicházejí o úplnost.

12.8Procvičení