Fyzika

1.1Veličina, jednotka a číselná hodnota

Fyzikální veličina je vlastnost tělesa nebo děje, kterou lze změřit: délka, čas, hmotnost, teplota. Hodnota veličiny je součin čísla a jednotky, \(\ell = 2{,}5\ \text{m}\). Číslo samo nic neznamená; tatáž délka je 250 cm nebo 0,0025 km.physical quantity, unit, numerical value

\(\{X\}\) je číselná hodnota, \([X]\) jednotka. Veličiny dělíme na skalární, které určuje jedno číslo (hmotnost, teplota, energie), a vektorové, u kterých záleží i na směru (posunutí, rychlost, síla). Vektor se značí šipkou nebo tučně, \(\vec F\), a jeho velikost \(F = |\vec F|\).scalar, vector

1.2Soustava SI a sedm definujících konstant

Mezinárodní soustava jednotek SI má sedm základních jednotek: sekundu, metr, kilogram, ampér, kelvin, mol a kandelu. Všechny ostatní jednotky jsou z nich odvozené. Revize schválená 26. Generální konferencí pro váhy a míry v listopadu 2018 a platná od 20. 5. 2019 je definuje nepřímo: stanovila přesné hodnoty sedmi konstant a jednotky z nich vyplývají.International System of Units (SI), defining constants

Metr je tedy vzdálenost, kterou světlo ve vakuu urazí za 1/299 792 458 sekundy; tak je definován už od roku 1983. Kilogram byl do roku 2019 hmotností jediného válce ze slitiny platiny a iridia uloženého v Sèvres u Paříže. Ten se mohl poškodit, ušpinit nebo nepatrně změnit, a s ním by se změnily všechny váhy světa. Dnes se kilogram realizuje měřením přes Planckovu konstantu, například Kibbleovými váhami, které porovnávají mechanický a elektrický výkon.Kibble balance

1.3Předpony a zápis velkých a malých čísel

Ve fyzice se potkáte s čísly od velikosti protonu po velikost vesmíru. Pomáhá vědecký zápis \(a\cdot 10^{n}\) s \(1 \le a \lt 10\) a předpony SI, které nahrazují mocninu tisíce. Od roku 2022 jich je 24, nejnovější jsou ronna (10²⁷), quetta (10³⁰), ronto (10⁻²⁷) a quecto (10⁻³⁰).scientific notation, SI prefixes

1.4Odvozené jednotky, převody a rozměrová analýza

Odvozené jednotky vznikají ze vztahů mezi veličinami. Rychlost je dráha za čas, proto m/s; síla je hmotnost krát zrychlení, proto newton \(\text{N} = \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\); energie je síla krát dráha, proto joule \(\text{J} = \text{N}\cdot\text{m}\). Převod se dělá dosazením jednotek jako čísel:

Podobně kilowatthodina z účtu za elektřinu je \(1\ \text{kWh} = 1000\ \text{W}\cdot 3600\ \text{s} = 3{,}6\ \text{MJ}\) a hustota \(1\ \text{g/cm}^3 = 1000\ \text{kg/m}^3\).

Rozměrová analýza

Obě strany každé rovnice musí mít stejný rozměr. To je silná kontrola výpočtu i způsob, jak odhadnout tvar zákona bez odvození. Na čem může záviset perioda kyvadla \(T\)? Na délce \(\ell\) (m), tíhovém zrychlení \(g\) (m·s⁻²) a hmotnosti \(m\) (kg). Hledáme \(T = C\,\ell^{a} g^{b} m^{c}\):dimensional analysis

Perioda nezávisí na hmotnosti a roste s odmocninou délky. Bezrozměrnou konstantu \(C = 2\pi\) rozměrová analýza neurčí; přinese ji až řešení pohybové rovnice v kapitole 6.

1.5Chyby a nejistoty měření

Žádné měření není dokonalé. Náhodné chyby mají při opakování různou velikost i znaménko (reakční doba, chvění ruky, šum přístroje); opakováním a průměrováním se zmenšují. Systematické chyby posouvají všechna měření stejně (špatně kalibrované pravítko, opožděné stopky, zanedbaný odpor vzduchu); opakováním nezmizí, je třeba je odhalit a opravit.random error, systematic error

Průměr, směrodatná odchylka a nejistota průměru

Změříme-li veličinu \(n\)-krát, nejlepším odhadem je aritmetický průměr \(\bar x\). Rozptyl jednotlivých měření popisuje výběrová směrodatná odchylka \(s\). Průměr je přesnější než jednotlivé měření: jeho standardní nejistota (typu A) klesá s odmocninou z počtu měření.mean, sample standard deviation, standard uncertainty

Nejistoty, které se neurčí statisticky (dělení stupnice, údaj výrobce o přesnosti přístroje), se nazývají typ B. Celková nejistota se z nich skládá odmocninou ze součtu čtverců. Výsledek se zapisuje s jednotkou a s nejistotou zaokrouhlenou na jednu až dvě platné číslice: \(T = (2{,}008 \pm 0{,}004)\ \text{s}\). Postup popisuje mezinárodní příručka GUM (JCGM 100:2008).Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM)

1.6Řád veličiny a Fermiho odhady

Řád veličiny je mocnina deseti ve vědeckém zápisu. Často stačí vědět, zda je výsledek blíž 10³, nebo 10⁶; to rozhodne, zda má smysl počítat dál. Enrico Fermi proslul odhady, které rozložil na několik rozumných kroků. Chyby jednotlivých kroků se zčásti vyruší a výsledek bývá správně na řád.order of magnitude, Fermi estimate

1.7Procvičení

2.1Vztažná soustava, poloha, dráha a posunutí

Pohyb je vždy pohyb vzhledem k něčemu. Vztažná soustava je těleso, vůči kterému polohu měříme, spolu se souřadnicemi a hodinami. Cestující ve vlaku sedí vzhledem k vagonu v klidu, vzhledem k nástupišti se pohybuje.frame of reference

Těleso, jehož rozměry můžeme zanedbat, nahrazujeme hmotným bodem. Jeho poloha je dána souřadnicí \(x\) (v rovině a prostoru polohovým vektorem \(\vec r\)). Posunutí \(\Delta x = x_2 - x_1\) je změna polohy se znaménkem. Dráha \(s\) je délka skutečně proběhnuté trajektorie a nikdy neklesá. Kdo oběhne atletický ovál, urazí dráhu 400 m, ale jeho posunutí je nulové.point mass, position, displacement, distance travelled

2.2Rychlost průměrná a okamžitá

Průměrná rychlost je dráha dělená časem. Okamžitá rychlost je limita, ke které se blíží podíl posunutí a času, když interval zkracujeme. Matematicky je to derivace polohy podle času; v grafu \(x\)–\(t\) je to sklon tečny.average speed, instantaneous velocity

2.3Zrychlení

Zrychlení udává, jak rychle se mění rychlost: \(a = \Delta v/\Delta t\), přesněji \(a = \mathrm{d}v/\mathrm{d}t\). Jednotka m/s² čtěte „metr za sekundu za sekundu“: zrychlení 2 m/s² znamená, že rychlost každou sekundu vzroste o 2 m/s. Záporné zrychlení při kladné rychlosti je brzdění.acceleration

2.4Rovnoměrný a rovnoměrně zrychlený pohyb

Při rovnoměrném pohybu je rychlost stálá a poloha roste lineárně: \(x = x_0 + vt\). Při rovnoměrně zrychleném pohybu je stálé zrychlení:uniform motion, uniformly accelerated motion

Třetí vztah vznikne vyloučením času z prvních dvou a hodí se, když čas neznáme, například u brzdné dráhy.

2.5Volný pád

Ve vakuu padají všechna tělesa se stejným tíhovým zrychlením \(g\). Normální hodnota je \(g_n = 9{,}806\,65\ \text{m/s}^2\), skutečná se mění se zeměpisnou šířkou a nadmořskou výškou (v Praze asi 9,81 m/s²). Galileo Galilei na přelomu 16. a 17. století ukázal, že pád je pohyb rovnoměrně zrychlený; pírko a kladivo dopadly současně při pokusu na Měsíci v roce 1971.free fall, gravitational acceleration

2.6Reakční a brzdná dráha

Zastavovací dráha se skládá z reakční dráhy (auto jede původní rychlostí, než řidič začne brzdit) a brzdné dráhy \(v^2/(2a)\). Reakční dráha roste s rychlostí lineárně, brzdná s druhou mocninou.stopping distance, reaction distance, braking distance

2.7Skládání pohybů a relativní rychlost

Rychlosti se ve vektorovém tvaru sčítají: rychlost lodi vůči břehu je rychlost lodi vůči vodě plus rychlost vody vůči břehu, \(\vec v = \vec v_1 + \vec v_2\). Toto Galileiho skládání rychlostí platí, pokud jsou rychlosti mnohem menší než rychlost světla; jak vypadá skládání obecně, ukáže kapitola 10.relative velocity, Galilean velocity addition

2.8Procvičení

3.1Síla, skládání sil a rovnováha

Síla je vektorová veličina, která popisuje vzájemné působení těles. Má velikost, směr a působiště; jednotkou je newton, \(1\ \text{N} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}^2\). Síly působící na jedno těleso se sčítají vektorově a dávají výslednici. Je-li výslednice nulová (a nulový je i výsledný moment, oddíl 3.7), je těleso v rovnováze.force, newton, resultant, equilibrium

Na jablko v ruce působí dolů tíhová síla asi 1 N a nahoru ruka stejně velkou silou. Výslednice je nulová, jablko je v klidu. Pustíte-li ho, zůstane jen tíhová síla a jablko se rozjede dolů.

3.2První Newtonův zákon: setrvačnost

Zákon setrvačnosti: těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud na ně nepůsobí výsledná síla. Soustavy, ve kterých zákon platí, se nazývají inerciální. Rozjíždějící se autobus inerciální soustavou není: cestující se v něm „sám od sebe“ zakloní, přestože do něj nikdo nestrčil.Newton’s first law, inertia, inertial frame

3.3Druhý Newtonův zákon: síla a zrychlení

Zákon síly: zrychlení tělesa je úměrné výsledné síle a nepřímo úměrné hmotnosti. Hmotnost tu vystupuje jako míra setrvačnosti: čím větší, tím obtížněji se mění rychlost.Newton’s second law

Obecnější tvar s hybností \(\vec p\) platí i pro tělesa s proměnnou hmotností (raketa) a je výchozím bodem kapitoly 4.

3.4Třetí Newtonův zákon: akce a reakce

Zákon akce a reakce: působí-li těleso A na těleso B silou \(\vec F\), působí B na A silou \(-\vec F\), stejně velkou a opačně orientovanou. Obě síly vznikají a zanikají současně a působí na různá tělesa, proto se jejich účinky neruší.Newton’s third law, action and reaction

3.5Tíhová síla a tíha

Tíhová síla \(\vec F_G = m\vec g\) míří svisle dolů. Hmotnost (kg) je vlastnost tělesa a všude stejná; tíha je síla, kterou těleso tlačí na podložku nebo napíná závěs. V klidu se tíha rovná tíhové síle, ve zrychlujícím výtahu ne.weight, mass

3.6Tření

Smykové tření působí proti pohybu po podložce a je přibližně úměrné kolmé tlakové síle \(F_N\). Klidové tření brání rozjezdu; může nabývat libovolné hodnoty až do maxima \(f_0F_N\), a toto maximum bývá větší než smykové tření.kinetic friction, static friction, coefficient of friction

3.7Moment síly, páka a kladka

Otáčivý účinek síly popisuje moment síly \(M = F\,d\), kde \(d\) je rameno, tedy kolmá vzdálenost přímky síly od osy otáčení. Těleso je v rovnováze, když je výslednice sil nulová a součet momentů otáčejících jedním směrem se rovná součtu momentů otáčejících opačně (momentová věta).torque, lever arm

Páka a kladka sílu znásobí, ale práci ne: kde ušetříte sílu, zaplatíte delší dráhou. Pevná kladka jen mění směr síly. Volná kladka nese břemeno na dvou úsecích lana a stačí poloviční síla. Kladkostroj se \(n\) nosnými úseky lana potřebuje sílu \(F = G/n\); břemeno 800 N zvednete se čtyřmi úseky silou 200 N, ale musíte vytáhnout čtyřikrát víc lana.lever, pulley, block and tackle

3.8Tlak a hydrostatika

Tlak je síla působící kolmo na plochu dělená velikostí plochy, jednotka pascal \(1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2\). Stejná síla na malé ploše dává velký tlak: proto řeže nůž a sněžnice nepropadají.pressure, pascal

V kapalině působí tíha sloupce nad daným místem: hydrostatický tlak roste lineárně s hloubkou \(h\) a nezávisí na tvaru nádoby. Deset metrů vody přidá \(998\cdot 9{,}81\cdot 10 = 97\,900\) Pa, téměř jednu atmosféru. Normální atmosférický tlak je \(101\,325\) Pa a odpovídá sloupci vody vysokému 10,3 m.hydrostatic pressure

Pascalův zákon: tlak vyvolaný vnější silou na kapalinu v uzavřené nádobě je ve všech místech stejný. Na tom stojí hydraulický lis a brzdy auta: píst s plochou 2 cm² a píst s plochou 200 cm² mají stejný tlak, síla na velkém pístu je proto stokrát větší.Pascal’s law, hydraulic press

3.9Archimédův zákon a plování

Archimédův zákon: na těleso ponořené do tekutiny působí svisle vzhůru vztlaková síla, která se rovná tíze tekutiny o objemu ponořené části tělesa. Vzniká z rozdílu hydrostatických tlaků: na spodní stěnu tlačí kapalina víc než na horní.Archimedes’ principle, buoyant force

Plné těleso s hustotou \(\rho_t\) plave, když \(\rho_t \lt \rho_k\); ponořená část objemu je pak \(\rho_t/\rho_k\). Při \(\rho_t = \rho_k\) se vznáší, při \(\rho_t \gt \rho_k\) klesá ke dnu.

3.10Procvičení

4.1Mechanická práce

Síla koná práci, když posouvá těleso. Práce je součin složky síly ve směru posunutí a dráhy. Jednotkou je joule, \(1\ \text{J} = 1\ \text{N}\cdot\text{m}\). Síla kolmá k pohybu práci nekoná: tíhová síla na vozík jedoucí po rovině ani dostředivá síla při kruhovém pohybu.work, joule

Pro proměnnou sílu je práce plochou pod grafem \(F(s)\). Pružina s tuhostí \(k\) působí silou \(F = kx\) (Hookův zákon); natažení o \(x\) vyžaduje práci rovnou ploše trojúhelníku \(\tfrac12 kx^2\).Hooke’s law, spring constant

4.2Kinetická energie

Kinetická (pohybová) energie je práce, kterou je třeba vykonat, aby se těleso rozjelo z klidu na rychlost \(v\). Z druhého Newtonova zákona plyne věta o práci a kinetické energii: práce výsledné síly se rovná změně kinetické energie.kinetic energy, work–energy theorem

Odvození pro stálou sílu: \(W = Fs = ma\,s\) a z kinematiky \(as = (v^2 - v_0^2)/2\), tedy \(W = \tfrac12 m v^2 - \tfrac12 m v_0^2\).

4.3Potenciální energie a konzervativní síly

Síla je konzervativní, když práce, kterou vykoná mezi dvěma body, nezávisí na cestě (tíhová síla, síla pružiny, gravitační a elektrostatická síla). Pro takovou sílu lze zavést potenciální energii: práce konzervativní síly se rovná úbytku potenciální energie. Tření konzervativní není: delší cesta znamená víc tepla.conservative force, potential energy

Hladinu \(h = 0\) si volíme sami; fyzikální význam mají jen rozdíly potenciální energie. Obecný tvar pro gravitaci daleko od povrchu, \(E_p = -GMm/r\), odvodí kapitola 5.

4.4Zákon zachování mechanické energie

Působí-li na těleso jen konzervativní síly (nebo síly, které práci nekonají), je součet kinetické a potenciální energie stálý. Působí-li i tření nebo odpor, mechanická energie ubývá a mění se na vnitřní energii (teplo); celková energie izolované soustavy se ale zachovává vždy.conservation of mechanical energy

4.5Výkon a účinnost

Výkon je práce vykonaná za jednotku času, jednotkou je watt, \(1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}\). Pro těleso tažené stálou silou stálou rychlostí je \(P = Fv\). Účinnost je podíl užitečného výkonu a příkonu; vždy je menší než 1.power, watt, efficiency

4.6Hybnost a impuls síly

Hybnost je součin hmotnosti a rychlosti, \(\vec p = m\vec v\), jednotka kg·m/s. Druhý Newtonův zákon v obecném tvaru říká, že síla je rychlost změny hybnosti. Součin síly a doby působení je impuls síly a rovná se změně hybnosti.momentum, impulse

Zákon zachování hybnosti: v izolované soustavě (bez vnějších sil) je celková hybnost stálá. Plyne z třetího Newtonova zákona: vnitřní síly mezi tělesy jsou stejně velké a opačné, jejich impulsy se ruší. Ve vysokoškolské mechanice (kapitola 9) uvidíte hlubší důvod: hybnost se zachovává, protože zákony fyziky jsou všude v prostoru stejné.conservation of momentum

4.7Srážky

Při srážce působí mezi tělesy velké síly po krátkou dobu, vnější síly lze zanedbat a hybnost se zachovává. Kinetická energie se zachovává jen při dokonale pružné srážce. Při dokonale nepružné srážce se tělesa spojí a ztráta kinetické energie je největší možná. Obecný případ popisuje koeficient restituce \(e\), poměr rychlostí vzdalování a přibližování.elastic collision, perfectly inelastic collision, coefficient of restitution

Pro \(e = 1\) dostanete vzorce pružné srážky, pro \(e = 0\) společnou rychlost \(u = (m_1v_1 + m_2v_2)/(m_1 + m_2)\). Pružná srážka stejně hmotných těles s jedním v klidu si rychlosti vymění, jako na kulečníku.

Těžišťová soustava

Těžiště soustavy se pohybuje rychlostí \(v_T = (m_1v_1 + m_2v_2)/(m_1 + m_2)\) a srážka ji nezmění. V soustavě spojené s těžištěm je celková hybnost nulová: tělesa se k sobě blíží, srazí a vzdalují rychlostmi zmenšenými faktorem \(e\). Kinetickou energii lze rozdělit na energii pohybu těžiště, kterou srážka změnit nemůže, a energii relativního pohybu; jen ta druhá se může přeměnit na teplo. Proto se v urychlovačích srážejí svazky proti sobě: energie pohybu těžiště by se pro vznik nových částic nedala využít.

4.8Procvičení

5.1Pohyb v homogenním tíhovém poli

Blízko povrchu Země je tíhové zrychlení \(\vec g\) všude stejné, míří svisle dolů a pole je homogenní. Vodorovný a svislý pohyb jsou nezávislé: vodorovně se těleso pohybuje rovnoměrně, svisle rovnoměrně zrychleně. Pro šikmý vrh rychlostí \(v_0\) pod úhlem \(\alpha\):projectile motion

5.2Odpor prostředí a mezní rychlost

Při rychlostech běžných pro míče a auta roste odpor vzduchu s druhou mocninou rychlosti (Newtonův odpor); pro velmi malá tělesa a pomalý pohyb v kapalině je úměrný rychlosti (Stokesův odpor). Při volném pádu odpor roste, až vyrovná tíhu; těleso pak padá stálou mezní rychlostí.quadratic drag, drag coefficient, terminal velocity

\(C\) je bezrozměrný součinitel odporu (koule kolem 0,5, aerodynamický tvar méně), \(\rho\) hustota vzduchu, \(S\) průřez kolmý ke směru pohybu.

Numerické řešení

S odporem nemají pohybové rovnice jednoduché řešení a počítají se po malých krocích. Nejprostší je Eulerova metoda: z dnešní rychlosti a zrychlení odhadneme polohu a rychlost za krátký čas \(\Delta t\). Přesnější metoda Rungeho–Kutty 4. řádu použitá v laboratoři vyhodnotí zrychlení čtyřikrát za krok a chyba s délkou kroku klesá jako \(\Delta t^4\).Euler method, Runge–Kutta method

// jeden krok Eulerovy metody pro vrh s odporem
v = sqrt(vx*vx + vy*vy)
ax = -k*v*vx;   ay = -g - k*v*vy
x += vx*dt;  y += vy*dt;  vx += ax*dt;  vy += ay*dt

5.3Rovnoměrný pohyb po kružnici

I při stálé velikosti rychlosti se mění její směr, a těleso proto zrychluje. Dostředivé zrychlení míří do středu kružnice. Popis používá úhlovou rychlost \(\omega = 2\pi/T\) a frekvenci \(f = 1/T\).uniform circular motion, centripetal acceleration, angular velocity

Dostředivá síla není nová druh síly. Je to výslednice skutečných sil, které těleso drží na kružnici: tření pneumatik v zatáčce, napětí provázku, gravitace u Měsíce. „Odstředivá síla“ se objeví jen ve výpočtu v otáčející se (neinerciální) soustavě.

5.4Newtonův gravitační zákon

Každá dvě tělesa se přitahují silou úměrnou součinu jejich hmotností a nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti (pro koule vzdálenosti středů). Gravitační konstanta podle CODATA 2022 je \(G = 6{,}674\,30(15)\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\text{kg}^{-2}\); poprvé ji změřil Henry Cavendish torzními vahami v roce 1798.Newton’s law of universal gravitation, gravitational constant

Intenzita gravitačního pole \(K\) je síla na jednotkovou hmotnost; na povrchu Země je to gravitační zrychlení asi 9,82 m/s². Tíhové zrychlení \(g\) je o něco menší, protože od gravitace odečítáme dostředivé zrychlení rotace Země (na rovníku 0,034 m/s²).

5.5Oběžné dráhy a kosmické rychlosti

Na kruhové dráze dodává dostředivou sílu gravitace: \(GMm/r^2 = mv^2/r\). Z toho plyne kruhová rychlost. Těleso uteče z gravitačního pole, když jeho kinetická energie převýší potřebnou práci; to dává únikovou rychlost, \(\sqrt 2\)krát větší.circular orbital velocity, escape velocity

U povrchu Země vychází \(v_k = 7{,}91\) km/s (první kosmická rychlost) a \(v_u = 11{,}19\) km/s (druhá kosmická). Vzorec pro \(T\) je Keplerův třetí zákon pro kruhové dráhy: \(T^2\) je úměrné \(r^3\). Eliptické dráhy, planety a Keplerovy zákony podrobně vykládá průvodce Astronomie.

Výpočet: \(GM\) podle WGS 84; geostacionární dráha má oběžnou dobu rovnou hvězdnému dni 86 164,09 s, z Keplerova zákona \(r = 42\,164\) km.

Gravitační potenciální energie

Daleko od povrchu už \(mgh\) neplatí. Práce potřebná k přenesení tělesa z nekonečna do vzdálenosti \(r\) dává gravitační potenciální energii \(E_p = -GMm/r\) (nulová v nekonečnu, záporná všude jinde). Celková energie tělesa na kruhové dráze je \(E = -GMm/(2r)\).gravitational potential energy

5.6Procvičení

6.1Harmonický oscilátor

Těleso na pružině vychýlené o \(x\) táhne zpět síla \(F = -kx\). Pohybová rovnice \(m\ddot x = -kx\) má řešení, kterému se říká harmonické kmitání: výchylka se mění jako sinus. Amplituda \(A\) je největší výchylka, perioda \(T\) doba jednoho kmitu, frekvence \(f = 1/T\) se měří v hertzech.simple harmonic motion, amplitude, period, frequency

Perioda nezávisí na amplitudě. Energie se přelévá mezi potenciální (v krajních polohách) a kinetickou (při průchodu rovnovážnou polohou), součet je stálý. Harmonický oscilátor je ve fyzice všudypřítomný, protože téměř každá síla je pro malé výchylky z rovnováhy přibližně lineární.

6.2Kyvadlo a velké výchylky

Na matematické kyvadlo délky \(\ell\) působí ve směru pohybu složka tíhy \(-mg\sin\theta\). Pohybová rovnice je \(\ddot\theta = -(g/\ell)\sin\theta\). Pro malé úhly je \(\sin\theta \approx \theta\) (v radiánech) a kyvadlo je harmonický oscilátor:simple pendulum, small-angle approximation

Přesná perioda pro amplitudu \(\theta_0\) vede na eliptický integrál; nejrychleji se počítá přes aritmeticko-geometrický průměr AGM (opakované nahrazování dvojice čísel jejich aritmetickým a geometrickým průměrem). Kyvadlo délky 1 m má v Praze \(T_0 = 2{,}006\) s; „sekundové“ kyvadlo s půlperiodou 1 s je dlouhé \(g/\pi^2 = 0{,}994\) m.

Do 10° je chyba harmonické aproximace pod 0,2 %. Při výchylce blízké 180° se kyvadlo v horní poloze téměř zastaví a perioda roste nade všechny meze.

Fázový diagram

Stav kyvadla v každém okamžiku určují dvě čísla: úhel \(\theta\) a úhlová rychlost \(\dot\theta\). Rovina těchto veličin je fázový prostor. Kývání bez tlumení je uzavřená křivka (u malých kmitů elipsa), protože se stav po periodě opakuje. Při větší energii než \(2mg\ell\) se kyvadlo přetočí přes horní bod a obíhá dokola. Hranice mezi oběma typy pohybu je separatrix. Tlumení mění uzavřené křivky ve spirály, které končí v klidu. Fázový prostor je výchozí pojem Hamiltonovy mechaniky (kapitola 9) i statistické fyziky (kapitola 12).phase space, separatrix

6.3Tlumené a vynucené kmitání, rezonance

Tření a odpor prostředí kmity tlumí: amplituda klesá exponenciálně, \(A(t) = A_0 e^{-\gamma t}\). Působí-li na oscilátor periodická vnější síla s úhlovou frekvencí \(\Omega\), ustálí se vynucené kmitání s frekvencí síly. Jeho amplituda je největší, když se \(\Omega\) blíží vlastní frekvenci \(\omega_0\): nastává rezonance.damped oscillation, forced oscillation, resonance

Činitel jakosti \(Q\) říká, kolikrát je amplituda v rezonanci větší než při velmi pomalém působení síly, a po vypnutí buzení klesne amplituda volných kmitů na \(1/e\) zhruba za \(Q/\pi\) kmitů. Ladička má \(Q\) v řádu tisíců, odpružení auta s tlumičem méně než 1.quality factor

6.4Mechanické vlnění

Vlnění je šíření rozruchu prostředím. U příčného vlnění kmitají částice kolmo ke směru šíření (struna, vlny na vodě přibližně), u podélného ve směru šíření (zvuk ve vzduchu). Vzdálenost dvou nejbližších míst se stejnou fází je vlnová délka \(\lambda\); za jednu periodu postoupí vlna právě o \(\lambda\).transverse wave, longitudinal wave, wavelength

\(k\) je vlnové číslo. Na vysoké škole se ukáže, že každá funkce tvaru \(f(x - vt)\) splňuje vlnovou rovnici \(\partial^2 y/\partial t^2 = v^2\,\partial^2 y/\partial x^2\). Pro strunu s napětím \(F\) a délkovou hustotou \(\mu\) z Newtonova zákona plyne \(v = \sqrt{F/\mu}\). Tutéž rovnici splňují elektromagnetické vlny (kapitola 12).wave number, wave equation

6.5Zvuk

Zvuk je podélné vlnění, ve vzduchu tlakové vlny. Rychlost zvuku v suchém vzduchu roste s teplotou, \(v \approx 331{,}3\sqrt{1 + t/273{,}15}\) m/s, při 20 °C tedy 343 m/s. Ve vodě je asi 1 480 m/s, v oceli 5 000 až 6 000 m/s. Člověk slyší zhruba od 16–20 Hz do 16–20 kHz, s věkem horní hranice klesá; tónu 440 Hz odpovídá ve vzduchu vlnová délka 0,78 m.

Ucho vnímá hlasitost přibližně logaritmicky, proto se používá hladina intenzity zvuku v decibelech, kde \(I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2\) je práh slyšení při 1 kHz:sound intensity level, decibel

6.6Dopplerův jev

Když se zdroj zvuku přibližuje, vlnoplochy se před ním zhušťují a pozorovatel slyší vyšší frekvenci; když se vzdaluje, nižší. Jev popsal Christian Doppler v roce 1842. Pro zdroj pohybující se rychlostí \(v_z\) a pozorovatele rychlostí \(v_p\) (kladné při vzájemném přibližování) v klidném vzduchu:Doppler effect

6.7Interference, rázy a stojaté vlnění

Vlny se v lineárním prostředí sčítají (princip superpozice). Dvě vlny stejné frekvence se zesílí, když se setkají ve fázi (dráhový rozdíl \(m\lambda\)), a zeslabí, když se setkají v protifázi (dráhový rozdíl \((m+\tfrac12)\lambda\)). Výsledná amplituda dvou vln s fázovým rozdílem \(\varphi\) je \(\sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\varphi}\). To je interference.superposition, interference

Dvě vlny s blízkými frekvencemi dávají rázy: hlasitost kolísá s frekvencí \(|f_1 - f_2|\). Ladiči podle nich ladí nástroje. Dvě stejné vlny běžící proti sobě dávají stojaté vlnění s pevnými uzly (nulová výchylka) a kmitnami (největší výchylka) ve vzdálenosti \(\lambda/2\).beats, standing wave, node, antinode

6.8Procvičení

7.1Teplota a teplotní stupnice

Dvě tělesa v tepelném kontaktu si vyměňují energii, dokud nemají stejnou teplotu; pak jsou v tepelné rovnováze. Jsou-li dvě tělesa v rovnováze se třetím (teploměrem), jsou v rovnováze i spolu. Tento nultý termodynamický zákon dává teploměrům smysl.temperature, thermal equilibrium, zeroth law

Termodynamická teplota se měří v kelvinech. Od roku 2019 je kelvin definován přes Boltzmannovu konstantu: změna termodynamické teploty o 1 K odpovídá změně tepelné energie \(kT\) o \(1{,}380\,649\cdot 10^{-23}\) J. Celsiova teplota je posunutá: \(T = t + 273{,}15\ \text{K}\). Rozdíl 1 K je stejný jako rozdíl 1 °C. Absolutní nula 0 K je nedosažitelná mez, při které by byla vnitřní energie nejmenší možná.kelvin, absolute zero

7.2Vnitřní energie, teplo a tepelná kapacita

Vnitřní energie \(U\) je součet kinetických a potenciálních energií všech částic tělesa. Změnit ji lze konáním práce (tření, stlačení) nebo tepelnou výměnou; energie předaná tepelnou výměnou se nazývá teplo \(Q\). Teplo není druh energie, který by těleso „obsahovalo“; je to způsob přenosu.internal energy, heat

\(c\) je měrná tepelná kapacita (voda 4 180 J/(kg·K), železo asi 450 J/(kg·K)), \(L\) měrné skupenské teplo (tání ledu 334 kJ/kg, vypařování vody při 100 °C 2 257 kJ/kg). Voda má mimořádně velkou tepelnou kapacitu, a proto moře zmírňuje podnebí.specific heat capacity, latent heat

Kalorimetrická rovnice: v izolované soustavě teplo odevzdané teplejšími tělesy přijmou chladnější. Smícháte-li 0,2 kg vody o teplotě 80 °C a 0,3 kg o teplotě 20 °C, z \(0{,}2(80 - t) = 0{,}3(t - 20)\) vyjde \(t = 44\) °C.

7.3Kinetická teorie plynů

Plyn si lze představit jako obrovské množství drobných částic v neustálém chaotickém pohybu. Tlak vzniká nárazy na stěny: částice o hmotnosti \(m\), která narazí kolmo rychlostí \(v_x\), předá stěně hybnost \(2mv_x\). Sečtením přes všechny částice vyjdekinetic theory of gases

Druhý vztah je mikroskopický význam teploty: termodynamická teplota je úměrná střední kinetické energii neuspořádaného posuvného pohybu částice. Při 300 K je to \(6{,}21\cdot 10^{-21}\) J, asi 0,039 eV.

7.4Stavová rovnice ideálního plynu a děje

Ideální plyn má částice bez vlastního objemu, které na sebe působí jen při srážkách. Dobře popisuje skutečné plyny za nízkého tlaku a vysoké teploty. Platí stavová rovnice:ideal gas law

Jeden mol ideálního plynu zaujímá při 0 °C a 101 325 Pa objem 22,41 l. V krychlovém metru vzduchu při 20 °C a normálním tlaku je \(p/(kT) = 2{,}50\cdot 10^{25}\) molekul.

\(\kappa = C_p/C_V\) je Poissonova konstanta: 5/3 pro jednoatomový plyn, 7/5 pro dvouatomový (vzduch). Rychle stlačený vzduch v poměru 1 : 10 se ohřeje z 300 K na \(300\cdot 10^{0{,}4} = 754\) K; na tom stojí vznětový motor.adiabatic index

7.5Maxwellovo–Boltzmannovo rozdělení rychlostí

Molekuly plynu nemají stejné rychlosti. Rozdělení rychlostí v rovnováze odvodil James Clerk Maxwell (1860) a obecněji Ludwig Boltzmann. Pro trojrozměrný plyn:Maxwell–Boltzmann distribution

Pro dusík při 300 K je nejpravděpodobnější rychlost 422 m/s, střední 476 m/s a efektivní 517 m/s. Rozdělení je nesouměrné: dlouhý „ocas“ k velkým rychlostem rozhoduje o rychlosti chemických reakcí i o úniku atmosféry. Proč má rozdělení právě exponenciální tvar, vysvětlí Boltzmannův faktor v kapitole 12.

7.6První termodynamický zákon

Energie se zachovává i v tepelných dějích. Změna vnitřní energie soustavy se rovná teplu, které přijala, a práci, kterou na ní vykonalo okolí:first law of thermodynamics

Středoškolské učebnice v Česku obvykle používají práci \(W\) vykonanou okolím na plyn; vysokoškolské a anglické často práci \(W'\) vykonanou plynem a píší \(\Delta U = Q - W'\). Obsah je stejný. Práce vykonaná plynem je plocha pod křivkou v diagramu p–V; při kruhovém ději plocha uvnitř smyčky.

7.7Druhý termodynamický zákon a entropie

První zákon nezakazuje, aby se šálek čaje sám ohřál na úkor vzduchu v místnosti. Zakazuje to druhý zákon. Clausiova formulace: teplo nepřechází samovolně z chladnějšího tělesa na teplejší. Kelvinova–Planckova formulace: nelze sestrojit periodicky pracující stroj, který by teplo z jediného zásobníku celé přeměnil na práci. Obě formulace jsou ekvivalentní.second law of thermodynamics

Kvantitativně ho vyjadřuje entropie \(S\), kterou zavedl Rudolf Clausius (1865). Při vratném přijetí tepla \(\delta Q\) při teplotě \(T\) vzroste o \(\mathrm{d}S = \delta Q/T\). V izolované soustavě entropie nikdy neklesá; při nevratných dějích roste.entropy

7.8Tepelné stroje, chladničky a tepelná čerpadla

Tepelný stroj odebírá teplo \(Q_1\) z ohřívače o teplotě \(T_1\), část přemění na práci \(W\) a zbytek \(Q_2\) odevzdá chladiči o teplotě \(T_2\). Sadi Carnot (1824) ukázal, že žádný stroj mezi dvěma teplotami nemá vyšší účinnost než vratný stroj:heat engine, Carnot efficiency

7.9Přenos tepla

Teplo se šíří vedením (kmitání částic se předává sousedům), prouděním (teplejší tekutina se přesouvá) a zářením (elektromagnetické vlny, i ve vakuu). Vedení stěnou o tloušťce \(d\) a ploše \(S\) popisuje Fourierův zákon \(P = \lambda S\,\Delta T/d\); vyzařování tělesa Stefanův–Boltzmannův zákon \(P = \varepsilon\sigma S T^4\), \(\sigma = 5{,}670\cdot 10^{-8}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}\text{K}^{-4}\).conduction, convection, radiation, thermal conductivity

7.10Procvičení

8.1Elektrický náboj a Coulombův zákon

Elektrický náboj je vlastnost částic; je kladný (proton) nebo záporný (elektron), jednotkou je coulomb. Náboj je kvantovaný, každý volný náboj je celistvým násobkem elementárního náboje \(e = 1{,}602\,176\,634\cdot 10^{-19}\) C, a zachovává se. Souhlasné náboje se odpuzují, nesouhlasné přitahují.electric charge, elementary charge, coulomb

\(\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot 10^{-12}\) F/m je permitivita vakua. Dva náboje po 1 µC ve vzdálenosti 1 m se odpuzují silou 9,0 mN. Zákon má stejný tvar jako gravitační, síla je ale nepoměrně silnější: elektron a proton se elektricky přitahují \(2{,}27\cdot 10^{39}\)krát silněji než gravitačně. Gravitace vládne velkým tělesům jen proto, že ta jsou elektricky neutrální.

8.2Elektrické pole a napětí

Náboj mění vlastnosti prostoru kolem sebe: vytváří elektrické pole. Jeho intenzita \(\vec E = \vec F/q\) je síla na jednotkový kladný náboj (V/m). Pole znázorňují siločáry: vycházejí z kladných nábojů a končí v záporných, jejich hustota ukazuje sílu pole.electric field, field lines

Přenesení náboje \(q\) mezi dvěma místy pole stojí práci \(W\); podíl \(U = W/q\) je elektrické napětí ve voltech. V homogenním poli mezi deskami kondenzátoru je \(E = U/d\): napětí 100 V na desky vzdálené 1 mm dává 100 kV/m. Elektron urychlený napětím 1 V získá energii 1 elektronvolt, \(1\ \text{eV} = 1{,}602\cdot 10^{-19}\) J, jednotku atomové a jaderné fyziky.voltage, potential difference, electronvolt

8.3Elektrický proud a Ohmův zákon

Elektrický proud je uspořádaný pohyb nábojů, \(I = Q/t\); 1 A znamená, že průřezem projde za sekundu \(6{,}24\cdot 10^{18}\) elementárních nábojů. V kovech pro většinu vodičů platí Ohmův zákon: proud je úměrný napětí. Konstantou úměrnosti je odpor \(R\) v ohmech.electric current, Ohm’s law, resistance

8.4Magnetické pole a Lorentzova síla

Magnetické pole vytvářejí permanentní magnety a pohybující se náboje (proudy). Popisuje ho magnetická indukce \(\vec B\) v teslech. Na náboj \(q\) pohybující se rychlostí \(\vec v\) působí Lorentzova síla, kolmá na rychlost i na pole; na vodič délky \(\ell\) s proudem \(I\) síla \(BI\ell\) (při kolmém směru).magnetic field, tesla, Lorentz force

Dlouhý přímý vodič s proudem 10 A vytváří ve vzdálenosti 5 cm pole \(4\cdot 10^{-5}\) T = 40 µT, srovnatelné s magnetickým polem Země (v Česku kolem 49 µT). Protože síla je kolmá na rychlost, nabitá částice v homogenním poli obíhá po kružnici o poloměru \(r = mv/(qB)\): elektron s rychlostí \(10^6\) m/s v poli 1 mT po kružnici o poloměru 5,7 mm. Na tom stojí hmotnostní spektrometr i urychlovače.

8.5Elektromagnetická indukce

Michael Faraday objevil roku 1831, že měnící se magnetický tok cívkou v ní indukuje napětí. Magnetický tok je \(\Phi = BS\cos\alpha\). Indukované napětí působí proti změně, která ho vyvolala (Lenzův zákon, znaménko minus):electromagnetic induction, magnetic flux, Faraday’s law, Lenz’s law

Cívka se 100 závity a plochou 10 cm², ve které pole klesne o 0,5 T za 0,1 s, dá napětí \(100\cdot 10^{-3}\cdot 0{,}5/0{,}1 = 0{,}5\) V. Na indukci stojí generátory v elektrárnách, transformátory, indukční varné desky i bezdrátové nabíjení. Maxwell indukci doplnil o symetrický jev: měnící se elektrické pole budí magnetické. Teprve obojí dohromady dává elektromagnetickou vlnu (kapitola 12).

8.6Světlo: odraz a lom

Světlo se ve vakuu šíří rychlostí \(c\), v látce pomaleji. Index lomu \(n = c/v\) je pro vzduch 1,0003, vodu 1,333, sklo kolem 1,5 a diamant 2,42. Na rozhraní se světlo zčásti odrazí (úhel odrazu se rovná úhlu dopadu) a zčásti láme podle Snellova zákona; úhly se měří od kolmice k rozhraní.refractive index, law of reflection, Snell’s law

Zákon nesprávně připisovaný jen Snelliovi (1621) znal už Ibn Sahl v roce 984. Při přechodu do opticky řidšího prostředí se paprsek láme od kolmice; nad mezním úhlem lom nenastane a světlo se celé odrazí. Pro sklo a vzduch je mezní úhel 41,8°, pro vodu 48,6°, pro diamant jen 24,4°, proto diamant tolik jiskří.critical angle, total internal reflection

Disperze: index lomu závisí na barvě (vlnové délce), fialové světlo se láme víc než červené. Proto hranol rozloží bílé světlo do spektra a vzniká duha. Při kolmém dopadu na sklo se odrazí \(((n-1)/(n+1))^2 = 4\ \%\) světla.dispersion

8.7Zobrazení čočkami

Spojka soustředí rovnoběžné paprsky do ohniska ve vzdálenosti \(f\), rozptylka je rozptýlí, jako by vycházely z ohniska před ní (\(f \lt 0\)). Pro tenkou čočku platí zobrazovací rovnice; optická mohutnost \(\varphi = 1/f\) se měří v dioptriích (D = m⁻¹).converging lens, diverging lens, thin lens equation, dioptre

8.8Vlnová povaha světla

Thomas Young na počátku 19. století ukázal, že světlo ze dvou blízkých štěrbin vytvoří na stínítku střídavě světlé a tmavé proužky. To umí jen vlny: v místech, kde se vlny setkají ve fázi, se zesílí, v protifázi se vyruší (kapitola 6). Pro štěrbiny vzdálené \(d\) a stínítko ve vzdálenosti \(L\) jsou maxima ve směrech \(d\sin\theta = m\lambda\), vzdálenost proužků \(\Delta y \approx \lambda L/d\).double-slit experiment, interference, diffraction

Světlo se ohýbá za překážkami (difrakce) a je příčné vlnění, které lze polarizovat: polarizační brýle tlumí světlo odražené od vody, které je částečně polarizované. Viditelné světlo je jen úzký výsek elektromagnetického spektra.

8.9Procvičení

9.1Zobecněné souřadnice a stupně volnosti

Kyvadlo se pohybuje v rovině, ale jeho poloha je určena jediným číslem, úhlem \(\theta\); vazba (pevná délka závěsu) odebrala jeden stupeň volnosti. Obecně soustava s \(f\) stupni volnosti má \(f\) zobecněných souřadnic \(q_1, \dots, q_f\), libovolných veličin, které polohu jednoznačně určují. Jejich časové derivace \(\dot q_i\) jsou zobecněné rychlosti.degrees of freedom, generalized coordinates, constraints

Newtonovy rovnice ve vektorech a kartézských souřadnicích vyžadují síly vazby (napětí závěsu), které nás často nezajímají. Analytická mechanika je obejde: pracuje přímo se zobecněnými souřadnicemi a energiemi.

9.2Princip nejmenší akce

Pro soustavu zavedeme Lagrangeovu funkci (lagrangián) \(L = E_k - E_p\) a akci jako její integrál podél dráhy mezi časy \(t_1\) a \(t_2\). Hamiltonův princip: skutečný pohyb mezi dvěma pevnými konfiguracemi je ten, pro který je akce stacionární, tedy první variace je nulová.Lagrangian, action, Hamilton’s principle, principle of stationary action

Myšlenka má dlouhou historii: Pierre de Fermat ji použil pro světlo (1662), Maupertuis a Euler pro mechaniku (1744), Lagrange na ní postavil Mécanique analytique (1788) a William Rowan Hamilton ji v letech 1834–1835 dovedl do dnešní podoby. Přesnější je mluvit o stacionární akci: u dlouhých drah může jít o sedlový bod, ne o minimum. Pro krátké dráhy, jako v laboratoři, je to skutečně minimum.

9.3Lagrangeovy rovnice

Změníme dráhu o malou funkci \(\delta q(t)\), která na koncích vymizí. Rozvojem do prvního řádu a integrací per partes druhého členu dostaneme

Hraniční člen je nulový a integrál musí vymizet pro každou funkci \(\delta q\); proto je nulová závorka. Pro každou souřadnici dostaneme Lagrangeovu rovnici (druhého druhu):Euler–Lagrange equations

Pro částici v potenciálu, \(L = \tfrac12 m\dot x^2 - V(x)\), vyjde \(m\ddot x = -V'(x)\): Newtonův zákon. Lagrangeovy rovnice ale platí v jakýchkoli souřadnicích, a to je jejich síla.

9.4Příklady

Kyvadlo

S úhlem \(\theta\) jako souřadnicí: \(E_k = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2\), \(E_p = -mg\ell\cos\theta\). Z \(L = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta\) plyne \(m\ell^2\ddot\theta + mg\ell\sin\theta = 0\), tedy \(\ddot\theta = -(g/\ell)\sin\theta\), bez jediné úvahy o napětí závěsu.

Atwoodův padostroj

Dvě závaží \(m_1 \gt m_2\) na laně přes kladku; souřadnice \(x\) je posunutí \(m_1\) dolů. \(L = \tfrac12(m_1 + m_2)\dot x^2 + (m_1 - m_2)gx\), odkud \(\ddot x = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2)\). Pro 3 kg a 2 kg je zrychlení \(9{,}81/5 = 1{,}96\ \text{m/s}^2\).

Korálek na rotující obruči

Korálek klouže bez tření po obruči o poloměru \(R\), která se otáčí kolem svislého průměru úhlovou rychlostí \(\omega\). \(L = \tfrac12 mR^2(\dot\theta^2 + \omega^2\sin^2\theta) + mgR\cos\theta\) (\(\theta\) od dolního bodu). Rovnovážné polohy: \(\theta = 0\), a pro \(\omega^2 \gt g/R\) také \(\cos\theta = g/(\omega^2 R)\). Pro \(R = 0{,}2\) m a \(\omega = 10\) rad/s je to 60,6°. Newtonovsky by šlo o úlohu s odstředivou silou a reakcí obruče; lagrangiánem stačí tři řádky.

9.5Zobecněná hybnost a cyklické souřadnice

Zobecněná hybnost příslušná souřadnici \(q_i\) je \(p_i = \partial L/\partial \dot q_i\). Pro kartézskou souřadnici je to obyčejná hybnost \(m\dot x\), pro úhel moment hybnosti. Nevystupuje-li souřadnice v lagrangiánu (je cyklická), plyne z Lagrangeovy rovnice \(\dot p_i = 0\): příslušná hybnost se zachovává.generalized momentum, cyclic (ignorable) coordinate

V centrálním poli \(L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2) - V(r)\) úhel \(\varphi\) nevystupuje, proto se zachovává moment hybnosti \(p_\varphi = mr^2\dot\varphi\). To je druhý Keplerův zákon: průvodič planety opisuje za stejný čas stejné plochy (podrobněji v průvodci Astronomie).

9.6Symetrie a zákony zachování: věta Emmy Noetherové

Emmy Noetherová v roce 1918 dokázala obecnou souvislost: každé spojité symetrii akce odpovídá zachovávající se veličina. Když se lagrangián nezmění posunutím všech souřadnic o \(\varepsilon\), zachovává se celková hybnost; když se nezmění otočením, moment hybnosti; když nezávisí explicitně na čase, zachovává se energie \(E = \sum_i p_i\dot q_i - L\).Noether’s theorem, symmetry, conserved quantity

9.7Hamiltonova formulace a fázový prostor

Hamilton nahradil zobecněné rychlosti hybnostmi. Legendreovou transformací lagrangiánu dostaneme hamiltonián \(H(q,p,t) = \sum_i p_i\dot q_i - L\), který je pro obvyklé soustavy celkovou energií \(E_k + E_p\). Místo \(f\) rovnic druhého řádu máme \(2f\) rovnic prvního řádu:Hamiltonian, Legendre transformation, Hamilton’s equations

Pro oscilátor \(H = p^2/(2m) + \tfrac12 kx^2\): \(\dot x = p/m\), \(\dot p = -kx\). Stav soustavy je bod ve fázovém prostoru souřadnic a hybností a pohyb je tok tímto prostorem. Liouvilleova věta říká, že tok zachovává fázový objem: oblast počátečních stavů se může libovolně deformovat, ale její objem se nemění. Na tom stojí statistická fyzika (kapitola 12). Elipsa oscilátoru s energií \(E\) má obsah \(2\pi E/\omega\).phase space, Liouville’s theorem

Poissonova závorka \(\{A, B\} = \sum_i (\partial_{q_i}A\,\partial_{p_i}B - \partial_{p_i}A\,\partial_{q_i}B)\) zapisuje časový vývoj každé veličiny jako \(\dot A = \{A, H\}\) (bez explicitní závislosti na čase) a \(\{q, p\} = 1\). Kvantová mechanika (kapitola 11) nahradí Poissonovu závorku komutátorem: \(\{q, p\} = 1\) přejde v \([\hat x, \hat p] = i\hbar\).Poisson bracket

9.8Procvičení

10.1Postuláty

Albert Einstein v roce 1905 (článek „K elektrodynamice pohybujících se těles“) vyšel ze dvou postulátů. Princip relativity: fyzikální zákony mají stejný tvar ve všech inerciálních soustavách; žádným pokusem uvnitř soustavy nelze zjistit její rovnoměrný pohyb. Princip stálé rychlosti světla: světlo se ve vakuu šíří rychlostí \(c\) nezávisle na pohybu zdroje i pozorovatele.special relativity, principle of relativity, invariance of the speed of light

Druhý postulát odporuje každodenní zkušenosti se sčítáním rychlostí, ale potvrzují ho experimenty: Michelsonův–Morleyho pokus (1887) nenašel žádný rozdíl rychlosti světla ve směru pohybu Země a kolmo k němu. Od roku 1983 je \(c = 299\,792\,458\) m/s přesná hodnota, ze které vychází definice metru.

10.2Relativnost současnosti

Uprostřed vagonu blikne lampa. Pro cestujícího dojde světlo k přední i zadní stěně současně. Pro pozorovatele na nástupišti se zadní stěna ke světlu přibližuje a přední vzdaluje, takže zadní stěnu světlo zasáhne dřív. Obě události jsou v soustavě vagonu současné, v soustavě nástupiště ne. Současnost vzdálených událostí není absolutní.relativity of simultaneity

10.3Dilatace času

Světelné hodiny: záblesk běhá mezi dvěma zrcadly vzdálenými \(L\), jeden „tik“ trvá v klidové soustavě hodin \(\Delta\tau = 2L/c\). Pro pozorovatele, vůči kterému se hodiny pohybují rychlostí \(v\), běží světlo šikmo a delší dráhou, ale stejnou rychlostí \(c\). Z Pythagorovy věty \((c\Delta t/2)^2 = L^2 + (v\Delta t/2)^2\) plyne:time dilation, light clock, Lorentz factor

\(\Delta\tau\) je vlastní čas, měřený hodinami, které jsou v klidu vůči ději. Jakýkoli jiný inerciální pozorovatel naměří čas delší. Pro \(\beta = 0{,}6\) je \(\gamma = 1{,}25\), pro 0,8 je 5/3, pro 0,99 je 7,09.proper time

10.4Kontrakce délek

Délka tyče, která se pohybuje ve směru své délky, je menší než její vlastní délka \(\ell_0\) měřená v její klidové soustavě. Kolmé rozměry se nemění.length contraction, proper length

Z pohledu mionu se 15 km atmosféry zkrátí na \(15/10{,}01 = 1{,}50\) km, které proletí za 5,0 µs svého času. Dilatace času v jedné soustavě a kontrakce délek v druhé jsou dva popisy téhož.

10.5Lorentzova transformace a skládání rychlostí

Soustava S′ se pohybuje vůči S rychlostí \(v\) ve směru osy \(x\). Souřadnice téže události v obou soustavách převádí Lorentzova transformace; pro \(v \ll c\) přejde v Galileiho \(x' = x - vt\), \(t' = t\).Lorentz transformation

Člen \(vx/c^2\) je relativnost současnosti: události s \(\Delta t = 0\) a \(\Delta x \ne 0\) mají \(\Delta t' \ne 0\). Z transformace plyne relativistické skládání rychlostí: těleso s rychlostí \(u'\) v S′ má v S rychlost

Dvě rychlosti \(0{,}8c\) dají \(1{,}6c/1{,}64 = 0{,}976c\); složením rychlostí menších než \(c\) nikdy nedostanete víc než \(c\), a světlo (\(u' = c\)) má rychlost \(c\) v každé soustavě. Užitečná je rapidita \(\varphi = \operatorname{artanh}\beta\): při skládání pohybů v jednom směru se rapidity sčítají.velocity addition, rapidity

10.6Prostoročas a interval

Hermann Minkowski v roce 1908 ukázal, že teorie je nejpřehlednější ve čtyřrozměrném prostoročase. Pro dvě události se při Lorentzově transformaci mění časový i prostorový rozdíl, ale interval zůstává stejný ve všech inerciálních soustavách:spacetime, interval, Minkowski diagram

Je-li \(s^2 \gt 0\), interval je časupodobný a události mohou být příčinně spojené; \(\Delta\tau = s/c\) je vlastní čas mezi nimi. Je-li \(s^2 = 0\), jsou spojeny paprskem světla (světelný interval). Je-li \(s^2 \lt 0\), je prostorupodobný a pořadí událostí lze změnou soustavy obrátit, aniž by to porušilo příčinnost. Události s \(c\Delta t = 5\) a \(\Delta x = 3\) (v jednotkách s \(c = 1\)) mají interval \(\sqrt{25 - 9} = 4\): hodiny, které je obě navštíví rovnoměrným pohybem, změří vlastní čas 4.

10.7Energie a hybnost

Aby zákony zachování platily ve všech inerciálních soustavách, musí mít hybnost a energie tvar

V klidu má těleso klidovou energii \(E_0 = mc^2\). Pro \(v \ll c\) je \(E_k \approx \tfrac12 mv^2\). Částice bez klidové hmotnosti (foton) mají \(E = pc\) a letí rychlostí \(c\). Těleso s nenulovou klidovou hmotností by na rychlost \(c\) potřebovalo nekonečnou energii.rest energy, mass–energy equivalence, four-momentum

V jaderných reakcích se zlomek klidové energie uvolňuje jako kinetická energie produktů: vazebnou energii, hmotnostní úbytek a princip štěpení i fúze vykládá průvodce Jaderná fyzika.

10.8Paradox dvojčat

Dvojče odletí rychlostí \(0{,}8c\) k hvězdě vzdálené 4,24 světelného roku a vrátí se. Na Zemi uplyne \(2\cdot 4{,}24/0{,}8 = 10{,}6\) roku, cestovateli jen \(10{,}6/1{,}667 = 6{,}36\) roku. Situace není souměrná: cestovatel při obratu mění inerciální soustavu (zrychluje), domácí dvojče ne. V Minkowského diagramu je vlastní čas „délkou“ světočáry a přímá světočára mezi dvěma událostmi má vlastní čas nejdelší; lomená cesta cestovatele je kratší. Je to opak eukleidovské geometrie, kde je přímka nejkratší.twin paradox, worldline

10.9Procvičení

11.1Záření černého tělesa a Planckova kvanta

Rozžhavené těleso září a se stoupající teplotou mění barvu z červené přes bílou do modrobílé. Klasická fyzika předpovídala, že těleso vyzáří nekonečně mnoho energie v krátkých vlnových délkách (ultrafialová katastrofa). Max Planck v roce 1900 rozdělení vysvětlil hypotézou, že oscilátory vyměňují energii jen po kvantech \(E = hf\).blackbody radiation, Planck constant, quantum

Slunce s efektivní teplotou 5 772 K má maximum vyzařování kolem 502 nm, ve žlutozelené oblasti. Lidské tělo (310 K) vyzařuje nejvíc kolem 9,3 µm v infračervené oblasti, kterou zachytí termokamera. Užitečná je hodnota \(hc = 1\,239{,}84\ \text{eV}\cdot\text{nm}\): foton 500 nm má energii 2,48 eV.

11.2Fotoelektrický jev

Při osvětlení kovu ultrafialovým světlem vyletují elektrony, ale jen nad mezní frekvencí závislou na kovu, a jejich energie nezávisí na intenzitě světla. Vlnová teorie to nevysvětlí. Albert Einstein v roce 1905 navrhl, že světlo samo se skládá z kvant (fotonů) a jeden foton předá energii jednomu elektronu:photoelectric effect, work function, photon

\(W\) je výstupní práce kovu, \(U_b\) brzdné napětí, které elektrony zastaví. Robert Millikan rovnici přesně ověřil v roce 1916 a Einstein za její vysvětlení dostal Nobelovu cenu za rok 1921.

11.3Vlnově-částicový dualismus

Louis de Broglie v roce 1924 navrhl, že i částice mají vlnové vlastnosti s vlnovou délkou nepřímo úměrnou hybnosti. Clinton Davisson a Lester Germer v roce 1927 pozorovali ohyb elektronů na krystalu niklu.wave–particle duality, de Broglie wavelength

Pokus se dvěma štěrbinami (kapitola 8) funguje i s elektrony vysílanými po jednom: každý dopadne na stínítko jako bod, ale po tisících dopadů vznikne interferenční obrazec. Elektron se šíří jako vlna a detekuje jako částice.

11.4Vlnová funkce a Schrödingerova rovnice

Stav částice popisuje komplexní vlnová funkce \(\psi(x,t)\). Podle Bornovy interpretace (1926) je \(|\psi(x,t)|^2\,\mathrm{d}x\) pravděpodobnost, že částici najdeme v intervalu \((x, x + \mathrm{d}x)\); proto \(\int|\psi|^2\,\mathrm{d}x = 1\). Časový vývoj určuje Schrödingerova rovnice (Erwin Schrödinger, 1926):wave function, Born rule, Schrödinger equation

Druhá rovnice je stacionární: pro stavy s určitou energií \(E\) je \(\psi(x,t) = \psi(x)e^{-iEt/\hbar}\) a hustota pravděpodobnosti se v čase nemění. Veličiny jsou operátory: hybnost \(\hat p = -i\hbar\,\partial/\partial x\), energie (hamiltonián) \(\hat H = \hat p^2/(2m) + V\). Stacionární rovnice je úloha na vlastní čísla \(\hat H\psi = E\psi\). Komutátor \([\hat x, \hat p] = i\hbar\) je kvantovým protějškem Poissonovy závorky z kapitoly 9.stationary state, operator, eigenvalue, commutator

11.5Částice v potenciálové jámě

V nekonečně hluboké jámě šířky \(L\) je \(V = 0\) uvnitř a vlnová funkce musí na stěnách vymizet. Uvnitř řeší rovnici \(\psi'' = -k^2\psi\) funkce \(\sin kx\) a okrajové podmínky připustí jen celý počet půlvln, \(kL = n\pi\). Energie je proto kvantovaná:particle in a box, quantization, ground state, zero-point energy

Nejnižší energie \(E_1\) není nulová: částice v omezeném prostoru se nemůže úplně zastavit (nulová energie). Elektron v jámě široké 1 nm má \(E_1 = 0{,}376\) eV a \(E_2 = 1{,}504\) eV; přechod \(2 \to 1\) vyzáří foton 1,128 eV s vlnovou délkou 1 099 nm. Zúžením jámy se hladiny rozestoupí jako \(1/L^2\): na tom stojí kvantové tečky, nanokrystaly, jejichž barvu určuje velikost.

V konečné jámě hloubky \(V_0\) vlnová funkce proniká do stěn a klesá v nich exponenciálně jako \(e^{-\kappa|x|}\), \(\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar\). Tam, kde by klasická částice neměla dost energie, ji kvantově najdeme s nenulovou pravděpodobností. Jáma má jen konečný počet vázaných stavů. Elektron v jámě šířky 1 nm a hloubky 5 eV má čtyři vázané stavy s energiemi 0,27; 1,08; 2,38 a 4,06 eV a v základním stavu je mimo jámu s pravděpodobností 0,8 %.

11.6Tunelový jev

Narazí-li částice na bariéru vyšší, než je její energie, klasicky se odrazí. Kvantově vlnová funkce v bariéře exponenciálně klesá, a je-li bariéra tenká, na druhé straně nevymizí: částice bariérou s malou pravděpodobností projde.quantum tunnelling, transmission coefficient

11.7Relace neurčitosti

Werner Heisenberg v roce 1927 ukázal, že polohu a hybnost částice nelze současně určit libovolně přesně. Nejde o nedokonalost přístrojů, ale o vlastnost vln: vlna s přesnou vlnovou délkou (hybností) je nekonečně dlouhá, krátký vlnový balík se skládá z mnoha vlnových délek.uncertainty principle

11.8Atom vodíku v kostce

Řešení Schrödingerovy rovnice pro elektron v Coulombově poli protonu dává energetické hladiny, které poprvé (jiným postupem) získal Niels Bohr v roce 1913:hydrogen atom, energy levels, spectral lines

Stav elektronu v atomu určují kvantová čísla \(n, l, m_l\) a spin \(m_s\). Pauliho vylučovací princip (dva elektrony nemohou mít všechna čtyři čísla stejná) vysvětluje stavbu periodické tabulky; tu podrobně vykládá průvodce Chemie.

11.9Procvičení

12.1Mikrostavy a makrostavy

Makrostav popisuje soustavu několika veličinami (energie, objem, počet částic, „50 lícem“). Mikrostav je úplný popis všech částic („mince 1 líc, mince 2 rub, …“). Jednomu makrostavu odpovídá zpravidla obrovské množství mikrostavů, jejich počet je multiplicita \(\Omega\). Základní postulát statistické fyziky: v izolované soustavě v rovnováze jsou všechny dostupné mikrostavy stejně pravděpodobné.microstate, macrostate, multiplicity, fundamental postulate

12.2Entropie jako počet mikrostavů

Ludwig Boltzmann spojil entropii z kapitoly 7 s počtem mikrostavů (vztah v dnešním tvaru zapsal Max Planck a je vytesán na Boltzmannově náhrobku ve Vídni):Boltzmann entropy

Logaritmus zajistí, že entropie dvou nezávislých soustav se sčítá (\(\Omega = \Omega_A\Omega_B\)). Druhý zákon je v tomto pohledu statistický: soustava přechází do makrostavů s větší multiplicitou, protože jich je nepoměrně víc. U soustav s \(10^{23}\) částicemi je pravděpodobnost samovolného poklesu entropie o makroskopicky měřitelnou hodnotu tak malá, že ji lze pokládat za nulovou.

12.3Teplota ze statistiky

Dvě tělesa si vyměňují energii, dokud není součin \(\Omega_A\Omega_B\) největší, tedy dokud \(\partial\ln\Omega_A/\partial U_A = \partial\ln\Omega_B/\partial U_B\). Tato veličina musí být v rovnováze stejná, a proto definuje teplotu:statistical definition of temperature

Těleso, jehož entropie s energií roste rychle, je studené: přijme-li energii, získá hodně mikrostavů. Proto teplo teče od teplého (malý přírůstek \(S\)) ke studenému (velký přírůstek). V laboratoři vychází v rovnováze energie na oscilátor v obou krystalech stejná: stejná teplota.

12.4Boltzmannovo rozdělení

Malá soustava v kontaktu s velkým okolím o teplotě \(T\) (tepelnou lázní) nemá pevnou energii. Pravděpodobnost, že je v mikrostavu s energií \(E_i\), je úměrná počtu mikrostavů lázně, které zbývají, a z \(1/T = \partial S/\partial U\) plyne Boltzmannův faktor:Boltzmann distribution, partition function, canonical ensemble

Partiční funkce \(Z\) obsahuje celou termodynamiku soustavy: střední energii, tepelnou kapacitu i entropii. Při 300 K je \(kT = 0{,}0259\) eV; hladina o 0,1 eV výš je obsazená \(e^{-0{,}1/0{,}0259} = 0{,}021\)krát méně často. Z Boltzmannova faktoru pro kinetickou energii \(\tfrac12 mv^2\) plyne Maxwellovo rozdělení rychlostí z kapitoly 7.

Ekvipartiční teorém: v klasické limitě připadá na každý kvadratický člen energie (posuvný pohyb v jednom směru, rotace, kmit) střední energie \(\tfrac12 kT\). Jednoatomový plyn má proto molární \(C_V = \tfrac32 R = 12{,}5\) J/(mol·K), dvouatomový \(\tfrac52 R = 20{,}8\) J/(mol·K); vibrace dvouatomových molekul jsou při pokojové teplotě „zamrzlé“, protože \(\varepsilon \gg kT\). To klasická fyzika vysvětlit neuměla; vysvětlila to až kvantová teorie (laboratoř Boltzmannovo rozdělení).equipartition theorem

12.5Maxwellovy rovnice

James Clerk Maxwell v letech 1861–1865 shrnul všechny elektromagnetické jevy do soustavy rovnic. K Faradayovu zákonu a Ampérovu zákonu doplnil posuvný proud: měnící se elektrické pole vytváří magnetické pole stejně jako proud. Ve vakuu s náboji a proudy:Maxwell’s equations, displacement current

• Gaussův zákon: tok elektrického pole uzavřenou plochou je úměrný uzavřenému náboji; z něj plyne Coulombův zákon.
• Neexistence magnetických monopólů: magnetické siločáry jsou uzavřené.
• Faradayův zákon: měnící se magnetický tok budí elektrické pole (indukce, kapitola 8).
• Ampérův–Maxwellův zákon: magnetické pole budí proud i měnící se elektrické pole.

Spolu s Lorentzovou silou \(\vec F = q(\vec E + \vec v\times\vec B)\) popisují rovnice veškerou klasickou elektrodynamiku: od obvodů (průvodce Elektrotechnika) po rádiové antény. Jsou automaticky v souladu se speciální relativitou; právě rozpor mezi nimi a Galileiho transformací vedl Einsteina k teorii z kapitoly 10.

12.6Elektromagnetická vlna

Ve vakuu bez nábojů vezmeme rotaci třetí rovnice a dosadíme čtvrtou. S identitou \(\nabla\times(\nabla\times\vec E) = \nabla(\nabla\cdot\vec E) - \nabla^2\vec E\) a \(\nabla\cdot\vec E = 0\) dostaneme vlnovou rovnici z kapitoly 6:electromagnetic wave, wave equation, speed of light

Dosazením hodnot CODATA 2022 \(\mu_0 = 1{,}256\,637\,061\,27\cdot 10^{-6}\) N/A² a \(\varepsilon_0 = 8{,}854\,187\,8188\cdot 10^{-12}\) F/m vyjde 299 792 458 m/s. Maxwell z tehdejších měření zjistil, že rychlost elektromagnetických vln se shoduje s naměřenou rychlostí světla, a usoudil, že světlo je elektromagnetická vlna. Heinrich Hertz v letech 1887–1888 vytvořil a zachytil elektromagnetické vlny v laboratoři. Vlna je příčná, \(\vec E\), \(\vec B\) a směr šíření jsou navzájem kolmé a energii přenáší s hustotou toku danou Poyntingovým vektorem \(\vec S = \vec E\times\vec B/\mu_0\).Poynting vector

Vlna o frekvenci 2,4 GHz (bezdrátová síť) má vlnovou délku 12,5 cm, rozhlas VKV 100 MHz 3 m, viditelné světlo 380–780 nm. Všechny oblasti spektra z obr. 8.2 jsou řešením týchž rovnic.

12.7Mapa moderní fyziky

Klasická mechanika platí pro tělesa velká a pomalá. Při rychlostech blízkých \(c\) ji nahrazuje relativita, v rozměrech atomů kvantová mechanika, a pro rychlé i malé částice kvantová teorie pole. Gravitace na velkých škálách vyžaduje obecnou relativitu. Pro mnoho částic přidává statistická fyzika. Každá novější teorie obsahuje starší jako limitní případ.

12.8Procvičení