Investování

1.1Proč investice v průměru vynášejí víc

Kdo půjčí peníze (dluhopis) nebo koupí podíl na firmě (akcie), převezme riziko, že se mu nevrátí celé nebo včas. Trh za převzetí rizika platí rizikovou prémii: očekávaný výnos rizikovějších aktiv je vyšší než výnos bezpečné hotovosti. „Očekávaný“ ale znamená průměr přes mnoho možných budoucností, ne slib.risk premium, expected return

Prémie není odměna, kterou někdo rozdává za odvahu. Je důsledkem ceny: kdyby rizikové aktivum slibovalo stejný očekávaný výnos jako hotovost, nikdo by ho nechtěl, jeho cena by klesala a očekávaný výnos by rostl, dokud by se kupci nenašli. Čím levněji se dnes kupují budoucí peněžní toky, tím vyšší je výnos, který z nich v průměru plyne.

Požadovaný výnos jako stavebnice

Požadovaný výnos je nejnižší očekávaný výnos, za který je investor ochoten aktivum držet. Skládá se z bezrizikové části a z prémií za jednotlivá rizika:required rate of return

• \(r^{*}\) je reálná bezriziková sazba: cena za odklad spotřeby, bez inflace a bez rizika.real risk-free rate
• \(\pi^{e}\) je inflační prémie, tedy očekávaná inflace po dobu držby. Součet \(r^{*}+\pi^{e}\) je nominální bezriziková sazba; v praxi ji zastupuje výnos krátkodobých státních pokladničních poukázek.
• \(p_{\text{sel}}\) je prémie za riziko selhání: dlužník nemusí zaplatit včas nebo v plné výši.default risk premium
• \(p_{\text{lik}}\) je prémie za nelikviditu: aktivum nejde rychle prodat bez slevy z ceny.
• \(p_{\text{spl}}\) je prémie za splatnost: delší dluhopisy víc kolísají se změnou sazeb, a proto obvykle vynášejí víc než krátké.

U akcií přistupuje akciová riziková prémie. Akcionář dostane zaplaceno až po všech věřitelích a jeho podíl na zisku není předem daný; za tuto nejistotu chce víc než věřitel.equity risk premium (ERP)

Rozklad je ilustrační: modelová čísla z úvodu, ne odhad trhu. Přírůstek je vůči řádku nad ním, u akcií vyspělých trhů vůči státním dluhopisům.

Modelová reálná bezriziková sazba je mírně záporná. To není chyba: hotovost dlouhodobě vynáší zhruba inflaci, v řadě zemí a období i méně. Podle Dimsona, Marshe a Stauntona (2025) vynesly krátkodobé státní poukázky ve světě v letech 1900–2024 reálně jen kolem 0,5 % ročně.

1.2Časová hodnota peněz

Koruna dnes má větší hodnotu než koruna za rok, protože ji lze mezitím uložit a nechat vydělávat. To je časová hodnota peněz. Srovnávat lze jen částky přepočtené ke stejnému okamžiku; na tom stojí všechny výpočty v této kapitole i v kapitole 10.time value of money (TVM)

\(PV\) je současná hodnota, \(FV\) budoucí hodnota po \(n\) obdobích a \(r\) sazba za jedno období. Umocnění vyjadřuje složené úročení: úrok se připisuje k jistině a v dalším období se úročí i on. Převod budoucí částky na dnešní se nazývá diskontování.

Úrok z úroku dělá rozdíl hlavně na dlouhém horizontu. Při 7 % ročně vyroste 100 000 Kč za 10 let na 196 715 Kč, za 20 let na 386 968 Kč a za 30 let na 761 226 Kč. Při 2 % je to 121 899 Kč, 148 595 Kč a 181 136 Kč.

Četnost připisování a efektivní sazba

Sazba se obvykle uvádí jako roční (nominální, „p. a.“), úrok se ale připisuje \(m\)-krát za rok. Pro srovnání nabídek je třeba přepočítat ji na efektivní roční sazbu, tedy výnos za rok po započtení úroku z úroku:stated annual rate, effective annual rate (EAR)

Sazba 2 % p. a. s měsíčním připisováním dává 2,018 % efektivně, se spojitým připisováním 2,020 %. U 7 % je rozdíl větší: 7,229 % při měsíčním a 7,251 % při spojitém připisování.

Při spojitém úročení roste částka podle \(FV = PV\,e^{rT}\). Opačný převod dává spojitý (logaritmický) výnos \(r_{cc} = \ln(1+R)\); roční výnos 7 % odpovídá spojitému 6,77 %. Logaritmické výnosy se v čase sčítají, proto s nimi pracují simulace v laboratořích i vzorce kapitoly 3.continuous compounding, log return

1.3Pravidelné spoření a anuity

Anuita je řada stejných plateb ve stejných intervalech: pravidelné spoření, splátka hypotéky, renta. Pokud platba přichází na konci období, jde o polhůtní anuitu; na začátku období o předlhůtní anuitu, která má o jedno období úročení navíc.ordinary annuity, annuity due

\(PMT\) je platba, \(i\) sazba za jedno období (u měsíčních plateb měsíční) a \(n\) počet plateb. Zlomky jsou součty geometrických řad: každá platba se úročí po jinou dobu.

1.4Nominální a reálný výnos

Nominální výnos je výnos v korunách. Reálný výnos je přírůstek kupní síly, tedy výnos po odečtení inflace. Vztah mezi nimi popsal Fisher (1930):nominal return, real return, Fisher equation

\(\pi\) je inflace za stejné období. Přibližný tvar (prostý rozdíl) stačí při nízkých sazbách; zanedbává součin \(r_{\text{reál}}\cdot\pi\). U akcií rozvíjejících se trhů s modelovými 8 % dává přesný tvar 5,37 %, přibližný 5,5 %.

Daň se vybírá z nominálního výnosu, tedy i z části, která jen vyrovnává inflaci. Při ilustrativní sazbě daně 15 % klesne nominální výnos hotovosti na 1,7 % a reálný na \(1{,}017/1{,}025-1 = -0{,}78\ \%\). Čím vyšší inflace, tím větší je skutečné zdanění reálného výnosu. Pravidla zdanění v ČR rozebírá kapitola 10.

1.5Riziko není jen ztráta

V investování se rizikem rozumí nejistota výsledku: jak široko se mohou výsledky rozprostřít. Měří se nejčastěji volatilitou, tedy směrodatnou odchylkou ročních výnosů \(\sigma = \sqrt{E\{[R-E(R)]^{2}\}}\) (podrobně kapitola 3). Volatilita počítá výkyvy nahoru i dolů stejně. Pro investora jsou ale důležitá i další rizika:

• Inflační riziko: že peníze ztratí kupní sílu. Hotovost má nízkou volatilitu, ale vysoké inflační riziko.
• Riziko propadu: jak hluboko může hodnota spadnout a jak dlouho trvá návrat.
• Riziko nucené prodeje: že budete muset prodat ve špatnou chvíli, protože peníze potřebujete. Souvisí s rizikem likvidity: některá aktiva (přímé nemovitosti, soukromé fondy) nejde rychle prodat bez velké slevy.
• Riziko nedosažení cíle: pravděpodobnost, že výsledek skončí pod hranicí, kterou investor potřebuje, například pod inflací nebo pod částkou na plánovaný výdaj.shortfall risk
• Riziko pořadí výnosů: u portfolia, ze kterého se vybírá (nebo do kterého se vkládá), záleží na tom, v jakém pořadí dobré a špatné roky přijdou.sequence-of-returns risk
• Riziko dlouhověkosti: že majetek dojde dřív než život. Je to jedno z hlavních rizik v důchodu a důvod, proč ani penzista nedrží jen hotovost.longevity risk

Bezpečnost na prvním místě

Riziko nedosažení cíle formalizoval Roy (1952). Investor s minimální přijatelnou hranicí výnosu \(R_L\) má volit portfolio s nejvyšším poměremRoy’s safety-first criterion

\(N\) je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení. Čím vyšší \(SF\), tím menší pravděpodobnost, že výnos za období skončí pod hranicí (při přibližně normálních výnosech).

Pořadí výnosů

Bez vkladů a výběrů na pořadí nezáleží: \(1{,}25\cdot 0{,}8 = 0{,}8\cdot 1{,}25 = 1\). S výběry ano. Z portfolia 1 000 000 Kč se na konci každého roku vybírá 100 000 Kč. Při pořadí +25 %, −20 % zbude 820 000 Kč, při pořadí −20 %, +25 % jen 775 000 Kč. Špatný rok na začátku výběrů zasáhne větší majetek a vybrané peníze už se nevrátí, aby se zotavily.

Riziko a nejistota

Knight (1921) rozlišil riziko, kdy známe rozdělení možných výsledků (hod kostkou), a nejistotu, kdy ho neznáme. Investiční modely, včetně laboratoří tohoto průvodce, pracují s rizikem: předpokládají známý průměr i volatilitu. Skutečné trhy jsou blíž nejistotě. Parametry se mění a odhadují se z omezené historie, proto je rozumné nevěřit žádnému modelu na desetinná místa.

1.6Averze k riziku a užitek

Představte si sázku: s pravděpodobností 50 % získáte 10 000 Kč, jinak nic. Rizikově averzní investor ji vymění za jistých 5 000 Kč i za méně. Rizikově neutrální hledí jen na očekávanou hodnotu a jistých 5 000 Kč je pro něj totéž. Rizikově vyhledávající by za sázku zaplatil i víc. Finanční teorie i běžná zkušenost pracují s averzí: za převzetí rizika chce investor dostat zaplaceno, a proto existuje riziková prémie.risk averse, risk neutral, risk seeking

Míru averze vyjadřuje funkce užitku. V portfoliové teorii se nejčastěji používá kvadratická aproximace, která hodnotí aktivum podle očekávaného výnosu a rozptylu:

\(E(R)\) a \(\sigma\) se dosazují jako desetinná čísla (7 % = 0,07). \(A\) je koeficient averze k riziku: \(A \gt 0\) averze, \(A = 0\) neutralita, \(A \lt 0\) vyhledávání rizika. Hodnota \(U\) je jistotní ekvivalent: jistý výnos, který investor považuje za stejně dobrý jako rizikové aktivum. Pratt (1964) a Arrow (1965) ukázali, že pro malá rizika k tomuto tvaru vede přibližně každá hladká funkce užitku: riziková prémie, kterou investor žádá, je úměrná rozptylu.coefficient of risk aversion, certainty equivalent

Tučně volba investora, který smí držet jen jednu třídu. Například akcie při A = 4: \(0{,}07-\tfrac12\cdot 4\cdot 0{,}16^{2} = 0{,}0188\).

Investor s \(A = 2\) zvolí akcie, investoři s \(A = 4\) a \(A = 8\) státní dluhopisy. Hranici najdeme z rovnosti užitků: akcie a dluhopisy jsou rovnocenné při \(A = 2(0{,}07-0{,}035)/(0{,}16^{2}-0{,}05^{2}) = 3{,}03\), dluhopisy a hotovost až při \(A = 12{,}1\).

Volba jediné třídy je ale zbytečné omezení. Smíchá-li investor akcie s hotovostí (tu bereme jako bezrizikovou, \(R_f = 2\ \%\)), je nejlepší podíl akcií a užitek

Pro \(A = 2, 4, 8\) vychází \(y^{*} = 97{,}7\ \%\), 48,8 % a 24,4 % akcií a užitek 4,44 %, 3,22 % a 2,61 %. Pro opatrnější investory je to víc než nejlepší samostatná třída (3,00 % a 2,50 %): kombinace aktiv překoná výběr jednoho z nich. Na této myšlence stojí diverzifikace (kapitola 4) i strategická alokace (kapitola 5). Zlomek v závorce je Sharpeho poměr, výnos navíc na jednotku volatility (oddíl 3.7); obecně celý postup popisuje přímka alokace kapitálu v oddílu 4.5.

1.7Horizont rozhoduje

Na krátkém horizontu převažuje kolísání: akcie mohou za rok klidně ztratit třetinu. Na dlouhém horizontu se roky dobré a špatné částečně vyrovnají a převažuje průměrný výnos. Proto se peníze na krátkodobé cíle obvykle drží v nástrojích s nízkým kolísáním a peníze na dlouhé cíle snesou kolísavější aktiva.

Průvodce rozlišuje tři horizonty: krátký do tří let, střední tři až deset let a dlouhý přes deset let. Každý cíl má vlastní horizont, a proto může mít i vlastní složení peněz.

Delší horizont snižuje pravděpodobnost ztráty, ne však její možnou velikost v korunách: rozpětí konečného majetku s horizontem roste (kapitola 3). Dlouhý horizont proto riziko neodstraňuje, jen dává čas na zotavení.

Likvidita a finanční rezerva

Než se začne investovat, je potřeba pokrýt potřebu likvidity: výdaje, které mohou přijít kdykoli (ztráta příjmu, oprava, nemoc). Na ně slouží finanční rezerva v hotovosti nebo na spořicím účtu. Vklady jsou pojištěné do výše odpovídající 100 000 EUR (příloha B).emergency fund, liquidity needs

Rezerva něco stojí: 150 000 Kč v hotovosti místo v akciích znamená modelově \(150\,000\cdot(7\ \%-2\ \%) = 7\,500\) Kč očekávaného výnosu ročně. To je cena pojištění proti nucenému prodeji, ne ztráta.

1.8Procvičení

2.1Co dělá třídu aktiv třídou

Třída aktiv je skupina investic s podobným zdrojem výnosu, které podobně reagují na hospodářské události a pohybují se spolu. Ve strategické alokaci (kapitola 5) je základní stavební jednotkou: nejdřív se rozhoduje, kolik peněz patří do akcií, dluhopisů nebo hotovosti, a teprve potom, do kterých konkrétních titulů.asset class, strategic asset allocation (SAA)

Aby členění na třídy k něčemu bylo, mají třídy splňovat několik běžně uváděných požadavků:

• Homogenní uvnitř: aktiva v jedné třídě mají podobné vlastnosti a vzájemně spolu silně korelují.
• Vzájemně výlučné: každé aktivum patří právě do jedné třídy. Jinak se totéž riziko započítá dvakrát a alokace klame.
• Diverzifikující: vůči ostatním třídám mají nízkou korelaci. Třída, která jen kopíruje jinou, nepřináší do portfolia nic nového.
• Velké a investovatelné: trh je dost hluboký, aby šlo investovat podstatnou část portfolia za rozumné náklady a bez pohybu cen. Dohromady mají třídy pokrýt většinu investovatelného majetku světa.

Greer (1997) třídí aktiva podle toho, proč mají hodnotu. Kapitálová aktiva (akcie, dluhopisy, nemovitosti) přinášejí peněžní toky a dají se ocenit jejich diskontováním. Spotřební a přeměnitelná aktiva (ropa, obilí, kovy) mají hodnotu z užití a jejich cenu určuje nabídka a poptávka. Uchovatelé hodnoty (zlato, měny) žádné toky nepřinášejí; jejich cena stojí na tom, kolik za ně budou ochotni zaplatit jiní. Z toho plyne, že jen u první skupiny lze očekávaný výnos odvodit z vlastností aktiva samotného.

Modelové hodnoty z úvodu, ne předpověď. Reálně podle Fisherovy rovnice při inflaci 2,5 %. Sharpeho poměr = (E(R) − 2 %) / σ.

Sharpeho poměr (Sharpe, 1966; podrobně oddíl 3.7) je očekávaný výnos nad hotovostí na jednotku volatility, \((E(R)-R_f)/\sigma\). V modelu mají hlavní třídy podobný poměr kolem 0,25–0,36; žádná sama o sobě výrazně nevede. Zlato má poměr nízký a jeho smysl v portfoliu je jinde: v nízké korelaci s ostatními.

Co přinese spojení tříd s nízkou vzájemnou korelací, počítá oddíl 4.2: portfolio 60 % akcií vyspělých trhů a 40 % státních dluhopisů má při modelové korelaci 0,1 očekávaný výnos 5,6 % a volatilitu 10,0 %, ačkoli vážený průměr volatilit obou složek je 11,6 %.

2.2Hotovost a peněžní trh

Běžné a spořicí účty, termínované vklady, fondy peněžního trhu. Vydělávají krátkodobý úrok, který se mění se sazbami centrální banky. Kolísání téměř žádné, ale reálný výnos bývá blízko nuly nebo pod ní; v modelu −0,49 % ročně.

Peněžní trh je trh nástrojů se splatností do jednoho roku. Kromě vkladů k nim patří státní pokladniční poukázky, krátkodobé státní cenné papíry bez kupónu, které se prodávají pod nominální hodnotou, a repo obchody: krátkodobé půjčky zajištěné cenným papírem, který dlužník prodá a zároveň se zaváže ho za vyšší cenu odkoupit zpět. Fondy peněžního trhu tyto nástroje sdružují.money market, Treasury bill, repurchase agreement (repo)

Hotovost nemá cenové riziko, ale nese riziko reinvestice: když vklad nebo poukázka dobíhá, peníze se znovu ukládají za tehdejší sazbu. Pokud centrální banka sazby sníží, klesne i výnos hotovosti. Desetiletý dluhopis si sazbu „zamkne“, ale jeho cena kolísá. Mezi cenovým rizikem a rizikem reinvestice se volí; rovnováhu mezi nimi popisuje durace (oddíl 10.2).reinvestment risk

2.3Dluhopisy

Dluhopis je cenný papír, kterým si vydavatel (stát, firma) půjčuje. Vyplácí úrok (kupón) a na konci jistinu. Výnos závisí na úrokové sazbě při nákupu a na úvěrovém riziku vydavatele. Cena dluhopisu klesá, když rostou tržní sazby (kapitola 10). Firemní dluhopisy vynášejí víc než státní, protože firma může zkrachovat.

Druhy dluhopisů

• Státní dluhopisy v domácí měně slouží jako měřítko bezrizikové sazby pro delší splatnosti. Stát se může zadlužit i v cizí měně; tam už úvěrové riziko nese.
• Dluhopisy obcí, krajů, státních agentur a nadnárodních institucí stojí úvěrově obvykle mezi státem a firmami.
• Firemní dluhopisy se dělí podle ratingu. Investiční stupeň je rating BBB− a lepší (na stupnici agentury Moody’s Baa3 a lepší), pod touto hranicí jsou spekulativní dluhopisy s vysokým výnosem. Hranice má praktický význam: mnoho institucí smí držet jen investiční stupeň, a snížení ratingu pod ni proto vyvolává nucené prodeje.investment grade, high yield
• Protiinflační dluhopisy mají jistinu navázanou na index spotřebitelských cen; jejich výnos je reálný.
• Dluhopisy s pohyblivým kupónem platí referenční sazbu plus pevnou přirážku. Jejich cena na změnu sazeb skoro nereaguje, výnos se ale mění jako u hotovosti.
• Svolatelné dluhopisy smí vydavatel splatit předčasně. Udělá to, když sazby klesnou, tedy když se investorovi reinvestuje nejhůř. Za tuto opci platí vydavatel vyšším kupónem.

Z čeho se skládá výnos dluhopisu

Kdo dluhopis drží do splatnosti a vydavatel nezkrachuje, dostane kupóny a jistinu; zhruba tak vydělá výnos do splatnosti z doby nákupu. Výnos za jeden rok se dá rozložit na čtyři části:

Kupón je jistá část. Sklouzávání po výnosové křivce vzniká tím, že dluhopis stárne: za rok z pětiletého bude čtyřletý, a je-li výnosová křivka rostoucí, oceňuje se nižším výnosem a jeho cena stoupne. Třetí člen je cenová změna při pohybu sazeb, kterou měří modifikovaná durace \(D_{\text{mod}}\) (oddíl 10.2). Poslední člen jsou očekávané úvěrové ztráty.roll-down return, yield curve

Úvěrový spread a očekávaná ztráta

Úvěrový spread je rozdíl mezi výnosem firemního a státního dluhopisu se stejnou splatností. Kryje tři věci: očekávané ztráty ze selhání, náhradu za nejistotu těchto ztrát a horší likviditu. Očekávaná roční ztráta je

kde \(PD\) je pravděpodobnost selhání za rok, \(LGD\) ztráta při selhání a \(RR\) výtěžnost, tedy podíl nominálu, který věřitelé po selhání získají zpět. U nezajištěných firemních dluhopisů se v praxi často pracuje s výtěžností kolem 40 %. Ratingy a citlivost ceny na změnu spreadu rozebírá oddíl 10.3.credit spread, expected loss, probability of default, loss given default

2.4Akcie

Akcie je podíl na vlastnictví firmy. Výnos tvoří dividendy a změna ceny, která dlouhodobě sleduje růst zisků firem. Akcie nesou nejvyšší kolísání z běžných tříd aktiv a v krizích mohou ztratit polovinu hodnoty. Zároveň jsou podílem na hospodářském růstu.

Kmenová akcie dává hlasovací právo a nárok na zbytek hodnoty firmy po uspokojení všech věřitelů. Prioritní akcie mívá přednostní, často pevnou dividendu a přednost při likvidaci, zpravidla ale bez hlasovacího práva; chová se napůl jako dluhopis.common stock, preferred stock

Akciový trh se dále člení na segmenty, které se v čase chovají různě: podle velikosti (tržní kapitalizace: velké, střední a malé firmy), podle stylu (hodnotové akcie s nízkou cenou vůči zisku či účetní hodnotě, růstové s vysokou), podle regionu (vyspělé a rozvíjející se trhy) a podle odvětví, kde se jako standard používá klasifikace GICS (MSCI a S&P).

Rozklad akciového výnosu

Grinold a Kroner (2002) rozložili dlouhodobý očekávaný výnos akcií na tři zdroje: co firmy vyplácejí, jak rostou jejich zisky a jak se mění cena, kterou za zisky trh platí:

\(D/P\) je dividendový výnos, \(\pi\) inflace, \(g\) reálný růst zisků, \(\Delta S\) roční změna počtu akcií (zpětné odkupy ji snižují a výnos zvyšují, nové emise naopak) a \(\Delta(P/E)\) průměrná roční změna poměru ceny a zisku. První dva členy jsou „fundamentální“ výnos, poslední je změna nálady trhu. Valuaci trhu podrobněji rozebírá oddíl 10.5.Grinold–Kroner model, dividend yield

Akciová riziková prémie v datech

Nejdelší mezinárodní srovnání vedou Dimson, Marsh a Staunton. Podle jejich ročenky z roku 2025 vynesly světové akcie v letech 1900–2024 reálně 5,2 % ročně, dluhopisy 1,7 % a krátkodobé státní poukázky 0,5 %. Z toho vychází akciová prémie zhruba 4,7 % ročně vůči poukázkám a 3,4 % vůči dluhopisům (geometricky, náš přepočet). Mezi zeměmi a obdobími se prémie výrazně liší a existují i dvacetiletá období, kdy akcie za dluhopisy zaostaly.

2.5Nemovitosti

Přímo (byt k pronájmu) nebo nepřímo (fondy, kótované nemovitostní společnosti). Vydělávají nájem a změnu ceny. Přímá nemovitost je nelikvidní, nedělitelná a vyžaduje práci; nepřímá kolísá podobně jako akcie. V mnoha zemích mají kótované nemovitostní společnosti zvláštní režim REIT, který výměnou za daňové zvýhodnění vyžaduje vyplácet většinu příjmů.real estate investment trust (REIT)

Kapitalizační míra

Výnosnost nemovitosti se měří kapitalizační mírou (cap rate), tedy čistým provozním příjmem děleným hodnotou nemovitosti. Čistý provozní příjem je nájem po odečtení výpadků z neobsazenosti a provozních nákladů (správa, pojištění, opravy, daň z nemovitosti), ale před splátkami úvěru a daní z příjmů.capitalization rate, net operating income (NOI)

Druhý tvar vychází z oceňování rostoucí perpetuity: požadovaný výnos \(r\) se skládá z kapitalizační míry a z očekávaného růstu nájmů \(g\). Nízká kapitalizační míra tedy znamená buď nízký požadovaný výnos, nebo vysoký očekávaný růst. Když tržní sazby rostou, kapitalizační míry obvykle také a ceny nemovitostí klesají; nemovitosti nesou úrokové riziko podobně jako dluhopisy.

Vyhlazené výnosy z ocenění

Indexy přímých nemovitostí vycházejí z odhadů znalců, ne z tržních cen. Odhad se opírá o minulé transakce a mění se pomalu, takže vykázané výnosy jsou vyhlazené: volatilita i korelace s akciemi vycházejí nižší, než je skutečnost (Geltner, 1991). V jednoduchém modelu je vykázaný výnos váženým průměrem skutečného a minulého vykázaného:appraisal smoothing

\(r^{*}\) je vykázaný a \(r\) skutečný výnos, \(\alpha\) míra vyhlazení. Prostřední vztah platí pro nezávislé skutečné výnosy. Při \(\alpha = 0{,}6\) je vykázaná volatilita jen poloviční: skutečných 12 % se v indexu jeví jako 6 %. Kótované nemovitosti vyhlazené nejsou; jejich modelová volatilita 18 % navíc obsahuje páku a náladu akciového trhu.

2.6Zlato a komodity

Zlato nevyplácí úrok ani dividendu; jeho výnos je jen změna ceny. Bývá vnímáno jako ochrana při krizích a vysoké inflaci, ale může i dlouhá léta stagnovat. Komodity (ropa, kovy, zemědělské plodiny) se obvykle drží přes deriváty a jejich dlouhodobý výnos je nejistý.

Výnos komoditních futures

Investor do komodit obvykle nekupuje sudy ropy, ale futures: závazek koupit komoditu v budoucnu za cenu \(F_0\) dohodnutou dnes. Před splatností kontrakt prodá a koupí další, tedy roluje. Peníze, které na kontrakt nepotřebuje, drží jako kolaterál v nástrojích peněžního trhu. Výnos plně zajištěné pozice se skládá ze tří částí:futures, roll yield, collateral return

\(S\) je spotová (okamžitá) cena, \(F_0\) cena futures při nákupu; ke splatnosti se cena futures sblíží se spotem. Je-li křivka futures rostoucí (\(F_0 \gt S_0\), contango), výnos z rolování je záporný: investor kupuje dráž, než za kolik komodita nakonec je. V backwardaci (\(F_0 \lt S_0\)) je kladný.contango, backwardation

Gorton a Rouwenhorst (2006) ukázali, že plně zajištěný a rovnoměrně vážený koš komoditních futures měl v letech 1959–2004 podobný výnos jako akcie a zápornou korelaci s akciemi i dluhopisy. Erb a Harvey (2006) upozornili, že průměrný jednotlivý kontrakt měl výnos nad úrokem blízký nule, že výsledek koše stál hlavně na způsobu vážení a rebalancování a že rozdíly ve výnosech jednotlivých komodit vysvětluje především výnos z rolování.

Co hýbe zlatem

• Reálné úrokové sazby: zlato nic nevynáší, takže jeho držení stojí ušlý reálný úrok. Když reálné sazby rostou, je zlato relativně méně přitažlivé, a naopak.
• Dolar: zlato se obchoduje v dolarech; českého investora navíc ovlivňuje kurz koruny k dolaru (oddíl 10.4).
• Krize a nejistota: v obdobích strachu poptávka po zlatu jako „bezpečném přístavu“ obvykle roste.
• Nákupy centrálních bank a poptávka po šperkách a v průmyslu.

Erb a Harvey (2013) ukazují, že na horizontech, které investora zajímají, tedy v letech a desetiletích, ne staletích, je zlato nespolehlivou ochranou před inflací: jeho reálná cena se pohybuje v širokém pásmu. Protože nemá peněžní toky, nemá ani přirozenou „správnou“ cenu, ke které by se vracelo.

2.7Alternativní investice

Jako alternativní investice se označuje vše mimo veřejně obchodované akcie, dluhopisy a hotovost. Bývají nelikvidní, s vysokou minimální investicí, složitými poplatky a menší transparentností:

• Soukromý kapitál: odkupy zavedených firem (často na úvěr) a rizikový kapitál pro začínající firmy. Fond trvá obvykle deset a více let; investor se zaváže ke vkladu, který fond čerpá postupně, a peníze dostává zpět při prodejích firem.private equity, buyout, venture capital
• Hedgeové fondy: velmi různorodé strategie (dlouhé a krátké pozice v akciích, makro sázky, arbitráže), často s pákou a krátkými prodeji.
• Soukromé úvěry: přímé půjčky středně velkým firmám mimo bankovní a dluhopisový trh, obvykle s pohyblivou sazbou.
• Infrastruktura: dlouhověká aktiva (dopravní stavby, sítě, energetika) s regulovanými nebo smluvními peněžními toky, často navázanými na inflaci.

Za nemožnost peníze kdykoli vybrat požadují investoři prémii za nelikviditu. Fondy soukromého kapitálu navíc mají typický průběh J-křivky: v prvních letech platí investor poplatky a náklady, zatímco investice jsou vedené v pořizovací ceně, takže průběžný výnos je záporný; zisky se ukážou až při prodejích firem v pozdějších letech. Výkonnost se proto měří vnitřním výnosovým procentem, tedy peněžně váženým výnosem (oddíl 3.2).illiquidity premium, J-curve, internal rate of return (IRR)

Tradiční struktura poplatků je „2 a 20“: zhruba 2 % ročně za správu a 20 % ze zisku jako podíl na výkonnosti (u soukromého kapitálu carried interest), často až nad minimálním výnosem kolem 8 %. Kaplan a Schoar (2005) zjistili, že průměrný fond soukromého kapitálu vynesl po poplatcích zhruba tolik jako americký akciový index S&P 500, s velkými rozdíly mezi fondy a se znatelnou setrvačností výsledků stejných správců.management fee, performance fee, carried interest, hurdle rate

2.8Kryptoaktiva

V Greerově členění mají kryptoaktiva nejblíž k uchovatelům hodnoty: nepřinášejí peněžní toky a jejich cenu určuje jen to, kolik za ně budou ochotni zaplatit další kupci. Zdanění v ČR se věnuje oddíl 10.6.

2.9Procvičení

3.1Jak měřit výnos

Základní jednotkou je výnos za dobu držby: změna ceny plus příjmy vyplacené během období (dividendy, kupóny), vztažené k počáteční hodnotě.holding period return (HPR)

\(P_0\) je cena na začátku, \(P_1\) na konci a \(D_1\) příjem za období. Akcie koupená za 1 000 Kč, která vyplatí dividendu 30 Kč a prodá se za 1 070 Kč, vynesla \((1\,070 - 1\,000 + 30)/1\,000 = 10\) %. Výnosy navazujících období se skládají násobením: \(1 + R_{0,T} = (1+R_1)(1+R_2)\cdots(1+R_T)\).

Aby šly porovnat investice s různou dobou držby, výnos se anualizuje, tedy převádí na roční složenou míru \(R_a = (1+R_{0,T})^{1/T} - 1\), kde \(T\) je doba v letech. Výnos 12 % za 18 měsíců odpovídá \(1{,}12^{1/1{,}5} - 1 = 7{,}85\) % ročně.annualized return

Aritmetický a geometrický průměr

Aritmetický průměr ročních výnosů je prostý průměr \(\bar r_a = \frac1n\sum_t r_t\). Geometrický průměr je výnos, který při každoročním opakování dá stejný konečný výsledek:arithmetic and geometric mean return

Po roce +50 % a roce −50 % je aritmetický průměr 0 %, ale konečná hodnota je \(1{,}5\cdot 0{,}5 = 0{,}75\): geometrický průměr je −13,4 %. Pro investora, jehož peníze byly investované celou dobu, je rozhodující geometrický průměr. Aritmetický průměr má ale také své místo: je to nejlepší odhad výnosu jednoho budoucího roku, a proto vystupuje jako očekávaný výnos v modelech portfolia. Geometrický průměr nikdy nepřevýší aritmetický; rovnají se, jen když výnos nekolísá.

Logaritmický výnos

Spojitě úročený (logaritmický) výnos z oddílu 1.2 je \(r = \ln(1+R) = \ln(P_1/P_0)\) (bez dividend). Jeho přednost je, že se v čase sčítá: \(\ln(P_T/P_0) = r_1 + r_2 + \dots + r_T\). Součty nezávislých veličin se dobře popisují statisticky, proto modely včetně laboratoří průvodce pracují s logaritmickými výnosy.continuously compounded (log) return

Pro dvojici +50 % a −50 %: \(\ln 1{,}5 = 0{,}4055\) a \(\ln 0{,}5 = -0{,}6931\). Součet −0,2877 dává zpětně \(e^{-0{,}2877} = 0{,}75\) a průměr −0,1438 dává \(e^{-0{,}1438} - 1 = -13{,}4\) %, právě geometrický průměr. Logaritmický výnos nikdy není větší než jednoduchý (shodují se jen při nulovém výnosu) a je souměrný: zisk a ztráta stejné velikosti v logaritmech se vyruší. Jedno ale neumí: výnos portfolia je vážený průměr jednoduchých výnosů aktiv, ne logaritmických.

3.2Časově a peněžně vážený výnos

Jakmile investor během období peníze přidává nebo vybírá, přestává existovat jediný „výnos portfolia“. Existují dva a odpovídají na různé otázky.

• Časově vážený výnos (TWR) rozdělí období v okamžicích vkladů a výběrů na úseky, spočítá výnos každého úseku a výnosy složí. Vklady a výběry ho neovlivní; měří, jak dobře si vedla správa peněz.time-weighted rate of return (TWR)
• Peněžně vážený výnos (MWR) je vnitřní výnosové procento peněžních toků investora: sazba, při níž je součet diskontovaných vkladů, výběrů a konečné hodnoty nulový. Zahrnuje i to, kdy a kolik investor vložil.money-weighted rate of return, internal rate of return (IRR)

\(R_k\) je výnos \(k\)-tého úseku mezi dvěma peněžními toky, \(CF_t\) jsou toky z pohledu investora: vklady se záporným znaménkem, výběry a konečná hodnota s kladným. Časově vážený výnos za více let se anualizuje jako v oddílu 3.1.

Pro hodnocení správce je správný časově vážený výnos, protože o vkladech a výběrech nerozhoduje on, ale klient; proto ho pro prezentaci výsledků vyžaduje standard GIPS. Peněžně vážený výnos říká, jak se dařilo penězům konkrétního investora. Hodí se i tam, kde o načasování toků rozhoduje sám správce, typicky u fondů soukromého kapitálu, které peníze od investorů čerpají postupně.Global Investment Performance Standards (GIPS)

3.3Volatilita a rozpětí

Rozptyl je průměrná čtvercová odchylka výnosu od průměru, směrodatná odchylka (volatilita) je jeho odmocnina. Z historických dat se odhadují výběrové hodnoty:sample variance, sample standard deviation

Dělí se \(n-1\), ne \(n\): průměr \(\bar r\) je odhadnutý ze stejných dat a odchylky od něj vycházejí systematicky o něco menší (Besselova korekce). Populační rozptyl, kdy známe celé rozdělení, dělí \(n\).

Při přibližně normálním rozdělení ročních výnosů leží zhruba dvě třetiny let (68 %) v pásmu průměr ± jedna volatilita a 95 % let v pásmu průměr ± dvě volatility. S výnosem 7 % a volatilitou 16 % je tedy „normální“ rok mezi −9 % a +23 % a pásmo dvou volatilit sahá od −25 % do +39 %. Mimo ně leží jeden rok z dvaceti; protože se dělí do dvou ocasů, pod −25 % spadne zhruba jeden rok ze čtyřiceti. Hranice, pod kterou spadne právě jeden rok z dvaceti, je průměr minus 1,645 volatility, tedy −19,3 %.

Převod volatility mezi frekvencemi

Volatilita se uvádí ročně, ale odhaduje se z měsíčních nebo denních dat. Jsou-li výnosy jednotlivých období nezávislé a stejně rozdělené, rozptyly se sčítají a roční rozptyl je dvanáctinásobek měsíčního. Volatilita tedy roste s odmocninou času:square-root-of-time rule

Číslo 252 je obvyklý počet obchodních dní v roce. Roční volatilita 16 % odpovídá měsíční 4,6 % a denní asi 1,0 %. Očekávaný výnos naproti tomu roste s časem lineárně, \(\mu T\). Kdy pravidlo selhává, ukazuje oddíl 3.8.

3.4Tvar rozdělení: šikmost a tlusté ocasy

Normální rozdělení je souměrné a plně ho popisují dvě čísla, průměr a volatilita. Jednoduché výnosy ale normální být nemohou: ztráta je omezená 100 %, zisk ne. Modely, včetně laboratoří průvodce, proto předpokládají, že normální je logaritmický výnos \(\ln(1+R)\). Jednoduchý výnos i hodnota majetku pak mají lognormální rozdělení, zešikmené doprava.normal and lognormal distribution

Parametry logaritmického výnosu se z očekávaného výnosu \(\mu\) a volatility \(\sigma\) jednoduchého výnosu získají vztahy

\[\sigma_{\ln}^2 = \ln\!\Big(1 + \frac{\sigma^2}{(1+\mu)^2}\Big),\qquad \mu_{\ln} = \ln(1+\mu) - \tfrac12\sigma_{\ln}^2.\]

Pro akcie se 7 % a 16 % je \(\sigma_{\ln} = 14{,}87\) % a \(\mu_{\ln} = 5{,}66\) %. Medián ročního výnosu je \(e^{\mu_{\ln}} - 1 = 5{,}82\) %, tedy geometrický výnos, který ukazuje laboratoř. Pátý percentil vychází v lognormálním modelu −17,1 % místo −19,3 % u normálního a pod −25 % spadne zhruba jeden rok ze sta místo jednoho ze čtyřiceti: levý ocas je kratší, pravý delší.

Jak moc se skutečné rozdělení liší od normálního, měří další dva momenty:

• Šikmost (třetí standardizovaný moment) měří nesouměrnost. Záporná šikmost znamená častější malé zisky a vzácné velké ztráty; mívají ji akciové indexy na krátkých horizontech a strategie, které inkasují prémii za prodané opce.skewness
• Špičatost (čtvrtý standardizovaný moment) měří váhu ocasů. Normální rozdělení má špičatost 3; nadbytečná špičatost \(K - 3\) větší než nula znamená tlusté ocasy: víc klidných období i víc extrémních pohybů, než normální rozdělení připouští.kurtosis, excess kurtosis, fat tails

\(s\) je výběrová směrodatná odchylka z oddílu 3.3. Statistické programy používají verze s korekcí na malý výběr; na dlouhých řadách je rozdíl zanedbatelný.

Že trhy normální nejsou, ukázali Mandelbrot (1963) na cenách bavlny a Fama (1965) na akciích. Nejznámější ilustrací je 19. říjen 1987, kdy americký index Dow Jones Industrial Average ztratil za jediný den 22,6 %. Při denní volatilitě kolem 1 %, která odpovídá roční 16 %, šlo o pohyb o více než dvacet směrodatných odchylek. Normální rozdělení mu přisuzuje pravděpodobnost menší než \(10^{-88}\): neměl by nastat ani jednou za celou dobu existence vesmíru.

3.5Propad a návrat

Propad (drawdown) je pokles od předchozího maxima. Po propadu \(d\) je k návratu potřeba zisk \(g\); při ročním výnosu \(r\) trvá návrat \(t\) let:

Po ztrátě 20 % je tedy potřeba zisk 25 %, po 40 % zisk 66,7 %, po 50 % zisk 100 % a po 80 % zisk 400 %. Při 7 % ročně trvá návrat po propadu o polovinu 10,2 roku, po propadu o 80 % 23,8 roku.

Maximální propad (MDD) je největší pokles od vrcholu k následujícímu dnu za sledované období:maximum drawdown (MDD)

\[\text{MDD} = \max_{t}\Big(1 - \frac{V_t}{\max_{u\le t}V_u}\Big).\]

Doplňuje ho doba pod vodou, od vrcholu po návrat na něj, a Calmarův poměr, anualizovaný výnos dělený maximálním propadem, obvykle za posledních 36 měsíců (Young, 1991). Na rozdíl od volatility tyto míry zachycují pořadí výnosů. Řady +15, −15, +15, −15 % a +15, +15, −15, −15 % mají stejnou volatilitu i konečnou hodnotu, ale maximální propad 16,9 %, resp. 27,8 %.time to recovery, Calmar ratio

3.6Hodnota v riziku a očekávaný schodek

Hodnota v riziku (VaR) na hladině spolehlivosti \(c\) za horizont \(T\) je ztráta, kterou portfolio s pravděpodobností \(c\) nepřekročí. Jinak řečeno: v nejhorších \((1-c)\) případech je ztráta aspoň VaR. Odpovídá na otázku, kolik lze ztratit v běžně špatném roce, ne kolik lze ztratit vůbec.value at risk (VaR)

VaR se počítá třemi způsoby:

1. Parametricky (metodou rozptylů a kovariancí): výnos portfolia se považuje za normálně rozdělený a VaR je \(-(\mu - z_c\sigma)V\), kde \(z_{0,95} = 1{,}645\) a \(z_{0,99} = 2{,}326\). Rychlé, ale slepé k tlustým ocasům.parametric (variance–covariance) VaR
2. Historickou simulací: na dnešní portfolio se aplikují skutečné výnosy z minulosti, seřadí se a odečte se příslušný kvantil. Z 500 denních výnosů je VaR na hladině 99 % zhruba pátá nejhorší ztráta. Nepotřebuje předpoklad o rozdělení, ale předpokládá, že minulost obsahuje všechny podstatné scénáře.historical simulation
3. Simulací Monte Carlo: z modelu se vygenerují tisíce scénářů, jako v laboratořích průvodce, a kvantil se odečte ze simulovaného rozdělení. Pružná metoda, ale jen tak dobrá jako model.Monte Carlo simulation

\(V\) je hodnota portfolia a \(\varphi\) hustota normovaného normálního rozdělení. Očekávaný schodek (ES, také CVaR) je průměrná ztráta v případech, kdy je VaR překročen. Odpovídá na otázku, kterou VaR nechává otevřenou: když už je zle, jak moc?expected shortfall (ES), conditional VaR (CVaR)

Pro krátké horizonty se očekávaný výnos obvykle zanedbává a VaR se škáluje odmocninou času. Denní VaR téhož portfolia na hladině 99 % je \(2{,}326\cdot 0{,}09864/\sqrt{252} = 1{,}45\) %, asi 14 500 Kč; desetidenní je \(\sqrt{10}\)krát větší, asi 45 700 Kč. Bankovní regulace tržního rizika dlouho stála na desetidenním VaR na hladině 99 %; nová pravidla basilejského výboru přešla na očekávaný schodek na hladině 97,5 %.

Meze VaR

• VaR nic neříká o velikosti ztráty za hranicí. Dvě portfolia se stejným VaR mohou mít velmi různé ocasy; proto se doplňuje očekávaným schodkem.
• VaR není vždy subaditivní: VaR dvou portfolií dohromady může být větší než součet jejich VaR, takže umí trestat diverzifikaci. Očekávaný schodek tuto vadu nemá, je to koherentní míra rizika (Artzner a kol., 1999).subadditivity, coherent risk measure
• Výsledek závisí na předpokladu o rozdělení a na zvoleném období dat. Klidné období dá nízký VaR těsně před krizí.
• Škálování odmocninou času platí jen pro nezávislé výnosy (oddíl 3.8).

3.7Výnos na jednotku rizika

Výnos bez rizika i riziko bez výnosu jsou poloviční informace. Tři poměry je spojují do jednoho čísla. Sharpeho poměr je nadvýnos nad bezrizikovou sazbou na jednotku celkové volatility (Sharpe, 1966):Sharpe ratio

S hotovostí 2 % jako bezrizikovou sazbou mají modelové akcie \(SR = (7-2)/16 = 0{,}31\), státní dluhopisy \((3{,}5-2)/5 = 0{,}30\) a portfolio 60/30/10 \((5{,}45-2)/9{,}86 = 0{,}35\). Smíšené portfolio má vyšší poměr než každá jeho riziková složka: to je diverzifikace z kapitoly 4 vyjádřená jedním číslem.

Sortinův poměr nahrazuje volatilitu odchylkou pod cílem, která započítává jen výnosy pod minimálním přijatelným výnosem (MAR); investora obvykle netrápí kolísání nahoru (Sortino a van der Meer, 1991):Sortino ratio, downside deviation, minimum acceptable return (MAR)

Pro pětiletý fond z oddílu 3.3 a MAR 2 % leží pod cílem jen roky −12 % a −30 %: \(\sigma_D = \sqrt{(0{,}14^2 + 0{,}32^2)/4} = 17{,}5\) %. Sortinův poměr je \((4{,}6-2)/17{,}5 = 0{,}15\), Sharpeho \((4{,}6-2)/24{,}3 = 0{,}11\). Konvence dělitele se liší, někdy se dělí \(n\).

Royovo kritérium bezpečnosti z oddílu 1.5 vychází z jiné otázky: jak minimalizovat pravděpodobnost, že výnos klesne pod hranici \(R_L\), kterou investor potřebuje (Roy, 1952). Při normálním rozdělení je tato pravděpodobnost \(N(-SF)\), takže stačí zvolit portfolio s nejvyšším poměrem \(SF\). Pro \(R_L = R_f\) splývá se Sharpeho poměrem.Roy's safety-first ratio

3.8Horizont: užší průměr, širší majetek

Volatilita průměrného ročního výnosu klesá s odmocninou délky horizontu: za 25 let je pětkrát menší než za jeden rok. Proto pravděpodobnost ztráty s horizontem klesá. Rozpětí konečného majetku v korunách ale s horizontem roste, protože se složené výnosy násobí. Obojí platí současně.

V lognormálním modelu je logaritmus konečného majetku součtem \(T\) nezávislých ročních logaritmických výnosů, tedy normální se střední hodnotou \(\mu_{\ln}T\) a směrodatnou odchylkou \(\sigma_{\ln}\sqrt{T}\). Pravděpodobnost nominální ztráty je

\[P(W_T \lt W_0) = N\Big(-\frac{\mu_{\ln}\sqrt{T}}{\sigma_{\ln}}\Big).\]

Tab. 3.3 to ukazuje pro akcie (7 %, 16 %, tedy \(\mu_{\ln} = 5{,}66\) % a \(\sigma_{\ln} = 14{,}87\) %) a vklad 100 000 Kč; stejná čísla kreslí laboratoř nahoře.

Volatilita průměrného ročního logaritmického výnosu \(\sigma_{\ln}/\sqrt{T}\); hodnoty v Kč. Modelová čísla, ne předpověď.

Pátý percentil je nejníž kolem pěti let; teprve potom ho průměrný výnos začne vytahovat nad vklad. Rozpětí mezi 5. a 95. percentilem přitom roste z 52 000 Kč po roce na 1,28 mil. Kč po 25 letech.

Odkud se bere daň za kolísání

Konečný majetek roste geometrickým průměrem, tedy podle střední hodnoty logaritmického výnosu. Rozvoj druhého řádu \(\ln(1+R) \approx R - \tfrac12 R^2\) spolu s \(E(R^2) = \sigma^2 + \mu^2\) dává

\[E\big[\ln(1+R)\big] \approx \mu - \tfrac12\sigma^2 - \tfrac12\mu^2,\qquad \bar r_g = e^{E[\ln(1+R)]} - 1 \approx \mu - \tfrac12\sigma^2.\]

Člen \(-\tfrac12\mu^2\) se při převodu zpět z logaritmu zhruba vyruší, protože \(e^x - 1 \approx x + \tfrac12x^2\); zbude polovina rozptylu. Pro 7 % a 16 % dává přibližný vzorec 5,72 %, přesný lognormální model 5,82 %. Daň za kolísání není poplatek, který by někdo inkasoval. Je to důsledek toho, že se ztráta a stejně velký zisk nevyruší: \(1{,}2\cdot 0{,}8 = 0{,}96\).volatility drag

Kdy odmocnina času neplatí

Pravidlo \(\sigma\sqrt{T}\) předpokládá, že výnosy po sobě jdoucích období jsou nezávislé. Při autokorelaci přibývají k rozptylu součtu kovarianční členy. Korelují-li spolu jen sousední období, s korelací \(\rho_1\), platí

\[\sigma_T^2 = \sigma^2\big[T + 2(T-1)\rho_1\big].\]

Kladná autokorelace (setrvačnost, vyhlazené ocenění) dělá dlouhodobé riziko větší, než ukáže odmocnina, záporná (návrat k průměru) menší. Poměr skutečného a „odmocninového“ rozptylu je základem testu náhodné procházky, který navrhli Lo a MacKinlay (1988).autocorrelation, variance ratio

3.9Procvičení

4.1Kovariance a korelace

Kovariance měří, jak se výnosy dvou aktiv pohybují společně. Je kladná, když bývají nad průměrem současně, a záporná, když jedno bývá nad průměrem, zatímco druhé pod ním.covariance

Kovariance má jednotku „procento na druhou“ a těžko se čte. Korelace je kovariance očištěná od volatilit a leží mezi −1 a 1. Hodnota 1 znamená, že výnosy leží přesně na rostoucí přímce, −1 na klesající, 0 že mezi nimi není lineární vztah. V modelu průvodce je korelace akcií a dluhopisů 0,1, takže kovariance je \(0{,}1\cdot 0{,}16\cdot 0{,}05 = 0{,}0008\).correlation coefficient

Z dat se obě veličiny odhadují výběrově, stejně jako rozptyl v kapitole 3: \(s_{AB} = \frac{1}{n-1}\sum_t (r_{A,t}-\bar r_A)(r_{B,t}-\bar r_B)\) a \(r_{AB} = s_{AB}/(s_As_B)\).

Ani 60 měsíčních pozorování nestačí, aby se korelace 0,1 statisticky lišila od nuly (\(t = 0{,}1\sqrt{58}/\sqrt{0{,}99} = 0{,}77\)); významná by byla až korelace kolem 0,25. Odhady korelací jsou nejistější, než se z tabulek zdá.

4.2Rozptyl dvou aktiv

Pro portfolio s váhou \(w\) v aktivu A a \(1-w\) v aktivu B platí (Markowitz, 1952):portfolio variance

Očekávaný výnos je prostý vážený průměr \(E(R_p) = wE(R_A) + (1-w)E(R_B)\), kolísání ale ne: pokud je korelace \(\rho\) menší než 1, je volatilita portfolia menší než vážený průměr volatilit. Při \(\rho = 1\) se mu rovná. Při \(\rho = -1\) jde kolísání dokonce úplně vynulovat, a to vahou \(w = \sigma_B/(\sigma_A+\sigma_B)\); pro modelová aktiva by to bylo 23,8 % akcií.

Portfolio s minimálním rozptylem

Derivace rozptylu podle \(w\) položená rovna nule dává váhu aktiva A v portfoliu s nejmenší možnou volatilitou:minimum-variance portfolio

Pro modelová čísla je \(w^* = (0{,}0025 - 0{,}0008)/(0{,}0256 + 0{,}0025 - 0{,}0016) = 0{,}0017/0{,}0265 = 6{,}4\) % akcií. Takové portfolio má výnos 3,72 % a volatilitu 4,89 %: vyšší výnos i nižší kolísání než samotné dluhopisy (3,5 % a 5 %). Laboratoř, která prochází váhy po jednom procentním bodu, ukazuje 4,9 % při 6 % akcií. Váha \(w^*\) je kladná, jen když \(\rho \lt \sigma_B/\sigma_A\), tady \(0{,}05/0{,}16 = 0{,}31\). Při vyšší korelaci by bylo bez prodeje akcií nakrátko nejméně kolísavé čistě dluhopisové portfolio.

4.3Mnoho aktiv a kovarianční matice

Pro \(n\) aktiv s vahami \(w_i\) se rozptyl portfolia sčítá přes všechny dvojice aktiv:

\(\Sigma\) je kovarianční matice: na diagonále má rozptyly \(\sigma_{ii} = \sigma_i^2\), mimo ni kovariance \(\sigma_{ij} = \rho_{ij}\sigma_i\sigma_j\). Obsahuje \(n\) rozptylů a \(n(n-1)/2\) různých kovariancí: pro 20 akcií 190, pro 100 akcií 4 950, pro 1 000 akcií 499 500. Každou je třeba odhadnout, a to je hlavní praktický důvod pro faktorové modely z oddílu 4.8.covariance matrix

Pro akcie, dluhopisy a hotovost z modelu (hotovost nekorelovaná) a váhy 0,6; 0,3; 0,1 dává

\[\Sigma = \begin{pmatrix}0{,}0256 & 0{,}0008 & 0\\ 0{,}0008 & 0{,}0025 & 0\\ 0 & 0 & 0{,}000025\end{pmatrix},\qquad \mathbf{w}^{\top}\Sigma\,\mathbf{w} = 0{,}009729,\]

tedy volatilitu 9,86 % portfolia z kapitoly 5 (rozepsaný výpočet je v oddílu 3.6).

Pro stejně vážené portfolio (\(w_i = 1/n\)) se vzorec zjednoduší na průměrný rozptyl \(\bar\sigma^2\) a průměrnou kovarianci \(\overline{\text{Cov}}\):

\[\sigma_p^2 = \frac{1}{n}\,\bar\sigma^2 + \Big(1-\frac1n\Big)\overline{\text{Cov}}.\]

Mají-li všechny akcie stejnou volatilitu \(\sigma\) a vzájemnou korelaci \(\rho\), je \(\overline{\text{Cov}} = \rho\sigma^2\) a

První člen (firemní, nesystematické riziko) s počtem akcií mizí. Druhý (tržní, systematické riziko) zůstává: volatilita se blíží \(\sigma\sqrt{\rho}\). S rostoucím \(n\) tedy rozhoduje průměrná kovariance, ne rozptyly jednotlivých akcií. Trh platí prémii jen za systematické riziko, protože nesystematické se dá zadarmo odstranit.systematic and unsystematic risk

4.4Efektivní hranice

Všechna portfolia, která lze z daných aktiv sestavit, tvoří v rovině volatilita–výnos oblast, jejímž levým okrajem je hyperbola. Nejlevější bod je globální portfolio s minimálním rozptylem. Portfolia na horní větvi od tohoto bodu výš, která pro danou volatilitu nabízejí nejvyšší očekávaný výnos, tvoří efektivní hranici. Portfolio pod ní je neefektivní: existuje jiné se stejným rizikem a vyšším výnosem. Kde na hranici stát, už není otázka matematiky, ale toho, kolik kolísání unesete (kapitola 5).global minimum-variance portfolio, efficient frontier

Hranici najde optimalizace, která pro každý cílový výnos \(\mu^*\) hledá váhy s nejmenším rozptylem (Markowitz, 1952):

Pro dvě modelová aktiva je efektivní úsek křivky v laboratoři od 6,4 % akcií (portfolio s minimálním rozptylem) po 100 % akcií. Portfolia s menším podílem akcií, včetně čistě dluhopisového, leží na dolní větvi a jsou neefektivní.

4.5Bezrizikové aktivum a přímka alokace kapitálu

Přidejme bezrizikové aktivum s výnosem \(R_f\) a nulovou volatilitou. Modelová hotovost (2 %, 0,5 %) mu je blízko, a proto ji tak v dalších příkladech bereme. Investor, který dá podíl \(y\) do rizikového portfolia P a \(1-y\) do bezrizikového aktiva, má výnos a riziko

Kombinace leží na přímce, jejímž sklonem je Sharpeho poměr portfolia P (oddíl 3.7). Hodnota \(y \gt 1\) znamená půjčku za \(R_f\) a investici víc než celého majetku.risk-free asset, capital allocation line (CAL)

Nejlepší je přímka s největším sklonem, tedy tečna z bodu \(R_f\) k efektivní hranici. Bod dotyku je tangenciální (optimální rizikové) portfolio. Pro dvě riziková aktiva s kovariancí \(\sigma_{AB}\) má váhu

Každý investor, opatrný i odvážný, maximalizuje sklon téže přímky. Všichni proto drží stejné rizikové portfolio a liší se jen podílem \(y\). To je věta o separaci dvou fondů (Tobin, 1958): volba rizikového portfolia je oddělená od volby míry rizika.tangency (optimal risky) portfolio, two-fund separation

Kolik dát do rizikového portfolia, určuje averze k riziku. Při užitku \(U = E(R) - \tfrac12A\sigma^2\) z oddílu 1.6, kde \(A\) je koeficient averze k riziku, je optimum stejné jako tam pro samotné akcie, jen s tangenciálním portfoliem místo akcií:

Čím vyšší nadvýnos a čím nižší rozptyl rizikového portfolia, tím víc ho investor drží; čím vyšší \(A\), tím méně.risk aversion coefficient, optimal risky share

4.6Přímka kapitálového trhu a CAPM

Mají-li všichni investoři stejná očekávání, drží všichni stejné tangenciální portfolio. Aby se trh vyčistil, musí jím být tržní portfolio, tedy všechna riziková aktiva ve vahách podle tržní hodnoty. Přímka alokace kapitálu přes tržní portfolio je přímka kapitálového trhu (CML):market portfolio, capital market line (CML)

\[E(R_p) = R_f + \frac{E(R_m) - R_f}{\sigma_m}\,\sigma_p.\]

CML platí jen pro efektivní portfolia. U jednotlivého aktiva rozhoduje, kolik přidává k riziku tržního portfolia, a to měří jeho kovariance s trhem. Odtud plyne model oceňování kapitálových aktiv (Sharpe, 1964; Lintner, 1965; Mossin, 1966):capital asset pricing model (CAPM)

Beta měří citlivost aktiva na trh: beta 1,3 znamená, že při tržním výnosu o 1 p. b. vyšším je výnos aktiva v průměru o 1,3 p. b. vyšší. Trh má betu 1, bezrizikové aktivum 0. Vztah bety a požadovaného výnosu je přímka trhu cenných papírů (SML). Na rozdíl od CML platí pro všechna aktiva i neefektivní portfolia. Aktivum s očekávaným výnosem nad ní je podle modelu podhodnocené (kladná alfa), pod ní nadhodnocené.beta, security market line (SML)

Celkový rozptyl aktiva se rozpadá na systematickou a nesystematickou (reziduální) část:

Podíl systematické části \(\beta_i^2\sigma_m^2/\sigma_i^2 = \rho_{im}^2\) je koeficient determinace \(R^2\) regrese výnosů aktiva na výnosy trhu.

CAPM stojí na silných předpokladech: investoři hodnotí portfolia jen podle očekávaného výnosu a rozptylu, mají stejná očekávání a jedno společné období, mohou si neomezeně půjčovat i ukládat za \(R_f\), neexistují daně ani transakční náklady a všechna aktiva jsou obchodovatelná. Empiricky je SML plošší, než model předpovídá: akcie s nízkou betou vynášely víc a s vysokou méně (Black, Jensen a Scholes, 1972), a samotná beta průřez výnosů akcií téměř nevysvětluje (Fama a French, 1992). Roll (1977) navíc upozornil, že skutečné tržní portfolio všech aktiv nelze pozorovat, takže model nejde čistě otestovat.

4.7Výkonnost upravená o riziko

Výnos fondu sám o sobě nic neříká o tom, zda správce přidal hodnotu. Pět standardních ukazatelů se liší tím, jaké riziko berou v úvahu, a tedy i tím, kdy jsou správné.

M² (Modigliani a Modigliani, 1997) převádí Sharpeho poměr na výnos: kolik by portfolio vyneslo, kdyby se pákou nebo hotovostí upravilo na volatilitu trhu. Řadí stejně jako Sharpeho poměr, ale rozdíl \(M^2 - R_m\) je v procentních bodech.M-squared (M²)

Treynorův poměr (Treynor, 1965) a Jensenova alfa (Jensen, 1968) měří výnos za systematické riziko, protože nesystematické se v širším portfoliu vydiverzifikuje. Informační poměr dělí aktivní výnos \(R_p - R_b\) nad srovnávacím indexem (oddíl 8.7) sledovací chybou \(TE = \sigma(R_p - R_b)\): kolik nadvýnosu přinesla jednotka odchýlení od srovnávacího indexu.Treynor ratio, Jensen's alpha, information ratio, benchmark, tracking error

4.8Vícefaktorové modely

CAPM zná jediný zdroj systematického rizika, trh. Arbitrážní teorie oceňování (APT) připouští více zdrojů a odvozuje očekávaný výnos jen z podmínky, že dobře diverzifikovaná portfolia nesmějí nabízet arbitráž (Ross, 1976):arbitrage pricing theory (APT)

\(\beta_{ik}\) je citlivost neboli faktorová expozice aktiva vůči faktoru \(k\) a \(\lambda_k\) riziková prémie faktoru. APT neříká, které faktory to jsou. Mohou být makroekonomické (neočekávaná změna inflace, hospodářského růstu, úvěrových rozpětí), nebo odvozené z vlastností firem.factor exposure (factor beta), factor risk premium

Nejrozšířenější jsou modely Famy a Frenche. Třífaktorový model (1993) přidává k trhu faktor velikosti SMB (malé minus velké firmy) a hodnoty HML (akcie s vysokým minus s nízkým poměrem účetní a tržní hodnoty). Carhart (1997) doplnil momentum, tedy výnos minulých vítězů minus poražených, popsaný Jegadeeshem a Titmanem (1993). Pětifaktorový model (2015) přidává ziskovost RMW (robustní minus slabá) a investice CMA (konzervativně minus agresivně investující firmy):Fama–French three- and five-factor model, size, value, momentum, profitability, investment factors

Koeficienty se odhadují regresí výnosů fondu nebo akcie na výnosy faktorových portfolií. Alfa je pak výnos, který žádný z faktorů nevysvětluje.

4.9Meze diverzifikace

Diverzifikace odstraní firemní riziko, tržní ne: když padá celý trh, padá i dobře diverzifikované portfolio akcií. Kromě toho naráží na dvě praktické meze.

Korelace odhadnutá v klidném období tak podhodnocuje riziko právě ve chvíli, kdy na něm nejvíc záleží. Rozumná odpověď je počítat se zátěžovými scénáři, v nichž korelace rizikových aktiv rostou k jedné, a diverzifikovat mezi zdroji rizika, ne jen mezi tituly: akcie, kvalitní státní dluhopisy, hotovost. Ani korelace akcií a státních dluhopisů není přírodní konstanta; v obdobích vysoké inflace bývala kladná.home bias, correlation breakdown

4.10Procvičení

5.1Investiční zásady: cíle a omezení na papíře

Profesionální správa portfolia začíná dokumentem zvaným investiční zásady (IPS). Popisuje, čeho má portfolio dosáhnout, jaké riziko smí nést a co ho omezuje. Nutí formulovat cíle konkrétně, dává měřítko pro pozdější hodnocení výsledků a v krizi připomíná, proč byla alokace zvolena. Rozhodnutí sepsané v klidu se v panice hájí snáz.investment policy statement (IPS)

Obsahuje:

• klienta a jeho situaci: majetek, příjmy, závazky, rodinu,
• cíle: výnosový a rizikový cíl,
• omezení: horizont, likvidita, daně, právní a regulatorní rámec, zvláštní okolnosti (oddíl 5.3),
• strategickou alokaci s povolenými pásmy odchylek a pravidly rebalancování (kapitola 8),
• odpovědnosti a kontrolu: kdo rozhoduje, jak často se zásady revidují a se kterým srovnávacím indexem se výsledek porovnává.

Výnosový cíl

Rozlišuje se požadovaný výnos portfolia, tedy výnos nutný k dosažení cílů, a vysněný výnos, který by klient rád měl. Do zásad patří první z nich, vyjádřený jako složený (geometrický) roční výnos s jasným určením, zda jde o nominální, nebo reálný výnos a zda je před náklady a daněmi, nebo po nich. Nezaměňujte ho s požadovaným výnosem aktiva z oddílu 1.1: tam jde o výnos, který za riziko žádá trh, zde o výnos, který potřebuje klient.required return, desired return

\(W_0\) je dnešní majetek, \(M\) měsíční vklad (na konci měsíce), \(T\) horizont v letech, \(G\) cílová částka a \(r\) hledaný roční výnos; \(g\) je odpovídající měsíční výnos. Výnos \(r\) se hledá numericky (finanční kalkulačka, tabulkový procesor).

Rizikový cíl

Rizikový cíl se vyjadřuje absolutně (volatilita, nejvyšší přijatelná roční ztráta, pravděpodobnost nesplnění cíle), nebo relativně vůči indexu či závazkům. Soukromému investorovi je nejbližší „špatný rok“ v korunách (oddíl 5.5).return objective, risk objective

5.2Tři pohledy na riziko: ochota, schopnost a potřeba

• Tolerance (psychologická, ochota nést riziko): kolik kolísání snesete, aniž změníte plán. Měří se nejlépe chováním v minulých propadech, ne dotazníkem v klidném trhu.willingness to take risk, risk tolerance
• Kapacita (finanční, schopnost nést riziko): kolik ztráty unese vaše situace, aniž ohrozí cíle. Záleží na horizontu, rezervě, jistotě příjmu a podílu investic na celkovém majetku.ability to take risk, risk capacity
• Potřeba: jaký výnos je nutný k dosažení cílů (oddíl 5.1). Kdo má cíle zajištěné i s nízkým výnosem, nepotřebuje velké riziko podstupovat.need to take risk

Rozumná míra rizika je nejnižší z těchto tří: vysoká tolerance nepomůže, když kapacita chybí, a vysoká kapacita nepomůže, když tolerance při prvním propadu selže. Potřeba pak říká, zda je vůbec nutné k této hranici jít.

Kapacitu lze posoudit poměrně objektivně (oddíl 5.4 přidá lidský kapitál). Tolerance je subjektivní a nestálá; po letech růstu bývá nadhodnocená, po propadu podhodnocená. Pro rozpory mezi nimi platí ustálená pravidla:

• Ochota vyšší než schopnost: rozhoduje schopnost. Klientovi je třeba vysvětlit, proč by vyšší riziko ohrozilo jeho cíle.
• Ochota nižší než schopnost: poradce může klienta vzdělávat (co znamená horizont, jak probíhají propady a návraty), nakonec ale platí nižší ochota. Portfolio, které klient v propadu opustí, je horší než skromnější, které vydrží.
• Potřeba vyšší než ochota i schopnost: řešením není přidat riziko, ale upravit cíle: spořit víc, cíl odložit nebo zmenšit.
• Potřeba nižší než obojí: klient může riziko snížit; vyšší riziko je pak volba, ne nutnost (typicky u peněz pro další generace).

5.3Omezení

• Časový horizont: doba do potřeby peněz. Může být jednostupňový (jeden cíl, třeba bydlení za pět let), nebo vícestupňový, například spoření do 65 let a potom 20–25 let čerpání. Druhý stupeň prodlužuje horizont daleko za den odchodu do důchodu.time horizon, single-stage vs. multistage
• Likvidita: známé výdaje (koupě bytu, studium dětí) a rezerva na nečekané. Peníze potřebné v nejbližších letech do kolísavých aktiv nepatří (riziko nucené prodeje, oddíl 1.5). Omezením je i nelikvidní majetek: kdo má většinu bohatství v nemovitosti nebo ve vlastní firmě, má menší kapacitu nést riziko ve zbytku.liquidity requirements
• Daně: ovlivňují výběr obalu, umístění aktiv a načasování prodejů. V Česku hraje roli časový a hodnotový test (oddíl 10.6).
• Právní a regulatorní rámec: zákonná pravidla pro instituce (penzijní fondy, pojišťovny) a pravidla ochrany investora (níže).
• Zvláštní okolnosti: etické preference, omezení obchodů s akciemi zaměstnavatele, koncentrovaná pozice zděděných akcií, plánované dary.unique circumstances

Vyhodnocení vhodnosti podle MiFID II

V EU je posouzení profilu klienta povinné. Směrnice 2014/65/EU (MiFID II) v čl. 25 odst. 2 ukládá obchodníkovi, který poskytuje investiční poradenství nebo správu portfolia, zjistit tři okruhy informací: znalosti a zkušenosti s daným typem nástroje nebo služby, finanční situaci včetně schopnosti nést ztráty a investiční cíle včetně tolerance k riziku. Doporučit smí jen to, co je pro klienta vhodné. Při poradenství musí neprofesionálnímu klientovi před uskutečněním obchodu předat na trvalém nosiči prohlášení o vhodnosti, které vysvětlí, jak doporučení odpovídá jeho preferencím, cílům a dalším charakteristikám (čl. 25 odst. 6). U služeb bez poradenství se provádí užší test přiměřenosti, který zjišťuje jen znalosti a zkušenosti (čl. 25 odst. 3). V českém právu je povinnost převzata v § 15h zákona č. 256/2004 Sb., o podnikání na kapitálovém trhu.suitability assessment, suitability statement, appropriateness test

Dvojice „schopnost nést ztráty“ a „tolerance k riziku“ v textu směrnice odpovídá kapacitě a toleranci z oddílu 5.2.

5.4Lidský kapitál a ekonomická rozvaha

Finanční portfolio není celý majetek. Pro mladšího člověka je největším aktivem lidský kapitál: současná hodnota budoucích příjmů z práce. K aktivům patří i nárok na státní důchod, k pasivům hypotéka a budoucí spotřeba. Rozvaha, která obsahuje i tyto položky, se nazývá ekonomická rozvaha.human capital, economic balance sheet

\(C_1\) je čistý příjem z práce v příštím roce, \(g\) jeho roční růst, \(N\) počet let do důchodu a \(r\) diskontní sazba. Ta má odrážet nejistotu příjmu: pro jistou mzdu se blíží výnosu státních dluhopisů, pro kolísavý příjem je vyšší. Přesnější verze násobí každý člen pravděpodobností dožití.

Lidský kapitál má vlastní rizikový charakter. Úředník, učitel nebo lékař s jistou mzdou má lidský kapitál podobný dluhopisu: stabilní a málo spjatý s akciovým trhem. Makléř s bonusy, obchodník na provizi nebo podnikatel v cyklickém odvětví má lidský kapitál podobný akciím. Finanční portfolio má doplňovat to, co člověk nese v lidském kapitálu, a protože se lidský kapitál s věkem spotřebovává, mění se i správná alokace (Bodie, Merton a Samuelson, 1992).bond-like vs. equity-like human capital

5.5Strategická alokace a co vlastně vysvětluje

Strategická alokace je dlouhodobé cílové rozdělení mezi třídy aktiv, například 60 % akcií, 30 % dluhopisů a 10 % hotovosti. Odvozuje se z investičních zásad: výnosový cíl říká, kolik rizika je potřeba, rizikový cíl a omezení, kolik je ho možné. Studie skladby výnosů institucionálních portfolií ukazují, že rozdíly v alokaci vysvětlují většinu kolísání výnosů v čase; výběr titulů a načasování mnohem méně.strategic asset allocation (SAA)

Věta o „90 %“ se ale často cituje nepřesně. Odpověď závisí na tom, jakou otázku si položíme:

Brinson, Hood a Beebower (1986): 91 velkých amerických penzijních plánů 1974–1983, v časové řadě 93,6 %. Ibbotson a Kaplan (2000): americké smíšené podílové fondy a penzijní fondy na datech z let 1988–1998, všechny tři otázky.

Vysoké číslo u první otázky je z velké části samozřejmost: portfolia s akciemi stoupají a klesají s trhem. Pro výběr mezi fondy je důležitější druhá otázka a odpověď je skromnější; fondy se liší i výběrem titulů, načasováním a náklady. Třetí říká, že aktivní správa výnos v průměru nepřidala: fondy vydělaly zhruba tolik, kolik by vydělala jejich vlastní strategická alokace v indexech.time-series vs. cross-sectional R²

5.6Jak alokaci sestavit

Optimalizace střední hodnoty a rozptylu

Klasický postup (Markowitz, 1952; kapitola 4) hledá váhy, které maximalizují užitek z oddílu 1.6, tedy očekávaný výnos snížený o penalizaci za rozptyl:mean–variance optimization (MVO)

\(w\) je vektor vah rizikových aktiv (zbytek je v bezrizikovém aktivu s výnosem \(R_f\)), \(\mu\) vektor očekávaných výnosů, \(\Sigma\) kovarianční matice a \(A\) koeficient averze k riziku. Pravá rovnice je řešení bez omezení; v praxi se přidávají omezení: žádné krátké pozice, váhy v pásmech, limity pro nelikvidní aktiva. Slabiny jsou známé:

• Citlivost na vstupy: malá změna očekávaného výnosu přesune velkou část vah, hlavně mezi podobnými aktivy. Chyby v očekávaných výnosech škodí zhruba o řád víc než chyby v rozptylech a kovariancích (Chopra a Ziemba, 1993).
• Rohová řešení: se zákazem krátkých pozic dá optimalizace často nulovou váhu většině tříd aktiv a vše soustředí do několika.corner solutions
• Maximalizace chyb odhadu: optimalizátor nejvíc nakoupí právě to, co má nadhodnocený výnos nebo podhodnocené riziko; Michaud (1989) ho proto nazval „maximalizátorem chyb“.estimation error, error maximization
• Jedno období: model nezná horizont, peněžní toky ani závazky a riziko měří jen rozptylem.

Převzorkování (Michaud, 1998): z odhadnutých parametrů se nasimuluje mnoho alternativních sad vstupů, pro každou se spočítá efektivní hranice a váhy se zprůměrují. Výsledek je diverzifikovanější a v čase stabilnější; kritici namítají, že postup nemá oporu v teorii užitku.resampled efficient frontier

Black-Littermanův model (Black a Litterman, 1992) obrací postup. Nezačíná odhady výnosů, ale vahami tržního portfolia, které považuje za rovnováhu, a reverzní optimalizací z nich dopočítá implikované nadvýnosy:Black–Litterman model, reverse optimization, implied equilibrium returns

\(\Pi\) jsou nadvýnosy, při kterých by optimalizace vrátila právě tržní váhy \(w_{\text{trh}}\) (v literatuře se koeficient značí také \(\lambda\) nebo \(\delta\)). Investor k nim přidá vlastní názory, absolutní („akcie vynesou 6 %“) nebo relativní („A překoná B o 1 p. b.“), každý s mírou jistoty. Model názory s rovnováhou zprůměruje váženě jejich přesností, takže se výsledné váhy od tržních odchýlí jen tam, kde investor názor má, a jen tolik, nakolik si je jistý.

Pro portfolio 60 % akcií a 40 % dluhopisů s modelovými čísly je \(\Sigma w = (0{,}01568;\ 0{,}00148)\), rozptyl \(\sigma_m^2 = 0{,}0100\) a nadvýnos nad hotovostí 3,6 %, takže \(A = 3{,}6\). Implikované nadvýnosy jsou \(3{,}6\cdot 0{,}01568 = 5{,}6\,\%\) pro akcie a \(3{,}6\cdot 0{,}00148 = 0{,}5\,\%\) pro dluhopisy. Kdo drží 60/40, chová se, jako by od dluhopisů čekal jen půl procentního bodu nad hotovostí. Modelových 1,5 p. b. je v řeči modelu „názor“ ve prospěch dluhopisů.

Parita rizika se bez odhadů výnosů obejde úplně: váhy volí tak, aby každá třída aktiv přispívala k riziku portfolia stejně (Maillard, Roncalli a Teïletche, 2010; výpočet v oddílu 5.8).risk parity, equal risk contribution

Alokace vůči závazkům a podle cílů

Penzijní fond nebo pojišťovna neřeší riziko aktiv, ale riziko přebytku \(S = A_{\text{akt}} - L\), tedy aktiv nad závazky. Výnos přebytku vztažený k aktivům je \(R_S = R_A - (L/A_{\text{akt}})\,R_L\) a optimalizuje se jeho rozptyl (Sharpe a Tint, 1990). Dlouhé dluhopisy, které v optimalizaci aktiv vypadají rizikově, jsou vůči dlouhým závazkům nejbezpečnějším aktivem, protože jejich hodnota se se sazbami mění podobně jako hodnota závazků. U jednotlivce je obdobou závazku budoucí spotřeba v důchodu.liability-relative (surplus) approach

Přístup podle cílů rozdělí majetek na dílčí portfolia. Pro každý cíl se stanoví částka, horizont a požadovaná pravděpodobnost úspěchu a zvolí se alokace, která cíl splní s nejmenším dnešním vkladem. Das, Markowitz, Scheid a Statman (2010) ukázali, že takové „mentální účty“ lze sladit s klasickou teorií portfolia; výhodou je, že klient svým portfoliím rozumí.goals-based investing

Lognormální model laboratoře s modelovými čísly; 10. percentil konečné hodnoty. Alokace v pořadí akcie/dluhopisy/hotovost.

Pro tříletý cíl je nejlevnější hotovost, pro desetiletý a dvacetiletý konzervativní mix 30/60/10. Kdyby stačila pravděpodobnost 50 % (medián), vyšla by na dvacet let nejlevněji alokace s 90 % akcií (340 000 Kč). Požadovaná jistota tedy mění alokaci stejně jako horizont.

5.7Alokace podle cílů a životní fáze

Peníze s různým účelem mohou mít různou alokaci: rezerva v hotovosti, peníze na bydlení za pět let konzervativněji, peníze na důchod za třicet let dynamičtěji. S blížícím se cílem se podíl kolísavých aktiv často postupně snižuje (tzv. klouzavá cesta), protože ubývá času na zotavení z propadu a lidský kapitál se přelévá do finančního (oddíl 5.4).glide path

Na klouzavé cestě stojí fondy s cílovým datem: podíl akcií se podle předem daného plánu snižuje k roku cíle. Cesta „do“ data dosáhne nejnižšího podílu akcií v den cíle, cesta „přes“ datum ho snižuje i během čerpání, které trvá desítky let.target-date fund, “to” vs. “through” glide path

Hlavním důvodem klouzavé cesty je riziko pořadí výnosů (podrobně oddíl 7.6). Bez vkladů a výběrů na pořadí výnosů nezáleží, výnosy se jen násobí. S pravidelnými vklady ale stejný propad ublíží tím víc, čím víc peněz už v portfoliu je, tedy nejvíc těsně před cílem; při čerpání pak propad na začátku nutí prodávat levně.sequence-of-returns risk

5.8Taktická alokace a rozpočet rizika

Taktická alokace je dočasná odchylka od strategické alokace, kterou správce sází na krátkodobé tržní příležitosti. Odchylky se drží v pásmech určených investičními zásadami a hodnotí se vůči strategické alokaci: přidaná hodnota je \(\sum_i (w_i - w_i^{\text{SAA}})\,R_i\). Odchylka +5 p. b. akcií na úkor dluhopisů přidá při výnosu akcií +10 % a dluhopisů +3 % \(0{,}05\cdot(10-3) = 0{,}35\) p. b.; pokud akcie ztratí 10 %, ubere 0,65 p. b. Jde o aktivní sázku, pro kterou platí totéž co pro výběr titulů (kapitola 6, podrobněji oddíl 7.7).tactical asset allocation (TAA)

Kapitálové váhy neříkají, odkud riziko portfolia pochází. Rozpočet rizika rozděluje celkovou volatilitu mezi složky:risk budgeting, marginal and total contribution to risk

\((\Sigma w)_i = \sum_j w_j\sigma_{ij}\) je kovariance aktiva \(i\) s portfoliem. Marginální příspěvek \(MCR_i\) říká, o kolik vzroste volatilita portfolia, když se váha aktiva \(i\) mírně zvýší. Celkový příspěvek \(CR_i\) je jeho podíl na volatilitě v jejích jednotkách a \(CR_i/\sigma_p\) procentní podíl; procentní podíly se sečtou na 100 %.

5.9Procvičení

6.1Obaly

• Podílový fond sdružuje peníze mnoha investorů a správce je investuje podle statutu. Podílové listy se nakupují a prodávají za aktuální hodnotu podílu.mutual fund
• ETF (burzovně obchodovaný fond) je fond, s jehož podíly se obchoduje na burze během dne. Většina ETF sleduje index; v EU jsou běžné fondy podle směrnice UCITS.exchange-traded fund
• Přímé akcie a dluhopisy nemají poplatek správce, ale vyžadují vlastní diverzifikaci a čas; transakční náklady jsou na každý titul zvlášť.

Hodnota podílu je čistá hodnota aktiv na jeden podíl: tržní hodnota aktiv fondu minus jeho závazky (včetně naběhlých poplatků), dělená počtem podílů. Počítá se zpravidla jednou denně z uzavíracích cen.net asset value (NAV)

\[\text{NAV na podíl} = \frac{\text{aktiva} - \text{závazky}}{\text{počet podílů}}\]

Otevřené a uzavřené fondy

Otevřený fond vydává a odkupuje podíly na požádání za NAV (případně upravenou o vstupní či výstupní poplatek). Počet podílů se mění s přílivem a odlivem peněz, a cena se proto od NAV nemůže trvale vzdálit. Uzavřený fond má pevný počet akcií, které se po vydání obchodují jen mezi investory na burze. Cenu tvoří nabídka a poptávka a od NAV se může výrazně lišit: fond se obchoduje s prémií, nebo s diskontem.open-end vs. closed-end fund, premium/discount to NAV

\[\text{prémie (diskont)} = \frac{P - \text{NAV}}{\text{NAV}}\]

Uzavřený fond s NAV 100 Kč a cenou 90 Kč se obchoduje s diskontem 10 %. Kupující získá aktiva levněji, nikdo mu ale nezaručí, že se diskont uzavře; může se i prohloubit. Výhodou uzavřené struktury je, že správce nemusí při odlivu peněz prodávat aktiva, a hodí se proto pro nelikvidní aktiva.

Rámec UCITS

Běžné fondy pro drobné investory v EU jsou fondy podle směrnice 2009/65/ES (česky SKIPCP, subjekty kolektivního investování do převoditelných cenných papírů; v zákoně č. 240/2013 Sb. „standardní fondy“, § 93). Směrnice je v čl. 1 odst. 2 vymezuje jako fondy, jejichž jediným účelem je kolektivně investovat peníze získané od veřejnosti do převoditelných cenných papírů a dalších likvidních aktiv na principu rozložení rizika a jejichž podíly se na žádost podílníka odkupují. Pro ETF je podstatná věta téhož ustanovení: kroky, kterými fond zajišťuje, aby se burzovní cena jeho podílů výrazně neodchylovala od NAV, se považují za rovnocenné odkupování.UCITS

K pravidlům rozložení rizika patří známé „5/10/40“ (čl. 52): do cenných papírů jednoho emitenta smí fond investovat nejvýš 5 % majetku; členský stát může limit zvýšit na 10 %, pozice nad 5 % však smějí dohromady tvořit nejvýš 40 % majetku.5/10/40 rule

6.2ETF zblízka

ETF má dva trhy. Na sekundárním trhu (burze) obchodují investoři mezi sebou za tržní cenu. Na primárním trhu podíly vznikají a zanikají; jednat na něm smějí jen autorizovaní účastníci, obvykle velké banky a obchodníci, a to po velkých blocích, typicky desítkách tisíc podílů.primary vs. secondary market, authorised participant (AP), creation unit

• Vytvoření: účastník dodá fondu koš cenných papírů odpovídající portfoliu (nebo hotovost) a dostane nové podíly ETF.
• Zrušení: účastník vrátí podíly ETF a dostane zpět koš cenných papírů.creation, redemption, in-kind transfer

Tento mechanismus drží cenu poblíž NAV. Je-li ETF dražší než jeho koš, vyplatí se koš koupit, vytvořit podíly a prodat je na burze; nabídka podílů roste a cena klesá. Je-li ETF levnější, vyplatí se podíly koupit, zrušit je a koš prodat. Arbitráž ustane, až rozdíl klesne pod náklady účastníka. Během obchodování se průběžně zveřejňuje orientační NAV, přepočítávaná z aktuálních cen koše.arbitrage, indicative NAV (iNAV)

6.3Replikace, výplata výnosů a přesnost sledování

• Úplná fyzická replikace: fond drží všechny tituly indexu v indexových vahách. Je přesná, ale u indexů s tisíci tituly nákladná.full replication
• Optimalizovaný výběr: fond drží jen část titulů zvolenou tak, aby se charakteristiky (sektory, země, durace, kreditní kvalita) co nejvíc shodovaly s indexem. Je levnější, ale s větší odchylkou.optimised (representative) sampling
• Syntetická replikace: fond drží jiný koš aktiv a s protistranou uzavře swap, ve kterém mu protistrana platí výnos indexu výměnou za výnos koše. Sleduje index přesně i tam, kde je fyzická držba drahá, ale přidává riziko protistrany. U fondu UCITS smí expozice vůči protistraně OTC derivátu činit nejvýš 10 % majetku, je-li protistranou úvěrová instituce, jinak 5 % (čl. 52); v praxi se kryje kolaterálem.synthetic (swap-based) replication, counterparty risk, collateral

Půjčování cenných papírů: fond půjčuje držené tituly za poplatek a proti zajištění. Výnos snižuje náklady fondu, přináší ale riziko, že vypůjčitel tituly nevrátí a zajištění nebude stačit. Podstatné je, jaká část výnosu zůstane fondu a jaká připadne správci či agentovi.securities lending

Akumulační třída dividendy a kupóny reinvestuje uvnitř fondu, distribuční je vyplácí podílníkům. Hrubý výnos je stejný; liší se peněžní tok, pohodlí reinvestice a daňové zacházení (kapitola 10).accumulating vs. distributing share class

Rozdíl výkonnosti a sledovací chyba

\(R_P\) je výnos fondu, \(R_B\) výnos indexu a \(d_t = R_{P,t} - R_{B,t}\) rozdíl v období \(t\). Rozdíl výkonnosti (TD) říká, o kolik fond za období za indexem zaostal nebo ho předstihl. Jeho dlouhodobý průměr je skutečná cena za držení fondu a od TER se liší: výnos z půjčování ho zlepšuje, transakční náklady, daně z dividend a hotovost ve fondu zhoršují. Sledovací chyba (TE) je směrodatná odchylka rozdílů a měří, jak pravidelně fond index kopíruje.tracking difference, tracking error

6.4Indexy

Index je pravidlo: určuje, které tituly do něj patří a s jakou váhou.

• Vážení tržní kapitalizací: váha je úměrná tržní hodnotě firmy. Odpovídá tomu, co drží trh jako celek, a samo se přizpůsobuje cenám, takže vyžaduje málo obchodů. Velkou váhu mají velké firmy, i ty přeceněné.market-capitalisation weighting
• Úprava o volně obchodovatelné akcie: počítá se jen ta část akcií, která je skutečně k dispozici na trhu, bez podílů státu, zakladatelů a strategických vlastníků. Je standardem velkých indexů.free-float adjustment
• Rovné vážení: každý titul má stejnou váhu. Zvyšuje podíl menších firem a vyžaduje pravidelné rebalancování, tedy vyšší obrat a náklady.equal weighting
• Fundamentální vážení: váhy podle tržeb, zisků, dividend nebo účetní hodnoty místo ceny (Arnott, Hsu a Moore, 2005). Odpojuje váhy od ceny, a tím implicitně nadvažuje levnější akcie.fundamental weighting

Rekonstituce mění složení indexu (zařazení a vyřazení titulů), rebalancování jeho váhy. Obojí probíhá v pevných termínech a vyvolává obchody fondů, které index sledují. Protože jsou změny oznámeny předem, mohou je ostatní obchodníci předběhnout; náklad nesou investoři indexových fondů a projeví se v rozdílu výkonnosti.index reconstitution, rebalancing

Chytrá beta jsou pravidlové indexy, které se od tržního vážení systematicky odchylují ve prospěch faktorů spojovaných s rizikovou prémií nebo tržní anomálií: hodnota, velikost, momentum, nízká volatilita, kvalita (Fama a French, 1993). Jsou pasivní v provedení (pravidlo je pevné), ale aktivní v obsahu (sázejí na odlišnost od trhu), a proto se hodnotí metodami z oddílu 6.5.smart beta, factor investing

6.5Pasivní a aktivní správa

Pasivní fond sleduje index za nízký poplatek. Aktivní fond se snaží index porazit výběrem titulů a načasováním, za vyšší poplatek. Dlouhodobé srovnávací studie (např. pravidelné zprávy S&P SPIVA) opakovaně ukazují, že většina aktivních fondů za delší období po nákladech za svým indexem zaostane. Výjimky existují, ale předem se poznají obtížně.passive vs. active management

Aritmetika aktivní správy

Sharpe (1991) ukázal, že tento výsledek neplyne jen z empirie, ale z účetnictví. Trh tvoří pasivní investoři, kteří drží tržní portfolio, a aktivní, kteří drží cokoli jiného. Pasivní mají před náklady přesně tržní výnos. Protože obě skupiny dohromady drží celý trh, mají i aktivní v průměru (váženém majetkem) před náklady tržní výnos. Aktivní správa ale stojí víc, takže po nákladech musí průměrná aktivně spravovaná koruna zaostat za průměrnou pasivně spravovanou. Před náklady je to hra s nulovým součtem, po nich se záporným.arithmetic of active management

Aktivní výnos, aktivní riziko a informační poměr

Aktivní výnos \(R_A\) je výnos nad srovnávacím indexem, aktivní riziko \(\sigma_A\) jeho kolísání; matematicky je to sledovací chyba z oddílu 6.3, u aktivního fondu ovšem záměrná. Informační poměr (oddíl 4.7) měří aktivní výnos na jednotku aktivního rizika, obdobně jako Sharpeho poměr (oddíl 3.7) měří nadvýnos na jednotku volatility. Hodnotu kolem 0,5 považují Grinold a Kahn (2000) za dobrou, kolem 1 za výjimečnou.active return, active risk, information ratio

\(IC\) (informační koeficient) je korelace mezi předpověďmi správce a skutečnými výsledky, tedy míra jeho dovednosti. \(BR\) (šíře) je počet nezávislých sázek za rok. Zákon formuloval Grinold (1989): dovednost se násobí odmocninou z počtu příležitostí ji uplatnit. Rozšířená verze přidává transferový koeficient \(TC\), který měří, nakolik omezení (zákaz krátkých pozic, limity vah) dovolí názory převést do portfolia: \(IR \approx TC\cdot IC\cdot\sqrt{BR}\) (Clarke, de Silva a Thorley, 2002).fundamental law of active management, information coefficient, breadth, transfer coefficient

Dovednost, nebo štěstí

Statistika \(t = IR\cdot\sqrt{T}\) říká, zda je průměrný aktivní výnos za \(T\) let statisticky odlišný od nuly. Pro hladinu zhruba 5 % (\(t \approx 2\)) je potřeba \(T = (2/IR)^2\) let: při \(IR = 0{,}5\) 16 let, při 0,3 asi 44 let a při 0,125 z příkladu 256 let. Dovednost se tedy z výsledků prokazuje velmi pomalu. Pomoci nemusí ani stálost výkonnosti: Carhart (1997) zjistil, že velkou část stálosti výsledků amerických akciových fondů vysvětlují společné faktory (zejména momentum) a náklady; výrazněji přetrvávají jen nejhorší výsledky.performance persistence, skill vs. luck

6.6Druhy nákladů

• Vstupní a výstupní poplatek: procento z vkladu nebo výběru, jednorázově.
• Průběžné náklady (TER, ongoing charges): roční procento z majetku, strhávané průběžně z hodnoty fondu.total expense ratio, ongoing charges
• Transakční náklady: poplatky za obchod, rozpětí mezi nákupní a prodejní cenou (spread).
• Měnová konverze: kurzová přirážka při nákupu v cizí měně.
• Poplatky za vedení účtu, správu, úschovu.
• Daně (kapitola 10).

Náklady lze také dělit na explicitní, které jsou vidět na výpisu (poplatky, provize, TER), a implicitní, které se projeví jen horší cenou nebo nižším výnosem:explicit vs. implicit costs

• Spread: kupuje se za prodejní cenu (ask), prodává za nákupní (bid). Při kotaci 99,90/100,10 Kč je spread 0,20 Kč, tedy 0,2 % středové ceny; jedna cesta stojí polovinu, 0,1 %.bid–ask spread, half-spread
• Dopad na trh: velký příkaz posune cenu proti sobě. Roste s velikostí příkazu vůči běžnému obratu a s volatilitou.market impact
• Zpoždění a ušlá příležitost: cena se pohne dřív, než je obchod proveden, nebo se obchod neprovede vůbec.delay cost, opportunity cost
• Brzda hotovosti: fond drží část majetku v hotovosti kvůli odkupům. Při 3 % v hotovosti s výnosem 2 % a akciích s výnosem 7 % to stojí \(0{,}03\cdot(7-2) = 0{,}15\) p. b. ročně.cash drag
• Daňová brzda: daně uvnitř fondu nebo z vyplácených výnosů snižují složený výnos. Modelově: srážková daň 15 % z dividendového výnosu 2 % ubere 0,3 p. b. ročně.tax drag

Souhrnným měřítkem explicitních i implicitních nákladů obchodování je implementační ztráta (Perold, 1988): rozdíl mezi výnosem papírového portfolia, které by se celé zobchodovalo za rozhodovací cenu bez nákladů, a výnosem skutečného portfolia.implementation shortfall

6.7Celkové náklady v korunách

TER a průběžné náklady vyjadřují roční provozní náklady fondu v procentech průměrného majetku: odměnu správce a depozitáře, audit, administrativu. Zpravidla nezahrnují transakční náklady fondu, výkonnostní poplatky ani vstupní a výstupní poplatky; ty je třeba přičíst zvlášť.

Sdělení klíčových informací

Pro investiční produkty pro drobné investory, od 1. 1. 2023 včetně fondů UCITS, předepisuje nařízení (EU) č. 1286/2014 (PRIIPs) sdělení klíčových informací: dokument o nejvýše třech stranách A4, který tvůrce produktu zveřejní a prodejce bezplatně předá investorovi dříve, než se zaváže. Oddíl o nákladech musí podle čl. 8 odst. 3 písm. f) ukázat přímé i nepřímé, jednorázové i průběžné náklady souhrnnými ukazateli a celkové náklady v penězích i v procentech, aby byl vidět jejich složený účinek. Nařízení Komise v přenesené pravomoci (EU) 2017/653 ve znění nařízení (EU) 2021/2268 k tomu předepisuje dvě tabulky:key information document (KID), PRIIPs

• náklady v čase: celkové náklady v penězích a v procentech pro modelovou investici (10 000 EUR, u pravidelného investování 1 000 EUR ročně) při odkupu po roce a na konci doporučené doby držení; procentní ukazatel je snížení výnosu, tedy o kolik procentních bodů ročně náklady sníží výnos,costs over time, reduction in yield (RIY)
• skladba nákladů: jednorázové náklady (vstupní a výstupní), průběžné náklady (poplatky za správu a jiné provozní náklady, zvlášť transakční náklady portfolia) a vedlejší náklady (výkonnostní poplatky, podíl správce na zisku).composition of costs

Snížení výnosu převádí jednorázové i průběžné náklady na jedno roční číslo pro zvolenou dobu držení, a dovoluje tak srovnat produkty s různou skladbou poplatků.

6.8Procvičení

7.1Pravidelné investování z příjmu

Většina lidí investuje pravidelně, protože peníze přicházejí s výplatou. To není strategie, ale nutnost – a dobrá: pravidelný nákup za stejnou částku automaticky kupuje víc kusů, když je cena nízko, a méně, když je vysoko. Tomuto postupu se říká průměrování nákladů.dollar-cost averaging (DCA)

Termín se používá ve dvou významech, které je dobré nesplést. První je investování z průběžného příjmu: peníze, které přijdou až za rok, dnes investovat nelze, takže jiná možnost ani neexistuje. Druhý je postupné investování částky, kterou už máte. Tam alternativa existuje (investovat hned) a závěry jsou jiné; věnuje se jim oddíl 7.2.

Při nákupech za stejnou částku \(I\) v \(n\) termínech za ceny \(P_1,\dots,P_n\) koupíte celkem \(\sum_t I/P_t\) kusů. Průměrná nákupní cena kusu je

Průměrná nákupní cena je tedy harmonickým průměrem \(H\) cen a ten je vždy nižší nebo roven aritmetickému průměru \(\bar P\). Rovnost nastane jen tehdy, když jsou všechny ceny stejné. Rozdíl roste s kolísáním cen; přibližně platí \(H \approx \bar P\,(1 - s^2/\bar P^2)\), kde \(s^2\) je rozptyl cen (populační, dělený \(n\)).harmonic mean

U investování z příjmu tato otázka nevzniká, protože jinou možnost nemáte. Pravidelný nákup je proto přirozený způsob, jak investovat z výplaty, a zároveň pravidlo, které nevyžaduje žádné další rozhodování.

7.2Volná částka: hned, nebo postupně?

U částky, kterou už máte, rozhoduje očekávaný výnos. Pokud aktivum v průměru roste rychleji než hotovost, investice celé částky hned vychází v průměru lépe, a to ve většině průběhů. Postupný vstup znamená, že část peněz čeká v hotovosti, a každá čekající koruna přichází o rozdíl mezi očekávaným výnosem aktiva \(\mu\) a úrokem z hotovosti \(r\).lump-sum investing

\(K\) je počet měsíčních nákupů a \(\bar\tau\) průměrná doba, kterou koruna stráví v hotovosti: první dvanáctina nečeká vůbec, poslední jedenáct měsíců, v průměru 5,5 měsíce. Vzorec ignoruje složené úročení, proto u delších období náskok mírně podhodnocuje.

Historické studie pro různé trhy uvádějí kolem dvou třetin. Shtekhman, Tasopoulos a Wimmer (2012) porovnali jednorázovou investici do portfolia 60 % akcií a 40 % dluhopisů s dvanáctiměsíčním postupným vstupem v klouzavých desetiletých obdobích. Jednorázová investice vedla v USA (1926–2011) v 67 % období, ve Spojeném království (1976–2011) také v 67 % a v Austrálii (1984–2011) v 66 %. V USA skončila v průměru o 2,3 % výš a při rozložení do 36 měsíců vedla zhruba v 90 % období. Rozdíl proti laboratoři plyne z jiných předpokladů (portfolio 60/40, historické místo modelových výnosů); obě čísla říkají totéž.

Co postupný vstup dělá s rizikem

Postupný vstup je v podstatě dočasně nižší váha akcií: během roku je v akciích v průměru jen 54 % částky (6,5 dvanáctiny). Výsledek po roce proto kolísá méně než u jednorázové investice. Stejného snížení rizika ale jde dosáhnout lépe – rovnou zvolit nižší váhu akcií. Označme \(e_t\) podíl částky investovaný v měsíci \(t\) a \(\sigma_m = \sigma/\sqrt{12}\) měsíční volatilitu. Při nezávislých výnosech přibližně platí

\[E[\text{výnos}] - r \approx (\mu_m - r_m)\sum_{t=1}^{12} e_t,\qquad \sigma^2_{\text{výsledku}} \approx \sigma_m^2\sum_{t=1}^{12} e_t^2.\]

Pro daný součet \(\sum e_t\), tedy pro daný očekávaný výnos, je součet čtverců nejmenší, když jsou všechna \(e_t\) stejná. Postupný vstup s \(e_t = t/12\) dává směrodatnou odchylku \(\sigma\sqrt{650/1728} = 0{,}61\,\sigma\), stálá váha 54 % jen \(0{,}54\,\sigma\). Tabulka 7.1 to potvrzuje simulací; stálou váhu v ní volíme tak, aby měla přesně stejnou očekávanou hodnotu jako postupný vstup (53 %).

Stálá nižší váha má stejný očekávaný výsledek jako postupný vstup, ale menší kolísání i mírnější špatný scénář. Constantinides (1979) ukázal obecně, že pevně naplánovaný postupný vstup je vždy překonán strategií, která se umí přizpůsobit vývoji během období. Postupný vstup tedy riziko neprodává levně, jen ho odkládá; autoři zmíněné historické studie to shrnuli už názvem: postupný vstup znamená podstoupit riziko později.

7.3Lítost, pravidla a předběžný závazek

Proč je postupný vstup tak oblíbený, když v průměru vychází hůř? Statman (1995) nabízí behaviorální vysvětlení: teorii vyhlídek, averzi k lítosti a potíže se sebeovládáním (všechna tři rozebírá kapitola 9). Teorie lítosti (Loomes a Sugden, 1982) říká, že lidé při rozhodování předjímají, jak se budou cítit, až výsledek porovnají s tím, co by přinesla jiná volba. Kdo investuje celou částku a trh hned klesne o 20 %, má jasné srovnání i jasného viníka. Kdo vstupuje postupně, má vždy „napůl pravdu“: když trh klesá, kupuje levněji, když roste, část už je investovaná.regret aversion

Lítost bývá silnější po činu než po nečinnosti. Proto je odkládání lákavé, a proto je nebezpečné: kdo nemá pravidlo, rozhoduje se znovu každý měsíc a každé rozhodnutí je nová příležitost k odkladu.

Proč psané pravidlo poráží úsudek

• Přesouvá rozhodnutí do klidu. Pravidlo vzniká, když trh nepadá; úsudek se uplatní právě ve chvíli, kdy rozhodují emoce.
• Odstraňuje opakovaná rozhodnutí. Jedno rozhodnutí na začátku místo dvanácti v průběhu roku znamená méně příležitostí k chybě.
• Dá se vyhodnotit. Pravidlo lze zpětně porovnat s výsledkem; dojem, že „teď není vhodná doba“, ne.
• Funguje jako předběžný závazek. Thaler a Benartzi (2004) ukázali na programu, v němž se zaměstnanci předem zavázali spořit část budoucích zvýšení mzdy, že závazek přijatý dopředu výrazně zvýší skutečné spoření.precommitment

U institucí má tuto roli dokument, kterému kapitola 5 říká investiční zásady (IPS): stanoví cíle, omezení, strategickou alokaci, pravidla rebalancování a způsob hodnocení výsledků. Soukromému investorovi stačí jedna stránka se stejnou logikou; pravidlo pro vstup volné částky do ní patří také.

7.4Načasování trhu

Načasování trhu vyžaduje dvě správná rozhodnutí: kdy vystoupit a kdy znovu vstoupit. Nestačí trefit propad; je třeba se vrátit dřív, než trh vystoupá nad úroveň, na které jste prodali. Nejlepší a nejhorší dny na trzích navíc přicházejí často těsně po sobě, v obdobích vysokého kolísání. Kdo zmešká několik nejlepších dní, výrazně sníží dlouhodobý výnos – a ty dny se dají poznat jen zpětně.market timing

Jak přesný musí být časovač

Sharpe (1975) spočítal na amerických datech z let 1929–1972, jak často musí správce, který jednou ročně volí mezi akciemi a pokladničními poukázkami, správně odhadnout, zda bude rok pro akcie dobrý, nebo špatný. I po započtení nákladů na přesuny mu vyšlo, že správce potřebuje přesnost zhruba 74 %, aby porazil pevný mix akcií a poukázek se stejným rizikem. Závěr zní: kdo neumí správně odhadnout aspoň sedm let z deseti, má se časování vzdát. Přepočet na novějších datech (Buzzacchi a Ghezzi, 2021) závěr potvrdil.

Proč je laťka tak vysoko: akcie porážejí hotovost ve většině let. V našem modelu (akcie 7 % a 16 %, hotovost 2 %) je to zhruba 60 % let. Kdo zůstává trvale investovaný, má tedy „pravdu“ v šesti letech z deseti bez jakékoli předpovědi. Časovač musí být lepší než tahle samozřejmost a ještě zaplatit náklady obchodů a případně daně.

Nejlepší a nejhorší dny chodí spolu

Velké pohyby cen nepřicházejí rovnoměrně. Mandelbrot (1963) si všiml, že po velkých změnách následují spíš velké změny a po malých malé. Nejprudší propady i nejprudší vzestupy proto leží ve stejných bouřlivých obdobích, často jen pár dní od sebe, a kdo prodá po propadu, typicky zmešká následné odrazy.volatility clustering

Oblíbené tabulky „co kdybyste zmeškali deset nejlepších dní“ je ale třeba číst střízlivě. Skutečný časovač by nezmeškal jen nejlepší dny; pokud by byl mimo trh v bouřlivém období, vynechal by i část nejhorších. Poctivé poučení zní: nejlepší a nejhorší dny nejde oddělit, a kdo odchází v krizi, sází na to, že trefí i návrat.

7.5Časová diverzifikace

Časová diverzifikace je představa, že riziko akcií s délkou horizontu klesá, protože se dobré a špatné roky vyrovnají. Oddíl 3.8 ukázal, že obě strany sporu mají kus pravdy: volatilita průměrného ročního výnosu klesá s odmocninou horizontu, ale rozpětí konečného majetku v korunách roste. Záleží na tom, jakou míru rizika sledujeme; tabulka 7.2 staví vedle sebe čtyři.time diversification

Bodie (1995) navrhl jako míru rizika cenu, kterou by trh chtěl za pojištění: prodejní opci, která doplní portfolio na hodnotu bezrizikového vkladu. Pro opci s realizační cenou \(S_0e^{rT}\) dává Black-Scholesův model

\(N\) je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení, \(\sigma\) volatilita logaritmických výnosů a \(T\) horizont v letech. Cena s horizontem nikdy neklesá. Kdyby akcie byly v dlouhém horizontu opravdu bezpečnější, pojištění by s délkou horizontu zlevňovalo.

Teoretický základ položil Samuelson (1963) krátkým článkem o omylu velkých čísel. Kolega mu řekl, že jednu sázku, v níž s poloviční šancí vyhraje 200 dolarů, nebo prohraje 100, odmítne, ale sto takových by přijal. Samuelson ukázal, že je to nekonzistentní: zákon velkých čísel stabilizuje průměr na jednu sázku, ne celkovou částku v sázce, která s počtem sázek roste. Kdo by jednu sázku odmítl při jakékoli úrovni majetku, měl by odmítnout i sérii. Samuelson (1969) pak dokázal, že při konstantní relativní averzi k riziku a nezávislých výnosech optimální podíl akcií na horizontu nezávisí.fallacy of large numbers

Horizont by riziko snižoval, kdyby se výnosy vracely k průměru, tedy kdyby po špatných letech s vyšší pravděpodobností přicházela dobrá. Poterba a Summers (1988) a Fama a French (1988) našli v dlouhých řadách náznaky záporné autokorelace víceletých výnosů. Důkaz je ale statisticky slabý, protože nezávislých dlouhých období je v historii málo. Pástor a Stambaugh (2012) navíc ukázali, že z pohledu investora, který nezná přesně ani průměrný výnos, je roční rozptyl akcií na dlouhém horizontu spíš vyšší než na krátkém: nejistota o parametrech se s časem kumuluje.mean reversion

Proč tedy mohou mladí lidé rozumně držet víc akcií? Ne kvůli časové diverzifikaci, ale kvůli lidskému kapitálu (oddíl 5.4). Hodnota budoucích příjmů z práce je u mladého člověka velká a často se chová spíš jako dluhopis; navíc může pružně upravit, kolik a jak dlouho bude pracovat, a díky tomu unést větší investiční riziko (Bodie, Merton a Samuelson, 1992). S věkem lidský kapitál ubývá a s ním i kapacita nést riziko.

7.6Riziko pořadí výnosů

Bez vkladů a výběrů na pořadí výnosů nezáleží, protože násobení je komutativní. Jakmile ale do portfolia peníze přitékají nebo z něj odtékají, rozhoduje i to, kdy přišly dobré a kdy špatné roky. Kapitola 1 to ukázala na dvou letech; tady jde o delší sérii se stejným průměrem. Největší váhu mají výnosy v době, kdy je portfolio největší: na konci spoření a na začátku výběrů.sequence-of-returns risk

Spořitel si tedy má přát špatné roky na začátku, kdo vybírá, na konci. Proti riziku pořadí pomáhá:

• rezerva v hotovosti nebo krátkých dluhopisech na jeden až tři roky výběrů, aby se po propadu nemuselo prodávat,
• pružné výběry: v letech po propadu vybírat méně,
• nižší podíl akcií v letech kolem začátku výběrů (klouzavá cesta z kapitoly 5).

Riziko pořadí zachycuje peněžně vážený výnos z oddílů 3.2 a 8.6: stejné výnosy portfolia, jiný výsledek pro investora.

7.7Taktické odchylky a valuace

Taktická alokace (oddíl 5.8) je záměrná dočasná odchylka od strategické alokace, kterou chce investor využít očekávanou příležitost, například 55 % akcií místo 60 %, protože považuje akcie za drahé. Od načasování trhu se liší mírou a disciplínou: odchylky jsou malé, omezené předem daným pásmem a hodnotí se proti strategické alokaci jako srovnávacímu indexu (oddíly 8.7 a 8.8). Jejich riziko se měří sledovací chybou, tedy směrodatnou odchylkou rozdílu výnosů portfolia a srovnávacího indexu.tactical asset allocation

Nejčastějším podkladem jsou valuace. Kapitola 10 ukazuje, že cyklicky upravené P/E (CAPE) mělo historicky souvislost s výnosy za příštích deset let, ale téměř žádnou s výnosem příštího roku (Campbell a Shiller, 1998). Drahý trh může zdražovat ještě roky. Valuace proto patří do očekávání, ne do načasování: ovlivní, jaký výnos plánovat, kolik spořit a jak velké riziko je potřeba, ale nedává signál ke vstupu a výstupu.

7.8Procvičení

8.1Posun alokace

Bez zásahu podíl aktiva s vyšším výnosem v čase roste. Pokud za období vynese aktivum A výnos \(R_A\) a aktivum B výnos \(R_B\), má A na konci váhu

Portfolio, které začalo na 60 % akcií, může po dlouhém růstu mít 80 % akcií a s tím i vyšší kolísání, než odpovídá původnímu rozhodnutí. V modelu (akcie 7 %, dluhopisy 3,5 %) vychází z očekávaných výnosů po 10 letech 67,7 % akcií a po 30 letech 80,3 %, s mediánovým růstem 65,5 % a 75,1 %. Volatilita portfolia 80/20 je 12,9 % místo 10,0 % u portfolia 60/40. Rebalancování tedy primárně řídí riziko; vyšší výnos není jeho cílem.portfolio drift

8.2Tři dynamické strategie

Perold a Sharpe (1988) ukázali, že způsob rebalancování není technická drobnost, ale volba strategie s vlastním tvarem výplaty. Tři základní strategie popisuje jedna rovnice pro částku v akciích \(E\):

\(A\) je hodnota portfolia, \(F\) spodní hranice, pod kterou hodnota nemá klesnout, a \(m\) násobek. Rozdíl \(A - F\) se nazývá polštář; zbytek portfolia leží v hotovosti.floor, cushion, multiplier

• Kup a drž (\(m = 1\), \(F\) = částka v hotovosti): po nákupu se nic nedělá. Hodnota je lineární funkcí ceny akcií. V rostoucím trhu váha akcií roste, v klesajícím klesá.buy-and-hold
• Konstantní mix (\(F = 0\), \(m = w\), například 0,6): váhy se pravidelně vracejí na cíl, takže po růstu se akcie prodávají a po poklesu kupují. Výplata je konkávní: vítězí v trhu, který kolísá bez trendu, a zaostává v trendu.constant mix
• CPPI (\(F \gt 0\), \(m \gt 1\)): akcie se kupují po růstu a prodávají po poklesu. Výplata je konvexní: vítězí v trendu, prodělává v kolísání. Jednoduchou podobu strategie popsali Black a Jones (1987).constant proportion portfolio insurance (CPPI)

Konstantní mix v kolísajícím trhu sklízí výkyvy, protože systematicky prodává draho a kupuje levně; v trendu ale prodává vítěze příliš brzy. Ekonomicky prodává volatilitu, podobně jako ten, kdo vypisuje opce. CPPI je zrcadlový obraz: kupuje pojištění, platí za ně v kolísání a vydělá na něm v trendu a v propadu. Perold a Sharpe upozorňují, že konvexní a konkávní strategie jsou dvě strany téhož obchodu: kdo kupuje po růstu, potřebuje někoho, kdo mu prodá. Kdyby konvexní strategie používala většina trhu, kolísání by se zesilovalo; v souvislosti s krachem v říjnu 1987 se diskutovalo právě o roli programů pojištění portfolia.

8.3Výnos z diverzifikace

Booth a Fama (1992) ukázali, že složený (geometrický) výnos pravidelně rebalancovaného portfolia je vyšší než vážený průměr složených výnosů jeho složek. Protože geometrický průměr je přibližně aritmetický minus polovina rozptylu (kapitola 3), platí

\(g_p\) a \(g_i\) jsou složené výnosy portfolia a složek, \(w_i\) cílové váhy, \(\sigma_i^2\) rozptyly složek a \(\sigma_p^2\) rozptyl portfolia. Rozdíl vzniká tím, že vážený průměr rozptylů je větší než rozptyl portfolia: daň za kolísání platí portfolio jako celek menší, než kolik by platily jeho části zvlášť. Je tím větší, čím vyšší jsou volatility složek a čím nižší je jejich vzájemná korelace; u aktiv bez kolísání je nulový.diversification return

Výnos z diverzifikace ale neznamená, že rebalancované portfolio v průměru porazí neřízené. Srovnává se s váženým průměrem složek, ne s portfoliem, které se nechá volně posouvat. Neřízené portfolio se posouvá k akciím, tedy k vyššímu očekávanému výnosu a vyššímu riziku. Jeho průměrná konečná hodnota je vyšší (teoreticky \(0{,}6\cdot 1{,}07^{30} + 0{,}4\cdot 1{,}035^{30} = 5{,}69\) proti \(1{,}056^{30} = 5{,}13\)), ale s mnohem širším rozpětím (tabulka 8.2).

Rebalancování v simulaci zlepší medián i špatný konec rozdělení za cenu nejlepších scénářů. Platí to, co ukázal oddíl 8.2: v trendu vyhrává kup a drž, v kolísání konstantní mix.

8.4Pravidla a šířka pásma

• Kalendářní: jednou za rok (nebo pololetí) vrátit váhy na cíl. Jednoduché a snadno kontrolovatelné, ale nereaguje na velké pohyby mezi termíny.calendar rebalancing
• Pásmové: zasáhnout, až se váha odchýlí o víc než zvolené pásmo (koridor), třeba 5 procentních bodů. Reaguje na trh, ale vyžaduje průběžné sledování.percentage-of-portfolio rebalancing, corridor
• Peněžními toky: nové vklady (nebo výběry) směřovat do podváženého (nadváženého) aktiva. Často stačí bez prodejů.cash-flow rebalancing

V praxi se pravidla kombinují: kontrola jednou za čtvrtletí nebo rok, obchod jen tehdy, když je váha mimo pásmo, a přednostně peněžními toky. Při překročení pásma lze váhu vrátit úplně na cíl (nejlepší kontrola rizika), nebo jen na hranici pásma (méně obchodů). Laboratoř nahoře porovnává roční rebalancování s pásmy 5 a 10 p. b.

Jak široké pásmo zvolit, záleží na tom, co stojí obchod a co stojí odchylka od cíle. Tabulka 8.3 shrnuje směr vlivu jednotlivých faktorů (Masters, 2003).

8.5Náklady a daně

Každý prodej může stát poplatek a spread a v Česku může vést ke zdanění, pokud není splněn časový test nebo hodnotový test (kapitola 10). Proto se rebalancování v praxi neprovádí příliš často, přednostně se používají peněžní toky a prodávají se pozice, u kterých je to daňově nejšetrnější.

Dobré pravidlo vyvažuje dvě ztráty: náklady obchodů, které jsou jisté, a ztrátu z odchylky od cílového rizika, která je jen očekávaná. Proto mají zdaňované účty a nelikvidní aktiva širší pásma a proto je rebalancování vklady nejlevnější: nic se neprodává.

8.6Měření výnosu v praxi

Oddíl 3.2 zavedl dvě míry výnosu portfolia s vklady a výběry: časově vážený výnos, který odstraňuje vliv toků a měří práci správce, a peněžně vážený výnos, vnitřní výnosové procento toků investora. Při správě portfolia jde o to, jak je spočítat správně a co z nich vyčíst.

Časově vážený výnos vyžaduje znát hodnotu portfolia v okamžiku každého vkladu a výběru. Období se v těchto okamžicích rozdělí, v každém dílčím období se spočítá výnos a výnosy se řetězí:linking of sub-period returns

\(V_j^{\text{před tokem}}\) je hodnota na konci dílčího období těsně před vkladem nebo výběrem, \(V_{j-1}^{\text{po toku}}\) hodnota na jeho začátku po předchozím toku. Výnosy za dny nebo měsíce se takto spojují do čtvrtletí a let: tři měsíce s výnosy +2 %, −3 % a +4 % dají \(1{,}02\cdot 0{,}97\cdot 1{,}04 - 1 = 2{,}90\,\%\), ne součet 3 %. Výnos za \(n\) let se převádí na roční jako \((1+R)^{1/n} - 1\); výnos za kratší dobu než rok se na roční nepřepočítává, protože by předpokládal, že se zbytek roku zopakuje.

Když hodnoty v okamžicích toků známy nejsou, používá se modifikovaná Dietzova metoda:Modified Dietz method

\(V_0\) a \(V_1\) jsou hodnoty na začátku a na konci období, \(CF_i\) vklady (kladně) a výběry (záporně), tedy z pohledu portfolia, opačně než v rovnici peněžně váženého výnosu v oddílu 3.2, a \(w_i\) podíl období, po který byl tok \(CF_i\) v portfoliu. Jmenovatel je průměrný investovaný kapitál. Metoda je přiblížením peněžně váženého výnosu, ne časově váženého: u malých toků je rozdíl zanedbatelný, u velkého toku v bouřlivém období ne.

Proč se práce správce hodnotí časově váženým výnosem (a proto z něj vycházejí i standardy GIPS) a kdy je správnou mírou peněžně vážený výnos, vysvětluje oddíl 3.2. Pro investora, který chce vědět, kolik vydělaly jeho vlastní peníze, je odpovědí vždy peněžně vážený výnos.

8.7Srovnávací index

Srovnávací index je portfolio, se kterým se výsledek porovnává; rozdíl výnosů portfolia a indexu je aktivní výnos. Aby srovnání mělo smysl, musí index splňovat vlastnosti, které formuloval Bailey (1992) a v ustálené podobě shrnuli Bailey, Richards a Tierney (2007):benchmark, active return

1. Stanovený předem: je znám před začátkem hodnoceného období.specified in advance
2. Vhodný: odpovídá stylu a investičnímu univerzu správce.appropriate
3. Měřitelný: jeho výnos lze spočítat aspoň tak často jako výnos portfolia.measurable
4. Jednoznačný: je jasné, které tituly v něm jsou a s jakými vahami.unambiguous
5. Odrážející současné investiční názory: správce tituly v něm zná a má na ně názor.reflective of current investment opinions
6. Přijatý správcem: správce za něj přebírá odpovědnost a souhlasí, že je měřítkem jeho práce.accountable
7. Investovatelný: lze ho koupit a držet jako pasivní alternativu.investable

Počáteční písmena anglických názvů dávají pomůcku SAMURAI.

Medián skupiny podobných fondů většinu těchto vlastností nesplňuje (Bailey, 1992): není znám předem, nedá se koupit a neúspěšné fondy ze skupiny průběžně mizí. Pro soukromého investora je nejlepším srovnávacím indexem jeho vlastní strategická alokace složená z indexů, například 60 % světového akciového indexu a 40 % dluhopisového indexu, rebalancovaná podle stejného pravidla. Odchylky od ní jsou taktická rozhodnutí a výběr fondů – a ty měří oddíl 8.8.

8.8Přisouzení výkonnosti

Přisouzení výkonnosti rozkládá aktivní výnos na příspěvky jednotlivých rozhodnutí. Pro segmenty \(i\) (třídy aktiv, sektory, země) s vahami \(w_{P,i}\), \(w_{B,i}\) a výnosy \(R_{P,i}\), \(R_{B,i}\) v portfoliu a v indexu je aktivní výnos \(R_P - R_B = \sum_i w_{P,i}R_{P,i} - \sum_i w_{B,i}R_{B,i}\). Brinson a Fachler (1985) ho rozložili na tři efekty:performance attribution

Součet \(\sum_i(A_i + S_i + I_i)\) je přesně aktivní výnos. Alokační efekt odměňuje nadvážení segmentů, kterým se vedlo lépe než indexu jako celku (\(R_{B,i} \gt R_B\)). Efekt výběru měří při vahách indexu, zda tituly zvolené uvnitř segmentu porazily index segmentu. Interakce je zbytek: nadvážení segmentu, ve kterém byl zároveň dobrý výběr.allocation, selection and interaction effects

Rozklad platí pro jedno období. Efekty za více období nelze prostě sečíst, protože se výnosy skládají geometricky; vícedobé přisouzení vyžaduje zvláštní úpravy. U soukromého investora odpovídá alokační efekt odchylkám od vlastní strategické alokace a efekt výběru volbě konkrétních fondů.

8.9Co dalšího patří ke správě

• Evidence: nákupní ceny a data (kvůli časovému testu a výpočtu výnosu), dividendy, poplatky.
• Měření výnosu: u portfolia s vklady a výběry časově váženým výnosem (bez vlivu načasování vkladů) i peněžně váženým výnosem (s ním), jak ukazuje oddíl 8.6.
• Pravidelná kontrola: jednou ročně alokace, náklady, soulad s cíli a horizontem. Častější sledování obvykle vede k častějším a horším rozhodnutím.
• Revize plánu: při změně životní situace (příjem, rodina, horizont), ne při změně nálady na trhu. Změny se zapíší do investičních zásad (kapitola 5), včetně pravidel rebalancování.

8.10Procvičení

9.1Racionální investor a jeho meze

Tradiční finance stojí na modelu racionálního ekonomického člověka: investor má konzistentní preference, nové informace zpracuje správně a vybere variantu s nejvyšším očekávaným užitkem. Behaviorální finance zkoumají, jak se od tohoto modelu odchylují skuteční lidé a zda se jejich odchylky promítají do cen.rational economic man, behavioural finance

Očekávaný užitek

Von Neumann a Morgenstern (1944) ukázali, že pokud preference mezi riskantními variantami splňují čtyři axiomy, lze je popsat funkcí užitku \(u\) a investor se chová, jako by maximalizoval očekávaný užitek:expected utility theory

\(p_i\) je pravděpodobnost výsledku \(x_i\), tedy konečného majetku, a \(u\) rostoucí funkce užitku. Konkávní \(u\) znamená averzi k riziku: jistou částku má investor raději než sázku se stejnou střední hodnotou. Axiomy jsou:

• Úplnost: o každých dvou variantách investor umí říct, kterou má raději, nebo že jsou mu lhostejné.
• Tranzitivita: má-li raději A než B a B než C, má raději A než C.
• Spojitost: je-li A lepší než B a B lepší než C, existuje pravděpodobnost \(p\), při které je mu lhostejné, zda dostane B, nebo loterii „A s pravděpodobností \(p\), jinak C“.
• Nezávislost: přimíchání stejné třetí varianty se stejnou pravděpodobností k oběma možnostem jejich pořadí nezmění.

Allais (1953) ukázal, že lidé axiom nezávislosti soustavně porušují. Jeho úloha převedená na koruny: mezi A (jistý 1 mil. Kč) a B (10 % na 5 mil. Kč, 89 % na 1 mil. Kč, 1 % nic) většina volí A. Mezi C (11 % na 1 mil. Kč, jinak nic) a D (10 % na 5 mil. Kč, jinak nic) většina volí D. Dvojice se liší jen společnou složkou s pravděpodobností 89 %, podle očekávaného užitku proto platí \(A \succ B \iff 0{,}11\,u(1) \gt 0{,}10\,u(5) + 0{,}01\,u(0) \iff C \succ D\). Jistota má pro lidi váhu, kterou teorie nezná.

Bayesovské učení

Racionální investor upravuje odhady podle Bayesovy věty:Bayesian updating, prior, posterior

\(P(H)\) je apriorní pravděpodobnost hypotézy (například „správce fondu je schopný“), \(P(E\mid H)\) pravděpodobnost pozorování \(E\), pokud hypotéza platí, a \(P(H\mid E)\) aposteriorní pravděpodobnost po pozorování. Lidé se od vzorce odchylují oběma směry: nové informace někdy podceňují (konzervatismus), jindy apriorní pravděpodobnost úplně přehlédnou (reprezentativnost, oddíl 9.3).

Omezená racionalita

Simon (1955) namítl, že lidé nemají čas, informace ani výpočetní kapacitu na optimalizaci. Hledají proto řešení, které je „dost dobré“ vzhledem k předem stanovené laťce, a pak hledat přestanou. Tento postup nazval satisficing a celé pojetí omezenou racionalitou.bounded rationality, satisficing

Zjednodušující pravidla (heuristiky) jsou tedy nevyhnutelná a často rozumná. Soustavným chybám, ke kterým vedou, se říká zkreslení. Dělí se na dvě skupiny s různou léčbou:cognitive errors vs emotional biases

• Kognitivní chyby vznikají chybným zpracováním informací nebo chybou v úsudku. Zmírní je vzdělání, lepší informace a postup (oddíly 9.3 a 9.4).
• Emoční zkreslení pramení z pocitů, impulzů a intuice. Vysvětlení je neodstraní, proto se spíš respektují a obcházejí (oddíl 9.5).

9.2Teorie vyhlídek

Kahneman a Tversky (1979) navrhli popisný model rozhodování v riziku: nepopisuje, jak by se lidé rozhodovat měli, ale jak se rozhodují. Kumulativní verze (Tversky a Kahneman, 1992) odstranila technické nedostatky a přinesla odhady parametrů, které se používají dodnes.prospect theory, cumulative prospect theory

Rozhodnutí probíhá ve dvou fázích:

1. Úprava: člověk si volbu zjednoduší. Výsledky zakóduje jako zisky a ztráty vůči referenčnímu bodu (často nákupní cena nebo současný stav), sloučí stejné výsledky, oddělí jistou složku, škrtne, co mají varianty společné, zaokrouhlí pravděpodobnosti a vyřadí zjevně horší varianty. Už tady vzniká závislost na formulaci.editing phase, reference point
2. Hodnocení: každá upravená vyhlídka dostane hodnotu \(V = \sum_i \pi_i\,v(x_i)\), kde \(v\) je hodnotová funkce a \(\pi_i\) rozhodovací váhy. Zvolí se vyhlídka s nejvyšší hodnotou.evaluation phase, value function, decision weights

Argumentem \(x\) je zisk nebo ztráta vůči referenčnímu bodu, ne konečný majetek. Funkce má tři vlastnosti:

• Závislost na referenčním bodu: stejný konečný majetek se hodnotí jinak podle toho, zda k němu člověk dospěl ziskem, nebo ztrátou.
• Klesající citlivost: \(\alpha, \beta \lt 1\), takže funkce je pro zisky konkávní a pro ztráty konvexní. Rozdíl mezi ztrátou 100 a 200 Kč bolí víc než rozdíl mezi 10 100 a 10 200 Kč. Pro zisky z toho plyne averze k riziku, pro ztráty sklon k riziku.
• Averze ke ztrátě: \(\lambda \gt 1\), funkce má v nule zlom a pro ztráty je strmější. Ztráta bolí zhruba dvakrát víc, než těší stejně velký zisk.

Rozhodovací váhy nejsou pravděpodobnosti. Kumulativní verze je odvozuje z funkce vah

\[w(p) = \frac{p^{\gamma}}{\big(p^{\gamma} + (1-p)^{\gamma}\big)^{1/\gamma}},\qquad \gamma = 0{,}61 \text{ pro zisky},\quad \gamma = 0{,}69 \text{ pro ztráty}.\]

Pro zisky vychází \(w(0{,}01) = 0{,}055\), \(w(0{,}5) = 0{,}421\) a \(w(0{,}99) = 0{,}912\): malé pravděpodobnosti lidé přeceňují (jedno procento váží jako pět a půl), velké podceňují. Spolu s tvarem hodnotové funkce to dává čtyři typické postoje k riziku v tabulce 9.1.probability weighting function

Klesající citlivost vysvětluje i efekt odrazu. Volba mezi jistými 500 Kč a šancí 50 % na 1 000 Kč: \(v(500) = 237{,}2\) a \(0{,}5\,v(1\,000) = 218{,}3\), člověk vezme jistotu. Volba mezi jistou ztrátou 500 Kč a šancí 50 % ztratit 1 000 Kč: \(v(-500) = -533{,}7\) a \(0{,}5\,v(-1\,000) = -491{,}1\), člověk vsadí. Stejná struktura, opačné rozhodnutí: v zisku jistota, ve ztrátě hazard.reflection effect

9.3Kognitivní chyby: lpění na přesvědčení

Společné mají to, že lidé se drží jednou vytvořeného názoru déle a pevněji, než odpovídá informacím.belief perseverance biases

• Konzervatismus: nové informace se zapracují pomalu a jen zčásti. Analytik po překvapivě slabých výsledcích sníží odhad zisku jen o část toho, co by odpovídalo; trh pak na zprávy reaguje opožděně.conservatism bias
• Konfirmační zkreslení: vyhledávání a přeceňování informací, které potvrzují dosavadní názor, a přehlížení těch, které mu odporují. Vede k nedostatečné diverzifikaci, typicky ve prospěch akcií zaměstnavatele nebo oblíbené firmy.confirmation bias
• Reprezentativnost: pravděpodobnost se posuzuje podle podobnosti se stereotypem (Tversky a Kahneman, 1974). Má dvě podoby: přehlížení základní četnosti („dobrá firma je dobrá investice“ bez ohledu na to, co už je v ceně) a přehlížení velikosti vzorku (tři dobré roky správce se berou jako důkaz schopností).representativeness: base-rate neglect, sample-size neglect
• Iluze kontroly: přesvědčení, že výsledek ovlivníme víc, než je možné. Vede k častému obchodování a ke koncentraci do pozic, které „máme pod dohledem“.illusion of control
• Zkreslení zpětného pohledu: po události se zdá, že byla předvídatelná („bylo jasné, že bublina praskne“). Posiluje sebedůvěru a brání učit se z chyb.hindsight bias

9.4Kognitivní chyby: zpracování informací

• Ukotvení: odhad začne u výchozího čísla (kotvy) a upraví se od něj nedostatečně. Kotvou bývá číslo, které pro budoucí výnos nic neznamená, typicky nákupní cena, historické maximum nebo první cílová cena analytika. Kdo „prodá, až se cena vrátí na nákupní“, rozhoduje podle kotvy.anchoring and adjustment
• Mentální účetnictví: zacházení s penězi podle „přihrádky“, ze které pocházejí nebo pro kterou jsou určeny, místo podle celkového majetku (Thaler, 1985). Projevy: dividendy se utrácejí, kapitál ne; výhra se investuje riskantněji než výplata; každá pozice se hodnotí zvlášť a korelace mezi nimi se přehlížejí.mental accounting
• Rámování: rozhodnutí závisí na tom, jak je stejný problém popsán (Tversky a Kahneman, 1981). „Úspěch v 90 % případů“ zní lépe než „neúspěch v 10 % případů“. Ve financích se projevuje hlavně úzkým rámováním: investor hodnotí každou pozici a každé období zvlášť místo celého portfolia za celý horizont.framing, narrow framing
• Dostupnost: pravděpodobnost se odhaduje podle toho, jak snadno se vybaví příklady; výrazné, nedávné a mediálně pokryté události se přeceňují. Zvláštním případem je zkreslení nedávností, přisuzování přílišné váhy posledním zkušenostem: po růstu se zdá, že poroste dál, po propadu, že bude padat.availability bias, recency bias

Mentální účetnictví přitom není jen chyba: oddělená rezerva pomáhá dodržet plán. Chybou se stává, když z přihrádek vznikne portfolio, které jako celek nedává smysl (oddíl 9.7).

9.5Emoční zkreslení

Emoční zkreslení nevznikají z chybného výpočtu, ale z pocitů. Proto nezmizí, ani když jim člověk rozumí.loss aversion, overconfidence, self-control, status quo, endowment, regret aversion

• Averze ke ztrátě: ztráty váží víc než stejně velké zisky (oddíl 9.2). Vede k držení ztrátových pozic, k příliš opatrnému portfoliu a paradoxně i k riskování ve snaze ztrátu „dohnat“.
• Přehnaná sebedůvěra: přeceňování vlastních znalostí a schopnosti předvídat. Má dvě podoby: v předpovědi (příliš úzká rozpětí odhadů) a v jistotě (příliš vysoká pravděpodobnost přisouzená vlastnímu úsudku). Posiluje ji sebepřisuzování: úspěchy připisujeme sobě, neúspěchy smůle. Vede k příliš častému obchodování a malé diverzifikaci.overconfidence: prediction, certainty; self-attribution
• Sebekontrola: upřednostnění dnešní spotřeby před budoucími cíli; nedostatečné spoření a pozdější honba za vysokým výnosem na dohnání.
• Zkreslení statu quo: setrvání u současného stavu, i když je změna výhodnější. Portfolio zůstane roky v původní alokaci nebo v hotovosti.
• Efekt vlastnictví: věc, kterou vlastníme, si ceníme výš, než kolik bychom za ni zaplatili. Zděděné nebo zaměstnanecké akcie se drží i tam, kde by je investor nikdy nekoupil.
• Averze k lítosti: vyhýbání se rozhodnutím, kterých bychom mohli litovat. Vede k nečinnosti i ke stádnímu chování, protože chyba udělaná s ostatními bolí méně.

Barber a Odean (2000) sledovali 66 465 domácností s účtem u jednoho amerického brokera v letech 1991–1996. Domácnosti, které obchodovaly nejvíc, vydělaly 11,4 % ročně, zatímco trh 17,9 % a průměrná domácnost 16,4 %. Rozdíl přičetli přehnané sebedůvěře: časté obchody nepřinesly lepší výběr, jen vyšší náklady.

9.6Efekt dispozice a krátkozraká averze ke ztrátě

Efekt dispozice je sklon prodávat ziskové pozice příliš brzy a držet ztrátové příliš dlouho, „dokud se nevrátí“. Shefrin a Statman (1985) ho vysvětlili kombinací teorie vyhlídek, mentálního účetnictví, averze k lítosti a slabé sebekontroly: každá pozice je samostatný účet s referenčním bodem v nákupní ceně. V zisku je investor podle hodnotové funkce averzní k riziku a „jistý“ zisk vybere, ve ztrátě riziko vyhledává a sází na návrat. Prodej se ztrátou by navíc znamenal přiznat chybu.

Odean (1998) efekt změřil na obchodech zhruba 10 000 účtů u amerického brokera. Pro každý den prodeje porovnal podíl realizovaných zisků PGR (prodané ziskové pozice dělené všemi ziskovými pozicemi, prodanými i ponechanými) s obdobně definovaným podílem realizovaných ztrát PLR. Investoři realizovali zhruba 15 % ziskových pozic, ale jen asi 10 % ztrátových. Prodané ziskové akcie přitom v dalších měsících vynášely víc než ponechané ztrátové, takže chování neospravedlňuje ani očekávání návratu. Jen v prosinci se poměr obracel, kvůli daňovému odpočtu ztrát.proportion of gains realized (PGR), proportion of losses realized (PLR)

Krátkozraká averze ke ztrátě

Benartzi a Thaler (1995) spojili averzi ke ztrátě s úzkým rámováním v čase. Kdo portfolio kontroluje často, často vidí ztrátu, a protože ztráty váží víc, jeví se mu akcie méně přitažlivé, než odpovídá jeho horizontu. Tím vysvětlili záhadu akciové prémie (Mehra a Prescott, 1985): v USA v letech 1889–1978 převyšoval průměrný reálný výnos akcií výnos krátkodobých státních cenných papírů zhruba o 6 procentních bodů ročně, což standardní modely s rozumnou averzí k riziku nevysvětlí. Prémie této velikosti podle nich odpovídá parametrům teorie vyhlídek, pokud investoři hodnotí portfolio zhruba jednou ročně.myopic loss aversion, equity premium puzzle

Jádro je vidět už na jediné sázce. Samuelson (1963) popsal kolegu, který odmítl jednu sázku s výhrou 200 a ztrátou 100 dolarů, ale sto takových sázek by přijal (oddíl 7.5). Thaler a kol. (1997) v experimentu ukázali, že lidé, kteří dostávají zprávy o výsledcích častěji, investují do rizikového aktiva méně.

9.7Zkreslení na úrovni trhu

Kdyby byla zkreslení jednotlivců náhodná, vzájemně by se vyrušila, a co by zbylo, opravili by arbitražéři. Behaviorální finance ukazují, že ani jedno neplatí vždy.

Stádní chování a bubliny

Stádní chování znamená dělat to, co dělají ostatní, protože to dělají ostatní: z obavy, že něco zmeškám (FOMO), nebo proto, že chyba v davu bolí méně. Rostoucí ceny přitahují nové kupce, jejichž nákupy ceny dál zvedají, a tato zpětná vazba vzdaluje cenu od hodnoty, dokud nedojde přísun nových peněz. Bubliny provází věrohodný příběh o „nové éře“ a zpětná vazba mezi růstem cen, pozorností médií a přílivem dalších kupců (Shiller, 2000).herding, fear of missing out (FOMO), speculative bubble

Momentum a obrat

Akcie, které za posledních 3–12 měsíců vynesly nejvíc, v dalších 3–12 měsících v průměru překonávaly ty, které vynesly nejméně (Jegadeesh a Titman, 1993). Na horizontu 3–5 let se naopak dřívější poražení vedli lépe než dřívější vítězové (De Bondt a Thaler, 1985). Obvyklé behaviorální vysvětlení: trh na zprávy nejdřív reaguje pomalu (konzervatismus) a později přestřelí (reprezentativnost, stádo).momentum, long-term reversal

Meze arbitráže

Shleifer a Vishny (1997) ukázali, proč arbitráž nemusí chybné ceny opravit:limits to arbitrage

• Fundamentální riziko: dokonalý substitut chybně oceněného aktiva často neexistuje, takže arbitražér nese i riziko zpráv, které cenu posunou.
• Riziko hlukových obchodníků: chybné ocenění se může před nápravou ještě prohloubit (De Long a kol., 1990).
• Náklady a omezení: poplatky, výpůjčka akcií k prodeji naprázdno, kapitálové požadavky.
• Arbitráž s cizími penězi: když se chybné ocenění prohloubí a arbitražér prodělává, klienti stahují peníze právě ve chvíli, kdy je příležitost největší.

Ukázkovým případem jsou akciová „dvojčata“: akcie dvou mateřských společností jednoho koncernu, které si podle smlouvy dělily zisk v pevném poměru, se po léta obchodovaly v jiném poměru, než smlouva určovala (Froot a Dabora, 1999).

Behaviorální portfolio

Shefrin a Statman (2000) popsali, jak lidé portfolia skutečně staví: ne jako jeden celek na efektivní hranici, ale jako pyramidu vrstev, z nichž každá slouží jinému cíli a má vlastní postoj k riziku. Spodní vrstva chrání před chudobou (rezerva, státní dluhopisy), horní sází na zbohatnutí (jednotlivé akcie, spekulace). Korelace mezi vrstvami se přehlížejí.behavioural portfolio theory

9.8Obrana

• Sepsat si pravidla předem (alokace, rebalancování, co udělám při propadu o 20 a 40 %).
• Automatizovat pravidelné investování.
• Kontrolovat portfolio méně často.
• Před každým obchodem si zapsat důvod a později ho zpětně vyhodnotit.

Zmírnit, nebo přizpůsobit

Pompian (2012) navrhuje volit reakci na zkreslení podle dvou otázek: je zkreslení kognitivní, nebo emoční? A jak vysoký je majetek vzhledem k cílům?moderate vs adapt

• Kognitivní chyby se zmírňují: vysvětlení, lepší informace, výpočet a kontrolní postup je umějí opravit.
• Emoční zkreslení se spíš přizpůsobují: alokace se upraví tak, aby ji klient vydržel, i když není teoreticky optimální.
• Majetek určuje, kolik si zkreslení lze dovolit: klient s majetkem vysoko nad potřebami může zkreslení přizpůsobit, protože jeho cíle neohrozí. Klientovi, kterému by zkreslení ohrozilo životní úroveň, je třeba ho zmírňovat, i když je emoční.

Pravidla jako závazek

Písemné investiční zásady (IPS, oddíl 5.1: cíle, horizont, alokace, pásma rebalancování, postup při propadu) fungují jako závazek předem: rozhoduje se v klidu a v krizi se jen vykonává. Podobně působí automatické pravidelné investice nebo programy, v nichž lidé předem souhlasí se zvyšováním spořicí sazby z budoucích přírůstků mzdy (Thaler a Benartzi, 2004).commitment device

Ke každému obchodu patří kontrolní seznam (proč, co už je v ceně, co by mě přesvědčilo, že se mýlím, jak se změní riziko celého portfolia) a deník rozhodnutí s důvodem a očekáváním zapsaným předem. Vyhodnocení podle zápisu, ne podle paměti, je nejúčinnější lék na zkreslení zpětného pohledu i na sebepřisuzování.

Mezera v chování

Výnos fondu nebo trhu je časově vážený, výnos investora peněžně vážený (oddíly 3.2 a 8.6). Když peníze přitékají po růstech a odtékají po propadech, je peněžně vážený výnos nižší. Dichev (2007) spočítal, že peněžně vážený výnos akcií obchodovaných na NYSE a AMEX zaostával v letech 1926–2002 za výnosem „kup a drž“ asi o 1,3 procentního bodu ročně, na trhu NASDAQ v letech 1973–2002 asi o 5,3 bodu. Rozdíl nezpůsobil trh, ale načasování peněz.behaviour gap, dollar-weighted vs time-weighted return

9.9Procvičení

10.1Cena a výnos dluhopisu

Cena dluhopisu je součet diskontovaných budoucích plateb. Pro roční kupón \(c\), nominál \(N\), splatnost \(n\) let a tržní výnos \(y\):

Když tržní výnos vzroste, budoucí platby se diskontují víc a cena klesne. Výnos \(y\), který při dnešní ceně rovnici splní, je výnos do splatnosti, vnitřní výnosové procento dluhopisu. Investor ho skutečně dosáhne, jen když dluhopis drží do splatnosti, emitent nezkrachuje a kupóny lze reinvestovat za stejný výnos.yield to maturity (YTM), reinvestment risk

Je-li kupón roven výnosu, dluhopis stojí nominál (al pari); je-li nižší, stojí méně (pod pari) a část výnosu přinese růst ceny ke splatnosti. Běžný výnos \(cN/P\) měří jen kupón vůči ceně: dluhopis z laboratoře s kupónem 4 % má při výnosu do splatnosti 5 % cenu 922,78 Kč a běžný výnos \(40/922{,}78 = 4{,}33\) %, ne 5 %.current yield, par, discount bond

Čistá a hrubá cena

Mezi dvěma kupóny patří prodávajícímu poměrná část příštího kupónu, alikvótní úrokový výnos (AÚV). Kupující platí hrubou cenu, tedy kotovanou čistou cenu plus AÚV. Kotuje se čistá cena, protože se v den výplaty kupónu nemění skokem.accrued interest, clean price, full (dirty) price

\[\text{AÚV} = c\,N\cdot\frac{\text{dny od posledního kupónu}}{\text{dny v kupónovém období}},\qquad P_{\text{hrubá}} = P_{\text{čistá}} + \text{AÚV}.\]

Dluhopis z laboratoře 73 dní po výplatě kupónu (konvence skutečné dny/365): hrubá cena je \(1\,000\cdot 1{,}04^{73/365} = 1\,007{,}87\) Kč, AÚV \(40\cdot 73/365 = 8{,}00\) Kč a čistá cena 999,87 Kč. I dluhopis s kupónem rovným výnosu má mezi kupóny čistou cenu mírně pod nominálem.

Spotové sazby a forwardy

Výnos do splatnosti diskontuje všechny platby jednou sazbou. Přesnější je diskontovat každou platbu spotovou sazbou \(z_t\) pro její splatnost, tedy výnosem bezkupónového dluhopisu: \(P = \sum_t CF_t/(1+z_t)^t\). Spotové sazby se z kupónových dluhopisů získají postupně, bootstrappingem: z nejkratšího dluhopisu \(z_1\), z dalšího s její pomocí \(z_2\) a tak dál.spot (zero) rate, bootstrapping

Ze dvou spotových sazeb plyne implikovaná forwardová sazba, sazba pro budoucí období, při které vychází stejně investovat najednou na dva roky, nebo na rok a pak znovu na rok:implied forward rate

\(f_{1,1}\) je roční sazba začínající za rok. Obecně \((1+z_{a+b})^{a+b} = (1+z_a)^a\,(1+f_{a,b})^b\).

Proč má křivka svůj tvar

• Čistá očekávání: forwardy jsou nestranné odhady budoucích krátkých sazeb; rostoucí křivka znamená, že trh čeká růst sazeb. V příkladu by čekal za rok sazbu 4,02 %.pure expectations theory
• Preference likvidity: za delší splatnost a vyšší cenové riziko investoři chtějí prémii, takže forwardy převyšují očekávané sazby a křivka roste i při stabilních očekáváních (Hicks, 1939).liquidity preference theory, term premium
• Segmentované trhy: každý úsek křivky má vlastní investory a emitenty (banky krátký, pojišťovny a penzijní fondy dlouhý) a sazby v něm určuje místní nabídka a poptávka (Culbertson, 1957).segmented markets theory
• Preferované stanoviště: investoři mají oblíbenou splatnost, ale za dostatečnou prémii ji opustí (Modigliani a Sutch, 1966).preferred habitat theory

10.2Durace a konvexita

Durace (Macaulayho, v letech) je vážený průměr doby, za kterou přijdou platby; vahou je podíl současné hodnoty platby na ceně (Macaulay, 1938). Modifikovaná durace \(D/(1+y)\) dává přibližnou procentní změnu ceny na jeden procentní bod změny výnosu.Macaulay duration, modified duration

Z modifikované durace se odvozují míry v korunách. Peněžní durace \(D_{\text{mod}}\cdot P\) udává změnu ceny v korunách, vynásobí-li se změnou výnosu, hodnota bazického bodu (PVBP) změna ceny při posunu výnosu o 0,01 p. b., tedy \(D_{\text{mod}}\cdot P\cdot 0{,}0001\). Správci jimi sčítají citlivost celého portfolia.money duration, price value of a basis point (PVBP)

Durace portfolia je přibližně průměrem durací dluhopisů vážených tržní hodnotou. Předpokládá ale paralelní posun křivky; pro změny jejího tvaru (strmění, zplošťování) se počítají parciální durace pro jednotlivé splatnosti.portfolio duration, key rate duration

Durace je lineární odhad zakřivené závislosti ceny na výnosu. Zakřivení měří konvexita, která odhad zpřesní o kvadratický člen:convexity

U dluhopisu bez vložených opcí je konvexní člen vždy kladný: při růstu sazeb cena klesne méně, než říká durace, a při poklesu vzroste víc.

Dlouhé dluhopisy s nízkým kupónem jsou na sazby nejcitlivější; durace bezkupónového dluhopisu se rovná jeho splatnosti. Kdo dluhopis drží do splatnosti a emitent nezkrachuje, dostane zpět nominál; kolísání ceny mezitím je „jen“ na papíře, ale reálně ovlivní hodnotu portfolia.

Efektivní durace

U dluhopisů s vloženou opcí (svolatelných, s právem předčasného splacení) se peněžní toky mění se sazbami a vzorec pro Macaulayho duraci neplatí. Použije se efektivní durace: cena se v oceňovacím modelu přepočte při posunu celé křivky o \(\Delta y\) dolů (\(P_-\)) a nahoru (\(P_+\)), \(D_{\text{ef}} = (P_- - P_+)/(2P_0\,\Delta y)\) a \(C_{\text{ef}} = (P_- + P_+ - 2P_0)/(P_0\,\Delta y^2)\). Pro dluhopis z příkladu a \(\Delta y = 1\) p. b. vyjde \(D_{\text{ef}} = 8{,}13\) a \(C_{\text{ef}} = 80{,}85\), skoro totéž co analyticky. U svolatelného dluhopisu emitent při poklesu sazeb dluhopis splatí, cena nad cenou svolání téměř neroste a konvexita bývá záporná.effective duration, callable bond, negative convexity

10.3Úvěrové riziko

U firemních dluhopisů hrozí, že emitent nezaplatí. Riziko se rozkládá na pravděpodobnost selhání PD (obvykle za rok) a ztrátu při selhání LGD, podíl expozice, který se ztratí; LGD je jedna minus míra výtěžnosti RR.probability of default (PD), loss given default (LGD), recovery rate

Očekávaná roční ztráta v procentech nominálu je \(EL = PD\cdot LGD = PD\cdot(1 - RR)\) (oddíl 2.3). Úvěrový spread, rozdíl mezi výnosem firemního a státního dluhopisu stejné splatnosti, pokrývá víc než očekávanou ztrátu: přidává prémii za nejistotu ztrát (selhání přicházejí hromadně, v recesích) a prémii za horší likviditu. Očekávaný výnos firemního dluhopisu je proto zhruba výnos do splatnosti minus očekávaná ztráta.credit risk premium, liquidity premium

Rating je názor ratingové agentury na úvěrovou kvalitu emitenta, obvykle na stupnici od AAA po D. Stupně BBB− a lepší tvoří investiční stupeň, horší spekulativní (vysoce výnosové dluhopisy). Hranice má praktický význam: mnozí institucionální investoři smějí držet jen investiční stupeň a snížení ratingu pod ni vyvolá nucené prodeje.credit rating, investment grade, high yield

Citlivost ceny na změnu spreadu \(s\) měří spreadová durace; u dluhopisu s pevným kupónem je prakticky rovna modifikované duraci, \(\Delta P/P \approx -D_{\text{spread}}\,\Delta s\).spread duration

10.4Měnové riziko

Výnos v korunách je \((1+r_{\text{aktiva}})(1+r_{\text{kurzu}})-1\). Při výnosu akcií 8 % v dolarech a oslabení dolaru o 6 % je výnos v korunách 1,5 %: \(1{,}08\cdot 0{,}94 - 1 = 1{,}52\) %. Prostý součet by dal 2 %; rozdíl je křížový člen \(0{,}08\cdot(-0{,}06) = -0{,}48\) p. b.

\(R_{FC}\) je výnos aktiva v cizí měně, \(R_{FX}\) změna ceny cizí měny v korunách a \(\rho\) korelace mezi nimi. Kurz přidává tím méně rizika, čím nižší je korelace; při záporné korelaci může riziko i snížit.

Zajištění a krytá úroková parita

Měnové riziko lze zajistit forwardem (zajištěné třídy fondů to dělají za investora). Zajištění ale výnos nenechá beze změny: platí se za ně, nebo se na něm vydělá, přibližně rozdíl úrokových sazeb obou měn. Plyne to z kryté úrokové parity; kdyby neplatila, šlo by bez rizika vydělat půjčkou v jedné měně a uložením ve druhé:covered interest rate parity, currency hedging

\(S\) a \(F\) jsou spotový a roční forwardový kurz v korunách za jednotku cizí měny, \(i_{CZK}\) a \(i_f\) roční sazby. Modelově: při \(S = 25{,}00\) Kč/EUR, \(i_{CZK} = 3{,}5\) % a \(i_{EUR} = 2{,}0\) % je \(F = 25\cdot 1{,}035/1{,}02 = 25{,}368\) Kč a zajištění výnos zvýší zhruba o 1,47 p. b. Zajištěný eurový dluhopis s výnosem 2,5 % pak vynese v korunách \(1{,}025\cdot 25{,}368/25 - 1 = 4{,}01\) %, tedy zhruba českou krátkou sazbu plus zahraniční prémii za splatnost. Je-li cizí sazba vyšší než česká, zajištění naopak stojí.

Nekrytá parita a carry trade

Nekrytá úroková parita tvrdí, že měna s vyšší sazbou v očekávání oslabí právě o úrokový rozdíl, takže nezajištěná investice v obou měnách vynáší stejně. Na krátkých a středních horizontech empiricky neplatí: měny s vyšší sazbou v průměru neoslabovaly tolik, kolik parita předpovídá (Fama, 1984). Na tom stojí carry trade, půjčka v měně s nízkou sazbou a uložení v měně s vysokou. Vydělává pozvolna a ztrácí náhle: v obdobích stresu se měny s vysokou sazbou prudce propadají (Brunnermeier, Nagel a Pedersen, 2008).uncovered interest rate parity, carry trade

10.5Valuace akciového trhu

Cena akcií vůči ziskům (P/E) vypovídá o očekávaném výnosu jen velmi volně. Převrácená hodnota, ziskový výnos \(E/P\), je hrubým odhadem dlouhodobého reálného výnosu: pokud firmy zisk vyplatí, nebo ho reinvestují s výnosem rovným nákladu kapitálu, vynáší akcie reálně právě \(E/P\). Při P/E 25 je to 4 % reálně, s modelovou inflací 2,5 % zhruba \(1{,}04\cdot 1{,}025 - 1 = 6{,}6\) % nominálně.earnings yield

Cyklicky upravené P/E (Shiller, cena vůči průměru reálných zisků za 10 let) mělo historicky souvislost s výnosy za příštích 10 let, ale téměř žádnou s výnosem příštího roku (Campbell a Shiller, 1998). Valuace tedy může ovlivnit očekávání, ne načasování.cyclically adjusted P/E (CAPE)

Gordonův model a implikovaná prémie

\(D_1\) je výplata akcionářům v příštím roce (u celého trhu lépe dividendy i zpětné odkupy), \(r\) požadovaný výnos a \(g\) trvalé tempo růstu výplat, \(r \gt g\) (Gordon, 1959). Druhý tvar čte cenu obráceně: dnešní cena určuje implikovaný očekávaný výnos, a po odečtení bezrizikové sazby implikovanou akciovou rizikovou prémii.Gordon growth model, implied equity risk premium

Grinoldův–Kronerův model

Rozklad Grinolda a Kronera (2002) zavedl oddíl 2.4: očekávaný výnos akcií je dividendový výnos plus růst zisku na akcii (inflace, reálný růst zisků a úbytek počtu akcií díky čistým zpětným odkupům) plus roční změna poměru P/E. Při stálém P/E je to totéž co Gordonův model: výplatní výnos 2,5 % a nominální růst 4,5 % dávají modelových 7,0 %. Rozklad navíc ukazuje, co valuace přidá nebo ubere, když se P/E během horizontu změní: pokles z 20 na 18 za deset let ubere ročně 1,05 p. b. Model dává výnos v měně trhu; korunový investor k němu přičte očekávanou změnu kurzu (oddíl 10.4).Grinold–Kroner model

Fedův model a jeho kritika

Fedův model porovnává ziskový výnos akcií s výnosem desetiletých státních dluhopisů a akcie označí za levné, když je ziskový výnos vyšší. Asness (2003) ukázal jeho slabiny: porovnává reálnou veličinu (zisky rostou s inflací) s nominální (výnos dluhopisu inflaci obsahuje), což je inflační iluze popsaná Modiglianim a Cohnem (1979), a dlouhodobé výnosy akcií předpovídal hůř než samotné P/E. Vysoké sazby nedělají akcie levnějšími, jen zvyšují laťku, kterou musí překonat.Fed model, inflation illusion

10.6Zdanění prodeje a dividend v ČR

Pro fyzickou osobu (cenné papíry mimo obchodní majetek) platí podle zákona o daních z příjmů:

• Časový test: příjem z prodeje cenných papírů držených déle než 3 roky je osvobozený.
• Hodnotový test: pokud úhrn příjmů z prodejů cenných papírů za rok nepřesáhne 100 000 Kč, je osvobozený bez ohledu na dobu držby.
• Limit 40 milionů Kč: v roce 2025 omezoval osvobození podle časového testu; od 1. 1. 2026 se pro cenné papíry zrušil, pro kryptoaktiva zůstává.
• Jinak se zisk daní jako ostatní příjem; ztráty lze započíst jen proti ziskům ze stejného druhu příjmů v daném roce.

Dividendy podléhají dani bez ohledu na dobu držby; u zahraničních dividend se uplatňují smlouvy o zamezení dvojího zdanění. Podrobněji:

• Dividendy z českých zdrojů: vyplácející společnost sráží daň zvláštní sazbou 15 % (§ 36 odst. 2 písm. a) ZDP). Srážkou je daňová povinnost splněna a dividenda se do přiznání zpravidla neuvádí.
• Dividendy ze zahraničí: daní se v daňovém přiznání v hrubé výši, nesnížené o výdaje (§ 8 odst. 4). Lze je zahrnout do samostatného základu daně se sazbou 15 % (§ 8 odst. 8, § 16a); kdo tak učiní, zahrne do něj všechny takové příjmy.
• Zahraniční daň: dvojí zdanění se vylučuje metodou, kterou stanoví smlouva (§ 38f odst. 1). Při prostém zápočtu lze českou daň snížit o daň zaplacenou v zahraničí, nejvýše však o část české daně, která připadá na zahraniční příjem (§ 38f odst. 2). Zaplacenou daň dokládá potvrzení zahraničního správce daně (§ 38f odst. 5).

Úroky a kupóny: úroky z vkladů a kupóny dluhopisů českých emitentů se daní srážkou 15 %, kterou je daňová povinnost splněna. Výnos státních dluhopisů vydaných členským státem EU nebo EHP od 1. 1. 2021 je osvobozený, včetně příjmu z jejich splacení (§ 4 odst. 1 písm. x) ZDP). Podrobně zdanění investic vykládá průvodce Daně investora.

10.7Procvičení