Elektrotechnika

1.1Elektrický náboj

Elektrický náboj je vlastnost částic, kvůli které na sebe působí elektrickou silou: souhlasné náboje se odpuzují, nesouhlasné přitahují. Jednotkou je coulomb (C). Náboj elektronu je záporný, protonu kladný, oba mají velikost elementárního náboje \(e\). Od redefinice SI v roce 2019 je jeho hodnota přesně stanovena.electric charge, elementary charge

Náboj se zachovává: nevzniká ani nezaniká, jen se přesouvá. Těleso je nabité, když v něm převládne jeden druh náboje. Sílu mezi bodovými náboji popisuje Coulombův zákon \(F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{r^2}\); elektrostatiku podrobně vykládá průvodce Fyzika.

1.2Elektrický proud

Elektrický proud je náboj, který projde průřezem vodiče za jednotku času. Jednotkou je ampér (A), jedna ze základních jednotek SI: 1 A odpovídá průchodu 1 C za sekundu.electric current, ampere

Za konvenční směr proudu se považuje směr pohybu kladných nábojů, tedy od kladného pólu zdroje vnějším obvodem k zápornému (obr. 1.1). V kovech se ve skutečnosti pohybují elektrony, a to opačně. Pro výpočty to nevadí, jen je třeba držet jednu dohodu. Stejnosměrný proud teče stále jedním směrem (baterie), střídavý pravidelně mění směr (zásuvka, kapitola 6).conventional current, direct current (DC), alternating current (AC)

1.3Napětí a potenciál

Elektrické napětí mezi dvěma body je práce, kterou elektrické pole vykoná při přenesení jednotkového náboje mezi nimi. Jednotkou je volt: 1 V = 1 J/C. Napětí se vždy měří mezi dvěma body; „napětí v bodě“ dává smysl jen vůči dohodnutému vztažnému bodu, obvykle zemi nebo zápornému pólu. Pak mluvíme o potenciálu.voltage, potential difference, volt

Baterie 9 V dodá každému coulombu náboje, který jí projde, energii 9 J. Zdroj napětí náboje „čerpá“ do vyššího potenciálu podobně jako čerpadlo vodu do výšky; ve spotřebiči pak energie přechází na teplo, světlo nebo pohyb.

1.4Odpor a Ohmův zákon

Elektrický odpor vyjadřuje, jak silně vodič brání průchodu proudu. Jednotkou je ohm (Ω). Převrácená hodnota je vodivost \(G = 1/R\) v siemensech (S). Georg Simon Ohm v roce 1827 popsal, že u kovových vodičů při stálé teplotě je proud úměrný napětí.resistance, conductance, Ohm’s law

Odpor drátu roste s délkou \(l\) a klesá s průřezem \(S\); materiál popisuje rezistivita (měrný odpor) \(\rho\):resistivity

Hodnoty jsou zaokrouhlené tabulkové údaje; závisí na čistotě a zpracování materiálu. Koeficient α platí v okolí 20 °C.

Odpor závisí na teplotě

U kovů odpor s teplotou roste, protože kmitající ionty mřížky víc brzdí elektrony. V malém rozsahu teplot platí lineární vztah

Součástka, jejíž proud je přímo úměrný napětí, se nazývá lineární (ohmická). Žárovka, dioda nebo LED lineární nejsou: jejich voltampérová charakteristika \(I(U)\) není přímka.current–voltage (I–V) characteristic

1.5Vodiče, polovodiče, izolanty

V kovech jsou vnější elektrony volné a tvoří „elektronový plyn“, proto kovy vedou výborně. V izolantech jsou elektrony pevně vázány a k jejich uvolnění je třeba velká energie. Polovodiče (křemík, germanium) leží mezi nimi: při nízké teplotě vedou špatně, se zahřátím nebo osvětlením lépe, a jejich vodivost lze přesně řídit příměsmi (kapitola 8). V elektrolytech (slaná voda, tělní tekutiny) nesou náboj ionty.conductor, semiconductor, insulator, electrolyte

Izolant ale neizoluje neomezeně. Při dostatečně silném poli dojde k průrazu: suchý vzduch za běžných podmínek vydrží zhruba 3 kV na milimetr, pak v něm vznikne výboj (jiskra, blesk). Proto mají vedení vysokého napětí dlouhé izolátory a velké vzdálenosti vodičů od země.dielectric breakdown

1.6Proud a lidské tělo

Tělo vede proud jako elektrolyt; hlavní odpor klade kůže. Rozhoduje velikost proudu, jeho dráha (přes hrudník a srdce je nejhorší) a doba průchodu. Pro střídavý proud 50 Hz u dospělých uvádí norma IEC 60479-1 přibližně tyto hranice: práh vnímání kolem 0,5 mA, práh uvolnění (kdy se člověk ještě dokáže pustit) v řádu 5 až 10 mA a pro průchod delší než asi sekundu riziko fibrilace komor už od desítek miliampérů. Při stovkách miliampérů a více hrozí zástava srdce a vnitřní popáleniny.ventricular fibrillation, let-go threshold

1.7Ochrana v domovní instalaci

• Jistič (dříve pojistka) vypne, když proud překročí dovolenou mez: tepelná spoušť reaguje na dlouhodobé přetížení, elektromagnetická na zkrat. Chrání vedení před přehřátím a požárem, ne člověka: 30 mA tělem jistič na 16 A nepozná.circuit breaker, fuse
• Proudový chránič měří rozdíl proudů ve fázovém a nulovém vodiči. Za normálního stavu je nulový; uteče-li část proudu jinudy, chránič vypne. Pro ochranu osob se používají chrániče se jmenovitým reziduálním proudem 30 mA, které při něm vypnou nejpozději za 0,3 s.residual-current device (RCD)
• Ochranný vodič PE spojuje kovové kryty spotřebičů se zemí. Při poruše izolace vznikne velký proud do země a jistič nebo chránič obvod odpojí dřív, než se kryt stane nebezpečným. Spotřebiče s dvojitou izolací (třída ochrany II, značka dvou čtverců v sobě) ochranný vodič nepotřebují.protective earth (PE), double insulation

Kdo smí na elektrických zařízeních pracovat

V Česku upravuje odbornou způsobilost zákon č. 250/2021 Sb., o bezpečnosti práce v souvislosti s provozem vyhrazených technických zařízení (účinný od 1. 7. 2022), a nařízení vlády č. 194/2022 Sb. Nařízení ukládá povinnosti právnickým osobám a podnikajícím fyzickým osobám, které elektrická zařízení provozují nebo na nich pracují (§ 3 odst. 1): činnosti na zařízeních smějí vykonávat jen odborně způsobilé osoby. Za takovou činnost se podle § 3 odst. 2 nepovažuje obsluha elektrického zařízení malého a nízkého napětí; práce na zařízení (opravy, zapojování, údržba) ano. Pro domácnosti platí stejná logika z bezpečnostních důvodů: zásahy do instalace patří kvalifikovanému elektrikáři.

Zjednodušeno; přesné podmínky (vzdělání, praxe, napěťové rozsahy) stanoví citované předpisy v aktuálním znění, příloha C.

1.8Procvičení

2.1Obvod a schéma

Elektrický obvod je uzavřená dráha, kterou může téct proud. Kreslí se jako schéma se schematickými značkami (příloha B). Místo, kde se stýkají aspoň tři vodiče, je uzel; úsek mezi dvěma uzly je větev. Ideální zdroj napětí drží na svých svorkách stálé napětí bez ohledu na odebíraný proud; skutečný zdroj se mu blíží jen při malém odběru (oddíl 2.7).circuit, schematic diagram, node, branch, ideal voltage source

2.2Sériové zapojení

Při sériovém zapojení jsou prvky za sebou v jedné větvi. Všemi teče stejný proud a napětí zdroje se mezi ně rozdělí. Výsledný odpor je součet:series connection

2.3Paralelní zapojení

Při paralelním zapojení jsou prvky připojené ke stejné dvojici uzlů. Na všech je stejné napětí a proud zdroje se mezi větve rozdělí. Sčítají se vodivosti:parallel connection

Pro dva rezistory platí praktický vzorec \(R = \dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\) („součin lomeno součtem“). Výsledný odpor je vždy menší než nejmenší z paralelních odporů.

2.4Smíšená zapojení

Složitější obvod se zjednodušuje po krocích: najdeme skupinu, která je čistě sériová nebo čistě paralelní, nahradíme ji jedním odporem a opakujeme. Pak se postupuje zpět a dopočítají se proudy a napětí jednotlivých prvků. Obvody, které se takto zjednodušit nedají (můstky, více zdrojů), řeší kapitola 4.

2.5Dělič napětí a dělič proudu

Dělič napětí tvoří dva rezistory v sérii; napětí se na nich rozdělí v poměru odporů. Používá se k nastavení pracovních bodů, ke snímání napětí (měření baterie) a jako potenciometr. Dělič proudu jsou dva paralelní rezistory; proud se dělí v obráceném poměru odporů.voltage divider, current divider, potentiometer

2.6Měření napětí a proudu

Ampérmetr se zapojuje do série a má mít co nejmenší odpor, aby proud neovlivnil. Voltmetr se zapojuje paralelně a má mít co největší odpor. Běžný digitální multimetr má na rozsazích napětí vstupní odpor kolem 10 MΩ.ammeter, voltmeter, multimeter

Rozsah ampérmetru se zvětšuje bočníkem, malým odporem paralelně k měřidlu. Měřidlo s plnou výchylkou 1 mA a odporem 100 Ω potřebuje pro rozsah 1 A bočník \(R_b = 100\cdot 0{,}001/(1-0{,}001) = 0{,}1\ \Omega\).shunt

2.7Reálný zdroj a vnitřní odpor

Skutečný zdroj (baterie, akumulátor, dynamo) se modeluje jako ideální zdroj napětí \(U_0\) v sérii s vnitřním odporem \(R_i\). S rostoucím odběrem napětí na svorkách klesá:internal resistance, open-circuit voltage, short-circuit current

\(U_0\) je napětí naprázdno (bez odběru), \(I_k\) zkratový proud. Baterie 9 V s vnitřním odporem 2 Ω dá do zátěže 10 Ω proud \(9/12 = 0{,}75\ \text{A}\) a na svorkách bude 7,5 V; při zkratu by teklo 4,5 A. Akumulátor v autě má vnitřní odpor jen v řádu miliohmů, proto při zkratu dává stovky ampérů.

2.8Procvičení

3.1Elektrický výkon

Když náboj \(Q\) projde napětím \(U\), vykoná pole práci \(W = QU\). Za čas \(t\) projde náboj \(Q = It\), takže práce je \(W = UIt\) a výkon, tedy práce za jednotku času, je součin napětí a proudu. Jednotkou je watt (W = J/s = V·A).electric power, watt

Druhý a třetí tvar plynou z Ohmova zákona. \(P = RI^2\) se hodí, když známe proud (ztráty ve vedení), \(P = U^2/R\), když známe napětí (spotřebič na síti). Topidlo 2 kW na 230 V odebírá \(2\,000/230 = 8{,}70\ \text{A}\) a má odpor \(230^2/2\,000 = 26{,}45\ \Omega\).

3.2Energie a kilowatthodina

Energie dodaná za čas \(t\) při stálém výkonu je \(W = Pt\). Základní jednotkou je joule, pro elektřinu se používá kilowatthodina: energie, kterou spotřebič s výkonem 1 kW spotřebuje za 1 h.energy, kilowatt-hour

3.3Jouleovo teplo a účinnost

Proud procházející odporem vodič zahřívá. Toto Jouleovo teplo \(Q = RI^2t\) je užitečné v topidlech, konvicích a pojistkách, jinde je to ztráta. Účinnost je podíl užitečného výkonu a příkonu:Joule heating, efficiency

U zdrojů světla se místo účinnosti uvádí měrný výkon ve světelných lumenech na watt. Klasická žárovka 60 W dává kolem 800 lm, tedy asi 13 lm/W; LED se stejným světelným tokem potřebuje kolem 8 W, asi 100 lm/W. Zbytek energie žárovky odchází jako teplo.luminous efficacy

3.4Spotřeba domácnosti

Největší položkou bývá ohřev: vody, vzduchu, jídla. Elektronika se stálým, ale malým příkonem dělá jednotky procent. Pro srovnání spotřebičů slouží energetický štítek EU, který uvádí spotřebu energie za normovaných podmínek (u chladniček za rok, u praček na 100 pracích cyklů, u televizorů na 1 000 hodin provozu).energy label

3.5Kolik výkonu dostane zátěž

Proud obvodem je \(I = U_0/(R_i + R_Z)\) a výkon v zátěži

Derivace podle \(R_Z\) je nulová pro \(R_Z = R_i\); tehdy je \(P_{\max} = U_0^2/(4R_i)\). To je věta o přizpůsobení. V energetice se o ni nestojíme: elektrárna by polovinu výkonu „topila“ uvnitř sebe. Chceme \(R_Z \gg R_i\) a vysokou účinnost. Ve sdělovací technice, kde jde o slabé signály, se naopak přizpůsobuje (kapitola 12).maximum power transfer theorem, impedance matching

3.6Ztráty ve vedení a proč vysoké napětí

Má-li vedení s odporem \(R\) přenést výkon \(P\) při napětí \(U\), teče jím proud \(I = P/U\) a ztráty jsou

Ztráty klesají s druhou mocninou napětí: desetkrát vyšší napětí znamená stokrát menší ztráty. Proto se elektřina přenáší vysokým napětím a teprve u spotřebitele se transformuje dolů (kapitola 7).

3.7Energie v bateriích

Kapacita akumulátoru se často udává v ampérhodinách (Ah, mAh); energie je součin kapacity a jmenovitého napětí: \(W = Q\,U\). Akumulátor telefonu 4 000 mAh při 3,85 V uchová \(4\cdot 3{,}85 = 15{,}4\ \text{Wh}\). Nabíjený každý den spotřebuje za rok asi 5,6 kWh (bez ztrát nabíječky), tedy kolem 34 Kč. Elektromobil se spotřebou 16 kWh/100 km spotřebuje na 12 000 km ročně 1 920 kWh, při nabíjení doma za modelovou cenu asi 11 500 Kč.ampere-hour, battery capacity

3.8Procvičení

4.1Uzly, větve, smyčky

Obvod je síť uzlů spojených větvemi. Smyčka je uzavřená cesta, která žádným uzlem neprojde dvakrát. Obvod s \(u\) uzly a \(v\) větvemi má \(u-1\) nezávislých proudových rovnic a \(v-u+1\) nezávislých smyček. Gustav Robert Kirchhoff formuloval oba zákony v roce 1845 jako student v Královci.node, branch, loop, mesh

4.2První Kirchhoffův zákon (proudový)

Součet proudů vtékajících do uzlu se rovná součtu proudů vytékajících. Vezmeme-li proudy do uzlu kladně a z uzlu záporně, je algebraický součet nulový. Zákon vyjadřuje zachování náboje: v uzlu se náboj nehromadí.Kirchhoff’s current law (KCL)

4.3Druhý Kirchhoffův zákon (napěťový)

Součet napětí při oběhu libovolné smyčky je nulový: napětí zdrojů se rovná součtu úbytků na rezistorech. Plyne z toho, že potenciál je funkcí místa: obejdeme-li smyčku a vrátíme se do výchozího bodu, máme stejný potenciál jako na začátku. Platí, pokud se smyčkou nemění magnetický tok (indukci řeší kapitoly 5 a 12).Kirchhoff’s voltage law (KVL)

4.4Metoda uzlových napětí

Jeden uzel zvolíme za referenční (zem, 0 V) a neznámými budou napětí ostatních uzlů vůči němu. Pro každý neznámý uzel napíšeme proudový zákon a proudy vyjádříme Ohmovým zákonem z rozdílů uzlových napětí. Dostaneme soustavu lineárních rovnic; tak počítají obvody i simulátory typu SPICE.nodal analysis

Obvod z laboratoře: zdroj \(U_1\) je přes \(R_1\) připojen k uzlu A, zdroj \(U_2\) přes \(R_2\) k uzlu B; \(R_3\) vede z A na zem, \(R_4\) z B na zem a \(R_5\) spojuje A s B. Proudový zákon pro uzly A a B:

V maticovém tvaru \(\mathbf{G}\,\mathbf{V} = \mathbf{I}\): na diagonále je součet vodivostí připojených k uzlu, mimo diagonálu záporná vodivost mezi uzly, vpravo proudy, které do uzlu „tlačí“ zdroje:

4.5Metoda smyčkových proudů

Do každé nezávislé smyčky (oka) zavedeme fiktivní smyčkový proud. Proud větví, kterou sdílejí dvě smyčky, je rozdílem jejich smyčkových proudů. Pro každou smyčku napíšeme napěťový zákon. Metoda se hodí pro rovinné obvody s málo oky a se zdroji napětí.mesh analysis

4.6Princip superpozice

V lineárním obvodu je odezva na více zdrojů součtem odezev na jednotlivé zdroje. Ostatní zdroje přitom „vypneme“: zdroj napětí nahradíme zkratem, zdroj proudu rozpojením. V příkladu z oddílu 4.4 dá samotný \(U_1\) napětí \(V_A = 5{,}419\ \text{V}\), samotný \(U_2\) napětí 1,548 V; součet je 6,968 V.superposition principle

4.7Théveninova a Nortonova věta

Théveninova věta: lineární síť se vůči dvojici svorek chová jako ideální zdroj napětí \(U_{Th}\) v sérii s odporem \(R_{Th}\). \(U_{Th}\) je napětí na svorkách naprázdno; \(R_{Th}\) je odpor mezi svorkami, když všechny nezávislé zdroje „vypneme“, nebo podíl napětí naprázdno a zkratového proudu. Větu publikoval Léon Charles Thévenin v roce 1883 (Hermann von Helmholtz ji znal už roku 1853). Duální Nortonova věta (Edward Lawry Norton, Hans Ferdinand Mayer, 1926) používá zdroj proudu.Thévenin’s theorem, Norton’s theorem

4.8Můstek a transfigurace

Wheatstoneův můstek měří odpor porovnáním: ve vyváženém stavu je napětí v úhlopříčce nulové a platí \(R_x = R_2R_3/R_1\). Nevyvážený můstek převádí malou změnu odporu na napětí; tak pracují tenzometry na váhách a mostech. Můstek z odporů 1 kΩ napájený 10 V, v němž jeden odpor vzroste o 1 % na 1,01 kΩ, dá v úhlopříčce \(10\cdot(1{,}01/2{,}01 - 0{,}5) = 24{,}9\ \text{mV}\).Wheatstone bridge, strain gauge

Zapojení do trojúhelníku (Δ) lze nahradit hvězdou (Y) a naopak. Odpor hvězdy u daného vrcholu je součin dvou sousedních odporů trojúhelníku dělený součtem všech tří: \(R_a = R_{ab}R_{ca}/(R_{ab}+R_{bc}+R_{ca})\). Tři stejné odpory 30 Ω v trojúhelníku odpovídají hvězdě 3 × 10 Ω. Stejný převod se používá u třífázových zátěží (kapitola 7).delta–wye (Δ–Y) transformation

4.9Procvičení

5.1Kondenzátor a kapacita

Kondenzátor tvoří dvě vodivé elektrody oddělené izolantem. Přivedeme-li na něj napětí \(U\), nahromadí se na elektrodách náboje \(+Q\) a \(-Q\) úměrné napětí. Konstantou úměrnosti je kapacita, jednotkou farad (F = C/V). Prakticky se používají mikrofarady až pikofarady; jednotky faradů mají jen superkondenzátory.capacitor, capacitance, farad

\(\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot10^{-12}\ \text{F/m}\) je permitivita vakua, \(\varepsilon_r\) relativní permitivita izolantu, \(S\) plocha desek a \(d\) jejich vzdálenost. Poslední vztah je klíčový: proud kondenzátorem teče jen tehdy, když se mění napětí. Při stejnosměrném ustáleném stavu je kondenzátor rozpojený obvod; napětí na něm se nemůže změnit skokem, protože by to vyžadovalo nekonečný proud.

Paralelně řazené kondenzátory mají kapacitu rovnou součtu (zvětšuje se plocha), sériově řazené se sčítají převrácené hodnoty, tedy naopak než u rezistorů. Kondenzátory 2 µF a 3 µF dají paralelně 5 µF, sériově \(2\cdot 3/5 = 1{,}2\ \mu\text{F}\).

Elektrolytický kondenzátor 1 000 µF nabitý na 12 V nese \(\tfrac12\cdot 10^{-3}\cdot 144 = 0{,}072\ \text{J}\); superkondenzátor 100 F na 2,7 V nese 364,5 J, asi 0,10 Wh. Kondenzátory se hodí na rychlé dodání energie (blesk fotoaparátu, defibrilátor, vyhlazení napětí), na dlouhodobé uložení jsou akumulátory lepší.

5.2Cívka a indukčnost

Proud cívkou vytváří magnetické pole a jeho magnetický tok \(\Phi\) je úměrný proudu: \(N\Phi = LI\). Konstanta \(L\) je indukčnost, jednotkou henry (H). Podle Faradayova zákona indukuje změna toku napětí; podle Lenzova pravidla působí indukované napětí proti změně, která ho vyvolala.inductor, inductance, henry, Faraday’s law, Lenz’s law

Proud cívkou se nemůže změnit skokem, protože by to vyžadovalo nekonečné napětí. Cívka je „setrvačná“ vůči proudu, jako je kondenzátor setrvačný vůči napětí. V ustáleném stejnosměrném stavu se cívka chová jako zkrat (jen s odporem drátu). Cívka 0,5 H s proudem 1,2 A má energii \(\tfrac12\cdot 0{,}5\cdot 1{,}44 = 0{,}36\ \text{J}\).

5.3Přechodový děj RC

Kondenzátor nabíjíme ze zdroje \(U_0\) přes rezistor \(R\). Podle napěťového zákona \(U_0 = Ri + u_C\) a s \(i = C\,\mathrm{d}u_C/\mathrm{d}t\) dostaneme lineární diferenciální rovnici prvního řádu

Časová konstanta \(\tau\) je doba, za kterou by děj skončil, kdyby pokračoval počáteční rychlostí (tečna v počátku). Skutečně za \(\tau\) dosáhne napětí \(1 - e^{-1} = 63{,}2\ \%\) konečné hodnoty.time constant, transient response

Kam se ztratí polovina energie

Při nabití zdroj dodá náboj \(Q = CU_0\) při stálém napětí \(U_0\), tedy energii \(QU_0 = CU_0^2\). V kondenzátoru je ale jen \(\tfrac12CU_0^2\). Druhá polovina se přemění na teplo v rezistoru: \(\int_0^\infty Ri^2\,\mathrm{d}t = \frac{U_0^2}{R}\cdot\frac{\tau}{2} = \tfrac12CU_0^2\). Výsledek nezávisí na \(R\): malý odpor znamená velký proud po krátkou dobu, velký odpor malý proud po dlouhou dobu.

5.4Přechodový děj RL

Cívku připojíme přes odpor \(R\) ke zdroji \(U_0\). Z \(U_0 = Ri + L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t\) plyne

Cívka 0,5 H s odporem obvodu 10 Ω na 12 V: \(\tau = 50\ \text{ms}\), konečný proud 1,2 A, proud 1 A za \(t = \tau\ln 6 = 89{,}6\ \text{ms}\).

Nebezpečné je vypnutí. Proud cívkou nemůže skočit na nulu; rozpojíme-li obvod, \(\mathrm{d}i/\mathrm{d}t\) je obrovské a napětí \(L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t\) vzroste, dokud si proud nenajde cestu: jiskrou na kontaktech nebo průrazem tranzistoru. Kdyby se proud 1,2 A musel uzavřít přes 10 kΩ, napětí by v prvním okamžiku dosáhlo \(1{,}2\cdot 10\,000 = 12\ \text{kV}\). Proto se k cívkám relé a motorům dává nulová (rekuperační) dioda. Žádoucí je tento jev v zapalovacích cívkách motorů.flyback diode, inductive kick

5.5Obecný postup a obvody druhého řádu

Každý obvod prvního řádu (jeden kondenzátor nebo jedna cívka a rezistory) má odezvu na skok tvaru

Stačí tedy najít počáteční hodnotu (ze spojitosti \(u_C\) nebo \(i_L\)), konečnou hodnotu (kondenzátor jako rozpojení, cívka jako zkrat) a Théveninův odpor, který prvek „vidí“ (kapitola 4).

Obvod s cívkou i kondenzátorem je druhého řádu. Pro sériový RLC na skok napětí platí \(LC\,\ddot u_C + RC\,\dot u_C + u_C = U_0\). Charakteristická rovnice \(LCs^2 + RCs + 1 = 0\) má kořeny reálné (děj přetlumený), dvojnásobný (kriticky tlumený, \(R = 2\sqrt{L/C}\)) nebo komplexně sdružené (podtlumený, tlumené kmity s úhlovou frekvencí blízkou \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\)). Pro \(L = 10\ \text{mH}\), \(C = 1\ \mu\text{F}\) je \(\omega_0 = 10\,000\ \text{rad/s}\) (\(f_0 = 1\,592\ \text{Hz}\)) a kritický odpor 200 Ω. Kmitání a rezonanci rozebírá kapitola 6, tlumení soustav kapitola 11.second-order circuit, damping, critically damped

5.6Procvičení

6.1Harmonický průběh

Harmonické (sinusové) napětí má tvar \(u(t) = U_m\sin(\omega t + \varphi_u)\). \(U_m\) je amplituda, \(\omega = 2\pi f\) úhlová frekvence, \(f\) frekvence v hertzech a \(T = 1/f\) perioda; \(\varphi_u\) je počáteční fáze. V Česku i celé kontinentální Evropě má síť 50 Hz: \(T = 20\ \text{ms}\) a \(\omega = 314{,}16\ \text{rad/s}\).amplitude, angular frequency, phase

Sinusovka má výsadní postavení: je to jediný periodický průběh, který si v obvodu z rezistorů, cívek a kondenzátorů zachová tvar (derivace i integrál sinu je zase sinus). Generátory v elektrárnách ji vyrábějí přirozeně otáčením (kapitola 7) a každý jiný periodický průběh se dá složit ze sinusovek (kapitola 10).

6.2Efektivní a střední hodnota

Efektivní hodnota střídavého proudu je hodnota stejnosměrného proudu, který by v rezistoru vyvinul stejné teplo. Matematicky je to odmocnina ze střední hodnoty kvadrátu (anglicky RMS):root mean square (RMS), effective value

Síťových 230 V je efektivní hodnota; amplituda je \(230\sqrt2 = 325{,}3\ \text{V}\) a rozkmit mezi vrcholy 650,5 V. Pokud není řečeno jinak, údaje o střídavém napětí a proudu jsou vždy efektivní. Střední hodnota sinusovky za periodu je nulová; střední hodnota usměrněné sinusovky (absolutní hodnoty) je \(2U_m/\pi = 207{,}1\ \text{V}\).

6.3Fázory a komplexní čísla

Všechna napětí a proudy v lineárním obvodu se stejnou frekvencí se liší jen amplitudou a fází. Každou takovou sinusovku proto stačí popsat jedním komplexním číslem, fázorem \(\hat U = U\,e^{j\varphi}\). Elektrotechnici značí imaginární jednotku \(j\) (písmeno \(i\) patří proudu), \(j^2 = -1\). Průběh v čase dostaneme zpět jako \(u(t) = \sqrt2\,\mathrm{Re}\{\hat U e^{j\omega t}\}\).phasor, complex amplitude

Kouzlo fázorů: derivace v čase se změní v násobení \(j\omega\), integrál v dělení \(j\omega\). Diferenciální rovnice obvodu se tak promění v algebraické rovnice s komplexními čísly a všechny metody z kapitoly 4 (Kirchhoffovy zákony, uzlová napětí, Thévenin) platí beze změny.

6.4Impedance

Impedance \(Z = \hat U/\hat I\) je zobecněním odporu pro střídavý proud. Její reálná část je rezistance \(R\), imaginární reaktance \(X\). Velikost \(|Z|\) udává poměr efektivních hodnot napětí a proudu, argument \(\varphi\) fázový posun.impedance, resistance, reactance

Na cívce proud zaostává za napětím o 90°, na kondenzátoru o 90° předbíhá. Reaktance cívky s frekvencí roste, kondenzátoru klesá. Cívka 0,1 H má při 50 Hz reaktanci 31,4 Ω, kondenzátor 100 µF 31,8 Ω.

6.5Činný, jalový a zdánlivý výkon

Okamžitý výkon \(p(t) = u(t)\,i(t)\) při fázovém posunu kolísá a část periody je záporný: energie se vrací do zdroje. Průměr za periodu je činný výkon \(P\), který se mění v teplo nebo práci. Jalový výkon \(Q\) popisuje energii, která mezi zdrojem a polem cívek a kondenzátorů jen přelévá sem a tam. Zdánlivý výkon \(S = UI\) určuje, na jaký proud musí být dimenzováno vedení a transformátor.active, reactive and apparent power, power factor

V příkladu RL je \(P = I^2R = 4{,}522^2\cdot 40 = 818\ \text{W}\), \(Q = I^2X_L = 642\ \text{var}\), \(S = 230\cdot 4{,}522 = 1\,040\ \text{VA}\) a účiník \(\cos\varphi = 0{,}786\).

Kompenzace účiníku

Motory a transformátory odebírají induktivní jalový výkon. Ten zvětšuje proud ve vedení a tím ztráty, ale nekoná práci. Paralelně připojený kondenzátor dodá jalový výkon opačného znaménka „na místě“ a vedení se uleví. Velkoodběratelé proto musejí udržovat účiník blízko 1 a za jeho nedodržení platí přirážku.power factor correction

6.6Rezonance

V sériovém obvodu RLC je impedance \(Z = R + j(\omega L - 1/\omega C)\). Při rezonanční frekvenci se reaktance vyruší, impedance je čistě odporová a minimální a proud je největší. Kvalitu rezonance popisuje činitel jakosti \(Q\): čím je větší, tím ostřejší je rezonanční křivka a užší šířka pásma \(B\).resonance, quality factor, bandwidth

V paralelním rezonančním obvodu je naopak v rezonanci impedance největší (u ideálních součástek nekonečná). Rezonanční obvody vybírají stanici v rádiu, tvoří oscilátory a filtry. Rezonanční chování soustav obecně rozebírá kapitola 10.

6.7Procvičení

7.1Třífázová soustava

Třífázová soustava má tři fázová napětí stejné amplitudy posunutá o 120°:three-phase system

Fázové napětí (mezi fází a nulovým vodičem) je v nízkonapěťové síti 230 V, sdružené napětí (mezi dvěma fázemi) \(\sqrt3\) krát větší. Rozdíl dvou fázorů délky \(U_f\) svírajících 120° má délku \(2U_f\cos 30^\circ = \sqrt3\,U_f\). Jmenovité hodnoty jsou 230/400 V (\(\sqrt3\cdot 230 = 398\ \text{V}\), zaokrouhleno).phase voltage, line voltage

\(U_s\) je sdružené napětí, \(I\) proud ve vodiči (fázi) vedení. Souměrná třífázová zátěž odebírá stálý okamžitý výkon, a proto motory běží klidně.

Stejné tři odpory 100 Ω zapojené do hvězdy odebírají \(3\cdot 230{,}9^2/100 = 1\,600\ \text{W}\), do trojúhelníku \(3\cdot 400^2/100 = 4\,800\ \text{W}\), tedy třikrát víc. Tak funguje rozběh motorů přepínáním hvězda–trojúhelník: v hvězdě se rozbíhá s menším proudem.

Nulový vodič

Při nesouměrné zátěži (běžné v domech, kde jsou jednofázové spotřebiče rozděleny mezi fáze) teče nulovým vodičem fázorový součet proudů. Při odporových proudech 10 A, 6 A a 4 A je \(|\hat I_N| = |10 + 6\angle{-120^\circ} + 4\angle{120^\circ}| = 5{,}29\ \text{A}\). Přerušení nulového vodiče je nebezpečná porucha: napětí na fázích se pak rozdělí podle zátěže a některé spotřebiče mohou dostat až téměř 400 V.neutral conductor, unbalanced load

7.2Transformátor

Transformátor využívá elektromagnetickou indukci. Oběma vinutími prochází stejný proměnný tok \(\Phi\), takže na každém závitu se indukuje stejné napětí \(\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t\). Napětí jsou proto v poměru počtu závitů. U ideálního transformátoru se výkon zachovává, proudy jsou v obráceném poměru.transformer, turns ratio

Skutečný transformátor má ztráty ve vinutí (Jouleovy) a v jádře (hystereze a vířivé proudy, proto se jádro skládá z tenkých izolovaných plechů). Velké transformátory mají účinnost přes 99 %. Na stejnosměrný proud transformátor nefunguje: stálý tok nic neindukuje.

7.3Elektrizační soustava a kvalita napětí

Podle energetického zákona tvoří přenosovou soustavu vedení a zařízení 400 kV, 220 kV a vybraná 110 kV; ostatní je distribuce (příloha C, ověřeno 13. 10. 2026).

Česká soustava je součástí synchronně propojené soustavy kontinentální Evropy: generátory od Portugalska po Polsko se otáčejí v synchronismu a frekvence je všude stejná. Elektřina se neskladuje (kromě malé části v akumulačních zařízeních), takže výroba se musí v každém okamžiku rovnat spotřebě včetně ztrát. Když spotřeba převýší výrobu, chybějící energie se odebírá z kinetické energie otáčejících se strojů, ty zpomalují a frekvence klesá. Regulátory elektráren pak během sekund zvýší výkon (primární regulace), během minut obnoví plánované toky (sekundární regulace). Při velkém poklesu frekvence se automaticky odpojují části spotřeby, aby soustava nezkolabovala.synchronous area, frequency control, load shedding

Kvalitu napětí v distribučních sítích popisuje norma ČSN EN 50160. Zjednodušeně: v síti NN má 95 % desetiminutových průměrů efektivní hodnoty napětí ležet během týdne v pásmu 230 V ± 10 % (207–253 V); frekvence v synchronně propojené soustavě má být 50 Hz ± 1 % (49,5–50,5 Hz) během 99,5 % roku a vždy v pásmu 47–52 Hz.power quality, EN 50160

7.4Elektromotory a generátory

Na vodič s proudem \(I\) délky \(l\) v magnetickém poli \(B\) působí síla \(F = BIl\) (pro kolmý vodič); na tom stojí každý elektromotor. Obráceně: vodič pohybující se v poli rychlostí \(v\) má na koncích indukované napětí \(u = Blv\); to je princip generátoru. Otáčí-li se cívka s \(N\) závity a plochou \(S\) v homogenním poli úhlovou rychlostí \(\omega\), indukuje se sinusové napětí \(u = NBS\omega\sin\omega t\). Michael Faraday objevil elektromagnetickou indukci v roce 1831.Lorentz force, electromagnetic induction, generator

Točivé magnetické pole a asynchronní motor

Tři cívky natočené o 120° napájené třemi fázemi vytvoří točivé magnetické pole, které obíhá synchronními otáčkami \(n_s = 60f/p\) za minutu, kde \(p\) je počet pólových dvojic. V rotoru asynchronního (indukčního) motoru pole indukuje proudy a ty ho táhnou za polem; rotor se ale točí o něco pomaleji, jinak by se nic neindukovalo. Rozdíl popisuje skluz \(s = (n_s - n)/n_s\), obvykle několik procent. Čtyřpólový motor na 50 Hz má \(n_s = 1\,500\ \text{min}^{-1}\) a se skluzem 4 % se točí 1 440 min⁻¹. Motor tohoto typu vynalezli nezávisle Nikola Tesla a Galileo Ferraris (1888); třífázový přenos předvedl Michail Dolivo-Dobrovolskij roku 1891.rotating magnetic field, induction motor, slip

Synchronní stroje

Rotor synchronního stroje je magnetem (permanentním nebo buzeným proudem) a točí se přesně synchronními otáčkami. Takové jsou generátory v elektrárnách: dvoupólový turboalternátor má 3 000 min⁻¹, pomaloběžný generátor vodní elektrárny se 40 póly jen 150 min⁻¹. Synchronní motory s permanentními magnety napájené střídačem (kapitola 12) pohánějí většinu elektromobilů.synchronous machine, alternator, permanent-magnet motor

7.5Procvičení

8.1Polovodiče a příměsi

V krystalu křemíku je každý atom vázán čtyřmi kovalentními vazbami. Aby elektron mohl vést proud, musí získat energii aspoň rovnou šířce zakázaného pásu \(E_g\) (pro křemík 1,12 eV, pro arsenid galia 1,42 eV při 300 K). Při pokojové teplotě to dokáže jen nepatrná část elektronů; uvolněný elektron po sobě zanechá díru, která se chová jako kladný nosič náboje.band gap, hole, intrinsic semiconductor

Vodivost se řídí dopováním. Pětimocná příměs (fosfor, arsen) dodá volný elektron: vznikne polovodič typu N s většinovými elektrony. Trojmocná příměs (bor) vytvoří díru: typ P s většinovými děrami. Stačí jeden atom příměsi na milion atomů křemíku, aby vodivost vzrostla o mnoho řádů.doping, donor, acceptor, majority carriers

8.2PN přechod

Na rozhraní oblastí P a N difundují elektrony do P a díry do N a rekombinují. Vznikne ochuzená oblast bez volných nosičů, v níž zůstanou nabité ionty příměsí, a jejich pole vytvoří difuzní (vestavěné) napětí, u křemíku kolem 0,7 V. Vnější napětí v propustném směru bariéru snižuje a proud exponenciálně roste; v závěrném směru ji zvyšuje a teče jen nepatrný saturační proud, dokud nenastane průraz.depletion region, built-in voltage, forward bias, reverse bias, breakdown

8.3Dioda

Voltampérovou charakteristiku ideálního PN přechodu popisuje Shockleyova rovnice (William Shockley, 1949):Shockley diode equation, thermal voltage

\(I_S\) je saturační proud (u malých křemíkových diod řádově \(10^{-14}\) až \(10^{-12}\) A), \(n\) činitel ideality (1 až 2). Z rovnice plyne užitečné pravidlo: desetinásobný proud znamená napětí vyšší jen o \(n U_T\ln 10\), při \(n = 1\) asi 60 mV. Proto se v jednoduchých výpočtech dioda nahrazuje konstantním úbytkem: křemík 0,6–0,7 V, Schottkyho dioda 0,2–0,4 V, LED 1,8–3,3 V podle barvy. S teplotou napětí na diodě při stálém proudu klesá asi o 2 mV na kelvin.

Zenerova dioda pracuje záměrně v průrazu: v závěrném směru drží téměř stálé napětí (například 5,1 V) a slouží jako jednoduchý stabilizátor napětí nebo ochrana proti přepětí.Zener diode

8.4Usměrňovače a filtrace

Jednocestný usměrňovač (jedna dioda) propustí jen kladné půlvlny. Dvoucestný v zapojení Graetzova můstku (čtyři diody) obrátí i záporné půlvlny. Za usměrňovač se zařadí filtrační kondenzátor: ve špičkách se nabije na amplitudu (méně úbytek na diodách) a mezi špičkami ho vybíjí zátěž. Pro malé zvlnění platí

8.5Bipolární tranzistor

Bipolární tranzistor NPN tvoří tenká oblast P (báze) mezi dvěma oblastmi N (emitor a kolektor). Malý proud do báze otevře přechod báze–emitor a elektrony z emitoru prolétnou tenkou bází až do kolektoru. Kolektorový proud je přibližně úměrný proudu báze; zesilovací činitel \(\beta\) (\(h_{21E}\)) bývá 50 až 500. Tranzistor vynalezli John Bardeen, Walter Brattain a William Shockley v Bellových laboratořích (hrotový 1947, plošný 1948).bipolar junction transistor (BJT), base, emitter, collector, current gain

Tranzistor jako spínač

Ve spínacím režimu tranzistor přepíná mezi zavřeným stavem (proud nulový) a saturací (napětí \(U_{CE}\) jen asi 0,1–0,3 V). V obou stavech je na něm malý výkon. Proud báze se volí s rezervou, aby saturace platila i pro tranzistor s nejmenším \(\beta\).saturation, cut-off, switch

Tranzistor jako zesilovač

V aktivním režimu reaguje kolektorový proud na malé změny napětí báze–emitor. Strmost (transkonduktance) \(g_m = \mathrm{d}I_C/\mathrm{d}U_{BE} = I_C/U_T\) plyne přímo z exponenciální charakteristiky. Zesilovač se společným emitorem s kolektorovým odporem \(R_C\) má napěťové zesílení přibližně \(A_u = -g_m R_C\). Při \(I_C = 1\ \text{mA}\) je \(g_m = 38{,}7\ \text{mS}\) a s \(R_C = 4{,}7\ \text{k}\Omega\) je \(A_u \approx -182\). Zesílení ale závisí na teplotě a na kusu; proto se zavádí záporná zpětná vazba (emitorový odpor \(R_E\) dá \(A_u \approx -R_C/R_E\)), která zesílení zmenší, ale stabilizuje (kapitola 11).transconductance, common-emitter amplifier, negative feedback

Unipolární tranzistor MOSFET

U tranzistoru MOSFET řídí proud kanálem napětí na izolovaném hradle; do hradla v ustáleném stavu proud neteče. Komplementární dvojice MOSFETů tvoří logická hradla CMOS ve všech procesorech (kapitola 9), výkonové MOSFETy spínají měniče a motory (kapitola 12).metal–oxide–semiconductor field-effect transistor (MOSFET), CMOS

8.6LED a fotovoltaický článek

V LED se v propustném směru elektrony a díry rekombinují a energii vyzáří jako foton s energií blízkou \(E_g\). Barvu tedy určuje materiál:light-emitting diode (LED), photon energy

Červená LED s \(E \approx 1{,}9\ \text{eV}\) svítí kolem 653 nm, modrá s 2,7 eV kolem 459 nm, arsenid galia (1,42 eV) vyzařuje infračerveně kolem 873 nm (dálkové ovladače). Bílé LED jsou modré čipy s luminoforem, který část modrého světla převádí na žluté. Za modré LED dostali Isamu Akasaki, Hiroši Amano a Šúdži Nakamura Nobelovu cenu za fyziku 2014.

Fotovoltaický článek je velkoplošný PN přechod. Pohlcený foton s energií větší než \(E_g\) vytvoří pár elektron–díra a vnitřní pole přechodu je rozdělí: vzniká fotoproud \(I_L\) úměrný ozáření. Charakteristika osvětleného článku je charakteristika diody posunutá o fotoproud:photovoltaic cell, photocurrent, open-circuit voltage, short-circuit current, maximum power point (MPP), fill factor

8.7Procvičení

9.1Dvojková soustava

Číslicové obvody reprezentují čísla ve dvojkové soustavě: \(13 = 1\cdot 8 + 1\cdot 4 + 0\cdot 2 + 1\cdot 1 = 1101_2 = \text{D}_{16}\). Slovo o \(n\) bitech nabývá \(2^n\) hodnot. Záporná čísla se ukládají ve dvojkovém doplňku: \(-x\) je \(2^n - x\), takže \(-13\) v osmi bitech je \(256 - 13 = 243 = 11110011_2\). Výhoda: sčítačka pak sčítá kladná i záporná čísla stejně. Číselné soustavy a reprezentaci dat podrobně vykládá průvodce Informatika.binary number, two’s complement, bit

9.2Booleova algebra

George Boole popsal v roce 1854 algebru logických hodnot; Claude Shannon v roce 1938 ukázal, že přesně popisuje obvody z relé, a tím založil teorii logických obvodů. Proměnné nabývají hodnot 0 a 1, základní operace jsou logický součin AND (\(A\cdot B\)), logický součet OR (\(A+B\)) a negace NOT (\(\bar A\)).Boolean algebra, conjunction, disjunction, negation

Každou funkci \(n\) proměnných lze zapsat pravdivostní tabulkou s \(2^n\) řádky; různých funkcí je \(2^{2^n}\), pro dvě proměnné 16. Každou lze také zapsat jako součet mintermů (řádků, kde je výstup 1); to je úplná normální disjunktivní forma.truth table, minterm, sum of products (SOP)

9.3Logická hradla a jejich realizace

Hradla NAND a NOR jsou univerzální: z kteréhokoli z nich samotného lze sestavit jakoukoli funkci. Například \(\bar A = \overline{A\cdot A}\), \(A\cdot B = \overline{\overline{A\cdot B}}\) a \(A + B = \overline{\bar A\cdot\bar B}\).universal gate

Dnešní hradla se vyrábějí technologií CMOS: invertor tvoří tranzistor PMOS mezi napájením a výstupem a NMOS mezi výstupem a zemí. Vždy je otevřený jen jeden z nich, takže v klidu obvod téměř neodebírá proud; energie se spotřebuje hlavně při přepínání (\(P \approx \alpha CU^2f\), kde \(\alpha\) je podíl přepínajících uzlů). Proto spotřeba procesoru roste s frekvencí a s druhou mocninou napájecího napětí.complementary MOS (CMOS), dynamic power

9.4Minimalizace a Karnaughova mapa

Méně hradel znamená menší, rychlejší a úspornější obvod. Karnaughova mapa (Maurice Karnaugh, 1953) je pravdivostní tabulka uspořádaná tak, že sousední políčka se liší hodnotou jediné proměnné (řádky a sloupce v Grayově kódu 00, 01, 11, 10, včetně sousedství přes okraj). Sousední jedničky lze sloučit podle \(AB + A\bar B = A\). Postup:Karnaugh map, Gray code, prime implicant, don’t care

1. Zakreslete jedničky (a hodnoty „na tom nezáleží“ X).
2. Pokryjte všechny jedničky co nejmenším počtem co největších obdélníkových skupin o 1, 2, 4, 8 nebo 16 políčkách; skupiny se smějí překrývat a přecházet přes okraj, X lze přibrat, pokud to pomůže.
3. Každá skupina dá součin těch proměnných, které jsou v ní stálé (proměnná, která se mění, vypadne).

Pro víc proměnných se používá algoritmická Quineova–McCluskeyho metoda a v praxi heuristiky, protože hledání nejmenšího pokrytí je obecně výpočetně těžký problém. Syntézu dnes provádějí návrhové programy z popisu v jazycích jako VHDL nebo Verilog.

9.5Kombinační obvody: sčítačka

Poloviční sčítačka sečte dva bity: součet \(S = A\oplus B\), přenos \(C = AB\). Úplná sčítačka přičítá i přenos z nižšího řádu:half adder, full adder, carry

Řetězením \(n\) úplných sčítaček vznikne sčítačka \(n\)-bitových čísel s postupným přenosem. Je jednoduchá, ale pomalá: přenos musí projít všemi řády. Rychlé procesory používají sčítačky s predikcí přenosu.ripple-carry adder, carry-lookahead adder

Dalšími kombinačními bloky jsou multiplexor (vybírá jeden z \(2^k\) vstupů podle \(k\) adresních bitů), dekodér (aktivuje jeden z \(2^k\) výstupů) a komparátor.

9.6Sekvenční obvody

Výstup sekvenčního obvodu závisí i na minulosti: obvod má paměť. Nejjednodušší je klopný obvod RS ze dvou zpětnovazebně propojených hradel NOR: vstup S nastaví Q = 1, R vynuluje Q = 0, při S = R = 0 obvod drží stav. Synchronní obvody používají klopné obvody typu D řízené hranou hodinového signálu: při náběžné hraně se do výstupu zkopíruje vstup, \(Q^+ = D\). Klopný obvod T při T = 1 změní stav, \(Q^+ = Q\oplus T\); obvod JK kombinuje obě chování.sequential circuit, latch, flip-flop, clock edge

Synchronní binární čítač ze \(n\) klopných obvodů T: bit \(Q_i\) se překlopí, když jsou všechny nižší bity rovny 1, tedy \(T_i = Q_0Q_1\cdots Q_{i-1}\). Počítá od 0 do \(2^n-1\); výstup \(Q_i\) má frekvenci \(f/2^{i+1}\). Dekadický čítač se po stavu 1001 (9) vynuluje. Obecný sekvenční obvod je konečný automat (Mooreův nebo Mealyho): registr stavu plus kombinační logika pro další stav a výstupy. Tak pracuje řadič každého procesoru.counter, frequency divider, finite-state machine

9.7Procvičení

10.1Signály a lineární systémy

Signál je funkce času nesoucí informaci: spojitý \(x(t)\), nebo diskrétní posloupnost vzorků \(x[n]\). Systém převádí vstupní signál na výstupní. Je-li lineární (platí superpozice) a časově invariantní (posun vstupu posune výstup), mluvíme o systému LTI. Obvody z rezistorů, kondenzátorů a cívek jsou systémy LTI.signal, linear time-invariant (LTI) system

Systém LTI je plně popsán impulsní odezvou \(h(t)\), tedy odezvou na velmi krátký jednotkový impuls. Výstup na libovolný vstup je pak konvoluce \(y(t) = \int h(\tau)\,x(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau\). Ještě důležitější je, že sinusovka je pro systém LTI „vlastní funkcí“: na vstup \(\sin\omega t\) odpoví sinusovkou téže frekvence, jen s amplitudou násobenou \(|H(j\omega)|\) a posunutou o \(\arg H(j\omega)\). Funkce \(H(j\omega)\) je frekvenční přenos.impulse response, convolution, frequency response

10.2Fourierova řada

Joseph Fourier ukázal (1822), že periodickou funkci s periodou \(T = 2\pi/\omega_0\) lze zapsat jako součet harmonických funkcí s frekvencemi \(k\omega_0\):Fourier series, harmonic, fundamental

Složka s \(k = 1\) je základní harmonická, ostatní vyšší harmonické; \(a_0\) je stejnosměrná složka. Pro obdélník s amplitudou \(A\) vyjde

Amplitudy obdélníku klesají jako \(1/k\), trojúhelníku jako \(1/k^2\): čím hladší průběh, tím rychleji ubývají vyšší harmonické. Skoková hrana potřebuje nekonečně mnoho harmonických. Částečný součet má u skoku překmit, který se s počtem členů zužuje, ale neklesne pod asi 9 % velikosti skoku (Gibbsův jev; u obdélníku ±1 dosahují špičky 1,179).Gibbs phenomenon

Parsevalova rovnost říká, že výkon signálu je součtem výkonů harmonických. Obdélník ±\(A\) má výkon \(A^2\); základní harmonická s amplitudou \(4A/\pi\) nese \(\frac12(4A/\pi)^2 = 8A^2/\pi^2\), tedy 81,1 %. Harmonické 1, 3 a 5 dohromady nesou 93,3 %.Parseval’s theorem

10.3Fourierova transformace a spektrum

Neperiodický signál má místo čárového spojité spektrum dané Fourierovou transformací:Fourier transform, spectrum

Platí princip neurčitosti mezi časem a frekvencí: krátký impuls má široké spektrum a úzké spektrum vyžaduje dlouhý signál. Proto rychlá datová komunikace potřebuje široké pásmo. Konvoluce v čase odpovídá násobení ve frekvenci: \(Y(f) = H(f)X(f)\). Počítače používají diskrétní Fourierovu transformaci a její rychlý algoritmus FFT (Cooley a Tukey, 1965).discrete Fourier transform (DFT), fast Fourier transform (FFT)

10.4Frekvenční přenos a Bodeho diagram

Dolní propust RC (rezistor v sérii, výstup na kondenzátoru) je dělič s impedancemi \(R\) a \(1/(j\omega C)\):

Bodeho diagram (Hendrik W. Bode, Bellovy laboratoře, 30. a 40. léta) kreslí \(|H|\) v decibelech a fázi proti logaritmu frekvence. V těchto souřadnicích se charakteristiky skládají z přímek: dolní propust 1. řádu má do mezní frekvence asymptotu 0 dB, za ní klesá o 20 dB na dekádu (desetinásobek frekvence). Na mezní frekvenci je útlum 3 dB (\(|H| = 1/\sqrt2\), poloviční výkon) a fáze −45°.Bode plot, decibel, cutoff frequency, decade

10.5Filtry

Podle propouštěného pásma rozlišujeme dolní propust, horní propust, pásmovou propust a pásmovou zádrž. Filtr \(n\)-tého řádu klesá za mezní frekvencí o \(20n\) dB na dekádu. Typy se liší kompromisem mezi plochostí v propustném pásmu, strmostí a překmity v čase: Butterworthův filtr má maximálně plochou charakteristiku, Čebyševův strmější přechod za cenu zvlnění. Aktivní filtry používají operační zesilovače, číslicové filtry (FIR, IIR) počítají v procesoru.low-pass, high-pass, band-pass, band-stop, filter order, Butterworth

V čase se dolní propust projeví zpomalením hran: doba náběhu (10 % → 90 %) filtru 1. řádu je \(t_r = 2{,}2\,\tau \approx 0{,}35/f_m\); pro \(f_m = 1\ \text{kHz}\) asi 350 µs. Proto musí mít osciloskop pro zobrazení rychlých hran šířku pásma aspoň řádově \(0{,}35/t_r\).rise time

10.6Vzorkování a kvantování

Vzorkovací věta (Nyquist 1928, Kotělnikov 1933, Shannon 1949): signál s frekvencemi nejvýše \(f_{\max}\) lze ze vzorků přesně obnovit, je-li vzorkovací frekvence \(f_{vz} \gt 2f_{\max}\). Polovina vzorkovací frekvence je Nyquistova frekvence. Složky nad ní se „přeloží“ dolů na frekvence \(|f - kf_{vz}|\) (aliasing) a nedají se pak odlišit od skutečných. Proto je před každým převodníkem analogová antialiasingová dolní propust.sampling theorem, Nyquist frequency, aliasing, anti-aliasing filter

Kvantování zaokrouhlí každý vzorek na jednu z \(2^N\) úrovní. Pro sinusový signál přes celý rozsah je odstup signálu od kvantovacího šumu

16 bitů dává 98,1 dB, 24 bitů teoreticky 146,2 dB (prakticky omezí analogová část). Dvanáctibitový převodník s rozsahem 3,3 V má krok \(3{,}3/4\,096 = 0{,}806\ \text{mV}\).quantization, signal-to-noise ratio (SNR), ADC

10.7Procvičení

11.1Otevřená a uzavřená smyčka

Řízení v otevřené smyčce (ovládání) nastaví akční zásah podle předpokladu a výsledek nekontroluje: pračka točí bubnem dané minuty. Regulace (řízení se zpětnou vazbou) měří regulovanou veličinu a koriguje zásah podle odchylky. Zpětná vazba potlačuje poruchy, snižuje citlivost na nepřesnost modelu a zrychluje odezvu; za to hrozí nestabilita a do smyčky se dostává šum čidla.open-loop control, feedback control, disturbance rejection

Odstředivý regulátor parního stroje (James Watt, 1788) byl první průmyslovou zpětnou vazbou; jeho kmitání rozebral matematicky James Clerk Maxwell v článku On Governors (1868). Harold Black si v roce 1927 uvědomil, že zápornou zpětnou vazbou lze z nestálých elektronkových zesilovačů udělat přesné; Harry Nyquist (1932) a Hendrik Bode pak vytvořili frekvenční teorii stability. PID regulátor popsal pro řízení lodí Nicolas Minorsky (1922).

11.2Přenosová funkce

Lineární soustavu popisuje diferenciální rovnice. Laplaceova transformace \(X(s) = \int_0^\infty x(t)\,e^{-st}\,\mathrm{d}t\) převede derivaci na násobení \(s\) (při nulových počátečních podmínkách), takže rovnice se stane algebraickou. Poměr obrazů výstupu a vstupu je přenosová funkce \(G(s) = Y(s)/U(s)\); pro \(s = j\omega\) dává frekvenční přenos z kapitoly 10.Laplace transform, transfer function

\(G_1\) je soustava prvního řádu se zesílením \(K\), časovou konstantou \(\tau\) a dopravním zpožděním \(L\): dobrý model tepelných a mnoha průmyslových procesů. \(G_2\) je kmitavá soustava druhého řádu s vlastní frekvencí \(\omega_n\) a poměrným tlumením \(\zeta\) (obvod RLC, pružina s tlumičem, kapitola 5).dead time, natural frequency, damping ratio

Pro regulátor \(C(s)\) a soustavu \(G(s)\) v jednoduché smyčce platí

11.3Odezva na skok

Kvalitu regulace popisují ukazatele odezvy na skok žádané hodnoty: doba náběhu, překmit, doba ustálení a trvalá regulační odchylka. Pro podtlumený systém druhého řádu (\(0 \lt \zeta \lt 1\)) platírise time, overshoot, settling time, steady-state error

11.4Stabilita

Lineární systém je stabilní, když se po vychýlení vrátí do rovnováhy, tedy když jeho omezený vstup dává omezený výstup. Nutnou a postačující podmínkou je, aby všechny póly přenosu (kořeny jmenovatele) ležely v levé polorovině, \(\mathrm{Re}\,p \lt 0\). Pól \(p = \sigma + j\omega\) přispívá do odezvy členem \(e^{\sigma t}\cos\omega t\): záporné \(\sigma\) tlumí, kladné rozkmitává.stability, pole, left half-plane

Polohu kořenů bez jejich výpočtu prověří Routhovo–Hurwitzovo kritérium. Pro smyčku se soustavou \(1/(s+1)^3\) a P regulátorem \(K\) je charakteristický polynom \(s^3 + 3s^2 + 3s + 1 + K\). Pro polynom třetího stupně \(s^3 + a_2s^2 + a_1s + a_0\) se kladnými koeficienty vyžaduje kritérium \(a_2a_1 \gt a_0\), tedy \(9 \gt 1 + K\): smyčka je stabilní pro \(K \lt 8\). Při \(K = 8\) kmitá netlumeně s \(\omega = \sqrt{3}\ \text{rad/s}\), periodou 3,63 s.Routh–Hurwitz criterion

Frekvenční pohled (Nyquistovo kritérium): smyčka se rozkmitá, když otevřená smyčka \(C(j\omega)G(j\omega)\) má na frekvenci s fázovým posunem −180° zesílení aspoň 1. Rezervy se měří amplitudovou bezpečností (kolikrát lze zesílení zvětšit) a fázovou bezpečností (kolik fáze zbývá do −180° při zesílení 1). Dopravní zpoždění přidává fázový posun \(-\omega L\) bez změny zesílení, a proto omezuje, jak rychlý může regulátor být.Nyquist criterion, gain margin, phase margin

11.5PID regulátor

Regulátor PID sčítá tři složky: proporcionální (reaguje na současnou odchylku), integrační (na nahromaděnou minulou odchylku) a derivační (na rychlost změny, tedy odhad budoucnosti):proportional–integral–derivative (PID) controller

• P: větší \(K_p\) zrychlí a zmenší trvalou odchylku, ale zvýší překmit a nakonec rozkmitá smyčku.
• I: odstraní trvalou odchylku (integrátor roste, dokud je odchylka nenulová), ale zpomaluje a přidává fázové zpoždění. Při omezeném akčním členu hrozí integrační nasycení (windup): integrátor naroste během saturace a pak způsobí velký překmit. Ochranou je zastavení integrace v saturaci.integral windup, anti-windup
• D: tlumí a předvídá, ale zesiluje šum; proto se derivuje filtrovaně a z měřené veličiny, ne z odchylky (skok žádané hodnoty by jinak dal ránu).

11.6Ladění regulátoru

John Ziegler a Nathaniel Nichols (1942) navrhli empirická pravidla. Metoda kritického zesílení: zvyšujte \(K_p\) (bez I a D), až smyčka trvale kmitá; zaznamenejte kritické zesílení \(K_u\) a periodu \(T_u\). Pak \(K_p = 0{,}6K_u\), \(T_i = 0{,}5T_u\), \(T_d = 0{,}125T_u\). Metoda přechodové charakteristiky pro soustavu \(K e^{-Ls}/(\tau s+1)\): \(K_p = 1{,}2\,\tau/(KL)\), \(T_i = 2L\), \(T_d = 0{,}5L\).Ziegler–Nichols tuning, ultimate gain

11.7Číslicová regulace

Dnešní regulátory počítají v mikroprocesoru nebo v programovatelném automatu (PLC). Vzorkují měření s periodou \(T_s\), která má být mnohem kratší než časové konstanty smyčky (pravidlo palce: desetkrát kratší než doba náběhu), integrál nahradí součtem a derivaci rozdílem: \(u_k = K_p\big(e_k + \frac{T_s}{T_i}\sum e_j + \frac{T_d}{T_s}(e_k - e_{k-1})\big)\). Vzorkování přidává do smyčky zpoždění asi \(T_s/2\) a před převodníkem je třeba antialiasingový filtr (kapitola 10).digital control, programmable logic controller (PLC)

11.8Procvičení

12.1Maxwellovy rovnice

James Clerk Maxwell shrnul v roce 1865 elektřinu a magnetismus do soustavy rovnic, které dnes píšeme ve vektorovém tvaru (Oliver Heaviside). Předpověděl elektromagnetické vlny šířící se rychlostí světla; Heinrich Hertz je prokázal pokusy v letech 1887–1888.Maxwell’s equations

V lineárním prostředí \(\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}\) a \(\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}\). Člen \(\partial\mathbf{D}/\partial t\) (posuvný proud) doplnil Maxwell; bez něj by nebyly vlny a „proud“ kondenzátorem by porušoval zachování náboje.displacement current

Kirchhoffovy zákony z kapitoly 4 jsou limitou Maxwellových rovnic pro obvody malé ve srovnání s vlnovou délkou: tehdy lze zanedbat dobu šíření a indukci mimo součástky.

12.2Elektromagnetické vlny

Z Faradayova a Ampérova–Maxwellova zákona plyne vlnová rovnice. Rychlost šíření ve vakuu a impedance volného prostoru jsou

V látce s permitivitou \(\varepsilon_r\) a permeabilitou \(\mu_r\) je rychlost \(c/\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}\). Vlnová délka sítě 50 Hz je asi 6 000 km, rozhlasu VKV 100 MHz 3,0 m, Wi-Fi 2,4 GHz 12,5 cm. Tok výkonu vlny popisuje Poyntingův vektor \(\mathbf{S} = \mathbf{E}\times\mathbf{H}\): energie neteče „v drátu“, ale v poli kolem něj, a vodiče ji jen vedou.wave impedance, wavelength, Poynting vector

Střídavý proud se ve vodiči vytlačuje k povrchu (povrchový jev, skinefekt). Hloubka vniku \(\delta = \sqrt{2\rho/(\omega\mu)}\) je pro měď při 50 Hz asi 9,3 mm, při 1 MHz jen 66 µm. Proto mají vodiče velmi vysokého napětí lana z mnoha drátů a vysokofrekvenční vodiče se postříbřují.skin effect, skin depth

12.3Vedení a odrazy

Je-li vedení delší než zhruba desetina vlnové délky (nebo hrana signálu kratší než několikanásobek doby šíření), musí se brát jako vedení s rozloženými parametry: indukčností \(L'\) a kapacitou \(C'\) na metr. Pro bezeztrátové vedení plynou z telegrafních rovnic vlnová (charakteristická) impedance a rychlost šíření:transmission line, characteristic impedance, telegrapher’s equations

Koaxiální kabel s polyetylenovým dielektrikem (\(\varepsilon_r = 2{,}25\)) má rychlost \(c/1{,}5\), tedy 5,0 ns na metr. Vlna dopadající na zátěž \(Z_Z\) se odrazí s činitelem odrazu \(\Gamma\): na otevřeném konci \(\Gamma = +1\) (napětí se zdvojí), na zkratu \(\Gamma = -1\), při přizpůsobení \(Z_Z = Z_v\) se nic neodrazí. Míru nepřizpůsobení udává poměr stojatých vln PSV a útlum odrazu \(-20\log_{10}|\Gamma|\).reflection coefficient, impedance matching, standing wave ratio (SWR), return loss

12.4Antény v principu

Vyzařuje každý náboj, který se pohybuje se zrychlením; anténa je vodič navržený tak, aby to dělala účinně. Základní půlvlnný dipól (dva vodiče o celkové délce asi \(\lambda/2\)) má vyzařovací odpor kolem 73 Ω a zisk 2,15 dBi vůči izotropnímu zářiči. Pro 100 MHz je \(\lambda/2 = 1{,}50\ \text{m}\) (prakticky o několik procent kratší). Antény jsou reciproční: stejně dobře přijímají jako vysílají.half-wave dipole, radiation resistance, antenna gain, reciprocity

Útlum volným prostorem na 2,4 GHz a 100 m je 80,1 dB: mezi dvěma izotropními anténami dorazí k přijímači jen asi \(10^{-8}\) vyslaného výkonu. Každé zdvojnásobení vzdálenosti přidá 6 dB útlumu.free-space path loss

12.5Výkonová elektronika

Lineární stabilizátor sníží napětí tak, že přebytek „protopí“: ze 12 V na 5 V při 2 A ztratí 14 W a má účinnost jen \(5/12 = 42\ \%\). Spínaný měnič místo toho tranzistor buď úplně otevře, nebo úplně zavře; v obou stavech je na něm malý výkon. Energii mezi vstupem a výstupem přelévá cívka a kondenzátor, které spínaný průběh vyhladí. Řízení obstarává pulzně šířková modulace (PWM): poměr doby sepnutí k periodě je střída \(D\).switched-mode power supply (SMPS), pulse-width modulation (PWM), duty cycle

Zvyšující měnič (boost) dává vyšší napětí než vstup: z 12 V na 24 V při \(D = 0{,}5\). Blokující měnič (flyback) s transformátorem zajišťuje galvanické oddělení v nabíječkách telefonů. Střídač (invertor) vyrábí ze stejnosměrného napětí střídavé: můstek ze čtyř (jednofázový) nebo šesti tranzistorů (třífázový) spíná s proměnnou střídou podle sinusovky a filtr nebo indukčnost motoru propustí jen základní harmonickou. Střídače pohánějí motory s proměnnými otáčkami, elektromobily a připojují fotovoltaiku do sítě.boost converter, flyback converter, inverter, variable-frequency drive

Spínací prvky jsou výkonové MOSFETy (nižší napětí, vysoké frekvence), IGBT (stovky voltů až kilovolty, střední frekvence) a nově tranzistory z karbidu křemíku (SiC) a nitridu galia (GaN), které díky širšímu zakázanému pásu snesou vyšší napětí a teploty a spínají rychleji s menšími ztrátami.IGBT, silicon carbide (SiC), gallium nitride (GaN), wide-bandgap semiconductors

12.6Elektromobilita a akumulace energie

Trakční baterie elektromobilu je složena ze stovek až tisíců lithiových článků (jmenovitě kolem 3,6–3,7 V) do soustavy s napětím zhruba 400 V nebo 800 V. Střídač napájí synchronní nebo asynchronní motor (kapitola 7) a při brzdění funguje obráceně: motor je generátorem a vrací energii do baterie (rekuperace). Střídavé nabíjení (typicky do 11 kW třífázově, tedy 400 V a 16 A) obstarává nabíječka ve voze, rychlé stejnosměrné nabíjení (desítky až stovky kW) dodává do baterie přímo stojan.traction battery, regenerative braking, AC charging, DC fast charging

Elektřinu z proměnlivých zdrojů je třeba ukládat. Přečerpávací vodní elektrárny přečerpávají vodu do horní nádrže: 1 m³ vody ve výšce 300 m nese \(mgh = 1\,000\cdot 9{,}81\cdot 300 = 2{,}94\ \text{MJ} = 0{,}82\ \text{kWh}\); účinnost celého cyklu bývá zhruba 70–80 %. Bateriová úložiště reagují během milisekund a podporují regulaci frekvence (kapitoly 7 a 11).pumped-storage hydroelectricity, battery energy storage

12.7Procvičení