Kvantová fyzika
Od fotonu po kvantový počítač –
pravidla, kterými se řídí mikrosvět
Elektrony letí na dvojštěrbinu po jednom. Každý dopadne na stínítko jako jediný bod, a přece se z tisíců bodů skládají proužky, které vysvětlí jen vlna procházející oběma štěrbinami. Zapněte detektor u štěrbin a proužky zmizí.
Jak průvodce používat
Kvantová fyzika popisuje svět atomů, elektronů a fotonů. Její pravidla vypadají podivně – energie se předává po kvantech, částice se šíří jako vlny a výsledek měření je náhodný – a přitom jde o nejpřesněji ověřenou teorii, jakou máme. Stojí na ní tranzistor, laser, LED, magnetická rezonance i atomové hodiny. Průvodce vede od pokusů, které na přelomu 19. a 20. století rozbily klasickou fyziku, přes Schrödingerovu rovnici a atom vodíku až ke spinu, provázanosti, Bellovým nerovnostem a kvantovým počítačům.
Tři patra každé kapitoly. Nahoře krátké vysvětlení a laboratoř, kde si jev vyzkoušíte: posuvníky, grafy, simulace jednotlivých částic a minihry. Pod ní mise za XP – od klasického fyzika až po mistra provázanosti. Dole rozbalovací teorie pro ty, kdo chtějí jít do hloubky: definice, vzorce, odvození, řešené příklady a příklady k procvičení s úplným řešením. Teorie jde často o úroveň výš než text nad ní. Barevná tečka v obsahu ukazuje náročnost. Postup se ukládá jen ve vašem prohlížeči.
Mapa průvodce
| Kapitola | Úroveň | Co se naučíte |
|---|---|---|
| 1 Kvanta světla: černé těleso | základy | proč rozžhavené těleso mění barvu, ultrafialová katastrofa, Planckova kvanta, foton a jeho energie \(E = hf\) |
| 2 Fotoelektrický jev a foton | základy | Einsteinova rovnice fotoefektu, výstupní práce, brzdné napětí, měření Planckovy konstanty, hybnost fotonu |
| 3 Spektra a Bohrův model atomu | základy | čárová spektra, hladiny atomu vodíku, emise a absorpce, laser, LED a atomové hodiny |
| 4 Vlny hmoty a dvojštěrbina | základy | de Broglieho vlnová délka, ohyb elektronů, interference po jednotlivých částicích, informace o dráze |
| 5 Princip neurčitosti | střední škola | vlnový balík, Heisenbergova relace, rozplývání balíku, odhady velikosti atomu |
| 6 Vlnová funkce a Schrödingerova rovnice | střední škola | Bornovo pravidlo, stacionární stavy, částice v krabici, superpozice a časový vývoj |
| 7 Tunelový jev a oscilátor | střední škola | průchod bariérou, rozpad alfa, tunelový mikroskop, kvantový harmonický oscilátor a nulová energie |
| 8 Atom vodíku, orbitaly a Pauliho princip | střední škola | kvantová čísla, tvary orbitalů, radiální rozdělení, moment hybnosti, Pauliho princip |
| 9 Spin a jazyk kvantové mechaniky | vysoká škola | Sternův–Gerlachův pokus, Hilbertův prostor a Diracova notace, operátory, komutátory, časový vývoj, magnetická rezonance |
| 10 Qubit, Blochova koule a matice hustoty | vysoká škola | superpozice a měření, jednoqubitová hradla, čisté a smíšené stavy, dekoherence |
| 11 Provázanost, Bellovy nerovnosti a kryptografie | vysoká škola | tenzorový součin, Bellovy stavy, paradox EPR, nerovnost CHSH a její testy, neklonovatelnost, teleportace, BB84 |
| 12 Kvantové počítače, interpretace a aplikace | vysoká škola | obvody a algoritmy (Grover, Shor), korekce chyb, realistický stav techniky, interpretace, aplikace kvantové fyziky |
Co budete potřebovat
- Základy (kapitoly 1–4): zápis velkých a malých čísel mocninami deseti, úměrnost, energie a vlnová délka na úrovni základní školy. Elektronvolt a vztah \(E = hf\) vysvětluje kapitola 1.
- Střední škola (kapitoly 5–8): funkce sinus a exponenciála, derivace jako „rychlost změny“, komplexní čísla v základu (\(i^2 = -1\), \(e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi\)). Rozbalovací teorie používá integrál a jednoduché diferenciální rovnice.
- Vysoká škola (kapitoly 9–12): vektory a matice, vlastní čísla a vlastní vektory, komplexní čísla, základy pravděpodobnosti. Vše najdete v průvodci Matematika (lineární algebra, komplexní čísla); pravděpodobnost do hloubky v průvodci Statistika a modely.
- Sousední průvodci: průvodce Fyzika má úvodní kapitolu o kvantové fyzice (fotoefekt, potenciálová jáma, tunelování, atom vodíku v kostce) – tady na ni navazujeme a jdeme hlouběji. Atomové jádro, rozpad alfa a částice vykládá průvodce Jaderná fyzika, orbitaly víceelektronových atomů, chemickou vazbu a spektroskopii průvodce Chemie, polovodiče a tranzistor průvodce Elektrotechnika, šifrování a postkvantovou kryptografii průvodce Kybernetická bezpečnost, relativitu průvodce Teorie relativity a kvantové jevy v nanosvětě průvodce Nanotechnologie.
Čtyři druhy rámečků
Zadání, postup a výsledek s jednotkami. Čísla jsou spočítaná s konstantami CODATA 2022 a zaokrouhlená tak, jak je uvádí text.
Kde se jev uplatní v technice, v přírodě nebo jak se k němu fyzika dopracovala.
Rychlé pravidlo, odhad nebo způsob, jak si vztah zapamatovat.
Místo, kde se nejčastěji chybuje, a rozšířená mylná představa.
Studijní materiál, nenahrazuje učebnici ani výuku. Laboratoře jsou modely se zjednodušujícími předpoklady, které uvádí jejich popisek; čísla v nich jsou spočítaná, ne naměřená. Laserové ukazovátko nikdy nemiřte do očí a do Slunce se nedívejte dalekohledem ani jinou optikou. Průvodce nejmenuje komerční produkty ani firmy. Kvantová fyzika bývá zneužívána k propagaci pseudovědeckých výrobků a terapií – co skutečně říká a co ne, shrnuje kapitola 12. Fyzikální konstanty jsou podle CODATA 2022 (příloha B), zdroje a stav údajů k 4. 11. 2026 v příloze C.
Rozsahem odpovídá: kapitoly 1–4 tématům mikrosvěta, světla a stavby atomu ve vzdělávacím oboru Fyzika Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání (RVP ZV) a jejich rozšíření, kapitoly 5–8 tématu Fyzika mikrosvěta v Rámcovém vzdělávacím programu pro gymnázia (RVP G) a obvyklé profilové maturitní zkoušce z fyziky, kapitoly 9–12 úvodním vysokoškolským kurzům kvantové mechaniky, atomové fyziky a kvantové informatiky. Rozbalovací teorie jde v každé kapitole často o úroveň výš než úvodní text.
Kvanta světla: černé tělesozáklady
Kolem roku 1900 uměla fyzika vysvětlit pohyb planet, elektřinu i světlo – jen ne barvu rozžhaveného železa. Klasická teorie předpovídala nesmysl a Max Planck ho odstranil jedinou odvážnou domněnkou: energie se vyměňuje po malých dávkách, kvantech. Z nich se zrodila celá kvantová fyzika.
Kovář pozná teplotu železa podle barvy: tmavě rudá kolem 600 °C, oranžová, žlutá a nakonec bílá nad 1 300 °C. Totéž vidíte u plotny, uhlíků v krbu nebo vlákna žárovky. Barva rozžhaveného tělesa skoro nezávisí na tom, z čeho je – jen na teplotě. To je stopa obecného zákona, a právě ten klasická fyzika neuměla odvodit.
Každé těleso s teplotou nad absolutní nulou vyzařuje elektromagnetické záření. Za pokojové teploty je to neviditelné infračervené záření (zachytí ho termokamera), za vyšší teploty se maximum vyzařování posouvá ke kratším vlnovým délkám a těleso začne svítit. Fyzikové si situaci zjednodušili na absolutně černé těleso: těleso, které pohltí všechno záření, jež na něj dopadne. Dobře ho napodobí dutina s malým otvorem – záření, které otvorem vnikne, se uvnitř mnohokrát odrazí a pohltí. Záření vycházející z otvoru pak závisí jen na teplotě stěn.
Klasická fyzika spočítala, kolik energie připadá na jednotlivé „kmity“ (módy) elektromagnetického pole v dutině, a dospěla k Rayleighovu–Jeansovu zákonu. Pro dlouhé vlnové délky souhlasil s měřením, pro krátké ale předpovídal, že záření roste nade všechny meze. Takové těleso by zářilo nekonečným výkonem – tomuto selhání se začalo říkat ultrafialová katastrofa. Max Planck v roce 1900 našel vzorec, který s měřením souhlasil všude, a k jeho odvození potřeboval předpoklad, že energie kmitu o frekvenci \(f\) se mění jen po celých násobcích kvanta \(hf\). Konstanta \(h\) dnes nese jeho jméno.
Energie jednoho kvanta je nepatrná, a proto se v mikrosvětě měří v elektronvoltech: 1 eV je energie, kterou získá elektron urychlený napětím 1 V, tedy \(1{,}602\cdot 10^{-19}\) J. Foton zeleného světla 500 nm má energii 2,48 eV, foton červeného světla 650 nm 1,91 eV. Pětiletá cesta od Planckova „zoufalého kroku“ k Einsteinovu fotonu je obsahem kapitol 1 a 2.
+Teorie: černé těleso, ultrafialová katastrofa, Planckův zákon a foton
1.1Tepelné záření a černé těleso
Gustav Kirchhoff v letech 1859–1860 ukázal, že poměr vyzařování a pohltivosti je pro všechna tělesa při dané teplotě a vlnové délce stejný. Těleso, které pohltí vše, tedy září nejvíc a jeho spektrum je univerzální funkcí teploty. Tuto funkci hledala fyzika čtyřicet let.thermal radiation, blackbody, Kirchhoff's law
Spektrum popisuje spektrální zář \(B_\lambda(T)\): výkon vyzářený z jednotkové plochy do jednotkového prostorového úhlu na jednotkový interval vlnových délek (W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹). Celkový výkon vyzářený z 1 m² do poloprostoru je intenzita vyzařování \(M = \pi\int_0^\infty B_\lambda\,\mathrm d\lambda\).spectral radiance, radiant exitance
1.2Klasický výpočet a ultrafialová katastrofa
Záření v dutině si lze představit jako soubor stojatých vln (módů). Jejich počet v objemu \(V\) v intervalu frekvencí \((f, f + \mathrm df)\) je \(8\pi f^2 V\,\mathrm df/c^3\) – roste s druhou mocninou frekvence. Podle klasického ekvipartičního teorému má každý mód v tepelné rovnováze průměrnou energii \(kT\). Vynásobením dostaneme Rayleighův–Jeansův zákon:Rayleigh–Jeans law, equipartition theorem
Pro dlouhé vlny souhlasí s měřením, ale integrál přes všechny frekvence diverguje: dutina by obsahovala nekonečnou energii. Paul Ehrenfest tomu v roce 1911 dal jméno ultrafialová katastrofa. Chyba není v počítání módů, ale v předpokladu, že každý mód dostane energii \(kT\) bez ohledu na frekvenci.
1.3Planckův zákon
Max Planck nejprve 19. 10. 1900 uhodl vzorec, který přesně popsal měření, a 14. 12. 1900 ho před Německou fyzikální společností odvodil. Předpokládal, že oscilátory ve stěnách mohou mít jen energie \(0, hf, 2hf, \dots\). Průměrná energie takového oscilátoru v tepelné rovnováze (Boltzmannovo rozdělení přes diskrétní hladiny) jePlanck's law, energy quantum
Pro \(hf \ll kT\) se \(e^{hf/kT} - 1 \approx hf/kT\) a \(\langle E\rangle \to kT\): klasický výsledek. Pro \(hf \gg kT\) je \(\langle E\rangle \approx hf\,e^{-hf/kT}\) – módy s vysokou frekvencí jsou „zmrazené“, protože i jediné kvantum je pro ně příliš drahé. Tím katastrofa mizí. Planck sám kvanta zpočátku chápal jako matematický trik týkající se jen výměny energie se stěnami; za objev energetických kvant dostal Nobelovu cenu za rok 1918.
Na povrchu Slunce (5 772 K) je pro zelené světlo 500 nm \(hf/kT = 4{,}99\) a průměrná energie módu je jen \(0{,}034\,kT\). Rayleighův–Jeansův zákon tam předpovídá 29krát víc záření, než Slunce vyzařuje. Pro vlnovou délku 10 µm je \(hf/kT = 0{,}25\), \(\langle E\rangle = 0{,}88\,kT\) a klasický vzorec se od Planckova liší jen o 14 %.
1.4Wienův posunovací zákon a Stefanův–Boltzmannův zákon
Z Planckova zákona plynou dva starší empirické zákony. Maximum spektra (derivace podle \(\lambda\) rovna nule) leží u vlnové délky nepřímo úměrné teplotě, a integrací přes všechny vlnové délky dostaneme celkový vyzářený výkon úměrný čtvrté mocnině teploty:Wien's displacement law, Stefan–Boltzmann law
| Těleso | Teplota | \(\lambda_{\max}\) | \(M = \sigma T^4\) |
|---|---|---|---|
| reliktní záření vesmíru | 2,7255 K | 1,06 mm | 3,1 µW/m² |
| lidské tělo (povrch kůže zhruba) | 310 K | 9,35 µm | 524 W/m² |
| láva | 1 400 K | 2,07 µm | 218 kW/m² |
| vlákno žárovky | 2 800 K | 1 035 nm | 3,49 MW/m² |
| povrch Slunce | 5 772 K | 502 nm | 62,9 MW/m² |
| povrch Síria | 9 940 K | 292 nm | 554 MW/m² |
Vlákno žárovky má maximum vyzařování v infračervené oblasti; do viditelného pásma 380–750 nm připadá při 2 800 K jen asi 8 % vyzářeného výkonu, zbytek je teplo. U Slunce je to 44 %. Termokamery a bezdotykové teploměry měří teplotu z infračerveného záření. Reliktní záření vesmíru má spektrum černého tělesa s přesností lepší než 0,01 %; jeho měření družicí COBE přineslo Johnu Matherovi a Georgi Smootovi Nobelovu cenu za rok 2006 (podrobněji v průvodci Astronomie).
1.5Foton a elektronvolt
Planck kvantoval jen výměnu energie. Albert Einstein v roce 1905 šel dál: světlo samo se skládá z kvant, dnes zvaných fotony (název navrhl Gilbert Lewis v roce 1926). Foton má energii \(E = hf\) a hybnost \(p = E/c = h/\lambda\). Pro převody je užitečné \(hc = 1\,239{,}84\ \text{eV}\cdot\text{nm}\).photon, electronvolt
\(E\,[\text{eV}] \approx 1240/\lambda\,[\text{nm}]\). Červená 700 nm ≈ 1,8 eV, fialová 400 nm ≈ 3,1 eV. Viditelné fotony mají jednotky elektronvoltů – stejně jako chemické vazby. Proto světlo umí pohánět fotosyntézu a ultrafialové záření poškozuje kůži, zatímco rádiové vlny, jejichž fotony mají milionkrát menší energii, molekuly nerozbijí, ať je jich jakkoli mnoho.
Červené ukazovátko 650 nm o výkonu 1 mW. Energie fotonu \(hc/\lambda = 3{,}06\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 1{,}91\) eV. Počet fotonů za sekundu \(10^{-3}/3{,}06\cdot 10^{-19} = 3{,}3\cdot 10^{15}\). Při takových počtech světlo vnímáme jako spojité; kvantová povaha se ukáže až při velmi slabém osvětlení nebo v jednotlivých dějích s atomy.
1.6Procvičení
- Spektrum černého tělesa závisí jen na teplotě; maximum je u \(\lambda_{\max} = b/T\), výkon roste jako \(T^4\).
- Klasická fyzika vedla k ultrafialové katastrofě; Planck ji odstranil předpokladem kvant energie \(hf\).
- Foton má energii \(E = hf = hc/\lambda\); pomůcka \(E\,[\text{eV}] \approx 1240/\lambda\,[\text{nm}]\).
Fotoelektrický jev a fotonzáklady
Světlo dopadající na kov z něj vyráží elektrony. Jejich energie ale nezávisí na tom, jak silné světlo je, jen na jeho barvě. Albert Einstein v roce 1905 vysvětlil proč: světlo přichází v kvantech a jeden foton předá svou energii jednomu elektronu.
Představte si, že chcete přehodit míček přes vysokou zeď. Můžete hodit tisíc slabých hodů – žádný zeď nepřeletí. Jeden dost silný hod stačí. Elektron v kovu je za takovou „zdí“ (výstupní prací) a světlo s ním nehraje po troškách: každý foton je jeden hod s energií \(hf\). Silnější světlo znamená víc hodů, ne silnější hody.
Heinrich Hertz si v roce 1887 všiml, že jiskra přeskakuje snáz, když jsou elektrody osvětlené ultrafialovým světlem. Philipp Lenard pak kolem roku 1902 zjistil, že světlo z kovu uvolňuje elektrony, a změřil tři věci, které vlnová teorie světla nedokázala vysvětlit:
- pod určitou mezní frekvencí, která závisí na kovu, elektrony nevyletují vůbec – ani při velmi silném osvětlení;
- největší kinetická energie elektronů roste s frekvencí světla, ale nezávisí na intenzitě; intenzita mění jen počet elektronů, tedy proud;
- elektrony vyletují okamžitě, i při slabém světle, bez měřitelného zpoždění.
Podle vlnové teorie by silnější vlna měla elektrony rozkmitat víc a slabá vlna by je musela „nahřívat“ dlouho. Einsteinovo vysvětlení je prosté: foton s energií \(hf\) se pohltí celý najednou jedním elektronem. Část energie, výstupní práce \(W\), se spotřebuje na vytržení elektronu z kovu, zbytek si elektron odnese jako kinetickou energii.
V laboratoři si postavte fotočlánek: zvolte kov, vlnovou délku a intenzitu světla a napětí mezi elektrodami. Pak zkuste změřit Planckovu konstantu stejně jako Robert Millikan v roce 1916 – ze sklonu přímky \(U_b(f)\).
+Teorie: Einsteinova rovnice, Millikanovo měření, hybnost fotonu a Comptonův jev
2.1Proč vlnová teorie selhala
Klasická elektromagnetická vlna o intenzitě \(I\) dodává atomu s účinnou plochou \(S\) výkon \(IS\). Elektron by tedy potřeboval čas \(t = W/(IS)\), aby nastřádal výstupní práci.photoelectric effect, time delay
Cesium (\(W = 2{,}14\) eV \(= 3{,}43\cdot 10^{-19}\) J) osvětlené slabým světlem s intenzitou 1 mW/m². Pokud by elektron sbíral energii z plochy jednoho atomu, asi \(10^{-19}\) m², dostával by výkon \(10^{-22}\) W a výstupní práci by nastřádal za \(3{,}4\cdot 10^{3}\) s, skoro hodinu. Pozorované elektrony ale vyletují ihned. Foton předá celou energii najednou.
2.2Einsteinova rovnice a výstupní práce
Einstein v článku z roku 1905 navrhl, že světlo se šíří a pohlcuje po kvantech \(hf\). Z jeho rovnice plyne lineární závislost největší kinetické energie na frekvenci se sklonem \(h\), stejným pro všechny kovy. Výstupní práce je vlastnost povrchu kovu: nejmenší energie, kterou je třeba dodat elektronu z nejvyšší obsazené hladiny, aby opustil kov.work function, threshold frequency, cutoff wavelength
| Kov | \(W\) (eV) | \(\lambda_0 = hc/W\) | Uvolní elektrony |
|---|---|---|---|
| cesium | 2,14 | 579 nm | i žluté a zelené světlo |
| sodík | 2,75 | 451 nm | modré a fialové světlo |
| zinek | 4,33 | 286 nm | jen ultrafialové záření |
| měď | 4,65 | 267 nm | jen ultrafialové záření |
| platina | 5,65 | 219 nm | jen vzdálené ultrafialové |
Foton 400 nm má energii \(1\,239{,}84/400 = 3{,}10\) eV. Cesium: \(E_{k,\max} = 3{,}10 - 2{,}14 = 0{,}96\) eV, brzdné napětí 0,96 V. Největší rychlost elektronu \(v = \sqrt{2E_k/m_e} = 5{,}8\cdot 10^{5}\) m/s, asi 581 km/s.
2.3Millikanovo měření Planckovy konstanty
Robert Millikan byl k Einsteinově hypotéze skeptický a deset let ji pečlivě testoval. V roce 1916 publikoval měření na alkalických kovech: brzdné napětí roste lineárně s frekvencí a ze sklonu přímky \(h/e\) vyšla Planckova konstanta v souladu s hodnotou z černého tělesa. Einstein dostal Nobelovu cenu za rok 1921 (udělenou v roce 1922) „zejména za objev zákona fotoelektrického jevu“, Millikan za rok 1923 mimo jiné za práci o fotoefektu.Millikan experiment, stopping potential
Na sodíku naměříte brzdné napětí 1,383 V při 300 nm a 0,350 V při 400 nm. Frekvence jsou \(c/\lambda = 9{,}993\cdot 10^{14}\) Hz a \(7{,}495\cdot 10^{14}\) Hz. Sklon \(h = e\,\Delta U_b/\Delta f = 1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}033/2{,}498\cdot 10^{14} = 6{,}63\cdot 10^{-34}\) J·s. Výstupní práce \(W = hf - eU_b = 4{,}13 - 1{,}38 = 2{,}75\) eV.
2.4Hybnost fotonu a Comptonův jev
Má-li foton energii \(E = hf\) a pohybuje se rychlostí světla, má podle relativity nulovou klidovou hmotnost a hybnost \(p = E/c = h/\lambda\). Arthur Compton v roce 1923 rozptyloval rentgenové záření na elektronech v grafitu a zjistil, že rozptýlené záření má delší vlnovou délku. Spočítal to jako pružnou srážku fotonu s elektronem se zachováním energie a hybnosti (Nobelova cena za rok 1927):photon momentum, Compton scattering, Compton wavelength
Foton 71,0 pm (energie 17,46 keV) se rozptýlí o 90°: \(\Delta\lambda = 2{,}43\) pm, nová vlnová délka 73,4 pm a energie 16,89 keV. Rozdíl 0,58 keV odnesl odražený elektron. U viditelného světla (500 nm) by byl relativní posuv jen \(5\cdot 10^{-6}\), proto se Comptonův jev projeví až u rentgenového a gama záření.
Hybnost fotonů tlačí sluneční plachty, ochlazuje atomy laserem a vychyluje ohony komet. Světelný svazek o výkonu 1 W působí při pohlcení silou \(P/c = 3{,}3\) nN, při odrazu dvojnásobnou. Na fotoefektu stojí fotonásobiče, které zaznamenají jednotlivé fotony, a v polovodičích (vnitřní fotoefekt) obrazové snímače fotoaparátů i fotovoltaické články: křemík s šířkou zakázaného pásu 1,12 eV pohlcuje fotony s vlnovou délkou kratší než asi 1 100 nm.
2.5Dokazuje fotoefekt existenci fotonů?
Překvapivě ne úplně. Fotoefekt lze vysvětlit i semiklasicky: klasická vlna dopadající na atomy s kvantovanými hladinami (Lamb a Scully, 1969). Jednoznačným důkazem fotonů jsou až pokusy s jednotlivými fotony: antikorelace na děliči svazku (jeden foton nikdy nedopadne do obou detektorů současně; Grangier, Roger a Aspect, 1986) a antibunching světla z jediného atomu (Kimble, Dagenais a Mandel, 1977).semiclassical theory, antibunching, single-photon source
Foton není malá kulička letící po dráze. Je to kvantum elektromagnetického pole: šíří se jako vlna (interferuje, kapitola 4) a pohlcuje se celé najednou v jednom místě. Obě stránky jsou dvě tváře téhož popisu, ne dva různé objekty.
2.6Procvičení
- \(hf = W + E_{k,\max}\): energie elektronů závisí na frekvenci, intenzita mění jen jejich počet.
- Pod mezní frekvencí \(f_0 = W/h\) elektrony nevyletí, ať je světlo jakkoli silné.
- Foton má i hybnost \(p = h/\lambda\); dokazuje to Comptonův posuv \(\Delta\lambda = \lambda_C(1 - \cos\theta)\).
Spektra a Bohrův model atomuzáklady
Rozžhavený plyn nesvítí spojitou duhou, ale několika ostrými barvami – každý prvek jinými. Tato čárová spektra jsou otisky prstů atomů. Niels Bohr v roce 1913 pochopil, že prozrazují dovolené energie elektronu v atomu: foton vzniká při přeskoku mezi dvěma hladinami.
Sodíková pouliční výbojka svítí žlutě, neonová reklama červeně, rtuťová výbojka modrozeleně. Kdybyste jejich světlo rozložili hranolem, neuvidíte duhu, ale jednotlivé barevné čáry. Je to jako klavír, na kterém jdou zahrát jen určité tóny – a z tónů se dá vyčíst, jak je nástroj postavený.
V roce 1885 si švýcarský učitel Johann Balmer všiml, že vlnové délky čtyř viditelných čar vodíku přesně vystihuje jednoduchý vzorec. Johannes Rydberg ho zobecnil: převrácená hodnota vlnové délky je rozdíl dvou členů tvaru \(R/n^2\). Proč by atom měl „znát“ celá čísla, nikdo nevěděl.
Ernest Rutherford v roce 1911 ukázal, že atom má malé kladné jádro a kolem něj elektrony. Podle klasické elektrodynamiky by ale obíhající elektron vyzařoval, ztrácel energii a spadl by na jádro za zlomek nanosekundy. Atomy přitom stabilní jsou. Niels Bohr proto v roce 1913 vyslovil odvážné postuláty: elektron se může pohybovat jen po určitých stacionárních drahách, na kterých nezáří, a při přeskoku z dráhy s energií \(E_2\) na dráhu s nižší energií \(E_1\) vyzáří foton s energií rovnou rozdílu.
Přechody na nejnižší hladinu \(n = 1\) dávají ultrafialovou Lymanovu sérii, přechody na \(n = 2\) viditelnou Balmerovu sérii a na \(n = 3\) infračervenou Paschenovu sérii. V laboratoři si vyberte sérii a horní hladinu a sledujte, kde čára padne do spektra. Pak v minihře zkuste podle vlnové délky poznat, který přechod čáru vytvořil.
+Teorie: čárová spektra, Bohrův model, Franckův–Hertzův pokus, laser a atomové hodiny
3.1Spektrální analýza
Joseph von Fraunhofer v roce 1814 popsal v slunečním spektru stovky tmavých čar. Gustav Kirchhoff a Robert Bunsen v letech 1859–1860 ukázali, že každý prvek vyzařuje i pohlcuje na svých charakteristických vlnových délkách: horký zředěný plyn dává emisní čáry, chladnější plyn před spojitým zdrojem absorpční čáry na stejných místech. Spektrální analýzou objevili cesium a rubidium a v roce 1868 bylo ve slunečním spektru nalezeno helium, dříve než na Zemi.emission spectrum, absorption spectrum, spectral analysis
3.2Rydbergův vzorec a spektrální série
| Série | Přechod | \(\lambda\) | Energie fotonu | Oblast |
|---|---|---|---|---|
| Lyman | 2 → 1 (Lα) | 121,57 nm | 10,20 eV | ultrafialová |
| Lyman | 3 → 1 (Lβ) | 102,57 nm | 12,09 eV | ultrafialová |
| Lyman | ∞ → 1 (hrana) | 91,18 nm | 13,60 eV | ultrafialová |
| Balmer | 3 → 2 (Hα) | 656,47 nm | 1,89 eV | červená |
| Balmer | 4 → 2 (Hβ) | 486,27 nm | 2,55 eV | modrozelená |
| Balmer | 5 → 2 (Hγ) | 434,17 nm | 2,86 eV | modrofialová |
| Balmer | 6 → 2 (Hδ) | 410,29 nm | 3,02 eV | fialová |
| Balmer | ∞ → 2 (hrana) | 364,71 nm | 3,40 eV | blízká UV |
| Paschen | 4 → 3 (Pα) | 1 875,6 nm | 0,66 eV | infračervená |
3.3Proč klasický atom nemůže existovat
Elektron obíhající jádro má dostředivé zrychlení a podle Larmorova vzorce vyzařuje. Výpočet ukazuje, že z poloměru 52,9 pm by po spirále dopadl na jádro za \(t = a_0^3/(4r_e^2c) \approx 1{,}6\cdot 10^{-11}\) s (\(r_e\) je klasický poloměr elektronu) a cestou by vyzářil spojité spektrum. Pozorujeme opak: atomy jsou stabilní a září v čarách.Rutherford model, radiative collapse
3.4Bohrův model vodíku
Bohr předpokládal kruhové dráhy, na kterých je moment hybnosti celistvým násobkem \(\hbar\). Spojení s rovností Coulombovy a dostředivé síly dává poloměry, rychlosti a energie:Bohr model, quantization of angular momentum, fine-structure constant
Zde \(a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/(m_ee^2) = 52{,}9\) pm je Bohrův poloměr a \(\alpha = e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c) \approx 1/137{,}036\) konstanta jemné struktury. Energie \(13{,}606\) eV odpovídá nekonečně těžkému jádru; s opravou na pohyb protonu (redukovaná hmotnost) je ionizační energie vodíku 13,598 eV. Z Bohrova modelu vyšla Rydbergova konstanta z jiných konstant – to byl jeho triumf. Bohr za něj dostal Nobelovu cenu za rok 1922.
Na dráze \(n = 1\) je rychlost \(\alpha c = 2{,}19\cdot 10^{6}\) m/s (asi 0,7 % rychlosti světla) a doba oběhu \(2\pi a_0/v = 1{,}5\cdot 10^{-16}\) s. Iont He⁺ (jeden elektron, náboj jádra \(Z = 2\)) má hladiny \(Z^2\)krát hlubší; jeho čára \(2 \to 1\) má energii \(4\cdot 10{,}2 = 40{,}8\) eV a vlnovou délku 30,4 nm.
3.5Franckův–Hertzův pokus
James Franck a Gustav Hertz v roce 1914 urychlovali elektrony v parách rtuti. Proud klesal vždy, když napětí vzrostlo o asi 4,9 V: elektrony předávaly atomům rtuti energii jen v dávkách 4,9 eV a rtuť pak vyzařovala ultrafialovou čáru \(1\,239{,}84/4{,}887 = 253{,}7\) nm. Byl to přímý důkaz diskrétních hladin nezávislý na spektroskopii (Nobelova cena za rok 1925).Franck–Hertz experiment
3.6Absorpce, spontánní a stimulovaná emise
Einstein v roce 1917 ukázal, že k tepelné rovnováze záření s atomy jsou potřeba tři děje: absorpce fotonu, spontánní emise a stimulovaná emise, při níž procházející foton přiměje vybuzený atom vyzářit foton se stejnou energií, směrem a fází. Převládá-li ve prostředí obsazení horní hladiny (inverze populace), světlo se při průchodu zesiluje – to je princip laseru.stimulated emission, population inversion, laser
První maser (zesilovač mikrovln) sestrojil Charles Townes v roce 1954, první laser Theodore Maiman 16. 5. 1960 z rubínového krystalu (Nobelova cena za rok 1964 Townesovi, Basovovi a Prochorovovi). Ve svítivé diodě (LED) přechází elektron přes zakázaný pás polovodiče a vyzáří foton s energií zhruba rovnou šířce pásu – barvu tedy určuje materiál. Účinnou modrou LED, bez níž by nebyly bílé LED zdroje, ocenila Nobelova cena za rok 2014 (Akasaki, Amano, Nakamura).
3.7Atomové hodiny
Frekvence přechodu mezi dvěma hladinami je přírodní konstanta stejná pro všechny atomy daného druhu. Od roku 1967 je sekunda definována přechodem mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu atomu cesia-133: jeho frekvence je přesně 9 192 631 770 Hz. Foton tohoto přechodu má energii jen \(3{,}8\cdot 10^{-5}\) eV a vlnovou délku 3,26 cm (mikrovlny). Optické hodiny s přechody ve viditelné a ultrafialové oblasti dnes dosahují relativní nejistoty řádu \(10^{-18}\) a uvažuje se o nové definici sekundy.atomic clock, hyperfine transition, definition of the second
Bohrův model je historický most, ne správný obraz atomu. Dává správné energie vodíku, ale nevysvětlí víceelektronové atomy, intenzity čar ani chemickou vazbu a tvrdí, že základní stav má moment hybnosti \(\hbar\), zatímco ve skutečnosti je nulový. Elektron v atomu neobíhá po dráze; jeho stav popisuje vlnová funkce (kapitoly 6 a 8).
3.8Procvičení
- Čárové spektrum prozrazuje diskrétní energetické hladiny atomu; foton odnáší \(hf = E_{n_2} - E_{n_1}\).
- Vodík má hladiny \(E_n = -13{,}6\ \text{eV}/n^2\); série Lyman (UV), Balmer (viditelná), Paschen (IR).
- Stimulovaná emise je základ laseru, přechody mezi hladinami základ LED a atomových hodin.
Vlny hmoty a dvojštěrbinazáklady
Je-li světlo vlna i proud částic, nemohou být i částice vlnami? Louis de Broglie to v roce 1924 navrhl a o tři roky později se elektrony skutečně ohnuly na krystalu jako rentgenové záření. Pokus se dvěma štěrbinami s jednotlivými elektrony je od té doby nejkratším shrnutím celé kvantové fyziky.
Hoďte do rybníka dva kamínky vedle sebe. Vlny se potkají a tam, kde se setká hřeben s hřebenem, je vlnění silné, kde hřeben s údolím, voda se skoro nehne. Elektrony se chovají stejně – jen každý z nich dopadne na stínítko jako jediná tečka. Vlnu „vidíme“ až v tom, kam tečky padají častěji.
De Broglie přiřadil každé částici s hybností \(p\) vlnovou délku stejným vztahem, jaký platí pro foton:
Pro běžné předměty je vlnová délka směšně malá: tenisový míček letící 50 m/s má \(\lambda \approx 2\cdot 10^{-34}\) m, mnohem méně, než je velikost protonu. Elektron urychlený napětím 54 V má ale \(\lambda = 0{,}167\) nm, srovnatelnou se vzdálenostmi atomů v krystalu. Clinton Davisson a Lester Germer v roce 1927 poslali takové elektrony na krystal niklu a pozorovali silný odraz pod úhlem 50° – přesně tam, kde ho vlnová teorie předpovídá. Ve stejném roce George Paget Thomson pozoroval ohybové kroužky elektronů prošlých tenkou fólií.
Pokus se dvěma štěrbinami
Pošlete-li na dvě úzké štěrbiny vlnu, vzniknou na stínítku interferenční proužky: do bodů, kam je dráhový rozdíl od obou štěrbin celistvým násobkem vlnové délky, dorazí vlny ve fázi a zesílí se; kde se liší o půl vlnové délky, vyruší se. S elektrony se to dá udělat i tak, že jich letí tak málo, že je v přístroji vždy nejvýš jeden. Každý dopadne jako bod na jednom místě. Prvních pár desítek bodů vypadá náhodně, po tisících se ale skládají do proužků. Elektron se tedy šíří jako vlna oběma štěrbinami a zaznamenává se jako částice v jednom bodě; vlna určuje, s jakou pravděpodobností kam dopadne.
Co když u štěrbin zjistíte, kudy elektron proletěl? Pak proužky zmizí a na stínítku zbude jen součet dvou obrazců, každý z jedné štěrbiny. Nezáleží na tom, zda se na údaj detektoru někdo podívá; stačí, že informace o dráze vznikla a v zásadě ji lze přečíst. Detektor, který dráhu prozradí jen částečně, proužky jen zeslabí. Vyzkoušejte si to v laboratoři.
+Teorie: vlny hmoty, interference, amplitudy pravděpodobnosti a komplementarita
4.1De Broglieho hypotéza
Louis de Broglie ve své disertaci (1924) přiřadil částici s energií \(E\) a hybností \(p\) vlnu s frekvencí \(f = E/h\) a vlnovou délkou \(\lambda = h/p\) – tytéž vztahy jako pro foton. Za objev vlnové povahy elektronů dostal Nobelovu cenu za rok 1929.matter waves, de Broglie hypothesis
Hypotéza okamžitě vysvětlila Bohrovu podmínku: na kruhové dráze se udrží jen stojatá vlna, jejíž obvod je celistvým násobkem vlnové délky, \(2\pi r = n\lambda = nh/(mv)\). Odtud \(mvr = nh/(2\pi) = n\hbar\) – přesně Bohrův postulát.
Kinetická energie \(eU\), hybnost \(p = \sqrt{2m_eeU}\). Pro \(U = 54\) V: \(p = \sqrt{2\cdot 9{,}109\cdot 10^{-31}\cdot 54\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}} = 3{,}97\cdot 10^{-24}\) kg·m/s a \(\lambda = h/p = 0{,}167\) nm. Pomůcka: \(\lambda\,[\text{nm}] \approx 1{,}226/\sqrt{U\,[\text{V}]}\) pro napětí do několika kilovoltů.
4.2Ohyb elektronů na krystalu
Davisson a Germer (1927) měřili, kolik elektronů s energií 54 eV se odrazí od krystalu niklu pod různými úhly. Pod úhlem 50° od kolmice našli výrazné maximum. Řady atomů na povrchu niklu vzdálené \(d = 0{,}215\) nm fungují jako optická mřížka s podmínkou \(d\sin\varphi = \lambda\): \(0{,}215\cdot\sin 50^\circ = 0{,}165\) nm, v souladu s de Broglieho hodnotou 0,167 nm. Davisson a G. P. Thomson sdíleli Nobelovu cenu za rok 1937.electron diffraction, Davisson–Germer experiment
Krátká vlnová délka elektronů je základem elektronové mikroskopie. Elektrony urychlené napětím 200 kV mají (relativisticky) vlnovou délku 2,51 pm; rozlišení moderních mikroskopů s korekcí vad čoček je pod desetinou nanometru. Tepelné neutrony s rychlostí 2 200 m/s mají vlnovou délku 0,180 nm a používají se ke zkoumání krystalů a magnetických struktur.
4.3Interference na dvojštěrbině
Dvě štěrbiny šířky \(a\) vzdálené \(d\) osvětlené vlnou s vlnovou délkou \(\lambda\) dávají ve velké vzdálenosti rozložení intenzity, které je součinem interferenčního členu dvou zdrojů a ohybové obálky jedné štěrbiny:double-slit interference, fringe spacing, diffraction envelope
Elektrony 600 eV mají \(\lambda = 50{,}1\) pm. Štěrbiny vzdálené 280 nm dávají proužky oddělené úhlem \(\lambda/d = 0{,}179\) mrad, na stínítku vzdáleném 1 m tedy 0,179 mm. První minimum obálky je u \(\lambda/a = 1{,}0\) mrad (\(a = 50\) nm), takže v centrálním maximu obálky je asi jedenáct proužků. Pro srovnání: červený laser 650 nm na štěrbinách vzdálených 0,25 mm dává na stěně 2 m daleko proužky po 5,2 mm.
4.4Jedna částice po druhé: amplitudy pravděpodobnosti
Interferenci velmi slabého světla pozoroval už G. I. Taylor (1909). Dvojštěrbinu s elektrony postavil Claus Jönsson (1961), postupné skládání obrazce z jednotlivých elektronů ukázali Pier Giorgio Merli, Gian Franco Missiroli a Giulio Pozzi (1974) a Akira Tonomura se spolupracovníky (1989). Interferují i neutrony, atomy a molekuly: fullereny C₆₀ (Arndt a kol., 1999) a molekuly s hmotností přes 25 000 atomových jednotek (Fein a kol., 2019).single-particle interference, probability amplitude
Kvantová fyzika to popisuje amplitudami pravděpodobnosti. Každá cesta má komplexní amplitudu, \(\psi_1\) přes štěrbinu 1 a \(\psi_2\) přes štěrbinu 2. Nelze-li cesty rozlišit, sčítají se amplitudy a pravděpodobnost je kvadrát absolutní hodnoty součtu:
Poslední člen je interference: může být záporný a vytvoří místa, kam elektron nedopadne nikdy, ačkoli by tam dopadal při jediné otevřené štěrbině. Lze-li cesty rozlišit, sčítají se pravděpodobnosti, \(P = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2\), a interference zmizí.
4.5Informace o dráze a komplementarita
Niels Bohr nazval vzájemné vylučování vlnového a částicového chování komplementaritou. Kvantitativně ho popisuje nerovnost odvozená Berthold-Georgem Englertem (1996): je-li \(D\) rozlišitelnost cest (s jakou spolehlivostí lze z detektoru určit štěrbinu, 0 až 1) a \(V\) viditelnost proužků, platícomplementarity, which-way information, fringe visibility
Při \(D = 0{,}8\) může být viditelnost nejvýš \(0{,}6\); při úplné informaci o dráze (\(D = 1\)) proužky zmizí. Informaci lze dokonce dodatečně „vymazat“ a interferenci obnovit ve vybrané podskupině dopadů (kvantová guma, návrh Scullyho a Drühla z roku 1982).
„Měření“ v kvantové fyzice neznamená, že se někdo dívá. Je to fyzikální interakce, po které informace o dráze zůstane zapsaná v jiném systému – v detektoru, v rozptýleném fotonu, v molekulách vzduchu. Proužky zmizí, i když detektor nikdo neodečte. Fyzikové proto mluví spíš o interakci s okolím a o dekoherenci (kapitola 10) než o „pozorovateli“.
4.6Procvičení
- Každá částice má vlnovou délku \(\lambda = h/p\); u elektronů je srovnatelná s rozměry atomů, u míčků nepozorovatelná.
- Jednotlivé částice dopadají jako body, ale jejich rozdělení tvoří interferenční obrazec: sčítají se amplitudy, ne pravděpodobnosti.
- Informace o dráze interferenci ničí (\(D^2 + V^2 \le 1\)); „měření“ je fyzikální interakce, ne vědomí pozorovatele.
Princip neurčitostistřední škola
Vlna s přesnou vlnovou délkou je nekonečně dlouhá – nemá žádnou polohu. Chcete-li vlnu soustředit do malé oblasti, musíte složit mnoho vlnových délek. Protože vlnová délka částice určuje její hybnost, nemůže mít částice současně přesnou polohu i přesnou hybnost. To je Heisenbergův princip neurčitosti.
Krátké lusknutí prsty nemá výšku tónu – obsahuje směs všech frekvencí. Dlouhý čistý tón ladičky má výšku přesnou, ale nedá se říct, „kdy“ přesně zazněl. Hudebníci to znají: čím kratší zvuk, tím méně určitá jeho výška. Kvantová částice je na tom stejně, jen místo času a frekvence jde o polohu a hybnost.
Částici s přibližně známou polohou popisuje vlnový balík: vlna, která má velkou amplitudu jen v omezené oblasti. Takový balík vznikne složením mnoha vln s blízkými vlnovými délkami – uprostřed se sčítají, jinde se navzájem ruší (obr. 5.1). Čím užší balík chcete, tím širší rozsah vlnových délek, a tedy hybností \(p = h/\lambda\), musíte použít.
Werner Heisenberg v roce 1927 tuto vlastnost vyjádřil vztahem, kterému říkáme relace neurčitosti. \(\Delta x\) a \(\Delta p\) jsou směrodatné odchylky polohy a hybnosti, které bychom dostali, kdybychom na mnoha stejně připravených částicích měřili polohu, nebo hybnost:
Pro tenisák je \(\hbar\) nepatrné a neurčitost nepozorovatelná. Pro elektron v atomu je ale rozhodující: elektron uzavřený do oblasti velikosti atomu (0,1 nm) má neurčitost rychlosti nejméně 580 km/s. Právě proto se elektron nemůže zastavit na jádře – čím víc ho stlačíte, tím rychleji se „vrtí“. V laboratoři sledujte, jak se šířka balíku v prostoru a v hybnosti chovají proti sobě a jak se volný balík s časem rozplývá.
+Teorie: Fourierova analýza, relace neurčitosti, rozplývání balíku, energie a čas
5.1Vlnový balík a Fourierova transformace
Každou rozumnou funkci \(\psi(x)\) lze zapsat jako součet (integrál) rovinných vln \(e^{ikx}\) s amplitudami \(\varphi(k)\). Funkce \(\varphi(k)\) je Fourierova transformace vlnové funkce a v kvantové fyzice je to vlnová funkce v hybnostní reprezentaci, protože \(p = \hbar k\):Fourier transform, momentum space wave function
Matematická vlastnost Fourierovy transformace zní: součin směrodatných odchylek \(|\psi|^2\) a \(|\varphi|^2\) je nejméně \(1/2\), tedy \(\Delta x\,\Delta k \ge 1/2\). Vynásobením \(\hbar\) dostaneme relaci neurčitosti. Je to vlastnost všech vln – stejně platí \(\Delta t\,\Delta\omega \ge 1/2\) pro zvukové či světelné pulzy.
5.2Gaussovský balík a přesná mez
Gaussovský balík \(\psi(x) = (2\pi\sigma^2)^{-1/4}\exp\!\big(-x^2/(4\sigma^2) + ik_0x\big)\) má \(|\psi|^2\) s rozptylem \(\sigma^2\) a jeho Fourierova transformace je opět gaussovská s \(\Delta k = 1/(2\sigma)\). Součin je přesně \(\Delta x\,\Delta p = \hbar/2\): gaussovský balík je nejlépe lokalizovaný stav, jaký příroda dovolí. Heisenberg v roce 1927 uvažoval spíš kvalitativně (myšlenkový „mikroskop“ s fotonem, který při měření polohy předá elektronu hybnost); přesnou nerovnost pro směrodatné odchylky dokázal Earle Kennard ještě v roce 1927 a obecnou verzi pro libovolné dvě veličiny Howard Robertson v roce 1929 (kapitola 9).Gaussian wave packet, minimum uncertainty state, Kennard inequality
Elektron s \(\Delta x = 0{,}1\) nm: \(\Delta p \ge \hbar/(2\Delta x) = 5{,}27\cdot 10^{-25}\) kg·m/s a \(\Delta v = \Delta p/m_e \ge 5{,}8\cdot 10^{5}\) m/s. Tenisák 58 g s polohou určenou na 1 µm: \(\Delta v \ge 9{,}1\cdot 10^{-28}\) m/s – za celých 13,8 miliardy let existence vesmíru by se poloha míčku „rozmazala“ jen asi o 0,4 nm, o průměr několika atomů.
5.3Rozplývání volného balíku
Složky balíku s různými hybnostmi letí různě rychle, a proto se volný balík s časem rozšiřuje. Pro gaussovský balík vychází přesněwave packet spreading, dispersion
Pro velké časy roste šířka lineárně rychlostí \(\Delta v = \hbar/(2m\Delta x_0)\). Rozdělení hybností se přitom nemění; součin \(\Delta x(t)\,\Delta p\) roste nad \(\hbar/2\). Relace neurčitosti je dolní mez, ne rovnost.
| Objekt | \(\Delta x_0\) | \(\tau = 2m\Delta x_0^2/\hbar\) |
|---|---|---|
| elektron | 0,1 nm | 0,17 fs |
| elektron | 1 nm | 17 fs |
| elektron | 2 nm | 69 fs |
| zrnko prachu 1 µg | 1 µm | \(1{,}9\cdot 10^{13}\) s, asi 600 000 let |
5.4Odhady z relace neurčitosti
Relace neurčitosti je mocný nástroj odhadů. Uzavřeme-li elektron do oblasti s poloměrem \(r\), je jeho hybnost řádově \(\hbar/r\) a kinetická energie \(\hbar^2/(2m_er^2)\). Celková energie v poli protonuorder-of-magnitude estimate, size of the atom
Odhad dává (trochu šťastnou náhodou) přesně Bohrův poloměr i ionizační energii vodíku. Ukazuje podstatu stability atomu: přiblížení k jádru by snížilo potenciální energii jen jako \(-1/r\), ale zvýšilo kinetickou jako \(1/r^2\).
Ve 20. letech se uvažovalo, že jádro obsahuje elektrony. Elektron uzavřený v jádře o poloměru 5 fm by ale měl \(\Delta p\,c \ge \hbar c/(2\Delta x) = 19{,}7\) MeV, tedy kinetickou energii desítek MeV – mnohem víc, než jaderné síly mohou udržet, a víc, než mají elektrony z rozpadu beta. Problém vyřešil objev neutronu (James Chadwick, 1932); elektron při rozpadu beta v jádře předem není, vznikne až při přeměně (průvodce Jaderná fyzika).
5.5Energie a čas
Stav, který trvá jen dobu \(\tau\), nemá přesně určenou energii: jeho energetická šířka je \(\Gamma \approx \hbar/\tau\). Čas tu není operátor, ale parametr, a vztah se proto vykládá jinak než relace pro polohu a hybnost; jeho důsledky jsou ale měřitelné.energy–time uncertainty, natural linewidth, lifetime
Hladina 2p vodíku má dobu života 1,6 ns. Šířka hladiny \(\Gamma = \hbar/\tau = 4{,}1\cdot 10^{-7}\) eV, ve frekvenci \(1/(2\pi\tau) = 99{,}7\) MHz. Proti frekvenci čáry \(2{,}47\cdot 10^{15}\) Hz je to relativně jen \(4\cdot 10^{-8}\). Naopak femtosekundový laserový pulz o délce 10 fs (pološířka, gaussovský tvar) musí mít šířku spektra nejméně \(0{,}441/10\ \text{fs} = 44\) THz.
Relace neurčitosti nepopisuje nešikovnost přístrojů ani to, že „měření vždy ruší“. Říká, že stav, ve kterém by poloha i hybnost měly zároveň ostré hodnoty, neexistuje. Jednotlivou veličinu lze změřit libovolně přesně – jen tím ztratíme předpověditelnost té druhé. A neznamená ani „všechno je nejisté“: kvantová teorie předpovídá rozdělení výsledků s mimořádnou přesností.
5.6Procvičení
- Lokalizovaná vlna (balík) je složená z mnoha vlnových délek; \(\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2\).
- Neurčitost je vlastnost stavu, ne vada přístroje; u makroskopických těles je nepozorovatelná.
- Z neurčitosti plyne stabilita atomu (\(a_0 = 52{,}9\) pm), rozplývání balíků i přirozená šířka spektrálních čar.
Vlnová funkce a Schrödingerova rovnicestřední škola
Stav kvantové částice popisuje vlnová funkce ψ. Její kvadrát udává, kde částici najdeme s jakou pravděpodobností, a její vývoj v čase řídí Schrödingerova rovnice. Pro částici uvězněnou v krabici z ní plyne nejdůležitější kvantový výsledek: dovolené jsou jen určité energie.
Struna kytary upnutá na obou koncích může kmitat jen tak, aby se mezi kobylky vešel celý počet půlvln: základní tón a jeho vyšší harmonické. Žádný tón „mezi“ nezahrajete. Elektron uzavřený v malé oblasti je taková struna: jeho vlnová funkce musí na okrajích vymizet, a proto může mít jen určité energie.
Erwin Schrödinger v roce 1926 napsal rovnici pro de Broglieho vlny, která hraje v kvantové fyzice roli Newtonova zákona. Řešením je vlnová funkce \(\psi(x, t)\) – komplexní číslo v každém bodě prostoru. Max Born ve stejném roce navrhl její výklad: \(|\psi(x, t)|^2\) je hustota pravděpodobnosti. Pravděpodobnost, že částici při měření najdeme v malém intervalu \(\mathrm dx\) kolem bodu \(x\), je \(|\psi|^2\,\mathrm dx\), a protože někde být musí, platí \(\int|\psi|^2\,\mathrm dx = 1\).
Vlevo je změna vlnové funkce v čase, vpravo kinetická a potenciální energie. Zvlášť důležité jsou stacionární stavy s určitou energií \(E\): jejich hustota pravděpodobnosti se v čase nemění. Pro ně stačí řešit časově nezávislou rovnici \(-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V\psi = E\psi\).
Částice v krabici
Nejjednodušší úloha je částice v nekonečně hluboké jámě šířky \(L\): uvnitř se pohybuje volně, ven nemůže. Vlnová funkce musí na stěnách vymizet, a tak se do jámy vejdou jen vlny s celým počtem půlvln, \(L = n\lambda/2\). Z \(p = h/\lambda\) a \(E = p^2/(2m)\) pak plyne
Tři důsledky stojí za zapamatování. Energie je kvantovaná. Nejnižší energie \(E_1\) není nulová: uvězněná částice se nemůže zastavit (souvisí to s relací neurčitosti). A hladiny se rozestupují jako \(1/L^2\): elektron v jámě široké 1 nm má \(E_1 = 0{,}376\) eV, v jámě široké 1 cm jen \(3{,}8\cdot 10^{-15}\) eV, takže v makrosvětě kvantování nevnímáme. V laboratoři zkuste i superpozici dvou stavů: hustota pravděpodobnosti pak v jámě přelévá sem a tam s periodou \(h/(E_2 - E_1)\).
+Teorie: Bornovo pravidlo, Schrödingerova rovnice, stacionární stavy, jáma a superpozice
6.1Vlnová funkce a Bornovo pravidlo
Vlnová funkce \(\psi(x, t)\) obsahuje vše, co lze o částici předpovědět. Podle Bornova pravidla (Max Born, 1926; Nobelova cena za rok 1954) je pravděpodobnost nalezení částice v intervalu \((a, b)\)wave function, Born rule, normalization
Střední hodnoty veličin dostaneme jako průměry přes toto rozdělení. Pro polohu \(\langle x\rangle = \int x|\psi|^2\,\mathrm dx\); hybnost je v kvantové mechanice operátor \(\hat p = -i\hbar\,\partial/\partial x\) a \(\langle p\rangle = \int\psi^*\hat p\,\psi\,\mathrm dx\). Násobení vlnové funkce komplexní jednotkou \(e^{i\alpha}\) (globální fáze) nemění žádnou předpověď.expectation value, momentum operator, global phase
6.2Odkud se Schrödingerova rovnice bere
Rovnici nelze odvodit z klasické fyziky, jen motivovat. Rovinná vlna \(\psi = e^{i(kx - \omega t)}\) s de Broglieho vztahy \(p = \hbar k\) a \(E = \hbar\omega\) splňuje \(i\hbar\,\partial_t\psi = E\psi\) a \(-i\hbar\,\partial_x\psi = p\psi\). Dosadíme-li do klasického vztahu \(E = p^2/(2m) + V\) místo veličin tyto derivace, dostaneme Schrödingerovu rovnici. Schrödinger ji publikoval v roce 1926 a za „objev nových produktivních forem atomové teorie“ sdílel s Paulem Diracem Nobelovu cenu za rok 1933.Schrödinger equation, Hamiltonian
Rovnice je lineární: je-li řešením \(\psi_1\) i \(\psi_2\), je řešením i \(c_1\psi_1 + c_2\psi_2\). To je princip superpozice, z něhož plyne interference. Rovnice také zachovává normalizaci – pravděpodobnost se nikde neztrácí.
6.3Stacionární stavy
Hledáme-li řešení tvaru \(\psi(x, t) = \varphi(x)\,e^{-iEt/\hbar}\), dostaneme stacionární Schrödingerovu rovnici \(\hat H\varphi = E\varphi\) s hamiltoniánem \(\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} + V(x)\). Je to úloha na vlastní čísla: fyzikálně přípustná řešení (konečná, normalizovatelná) existují pro vázanou částici jen pro určité hodnoty \(E\). Kvantování energie tedy není dodatečný předpoklad jako u Bohra, ale důsledek okrajových podmínek.time-independent Schrödinger equation, eigenvalue problem, bound state
6.4Nekonečně hluboká jáma
Uvnitř jámy (\(0 < x < L\)) je \(V = 0\) a rovnice \(\varphi'' = -k^2\varphi\) s \(k = \sqrt{2mE}/\hbar\) má řešení \(A\sin kx + B\cos kx\). Podmínka \(\varphi(0) = 0\) dá \(B = 0\), podmínka \(\varphi(L) = 0\) dá \(kL = n\pi\). Normalizace \(\int_0^L A^2\sin^2(n\pi x/L)\,\mathrm dx = A^2L/2 = 1\) určí \(A = \sqrt{2/L}\).infinite square well, nodes, orthonormality
- Stav \(n\) má \(n - 1\) uzlů; vyšší energie znamená víc zvlnění, tedy větší kinetickou energii.
- Vlastní funkce jsou ortonormální: \(\int_0^L\psi_m\psi_n\,\mathrm dx = \delta_{mn}\). Libovolný stav v jámě je jejich superpozicí (Fourierova řada).
- Pravděpodobnost v intervalu \((0, a)\) je \(P = a/L - \sin(2n\pi a/L)/(2n\pi)\).
Ve stavu \(n = 1\) je pravděpodobnost nalezení v první čtvrtině jámy \(0{,}25 - \sin(\pi/2)/(2\pi) = 0{,}091\), v prostřední třetině \(0{,}609\). Klasická částice odrážející se mezi stěnami by byla v každé třetině s pravděpodobností 1/3. Ve stavu \(n = 2\) je v první čtvrtině přesně 0,25, ale uprostřed jámy má uzel.
| Šířka L | \(E_1\) | \(E_2\) | \(E_3\) | foton \(2 \to 1\) |
|---|---|---|---|---|
| 0,5 nm | 1,504 | 6,017 | 13,537 | 275 nm |
| 1 nm | 0,376 | 1,504 | 3,384 | 1 099 nm |
| 2 nm | 0,094 | 0,376 | 0,846 | 4 396 nm |
6.5Superpozice a časový vývoj
Každý stacionární stav se v čase jen otáčí ve fázi s úhlovou frekvencí \(E_n/\hbar\). Superpozice dvou stavů s různými energiemi už stacionární není:superposition, Bohr frequency, quantum beat
Hustota pravděpodobnosti kmitá s Bohrovou frekvencí \((E_2 - E_1)/h\) – stejnou, jakou má foton vyzářený při přechodu. Pro stavy 1 a 2 se střední poloha mění jako \(\langle x\rangle = L/2 - \frac{16L}{9\pi^2}\cos\omega t\), tedy s amplitudou \(0{,}18\,L\). Při měření energie takové superpozice dostaneme \(E_1\), nebo \(E_2\), každé s pravděpodobností 1/2; průměr mnoha měření je \((E_1 + E_2)/2\). Nikdy nenaměříme hodnotu mezi.
Elektron v jámě 1 nm v superpozici stavů 1 a 2: \(E_2 - E_1 = 1{,}128\) eV a \(T = h/\Delta E = 4{,}136\cdot 10^{-15}\ \text{eV·s}/1{,}128\ \text{eV} = 3{,}67\) fs. Foton přechodu má vlnovou délku 1 099 nm.
6.6Konečná jáma a kvantové tečky
Má-li jáma konečnou hloubku \(V_0\), vlnová funkce proniká do stěn a klesá v nich exponenciálně; hladiny jsou o něco níž a jáma má jen konečný počet vázaných stavů. Tuto úlohu s laboratoří vykládá průvodce Fyzika (kapitola o kvantové fyzice). Na tunelování z jámy navazuje kapitola 7.finite square well, quantum dot, quantum well
Kvantové tečky jsou polovodičové nanokrystaly velké několik nanometrů. Elektron v nich je uvězněný jako v krabici, a proto barvu jejich světla určuje velikost: menší tečky svítí modřeji. Za jejich objev a syntézu udělila Švédská akademie Nobelovu cenu za chemii za rok 2023 (Moungi Bawendi, Louis Brus, Alexej Jekimov). Tenké vrstvy polovodiče (kvantové jámy) jsou srdcem laserových diod a modrých LED. Podrobněji v průvodci Nanotechnologie.
Pro elektron: \(E_1\,[\text{eV}] \approx 0{,}376/L^2\,[\text{nm}]\). Pro jinou částici dělte poměrem hmotností: proton v jádře o šířce 10 fm má \(E_1 = 2{,}05\) MeV – proto jsou jaderné energie v megaelektronvoltech a atomové v elektronvoltech.
6.7Procvičení
- \(|\psi|^2\) je hustota pravděpodobnosti (Bornovo pravidlo); vývoj ψ v čase řídí Schrödingerova rovnice.
- Vázaná částice má kvantované energie; v krabici \(E_n = n^2h^2/(8mL^2)\), s nenulovou nejnižší energií.
- Superpozice stavů s různou energií se v čase mění s Bohrovou frekvencí \((E_2 - E_1)/h\); měření dá vždy jednu z hodnot \(E_n\).
Tunelový jev a oscilátorstřední škola
Kulička, které chybí energie, se přes kopec nedostane. Kvantová částice ano: její vlnová funkce v bariéře nekončí, jen exponenciálně slábne, a je-li bariéra dost tenká, část vlny projde na druhou stranu. Na tunelovém jevu stojí rozpad alfa, svit Slunce, tunelový mikroskop i paměti v počítačích. Druhou klíčovou úlohou kapitoly je kvantový harmonický oscilátor – model všeho, co kmitá.
Míč kutálený proti kopci se vrátí, když na vrchol nemá dost energie. Kdyby se míč choval kvantově, občas by se „objevil“ za kopcem, aniž by přes vrchol přešel. U míče je pravděpodobnost tak malá, že by se to nestalo za celou dobu existence vesmíru. U elektronu a nanometrové bariéry se to děje miliardkrát za sekundu.
Narazí-li částice s energií \(E\) na bariéru výšky \(V_0 > E\), řešení Schrödingerovy rovnice uvnitř bariéry neosciluje, ale klesá jako \(e^{-\kappa x}\) s konstantou útlumu \(\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar\). Na druhé straně vlna pokračuje s menší amplitudou. Pravděpodobnost průchodu je pro širší bariéry přibližně
Rozhoduje exponenciála: pravděpodobnost klesá exponenciálně se šířkou bariéry \(a\), s odmocninou z hmotnosti a s odmocninou z „chybějící“ energie. Elektron s energií 1 eV projde bariérou 5 eV širokou 0,5 nm s pravděpodobností \(9{,}1\cdot 10^{-5}\); při šířce 1 nm jen \(3{,}2\cdot 10^{-9}\). Proton, 1 836krát těžší, by bariérou 0,5 nm prakticky neprošel nikdy. V laboratoři vidíte i vlnovou funkci: před bariérou se dopadající a odražená vlna skládají ve stojaté vlnění, v bariéře \(|\psi|^2\) klesá, za ní pokračuje slabá prošlá vlna.
Kvantový harmonický oscilátor
Těleso na pružině, atomy v molekule, atomy v krystalu i jednotlivé módy elektromagnetického pole kmitají v potenciálu tvaru paraboly, \(V = \tfrac12m\omega^2x^2\). Kvantová mechanika dává pro tento harmonický oscilátor stejně vzdálené hladiny:
Rozestup \(\hbar\omega\) je přesně Planckovo kvantum \(hf\) z kapitoly 1. Nejnižší energie \(\hbar\omega/2\) je nulová energie: oscilátor nemůže stát v klidu na dně jámy, to by porušilo relaci neurčitosti. Pro velká \(n\) se hustota pravděpodobnosti blíží klasické – klasické těleso se nejdéle zdržuje v bodech obratu, kde je nejpomalejší. To je Bohrův princip korespondence.
+Teorie: průchod bariérou, rozpad alfa, tunelový mikroskop, makroskopické tunelování a oscilátor
7.1Pravoúhlá bariéra
Bariéra výšky \(V_0\) leží mezi \(x = 0\) a \(x = a\). Zleva přilétá částice s energií \(E\). V oblasti I je \(\psi = e^{ikx} + re^{-ikx}\) (dopadající a odražená vlna), v bariéře \(\psi = Ce^{\kappa x} + De^{-\kappa x}\), v oblasti III jen prošlá vlna \(te^{ikx}\); \(k = \sqrt{2mE}/\hbar\). Z podmínek spojitosti \(\psi\) a \(\psi'\) na obou okrajích dostaneme čtyři rovnice pro \(r, C, D, t\) a koeficient průchodu \(T = |t|^2\):rectangular barrier, transmission coefficient, reflection coefficient
kde \(k' = \sqrt{2m(E - V_0)}/\hbar\). Pro \(\kappa a \gg 1\) je \(\sinh\kappa a \approx e^{\kappa a}/2\) a dostaneme přibližný vzorec z úvodu. Nad bariérou je \(T < 1\) – částice se může odrazit, i když by klasicky prošla vždy – a \(T = 1\) jen při rezonancích \(k'a = n\pi\), kdy se do bariéry vejde celý počet půlvln.
| Šířka a | přesné T | přibližné T |
|---|---|---|
| 0,25 nm | \(1{,}52\cdot 10^{-2}\) | \(1{,}53\cdot 10^{-2}\) |
| 0,5 nm | \(9{,}08\cdot 10^{-5}\) | \(9{,}08\cdot 10^{-5}\) |
| 1 nm | \(3{,}22\cdot 10^{-9}\) | \(3{,}22\cdot 10^{-9}\) |
Pro bariéru proměnného tvaru \(V(x)\) dává semiklasická (WKB) aproximace \(T \approx \exp\big(-2\int\kappa(x)\,\mathrm dx\big)\), kde se integruje přes klasicky zakázanou oblast.WKB approximation
7.2Rozpad alfa
Jádro uranu-238 vysílá částice alfa s energií 4,27 MeV, ale Coulombova bariéra mezi částicí alfa a zbylým jádrem thoria je na okraji jádra vysoká asi 28 MeV. Klasicky by částice alfa nikdy neunikla. George Gamow a nezávisle Ronald Gurney a Edward Condon v roce 1928 vysvětlili rozpad alfa tunelováním. Protože exponent závisí na šířce a výšce bariéry, malé změny energie mění poločas o mnoho řádů: uran-238 má poločas 4,5 miliardy let, polonium-212 s energií 8,8 MeV jen 0,3 µs (Geigerovo–Nuttallovo pravidlo; podrobně v průvodci Jaderná fyzika).alpha decay, Coulomb barrier, Gamow factor
7.3Rastrovací tunelový mikroskop
Gerd Binnig a Heinrich Rohrer v roce 1981 přiblížili ostrý kovový hrot k vodivému povrchu na vzdálenost kolem 0,5 nm. Elektrony tunelují mezerou a proud je úměrný \(e^{-2\kappa d}\), kde \(\kappa\) určuje výstupní práce. Pro výstupní práci 4,5 eV je \(\kappa = 10{,}9\ \text{nm}^{-1}\) a zmenšení mezery o 0,1 nm zvětší proud asi 8,8krát. Zpětná vazba drží proud stálý a hrot při rastrování kopíruje povrch s rozlišením zlomku průměru atomu. Binnig a Rohrer dostali Nobelovu cenu za rok 1986 (spolu s Ernstem Ruskou za elektronový mikroskop). Hrotem lze atomy i přesouvat a skládat z nich struktury.scanning tunnelling microscope, tunnelling current
7.4Tunelování v elektronice a makroskopické tunelování
Leo Esaki v roce 1957 pozoroval tunelování v silně dotované polovodičové diodě; Nobelovu cenu za rok 1973 sdílel s Ivarem Giaeverem (tunelování do supravodičů) a Brianem Josephsonem, který předpověděl tunelování párů elektronů mezi dvěma supravodiči (Josephsonův přechod). V paměti flash se náboj zapisuje do izolovaného hradla tunelováním elektronů přes tenkou vrstvu oxidu.tunnel diode, Josephson junction, flash memory, macroscopic quantum tunnelling
Nobelovu cenu za fyziku za rok 2025 dostali John Clarke, Michel H. Devoret a John M. Martinis „za objev makroskopického kvantového tunelování a kvantování energie v elektrickém obvodu“. V letech 1984–1985 ukázali, že supravodivý obvod s Josephsonovým přechodem na čipu velkém asi centimetr se jako celek – miliardy elektronových párů – chová jako jedna kvantová částice: tuneluje z jednoho stavu do druhého a pohlcuje energii jen po kvantech. Na tom stavějí dnešní supravodivé qubity (kapitola 12). Tunelování také umožňuje jadernou fúzi ve Slunci: protony v jádře Slunce nemají dost energie na překonání Coulombovy bariéry a slučují se jen díky tunelovému jevu.
7.5Kvantový harmonický oscilátor
Hamiltonián \(\hat H = \hat p^2/(2m) + \tfrac12m\omega^2\hat x^2\). Zavedeme-li přirozenou délku \(x_0 = \sqrt{\hbar/(m\omega)}\) a bezrozměrnou souřadnici \(\xi = x/x_0\), mají stacionární stavy tvar Hermitových funkcí. Elegantnější je algebraická cesta: posunovací operátory \(\hat a = (\xi + \partial_\xi)/\sqrt2\) a \(\hat a^\dagger = (\xi - \partial_\xi)/\sqrt2\) splňují \([\hat a, \hat a^\dagger] = 1\) a \(\hat H = \hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a + \tfrac12)\). Operátor \(\hat a^\dagger\) přidá jedno kvantum \(\hbar\omega\), \(\hat a\) jedno ubere, a základní stav je ten, ze kterého už ubrat nelze: \(\hat a\psi_0 = 0\).harmonic oscillator, ladder operators, Hermite functions, zero-point energy
Základní stav je gaussovský – stav s minimální neurčitostí. S pravděpodobností \(\mathrm{erfc}(1) = 15{,}7\,\%\) se nachází mimo klasicky dovolenou oblast \(|x| \le x_0\), tedy tam, kde je jeho kinetická energie „záporná“; pro \(n = 10\) je to 6,0 %. Pro velká \(n\) se \(|\psi_n|^2\) v průměru blíží klasickému rozdělení.
Vibrace dvouatomové molekuly je v dobrém přiblížení harmonický oscilátor. Oxid uhelnatý má základní vibrační přechod s vlnočtem 2 143 cm⁻¹, tedy \(\hbar\omega = 0{,}266\) eV a vlnovou délku 4,67 µm – proto CO a podobně CO₂ pohlcují infračervené záření (průvodce Chemie, spektroskopie). Při pokojové teplotě je \(kT = 0{,}026\) eV a v prvním vybuzeném vibračním stavu je jen \(e^{-\hbar\omega/kT} = 3{,}4\cdot 10^{-5}\) molekul; téměř všechny kmitají nulovou energií. Kvantované kmity krystalové mřížky jsou fonony a každý mód elektromagnetického pole je oscilátor, jehož kvanta jsou fotony.
7.6Procvičení
- Vlnová funkce proniká do klasicky zakázané oblasti; tunelování klesá jako \(e^{-2\kappa a}\) se šířkou bariéry a odmocninou hmotnosti.
- Tunelování vysvětluje rozpad alfa a fúzi ve Slunci, umožňuje tunelový mikroskop, paměti flash a supravodivé qubity.
- Harmonický oscilátor má stejně vzdálené hladiny \(\hbar\omega(n + \tfrac12)\) a nulovou energii \(\hbar\omega/2\).
Atom vodíku, orbitaly a Pauliho principstřední škola
Bohrův model z kapitoly 3 dal správné energie, ale elektron v atomu po žádné dráze neobíhá. Schrödingerova rovnice ve třech rozměrech dává místo drah orbitaly – trojrozměrné vlnové funkce popsané třemi kvantovými čísly. Přidáme-li spin a Pauliho vylučovací princip, vysvětlí to stavbu periodické tabulky, a tedy celou chemii.
Proč je helium netečný plyn, sodík bouřlivě reaguje s vodou a uhlík tvoří čtyři vazby? Odpověď nedává žádný nový zákon síly, jen dvě kvantová pravidla: elektrony se mohou nacházet jen v určitých stavech a v každém stavu smí být nejvýše jeden elektron.
Erwin Schrödinger v roce 1926 vyřešil svou rovnici pro elektron v Coulombově poli protonu. Dostal přesně Bohrovy energie, tentokrát bez jakýchkoli dodatečných předpokladů o drahách. Stacionární stavy mají tvar součinu radiální a úhlové funkce a každý je určen trojicí celých čísel:
| Číslo | Hodnoty | Co určuje |
|---|---|---|
| hlavní \(n\) | 1, 2, 3, … | energii (u vodíku jen ji) a velikost orbitalu |
| vedlejší (orbitální) \(l\) | 0, 1, …, \(n - 1\); značí se s, p, d, f | velikost momentu hybnosti \(\sqrt{l(l + 1)}\,\hbar\) a tvar orbitalu |
| magnetické \(m\) | \(-l, \dots, 0, \dots, +l\) | průmět momentu hybnosti \(L_z = m\hbar\), orientaci orbitalu |
| spinové \(m_s\) | \(+\tfrac12\) nebo \(-\tfrac12\) | průmět spinu \(S_z = m_s\hbar\) |
Orbital není dráha, ale vlnová funkce: \(|\psi|^2\) udává hustotu pravděpodobnosti, že elektron při měření najdeme v daném místě. V základním stavu 1s je nejpravděpodobnější vzdálenost od jádra právě Bohrův poloměr \(a_0 = 52{,}9\) pm, střední vzdálenost je \(1{,}5\,a_0 = 79{,}4\) pm a s pravděpodobností 32 % je elektron blíž než \(a_0\). Ostrá hranice atomu neexistuje, hustota jen exponenciálně slábne.
Spin a Pauliho vylučovací princip
Elektron má navíc vlastní moment hybnosti, spin, jehož průmět do libovolné osy je jen \(+\hbar/2\) nebo \(-\hbar/2\) (kapitola 9). Wolfgang Pauli v roce 1925 vyslovil pravidlo, že žádné dva elektrony v atomu nemohou mít všechna čtyři kvantová čísla stejná. Do slupky s hlavním číslem \(n\) se tak vejde nejvýše \(2n^2\) elektronů: 2, 8, 18, 32. Elektrony obsazují stavy od nejnižší energie a zaplněné slupky jsou mimořádně stabilní – proto jsou helium (2 elektrony), neon (10) a argon (18) netečné, zatímco sodík s jediným elektronem navíc ho ochotně odevzdá. Pauliho princip platí pro všechny fermiony (elektrony, protony, neutrony) a je důvodem, proč se atomy nemohou „složit“ do sebe a proč pevná látka zabírá objem.
+Teorie: radiální rovnice, moment hybnosti, spin a periodická tabulka, jemná a hyperjemná struktura
8.1Schrödingerova rovnice ve třech rozměrech
Pro elektron v potenciálu \(V(r) = -e^2/(4\pi\varepsilon_0r)\) má rovnice tvar \(-\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2\psi + V\psi = E\psi\). Ve sférických souřadnicích se proměnné oddělí: úhlovou část tvoří kulové funkce \(Y_{lm}\), radiální funkce \(u = rR\) splňuje jednorozměrnou rovnici s efektivním potenciálemseparation of variables, effective potential, centrifugal barrier, degeneracy
Druhý člen je odstředivá bariéra: elektrony s \(l > 0\) se k jádru nedostanou tak blízko, jejich vlnová funkce u jádra roste jako \(r^l\). Vázané stavy existují jen pro \(E_n = -m_ee^4/\big(2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2n^2\big) = -13{,}6\ \text{eV}/n^2\). Energie nezávisí na \(l\) ani \(m\), takže hladina \(n\) má \(n^2\) orbitalů (se spinem \(2n^2\) stavů). Nezávislost na \(m\) plyne z kulové symetrie, nezávislost na \(l\) je zvláštnost Coulombova potenciálu (skrytá symetrie spojená s Rungeovým–Lenzovým vektorem); Wolfgang Pauli s její pomocí odvodil spektrum vodíku maticovou mechanikou už v roce 1926. V atomech s více elektrony se degenerace v \(l\) ruší.
| Stav | \(R_{nl}\) | \(\langle r\rangle\) | nejpravděpodobnější \(r\) |
|---|---|---|---|
| 1s | \(2e^{-\rho}\) | \(1{,}5\,a_0\) | \(a_0\) |
| 2s | \(\frac{1}{2\sqrt2}(2 - \rho)e^{-\rho/2}\) | \(6\,a_0\) | \(5{,}24\,a_0\) |
| 2p | \(\frac{1}{2\sqrt6}\rho\,e^{-\rho/2}\) | \(5\,a_0\) | \(4\,a_0\) |
| 3d | \(\frac{4}{81\sqrt{30}}\rho^2e^{-\rho/3}\) | \(10{,}5\,a_0\) | \(9\,a_0\) |
Obecně \(\langle r\rangle = \tfrac12\big[3n^2 - l(l + 1)\big]a_0\). Pro nejvyšší \(l = n - 1\) leží maximum \(P(r)\) přesně na Bohrově poloměru \(n^2a_0\) – kruhové dráhy Bohrova modelu přežívají jako nejpravděpodobnější vzdálenosti. Radiální funkce má \(n - l - 1\) uzlů (kulových ploch s nulovou hustotou): 2s jeden v \(r = 2a_0\), 3s dva v \(1{,}90\,a_0\) a \(7{,}10\,a_0\).
8.2Moment hybnosti a tvary orbitalů
Úhlová funkce \(Y_{lm}\) je vlastní funkcí kvadrátu momentu hybnosti, \(\hat L^2Y_{lm} = l(l + 1)\hbar^2Y_{lm}\), a jeho průmětu \(\hat L_zY_{lm} = m\hbar Y_{lm}\). Velikost momentu hybnosti je tedy \(\sqrt{l(l + 1)}\,\hbar\), pro \(l = 1\) to je \(\sqrt2\,\hbar\), ale průmět nejvýše \(\hbar\): vektor nikdy nemíří přesně podél osy z (pro \(l = 1\), \(m = 1\) svírá s osou úhel 45°). Složky \(L_x\) a \(L_y\) přitom nemají ostré hodnoty, protože operátory složek momentu hybnosti spolu nekomutují (kapitola 9).angular momentum, spherical harmonics, real orbitals, nodal planes
Komplexní funkce \(Y_{l,\pm m}\) mají hustotu souměrnou kolem osy z. Chemici častěji používají reálné orbitaly, jejich součty a rozdíly: \(p_x \propto (Y_{1,-1} - Y_{1,1})\) má tvar činky podél osy x. Úhlová funkce má \(l\) uzlových ploch (rovin nebo kuželů), takže celkový počet uzlů orbitalu je \(n - 1\).
8.3Spin, Pauliho princip a periodická tabulka
George Uhlenbeck a Samuel Goudsmit v roce 1925 navrhli, že elektron má vlastní moment hybnosti s kvantovým číslem \(s = \tfrac12\); velikost spinu je \(\tfrac{\sqrt3}{2}\hbar\) a jeho průmět \(\pm\tfrac12\hbar\). Spin není rotace kuličky – elektron je podle všech měření bodový – ale vnitřní vlastnost jako náboj. Pauli za vylučovací princip dostal Nobelovu cenu za rok 1945. Hlubší formulace zní: vlnová funkce dvou stejných fermionů je při jejich záměně antisymetrická, \(\psi(1, 2) = -\psi(2, 1)\); kdyby byly oba ve stejném stavu, musela by být nulová. Částice s celočíselným spinem (bosony, například fotony) tomuto zákazu nepodléhají a mohou se hromadit v jednom stavu – na tom stojí laser i Boseho–Einsteinův kondenzát.spin, Pauli exclusion principle, fermions, bosons, antisymmetry, aufbau principle
V atomech s více elektrony vnitřní elektrony stíní náboj jádra a orbitaly s nižším \(l\), které pronikají blíž k jádru, mají nižší energii. Zaplňování přibližně sleduje Madelungovo pravidlo (nejdřív nižší \(n + l\), při rovnosti nižší \(n\)): 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, … Zaplněné slupky mají vzácné plyny se \(Z\) = 2, 10, 18, 36, 54 a 86. Délky period 2, 8, 8, 18, 18, 32 v periodické tabulce jsou přímým důsledkem počtu orbitalů \(2l + 1\) a dvou orientací spinu (průvodce Chemie).
Bez Pauliho principu by se všechny elektrony shlukly v orbitalu 1s, atomy by se zmenšovaly s rostoucím nábojem jádra a chemie by neexistovala. Freeman Dyson a Andrew Lenard v roce 1967 dokázali, že stabilita objemné látky – to, že dvojnásobné množství látky zabírá dvojnásobný objem – vyžaduje právě Pauliho princip. Ve hvězdách se týž princip projevuje jako tlak degenerovaného elektronového plynu: drží bílé trpaslíky, a v neutronových hvězdách drží tlak degenerovaných neutronů spolu s jadernými silami.
8.4Jemná struktura, Lambův posuv a Zeemanův jev
Přesná spektroskopie ukazuje, že hladiny vodíku jsou rozštěpené. Jemnou strukturu vysvětlila Diracova relativistická rovnice z roku 1928: energie závisí i na celkovém momentu hybnosti \(j = l \pm \tfrac12\). Rozštěpení je řádu \(\alpha^2\) vůči energii hladiny, kde \(\alpha \approx 1/137{,}036\) je konstanta jemné struktury; pro \(n = 2\) je \(\Delta E = \alpha^2\cdot 13{,}6\ \text{eV}/16 = 4{,}5\cdot 10^{-5}\) eV (10,9 GHz). Známým příkladem je žlutý dublet sodíku 589,0 a 589,6 nm.fine structure, fine-structure constant, Lamb shift, quantum electrodynamics, Zeeman effect, Bohr magneton
Podle Diraca mají hladiny 2s1/2 a 2p1/2 přesně stejnou energii. Willis Lamb a Robert Retherford v roce 1947 mikrovlnnou spektroskopií změřili, že 2s1/2 leží výš o asi 1 058 MHz (\(4{,}4\cdot 10^{-6}\) eV). Lambův posuv vysvětlila až kvantová elektrodynamika – vliv kvantových fluktuací elektromagnetického pole na elektron; Hans Bethe ho odhadl ještě v roce 1947. Lamb dostal Nobelovu cenu za rok 1955 (s Polykarpem Kuschem), Tomonaga, Schwinger a Feynman za rok 1965 za kvantovou elektrodynamiku.
V magnetickém poli \(B\) se hladiny dále štěpí podle magnetického čísla: \(\Delta E = m\,\mu_BB\) s Bohrovým magnetonem \(\mu_B = e\hbar/(2m_e) = 5{,}79\cdot 10^{-5}\ \text{eV/T}\). Pieter Zeeman štěpení spektrálních čar pozoroval v roce 1896 (Nobelova cena 1902 s Hendrikem Lorentzem); podle něj astronomové měří magnetická pole na Slunci a hvězdách.
8.5Hyperjemná struktura a čára 21 cm
Proton má také spin a magnetický moment. Základní stav vodíku se proto štěpí na dvě hladiny podle toho, zda jsou spiny elektronu a protonu souhlasné, nebo opačné. Přechod mezi nimi má frekvenci 1 420,405 751 768 MHz, vlnovou délku 21,1 cm a energii jen 5,87 µeV. Spontánní přechod je velmi vzácný (jeden atom vyzáří v průměru jednou za asi 11 milionů let), ale vodíku je ve vesmíru tolik, že je čára 21 cm nejdůležitějším nástrojem radioastronomie: Hendrik van de Hulst ji předpověděl v roce 1944, Harold Ewen a Edward Purcell ji zachytili v roce 1951 a podle ní byla zmapována spirální ramena naší Galaxie. Hyperjemný přechod vodíku využívá i vodíkový maser, velmi stabilní frekvenční normál.hyperfine structure, 21 cm line, hydrogen maser
8.6Procvičení
- Stavy atomu vodíku určují kvantová čísla \(n, l, m\) a spin \(m_s\); energie \(-13{,}6\ \text{eV}/n^2\) závisí u vodíku jen na \(n\).
- Orbital je vlnová funkce, ne dráha; nejpravděpodobnější vzdálenost elektronu 1s je Bohrův poloměr 52,9 pm.
- Pauliho princip – nejvýše jeden fermion v jednom stavu – vysvětluje slupky, periodickou tabulku i objem látky.
Spin, Hilbertův prostor a Diracova notacevysoká škola
Nejjednodušší kvantová soustava nemá polohu ani dráhu, jen dva možné výsledky měření: spin ½. Na něm se nejlépe ukazuje jazyk, kterým se kvantová mechanika skutečně píše – vektory v komplexním prostoru, operátory, komutátory a unitární vývoj. Stejná matematika pak popisuje qubit (kapitola 10) i jaderné spiny v nemocničním magnetickém tomografu.
Střelku kompasu, která vletí do nehomogenního magnetického pole, pole vychýlí tím víc, čím víc je natočená ve směru pole – podle náhodné orientace dopadnou střelky kamkoli do pruhu. Atomy stříbra se ve stejném pokusu rozdělí jen do dvou stop. Žádné „trochu natočené“ atomy neexistují.
Otto Stern a Walther Gerlach ve Frankfurtu v únoru 1922 posílali svazek atomů stříbra z pece mezi póly magnetu, jehož pole bylo silně nehomogenní. Na atom s magnetickým momentem \(\mu_z\) působí síla \(F_z = \mu_z\,\partial B/\partial z\). Klasicky by náhodně orientované momenty daly na stínítku souvislý pruh; na skleněné destičce se ale objevily dvě oddělené stopy vzdálené asi 0,2 mm. Dnes víme, že jde o spin nepárového elektronu atomu stříbra: jeho průmět do libovolně zvolené osy má jen dvě hodnoty, \(+\hbar/2\) a \(-\hbar/2\). Stern dostal Nobelovu cenu za rok 1943.
Spin v kladném směru osy z označíme \(|{\uparrow}\rangle\), v záporném \(|{\downarrow}\rangle\). Každý jiný stav je jejich superpozicí s komplexními koeficienty. Například stav s kladným spinem ve směru x je
kde \(\vartheta\) je úhel mezi směry dvou magnetů. Atom připravený prvním magnetem ve stavu „nahoru“ projde druhým magnetem natočeným o 90° s pravděpodobností 1/2 každým směrem; natočeným o 60° projde svazkem „+“ ve 3/4 případů. Pozoruhodný je řetěz tří magnetů z → x → z: vybereme-li za prvním „nahoru“ a za druhým „+x“, dá třetí magnet znovu oba výsledky. Měření ve směru x informaci o z nenávratně vymazalo.
+Teorie: stavový prostor, postuláty, Pauliho matice, komutátory, časový vývoj, magnetická rezonance
9.1Stavový prostor a Diracova notace
Stav kvantové soustavy je jednotkový vektor v komplexním Hilbertově prostoru \(\mathcal H\) – vektorovém prostoru se skalárním součinem. Paul Dirac zavedl v roce 1939 zápis „ket“ \(|\psi\rangle\) pro vektor a „bra“ \(\langle\varphi|\) pro lineární funkcionál; jejich spojení \(\langle\varphi|\psi\rangle\) je skalární součin (bra-ket, závorka). Platí \(\langle\varphi|\psi\rangle = \overline{\langle\psi|\varphi\rangle}\) a normalizace \(\langle\psi|\psi\rangle = 1\). Ve zvolené ortonormální bázi \(\{|n\rangle\}\) je \(|\psi\rangle = \sum_n c_n|n\rangle\), \(c_n = \langle n|\psi\rangle\), a jednotkový operátor má tvar \(\sum_n|n\rangle\langle n| = \hat I\) (úplnost báze).Hilbert space, ket, bra, inner product, orthonormal basis, completeness relation
Pro spin ½ je \(\mathcal H = \mathbb C^2\) s bází \(|{\uparrow}\rangle = (1, 0)^{\mathsf T}\), \(|{\downarrow}\rangle = (0, 1)^{\mathsf T}\). Pro částici na přímce je prostor nekonečněrozměrný a vlnová funkce je souřadnicí stavu v „bázi poloh“: \(\psi(x) = \langle x|\psi\rangle\). Celková fáze \(e^{i\alpha}|\psi\rangle\) nemá fyzikální význam, relativní fáze mezi složkami superpozice ano. Obecný stav spinu ½ lze proto zapsat dvěma úhly:
což je spin natočený do směru se sférickými úhly \(\vartheta, \varphi\) – bod na Blochově kouli (kapitola 10).
9.2Postuláty kvantové mechaniky
| Postulát | Obsah |
|---|---|
| stav | jednotkový vektor \(|\psi\rangle\) v Hilbertově prostoru (až na fázi) |
| pozorovatelná | samoadjungovaný (hermitovský) operátor \(\hat A = \hat A^\dagger\); možné výsledky jsou jeho vlastní čísla \(a\) |
| Bornovo pravidlo | \(P(a) = |\langle a|\psi\rangle|^2\); střední hodnota \(\langle A\rangle = \langle\psi|\hat A|\psi\rangle\) |
| měření | po výsledku \(a\) je soustava ve stavu \(|a\rangle\) (projekce, „kolaps“) |
| vývoj | mezi měřeními \(i\hbar\,\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}|\psi\rangle = \hat H|\psi\rangle\) |
| složené soustavy | tenzorový součin \(\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B\) (kapitola 11) |
Hermitovské operátory mají reálná vlastní čísla a jejich vlastní vektory k různým vlastním číslům jsou ortogonální – proto výsledky měření jsou reálná čísla a různé výsledky se navzájem vylučují. Spektrální rozklad \(\hat A = \sum_a a\,|a\rangle\langle a|\) spojuje operátor s jeho výsledky a pravděpodobnostmi. Postulát o měření je předmětem sporů o interpretaci (kapitola 12); pro výpočet předpovědí ale není sporný.postulates of quantum mechanics, observable, Hermitian operator, eigenvalue, expectation value, spectral decomposition
9.3Pauliho matice
Operátory složek spinu jsou \(\hat S_i = \frac\hbar2\sigma_i\) s Pauliho maticemi
Každá má vlastní čísla \(\pm1\), \(\sigma_i^2 = \hat I\) a navzájem antikomutují. Vlastní vektory \(\sigma_x\) jsou \(|{\pm x}\rangle = (|{\uparrow}\rangle \pm |{\downarrow}\rangle)/\sqrt2\), vlastní vektory \(\sigma_y\) jsou \((|{\uparrow}\rangle \pm i|{\downarrow}\rangle)/\sqrt2\). Spin ve směru jednotkového vektoru \(\vec n\) měří operátor \(\vec n\cdot\vec\sigma\); odtud plyne pravděpodobnost \(\cos^2(\vartheta/2)\) z laboratoře. Čtyři matice \(\hat I, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\) tvoří bázi všech matic 2 × 2.Pauli matrices, spin operator
9.4Komutátory a relace neurčitosti
Komutátor \([\hat A, \hat B] = \hat A\hat B - \hat B\hat A\) měří, nakolik záleží na pořadí. Základní komutátory jsou
Nerovnost vpravo odvodil Howard P. Robertson v roce 1929 ze Schwarzovy nerovnosti; pro polohu a hybnost dává \(\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2\). Komutující pozorovatelné mají společnou bázi vlastních vektorů a lze je současně ostře určit (například \(\hat L^2\) a \(\hat L_z\) v kapitole 8); nekomutující obecně ne. Pro stav \(|{\uparrow}\rangle\) je \(\langle\hat S_z\rangle = \hbar/2\) a \(\Delta S_x\,\Delta S_y \ge \hbar^2/4\); skutečně \(\Delta S_x = \Delta S_y = \hbar/2\), relace platí s rovností.commutator, canonical commutation relation, Robertson uncertainty relation, compatible observables
9.5Časový vývoj a Larmorova precese
Řešení Schrödingerovy rovnice s časově nezávislým hamiltoniánem je \(|\psi(t)\rangle = \hat U(t)|\psi(0)\rangle\) s unitárním operátorem \(\hat U(t) = e^{-i\hat Ht/\hbar}\), který zachovává normu a skalární součiny. Stacionární stavy jen mění fázi \(e^{-iEt/\hbar}\); pozorovatelné změny vznikají ze superpozic různých energií. V Heisenbergově obrazu se mění operátory, \(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\hat A = \frac{i}{\hbar}[\hat H, \hat A]\), a pro střední hodnoty platí Ehrenfestova věta, \(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle\hat p\rangle = -\langle V'(\hat x)\rangle\) – kvantová podoba Newtonova zákona.unitary evolution, Heisenberg picture, Ehrenfest theorem, Larmor precession, gyromagnetic ratio
Spin v magnetickém poli \(\vec B = B\hat z\) má hamiltonián \(\hat H = -\gamma B\hat S_z\), kde \(\gamma\) je gyromagnetický poměr. Vývojový operátor otáčí stav kolem osy z a vektor středních hodnot \(\langle\vec S\rangle\) obíhá po kuželu s Larmorovou frekvencí \(\omega = \gamma B\) – přesně jako setrvačník v tíhovém poli. Pro elektron je \(\gamma/2\pi = 28{,}0\ \text{GHz/T}\), pro proton 42,58 MHz/T.
9.6Magnetická rezonance a magnetická rezonanční tomografie
Isidor Rabi v roce 1938 měřil magnetické momenty jader ve svazcích molekul pomocí rezonance s radiofrekvenčním polem (Nobelova cena za rok 1944). Felix Bloch a Edward Purcell v roce 1946 nezávisle pozorovali jadernou magnetickou rezonanci v kapalinách a pevných látkách (Nobelova cena 1952). V poli 1,5 T je Larmorova frekvence protonu 63,87 MHz, ve 3 T 127,73 MHz. Radiofrekvenční puls vhodné délky otočí magnetizaci tkáně o 90° nebo 180° – je to stejná operace jako kvantové hradlo na qubitu (kapitola 10). Po pulsu se spiny vracejí do rovnováhy s relaxačními časy \(T_1\) a \(T_2\), které se liší podle tkáně, a právě to dává kontrast obrazu. Paul Lauterbur a Peter Mansfield dostali za zobrazování magnetickou rezonancí Nobelovu cenu za fyziologii nebo lékařství za rok 2003.nuclear magnetic resonance, magnetic resonance imaging, Larmor frequency, relaxation times T1 and T2
Rozdíl energií dvou orientací protonu ve 3 T je jen \(5{,}3\cdot 10^{-7}\) eV, zatímco tepelná energie při 37 °C je asi 0,027 eV. Rovnovážný přebytek spinů „po poli“ je proto jen asi 10 na milion protonů. Protože však v jednom mililitru vody je \(6{,}7\cdot 10^{22}\) protonů, přebytek činí asi \(7\cdot 10^{17}\) spinů a jejich společný signál se dá změřit. Magnetická rezonance nepoužívá ionizující záření; energie fotonu o frekvenci 128 MHz je asi dvacetmilionkrát menší než zhruba 10 eV potřebných k vytržení elektronu z molekuly.
9.7Procvičení
- Stav je vektor v Hilbertově prostoru, pozorovatelné jsou hermitovské operátory a pravděpodobnosti dává \(|\langle a|\psi\rangle|^2\).
- Nekomutující pozorovatelné (\([\hat x, \hat p] = i\hbar\), složky spinu) nemají současně ostré hodnoty a na pořadí jejich měření záleží.
- Mezi měřeními se stav vyvíjí unitárně; spin v magnetickém poli precesuje s Larmorovou frekvencí, na čemž stojí magnetická rezonance.
Qubit, Blochova koule a matice hustotyvysoká škola
Spin ½, polarizace fotonu, dvě hladiny iontu nebo dva stavy supravodivého obvodu – fyzikálně různé soustavy, matematicky totéž: qubit, kvantová obdoba bitu. Jeho stav je bod na kouli, kvantová hradla jsou otočení koule a šum z okolí kouli „vysává“ zevnitř. Kapitola dává nástroje pro provázanost (kapitola 11) i kvantové počítání (kapitola 12).
Klasický bit je vypínač: 0, nebo 1. Qubit si můžete představit jako šipku, která smí mířit kamkoli na kouli – a přesto z něj měřením dostanete vždy jen 0, nebo 1. Kde je tedy ta „nekonečná informace“ navíc? Ukáže se, že vyčíst se nedá; projeví se jen v interferenci.
Báze \(|0\rangle, |1\rangle\) se nazývá výpočetní. Obecný čistý stav qubitu je superpozice \(\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle\) s \(|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\). Protože celková fáze nemá význam, stačí dva reálné úhly:
Severní pól je \(|0\rangle\), jižní \(|1\rangle\), na rovníku leží stejnoměrné superpozice, například \(|\pm\rangle = (|0\rangle \pm |1\rangle)/\sqrt2\) na ose x a \(|\pm i\rangle = (|0\rangle \pm i|1\rangle)/\sqrt2\) na ose y. Protilehlé body koule jsou navzájem kolmé (ortogonální) stavy. Měření ve výpočetní bázi dá 0 s pravděpodobností \(\cos^2(\vartheta/2) = (1 + r_z)/2\). Každé hradlo na jednom qubitu je otočením Blochovy koule:
| Hradlo | Matice | Na Blochově kouli |
|---|---|---|
| X (NOT) | \(\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\) | otočení o 180° kolem osy x; \(|0\rangle \leftrightarrow |1\rangle\) |
| Y | \(\begin{pmatrix}0 & -i\\ i & 0\end{pmatrix}\) | otočení o 180° kolem osy y |
| Z | \(\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\) | otočení o 180° kolem osy z; \(|+\rangle \leftrightarrow |-\rangle\) |
| H (Hadamard) | \(\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}\) | otočení o 180° kolem osy \((x + z)/\sqrt2\); \(|0\rangle \leftrightarrow |+\rangle\) |
| S | \(\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & i\end{pmatrix}\) | otočení o 90° kolem osy z |
| T | \(\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & e^{i\pi/4}\end{pmatrix}\) | otočení o 45° kolem osy z |
Pro jeden qubit ve stavu \(|+\rangle\) dá měření v bázi Z náhodně 0 nebo 1 – stejně jako mince, kterou někdo předem náhodně položil na 0 nebo na 1. Rozdíl ukáže až měření v jiné bázi: \(|+\rangle\) dá v bázi X vždy „+“, náhodná mince 50 : 50. Takovou statistickou směs popisuje matice hustoty; čisté stavy leží na povrchu Blochovy koule, smíšené uvnitř.
+Teorie: hradla jako rotace, matice hustoty, dekoherence, Rabiho oscilace a Holevova mez
10.1Hradla jako otočení
Každá unitární matice 2 × 2 je až na celkovou fázi tvaru \(R_{\vec n}(\alpha) = e^{-i\alpha\,\vec n\cdot\vec\sigma/2} = \cos\frac\alpha2\,\hat I - i\sin\frac\alpha2\,\vec n\cdot\vec\sigma\) – otočení Blochovy koule o úhel \(\alpha\) kolem osy \(\vec n\). Poloviční úhel v exponentu znamená, že otočení o 360° dá stav s opačným znaménkem, \(R(2\pi) = -\hat I\); u jednoho qubitu se to neprojeví, ve spojení s dalším systémem ano (pokusy s neutronovou interferometrií to potvrdily v roce 1975). Užitečné vztahy: \(H = (X + Z)/\sqrt2\), \(HXH = Z\), \(HZH = X\), \(T^2 = S\), \(S^2 = Z\).quantum gate, rotation operator, Hadamard gate, phase gate, universal gate set
Hradla H a T na jednom qubitu spolu s dvouqubitovým CNOT tvoří univerzální sadu: libovolnou unitární operaci lze s jejich pomocí přiblížit s libovolnou přesností, a podle Solovayovy–Kitajevovy věty k tomu stačí počet hradel rostoucí jen polylogaritmicky s požadovanou přesností.
10.2Matice hustoty
Je-li soustava s pravděpodobností \(p_i\) ve stavu \(|\psi_i\rangle\), popisuje ji operátor \(\hat\rho = \sum_ip_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|\), který zavedli John von Neumann a Lev Landau v roce 1927. Je hermitovský, pozitivně semidefinitní, \(\mathrm{Tr}\,\hat\rho = 1\), a střední hodnoty se počítají jako \(\langle A\rangle = \mathrm{Tr}(\hat\rho\hat A)\). Pro qubit
Čistota \(\mathrm{Tr}\,\hat\rho^2\) je 1 pro čisté stavy a 1/2 pro úplně smíšený stav \(\hat I/2\) ve středu koule. Mimodiagonální prvky (koherence) nesou informaci o relativní fázi. Různé směsi mohou mít stejnou matici hustoty – polovina \(|0\rangle\) a polovina \(|1\rangle\) dává totéž \(\hat I/2\) jako polovina \(|+\rangle\) a polovina \(|-\rangle\) – a pak je žádným měřením nelze rozlišit. Míru „neznalosti“ udává von Neumannova entropie \(S = -\mathrm{Tr}\,\hat\rho\log_2\hat\rho\): 0 pro čistý stav, 1 bit pro \(\hat I/2\).density matrix, density operator, mixed state, purity, coherence, von Neumann entropy
10.3Dekoherence
Žádný qubit není dokonale izolovaný. Interakce s okolím (fotony, fonony, fluktuace polí) provází qubit s okolím a informace o relativní fázi „uteče“ do prostředí: mimodiagonální prvky \(\hat\rho\) exponenciálně klesají. Tento proces – dekoherence – popsal H. Dieter Zeh v roce 1970 a rozpracoval Wojciech Zurek od 80. let. Vysvětluje, proč u makroskopických předmětů superpozice prakticky nepozorujeme: u prachového zrnka ve vzduchu proběhne za nepatrný zlomek sekundy. Dekoherence sama ale nevybírá jeden konkrétní výsledek měření; otázka, co se při měření děje, zůstává předmětem interpretací (kapitola 12).decoherence, environment-induced superselection, pointer states, relaxation time T1, dephasing time T2
U skutečných qubitů se rozlišují dva časy: \(T_1\) – doba, za kterou excitovaný stav \(|1\rangle\) odevzdá energii a spadne do \(|0\rangle\) (Blochův vektor se táhne k severnímu pólu), a \(T_2\) – doba ztráty fázové koherence (vektor se smršťuje k ose z). Platí \(T_2 \le 2T_1\). Po čase \(T_2\) zbude \(e^{-1} = 37\) % koherence, po \(2T_2\) jen 13,5 %. Kvantový výpočet musí skončit – nebo být chráněn opravou chyb – dřív, než dekoherence superpozice zničí.
10.4Rabiho oscilace a Ramseyho interferometrie
Dvouhladinový systém buzený rezonančním polem osciluje mezi \(|0\rangle\) a \(|1\rangle\): \(P_1(t) = \sin^2(\Omega t/2)\), kde \(\Omega\) je Rabiho frekvence úměrná amplitudě pole. Puls délky \(\pi/\Omega\) („\(\pi\)-puls“) je hradlo X, poloviční (\(\pi/2\)-puls) vytvoří stejnoměrnou superpozici. Norman Ramsey v roce 1949 navrhl dva \(\pi/2\)-pulsy oddělené volným vývojem: fáze nasbíraná mezi nimi se projeví interferencí a umožní velmi přesně měřit frekvenci přechodu (Nobelova cena 1989). Na této metodě stojí atomové hodiny; od roku 1967 je sekunda definována jako 9 192 631 770 period záření přechodu mezi hyperjemnými hladinami základního stavu atomu cesia-133.Rabi oscillations, pi pulse, Ramsey interferometry, atomic clock
10.5Kolik informace nese qubit
Ačkoli stav qubitu určují dva spojité úhly, měření vrátí jediný bit a stav zničí. Alexander Holevo v roce 1973 dokázal, že \(n\) qubitů může přenést nejvýše \(n\) bitů klasické informace (Holevova mez). Neznámý stav nelze ani zkopírovat (věta o nemožnosti klonování, kapitola 11), takže úhly z jednoho exempláře nevyčteme. Síla kvantového počítání proto není v „ukládání nekonečně mnoha čísel“, ale v interferenci amplitud, která zesílí správné výsledky a potlačí špatné. Se sdílenou provázaností lze jedním qubitem poslat dva bity (husté kódování, Bennett a Wiesner 1992) – ale jen díky druhému qubitu, který už protistrana má.Holevo bound, superdense coding, accessible information
10.6Procvičení
- Čistý stav qubitu je bod na povrchu Blochovy koule, smíšený stav bod uvnitř; hradla na jednom qubitu jsou otočení koule.
- Matice hustoty \(\tfrac12(\hat I + \vec r\cdot\vec\sigma)\) popisuje čisté i smíšené stavy; čistota je \((1 + |\vec r|^2)/2\).
- Dekoherence ničí fázové vztahy (\(T_2\)) a energii (\(T_1\)); qubit nese nejvýše jeden bit vyčitatelné informace.
Provázanost, Bellovy nerovnosti a kvantová kryptografievysoká škola
Dva qubity mohou být v takovém společném stavu, že žádný z nich nemá vlastní stav – a přesto jsou výsledky měření na obou korelované silněji, než dovoluje jakákoli teorie, v níž mají částice své vlastnosti předem a nic se nešíří rychleji než světlo. Tuto vlastnost, provázanost, Einstein považoval za doklad neúplnosti kvantové mechaniky. Pokusy ocenění Nobelovou cenou za rok 2022 ukázaly, že příroda se chová kvantově.
Pošlete-li jednu rukavici z páru do Prahy a druhou do Brna, příjemce v Praze po otevření krabice okamžitě ví, kterou rukavici má kolega v Brně. Nic záhadného: o tom, která je která, se rozhodlo při balení. John Bell v roce 1964 ukázal, že u provázaných částic takové vysvětlení „předem zabalených“ vlastností selže – a dá se to změřit.
Stav dvou qubitů žije v tenzorovém součinu prostorů, s bází \(|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle\). Některé stavy jsou součinem stavů jednotlivých qubitů, například \(|0\rangle\otimes|+\rangle\). Stav
ale jako součin zapsat nelze – je provázaný. Každý qubit zvlášť dá při měření v jakékoli bázi náhodně 0 nebo 1, ale výsledky obou se ve stejné bázi vždy shodují. U fotonů s polarizací v tomto stavu dají polarizátory natočené o úhly \(\alpha\) a \(\beta\) stejný výsledek s pravděpodobností \(\cos^2(\alpha - \beta)\) a korelace (střední hodnota součinu výsledků \(\pm1\)) je \(E(\alpha, \beta) = \cos 2(\alpha - \beta)\).
Předpokládejme, že každý pár nese předem dané „instrukce“ \(\lambda\), které určují výsledek pro každé nastavení, a že výsledek Alice nezávisí na nastavení Boba (lokální realismus). Pak pro každý pár platí \(A(B - B') + A'(B + B') = \pm 2\), a proto pro průměry
Kvantová mechanika pro úhly \(a = 0°\), \(a' = 45°\), \(b = 22{,}5°\), \(b' = 67{,}5°\) předpovídá \(S = 2\sqrt2 \approx 2{,}83\). Nerovnost odvodili John Clauser, Michael Horne, Abner Shimony a Richard Holt v roce 1969; horní mez \(2\sqrt2\) dokázal Boris Cirelson (Tsirelson) v roce 1980.
Provázanost nedovoluje posílat zprávy. Bobovy výsledky jsou samy o sobě vždy náhodné 50 : 50, ať Alice měří cokoli; korelace uvidí až po porovnání záznamů, které musí přijít běžnou cestou nejvýše rychlostí světla. Neznámý kvantový stav nelze ani zkopírovat (věta o nemožnosti klonování, William Wootters a Wojciech Zurek a nezávisle Dennis Dieks v roce 1982) – kdyby to šlo, Bob by si kopie změřil v různých bázích a signalizace by byla možná.
Kvantová distribuce klíče BB84
Charles Bennett a Gilles Brassard v roce 1984 navrhli, jak kvantovou mechaniku využít k bezpečné výměně šifrovacího klíče. Alice posílá jednotlivé fotony s náhodným bitem zakódovaným v náhodně zvolené bázi: v bázi „+“ jako vodorovnou nebo svislou polarizaci, v bázi „ד jako polarizaci pod 45° nebo 135°. Bob měří v náhodně zvolené bázi. Pak si veřejně sdělí jen báze (ne bity) a ponechají ty bity, kde se báze shodovaly – to je prosetý klíč. Část z něj porovnají: pokud by někdo fotony odposlouchával, musel by je měřit, a protože báze nezná, nutně by do klíče vnesl chyby.
+Teorie: tenzorový součin, EPR a Bellova věta, pokusy a skuliny, teleportace, kvantová kryptografie v praxi
11.1Tenzorový součin, provázanost a částečná stopa
Prostor dvou soustav je \(\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B\) s dimenzí rovnou součinu dimenzí; \(n\) qubitů má \(2^n\) komplexních amplitud. Stav je součinový, lze-li ho zapsat jako \(|\psi_A\rangle\otimes|\psi_B\rangle\), jinak je provázaný (termín „Verschränkung“ zavedl Erwin Schrödinger v roce 1935). Bellovy stavy
tvoří ortonormální bázi a vzniknou z \(|00\rangle\) hradlem H na prvním qubitu a následným CNOT: \(\mathrm{CNOT}(H\otimes\hat I)|00\rangle = |\Phi^+\rangle\). Stav podsoustavy dostaneme částečnou stopou \(\hat\rho_A = \mathrm{Tr}_B\,|\Psi\rangle\langle\Psi|\). Pro Bellův stav je \(\hat\rho_A = \hat I/2\): celek je v čistém stavu a víme o něm vše, o části nevíme nic. Provázanost čistého stavu měří entropie \(S(\hat\rho_A)\), pro Bellovy stavy 1 bit.tensor product, product state, entangled state, Bell states, partial trace, reduced density matrix, entanglement entropy
Exponenciální růst dimenze je důvodem, proč klasické počítače nezvládají simulovat velké kvantové soustavy: obecný stav 50 qubitů má \(2^{50} \approx 1{,}1\cdot 10^{15}\) amplitud a uložení každé jako dvou čísel s dvojnásobnou přesností (16 bajtů) vyžaduje 18 petabajtů. Právě tuto úvahu použil Richard Feynman v roce 1981 jako motivaci kvantových počítačů (kapitola 12).
11.2EPR, Bellova věta a cesta k Nobelově ceně
Albert Einstein, Boris Podolsky a Nathan Rosen v roce 1935 argumentovali: když lze výsledek měření na vzdálené částici předpovědět s jistotou bez jejího ovlivnění, musí mít odpovídající „prvek reality“ předem; kvantová mechanika ho neobsahuje, a je tedy neúplná. David Bohm v roce 1951 přeformuloval argument pro spiny. John Bell v roce 1964 ukázal, že každá lokální teorie se skrytými proměnnými splňuje nerovnosti, které kvantová mechanika porušuje – spor o interpretaci se tím stal otázkou pokusu.EPR paradox, local hidden variables, Bell's theorem, CHSH inequality, Tsirelson bound, loophole
| Rok | Kdo | Co přinesl |
|---|---|---|
| 1972 | Stuart Freedman, John Clauser | první test s fotony z atomové kaskády vápníku; v souladu s kvantovou mechanikou |
| 1982 | Alain Aspect, Philippe Grangier, Gérard Roger, Jean Dalibard | \(S = 2{,}697 \pm 0{,}015\) při kvantové předpovědi \(2{,}70 \pm 0{,}05\); v dalším pokusu přepínání nastavení během letu fotonů |
| 1998 | Gregor Weihs, Anton Zeilinger a spol. | náhodná rychlá volba nastavení, stanice 400 m od sebe; uzavřena skulina lokality |
| 2015 | skupiny v Delftu, Vídni a Boulderu | první pokusy bez skuliny lokality i detekce současně |
| 2022 | Aspect, Clauser, Zeilinger | Nobelova cena „za pokusy s provázanými fotony, prokázání porušení Bellových nerovností a průkopnickou kvantovou informatiku“ |
Starší pokusy měly skuliny: v principu mohl signál o nastavení jednoho polarizátoru doletět k druhému (skulina lokality), nebo detektory zachytily jen malou část fotonů a zachycený vzorek nemusel být reprezentativní (skulina detekce). Pokusy z roku 2015 uzavřely obě zároveň. Zbývá jen nevyvratitelný předpoklad, že volba nastavení není předem svázaná se zdrojem (superdeterminismus); pokusy jej zatlačily daleko do minulosti tím, že nastavení určovalo světlo vzdálených hvězd a kvazarů nebo náhodné volby desítek tisíc dobrovolníků.
Porušení Bellových nerovností vylučuje lokální realismus jako celek, ne nutně každou jeho část: Bohmova mechanika (kapitola 12) je realistická, ale nelokální, a výklad mnoha světů zachovává lokalitu za cenu toho, že měření nemá jediný výsledek. Žádná z možností nedovoluje signalizaci nadsvětelnou rychlostí, takže s teorií relativity v rozporu nejsou.
11.3Teleportace a nemožnost klonování
Věta o nemožnosti klonování plyne z linearity: kdyby unitární \(\hat U\) splňoval \(\hat U|\psi\rangle|0\rangle = |\psi\rangle|\psi\rangle\) pro \(|0\rangle\) i \(|1\rangle\), pak pro \(|+\rangle\) by dal \((|00\rangle + |11\rangle)/\sqrt2\), a ne \(|{+}{+}\rangle\). Neznámý stav lze ale přenést. Při kvantové teleportaci (Bennett, Brassard, Crépeau, Jozsa, Peres a Wootters 1993) Alice změří svůj neznámý qubit společně se svou polovinou Bellova páru v Bellově bázi, pošle Bobovi dva klasické bity a Bob podle nich na svou polovinu použije jedno ze čtyř hradel \(\hat I, X, Z, XZ\). Původní stav u Alice zanikne, takže nevznikne kopie, a bez klasických bitů je Bobův qubit úplně náhodný, takže nic necestuje rychleji než světlo. První pokusy s fotony proběhly v letech 1997–1998 v Innsbrucku a v Římě; v roce 2017 byla teleportace provedena ze Země na družici na oběžné dráze.no-cloning theorem, quantum teleportation, Bell measurement
11.4Kvantová kryptografie v praxi
Bezpečnost BB84 neplyne ze složitosti výpočtu, ale z fyziky: každý pokus o získání informace o bázích vnáší chyby. Při plném odposlechu typu „zachyť a pošli dál“ je chybovost 25 %; porovnají-li Alice a Bob 100 bitů, odposlech projde bez povšimnutí s pravděpodobností \(0{,}75^{100} \approx 3\cdot 10^{-13}\). Artur Ekert v roce 1991 navrhl protokol E91, který bezpečnost ověřuje přímo Bellovým testem. Důkaz Shora a Preskilla (2000) ukazuje, že tajný klíč lze vytvořit, dokud chybovost nepřekročí asi 11 %.quantum key distribution, BB84, E91, QBER, privacy amplification, side channel
Praxe je střízlivější. Skutečné zdroje občas vyšlou více fotonů najednou (řeší to protokoly s „návnadovými“ stavy), detektory lze oslepit silným světlem a výzkumníci takové útoky na komerční zařízení předvedli. Fotony v optickém vlákně se ztrácejí, takže přímý přenos je omezen na stovky kilometrů a delší trasy potřebují důvěryhodné uzly nebo dosud experimentální kvantové opakovače; v roce 2017 družice rozdělila provázané fotony mezi pozemní stanice vzdálené asi 1 200 km. Kvantová distribuce také vyžaduje ověřený klasický kanál. Proto se pro běžnou ochranu dat nasazuje především postkvantová kryptografie (kapitola 12) a kvantová distribuce klíče zůstává doplňkem pro zvláštní případy.
11.5Procvičení
- Provázaný stav nelze zapsat jako součin; celek může být znám přesně, i když části jsou úplně náhodné.
- Lokální realismus dává \(|S| \le 2\), kvantová mechanika až \(2\sqrt2\); pokusy bez skulin potvrdily kvantovou předpověď (Nobelova cena 2022).
- Provázanost nepřenáší zprávy; s větou o nemožnosti klonování je základem teleportace a kvantové distribuce klíče BB84.
Kvantové počítání, interpretace a aplikacevysoká škola
Kvantový počítač není rychlejší klasický počítač. Pro většinu úloh nepomůže vůbec; pro některé – hledání v neuspořádaných datech, rozklad čísel na prvočinitele, simulace molekul a materiálů – dovoluje algoritmy, které klasicky neznáme. Kapitola ukazuje, odkud se zrychlení bere, kde je technika dnes, jak se fyzikové přou o význam kvantové teorie a co z ní už dávno používáte.
Často se píše, že kvantový počítač „zkouší všechna řešení najednou“. Kdyby to tak bylo, stačilo by na konci výpočtu změřit – jenže měření superpozice dá jediný náhodný výsledek, nejspíš špatný. Trik je jinde: algoritmus musí amplitudy nechat interferovat tak, aby se špatné odpovědi navzájem vyrušily a správná zesílila.
Kvantový obvod je posloupnost hradel na qubitech, zakončená měřením. Hradla na jednom qubitu jsou otočení Blochovy koule (kapitola 10); nejdůležitější dvouqubitové hradlo CNOT překlopí cílový qubit, je-li řídicí qubit v \(|1\rangle\). Hadamard a CNOT stačí k vytvoření provázaného Bellova stavu:
Groverovo hledání
Lov Grover v roce 1996 ukázal, jak najít jednu označenou položku mezi \(N\) neuspořádanými. „Orákulum“ (funkce, která pozná správnou odpověď) obrátí znaménko amplitudy hledaného stavu a „difuze“ překlopí všechny amplitudy kolem jejich průměru. Každé opakování zvětší amplitudu hledaného stavu; po zhruba \(\frac\pi4\sqrt N\) krocích je téměř jistá. Klasické hledání potřebuje průměrně \((N + 1)/2\) dotazů.
Zrychlení je jen kvadratické. Pro \(N = 2^{20}\) to je 804 kroků místo průměrných 524 288 – působivé, ale každý kvantový krok je dnes mnohem pomalejší a dražší než klasický a data by bylo nutné do kvantového počítače nejprve dostat. Pro šifry s klíčem o \(n\) bitech Groverův algoritmus znamená efektivně \(n/2\) bitů bezpečnosti, proto se doporučují klíče o 256 bitech.
Shorův algoritmus a kryptografie
Peter Shor v roce 1994 ukázal, že kvantový počítač rozloží číslo na prvočinitele v čase rostoucím jen polynomiálně s počtem jeho číslic. Úloha se nejprve klasicky převede na hledání periody: pro náhodné \(a\) se hledá nejmenší \(r\), pro které \(a^r \bmod N = 1\). Pro \(N = 15\) a \(a = 7\) jsou mocniny 7, 4, 13, 1, takže \(r = 4\), a \(\gcd(7^2 \pm 1, 15)\) dá dělitele 3 a 5. Periodu kvantově najde kvantová Fourierova transformace – opět díky interferenci, při níž se zesílí jen amplitudy odpovídající násobkům \(1/r\).
Skutečně provedené kvantové „faktorizace“ jsou zatím symbolické: čísla 15 (2001) a 21 (2012), a i to ve zjednodušených obvodech, které využívaly předem známou odpověď. Klasicky bylo nejvýše rozloženo 829bitové číslo RSA-250 (2020). Craig Gidney v květnu 2025 odhadl, že 2048bitový klíč RSA by rozložil počítač s méně než milionem fyzických qubitů s chybovostí hradel 0,1 % za méně než týden – dnešní zařízení mají řádově stovky až tisíce fyzických qubitů. Protože zašifrovaná data lze uložit dnes a rozluštit později, přechází se už nyní na postkvantovou kryptografii.
Co se děje při měření: interpretace
Matematika kvantové mechaniky a její předpovědi jsou nesporné; sporné je, co popisuje. Podle kodaňského přístupu (Bohr, Heisenberg) je vlnová funkce nástroj pro předpovědi a měření dává jeden náhodný výsledek. Mnohosvětová interpretace (Hugh Everett 1957) bere vlnovou funkci doslova a kolaps odmítá: realizují se všechny výsledky ve větvích, které spolu díky dekoherenci přestanou interferovat. Bohmova mechanika (David Bohm 1952, navazující na de Broglieho z roku 1927) přidává částicím skutečné dráhy řízené vlnovou funkcí; je deterministická, ale nelokální. Tyto interpretace dávají pro všechny dosavadní pokusy stejné předpovědi. Testovatelně odlišné jsou teorie objektivního kolapsu (Ghirardi, Rimini a Weber 1986), podle nichž se superpozice velkých těles samovolně rozpadají; pokusy jejich parametry postupně omezují.
Slovo „kvantový“ se lepí na léčebné metody, přívěsky, „strukturovanou vodu“, kurzy myšlení i tvrzení, že vědomí tvoří realitu. Kvantová fyzika nic z toho netvrdí:
- „Pozorovatel“ není vědomí, ale jakákoli fyzikální interakce, která zanechá záznam – detektor, rozptýlený foton, molekula vzduchu (kapitoly 4 a 10).
- Provázanost nepřenáší informaci, energii ani „léčivé vibrace“; korelace se ukáže až po porovnání výsledků běžnou cestou (kapitola 11).
- Superpozice velkých, teplých a vlhkých objektů, jako je lidské tělo, zanikají dekoherencí za nepatrný zlomek sekundy (kapitola 10).
- Kvantové jevy v biologii existují – tunelování v enzymech, přenos energie při fotosyntéze – ale jsou to měřené molekulární děje, ne základ léčebných tvrzení.
- Princip neurčitosti neznamená „všechno je nejisté“ ani „cokoli je možné“; kvantová teorie předpovídá výsledky s rekordní přesností.
Jednoduchý test: uvádí tvrzení měřitelnou veličinu, jednotku, mechanismus a nezávislé ověření? Pokud ne, je „kvantový“ jen reklamní slovo.
+Teorie: Deutschův algoritmus, geometrie Groverova hledání, Shor, oprava chyb, platformy, interpretace a aplikace
12.1Od Feynmana k prvnímu algoritmu
Richard Feynman v roce 1981 upozornil, že přírodu, která je kvantová, bude nejlépe simulovat kvantový stroj. David Deutsch v roce 1985 popsal univerzální kvantový počítač a první úlohu, kde pomáhá: o funkci \(f: \{0, 1\} \to \{0, 1\}\) rozhodnout, zda je konstantní, nebo vyvážená. Klasicky je třeba ji vyhodnotit dvakrát, kvantově stačí jednou. Obvod připraví \(|+\rangle|-\rangle\), orákulum \(|x\rangle|y\rangle \to |x\rangle|y \oplus f(x)\rangle\) zapíše hodnotu \(f\) do fáze, \((-1)^{f(x)}\), a Hadamard na prvním qubitu převede rozdíl fází na jistý výsledek: 0 pro konstantní, 1 pro vyváženou funkci. Zobecnění na \(n\) bitů (Deutsch a Jozsa 1992) dává exponenciální rozdíl proti deterministickému klasickému algoritmu.quantum circuit, oracle, phase kickback, Deutsch–Jozsa algorithm
12.2Groverovo hledání jako otáčení
Stav zůstává v rovině určené hledaným stavem \(|w\rangle\) a rovnoměrnou superpozicí ostatních \(|s'\rangle\). Počáteční stav \(|s\rangle\) svírá s \(|s'\rangle\) malý úhel \(\vartheta\), \(\sin\vartheta = 1/\sqrt N\). Orákulum je zrcadlení podle \(|s'\rangle\), difuze zrcadlení podle \(|s\rangle\); dvě zrcadlení dávají otočení o \(2\vartheta\). Po \(k\) krocích je úhel \((2k + 1)\vartheta\), a odtud vzorec pro \(P_k\). Přetočíme-li optimum, pravděpodobnost klesá. Bennett, Bernstein, Brassard a Vazirani dokázali, že lepší než \(\sqrt N\) to žádný kvantový algoritmus pro neuspořádané hledání nezvládne.Grover's algorithm, amplitude amplification, quadratic speedup
12.3Shorův algoritmus
Rozklad čísla \(N\) se převede na hledání řádu \(r\) prvku \(a\) modulo \(N\). Je-li \(r\) sudé a \(a^{r/2} \not\equiv -1\), dávají \(\gcd(a^{r/2} \pm 1, N)\) netriviální dělitele. Kvantová část připraví superpozici \(\sum_x|x\rangle|a^x \bmod N\rangle\); měřením druhého registru zůstane v prvním periodická superpozice a kvantová Fourierova transformace z ní vytáhne násobky \(2^m/r\). Pro \(N = 21\) a \(a = 2\) jsou mocniny 2, 4, 8, 16, 11, 1, tedy \(r = 6\), \(2^3 = 8\) a \(\gcd(7, 21) = 7\), \(\gcd(9, 21) = 3\). Stejný postup řeší i diskrétní logaritmus, na kterém stojí kryptografie eliptických křivek.Shor's algorithm, order finding, quantum Fourier transform, RSA, discrete logarithm
Americký úřad pro normy NIST v srpnu 2024 vydal první normy postkvantové kryptografie FIPS 203, 204 a 205 – šifrování a podpisy založené na mřížkách a hašovacích funkcích, pro které rychlý kvantový algoritmus není znám. Na rozdíl od kvantové distribuce klíče běží na obyčejných počítačích a sítích (průvodce Kybernetická bezpečnost).
12.4Oprava chyb a práh
Kvantové stavy nelze kopírovat, a přesto je lze chránit: informace jednoho logického qubitu se rozprostře do provázaného stavu více fyzických qubitů a měřením vhodných společných veličin (syndromů) se zjistí, která chyba nastala, aniž by se změřil samotný logický stav. První kód s devíti qubity navrhl Peter Shor v roce 1995, sedmiqubitový Andrew Steane v roce 1996. Věta o prahu (1996–1997, několik skupin nezávisle) říká, že je-li chybovost fyzických operací pod jistou mezí, lze logickou chybovost snížit libovolně přidáváním qubitů. Dnes nejpoužívanější povrchový kód má práh kolem 1 % a jeden logický qubit vyžaduje stovky až tisíce fyzických. V roce 2024 byl poprvé předveden povrchový kód, jehož logická chybovost klesá se zvětšováním kódu – zařízení pracovalo „pod prahem“.quantum error correction, syndrome measurement, threshold theorem, surface code, logical qubit, fault tolerance
12.5Platformy a stav techniky
Qubity se dnes stavějí z několika fyzikálních soustav: supravodivých obvodů s Josephsonovými přechody (kapitola 7), iontů zachycených v elektromagnetických pastech, neutrálních atomů v optických pinzetách, fotonů a spinů elektronů v polovodičích. Každá platforma má jiné přednosti – rychlost hradel, dobu koherence, přesnost, propojitelnost, možnost zvětšování. John Preskill v roce 2018 nazval současnou etapu NISQ (noisy intermediate-scale quantum): desítky až tisíce šumových qubitů bez plné opravy chyb. Od roku 2019 několik skupin předvedlo uměle zvolené úlohy (vzorkování z náhodných obvodů, bosonové vzorkování), v nichž kvantové zařízení předstihlo nejlepší známé klasické simulace; praktický užitek zatím nemají a klasické metody část náskoku později dohnaly. Nejbližší užitečné použití se očekává v simulaci molekul a materiálů; prolomení dnešní kryptografie vyžaduje zařízení o několik řádů větší, než jaká existují.qubit platforms, superconducting qubits, trapped ions, neutral atoms, NISQ, quantum advantage, quantum simulation
12.6Problém měření a interpretace
Schrödingerova rovnice je lineární a deterministická; měření dává jeden náhodný výsledek. Jak spolu tyto dvě věci souvisejí, je problém měření. Dekoherence (kapitola 10) vysvětluje, proč neinterferují makroskopicky odlišné větve, ale sama nevybere, která nastane. Interpretace odpovídají různě:measurement problem, Copenhagen interpretation, many-worlds interpretation, de Broglie–Bohm theory, objective collapse, QBism
| Interpretace | Vlnová funkce | Měření | Cena |
|---|---|---|---|
| kodaňská (Bohr, Heisenberg, od 1927) | nástroj k předpovědím | dává jeden náhodný výsledek | nejasná hranice mezi kvantovým a klasickým |
| mnoho světů (Everett 1957) | úplný popis reality | žádný kolaps, větví se | význam pravděpodobnosti, nepozorovatelné větve |
| Bohmova (de Broglie 1927, Bohm 1952) | reálné vodicí pole | částice má vždy polohu | explicitní nelokálnost |
| objektivní kolaps (GRW 1986) | reálná, občas samovolně kolabuje | skutečný fyzikální proces | nové parametry, testovatelné |
| informační (například QBismus) | stav znalosti pozorovatele | aktualizace znalosti | co je pak „realita“ |
Průzkumy mezi fyziky opakovaně ukazují, že shoda neexistuje. Pro praxi to nevadí – všechny interpretace (kromě kolapsových) dávají stejné předpovědi – ale otázka zůstává jednou z nejzajímavějších ve fyzice.
12.7Kvantová fyzika v každodenní technice
| Zařízení | Kvantový jev | Milník |
|---|---|---|
| tranzistor, čip | energetické pásy v polovodičích, dotace | 1947, Nobelova cena 1956 (Bardeen, Brattain, Shockley) |
| laser | stimulovaná emise (Einstein 1917) | první laser 1960; Nobelova cena 1964 (Townes, Basov, Prochorov) |
| LED | rekombinace elektronů a děr přes zakázaný pás | modrá LED – Nobelova cena 2014 (Akasaki, Amano, Nakamura) |
| fotočlánek, obrazový snímač | fotoefekt, vnitřní fotoefekt | Nobelova cena 2009 za snímač CCD (Boyle, Smith) |
| magnetická rezonance | spin protonu, Larmorova precese | Nobelova cena 2003 (Lauterbur, Mansfield) |
| atomové hodiny, družicová navigace | přechody mezi hladinami, Ramseyho metoda | definice sekundy podle cesia 1967 |
| čtecí hlava pevného disku | obří magnetorezistence (spin elektronů) | Nobelova cena 2007 (Fert, Grünberg) |
| kvantové tečky v displejích | částice v krabici (kapitola 6) | Nobelova cena za chemii 2023 (Bawendi, Brus, Jekimov) |
| paměť flash, tunelový mikroskop | tunelový jev (kapitola 7) | Nobelova cena 1986 (Binnig, Rohrer) |
12.8Procvičení
- Kvantové algoritmy zrychlují díky interferenci amplitud, ne zkoušením všech možností; Grover dává kvadratické, Shor exponenciální zrychlení pro specifické úlohy.
- Užitečný kvantový počítač potřebuje opravu chyb a mnohem víc qubitů, než dnes existuje; data se už teď chrání postkvantovou kryptografií.
- Interpretace se liší výkladem, ne předpověďmi; kvantová fyzika přitom stojí za tranzistorem, laserem, LED, magnetickou rezonancí i atomovými hodinami – ne za „kvantovým léčením“.
Slovníček
Pětasedmdesát pojmů z celého průvodce, česky a anglicky. Hledat můžete v obou jazycích.
Vzorce a konstanty
Fyzikální konstanty (CODATA 2022)
| Konstanta | Značka | Hodnota |
|---|---|---|
| rychlost světla ve vakuu | \(c\) | 299 792 458 m/s (přesně) |
| Planckova konstanta | \(h\) | 6,626 070 15 · 10⁻³⁴ J·s (přesně) |
| redukovaná Planckova konstanta | \(\hbar = h/2\pi\) | 1,054 571 817… · 10⁻³⁴ J·s = 6,582 119 569… · 10⁻¹⁶ eV·s |
| elementární náboj | \(e\) | 1,602 176 634 · 10⁻¹⁹ C (přesně) |
| Boltzmannova konstanta | \(k\) | 1,380 649 · 10⁻²³ J/K (přesně) |
| užitečné součiny | \(hc\), \(\hbar c\) | 1 239,841 98… eV·nm; 197,326 980… MeV·fm |
| permitivita vakua | \(\varepsilon_0\) | 8,854 187 8188(14) · 10⁻¹² F/m |
| klidová hmotnost elektronu | \(m_e\) | 9,109 383 7139(28) · 10⁻³¹ kg |
| klidová hmotnost protonu | \(m_p\) | 1,672 621 925 95(52) · 10⁻²⁷ kg |
| klidová hmotnost neutronu | \(m_n\) | 1,674 927 500 56(85) · 10⁻²⁷ kg |
| konstanta jemné struktury | \(\alpha\) | 7,297 352 5643(11) · 10⁻³ ≈ 1/137,036 |
| Bohrův poloměr | \(a_0\) | 5,291 772 105 44(82) · 10⁻¹¹ m |
| Rydbergova konstanta | \(R_\infty\) | 10 973 731,568 157(12) m⁻¹ |
| Rydbergova energie | \(hcR_\infty\) | 13,605 693 122 990(15) eV |
| Bohrův magneton | \(\mu_B\) | 9,274 010 0657(29) · 10⁻²⁴ J/T |
| jaderný magneton | \(\mu_N\) | 5,050 783 7393(16) · 10⁻²⁷ J/T |
| g-faktor elektronu | \(g_e\) | −2,002 319 304 360 92(36) |
| g-faktor protonu | \(g_p\) | 5,585 694 6893(16) |
| Stefanova–Boltzmannova konstanta | \(\sigma\) | 5,670 374 419… · 10⁻⁸ W/(m²·K⁴) |
| Wienova konstanta | \(b\) | 2,897 771 955… · 10⁻³ m·K |
Číslo v závorce je standardní nejistota posledních číslic. Rydbergova konstanta pro vodík s redukovanou hmotností \(R_H = R_\infty/(1 + m_e/m_p) = 1{,}096\,776\cdot 10^7\ \text{m}^{-1}\); vlnové délky čar jsou ve vakuu. Další použité hodnoty: efektivní teplota Slunce 5 772 K (IAU 2015), teplota reliktního záření 2,7255 K, frekvence čáry 21 cm 1 420,405 751 768 MHz, přechod cesia 9 192 631 770 Hz (definice sekundy).
Vzorce na jednom místě
Zdroje
Instituce, normy a data
- CODATA 2022 Recommended Values of the Fundamental Physical Constants (NIST, physics.nist.gov/constants). Všechny konstanty v tab. B.1 a ve výpočtech. Ověřeno 4. 11. 2026.
- NIST Atomic Spectra Database. Vlnové délky čar vodíku ve vakuu (kapitola 3) a frekvence hyperjemného přechodu vodíku (kapitola 8). Ověřeno 4. 11. 2026.
- BIPM: The International System of Units (SI Brochure), 9. vydání (2019). Definice sekundy přechodem cesia-133 a pevné hodnoty \(h\), \(e\), \(k\).
- IAU 2015 Resolution B3 (nominální sluneční veličiny): efektivní teplota Slunce 5 772 K (kapitola 1). Fixsen, D. J. (2009): The Temperature of the Cosmic Microwave Background. The Astrophysical Journal 707, 916–920 (2,7255 K).
- Michaelson, H. B. (1977): The work function of the elements and its periodicity. Journal of Applied Physics 48, 4729–4733. Orientační výstupní práce kovů (kapitola 2).
- Nobelova cena – oficiální stránky (nobelprize.org). Odůvodnění cen za fyziku 1902, 1918, 1921, 1922, 1923, 1925, 1927, 1929, 1933, 1937, 1943, 1944, 1945, 1952, 1954, 1955, 1956, 1964, 1965, 1973, 1986, 1989, 2006, 2007, 2009, 2014, 2022 a 2025, za chemii 2023 a za fyziologii nebo lékařství 2003. Ověřeno 4. 11. 2026.
- NIST: FIPS 203, FIPS 204 a FIPS 205 (vydány 13. 8. 2024). První normy postkvantové kryptografie (kapitola 12). Ověřeno 4. 11. 2026.
- MŠMT: Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání a Rámcový vzdělávací program pro gymnázia. Zařazení kapitol podle úrovní.
Učebnice a přehledová literatura
- Griffiths, D. J.; Schroeter, D. F. (2018): Introduction to Quantum Mechanics. 3. vydání. Cambridge University Press. (Kapitoly 5–9.)
- Sakurai, J. J.; Napolitano, J. (2020): Modern Quantum Mechanics. 3. vydání. Cambridge University Press. (Sternův–Gerlachův pokus, formalismus, kapitola 9.)
- Nielsen, M. A.; Chuang, I. L. (2010): Quantum Computation and Quantum Information. 10. výroční vydání. Cambridge University Press. (Kapitoly 10–12.)
- Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1965): The Feynman Lectures on Physics, Vol. III. Reading: Addison-Wesley; online vydání Caltech. (Kapitoly 4 a 9.)
- Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J. (2013): Fyzika. 2. vydání. Brno: VUTIUM. (Část Moderní fyzika; kapitoly 1–4.)
- Formánek, J. (2004): Úvod do kvantové teorie. 2. vydání. Praha: Academia. (Kapitoly 6–9.)
- Preskill, J. (2018): Quantum Computing in the NISQ era and beyond. Quantum 2, 79. (Kapitola 12.)
Historické a experimentální práce
- Planck, M. (1901): Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum. Annalen der Physik 309, 553–563.
- Einstein, A. (1905): Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt. Annalen der Physik 17, 132–148.
- Bohr, N. (1913): On the Constitution of Atoms and Molecules. Philosophical Magazine 26, 1–25.
- Gerlach, W.; Stern, O. (1922): Der experimentelle Nachweis der Richtungsquantelung im Magnetfeld. Zeitschrift für Physik 9, 349–352.
- Schrödinger, E. (1926): Quantisierung als Eigenwertproblem. Annalen der Physik 384, 361–376.
- Einstein, A.; Podolsky, B.; Rosen, N. (1935): Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? Physical Review 47, 777–780.
- Bell, J. S. (1964): On the Einstein Podolsky Rosen Paradox. Physics 1, 195–200.
- Clauser, J. F.; Horne, M. A.; Shimony, A.; Holt, R. A. (1969): Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories. Physical Review Letters 23, 880–884.
- Aspect, A.; Grangier, P.; Roger, G. (1982): Experimental Realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment. Physical Review Letters 49, 91–94.
- Bennett, C. H.; Brassard, G. (1984): Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing. Proceedings of the IEEE International Conference on Computers, Systems and Signal Processing, 175–179.
- Tonomura, A.; Endo, J.; Matsuda, T.; Kawasaki, T.; Ezawa, H. (1989): Demonstration of single-electron buildup of an interference pattern. American Journal of Physics 57, 117–120.
- Bach, R.; Pope, D.; Liou, S.-H.; Batelaan, H. (2013): Controlled double-slit electron diffraction. New Journal of Physics 15, 033018. (Parametry laboratoře v kapitole 4.)
- Shor, P. W. (1994): Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring. Proceedings 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, 124–134.
- Grover, L. K. (1996): A fast quantum mechanical algorithm for database search. Proceedings of the 28th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 212–219.
- Shor, P. W.; Preskill, J. (2000): Simple Proof of Security of the BB84 Quantum Key Distribution Protocol. Physical Review Letters 85, 441–444.
- Hensen, B. a kol. (2015): Loophole-free Bell inequality violation using electron spins separated by 1.3 kilometres. Nature 526, 682–686.
- Gidney, C. (2025): How to factor 2048 bit RSA integers with less than a million noisy qubits. arXiv:2505.15917. (Kapitola 12.)
Modelové předpoklady laboratoří
Laboratoře počítají s idealizacemi, které uvádí jejich popisek: jednorozměrné pravoúhlé potenciály, nerelativistický atom vodíku bez spinu a jemné struktury, ideální detektory a zdroje jednotlivých fotonů, bezchybná kvantová hradla, daleké pole u dvojštěrbiny. Náhodné výsledky (dopady elektronů, měření spinu, Bellův test, BB84) se losují z kvantových pravděpodobností; opakováním se proto mírně liší. Čísla v textu jsou spočítaná skriptem s konstantami CODATA 2022 a zaokrouhlená na uvedený počet míst. Údaje o stavu kvantových počítačů a kryptografie odpovídají stavu k 4. 11. 2026 a rychle se vyvíjejí.