INTERAKTIVNÍ PRŮVODCE · ŘÍJEN 2026

Dluhopisy a úroky

Od kupónu po výnosovou křivku –
jak se oceňuje dluh a co s ním dělají sazby

Na pozadí se modelová výnosová křivka mění tak, jak se mění očekávání trhu: oranžová je dnešní, modré stopy jsou předchozí. Ukazatele níže ukazují, co to dělá s cenou desetiletého dluhopisu s kupónem 4 %.

výnos 2 roky–

výnos 10 let–

sklon 10 − 2 roky–

cena 10letého dluhopisu–

ZačítRovnou na úrokové riziko Rovnou na Beta, s.r.o.

Úvodem

Jak průvodce používat

Dluhopis je půjčka, kterou lze prodat. Jeho cena se mění se sazbami, s důvěrou v dlužníka i s inflací, a právě proto si zaslouží víc než jednu kapitolu. Průvodce navazuje na kapitolu 10 průvodce Investování a jde hlouběji: od peněžních toků přes výnosovou křivku a duraci až po úvěrové riziko malých firem a roli dluhopisů v portfoliu.

🧾

Tři patra každé kapitoly. Nahoře krátké vysvětlení a laboratoř, kde si věc vyzkoušíte na modelových číslech. Pod ní mise za XP: od věřitele nováčka po mistra křivky. Dole rozbalovací teorie pro ty, kdo chtějí jít do hloubky: definice, vzorce, řešené příklady a příklady k procvičení. Barevná tečka v obsahu ukazuje náročnost. Postup se ukládá jen ve vašem prohlížeči.

Pro koho a odkud

Průvodce je určen mírně pokročilým až pokročilým čtenářům. Předpokládá, že víte, co je složené úročení, současná hodnota a riziková prémie (průvodce Investování, kapitoly 1 a 2). Ve studijní cestě „Nástroje a trhy“ stojí mezi průvodcem Makro pro investora, který vysvětluje, proč centrální banka hýbe sazbami, a průvodcem Akciová analýza. Zdanění tu shrnujeme jen stručně; podrobně ho rozebírá průvodce Daně investora.

Modelové předpoklady

Laboratoře a příklady počítají s modelovými hodnotami. Nejsou to předpovědi ani dnešní tržní sazby, jen rozumně řazená čísla, na kterých jde ukázat princip. Třídy aktiv mají stejné hodnoty jako v průvodci Investování.

**Tab. 0.1**Modelové hodnoty sdílené s průvodcem Investování
Třída aktiv (modelově)	Očekávaný výnos ročně	Kolísání (σ)
Hotovost a spořicí účty	2,0 %	0,5 %
Státní dluhopisy	3,5 %	5 %
Firemní dluhopisy	4,5 %	7 %
Akcie vyspělých trhů	7,0 %	16 %

Nominálně v korunách, modelová inflace 2,5 % ročně, bez daní a poplatků, pokud příklad neříká jinak.

**Tab. 0.2**Předpoklady navíc pro tento průvodce
Co	Modelová hodnota
Státní výnosová křivka (výnosy al pari, roční kupón)	1 rok 2,50 %, 2 roky 2,80 %, 3 roky 3,05 %, 4 roky 3,30 %, 5 let 3,50 %, 7 let 3,75 %, 10 let 4,00 %, 20 let přibližně 4,30 %
Beta, s.r.o. (smyšlený emitent)	dluhopis na 5 let, kupón 9 % ročně, jmenovitá hodnota 10 000 Kč, emise 30 mil. Kč, nezajištěný, bez ratingu a bez prospektu
Výtěžnost po selhání	zajištěný dluh 60 %, seniorní nezajištěný 40 %, podřízený 20 %, nezajištěný dluh malé firmy 30 % (ztráta 70 %)
Daň z úroků a zisků	15 % (srážková daň nebo samostatný základ daně), pravidla k 13. 10. 2026

Pětiletý výnos 3,5 % a desetiletý 4,0 % odpovídají příkladům z kapitoly 10 průvodce Investování (pětiletý dluhopis s kupónem 3,5 %, desetiletý s kupónem 4 %), takže čísla obou průvodců na sebe navazují. Skutečná 2T repo sazba ČNB je k 13. 10. 2026 3,75 % (příloha C); modelová křivka je záměrně obecnější.

Čtyři druhy rámečků

Příklad Výpočet na číslech

Modelový výpočet, který si můžete přepočítat. Čísla v příkladech jsou spočítaná skriptem a zaokrouhlená až na konci.

Z praxe

Jak se s věcí zachází na skutečném trhu: zvyklosti, pasti a souvislosti.

Pravidlo palce

Rychlý odhad bez kalkulačky. Ke kontrole, ne k rozhodnutí.

Pozor

Místo, kde se nejčastěji chybuje.

Studijní materiál, ne investiční doporučení ani nabídka. Průvodce nejmenuje produkty, emitenty ani poskytovatele; Beta, s.r.o. je smyšlená firma. Minulé ani modelové výnosy nejsou zárukou budoucích. Údaje o zákonech, limitech a sazbách mají v příloze C zdroj a datum ověření.

Teorie odpovídá rozsahem a hloubkou látce programu CFA® pro dluhopisy (Fixed Income) na úrovních I a II: vlastnosti a trhy dluhopisů, oceňování a výnosové míry, časová struktura sazeb, úrokové riziko a výnos, úvěrová analýza a modely úvěrového rizika. CFA® a Chartered Financial Analyst® jsou ochranné známky CFA Institute; průvodce s CFA Institute nesouvisí.

Část IJak dluhopis funguje

Co je dluhopismírně pokročilý

Dluhopis je smlouva o půjčce rozdělená na stejné kousky, které se dají koupit a prodat. Emitent si půjčí, slíbí platit kupóny a v den splatnosti vrátí jistinu. Všechno ostatní – kdo dluží, v jakém pořadí se platí, co smí dlužník dělat a kdy může dluh splatit dřív – stojí v emisních podmínkách.

🎟️

Představte si, že sousedovi půjčíte na novou dílnu a on vám dá potvrzenku: „Každý rok vám zaplatím 900 Kč a za pět let vrátím 10 000 Kč.“ Když budete peníze potřebovat dřív, můžete potvrzenku prodat někomu jinému. Za kolik ji prodáte, záleží na tom, kolik se mezitím dá vydělat jinde a jak moc soused vypadá, že dílnu uživí. To je celý dluhopis.

Peněžní toky dluhopisu

Jmenovitá hodnota 10 000 Kč. Sloupce ukazují, kolik a kdy dostanete (modře kupóny, oranžově jistina), body jejich dnešní hodnotu při zvoleném tržním výnosu. Součet bodů je cena dluhopisu.

LABORATOŘ

Kupón ročně Splatnost Tržní výnos

Model: výnos se skládá podle četnosti kupónů (sazba za období = roční výnos / počet výplat). Amortizovaný dluhopis splácí jistinu rovnoměrně a kupón počítá ze zbývající jistiny. Výchozí nastavení odpovídá dluhopisu Beta, s.r.o. při výnosu 9 %.

Minihra: přiřaďte dluhopis k typu

Šest popisů z emisních podmínek. Ke každému vyberte, o jaký druh dluhopisu jde.

MINIHRA

0 / 6

+Teorie: parametry, druhy, seniorita, kovenanty, vložené opce a trhy

1.1Dluhopis jako smlouva

Dluhopis je cenný papír, se kterým je spojeno právo na splacení dlužné částky odpovídající jmenovité hodnotě a případně další práva podle zákona nebo emisních podmínek (§ 2 zákona o dluhopisech). Kdo dluhopis vydává, je emitent; kdo ho drží, je jeho věřitelem.bond, issuer, bondholder

Každý dluhopis popisuje několik parametrů:

Jmenovitá hodnota (nominál) \(N\): dlužná částka, kterou emitent vrátí při splatnosti. Ceny dluhopisů se kotují v procentech nominálu.par value, face value
Kupón \(c\): roční úroková sazba z nominálu. Kupón 9 % z 10 000 Kč je 900 Kč ročně; platí-li se pololetně, je to dvakrát 450 Kč.coupon rate
Splatnost \(n\): kdy emitent vrátí jistinu. Krátké dluhopisy mají splatnost do roku (poukázky), střední do deseti let, dlouhé nad deset let.maturity, tenor
Emisní kurz: cena při vydání v procentech nominálu. Výnos dluhopisu lze podle § 16 zákona o dluhopisech určit pevnou sazbou, rozdílem mezi jmenovitou hodnotou a emisním kurzem, prémií nebo pohyblivou sazbou.issue price

Peněžní toky dluhopisu s pevným kupónem, \(m\) výplatami ročně a splatností \(n\) let jsou

Peněžní toky\[CF_k = \frac{c}{m}\,N \quad (k = 1,\dots,mn-1),\qquad CF_{mn} = \frac{c}{m}\,N + N.\]

Podrobnosti – výplatní dny, konvenci počítání úroku, pořadí dluhu, zajištění, kovenanty, případy neplnění a pravidla pro schůzi vlastníků – obsahují emisní podmínky (§ 8 a 9 zákona o dluhopisech). U veřejné nabídky nad zákonnou hranici k nim přistupuje prospekt schválený orgánem dohledu (kapitola 9).terms and conditions, indenture, prospectus

Obr. 1.1 Co obsahují emisní podmínky. Ekonomické parametry určují, kolik a kdy investor dostane; ochranná ustanovení, co se stane, když emitent nezaplatí; vložené opce a proměnlivé kupóny, zda se peněžní toky mohou změnit. Čísla v závorkách odkazují na oddíly průvodce.

Příklad Dluhopis Beta, s.r.o.

Jmenovitá hodnota 10 000 Kč, roční kupón 9 %, splatnost 5 let, emisní kurz 100 %. Investor dostane čtyřikrát 900 Kč a v pátém roce 10 900 Kč, celkem 14 500 Kč. Jsou-li tržní výnosy dluhopisů s podobným rizikem 9 %, mají platby dnes hodnotu

\[\frac{900}{1{,}09} + \frac{900}{1{,}09^{2}} + \frac{900}{1{,}09^{3}} + \frac{900}{1{,}09^{4}} + \frac{10\,900}{1{,}09^{5}} = 825{,}69 + 757{,}51 + 694{,}97 + 637{,}58 + 7\,084{,}25 = 10\,000\ \text{Kč}.\]

Kupón rovný tržnímu výnosu znamená cenu rovnou nominálu. Kdyby trh za stejné riziko chtěl 11 %, stál by dluhopis 9 260,82 Kč; kdyby stačilo 7 %, 10 820,04 Kč. Na poslední platbu připadá 71 % ceny – i proto je dluhopis citlivější na sazby, než se z kupónu zdá.

1.2Druhy dluhopisů podle emitenta

**Tab. 1.1**Hlavní skupiny emitentů a jejich typické vlastnosti
Emitent	Typická splatnost	Úvěrové riziko	Likvidita
Stát: státní dluhopisy a pokladniční poukázky	poukázky do 1 roku, dluhopisy 2–50 let	v domácí měně nejnižší v ekonomice	vysoká
Obce a kraje (komunální dluhopisy)	5–20 let	nízké až střední	nízká
Banky: seniorní, podřízené a kryté dluhopisy	2–10 let	kryté nízké, podřízené vyšší	střední
Velké firmy s ratingem	3–10 let	podle ratingu	střední
Malé a střední firmy bez ratingu	2–5 let	vysoké	nízká až žádná
Nadnárodní instituce	3–30 let	velmi nízké	střední

Státní dluhopisy v domácí měně slouží jako měřítko bezrizikové sazby: stát může dluh v korunách vždy splatit, nese však inflační riziko. Prodávají se v aukcích profesionálním investorům; pro drobné investory vydává Ministerstvo financí zvláštní emise státních dluhopisů pro občany. Pokladniční poukázky jsou krátkodobé bezkupónové cenné papíry prodávané pod nominálem (kapitola 7).government bond, Treasury bill

Krytý dluhopis vydává banka a kryje ho oddělený soubor aktiv, například hypotečních úvěrů (§ 28 zákona o dluhopisech; hypoteční zástavní list je jeho druhem). Věřitel má dvojí ochranu: nárok vůči bance a přednostní nárok na krycí blok. Proto mají kryté dluhopisy často lepší rating než banka sama.covered bond

1.3Druhy dluhopisů podle kupónu

Pevný kupón: stejná sazba po celou dobu. Nejběžnější typ; cena se mění s tržními sazbami.fixed-rate bond
Pohyblivý kupón: referenční sazba (například šestiměsíční mezibankovní sazba) plus pevná marže. Kupón sleduje sazby, cena se proto mění málo (kapitola 6).floating-rate note (FRN)
Bezkupónový (diskontní): žádné kupóny, prodává se pod nominálem a výnosem je rozdíl. Jeho jedinou platbou je jistina, proto je ze všech dluhopisů stejné splatnosti nejcitlivější na sazby.zero-coupon bond
Protiinflační: jistina nebo kupón se navazuje na index spotřebitelských cen (kapitola 6).inflation-linked bond
Amortizovaný: jistina se splácí postupně, takže průměrná doba do splacení je kratší než konečná splatnost.amortizing bond, sinking fund
Věčný: bez splatnosti, kupón se platí „navždy“ (u bank a pojišťoven zpravidla s možností emitenta po několika letech splatit).perpetual bond

Cena věčného dluhopisu je současnou hodnotou nekonečné řady stejných plateb a její Macaulayho durace (kapitola 4) je \((1+y)/y\):

Věčný dluhopis\[P = \sum_{t=1}^{\infty}\frac{C}{(1+y)^{t}} = \frac{C}{y},\qquad D = \frac{1+y}{y}.\]

Příklad Citlivost věčného dluhopisu

Kupón 50 Kč ročně, požadovaný výnos 5 %: \(P = 50/0{,}05 = 1\,000\) Kč. Vzroste-li požadovaný výnos na 6 %, je cena \(50/0{,}06 = 833{,}33\) Kč, o 16,7 % méně. Durace je \(1{,}05/0{,}05 = 21\) let – víc než u většiny dluhopisů se splatností třiceti let.

1.4Seniorita a zajištění

Když emitent přestane platit, rozhoduje o výsledku pořadí uspokojení. Nejdřív přicházejí na řadu zajištění věřitelé z výtěžku zastaveného majetku, pak seniorní nezajištění, po nich podřízení (§ 34 zákona o dluhopisech) a nakonec vlastníci. Pravidlu, že nižší pořadí nedostane nic, dokud vyšší nejsou uspokojena celá, se říká absolutní priorita; v reorganizacích se od něj v praxi někdy odchyluje.seniority ranking, secured, senior unsecured, subordinated, absolute priority rule

Obr. 1.2 Absolutní priorita na ilustračních číslech (mil. Kč). Zajištěný věřitel se uspokojí z výtěžku zastavené haly a přebytek 5 přejde do společného majetku. Z 30 mil. Kč dostanou seniorní nezajištění 75 % svých pohledávek; na podřízené a vlastníky nezbude nic.

Zvláštní pastí je strukturální podřízenost. Vydá-li dluhopisy holdingová nebo účelová společnost a podnikání i majetek leží v dceřiné firmě, mají věřitelé dcery k majetku přednost. Vlastník dluhopisu holdingu dostane až to, co zbude po nich.structural subordination

Obr. 1.3 Strukturální podřízenost. Majetek leží v dceřiné firmě, a proto se při jejím úpadku nejdřív platí jejím věřitelům (1). Holding dostane jen to, co zbude (2), a teprve z toho platí vlastníkům svých dluhopisů (3). Stejně dopadá i účelová společnost, která peníze z emise jen půjčí do skupiny (oddíl 9.3).

**Tab. 1.2**Pořadí věřitelů a modelová výtěžnost průvodce
Pořadí	Nárok	Modelová výtěžnost
1	zajištěný dluh (zástava, agent pro zajištění)	60 %
2	seniorní nezajištěný dluh	40 %
3	podřízený dluh	20 %
4	vlastní kapitál	zbytek, obvykle nic

Modelové hodnoty pro výpočty, ne statistika. Skutečná výtěžnost závisí na kvalitě majetku, odvětví a délce insolvence.

1.5Kovenanty a ochrana věřitelů

Kovenanty jsou smluvní závazky emitenta v emisních podmínkách. Pozitivní ukládají něco dělat (zveřejňovat účetní závěrky, udržovat pojištění majetku, platit daně), negativní něco nedělat (nezastavovat majetek jiným věřitelům – tzv. negative pledge, nezvyšovat zadlužení nad určitou mez, nevyplácet dividendy při porušení ukazatelů, neprodávat klíčový majetek). Finanční kovenanty stanoví hranice ukazatelů, například čistý dluh / EBITDA nejvýše 4,5× nebo úrokové krytí aspoň 2×.affirmative and negative covenants, financial covenants

Porušení kovenantu nebo nezaplacení bývá případem neplnění, který dává vlastníkům právo žádat předčasné splacení. Častá je i doložka křížového selhání: emise je v prodlení i tehdy, když emitent nesplácí jiný dluh.event of default, acceleration, cross-default

Vlastníci jedné emise jednají společně na schůzi vlastníků (§ 21 až 23 zákona o dluhopisech). Ta rozhoduje například o změnách emisních podmínek; usnášet se může, jsou-li přítomni vlastníci více než 30 % nesplacené jmenovité hodnoty emise. Emitent může ustanovit společného zástupce vlastníků (§ 24), který jedná za všechny.bondholder meeting, bondholder representative

1.6Vložené opce

Některé dluhopisy obsahují opci, která mění jejich peněžní toky:

Svolatelný dluhopis smí emitent splatit dřív, obvykle za předem danou cenu podle rozpisu (například 102 % po třech letech, 101 % po pěti, 100 % po sedmi). Emitent to udělá, když sazby klesnou a může si půjčit levněji – tedy právě když se investorovi peníze reinvestují nejhůř.callable bond, call schedule
Dluhopis s právem prodeje smí vlastník vrátit emitentovi za předem danou cenu. Chrání ho před růstem sazeb a zhoršením emitenta.putable bond
Vyměnitelný (konvertibilní) dluhopis lze vyměnit za akcie emitenta.convertible bond

Hodnota vložené opce\[P_{\text{svolatelný}} = P_{\text{bez opce}} - V_{\text{call}},\qquad P_{\text{s právem prodeje}} = P_{\text{bez opce}} + V_{\text{put}}.\]

Opce emitenta má hodnotu, kterou investor „prodal“; proto svolatelný dluhopis nese vyšší kupón. Opce investora si investor „koupil“, a proto nese kupón nižší. Jak se svolatelný dluhopis oceňuje výnosem do svolání, ukazuje oddíl 2.3.

1.7Primární a sekundární trh

Na primárním trhu emitent dluhopisy prodává poprvé. Státy používají aukce, kterých se účastní vybraní primární dealeři. Velké firmy prodávají emise přes banky, které je buď upíší na vlastní riziko (pevný závazek), nebo jen zprostředkují (nejlepší snaha). Malé firmy často nabízejí dluhopisy přímo nebo přes zprostředkovatele a internetové platformy (kapitola 9).primary market, auction, underwriting, best efforts

Na sekundárním trhu obchodují investoři mezi sebou. Většina obchodů s dluhopisy probíhá mimo burzu přes obchodníky, kteří kotují nákupní a prodejní cenu. Rozdíl mezi nimi je skrytý náklad obchodu, který u méně likvidních emisí může překonat i roční kupón.secondary market, over-the-counter (OTC), bid-ask spread

Z praxe

Drobný investor se ke státním dluhopisům dostane přes obchodníka s cennými papíry (sekundární trh) nebo přes emise pro občany. U firemních dluhopisů malých emitentů sekundární trh často prakticky neexistuje: prodat je lze jen emitentovi, pokud to nabízí, nebo jinému investorovi, kterého si najdete sami. Počítejte s tím, že je budete držet do splatnosti.

Pozor

„Kupón 9 %“ neznamená „výnos 9 %“. Výnos závisí na ceně, za kterou dluhopis koupíte, na tom, zda emitent zaplatí, a u svolatelných dluhopisů i na tom, zda emitent dluh nesplatí dřív (kapitola 2).

1.8Procvičení

Dluhopis s jmenovitou hodnotou 50 000 Kč má kupón 6 % placený pololetně a splatnost 3 roky. Jaké platby investor dostane?

Pololetní kupón je \(0{,}06/2\cdot 50\,000 = 1\,500\) Kč. Šest výplat: pět po 1 500 Kč a poslední 51 500 Kč (kupón plus jistina). Celkem 59 000 Kč.

Věčný dluhopis platí 40 Kč ročně. Jaká je jeho cena při požadovaném výnosu 4 % a 5 %? O kolik procent se cena změní?

\(40/0{,}04 = 1\,000\) Kč a \(40/0{,}05 = 800\) Kč. Růst výnosu o 1 p. b. sníží cenu o 20 %. Durace při 4 % je \(1{,}04/0{,}04 = 26\) let.

Amortizovaný dluhopis s jmenovitou hodnotou 10 000 Kč splácí jistinu po 2 000 Kč ročně a platí kupón 9 % ze zbývající jistiny. Jaké jsou platby a kolik dluhopis stojí při výnosu 9 %?

Platby: \(2\,000 + 900 = 2\,900\), dále 2 720, 2 540, 2 360 a 2 180 Kč; celkem 12 700 Kč (proti 14 500 Kč u dluhopisu se splacením na konci). Protože se kupón počítá ze zbývající jistiny a diskontuje se stejnou sazbou 9 %, je cena přesně 10 000 Kč. Kratší průměrná doba do splacení znamená nižší citlivost na sazby i nižší riziko.

Firma v úpadku má pro věřitele majetek za 60 mil. Kč, z toho zastavená hala má hodnotu 35 mil. Kč. Zajištěný úvěr je 30 mil. Kč, seniorní nezajištěné dluhopisy 50 mil. Kč, podřízené dluhopisy 20 mil. Kč. Kolik kdo dostane při absolutní prioritě?

Zajištěný věřitel dostane z haly celých 30 mil. Kč; přebytek 5 mil. Kč jde do společného majetku, ve kterém je pak \(60-30 = 30\) mil. Kč. Seniorní nezajištění dostanou \(30/50 = 60\ \%\) svých pohledávek, podřízení nic. Výtěžnost je tedy 100 %, 60 % a 0 %.

Obchodník kotuje dluhopis 99,60 / 100,10 (nákup / prodej). Kolik stojí koupit dluhopis s nominálem 200 000 Kč a hned ho prodat? Jak velký je to podíl ročního kupónu 4 %?

Rozdíl je 0,50 % nominálu, tedy \(0{,}005\cdot 200\,000 = 1\,000\) Kč. Roční kupón je 8 000 Kč, takže okamžitý obrat stojí osminu ročního výnosu. U nelikvidních emisí bývá rozdíl ještě několikanásobně větší.

Co si odnést

Dluhopis jsou peněžní toky: kupóny a jistina. Jejich výši a podmínky určují emisní podmínky.
O výsledku při potížích rozhoduje pořadí: zajištění, seniorita, strukturální podřízenost.
Kovenanty a schůze vlastníků jsou nástroje věřitelů; opce v dluhopisu mění, kdy a kolik dostanete.

Část IJak dluhopis funguje

Cena a výnosmírně pokročilý

Cena dluhopisu je současná hodnota jeho budoucích plateb. Výnos do splatnosti je sazba, při které ta současná hodnota vyjde právě rovna ceně. Jsou to dvě strany jedné rovnice: když roste jedna, klesá druhá. A slíbený výnos se stane skutečným, jen když jsou splněny tři podmínky.

⚖️

Cena a výnos sedí na houpačce. Kdo dnes koupí dluhopis s kupónem 4 %, když nové dluhopisy nabízejí 5 %, chce slevu – jinak by koupil nový. Sleva je přesně tak velká, aby se rozdíl v kupónech do splatnosti vyrovnal. Proto se ceny dluhopisů přibližují nominálu, jak se blíží splatnost.

Cena a výnos

Horní graf: jak se cena dluhopisu mění s tržním výnosem (modře), čárkovaně odhad z durace. Dolní graf: kudy se cena ubírá ke splatnosti, když se výnos nemění (konvergence k nominálu); světle bezkupónový dluhopis stejné splatnosti.

LABORATOŘ

Kupón ročně Splatnost Výnos do splatnosti

Model: roční kupóny, cena těsně po výplatě kupónu, výnos během držby neměnný. Kupón plus změna ceny za rok dávají právě výnos do splatnosti.

Realizovaný výnos a reinvestice

Výnos do splatnosti předpokládá, že kupóny půjde reinvestovat za stejnou sazbu. Kolik skutečně vyděláte, když se reinvestují za jinou? Dluhopis držíte do splatnosti a emitent zaplatí.

LABORATOŘ

Kupní cena (% nominálu) Kupón Splatnost Reinvestiční sazba

Model: nominál 10 000 Kč, roční kupóny reinvestované do splatnosti za stálou sazbu. Výchozí nastavení: Beta, s.r.o. koupená za nominál, kupóny uložené za modelový výnos státních dluhopisů 3,5 %.

+Teorie: oceňování, výnosové míry, čistá a hrubá cena, realizovaný výnos

2.1Cena jako současná hodnota

Při jednotné tržní sazbě \(y\) (roční, složená \(m\)-krát za rok) je cena dluhopisu s kupónem \(c\), nominálem \(N\) a splatností \(n\) let

Cena dluhopisu\[P = \sum_{k=1}^{mn}\frac{\tfrac{c}{m}N}{\big(1+\tfrac{y}{m}\big)^{k}} + \frac{N}{\big(1+\tfrac{y}{m}\big)^{mn}} = \frac{c}{m}N\cdot\frac{1-\big(1+\tfrac{y}{m}\big)^{-mn}}{y/m} + N\,\Big(1+\frac{y}{m}\Big)^{-mn}.\]

První člen je anuita kupónů, druhý diskontovaná jistina. Ze vzorce plynou čtyři vztahy, které platí pro každý dluhopis bez vložené opce:

Cena a výnos se pohybují opačně. Vyšší diskontní sazba znamená nižší současnou hodnotu.
Vztah je konvexní. Pokles výnosu o 1 p. b. zvedne cenu víc, než ji stejný růst sníží.
Nižší kupón znamená vyšší procentní citlivost. Váha ceny se přesouvá k pozdějším platbám.
Delší splatnost obvykle znamená vyšší citlivost (s výjimkou některých hluboce podnominálních dluhopisů s velmi dlouhou splatností).

**Tab. 2.1**Cena dluhopisu Beta, s.r.o. (nominál 10 000 Kč, kupón 9 %, 5 let) podle tržního výnosu
Výnos do splatnosti	5 %	7 %	9 %	11 %	13 %	15 %
Cena (Kč)	11 732	10 820	10 000	9 261	8 593	7 989

Pokles výnosu o 2 p. b. přidá 820 Kč, stejný růst ubere 739 Kč: to je konvexita (oddíl 4.5).

2.2Výnos do splatnosti

Výnos do splatnosti je vnitřní výnosové procento (IRR) peněžních toků: sazba \(y\), při které rovnice z oddílu 2.1 dává právě tržní cenu. Obecně se řeší numericky (kalkulačka, tabulkový procesor, laboratoř). Pro hrubý odhad slouží přibližný vzorec, ve kterém se rozdíl ceny a nominálu rozloží rovnoměrně do let:yield to maturity (YTM), internal rate of return

Přibližný výnos do splatnosti\[y \approx \frac{cN + (N-P)/n}{(N+P)/2}.\]

Příklad Dluhopis za 950 Kč

Nominál 1 000 Kč, roční kupón 4 %, splatnost 5 let, cena 950 Kč. Rovnici \(950 = \sum_{t=1}^{5} 40/(1+y)^t + 1\,000/(1+y)^5\) splňuje \(y = 5{,}16\ \%\). Přibližný vzorec dává \((40 + 50/5)/975 = 5{,}13\ \%\). Běžný výnos (oddíl 2.3) je jen \(40/950 = 4{,}21\ \%\): chybí v něm zisk 50 Kč z růstu ceny k nominálu.

Pololetní kupóny a srovnatelnost

U dluhopisů s pololetními kupóny se výnos do splatnosti obvykle kotuje jako dvojnásobek pololetní sazby (tzv. výnos ekvivalentní dluhopisu). Pro srovnání s dluhopisy s ročním kupónem je třeba přepočíst ho na efektivní roční výnos \((1+y/2)^{2}-1\). Dluhopis s kupónem 4 % placeným pololetně a splatností 5 let stojí při kotovaném výnosu 5 % 956,24 Kč na 1 000 Kč nominálu; efektivně vynáší 5,06 % ročně.semiannual bond basis, effective annual yield

Pozor

Výnos do splatnosti předpokládá tři věci: dluhopis držíte do splatnosti, emitent zaplatí vše včas a v plné výši a kupóny lze reinvestovat za stejný výnos. Porušení první podmínky přináší cenové riziko (kapitola 4), druhé úvěrové riziko (kapitola 5), třetí riziko reinvestice (oddíl 2.6).

Obr. 2.1 Výnos do splatnosti je slib, který platí jen za tří podmínek. Porušení každé z nich otevírá jiné riziko. Čísla jsou pro dluhopis Beta, s.r.o. (tab. 2.1 a příklad v oddílu 2.6).

2.3Běžný výnos, výnos do svolání a výnos v nejhorším případě

Běžný výnos \(cN/P\) měří jen roční kupón vůči ceně. Je užitečný jako ukazatel peněžního příjmu, ale nezahrnuje zisk nebo ztrátu z pohybu ceny ke splatnosti.current yield

U svolatelného dluhopisu se počítá výnos do svolání: místo splatnosti se dosadí první (nebo kterýkoli) den svolání a místo nominálu cena svolání. Opatrný investor počítá s nejhorší variantou, výnosem v nejhorším případě: nejnižším z výnosu do splatnosti a výnosů do všech dnů svolání.yield to call (YTC), yield to worst (YTW)

Příklad Svolatelný dluhopis nad pari

Desetiletý dluhopis s kupónem 6 % stojí 108 % nominálu. Emitent ho smí splatit za 3 roky za 102 %, za 5 let za 101 % nebo za 7 let za 100 %.

**Tab. 2.2**Výnosy svolatelného dluhopisu při ceně 108
Varianta	Doba	Splátka	Výnos
do splatnosti	10 let	100	4,97 %
do 1. svolání	3 roky	102	3,77 %
do 2. svolání	5 let	101	4,37 %
do 3. svolání	7 let	100	4,64 %

Výnos v nejhorším případě je 3,77 %, o 1,2 p. b. méně než výnos do splatnosti. Běžný výnos \(6/108 = 5{,}56\ \%\) je ze všech čísel nejvyšší a nejméně vypovídající. Pokud tržní výnosy zůstanou pod kupónem, emitent dluhopis nejspíš svolá: refinancuje se levněji.

2.4Pod pari, nad pari a konvergence k nominálu

Je-li kupón nižší než tržní výnos, stojí dluhopis pod pari; je-li vyšší, nad pari; jsou-li si rovny, al pari. Při neměnném výnosu se cena každý rok posune podle vztahu

Cena za rok při stejném výnosu\[P_{t+1} = P_t\,(1+y) - C,\]

takže kupón plus změna ceny dávají každý rok právě výnos \(y\). Cena dluhopisu pod pari stoupá, nad pari klesá; obě se ke splatnosti blíží k nominálu. Tomu se říká konvergence k nominálu.discount, premium, par, pull to par

**Tab. 2.3**Ceny pětiletých dluhopisů při stálém výnosu 4 % (% nominálu, po výplatě kupónu)
Kupón	dnes	za 1 rok	za 2 roky	za 3 roky	za 4 roky	splatnost
2 %	91,10	92,74	94,45	96,23	98,08	100
4 %	100,00	100,00	100,00	100,00	100,00	100
6 %	108,90	107,26	105,55	103,77	101,92	100

Například první rok dluhopisu s kupónem 2 %: \((2 + 92{,}74 - 91{,}10)/91{,}10 = 4{,}0\ \%\).

Z praxe

Kupón a výnos nejsou totéž ani daňově. Kupón dluhopisu nad pari je vyšší než jeho výnos, ale daní se celý; ztrátu z poklesu ceny k nominálu při splacení si fyzická osoba od zdaněných kupónů obvykle odečíst nemůže. Naopak u dluhopisu pod pari je část výnosu v růstu ceny k nominálu, se kterou zákon zachází zvlášť (oddíl 7.6). Podrobně v průvodci Daně investora.

2.5Čistá a hrubá cena, alikvotní úrokový výnos

Mezi dvěma výplatami kupónu patří prodávajícímu poměrná část příštího kupónu, alikvotní úrokový výnos (AÚV). Kupující platí hrubou cenu, tedy kotovanou čistou cenu plus AÚV. Kotuje se čistá cena, protože se v den výplaty kupónu nemění skokem.accrued interest, clean price, full (dirty) price

Hrubá cena a AÚV\[P_{\text{hrubá}} = \sum_{k}\frac{CF_k}{(1+y)^{k-w}} = P_{\text{čistá}} + \text{AÚV},\qquad \text{AÚV} = C\cdot\frac{\text{dny od posledního kupónu}}{\text{dny v období}},\]

kde \(w\) je uplynulá část kupónového období. Jak se počítají dny, určuje konvence v emisních podmínkách: ACT/ACT (skutečné dny / skutečné dny v období, běžná u státních dluhopisů v eurozóně), ACT/360 a ACT/365 (peněžní trh) nebo 30E/360 (každý měsíc má 30 dní, rok 360; objevuje se u firemních emisí).day count convention

Příklad Prodej dluhopisu Beta v říjnu

Kupón 900 Kč se vyplácí každého 20. 6., obchod se vypořádá 13. 10. 2026. Od posledního kupónu uplynulo 115 skutečných dní z 365 (ACT/ACT), podle 30E/360 je to \(4\cdot 30 + (13-20) = 113\) dní.

\[\text{AÚV}_{\text{ACT/ACT}} = 900\cdot\frac{115}{365} = 283{,}56\ \text{Kč},\qquad \text{AÚV}_{\text{30E/360}} = 900\cdot\frac{113}{360} = 282{,}50\ \text{Kč}.\]

Při výnosu 9 % je hrubá cena \(10\,000\cdot 1{,}09^{115/365} = 10\,275{,}24\) Kč a čistá cena (ACT/ACT) 9 991,68 Kč, tedy 99,92 %. I dluhopis s kupónem rovným výnosu má mezi kupóny čistou cenu mírně pod nominálem, protože AÚV roste lineárně, kdežto hodnota složeně.

Obr. 2.2 Hrubá a čistá cena dluhopisu Beta, s.r.o. při stálém výnosu 9 % (Kč, osa nezačíná nulou). Hrubá cena roste mezi kupóny a v den výplaty spadne o kupón; čistá cena zůstává těsně pod nominálem, nejníže 9 990,31 Kč uprostřed období. Body ukazují vypořádání 13. 10. 2026 z příkladu (ACT/ACT).

2.6Reinvestiční riziko a realizovaný výnos

Kdo dluhopis drží do splatnosti, dostane kupóny dřív a musí je někam uložit. Konečná hodnota a realizovaný výnos při reinvestici za sazbu \(r\) jsou

Realizovaný výnos\[FV = cN\,\frac{(1+r)^{n}-1}{r} + N,\qquad y_{\text{real}} = \Big(\frac{FV}{P}\Big)^{1/n} - 1.\]

Rozdíl mezi \(FV\) a prostým součtem kupónů a jistiny je úrok z úroků. Čím vyšší kupón a delší splatnost, tím větší část výnosu na něm stojí a tím větší je reinvestiční riziko.realized yield, interest on interest, reinvestment risk

Příklad Beta, s.r.o. koupená za nominál

Kupóny 5 × 900 Kč se reinvestují za modelový výnos státních dluhopisů 3,5 %:

\[FV = 900\cdot\frac{1{,}035^{5}-1}{0{,}035} + 10\,000 = 14\,826{,}22\ \text{Kč},\qquad y_{\text{real}} = 1{,}482622^{1/5}-1 = 8{,}19\ \%.\]

Úrok z úroků je jen 326 Kč místo 886 Kč, které by přinesla reinvestice za 9 %. Bez reinvestice (kupóny na běžném účtu) je realizovaný výnos 7,71 %. Slíbených 9 % by Beta dala jen tomu, kdo by kupóny znovu půjčil za 9 % se stejným rizikem.

Pravidlo palce

Výnos do splatnosti je slib, realizovaný výnos výsledek. U pětiletého dluhopisu s kupónem kolem 4 % změní reinvestiční sazba o 2 p. b. realizovaný výnos jen asi o 0,15 p. b. ročně; u třicetiletého s kupónem 8 % o víc než 1 p. b.

2.7Procvičení

Dluhopis s nominálem 1 000 Kč, ročním kupónem 5 % a splatností 8 let. Jaká je jeho cena při výnosu 6 %?

\(P = 50\cdot\frac{1-1{,}06^{-8}}{0{,}06} + \frac{1\,000}{1{,}06^{8}} = 310{,}49 + 627{,}41 = 937{,}90\) Kč. Kupón je nižší než výnos, cena je pod pari.

Dluhopis s ročním kupónem 6 % a splatností 4 roky stojí 1 040 Kč na 1 000 Kč nominálu. Jaký je výnos do splatnosti a běžný výnos?

Numericky \(y = 4{,}88\ \%\) (přibližný vzorec: \((60-10)/1\,020 = 4{,}90\ \%\)). Běžný výnos \(60/1\,040 = 5{,}77\ \%\) je vyšší než výnos do splatnosti, protože ignoruje ztrátu 40 Kč z poklesu ceny k nominálu.

Zahraniční dluhopis platí pololetní kupóny a kotuje výnos 5 % (dvojnásobek pololetní sazby). Jaký je jeho efektivní roční výnos?

\((1+0{,}05/2)^{2}-1 = 5{,}0625\ \%\), tedy asi o 0,06 p. b. víc než kotovaný výnos.

Dluhopis s nominálem 50 000 Kč a ročním kupónem 6 % (konvence 30E/360) vyplácí kupón každého 31. 3. Obchod se vypořádá 15. 8. Kolik činí AÚV?

Podle 30E/360 se 31. den počítá jako 30.: dní je \((8-3)\cdot 30 + (15-30) = 135\). AÚV \(= 3\,000\cdot 135/360 = 1\,125\) Kč. Kupující zaplatí čistou cenu plus 1 125 Kč.

Tříletý dluhopis s kupónem 5 % koupený za nominál. Kupóny se reinvestují za 2 %. Jaký je realizovaný výnos?

\(FV = 5\cdot(1{,}02^{2} + 1{,}02 + 1) + 100 = 5\cdot 3{,}0604 + 100 = 115{,}302\) na 100 Kč nominálu; \(y_{\text{real}} = 1{,}15302^{1/3}-1 = 4{,}86\ \%\) místo 5 %.

Osmiletý dluhopis s kupónem 7 % stojí 106. Emitent ho smí za 2 roky splatit za 101. Spočítejte výnos do splatnosti, výnos do svolání a běžný výnos. S čím počítat?

Výnos do splatnosti 6,03 %, výnos do svolání 4,29 %, běžný výnos \(7/106 = 6{,}60\ \%\). Výnos v nejhorším případě je 4,29 %: při dnešních sazbách pod kupónem je svolání pravděpodobné a s ním i ztráta prémie nad 101.

Co si odnést

Cena je současná hodnota plateb; vztah ceny a výnosu je klesající a konvexní.
Výnos do splatnosti je slib za tří podmínek: držba do splatnosti, zaplacení a reinvestice za stejnou sazbu.
U svolatelných dluhopisů počítejte s výnosem v nejhorším případě, ne s kupónem ani běžným výnosem.

Část IJak dluhopis funguje

Výnosová křivkapokročilý

Jedna sazba na všechny splatnosti je zjednodušení. Trh oceňuje každou budoucí platbu vlastní sazbou podle toho, kdy přijde. Výnosová křivka tyto sazby spojuje a v jejím tvaru je uložené, co trh čeká od budoucích sazeb a kolik si říká za to, že půjčuje na dlouho.

🗺️

Výnosová křivka je jako jízdní řád s cenami: jízdenka na krátkou trasu stojí jinak než na dlouhou a z ceníku poznáte, co dopravce čeká – třeba že za rok zdraží. Kdo si koupí dlouhou jízdenku na rostoucím ceníku, za rok drží jízdenku, která je na kratší trasu levnější, a vydělá na tom.

Tvar výnosové křivky

Tři posuvníky Nelsonova–Siegelova modelu: úroveň (dlouhý konec), sklon (rozdíl krátkého a dlouhého konce) a zakřivení (hrb uprostřed). Graf ukazuje spotové sazby, par křivku a jednoleté forwardové sazby; dole se z křivky ocení zvolený dluhopis.

LABORATOŘ

Úroveň β₀ Sklon β₁ Zakřivení β₂

Splatnost oceňovaného dluhopisu Jeho kupón

Model: spotové sazby s ročním skládáním podle Nelsona a Siegela s parametrem τ = 1,5 roku; výchozí hodnoty odpovídají modelové křivce průvodce. „Výnos za rok, křivka beze změny“ zahrnuje kupón a sklouzávání po křivce.

+Teorie: spotové sazby, bootstrapping, forwardy, spready, teorie tvaru a sklouzávání

3.1Spotové sazby a diskontní faktory

Spotová sazba \(z_t\) je výnos bezkupónového dluhopisu se splatností \(t\). Určuje diskontní faktor, tedy dnešní cenu jedné koruny splatné v čase \(t\). Kupónový dluhopis je koš bezkupónových: každá jeho platba se ocení vlastní sazbou.spot rate, zero rate, discount factor

Ocenění ze spotových sazeb\[DF_t = \frac{1}{(1+z_t)^{t}},\qquad P = \sum_{t=1}^{n} CF_t\cdot DF_t.\]

Kdyby tržní cena dluhopisu byla jiná, šlo by bez rizika vydělat: koupit levnější z dvojice „dluhopis“ a „koš bezkupónových dluhopisů se stejnými toky“ a prodat dražší. Proto se ocenění ze spotových sazeb nazývá bezarbitrážní.arbitrage-free valuation

3.2Bootstrapping

Bezkupónové dluhopisy všech splatností obvykle nejsou k dispozici. Spotové sazby se proto počítají postupně z kupónových dluhopisů al pari: z nejkratšího se zjistí \(z_1\), s jeho pomocí z dalšího \(z_2\) atd. Pro dluhopis al pari s kupónem \(c_n\) platí \(1 = c_n\sum_{t=1}^{n} DF_t + DF_n\), odkud

Bootstrapping\[DF_n = \frac{1 - c_n\sum_{t=1}^{n-1} DF_t}{1 + c_n},\qquad z_n = DF_n^{-1/n} - 1.\]

Příklad Modelová křivka průvodce

Jednoletý dluhopis al pari s kupónem 2,5 % platí jedinou platbu 102,5, takže \(z_1 = 2{,}5\ \%\). Dvouletý s kupónem 2,8 % stojí 100:

\[100 = \frac{2{,}8}{1{,}025} + \frac{102{,}8}{(1+z_2)^{2}}\ \Rightarrow\ (1+z_2)^{2} = \frac{102{,}8}{100-2{,}7317} = 1{,}056871\ \Rightarrow\ z_2 = 2{,}804\ \%.\]

Stejně pokračuje výpočet pro 3 až 5 let:

**Tab. 3.1**Od par křivky ke spotovým a forwardovým sazbám
Splatnost	Výnos al pari	Diskontní faktor	Spotová sazba	Forward na rok \(f_{t-1,1}\)
1 rok	2,50 %	0,975610	2,500 %	2,500 %
2 roky	2,80 %	0,946190	2,804 %	3,109 %
3 roky	3,05 %	0,913523	3,061 %	3,576 %
4 roky	3,30 %	0,877478	3,322 %	4,108 %
5 let	3,50 %	0,840630	3,533 %	4,383 %

Na rostoucí křivce leží spotové sazby nad par výnosy a forwardy nad spotovými: kupóny se diskontují nižšími sazbami než jistina, a proto musí jistina nést sazbu vyšší.

3.3Forwardové sazby

Implikovaná forwardová sazba \(f_{a,b}\) je dnes zafixovaná sazba na \(b\) let začínajících za \(a\) let. Plyne z požadavku, aby investovat na \(a+b\) let najednou vyšlo stejně jako na \(a\) let a pak na \(b\) let za forward:implied forward rate

Forwardová sazba\[(1+z_{a+b})^{a+b} = (1+z_a)^{a}\,(1+f_{a,b})^{b}\quad\Rightarrow\quad f_{a,b} = \Big[\frac{(1+z_{a+b})^{a+b}}{(1+z_a)^{a}}\Big]^{1/b} - 1.\]

Z tabulky 3.1: \(f_{1,1} = 1{,}028042^{2}/1{,}025 - 1 = 3{,}109\ \%\) a \(f_{2,3} = \big(1{,}035331^{5}/1{,}028042^{2}\big)^{1/3}-1 = 4{,}022\ \%\). Spotová sazba je geometrickým průměrem jednoletých forwardů do své splatnosti.

Obr. 3.1 Forwardová sazba jako zlomová sazba. 100 Kč uložených na dva roky za dvouletou spotovou sazbu dá stejnou částku jako rok za jednoletou spotovou sazbu a další rok za dnes zafixovaný forward. Sazby z tab. 3.1.

Forward je zlomová sazba. Pětiletý dluhopis koupený dnes vynese za první rok právě jednoletou spotovou sazbu 2,5 %, pokud se za rok budou sazby rovnat dnešním forwardům: jeho cena za rok by pak byla 99,00 a výnos \(3{,}5 + 99{,}00 - 100 = 2{,}50\ \%\). Dlouhý dluhopis vydělá víc než krátký jen tehdy, když budoucí sazby skončí pod dnešními forwardy.breakeven rate

3.4Par křivka

Par křivka udává kupóny, při kterých by dluhopisy jednotlivých splatností stály právě nominál. Ze spotových sazeb se spočítá obráceně než při bootstrappingu:par curve

Výnos al pari\[c_n = \frac{1 - DF_n}{\sum_{t=1}^{n} DF_t}.\]

Státní dluhopisy se obvykle obchodují blízko par, a proto se ve zprávách cituje hlavně par křivka nebo výnosy do splatnosti konkrétních emisí. Pro ocenění plateb v různých okamžicích je ale správná spotová křivka.

3.5Ocenění z křivky a úvěrové spready

Příklad Pětiletý státní dluhopis s kupónem 4 %

Platby se diskontují faktory z tabulky 3.1:

\[P = 4\cdot(0{,}975610 + 0{,}946190 + 0{,}913523 + 0{,}877478) + 104\cdot 0{,}840630 = 14{,}851 + 87{,}426 = 102{,}277.\]

Výnos do splatnosti této ceny je 3,496 %, o málo nižší než pětiletá spotová sazba 3,533 %: výnos do splatnosti je zhruba vážený průměr spotových sazeb a vyšší kupón dává větší váhu kratším, nižším sazbám.

Obr. 3.2 Kupónový dluhopis jako koš bezkupónových: pětiletý státní dluhopis s kupónem 4 % a každá jeho platba diskontovaná vlastní spotovou sazbou z tab. 3.1. Součet současných hodnot je cena 102,277 % nominálu.

Rizikový dluhopis se oceňuje výnosem státního dluhopisu plus spreadem. Rozlišuje se několik měr:

G-spread: výnos do splatnosti dluhopisu minus výnos státního dluhopisu stejné splatnosti (obvykle interpolovaný).G-spread
I-spread: totéž vůči swapové křivce.I-spread
Z-spread: konstantní přirážka \(Z\) ke každé spotové sazbě, při které diskontované toky dají tržní cenu, \(P = \sum_t CF_t/(1+z_t+Z)^{t}\). Je přesnější, protože respektuje tvar křivky.zero-volatility spread
Spread očištěný o opci (OAS): Z-spread svolatelného dluhopisu po odečtení hodnoty opce; počítá se v modelu vývoje sazeb.option-adjusted spread

Příklad Kolik platí Beta, s.r.o. nad státem

Dluhopis Beta (5 let, kupón 9 %) stojí 100, jeho výnos do splatnosti je 9 %. Pětiletý státní výnos al pari je 3,5 %, takže G-spread je 5,50 p. b. Z-spread vůči spotovým sazbám z tabulky 3.1 vychází 5,55 p. b. Rozdíl je malý, protože křivka je jen mírně skloněná; u dlouhých dluhopisů na strmé křivce bývá větší. Co spread znamená pro pravděpodobnost selhání Bety, počítá kapitola 5.

3.6Proč má křivka svůj tvar

Forwardovou sazbu lze rozložit na očekávanou budoucí krátkou sazbu a prémii za splatnost:term premium

Rozklad forwardu\[f_{t,1} = E_0\big[r_{t}\big] + TP_{t}.\]

Čistá očekávání: prémie je nulová, forwardy jsou nestranné odhady budoucích krátkých sazeb. Rostoucí křivka znamená, že trh čeká růst sazeb.pure expectations theory
Preference likvidity: investoři chtějí za delší splatnost a vyšší cenové riziko prémii, která se splatností roste; křivka proto roste i při stálých očekáváních (Hicks, 1939).liquidity preference theory
Segmentované trhy: každý úsek křivky má své investory a emitenty (banky krátký konec, pojišťovny a penzijní fondy dlouhý) a sazby v něm určuje místní nabídka a poptávka (Culbertson, 1957).segmented markets theory
Preferované stanoviště: investoři mají oblíbenou splatnost, ale za dostatečnou prémii ji opustí (Modigliani a Sutch, 1966).preferred habitat theory

Empiricky prémie za splatnost existuje, mění se v čase a bývá vyšší v obdobích nejisté inflace. Forwardy proto nejsou dobrými předpověďmi: rostoucí křivka nemusí znamenat, že trh čeká vyšší sazby.

3.7Úroveň, sklon a zakřivení

Litterman a Scheinkman (1991) ukázali, že naprostou většinu pohybů výnosů státních dluhopisů popíšou tři faktory: posun celé křivky (úroveň), změna rozdílu mezi krátkým a dlouhým koncem (sklon) a změna prohnutí uprostřed (zakřivení). Stejnou logiku má Nelsonův–Siegelův model (1987), se kterým pracuje laboratoř:level, slope, curvature; Nelson–Siegel model

Nelsonův–Siegelův model\[z(t) = \beta_0 + \beta_1\,\frac{1-e^{-t/\tau}}{t/\tau} + \beta_2\Big(\frac{1-e^{-t/\tau}}{t/\tau} - e^{-t/\tau}\Big).\]

\(\beta_0\) je limita pro velmi dlouhé splatnosti, \(\beta_0+\beta_1\) sazba na nejkratším konci, \(\beta_2\) velikost hrbu a \(\tau\) určuje, kde hrb leží. Modelová křivka průvodce má \(\beta_0 = 4{,}75\ \%\), \(\beta_1 = -2{,}5\) p. b., \(\beta_2 = -2{,}0\) p. b. a \(\tau = 1{,}5\) roku; par výnosy z tabulky 0.2 reprodukuje s odchylkou do 0,03 p. b.

3.8Inverze a recese

Křivka je inverzní, když krátké sazby převyšují dlouhé. Obvykle se to stává, když centrální banka drží vysoké sazby proti inflaci a trh čeká, že je později sníží – často proto, že čeká zpomalení ekonomiky. Estrella a Hardouvelis (1991) ukázali, že sklon křivky v USA měl předpovědní sílu pro budoucí hospodářskou aktivitu a recese.inverted yield curve

Pozor

Inverze není hodiny. Zpoždění mezi inverzí a recesí kolísalo od několika měsíců po přes dva roky a některé inverze recesi nepředcházely. Když prémie za splatnost klesne (například kvůli nákupům dluhopisů centrální bankou), může se křivka oplošťovat bez jakéhokoli signálu o ekonomice. Načasovat podle inverze trh je hazard.

3.9Sklouzávání po křivce

Dluhopis s časem stárne: z pětiletého je za rok čtyřletý. Na rostoucí křivce se pak oceňuje nižší sazbou a jeho cena stoupne, i když se křivka nezmění. Tomu se říká sklouzávání po křivce; strategie, která na něm staví, se nazývá „jízda po křivce“. Součet výnosu do splatnosti a sklouzávání se označuje jako valivý výnos.roll-down, riding the yield curve, rolling yield

Příklad Pětiletý dluhopis po jednom roce

Pětiletý státní dluhopis s kupónem 3,5 % stojí na modelové křivce 100. Za rok se při nezměněné křivce ocení jako čtyřletý faktory \(DF_1\) až \(DF_4\):

\[P_1 = 3{,}5\cdot(0{,}975610 + 0{,}946190 + 0{,}913523 + 0{,}877478) + 100\cdot 0{,}877478 = 100{,}743.\]

Výnos za rok je kupón 3,50 % plus sklouzávání 0,74 %, celkem 4,24 % – o 1,74 p. b. víc než jednoletá sazba. Kdyby celá spotová křivka vzrostla o 1 p. b., byla by cena 97,12 a výnos 0,62 %. Stejná čísla uvádí tabulka 2.2 průvodce Investování; tam se počítala z výnosu do splatnosti 3,3 % (cena 100,738), tady přesněji ze spotových sazeb.

Obr. 3.3 Sklouzávání po modelové křivce. Pětiletý dluhopis s kupónem 3,5 % za rok zestárne na čtyřletý a ocení se nižší sazbou; při nezměněné křivce vynese za rok 4,24 %, o 1,74 p. b. víc než jednoletá sazba. Cena za rok je spočtená ze spotových sazeb (tab. 3.1).

Pravidlo palce

Sklouzávání za rok ≈ modifikovaná durace za rok × pokles výnosu mezi sousedními splatnostmi. Čtyřletý dluhopis s durací 3,7 a rozdílem výnosů 0,2 p. b. přidá zhruba 0,74 %.

3.10Procvičení

Spotové sazby jsou 2,5 % na rok a 2,804 % na dva roky. Kolik stojí dvouletý dluhopis s ročním kupónem 5 %?

\(5/1{,}025 + 105/1{,}028042^{2} = 4{,}878 + 99{,}350 = 104{,}23\) % nominálu.

Z tabulky 3.1 spočítejte dvouletou forwardovou sazbu začínající za tři roky \(f_{3,2}\).

\(f_{3,2} = \big(1{,}035331^{5}/1{,}030608^{3}\big)^{1/2} - 1 = 4{,}25\ \%\). Je to geometrický průměr forwardů \(f_{3,1} = 4{,}11\ \%\) a \(f_{4,1} = 4{,}38\ \%\).

Křivku z tabulky 3.1 prodlužte o šestiletý dluhopis al pari s kupónem 3,65 %. Jaký je \(DF_6\), \(z_6\) a \(f_{5,1}\)?

\(\sum_{t=1}^{5}DF_t = 4{,}553431\); \(DF_6 = (1 - 0{,}0365\cdot 4{,}553431)/1{,}0365 = 0{,}804438\); \(z_6 = 0{,}804438^{-1/6}-1 = 3{,}693\ \%\); \(f_{5,1} = 0{,}840630/0{,}804438 - 1 = 4{,}50\ \%\).

Tříletý firemní dluhopis s kupónem 6 % stojí 101. Spotové sazby jsou z tabulky 3.1. Spočítejte výnos do splatnosti, G-spread vůči tříletému par výnosu 3,05 % a Z-spread.

Výnos do splatnosti 5,63 %, G-spread \(5{,}63 - 3{,}05 = 2{,}58\) p. b. Z-spread, tedy \(Z\) splňující \(101 = 6/(1{,}025+Z) + 6/(1{,}028042+Z)^{2} + 106/(1{,}030608+Z)^{3}\), je 2,59 p. b.

Křivka je inverzní: dvouleté výnosy 4,5 %, desetileté 3,5 %. Co z toho plyne pro očekávané krátké sazby podle teorie čistých očekávání a podle teorie preference likvidity?

Podle čistých očekávání trh čeká pokles krátkých sazeb (forwardy pro vzdálenější roky jsou nižší). Podle preference likvidity obsahují forwardy kladnou prémii, takže očekávané sazby jsou ještě nižší než forwardy: trh čeká pokles větší, než ukazuje samotný tvar křivky.

Co si odnést

Každá platba má svou sazbu; spotová křivka je přesnější než jeden výnos do splatnosti.
Forward je zlomová sazba: dlouhý dluhopis vyhraje nad krátkým, jen když budoucí sazby skončí pod ním.
Tvar křivky mísí očekávání a prémii za splatnost; inverze je varování, ne jízdní řád recese.

Část IIRizika

Úrokové rizikopokročilý

Durace je jedno číslo, které shrnuje, jak moc dluhopis trpí, když rostou sazby, a zároveň na jakém horizontu mu růst sazeb nevadí. Konvexita opravuje to, co durace jako přímka přehlíží. S oběma lze sčítat riziko celého portfolia a sestavit ho tak, aby pokrylo budoucí závazek.

🎢

Durace je těžiště peněžních toků. Představte si platby dluhopisu jako závaží na prkně, kde vzdálenost od středu je čas do platby. Tam, kde prkno vyvážíte, leží durace. Čím dál je těžiště, tím víc se prkno zhoupne, když trh pohne sazbami.

Obr. 4.1 Durace jako těžiště. Současné hodnoty plateb dluhopisu Beta, s.r.o. při výnosu 9 % (tab. 4.1) leží na prkně podle času do výplaty. Prkno je v rovnováze v bodě 4,24 roku, což je Macaulayho durace; poslední platba nese 71 % ceny.

Přesně, nebo odhadem?

Procentní změna ceny dluhopisu při změně výnosu: modře přesný přepočet, oranžově čárkovaně odhad jen z modifikované durace, světle modře odhad s konvexitou.

LABORATOŘ

Kupón Splatnost Výnos do splatnosti Změna výnosu

Model: roční kupóny, jednorázová paralelní změna výnosu. DV01 je změna hodnoty pozice v tržní hodnotě 1 mil. Kč při změně výnosu o 0,01 p. b. Výchozí dluhopis je desetiletý s kupónem 4 % z kapitoly 10 průvodce Investování.

Imunizace: horizont versus durace

Koupíte dluhopis při výnosu 4 % a hned poté se sazby trvale změní o −1,5, 0 nebo +1,5 p. b. Kupóny reinvestujete za novou sazbu a na konci horizontu dluhopis prodáte. Křivky ukazují roční výnos podle délky horizontu; protínají se u Macaulayho durace.

LABORATOŘ

Horizont

Model: plochá křivka 4 %, kupóny 4 % (bezkupónový bez kupónů), jednorázový paralelní posun hned po nákupu. Skutečné křivky se posouvají i nerovnoběžně a vícekrát.

+Teorie: Macaulayho, modifikovaná, efektivní a klíčové durace, DV01, konvexita a imunizace

4.1Macaulayho durace

Macaulayho durace je vážený průměr doby do jednotlivých plateb; vahou je podíl současné hodnoty platby na ceně (Macaulay, 1938). Měří se v letech.Macaulay duration

Macaulayho durace\[D = \sum_{t=1}^{n} t\cdot w_t,\qquad w_t = \frac{CF_t/(1+y)^{t}}{P},\qquad D_{\text{al pari}} = \frac{1+y}{y}\Big[1-(1+y)^{-n}\Big].\]

Příklad Durace dluhopisu Beta, s.r.o.

**Tab. 4.1**Výpočet durace při výnosu 9 %
Rok \(t\)	Platba (Kč)	Současná hodnota	Váha \(w_t\)	\(t\cdot w_t\)
1	900	825,69	0,0826	0,0826
2	900	757,51	0,0758	0,1515
3	900	694,97	0,0695	0,2085
4	900	637,58	0,0638	0,2550
5	10 900	7 084,25	0,7084	3,5421
Celkem	14 500	10 000,00	1,0000	4,2397

Kontrola vzorcem pro dluhopis al pari: \((1{,}09/0{,}09)\cdot(1-1{,}09^{-5}) = 12{,}111\cdot 0{,}35007 = 4{,}2397\) roku.

Vlastnosti: bezkupónový dluhopis má duraci rovnou splatnosti; vyšší kupón duraci snižuje (víc váhy na dřívějších platbách); vyšší výnos ji snižuje (vzdálené platby se diskontují víc); věčný dluhopis má duraci \((1+y)/y\).

4.2Modifikovaná durace

Derivace ceny podle výnosu dává modifikovanou duraci, která přímo odhaduje procentní změnu ceny:modified duration

Modifikovaná durace\[D_{\text{mod}} = -\frac{1}{P}\frac{dP}{dy} = \frac{D}{1+y/m},\qquad \frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}}\,\Delta y.\]

Pro Betu: \(D_{\text{mod}} = 4{,}2397/1{,}09 = 3{,}8897\). Růst výnosu o 1 p. b. sníží cenu podle odhadu o 3,89 %, přesný přepočet dává −3,79 %. U dluhopisu s pololetními kupóny se dělí \((1+y/2)\): pětiletý dluhopis s kupónem 4 % při výnosu 5 % má Macaulayho duraci 4,57 roku a modifikovanou 4,46.

4.3Efektivní a klíčové durace

Když se peněžní toky mění se sazbami (svolatelné dluhopisy, hypoteční zástavní listy s předčasným splácením), vzorce z oddílu 4.1 neplatí. Cena se v oceňovacím modelu přepočte při posunu celé křivky dolů a nahoru o \(\Delta y\):effective duration, effective convexity

Efektivní durace a konvexita\[D_{\text{ef}} = \frac{P_{-} - P_{+}}{2\,P_0\,\Delta y},\qquad C_{\text{ef}} = \frac{P_{-} + P_{+} - 2P_0}{P_0\,(\Delta y)^{2}}.\]

Pro desetiletý dluhopis s kupónem 4 % a \(\Delta y = 0{,}5\) p. b. vychází \(D_{\text{ef}} = 8{,}115\) a \(C_{\text{ef}} = 80{,}78\), prakticky totéž co analyticky (8,111 a 80,75). U svolatelného dluhopisu nad cenou svolání cena při poklesu sazeb skoro neroste a efektivní konvexita je záporná.

Durace předpokládá paralelní posun křivky. Citlivost na posun jednotlivých bodů měří klíčové (parciální) durace; jejich součet je zhruba efektivní durace.key rate duration

Příklad Klíčové durace pětiletého dluhopisu s kupónem 4 %

Na spotové křivce z tabulky 3.1 připadá na jednotlivé splatnosti \(t\cdot CF_t\,DF_t/\big[(1+z_t)P\big]\):

**Tab. 4.2**Klíčové durace (spotové sazby, cena 102,28)
Bod křivky	1 rok	2 roky	3 roky	4 roky	5 let	součet
Klíčová durace	0,037	0,072	0,104	0,133	4,128	4,474

Když sazby na 1 až 4 roky klesnou o 0,5 p. b. a pětiletá vzroste o 0,5 p. b. (strmění), změní se cena přibližně o \(-[0{,}346\cdot(-0{,}005) + 4{,}128\cdot 0{,}005] = -1{,}89\ \%\). Paralelní durace by takovou změnu tvaru vůbec nezachytila.

4.4Peněžní durace a DV01

Správci portfolií potřebují citlivost v korunách. Peněžní durace je \(D_{\text{mod}}\cdot P\) a DV01 (PVBP) změna hodnoty při posunu výnosu o 0,01 p. b.:money duration, DV01, PVBP

DV01\[\text{DV01} = D_{\text{mod}}\cdot V\cdot 0{,}0001.\]

Pozice v dluhopisech Beta za 1 mil. Kč má DV01 \(3{,}8897\cdot 1\,000\,000\cdot 0{,}0001 = 389\) Kč, pozice v desetiletém dluhopise s kupónem 4 % 811 Kč. Kdo chce citlivost desetiletého dluhopisu vyrovnat kratším nástrojem, potřebuje ho v poměru DV01, tedy zhruba 2,09krát víc.

Obr. 4.2 Rodina durací na dluhopisu Beta, s.r.o. Macaulayho durace měří čas, modifikovaná procentní citlivost, DV01 citlivost v korunách. Efektivní, klíčové a spreadová durace odpovídají na jiné otázky: co když se mění peněžní toky, tvar křivky nebo spread.

4.5Konvexita

Vztah ceny a výnosu je zakřivený. Druhá derivace dává konvexitu, která odhad z durace zpřesní:convexity

Durace a konvexita\[\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}}\,\Delta y + \tfrac12\,C\,(\Delta y)^{2},\qquad C = \frac{1}{P\,(1+y)^{2}}\sum_{t=1}^{n}\frac{t(t+1)\,CF_t}{(1+y)^{t}}.\]

**Tab. 4.3**Dluhopis Beta, s.r.o. (D_mod 3,89, C 20,18): změna ceny při změně výnosu
Změna výnosu	přesně	jen durace	durace + konvexita
−2 p. b.	+8,20 %	+7,78 %	+8,18 %
−1 p. b.	+3,99 %	+3,89 %	+3,99 %
+1 p. b.	−3,79 %	−3,89 %	−3,79 %
+2 p. b.	−7,39 %	−7,78 %	−7,38 %
+3 p. b.	−10,81 %	−11,67 %	−10,76 %

Kladná konvexita je pro držitele výhodná: při růstu sazeb ztratí méně a při poklesu získá víc, než říká durace. Trh ji proto oceňuje – dluhopisy s vyšší konvexitou mají při stejné duraci o něco nižší výnos (oddíl 8.3).

4.6Durace portfolia

Durace portfolia je přibližně průměr durací vážený tržními hodnotami, stejně tak konvexita. Předpokládá ale paralelní posun křivky: dvě portfolia se stejnou durací mohou na změnu tvaru reagovat velmi odlišně.portfolio duration

Příklad Dvě splatnosti v jednom portfoliu

40 % ve dvouletém dluhopisu s kupónem 3 % (výnos 2,8 %, \(D_{\text{mod}} = 1{,}917\), \(C = 5{,}57\)) a 60 % v desetiletém s kupónem 4 % (\(D_{\text{mod}} = 8{,}111\), \(C = 80{,}75\)):

\[D_p = 0{,}4\cdot 1{,}917 + 0{,}6\cdot 8{,}111 = 5{,}633,\qquad C_p = 0{,}4\cdot 5{,}57 + 0{,}6\cdot 80{,}75 = 50{,}68.\]

Portfolio reaguje na paralelní posun jako jeden dluhopis s durací 5,6, ale při strmění křivky ztratí víc: desetiletý konec nese 86 % jeho citlivosti.

4.7Imunizace

Investor, který za \(H\) let potřebuje známou částku, čelí dvěma protichůdným rizikům. Vzrostou-li sazby, ztratí na ceně, ale kupóny reinvestuje výhodněji; klesnou-li, je to naopak. Na horizontu rovném Macaulayho duraci se oba efekty při jednorázové paralelní změně přibližně vyrovnají. Obecné podmínky formuloval Redington (1952) pro pojišťovny:immunization, Redington conditions

současná hodnota aktiv se rovná současné hodnotě závazků,
durace aktiv se rovná duraci závazků (u jednoho závazku jeho splatnosti),
konvexita aktiv je vyšší než konvexita závazků.

Příklad Závazek 1 000 000 Kč za 7 let

Při ploché křivce 4 % je současná hodnota závazku \(1\,000\,000/1{,}04^{7} = 759\,918\) Kč. Za ni lze koupit osmiletý dluhopis s kupónem 4 % (Macaulayho durace 7,00), patnáctiletý (durace 11,6) nebo tříletý a výnos pak čtyři roky ukládat. Hned po nákupu se sazby jednorázově změní:

**Tab. 4.4**Hodnota za 7 let (Kč) podle strategie a změny sazeb
Strategie	−2 p. b.	−1 p. b.	beze změny	+1 p. b.	+2 p. b.
8 let, durace 7,0	1 000 796	1 000 209	1 000 000	1 000 171	1 000 725
15 let, durace 11,6	1 097 231	1 046 175	1 000 000	958 293	920 684
3 roky, pak reinvestice	923 254	961 039	1 000 000	1 040 162	1 081 550
bezkupónový 7 let	1 000 000	1 000 000	1 000 000	1 000 000	1 000 000

Dluhopis s durací rovnou horizontu dá závazek ve všech scénářích, dokonce s malým přebytkem díky konvexitě. Patnáctiletý nese cenové riziko, tříletý riziko reinvestice. Bezkupónový dluhopis se splatností 7 let imunizuje dokonale, ale nemusí existovat.

**Tab. 4.5**Roční výnos desetiletého dluhopisu s kupónem 4 % (durace 8,44) podle horizontu a změny sazeb
Horizont	−1,5 p. b.	beze změny	+1,5 p. b.
1 rok	15,96 %	4,00 %	−6,43 %
3 roky	6,80 %	4,00 %	1,36 %
5 let	5,06 %	4,00 %	3,00 %
8,44 roku	4,01 %	4,00 %	4,01 %
10 let	3,77 %	4,00 %	4,24 %

Pozor

Imunizace platí pro jednu okamžitou paralelní změnu. Durace klesá pomaleji než zbývající čas, takže portfolio je třeba průběžně přeskupovat. Nerovnoběžné posuny křivky a úvěrové ztráty imunizaci narušují; proto se pro závazky používají státní dluhopisy a hlídá se i rozložení toků, nejen jejich průměr.

Z praxe

Pojišťovny a penzijní fondy řídí aktiva vůči závazkům právě takto (správa aktiv a pasiv). Domácnost to může napodobit jednoduše: peníze na známý výdaj za několik let (doplatek bytu, studium) uložit do dluhopisu nebo fondu s cílovou splatností blízkou datu výdaje, ne do fondu s pevnou dlouhou durací.

4.8Procvičení

Tříletý dluhopis s kupónem 5 % se obchoduje při výnosu 5 %. Spočítejte Macaulayho a modifikovanou duraci.

Dluhopis je al pari: \(D = (1{,}05/0{,}05)\cdot(1-1{,}05^{-3}) = 21\cdot 0{,}13616 = 2{,}859\) roku, \(D_{\text{mod}} = 2{,}859/1{,}05 = 2{,}723\).

Portfolio 3 mil. Kč tvoří 1 mil. Kč v dluhopisech s modifikovanou durací 2 a 2 mil. Kč s durací 9. Jaká je durace portfolia a DV01?

\(D_p = (1\cdot 2 + 2\cdot 9)/3 = 6{,}67\); DV01 \(= 6{,}67\cdot 3\,000\,000\cdot 0{,}0001 = 2\,000\) Kč na 0,01 p. b.

Desetiletý dluhopis s kupónem 4 % při výnosu 4 % (\(D_{\text{mod}} = 8{,}111\), \(C = 80{,}75\)). Odhadněte změnu ceny při růstu výnosu o 2 p. b. a porovnejte s přesnou hodnotou.

Odhad \(-8{,}111\cdot 0{,}02 + 0{,}5\cdot 80{,}75\cdot 0{,}0004 = -16{,}22 + 1{,}62 = -14{,}61\ \%\). Přesně cena klesne z 1 000 na 852,80 Kč, o 14,72 %. Samotná durace by přestřelila o 1,5 p. b.

Za 4 roky potřebujete 500 000 Kč, křivka je plochá na 4 %. Kolik investovat a do jakého dluhopisu, aby výsledek nezávisel na jednorázové změně sazeb?

\(500\,000/1{,}04^{4} = 427\,402\) Kč do bezkupónového dluhopisu se splatností 4 roky. Kupónové dluhopisy s kupónem 4 % mají duraci kratší než splatnost: čtyřletý 3,78 roku, tříletý 2,89 a pětiletý 4,63. Duraci 4 roky dá například 36 % částky v tříletém a 64 % v pětiletém dluhopisu; takové portfolio je ale třeba s časem přeskupovat.

Kolik nominálu dluhopisů Beta (DV01 389 Kč na 1 mil. Kč) má stejnou úrokovou citlivost jako 1 mil. Kč v desetiletém dluhopisu s kupónem 4 % (DV01 811 Kč)?

\(811{,}09/388{,}97 = 2{,}085\), tedy asi 2,09 mil. Kč. Pozor: Beta nese navíc úvěrové riziko, takže úrokovou citlivost sice vyrovnáte, celkové riziko ne.

Co si odnést

Modifikovaná durace odhaduje procentní změnu ceny na 1 p. b.; DV01 totéž v korunách.
Konvexita opravuje odhad a je pro držitele výhodná; u svolatelných dluhopisů může být záporná.
Horizont rovný Macaulayho duraci imunizuje proti jednorázové změně sazeb.

Část IIRizika

Úvěrové rizikopokročilý

Vysoký kupón není dárek, ale cena za riziko, že dlužník nezaplatí. Ze spreadu se dá odhadnout, s jakou pravděpodobností trh selhání počítá, a z té pravděpodobnosti zase, kolik ztrátových emisí portfolio unese. Diverzifikace pomáhá, ale selhání přicházejí ve vlnách.

🎲

Půjčit deseti známým po 10 000 Kč s úrokem 9 % je jiná sázka než půjčit jednomu 100 000 Kč. Když jeden z deseti nezaplatí, pořád vyděláte. Když nezaplatí ten jediný, přijdete o většinu. A pokud všech deset pracuje ve stejné továrně, která zavírá, desetkrát rozložené riziko je pořád jedno riziko.

Portfolio firemních dluhopisů se selháními

Simulace 4 000 pětiletých průběhů. Každý rok může kterýkoli dluhopis selhat; společný faktor (korelace) určuje, jak moc selhání přicházejí najednou. Histogram ukazuje průměrný roční výnos portfolia; oranžová čára je modelový výnos státních dluhopisů.

LABORATOŘ

Počet dluhopisů Pravděpodobnost selhání ročně Ztráta při selhání

Kupón Korelace selhání

Model: jednofaktorový model (Vasicek): dluhopis selže v roce, kdy \(\sqrt{\rho}\,M+\sqrt{1-\rho}\,\varepsilon \lt \Phi^{-1}(PD)\). Stejné částky, kupóny i výtěžnost se reinvestují za 3,5 %, nesplacené dluhopisy se splatí po 5 letech. Výchozí hodnoty odpovídají dluhopisu Beta, s.r.o. (oddíl 5.3).

Minihra: odhadněte rating

Šest stručných popisů emitentů. Do kterého pásma ratingové stupnice by nejspíš patřili?

MINIHRA

0 / 6

+Teorie: PD, LGD, očekávaná ztráta, spread, ratingy, Beta, s.r.o., modely a diverzifikace

5.1Základní veličiny

Úvěrové riziko se rozkládá na tři veličiny: pravděpodobnost selhání \(PD\) za období, ztrátu při selhání \(LGD\), tedy podíl dluhu, který se ztratí, a expozici při selhání \(EAD\). Ztráta při selhání je jedna minus výtěžnost \(RR\).probability of default, loss given default, exposure at default, recovery rate

Očekávaná ztráta\[EL = PD\cdot LGD\cdot EAD,\qquad LGD = 1 - RR,\qquad PD_{\text{kum}}(T) = 1-(1-PD)^{T}.\]

Při stálé roční \(PD\) přežije emitent \(T\) let s pravděpodobností \((1-PD)^{T}\). Ekvivalentně se pracuje s intenzitou selhání \(\lambda\), kde \(PD = 1-e^{-\lambda}\).hazard rate

5.2Spread, očekávaná ztráta a prémie

Úvěrový spread musí pokrýt aspoň očekávanou ztrátu. Pro malé \(PD\) platí přibližný „úvěrový trojúhelník“

Úvěrový trojúhelník\[s \approx PD^{Q}\cdot LGD\qquad\Longrightarrow\qquad PD^{Q} \approx \frac{s}{LGD}.\]

\(PD^{Q}\) je pravděpodobnost implikovaná cenami (rizikově neutrální). Skutečná pravděpodobnost \(PD^{P}\) bývá nižší, protože spread obsahuje i prémii za úvěrové riziko (selhání přicházejí hromadně a v nejhorší chvíli), prémii za nelikviditu a u některých trhů i daňové vlivy. Elton, Gruber, Agrawal a Mann (2001) ukázali, že očekávané ztráty vysvětlují jen menší část spreadů firemních dluhopisů s investičním ratingem.credit triangle, risk-neutral vs. real-world PD, credit risk premium

Rozklad spreadu\[s = \underbrace{PD\cdot LGD}_{EL} + \underbrace{\pi_{\text{úvěr}}}_{\text{prémie za riziko}} + \underbrace{\pi_{\text{lik}}}_{\text{nelikvidita}}.\]

5.3Co říká kupón Bety

Příklad Implikovaná pravděpodobnost selhání Beta, s.r.o.

Beta platí 9 %, pětiletý státní dluhopis 3,5 %; spread je 5,5 p. b. U nezajištěného dluhu malé firmy počítáme s výtěžností 30 %, tedy \(LGD = 70\ \%\). Úvěrový trojúhelník dává \(PD \approx 5{,}5/0{,}7 = 7{,}86\ \%\) ročně.

Přesnější je jednoroční rovnice: za rok dostanete s pravděpodobností \(1-q\) kupón a dluhopis v plné hodnotě, s pravděpodobností \(q\) jen výtěžnost 30 %. Má-li to v průměru vynést státních 3,5 % plus prémii \(\pi\), platí

\[(1-q)\cdot 1{,}09 + q\cdot 0{,}30 = 1{,}035 + \pi\quad\Rightarrow\quad q = \frac{1{,}09-1{,}035-\pi}{1{,}09-0{,}30}.\]

Bez prémie (\(\pi = 0\)) je \(q = 6{,}96\ \%\) ročně. Chce-li investor za nelikviditu a nejistotu aspoň 2 p. b. navíc, kupón implikuje \(q = 4{,}43\ \%\) ročně, tedy 20,3 % na pět let. Očekávaná ztráta je \(4{,}43\ \%\cdot(1{,}09-0{,}30) = 3{,}5\ \%\) ročně a očekávaný výnos 5,5 %. Kupón 9 % tedy říká: „asi jedna z pěti takových firem do splatnosti nezaplatí“.

Obr. 5.1 Co říká kupón Beta, s.r.o. Vlevo jednoroční strom z příkladu s prémií 2 p. b.: s pravděpodobností 4,43 % dostanete jen výtěžnost 30 %. Vpravo rozklad kupónu: spread 5,5 p. b. tvoří očekávaná ztráta a prémie za riziko a nelikviditu; po odečtení očekávané ztráty zbývá očekávaný výnos 5,5 %.

Kolik ztrátových emisí unese portfolio

Investor rozloží 100 000 Kč rovným dílem do deseti dluhopisů podobných Betě. Kupóny i výtěžnost ukládá za 3,5 %. Dluhopis, který selže, vyplatí dva kupóny a na konci třetího roku 30 % jistiny.

**Tab. 5.1**Hodnota portfolia po 5 letech podle počtu selhání
Počet selhání z 10	Hodnota (Kč)	Roční výnos
0	148 262	8,19 %
1	138 680	6,76 %
2	129 098	5,24 %
3	119 516	3,63 %
4	109 934	1,91 %
5	100 353	0,07 %

Pro srovnání: státní dluhopisy (3,5 % ročně) by daly 118 769 Kč.

Portfolio porazí státní dluhopisy, dokud selžou nejvýše tři emise ze deseti (zlomový bod 3,1); nominální jistinu udrží ještě při pěti selháních. Při \(PD = 4{,}43\ \%\) je očekávaný počet selhání 2,0 a očekávaný roční výnos 5,16 %. Kolik selhání skutečně přijde, záleží na korelaci – to ukazuje laboratoř.

5.4Ratingy a migrace

Rating je názor ratingové agentury na úvěrovou kvalitu emitenta nebo emise. Dvě nejrozšířenější stupnice používají písmena AAA až D (u jedné agentury Aaa až C). Stupně BBB− a lepší tvoří investiční stupeň, horší jsou spekulativní (high yield).credit rating, investment grade, high yield

**Tab. 5.2**Ratingová stupnice a její význam
Pásmo	Stupně	Význam
nejvyšší kvalita	AAA, AA	velmi silná schopnost splácet i v nepříznivých podmínkách
investiční stupeň	A, BBB	dobrá schopnost splácet, citlivější na hospodářský cyklus
spekulativní	BB, B	splácí, ale nepříznivé podmínky mohou schopnost splácet ohrozit
vysoce rizikové	CCC až C	splácení závisí na příznivém vývoji, selhání je reálné
selhání	D	emitent nezaplatil

Dlouhodobé studie ratingových agentur ukazují, že pětileté kumulativní míry selhání rostou s horším ratingem zhruba geometricky: u stupňů A a lepších jsou řádově v desetinách procenta, u BBB kolem jednoho až dvou procent, u BB několik procent, u B přes deset procent a u CCC v desítkách procent. Beta s implikovanými 20 % na pět let by tak odpovídala spíš pásmu B až CCC.

Rating se mění. Zhoršení (migrace) obvykle doprovází rozšíření spreadu a pokles ceny ještě dřív, než dojde k selhání. Zvlášť bolestivý je pád z investičního stupně, kdy řada institucí musí dluhopis prodat. Pětiletý dluhopis se spreadovou durací 4,3, jehož spread po snížení z BBB na BB vzroste o 2 p. b., ztratí zhruba \(4{,}3\cdot 2 = 8{,}6\ \%\).rating migration, fallen angel

5.5Spreadová durace

Spreadová durace měří procentní změnu ceny při změně spreadu o 1 p. b.; u dluhopisu s pevným kupónem se prakticky rovná modifikované duraci. Riziko rozšíření spreadu je proto přítomné každý den, i když emitent nikdy nezkrachuje.spread duration, spread risk

Příklad Beta po zhoršení výsledků

Spreadová durace dluhopisu Beta je 3,89. Pokud trh po slabých výsledcích začne chtít o 2 p. b. vyšší spread (výnos 11 %), klesne cena z 10 000 na 9 261 Kč (−7,39 %); při rozšíření o 3 p. b. na 8 919 Kč (−10,81 %). Kdo musí prodat před splatností, nese tuto ztrátu, i když Beta nakonec vše splatí.

5.6Modely úvěrového rizika

Strukturální model

Merton (1974) chápe vlastní kapitál firmy jako kupní opci na její aktiva s realizační cenou rovnou dluhu: když hodnota aktiv při splatnosti klesne pod dluh, vlastníci firmu „odevzdají“ věřitelům. Rizikový dluh je pak bezrizikový dluh minus prodejní opce na aktiva. Z modelu plyne, že pravděpodobnost selhání roste se zadlužeností a volatilitou aktiv a klesá s odstupem hodnoty aktiv od dluhu („vzdálenost k selhání“).structural model, Merton model, distance to default

Obr. 5.2 Strukturální (Mertonův) model schematicky. Vlevo: hodnota aktiv se do splatnosti rozptyluje a pravděpodobnost selhání je část rozdělení pod dluhem; čím větší vzdálenost k selhání, tím nižší PD. Vpravo: věřitelé dostanou nejvýše dluh D, vlastníci zbytek – jejich podíl je kupní opce na aktiva firmy.

Redukovaný model

Redukované modely nepopisují, proč firma selže; selhání je náhodná událost s intenzitou \(\lambda\), kterou lze odvodit ze spreadů (\(s \approx \lambda\cdot LGD\)). Hodí se pro oceňování a porovnání emisí, ne pro analýzu firmy.reduced-form model

Altmanovo Z-skóre

Altman (1968) sestavil z finančních poměrů diskriminační funkci, která odděluje firmy blízko úpadku. Pro soukromé firmy (bez tržní ceny akcií) slouží verze \(Z'\) (Altman, 1983):Altman Z-score

Z′-skóre soukromé firmy\[Z' = 0{,}717\,X_1 + 0{,}847\,X_2 + 3{,}107\,X_3 + 0{,}420\,X_4 + 0{,}998\,X_5,\]

kde \(X_1\) je čistý pracovní kapitál / aktiva, \(X_2\) nerozdělený zisk / aktiva, \(X_3\) EBIT / aktiva, \(X_4\) účetní vlastní kapitál / cizí zdroje a \(X_5\) tržby / aktiva. Hodnoty nad 2,90 považuje Altman za bezpečné, pod 1,23 za tísňové, mezi nimi je šedá zóna.

Příklad Z′-skóre Beta, s.r.o. (mil. Kč, modelové výkazy z kapitoly 9)

Aktiva 90, pracovní kapitál 10, nerozdělený zisk 15, EBIT 8, vlastní kapitál 22, cizí zdroje 68, tržby 120:

\[Z' = 0{,}717\cdot 0{,}111 + 0{,}847\cdot 0{,}167 + 3{,}107\cdot 0{,}089 + 0{,}420\cdot 0{,}324 + 0{,}998\cdot 1{,}333 = 1{,}96.\]

Beta je v šedé zóně. Po emisi, kdy aktiva vzrostou o novou halu za 20 mil. Kč a cizí zdroje na 88, klesne skóre na 1,60. Skóre bylo kalibrováno na amerických datech; pro malé české firmy je to hrubý orientační ukazatel, ne verdikt.

5.7Diverzifikace a korelace selhání

Laboratoř používá jednofaktorový model, na kterém stojí i bankovní regulace (Vasicek, 2002). Každá firma má „skóre“ složené ze společného faktoru ekonomiky \(M\) a vlastního šumu \(\varepsilon\); selže, když skóre klesne pod hranici danou \(PD\). Korelace \(\rho\) určuje, jak velká část rizika je společná.one-factor Gaussian copula, default correlation

**Tab. 5.3**Simulace pro dluhopisy typu Beta (PD 4,5 %, LGD 70 %, kupón 9 %, 10 000 průběhů)
Portfolio	Průměrný výnos	5. percentil	Pod státními 3,5 %	Nominální ztráta
1 dluhopis	4,0 %	−15,3 %	20 %	20 %
10 dluhopisů, ρ = 0	5,0 %	1,2 %	23 %	2,4 %
10 dluhopisů, ρ = 0,2	5,0 %	0,0 %	25 %	5,0 %
30 dluhopisů, ρ = 0	5,1 %	3,0 %	10 %	0,0 %
30 dluhopisů, ρ = 0,2	5,1 %	1,4 %	18 %	1,8 %

Průměr ročních výnosů jednotlivých průběhů. U jediného dluhopisu je nižší, protože pětiletý výnos se při selhání propadá hluboko a průměr ročních výnosů tím penalizuje víc než průměr konečných hodnot.

Diverzifikace nemění průměr, ale dramaticky zužuje rozpětí: s jedním dluhopisem končí každý pátý průběh ztrátou, s třiceti nezávislými prakticky žádný. Korelace však vrací část rizika zpět – při \(\rho = 0{,}2\) zůstává i u třiceti dluhopisů zhruba každý padesátý průběh ve ztrátě. Tomu se nevyhne žádný počet emitentů ze stejné ekonomiky a stejného odvětví.

Pozor

Deset dluhopisů od firem jednoho podnikatele, jednoho odvětví nebo jednoho distributora není deset nezávislých sázek. Korelace v takovém koši bývá vysoká a laboratoř s \(\rho = 0{,}5\) ukazuje, co to dělá s levým koncem rozdělení.

5.8Procvičení

Emitent má roční \(PD = 2\ \%\) a výtěžnost 40 %. Jaká je roční očekávaná ztráta a pravděpodobnost selhání do pěti let?

\(EL = 0{,}02\cdot 0{,}6 = 1{,}2\ \%\) ročně. Kumulativně \(1-0{,}98^{5} = 9{,}61\ \%\).

Spread je 3,5 p. b. a \(LGD = 60\ \%\). Jakou \(PD\) implikuje úvěrový trojúhelník? A jakou, je-li polovina spreadu prémií za riziko a likviditu?

\(3{,}5/0{,}6 = 5{,}83\ \%\) ročně; při polovičním podílu očekávané ztráty \(1{,}75/0{,}6 = 2{,}92\ \%\).

Proč mají kryté dluhopisy banky lepší rating než její seniorní nezajištěné dluhopisy?

Věřitel krytého dluhopisu má nárok vůči bance a navíc přednostní nárok na oddělený krycí blok úvěrů. Při selhání banky se uspokojí z krycího bloku dřív než ostatní věřitelé, takže jeho očekávaná ztráta je výrazně nižší.

Firma má aktiva 200, pracovní kapitál 30, nerozdělený zisk 40, EBIT 24, vlastní kapitál 80, cizí zdroje 120 a tržby 260 (mil. Kč). Spočítejte \(Z'\).

\(X_1 = 0{,}15\), \(X_2 = 0{,}20\), \(X_3 = 0{,}12\), \(X_4 = 0{,}667\), \(X_5 = 1{,}30\). \(Z' = 0{,}108 + 0{,}169 + 0{,}373 + 0{,}280 + 1{,}297 = 2{,}23\): šedá zóna, lépe než Beta.

Firemní dluhopis má spreadovou duraci 4 a nad státním dluhopisem vynáší o 2 p. b. víc. Spread se rozšíří o 1,5 p. b. Kolik ztratíte a kolik let náskoku to smaže?

\(-4\cdot 1{,}5 = -6\ \%\). Při náskoku 2 p. b. ročně jsou to tři roky výnosu navíc.

Co si odnést

Spread kryje očekávanou ztrátu, prémii za riziko a nelikviditu; z kupónu lze odhadnout implikovanou pravděpodobnost selhání.
Kupón 9 % u malé firmy znamená zhruba pětinovou šanci selhání do pěti let.
Diverzifikace zužuje rozpětí výsledků, korelace selhání ale nechává tlustý levý konec.

Část IIRizika

Inflace, pohyblivé sazby a reálné výnosymírně pokročilý

Dluhopis s pevným kupónem slibuje koruny, ne kupní sílu. Když inflace překvapí nahoru, zaplatí to věřitel. Protiinflační dluhopisy přenášejí inflační riziko na emitenta, dluhopisy s pohyblivým kupónem přenášejí riziko sazeb. Rozdíl výnosů mezi nimi prozrazuje, jakou inflaci trh čeká.

🍞

Pevný kupón je jako smlouva na deset let, že vám soused každý rok dá 35 rohlíků za stovku. Když rohlíky zdraží, dostanete pořád 35 rohlíků za stovku, jenže za rok si za tu stovku koupíte méně. Protiinflační dluhopis slibuje rohlíky, ne koruny.

Obr. 6.1 Kdo nese které riziko. Protiinflační dluhopis přenáší inflační riziko na emitenta, pohyblivý kupón riziko sazeb; úvěrové riziko emitenta zůstává věřiteli ve všech třech případech. Pohyblivý kupón chrání před inflací jen do té míry, do jaké ji sledují krátké sazby (tab. 6.2).

Pevný, protiinflační, nebo pohyblivý kupón?

Tři pětileté dluhopisy držené do splatnosti, každý za 100 Kč. Křivky ukazují jejich hodnotu v dnešních cenách, čárkovaně kupní sílu samotné stovky. Zvolte scénář inflace.

LABORATOŘ

Výnos pevného dluhopisu Reálný výnos protiinflačního Marže pohyblivého

Model: krátká sazba = inflace − 0,5 p. b. (nejméně 0), pohyblivý kupón = krátká sazba + marže, protiinflační dluhopis má jistinu indexovanou cenami a reálný kupón. Kupóny se ukládají za krátkou sazbu. Bez daní a bez úvěrového rizika.

+Teorie: Fisher, protiinflační dluhopisy, breakeven inflace, pohyblivé kupóny a reálný výnos po dani

6.1Nominální a reálný výnos

Vztah nominální sazby, reálné sazby a inflace popsal Fisher (1930). U dluhopisů je užitečné doplnit, že nominální výnos obsahuje kromě očekávané inflace i prémii za inflační riziko: věřitel s pevným kupónem nese riziko, že inflace bude vyšší, než čekal.Fisher equation, inflation risk premium

Fisherova rovnice pro dluhopisy\[(1+y_{\text{nom}}) = (1+y_{\text{reál}})\,(1+\pi^{e})\,(1+IRP)\quad\Longrightarrow\quad y_{\text{nom}} \approx y_{\text{reál}} + \pi^{e} + IRP.\]

Modelový státní dluhopis s výnosem 3,5 % při inflaci 2,5 % vynáší reálně \(1{,}035/1{,}025-1 = 0{,}98\ \%\). Vyšší inflace mu reálný výnos ukrojí bez ohledu na to, že nominálně platí dál: při inflaci 6 % ročně je reálný výnos \(1{,}035/1{,}06-1 = -2{,}36\ \%\).

6.2Protiinflační dluhopisy

Klasický protiinflační dluhopis má jistinu navázanou na index spotřebitelských cen. Kupón je pevná reálná sazba, ale počítá se z indexované jistiny, takže roste s cenami; na konci se splatí indexovaná jistina, obvykle nejméně nominál (ochrana proti deflaci). Index se používá se zpožděním několika měsíců, protože inflace se zveřejňuje zpětně.inflation-linked bond, index ratio, deflation floor

Indexovaná jistina a kupón\[N_t = N\cdot\frac{CPI_t}{CPI_0},\qquad CF_t = c_{\text{reál}}\cdot N_t,\qquad CF_n = c_{\text{reál}}\cdot N_n + \max(N_n,\,N).\]

Příklad Tři roky s inflací 3 %, 2 % a 4 %

Jistina 1 000 Kč, reálný kupón 1 %. Index cen vzroste na 1,030, 1,0506 a 1,0926.

**Tab. 6.1**Peněžní toky protiinflačního dluhopisu
Rok	Inflace	Indexovaná jistina	Kupón	Splátka jistiny
1	3 %	1 030,00	10,30	–
2	2 %	1 050,60	10,51	–
3	4 %	1 092,62	10,93	1 092,62

Nominální vnitřní výnos je 4,02 %, průměrná inflace 3,00 %; reálně dluhopis vynesl právě slíbené 1 %. Kdyby inflace byla dvojnásobná, nominální výnos by se zvýšil, reálný ne.

Z praxe

V Česku Ministerstvo financí prodává občanům protiinflační státní dluhopisy jiného typu: jistina se neindexuje, inflaci sleduje kupón. Podle oznámení o výnosech se kupón u některých emisí stanovil jako meziroční změna indexu spotřebitelských cen plus 0,5 p. b., u jiných jako meziroční inflace s dolní hranicí nula. Přesný vzorec, zpoždění indexu a podmínky předčasného splacení stanoví emisní podmínky každé emise. Výnos takových emisí vydaných po 1. 1. 2021 je u fyzických osob osvobozen od daně (příloha C).

6.3Breakeven inflace

Rozdíl výnosů nominálního a protiinflačního dluhopisu stejné splatnosti se nazývá breakeven (zlomová) inflace. Je to průměrná inflace, při které oba dluhopisy vynesou stejně:breakeven inflation

Breakeven inflace\[BEI = \frac{1+y_{\text{nom}}}{1+y_{\text{reál}}} - 1 \approx y_{\text{nom}} - y_{\text{reál}} = \pi^{e} + IRP - \text{prémie za nelikviditu protiinflačního}.\]

Při nominálním výnosu 3,5 % a reálném 1,0 % je \(BEI = 1{,}035/1{,}010 - 1 = 2{,}48\ \%\). Bude-li inflace v průměru vyšší, vyhraje protiinflační dluhopis, nižší – nominální. Breakeven není čistým odhadem inflace: obsahuje prémii za inflační riziko (zvyšuje ji) a horší likviditu protiinflačních dluhopisů (snižuje ji).

Pozor

Protiinflační dluhopis chrání kupní sílu jen při držení do splatnosti. Mezitím jeho cena kolísá s reálnými sazbami: když reálné výnosy vzrostou, cena klesne podle reálné durace stejně jako u nominálního dluhopisu. V letech prudkého růstu reálných sazeb tak protiinflační dluhopisy s dlouhou splatností dokázaly ztratit i v době vysoké inflace.

6.4Dluhopisy s pohyblivým kupónem

Kupón dluhopisu s pohyblivým kupónem (FRN) se na začátku každého období nastaví jako referenční sazba plus pevná kotovaná marže (QM). Marže, kterou za riziko emitenta požaduje trh, se nazývá diskontní marže (DM). Při rovnosti obou stojí dluhopis v den nastavení kupónu al pari.floating-rate note, quoted margin, discount margin

Cena dluhopisu s pohyblivým kupónem\[P = \sum_{k=1}^{mn}\frac{\tfrac{r+QM}{m}\,N}{\big(1+\tfrac{r+DM}{m}\big)^{k}} + \frac{N}{\big(1+\tfrac{r+DM}{m}\big)^{mn}},\]

kde \(r\) je referenční sazba (pro výpočet se předpokládá, že se nezmění). Úroková durace takového dluhopisu je jen doba do příštího nastavení kupónu, nejvýše několik měsíců. Spreadová durace je ale dlouhá, protože marže je pevná po celou dobu.

Obr. 6.2 Pohyblivý kupón schematicky: na začátku každého pololetí se nastaví jako referenční sazba plus pevná marže 5,5 p. b. (Beta s pohyblivým kupónem z příkladu níže); svislé čárky na ose jsou dny nastavení. Průběh referenční sazby je ilustrační.

Příklad Beta s pohyblivým kupónem

Pětiletý dluhopis s pololetním kupónem „referenční sazba + 5,5 p. b.“, referenční sazba 2,5 %. Dokud trh požaduje marži 5,5 p. b., stojí 100,00. Zhorší-li se Beta a trh bude chtít 6,0 p. b., klesne cena na 98,00; při 7,0 p. b. na 94,14. Pohyblivý kupón tedy chrání před růstem sazeb, ne před zhoršením dlužníka.

Varianty: strop (kupón nepřesáhne danou sazbu – výhoda emitenta), dno (kupón neklesne pod danou sazbu – výhoda investora), inverzní pohyblivý kupón (pevná sazba minus referenční; durace je delší než splatnost).cap, floor, inverse floater

6.5Reálný výnos po dani

Daň se platí z nominálního výnosu, tedy i z části, která jen vyrovnává inflaci. Skutečná sazba zdanění reálného výnosu je proto vyšší než zákonná sazba, a to tím víc, čím vyšší je inflace.

Příklad Firemní a státní dluhopis po dani

Firemní dluhopis vynáší 4,5 %, kupón se daní 15 %, inflace je 2,5 %. Reálně před daní \(1{,}045/1{,}025-1 = 1{,}95\ \%\), po dani \(1{,}03825/1{,}025-1 = 1{,}29\ \%\). Daň 15 % z nominálního výnosu sebrala 34 % reálného výnosu.

Státní dluhopis vydaný po 1. 1. 2021 s výnosem 3,5 %, osvobozený od daně, vynáší reálně 0,98 % – jen o 0,3 p. b. méně než firemní dluhopis po dani, přestože před daní je rozdíl 1 p. b. a státní dluhopis nemá úvěrové riziko.

Obr. 6.3 Kam se ztratí nominální výnos (příklad z oddílu 6.5, inflace 2,5 %). Daň se platí i z části, která jen vyrovnává inflaci; osvobozený státní dluhopis proto reálně zaostává za zdaněným firemním jen o 0,3 p. b., i když bez úvěrového rizika.

**Tab. 6.2**Laboratoř s výchozím nastavením: reálný roční výnos podle scénáře
Scénář	Průměrná inflace	Pevný 3,5 %	Protiinflační 1,0 %	Pohyblivý
stabilní	2,50 %	0,88 %	0,97 %	−0,02 %
růst k 6 %	5,10 %	−1,41 %	0,97 %	−0,04 %
šok 10 % a návrat	4,86 %	−1,36 %	0,97 %	−0,06 %
pokles k 0,5 %	0,80 %	2,46 %	0,97 %	−0,01 %

Pohyblivý kupón v modelu kopíruje krátkou sazbu, ta inflaci, takže reálně vynáší kolem nuly; vyšší marže by znamenala vyšší úvěrové riziko emitenta. Pevný dluhopis zde vynáší o něco méně než 0,98 %, protože kupóny se ukládají za nižší krátkou sazbu.

6.6Procvičení

Desetiletý nominální státní dluhopis vynáší 4,2 %, protiinflační 1,5 %. Jaká je breakeven inflace? Co ji kromě očekávané inflace ovlivňuje?

\(1{,}042/1{,}015-1 = 2{,}66\ \%\). Obsahuje navíc prémii za inflační riziko (zvyšuje ji) a prémii za horší likviditu protiinflačních dluhopisů (snižuje ji).

Protiinflační dluhopis s jistinou 1 000 Kč a reálným kupónem 0,75 % byl vydán při indexu cen 120. Dnes je index 129. Jaká je indexovaná jistina a příští kupón?

\(1\,000\cdot 129/120 = 1\,075\) Kč, kupón \(0{,}0075\cdot 1\,075 = 8{,}06\) Kč.

Dluhopis s pohyblivým kupónem a dluhopis s pevným kupónem mají oba splatnost 5 let. Sazby vzrostou o 1 p. b. a zároveň se spread emitenta rozšíří o 1 p. b. Který ztratí víc?

Pevný ztratí zhruba dvojnásobek: změna sazeb i spreadu působí přes jeho duraci (asi 4,4 + 4,4 %). Pohyblivý reaguje jen na spread (asi 4 %), protože kupón se novým sazbám přizpůsobí.

Spořicí účet úročí 4 % ročně, úrok se daní srážkou 15 %, inflace je 3 %. Jaký je reálný výnos po dani?

\((1+0{,}04\cdot 0{,}85)/1{,}03 - 1 = 1{,}034/1{,}03-1 = 0{,}39\ \%\).

Kdy dává smysl dát přednost protiinflačnímu dluhopisu před nominálním se stejnou splatností?

Když čekáte vyšší inflaci, než je breakeven, nebo když chcete zajistit budoucí výdaj v reálných penězích (například bydlení v důchodu) a nesnesete riziko inflačního překvapení. Za tu jistotu platíte prémii za inflační riziko, kterou nominální dluhopis obsahuje.

Co si odnést

Pevný kupón nese inflační riziko; reálný výnos je nominální výnos očištěný o inflaci a po dani bývá výrazně nižší.
Breakeven inflace je rozdíl nominálního a reálného výnosu – zlomová hodnota, ne předpověď.
Pohyblivý kupón odstraňuje riziko sazeb, ne riziko emitenta.

Část IIIDluhopisy v praxi

Peněžní trh a hotovostmírně pokročilý

Krátké sazby určuje centrální banka a od nich se odvíjí úrok na spořicím účtu, výnos fondů peněžního trhu i pokladničních poukázek. Tyto nástroje se liší méně výnosem než tím, co se stane, když se něco pokazí: kdo je pojištěný, kdo zdaněný a kdo nese cenové riziko.

🏦

Hotovost je parkoviště pro peníze. Spořicí účet je hlídané parkoviště s pojištěním do určité výše, fond peněžního trhu je velké společné parkoviště rozdělené mezi mnoho provozovatelů a krátký státní dluhopis je místo, které si koupíte na pevnou dobu za pevnou cenu. Za parkování se platí daní a inflací.

Kam s hotovostí na 1–5 let

Tři cesty pro stejnou částku: spořicí účet, fond peněžního trhu a krátký státní dluhopis držený do splatnosti. Sloupce ukazují konečnou hodnotu po dani v dnešních cenách, čárkovaně vložená částka.

LABORATOŘ

Částka Horizont Inflace

Úrok spořicího účtu Výnos fondu před náklady Náklady fondu Výnos státního dluhopisu

Model: stálé sazby, úroky a kupóny se připisují a ukládají za stejnou sazbu. Úrok z účtu se daní srážkou 15 %. Zisk z fondu je osvobozen při držbě nad 3 roky nebo při prodeji do 100 000 Kč za rok (bez jiných prodejů), jinak se daní 15 %. Výnos státního dluhopisu vydaného po 1. 1. 2021 je osvobozen. Pravidla k 13. 10. 2026, podrobně příloha C.

Tři sazby jedné poukázky

Pokladniční poukázka se kupuje pod nominálem a splatí se 100 %. Jak vypadá stejný výnos v různých konvencích peněžního trhu?

KALKULAČKA

Kupní cena (% nominálu) Doba do splatnosti

Model: jediná platba při splatnosti; diskontní sazba a výnos peněžního trhu na bázi 360 dní, efektivní roční sazba se skládáním na 365 dní.

+Teorie: sazby ČNB, konvence peněžního trhu, repo, srovnání nástrojů, pojištění vkladů a daně

7.1Nástroje ČNB a krátké sazby

Hlavní měnověpolitickou sazbou ČNB je dvoutýdenní repo sazba (2T repo). Český bankovní sektor má dlouhodobě přebytek likvidity, takže ČNB v repo operacích peníze od bank stahuje: banky jí likviditu na dva týdny ukládají za 2T repo sazbu. Spolu s ní ČNB vyhlašuje diskontní sazbu (úrok z přes noc uložených peněz bank, dolní mez koridoru) a lombardní sazbu (úrok z půjčky přes noc proti zástavě, horní mez). Krátké sazby mezibankovního trhu se pohybují v tomto koridoru, blízko 2T repo sazby.two-week repo rate, discount rate, Lombard rate, interest rate corridor

**Tab. 7.1**Měnověpolitické sazby ČNB k 13. 10. 2026
Sazba	Výše	Platí od
2T repo sazba	3,75 %	19. 6. 2026 (beze změny po jednáních 6. 8. a 17. 9. 2026)
diskontní sazba	2,75 %	19. 6. 2026
lombardní sazba	4,75 %	19. 6. 2026

Zdroj a ověření v příloze C. Další jednání bankovní rady je naplánováno na 5. 11. 2026; aktuální stav ověřte na cnb.cz.

Obr. 7.1 Úrokový koridor ČNB. Lombardní sazba tvoří horní mez, diskontní dolní a 2T repo sazba leží uprostřed; mezibankovní sazby přes noc se drží blízko ní. Průběh mezibankovních sazeb je schematický.

Změny 2T repo sazby se rychle propisují do mezibankovních sazeb, výnosů pokladničních poukázek a fondů peněžního trhu, pomaleji a neúplně do úroků spořicích účtů. Proč a kdy ČNB sazby mění, vykládá průvodce Makro pro investora.

7.2Konvence peněžního trhu

Poukázky se prodávají pod nominálem. Jejich výnos se kotuje několika způsoby, které dávají různá čísla pro stejnou investici. S cenou \(P\) v procentech nominálu a dobou \(t\) dní:bank discount yield, money market yield, bond equivalent yield, effective annual yield

Výnosy poukázky\[r_{\text{disk}} = \frac{100-P}{100}\cdot\frac{360}{t},\qquad r_{\text{PT}} = \frac{100-P}{P}\cdot\frac{360}{t},\qquad r_{365} = \frac{100-P}{P}\cdot\frac{365}{t},\qquad EAR = \Big(\frac{100}{P}\Big)^{365/t}-1.\]

Příklad Poukázka na 182 dní za 98,30 %

Výnos za dobu držby je \(1{,}70/98{,}30 = 1{,}729\ \%\). Z něj:

\[r_{\text{disk}} = 0{,}017\cdot\tfrac{360}{182} = 3{,}363\ \%,\quad r_{\text{PT}} = 0{,}01729\cdot\tfrac{360}{182} = 3{,}421\ \%,\quad r_{365} = 3{,}468\ \%,\quad EAR = 3{,}499\ \%.\]

Diskontní sazba je nejnižší, protože počítá výnos z nominálu místo z vložené částky a s rokem o 360 dnech. Se spořicím účtem nebo dluhopisem je správné srovnávat efektivní roční sazbu.

7.3Repo obchod

Repo je prodej cenného papíru se současným závazkem odkoupit ho zpět za vyšší cenu. Ekonomicky jde o půjčku zajištěnou cenným papírem; rozdíl cen je úrok, tedy repo sazba. Půjčuje se méně, než je tržní hodnota zajištění: rozdíl je srážka z hodnoty, která chrání věřitele před poklesem ceny zástavy.repurchase agreement, repo rate, haircut

Příklad Dvoutýdenní repo

Zajištění v tržní hodnotě 10 mil. Kč, srážka 2 %, sazba 3,75 % (ACT/360), 14 dní. Půjčí se 9 800 000 Kč, úrok \(9\,800\,000\cdot 0{,}0375\cdot 14/360 = 14\,291{,}67\) Kč a zpětná cena 9 814 291,67 Kč.

Obr. 7.2 Dvě nohy repo obchodu z příkladu. Dnes dlužník prodá cenný papír a dostane o srážku méně, za 14 dní ho koupí zpět o úrok dráž. Ekonomicky jde o půjčku zajištěnou cenným papírem; srážka chrání věřitele před poklesem ceny zajištění.

7.4Spořicí účet, fond peněžního trhu, nebo krátký státní dluhopis?

**Tab. 7.2**Srovnání nástrojů pro krátkodobou hotovost (pravidla k 13. 10. 2026)
Vlastnost	Spořicí účet	Fond peněžního trhu	Krátký státní dluhopis
Ochrana	pojištění vkladů do 100 000 EUR na osobu a banku	majetek fondu je oddělený od správce; nepojištěno	úvěrové riziko státu; nepojištěno
Výnos	sazba banky, mění se kdykoli	sleduje krátké sazby, minus náklady fondu	zafixovaný do splatnosti
Cenové riziko	žádné	malé	při prodeji před splatností ano
Daň fyzické osoby	15 % srážkou z úroků	zisk osvobozen po 3 letech nebo do 100 000 Kč prodejů za rok, jinak 15 %	výnos osvobozen u emisí vydaných po 1. 1. 2021
Dostupnost peněz	ihned nebo s výpovědní lhůtou	obvykle do několika dní	prodej na trhu, nebo podle podmínek emise

Fondy peněžního trhu v EU upravuje nařízení (EU) 2017/1131. Krátkodobý fond peněžního trhu smí mít váženou průměrnou splatnost portfolia nejvýše 60 dní a váženou průměrnou dobu trvání nejvýše 120 dní, standardní fond peněžního trhu nejvýše 6, respektive 12 měsíců. Fondy, které se tak jen nazývají, ale nesplňují tato pravidla, mohou nést výrazně vyšší riziko.money market fund, weighted average maturity (WAM), weighted average life (WAL)

Příklad 300 000 Kč na dva roky (výchozí nastavení laboratoře)

Spořicí účet 3,0 %: po srážkové dani 2,55 % ročně, konečná hodnota 315 495 Kč.
Fond peněžního trhu 3,4 % minus náklady 0,3 %: 3,1 % ročně před daní. Prodej za více než 100 000 Kč do tří let od nákupu se daní: zisk 18 888 Kč minus 15 %, konečná hodnota 316 055 Kč (2,64 % ročně).
Krátký státní dluhopis 3,2 %: osvobozený výnos, 319 507 Kč (3,20 % ročně).

Na udržení kupní síly při inflaci 2,5 % je potřeba 315 188 Kč. Účet a fond ji v reálných cenách jen o vlásek drží (reálně 0,05 % a 0,14 % ročně), státní dluhopis reálně přidá 0,68 % ročně. Při horizontu čtyř let by zisk z fondu byl osvobozen a fond by vynesl 3,10 % ročně.

Pozor

Srovnání platí jen při držbě do splatnosti a stálých sazbách. Kdo státní dluhopis prodá dřív, nese cenové riziko; kdo nechá peníze na účtu, nese riziko, že banka úrok sníží. A finanční rezerva patří tam, kde jsou peníze dostupné hned a nekolísají – výnos je až druhá otázka.

7.5Pojištění vkladů a dluhopisy bank

Garanční systém finančního trhu vyplácí při selhání banky náhradu za pojištěné vklady nejvýše do částky odpovídající 100 000 EUR na jednu oprávněnou osobu u jedné banky (§ 41e odst. 2 zákona o bankách), v korunách podle kurzu ČNB k rozhodnému dni. Vklady jedné osoby u jedné banky se sčítají včetně úroků.deposit guarantee scheme

Dluhopisy, které banka vydá, vklady nejsou a pojištěné nejsou. Při řešení krize banky podle směrnice 2014/59/EU a zákona č. 374/2015 Sb. mohou být dokonce odepsány nebo převedeny na akcie (tzv. bail-in) dřív, než by krize zasáhla pojištěné vklady. Nejdřív podřízené dluhopisy, pak seniorní nepreferované a seniorní dluhopisy.bail-in, senior non-preferred

Obr. 7.3 Pořadí, ve kterém se při řešení krize banky odepisují nebo převádějí na akcie její závazky (bail-in). Dluhopisy banky, i seniorní, pojištěné nejsou; pojištěné vklady do 100 000 EUR jsou z odpisu vyňaté.

Pravidlo palce

Rezerva nad hranicí pojištění se dá rozdělit mezi víc bank. Při kurzu kolem 25 Kč/EUR je limit zhruba 2,5 mil. Kč na osobu a banku; přesná částka se přepočte kurzem ke dni selhání.

7.6Daně stručně

Pro fyzickou osobu (cenné papíry mimo obchodní majetek) platí podle zákona o daních z příjmů ve znění k 13. 10. 2026:

Úroky z vkladů se daní srážkovou daní 15 % (§ 36 odst. 2 písm. j)); do přiznání se neuvádějí.
Kupóny dluhopisů z českých zdrojů (výnos dluhopisu podle zákona o dluhopisech) se daní srážkovou daní 15 % (§ 8 odst. 3, § 36 odst. 2 písm. a)).
Kupóny ze zahraničí se uvádějí v přiznání jako příjem z kapitálového majetku nesnížený o výdaje (§ 8 odst. 4); lze je zahrnout do samostatného základu daně se sazbou 15 % (§ 8 odst. 8, § 16a), pak tam patří všechny takové příjmy. Zahraniční srážku lze započíst podle smlouvy o zamezení dvojího zdanění.
Státní dluhopisy: výnos a příjem ze splacení dluhopisů vydaných členským státem EU nebo EHP je osvobozen (§ 4 odst. 1 písm. x)); podle Ministerstva financí se osvobození týká dluhopisů vydaných po 1. 1. 2021, starší emise se daní dál.
Prodej dluhopisu před splatností: zisk je osvobozen při držbě delší než 3 roky (časový test, § 4 odst. 1 písm. u)) nebo když úhrn příjmů z prodejů cenných papírů za rok nepřesáhne 100 000 Kč (hodnotový test, písm. t)). Limit 40 mil. Kč, který v roce 2025 omezoval časový test, od roku 2026 platí jen pro kryptoaktiva (§ 4 odst. 3).
Splacení dluhopisu koupeného pod nominálem: kladný rozdíl mezi splacenou jmenovitou hodnotou a pořizovací cenou je příjmem z kapitálového majetku (§ 8 odst. 2 písm. a)), na který se časový ani hodnotový test nevztahuje.

Podrobnosti, výjimky a příklady přiznání rozebírá průvodce Daně investora. Pravidla se mění; před rozhodnutím si ověřte aktuální znění.

7.7Procvičení

Poukázka na 91 dní stojí 99,10 %. Spočítejte diskontní sazbu, výnos peněžního trhu, výnos ACT/365 a efektivní roční sazbu.

\(r_{\text{disk}} = 0{,}009\cdot 360/91 = 3{,}560\ \%\); \(r_{\text{PT}} = 0{,}9/99{,}1\cdot 360/91 = 3{,}593\ \%\); \(r_{365} = 3{,}643\ \%\); \(EAR = (100/99{,}1)^{365/91}-1 = 3{,}693\ \%\).

Fond peněžního trhu kotuje výnos 3,6 % na bázi ACT/360. Jaký je ekvivalent na bázi ACT/365?

\(3{,}6\cdot 365/360 = 3{,}65\ \%\). Efektivně (se skládáním) je to ještě o něco víc.

Máte u jedné banky 3 mil. Kč. Banka selže a kurz je 25 Kč/EUR. Kolik dostanete z pojištění vkladů?

Nejvýše částku odpovídající 100 000 EUR, tedy 2,5 mil. Kč. Zbylých 0,5 mil. Kč se uplatňuje v insolvenci banky (zvláštní pravidla pro dočasně vysoké zůstatky, například z prodeje bytu, ověřte v zákoně).

Za kolik peněz půjčí věřitel v repo obchodu se zajištěním v hodnotě 5 mil. Kč a srážkou 3 %? Kolik zaplatí dlužník za 14 dní při sazbě 3,75 % (ACT/360)?

Půjčka \(5\,000\,000\cdot 0{,}97 = 4\,850\,000\) Kč, úrok \(4\,850\,000\cdot 0{,}0375\cdot 14/360 = 7\,072{,}92\) Kč, zpětná cena 4 857 072,92 Kč.

Investor prodá po roce podíly fondu peněžního trhu za 80 000 Kč a nic jiného ten rok neprodá. Daní zisk?

Ne: úhrn příjmů z prodejů cenných papírů nepřesáhl 100 000 Kč, platí hodnotový test. Kdyby prodal za 120 000 Kč, test by nesplnil a zisk by danil, protože nedržel déle než 3 roky.

Co si odnést

Krátké sazby řídí 2T repo sazba ČNB (k 13. 10. 2026 3,75 %); spořicí účty ji následují pomaleji.
Výnosy peněžního trhu srovnávejte v efektivní roční sazbě, po dani a po inflaci.
Pojištěné jsou vklady do 100 000 EUR, ne dluhopisy bank ani fondy.

Část IIIDluhopisy v praxi

Fondy, nebo přímý nákup?pokročilý

Dluhopisový fond nemá splatnost, ke které by se jeho cena vrátila. Má ale duraci, a ta říká, kolik při růstu sazeb ztratí a za jak dlouho ztrátu dožene. Žebříček přímo držených dluhopisů se v tržním ocenění chová podobně jako fond se stejnou durací; liší se náklady, rozložením, jistotou peněžních toků a psychologií.

🪜

Žebříček je jako sklep s lahvemi vína, z nichž každý rok jedna dozraje. Vypijete ji a na její místo dáte novou, která dozraje za deset let. Fond je sklep, kde správce lahve průběžně vyměňuje, aby průměrné stáří zůstalo stejné. Když vinobraní zdraží, oba sklepy na papíře zlevní; rozdíl je v tom, kdo lahve vyměňuje a kolik si za to účtuje.

Žebříček versus fond s konstantní durací

Deset let vývoje hodnoty 100 Kč při zvolené trajektorii výnosů. Žebříček drží stejné díly dluhopisů se splatností 1 až L let a dobíhající díl každý rok nahradí nejdelším; fond drží stále stejnou duraci. Oba jsou oceněny tržně. Čárkovaně cesta bez změny sazeb.

LABORATOŘ

Durace fondu Náklady fondu ročně Počáteční výnos Nejdelší díl žebříčku

Model: plochá křivka, změny výnosů na konci roku. Fond: roční výnos ≈ výnos na začátku roku − D·Δy + ½·C·Δy² − náklady, kde C ≈ D(D + 1). Žebříček: dluhopisy al pari s ročním kupónem, bez nákladů. Fond s durací rovnou duraci žebříčku v okamžiku změny sazeb (u žebříčku 1–10 let kolem 4,4) a bez nákladů vyjde téměř stejně jako žebříček.

+Teorie: fondy bez splatnosti, durace fondu, žebříček, bullet a barbell, měnové zajištění

8.1Dluhopisové fondy a ETF

Dluhopisový fond drží mnoho emisí a průběžně je obměňuje podle zadání: například státní dluhopisy se splatností 1 až 3 roky, firemní dluhopisy investičního stupně nebo dluhopisy celého trhu. Kótovaný fond (ETF) se navíc obchoduje na burze. Výhodou je diverzifikace, malé vstupní částky, likvidita a správa za investora; nevýhodou náklady a hlavně to, že fond nemá splatnost: neexistuje den, kdy by investor s jistotou dostal zpět určitou částku.bond fund, bond ETF, constant-maturity fund

Výjimkou jsou fondy s cílovou splatností, které drží dluhopisy splatné v jednom roce a pak se ukončí. Chovají se podobně jako jeden diverzifikovaný dluhopis.target-maturity fund

Hlavními údaji ve sdělení klíčových informací jsou modifikovaná durace (úrokové riziko), výnos do splatnosti portfolia (hrubý odhad budoucího výnosu před náklady a ztrátami), rozdělení podle ratingu (úvěrové riziko), měna a zajištění a průběžné náklady.

8.2Durace fondu: kolik ztratí a za jak dlouho dožene

Pro fond s modifikovanou durací \(D\) a výnosem portfolia \(y\) platí za rok přibližně

Roční výnos dluhopisového fondu\[R \approx y - D\,\Delta y + \tfrac12\,C\,(\Delta y)^{2} - \text{náklady}.\]

Fond s durací 7 při růstu výnosů o 2,5 p. b. ztratí zhruba 17,5 % (bez konvexity a kupónu). Podobnou zkušenost přinesl rok 2022: výnosy státních dluhopisů v řadě vyspělých zemí vzrostly o 2 až 3 p. b. a široké dluhopisové indexy ztratily zhruba desetinu až pětinu hodnoty, dlouhé fondy víc. Pro řadu investorů to byla nejhorší dluhopisová ztráta za desetiletí.

Příklad Návrat po skokovém růstu sazeb

Fond se chová jako sedmiletý dluhopis s kupónem 3,5 % al pari (modifikovaná durace 6,11, Macaulayho 6,33). Výnosy vzrostou o 2 p. b. na 5,5 %; cena klesne na 88,63 % (−11,37 %). Dál fond vydělává 5,5 % ročně místo 3,5 %:

na výchozí hodnotu se vrátí za \(\ln(1/0{,}8863)/\ln(1{,}055) = 2{,}25\) roku,
cestu, po které by šel bez růstu sazeb (3,5 % ročně), dožene za \(\ln(1/0{,}8863)/\ln(1{,}055/1{,}035) = 6{,}30\) roku – zhruba za dobu své Macaulayho durace.

Pro investora s horizontem delším než durace fondu je růst sazeb nakonec výhodný; pro toho, kdo peníze potřebuje za dva roky, je to ztráta.

Obr. 8.1 Propad a návrat fondu z příkladu (výchozí hodnota 100). Po růstu výnosů o 2 p. b. fond ztratí 11,37 %, ale dál vydělává 5,5 % ročně. Na výchozí hodnotu se vrátí za 2,25 roku a cestu, po které by šel bez změny sazeb, dožene za 6,30 roku – zhruba za dobu své Macaulayho durace.

Pozor

„Krátkodobý“ nebo „konzervativní“ v názvu fondu nic neříká o duraci. Hledejte číslo. Kdo potřebuje peníze za dva roky, neměl by držet fond s durací sedm let – a naopak fond s durací kolem jednoho roku nemůže nést dlouhodobě vysoký výnos bez úvěrového rizika.

8.3Žebříček, bullet a barbell

Žebříček: stejné díly se splatnostmi rovnoměrně rozloženými (například 1 až 10 let). Každý rok jeden díl doběhne a peníze se uloží do nejdelšího. Výnos průběžně kopíruje sazby, peněžní toky jsou známé.ladder
Bullet: všechno soustředěné kolem jedné splatnosti, typicky podle data budoucího výdaje.bullet
Barbell: velmi krátké a velmi dlouhé dluhopisy, nic uprostřed.barbell

Obr. 8.2 Tři způsoby, jak rozložit dluhopisy podle splatnosti (podíl hodnoty portfolia). Bullet a barbell z tab. 8.1 mají stejnou duraci 5 let, barbell ale vyšší konvexitu (plochá křivka 4 %) a na modelové rostoucí křivce nižší výnos. Durace žebříčku platí při výnosu 3,5 % (procvičení 2).

Při stejné duraci má barbell vyšší konvexitu než bullet: rozptýlenější toky znamenají větší zakřivení. Za konvexitu se ale platí: na rostoucí křivce má barbell nižší výnos.

Příklad Bullet versus barbell se stejnou durací 5 let

Bullet: pětiletý bezkupónový dluhopis. Barbell: \(5/9\) hodnoty v jednoletém a \(4/9\) v desetiletém bezkupónovém dluhopisu (\(\tfrac59\cdot 1 + \tfrac49\cdot 10 = 5\)). Při ploché křivce 4 %:

**Tab. 8.1**Stejná durace, různá konvexita
Portfolio	Konvexita	Výnosy −2 p. b.	Výnosy +2 p. b.
bullet 5 let	27,7	+10,20 %	−9,08 %
barbell 1 + 10 let	46,2	+10,61 %	−8,76 %

Na modelové křivce průvodce ale vynáší pětiletý bezkupónový dluhopis 3,52 %, kdežto barbell (2,50 % a 4,08 %, váženo hodnotou) jen asi 3,20 %. Barbell vyhraje, jen pokud se sazby pohnou dost na to, aby konvexita vyrovnala nižší výnos, nebo když se křivka oploští.

8.4Fond, nebo přímý nákup?

**Tab. 8.2**Co mluví pro které řešení
Hledisko	Fond (ETF)	Přímo držené dluhopisy
Diverzifikace	stovky emisí i s malou částkou	u firemních dluhopisů jen s velkou částkou
Splatnost	žádná (kromě fondů s cílovou splatností)	známá, cena se ke splatnosti vrací k nominálu
Náklady	průběžné náklady každý rok	poplatek a rozdíl nákupní a prodejní ceny jednou
Likvidita	obvykle denní	státní dobrá, malé firemní emise špatná
Daně fyzické osoby	u akumulačního fondu zdaněn jen zisk při prodeji, s časovým a hodnotovým testem	kupóny se daní průběžně (státní dluhopisy po roce 2021 osvobozeny)

Z praxe

Žebříček z přímo držených dluhopisů v tržním ocenění kolísá stejně jako fond se stejnou durací – jen to majitel nevidí, protože se na cenu nedívá. Psychologická výhoda je reálná: kdo ví, že dluhopis za tři roky splatí nominál, spíš ho v propadu neprodá. Laboratoř ukazuje, že rozdíl ve výsledku dělají hlavně náklady a durace, ne forma.

8.5Měnové zajištění

Zahraniční dluhopisový fond bez zajištění nese kurzové riziko, které u dluhopisů často převyšuje jejich vlastní kolísání (kapitola 10 průvodce Investování: volatilita 5 % plus kurz 8 % dává přes 9 %). Zajištěné třídy fondů kurz zajišťují forwardy. Podle kryté úrokové parity stojí nebo vynáší zajištění zhruba rozdíl krátkých sazeb obou měn:currency hedging, covered interest parity

Zajištěný výnos\[F = S\cdot\frac{1+i_{CZK}}{1+i_{f}},\qquad R_{\text{zajištěný}} \approx R_{f} + (i_{CZK} - i_{f}).\]

Příklad Dolarový a eurový fond

Modelově: koruna 3,5 %, dolar 4,0 %, euro 2,0 %. Při kurzu 21,00 Kč/USD je roční forward \(21{,}00\cdot 1{,}035/1{,}04 = 20{,}899\) Kč: zajištění dolarového fondu stojí asi 0,48 % ročně. U eurového fondu naopak výnos zvýší asi o 1,47 % ročně. Zajištěný zahraniční dluhopis tak vynáší zhruba českou krátkou sazbu plus zahraniční prémii za splatnost a úvěr – ne zahraniční výnos.

8.6Procvičení

Fond má modifikovanou duraci 4,5 a konvexitu 25. Výnosy vzrostou o 1,5 p. b. Odhadněte změnu ceny.

\(-4{,}5\cdot 0{,}015 + 0{,}5\cdot 25\cdot 0{,}015^{2} = -6{,}75\ \% + 0{,}28\ \% = -6{,}47\ \%\). Výnos portfolia za rok tuto ztrátu zčásti vyrovná.

Žebříček má 10 dílů se splatností 1 až 10 let. Jaká je průměrná splatnost a jaká část portfolia se každý rok reinvestuje za aktuální sazby?

Průměrná splatnost \((1+\dots+10)/10 = 5{,}5\) roku, ročně se reinvestuje desetina jistiny plus kupóny. Modifikovaná durace žebříčku al pari při 3,5 % je 4,81 hned po obnově a 4,42 těsně před ní.

Proč barbell se stejnou durací jako bullet vynáší na rostoucí křivce méně?

Barbell má vyšší konvexitu, která je pro držitele cenná (při velkých pohybech sazeb vyjde lépe). Trh ji oceňuje nižším výnosem; na rostoucí křivce navíc krátký konec barbellu vynáší výrazně méně než střed křivky.

Česká krátká sazba je 3,0 %, eurová 2,0 %. Kolik přibližně přidá měnové zajištění eurového dluhopisového fondu do korun?

\(1{,}03/1{,}02-1 = 0{,}98\ \%\) ročně (přibližně rozdíl sazeb 1 p. b.).

Pětiletý dluhopis s kupónem 3 % al pari (Macaulayho durace 4,72). Výnosy vzrostou o 1,5 p. b. Kolik ztratí, za jak dlouho se vrátí na výchozí hodnotu a za jak dlouho dožene cestu bez změny sazeb?

Cena klesne o 6,59 % (při výnosu 4,5 %). Na výchozí hodnotu se vrátí za \(\ln(1/0{,}9341)/\ln 1{,}045 = 1{,}55\) roku, cestu bez změny dožene za \(\ln(1/0{,}9341)/\ln(1{,}045/1{,}03) = 4{,}71\) roku, tedy zhruba za dobu Macaulayho durace.

Co si odnést

Fond nemá splatnost, ale má duraci: ztráta ≈ durace × růst výnosů, návrat zhruba za dobu durace.
Žebříček a fond se stejnou durací se v tržním ocenění chovají podobně; rozhodují náklady a jistota toků.
Měnové zajištění dluhopisů stojí nebo přináší rozdíl sazeb; zajištěný zahraniční dluhopis nevynáší zahraniční výnos.

Část IIIDluhopisy v praxi

Firemní dluhopisy malých emitentůmírně pokročilý

Malá firma, která si půjčuje od veřejnosti, nabízí vysoký kupón, protože ji banka nefinancuje levněji. Bez ratingu, často bez prospektu a bez sekundárního trhu je investor sám analytikem, věřitelem i vymahačem. Tato kapitola prochází na smyšlené Beta, s.r.o. otázky, které si před koupí položit.

🔍

Koupit dluhopis malé firmy je jako půjčit peníze známému podnikateli: nejdřív se chcete podívat do jeho dílny a do účetnictví, zjistit, komu už dluží, z čeho vám to vrátí a co se stane, když se mu nedaří. Rozdíl je jen v tom, že dlužníka osobně neznáte a smlouvu za vás napsal on.

Beta, s.r.o. – výtah z emisních podmínek (smyšlená firma)

Podnikání: výroba modulárních dřevostaveb, založena 2016, jediný společník a jednatel
Emise: 30 mil. Kč (asi 1,2 mil. EUR), jmenovitá hodnota 10 000 Kč, emise 20. 6. 2026, splatnost 20. 6. 2031 jednorázově
Kupón: 9 % ročně, výplata každého 20. 6.; emitent smí od 20. 6. 2029 předčasně splatit za 101 %
Status: nezajištěné, nepodřízené; zákaz zastavit majetek jiným věřitelům; kovenant čistý dluh / EBITDA nejvýše 4,5×, jinak zákaz výplaty podílu na zisku
Účel: 20 mil. Kč nová výrobní hala, 10 mil. Kč splacení části bankovního úvěru
Informace: bez prospektu a bez ratingu; auditované účetní závěrky 2024 a 2025; společný zástupce neustanoven
Prodej: přes zprostředkovatele s provizí 3 % z upsaného objemu; reklama slibuje „jistý výnos 9 %“

Obr. 9.1 Kdo je kdo v emisi Beta, s.r.o. Investoři půjčí 30 mil. Kč; Beta z nich postaví halu za 20 mil. Kč a 10 mil. Kč použije na splacení části bankovního úvěru. Kupóny 2,7 mil. Kč ročně a jistinu musí zaplatit z provozu nebo z nového dluhu (oddíl 9.4). Čárkovaně role, které v emisi chybějí.

Unese Beta kupón i jistinu?

Sloupce ukazují, kolik volného cash flow Beta nastřádá do splatnosti, čára jistinu, kterou bude splácet. Posuvníky mění provozní zisk, objem a kupón emise a zbývající bankovní úvěr.

LABORATOŘ

EBITDA ročně Objem emise Kupón Bankovní úvěr po emisi

Model: bankovní úvěr úročený 5 %, hotovost 5 mil. Kč, investice na udržení majetku 4 mil. Kč ročně (rovné odpisům), daň z příjmů právnických osob 21 % ze zisku po úrocích. Volné cash flow = EBITDA − úroky − daň − investice; bez růstu a bez splácení bankovního úvěru.

Minihra: varovný signál, nebo v pořádku?

Šest situací z nabídek dluhopisů. Rozhodněte, zda jde o varovný signál.

MINIHRA

0 / 6

+Teorie: prospekt a výjimky, zajištění, emisní podmínky, finanční analýza, varovné signály

9.1Jak malá firma vydává dluhopisy

Každá emise má emisní podmínky (§ 8 a 9 zákona o dluhopisech). Nabízí-li se dluhopis veřejnosti, je podle nařízení (EU) 2017/1129 třeba uveřejnit prospekt schválený orgánem dohledu (v Česku ČNB), pokud se neuplatní výjimka (čl. 3 odst. 1).public offer, prospectus regulation

Kdy prospekt není potřeba

Nabídka jen kvalifikovaným investorům, méně než 150 osobám v jednom členském státě (mimo kvalifikované investory), s jmenovitou hodnotou aspoň 100 000 EUR nebo s investicí aspoň 100 000 EUR na investora (čl. 1 odst. 4).
Malá nabídka: do 4. 6. 2026 platila výjimka pro nabídky pod 1 mil. EUR za 12 měsíců; Česko tuto hranici nezvýšilo. Od 5. 6. 2026 osvobozuje čl. 3 odst. 2 nařízení ve znění nařízení (EU) 2024/2809 nabídky pod 12 mil. EUR na emitenta za 12 měsíců, které se nenotifikují do jiných států; členský stát může zvolit nižší hranici 5 mil. EUR (čl. 3 odst. 2a).

Česká adaptace – novela zákona o podnikání na kapitálovém trhu s hranicí 5 mil. EUR a novým „emisním dokumentem“ pro nabídky mezi 1 a 5 mil. EUR – byla podle dostupných informací v legislativním procesu; v konsolidovaném znění zákona účinném od 1. 9. 2026 zatím není. Zákon o dluhopisech (znění od 15. 2. 2025) stále stanoví rozšířené náležitosti jen pro podlimitní veřejnou nabídku v rozsahu 100 000 až 1 000 000 EUR (§ 9a). Stav se může rychle změnit; ověřte ho v aktuálním znění předpisů a na cnb.cz.Listing Act, sub-threshold offer

Podle § 9a musí emisní podmínky podlimitní nabídky mimo jiné uvádět sídlo a datum zahájení činnosti emitenta, popis hlavních činností, minimální investici, objem a účel emise, plánovaný poměr cizích zdrojů k vlastnímu kapitálu, informaci, že prospekt nebyl schválen, výroční zprávy a účetní závěrky za poslední dva roky (případně se zprávou auditora), informace o ručiteli, o zajištění, o vrcholném vedení, o skupině a o skutečném majiteli. Emitent je musí uveřejnit na svých internetových stránkách nejpozději k datu emise.

Příklad Do jakého režimu spadá Beta

Emise 30 mil. Kč odpovídá při kurzu kolem 25 Kč/EUR asi 1,2 mil. EUR. Do 4. 6. 2026 by taková veřejná nabídka v Česku prospekt vyžadovala. Od 5. 6. 2026 je pod unijní hranicí 12 mil. EUR, a dokud ji Česko nesníží, prospekt nepotřebuje. Nad hranicí § 9a ale nemusí splnit ani jeho rozšířené náležitosti: povinné jsou jen základní náležitosti emisních podmínek (§ 9), vše navíc je v tuto chvíli na emitentovi. Beta zveřejňuje auditované závěrky dobrovolně.

Pozor

Ani schválený prospekt není osvědčením kvality. Schválení je podle čl. 2 písm. r) nařízení „kladný akt po dokončení přezkumu úplnosti, srozumitelnosti a soudržnosti“ informací. ČNB neposuzuje, zda emitent dluh splatí, ani zda je kupón přiměřený riziku.

9.2Zajištění, zástupci a schůze vlastníků

Agent pro zajištění (§ 20 zákona o dluhopisech) je zástavním věřitelem vlastním jménem ve prospěch vlastníků a vykonává zajištění i v insolvenci emitenta. Výtěžek patří vlastníkům v poměru podle emisních podmínek; je-li agentem banka nebo obchodník s cennými papíry, jde o majetek zákazníka.security agent
Ručitel (často mateřská společnost nebo společník) přidává další majetek, ze kterého lze vymáhat – ale jen tolik, kolik ručitel skutečně má.
Společný zástupce vlastníků (§ 24) jedná za všechny vlastníky jedné emise; bez něj musí každý vlastník vymáhat sám.bondholder representative
Schůze vlastníků (§ 21 až 23) rozhoduje o změnách emisních podmínek. Při potížích emitenti často navrhují odklad splatnosti nebo snížení kupónu; schůze je usnášeníschopná při účasti vlastníků více než 30 % jmenovité hodnoty a rozhoduje většinou přítomných, takže pasivní vlastník může být přehlasován.

Obr. 9.2 Zajištění přes agenta (§ 20 zákona o dluhopisech) proti nezajištěné emisi. Agent drží zástavu vlastním jménem ve prospěch vlastníků a vykonává ji i v insolvenci emitenta. Vlastníci nezajištěné emise Bety se dělí o zbylý majetek poměrně s ostatními nezajištěnými věřiteli.

Pravidlo palce

Zajištění má hodnotu, jen pokud je majetek konkrétní (s posudkem), zastaven v prvním pořadí, jeho hodnota přesahuje dluh s rezervou a zástavu drží agent. „Zajištěno majetkem skupiny“ bez dalšího není zajištění.

9.3Co číst v emisních podmínkách

Kdo je emitent: provozní firma, nebo účelová společnost (SPV), která peníze půjčí dál ve skupině? V druhém případě jste strukturálně podřízeni věřitelům skupiny (oddíl 1.4, obr. 1.3).
Status a pořadí: zajištěné, nezajištěné, podřízené?
Zajištění: co přesně, v jaké hodnotě, v jakém pořadí, kdo ho drží.
Kovenanty a případy neplnění: limity zadlužení, zákaz dividend, křížové selhání, změna kontroly.
Účel emise: rozvoj, refinancování bankovního dluhu, nebo splacení předchozí emise?
Splácení: jednorázově na konci (refinanční riziko), postupně, předčasné splacení emitentem?
Výplata kupónů: četnost, konvence, možnost odkladu nebo kapitalizace.
Změny podmínek: pravidla schůze vlastníků, kdo ji svolává, jaká většina rozhoduje.
Informační povinnosti: zveřejňování výsledků a událostí během života emise.
Prodej a náklady: kdo dluhopis nabízí, za jakou provizi, zda emitent nabízí zpětný odkup.

9.4Finanční analýza malého emitenta

Úvěrová analýza se ptá, z čeho emitent zaplatí. Základní ukazatele: úrokové krytí (EBITDA nebo EBIT / úroky), zadluženost (čistý dluh / EBITDA, vlastní kapitál / aktiva), volné cash flow po úrocích, daních a nutných investicích a jeho poměr k jistině, která bude splatná. U dluhopisů splatných najednou rozhoduje refinanční riziko: zda bude za pět let ochotná půjčit banka nebo noví investoři.interest coverage, leverage, free cash flow, refinancing risk

**Tab. 9.1**Modelové výkazy Beta, s.r.o. za rok 2025 (mil. Kč)
Položka	Hodnota	Položka	Hodnota
Tržby	120	Aktiva celkem	90
EBITDA	12	Vlastní kapitál	22
Odpisy	4	z toho nerozdělený zisk	15
EBIT	8	Cizí zdroje	68
Nákladové úroky	1,5	z toho bankovní úvěr (5 %)	30
Čistý pracovní kapitál	10	Hotovost	5

Příklad Beta po emisi

Z emise splatí Beta 10 mil. Kč úvěru (zbude 20 mil. Kč) a 20 mil. Kč investuje do haly. Dluh vzroste na 50 mil. Kč, čistý dluh na 45 mil. Kč.

Úroky: \(20\cdot 0{,}05 + 30\cdot 0{,}09 = 1{,}0 + 2{,}7 = 3{,}7\) mil. Kč ročně.
Úrokové krytí: EBITDA / úroky \(= 12/3{,}7 = 3{,}24\times\), EBIT / úroky \(= 8/3{,}7 = 2{,}16\times\).
Čistý dluh / EBITDA \(= 45/12 = 3{,}75\times\) (kovenant připouští 4,5×).
Volné cash flow: \(12 - 3{,}7 - 0{,}21\cdot(8-3{,}7) - 4 = 3{,}40\) mil. Kč ročně, za pět let asi 17 mil. Kč.

Na splacení jistiny 30 mil. Kč chybí zhruba 13 mil. Kč, pokud nová hala nezvýší zisk. Beta tedy počítá s refinancováním. Klesne-li EBITDA o 30 % na 8,4 mil. Kč, spadne krytí na 2,27× a volné cash flow skoro na nulu (0,55 mil. Kč ročně). Z′-skóre (oddíl 5.6) klesne emisí z 1,96 na 1,60.

9.5Varovné signály

Výnos výrazně nad srovnatelnými emisemi a slova „garantovaný“, „jistý“, „bezpečný“.
Emitent je nově založená účelová společnost bez vlastního podnikání; peníze „půjčí do skupiny“.
Nová emise slouží hlavně ke splacení staré; emitent opakovaně prodlužuje splatnost nebo odkládá kupóny.
Chybí auditované výkazy, výkazy nejsou ve sbírce listin nebo jsou opožděné.
Zajištění je popsané neurčitě, bez posudku a bez agenta pro zajištění.
Vysoká provize prodejce, tlak na rychlé rozhodnutí, nabídky po telefonu či na sociálních sítích.
Složitá skupina s mnoha propojenými firmami a transakcemi mezi nimi.

Podvodné a klamavé nabídky podrobně rozebírá průvodce Ochrana investora a podvody.

9.6Koncentrace a likvidita

Implikovaná pravděpodobnost selhání Bety kolem 4,4 % ročně (oddíl 5.3) dává pro jediný dluhopis očekávanou ztrátu jistiny do splatnosti zhruba \(20{,}3\ \%\cdot 70\ \% = 14\ \%\) nominálu – víc než čtyři kupóny. Jeden dluhopis je proto loterie s dobrou průměrnou výhrou a velkou šancí na ztrátu; rozumnější profil dává až koš mnoha nezávislých emitentů (tab. 5.3). Sekundární trh obvykle chybí, takže peníze jsou vázané do splatnosti, a pokud emitent nabízí zpětný odkup, bývá se srážkou.

Z praxe

Firemní dluhopisy malých emitentů se v Česku prodávají hlavně drobným investorům. Velká část emisí je nezajištěná a bez prospektu; selhání se objevují v cyklech, často u firem z jednoho odvětví (developeři, energetika) nebo jedné skupiny. Opatrný investor s nimi zachází jako s rizikovou složkou portfolia, ne jako s náhradou spořicího účtu.

9.7Procvičení

Firma má EBITDA 8 mil. Kč, dluh 40 mil. Kč s průměrným úrokem 7 % a hotovost 2 mil. Kč. Spočítejte úrokové krytí a čistý dluh / EBITDA.

Úroky \(40\cdot 0{,}07 = 2{,}8\) mil. Kč, krytí \(8/2{,}8 = 2{,}86\times\); čistý dluh / EBITDA \(= 38/8 = 4{,}75\times\). Obě hodnoty jsou v pásmu spekulativního stupně.

Veřejná nabídka dluhopisů za 3 mil. EUR jen v Česku, říjen 2026. Je potřeba prospekt?

Podle čl. 3 odst. 2 nařízení o prospektu ve znění platném od 5. 6. 2026 ne, je pod hranicí 12 mil. EUR, dokud Česko nestanoví nižší hranici (připravovaná novela počítá s 5 mil. EUR, kde by nabídka spadla do režimu emisního dokumentu). Stav ověřte v aktuálním znění zákona o podnikání na kapitálovém trhu.

Beta vydělá volné cash flow 3,4 mil. Kč ročně. Jakou část jistiny 30 mil. Kč splatné za 5 let dokáže splatit z vlastních peněz, a co z toho plyne?

\(5\cdot 3{,}4 = 17\) mil. Kč, tedy asi 57 %. Zbytek musí refinancovat. Pokud se v roce 2031 zhorší podmínky na trhu nebo výsledky Bety, hrozí odklad splatnosti nebo selhání, i když kupóny do té doby platila řádně.

Roční pravděpodobnost selhání emitenta je 4,4 % a ztráta při selhání 70 %. Jaká je přibližná očekávaná ztráta jistiny jednoho pětiletého dluhopisu?

\(PD_{\text{kum}} = 1-0{,}956^{5} = 20{,}1\ \%\), očekávaná ztráta jistiny \(20{,}1\ \%\cdot 0{,}7 = 14{,}1\ \%\) nominálu (bez ztracených kupónů a bez časové hodnoty).

Investor má 300 000 Kč na dluhopisy malých firem. Proč je lepší rozložit je do deseti emisí po 30 000 Kč než do jedné?

Průměrný výnos se nezmění, ale rozpětí výsledků se zúží: s jedním dluhopisem typu Beta skončí ztrátou zhruba každý pátý pětiletý průběh, s deseti nezávislými asi 2 % průběhů (tab. 5.3). Emise by ale měly být od nesouvisejících emitentů z různých odvětví, jinak korelace výhodu zmenší.

Co si odnést

Bez prospektu a ratingu jste analytikem vy: kdo dluží, z čeho zaplatí, co se stane při potížích.
Rozhodují úrokové krytí, zadluženost, volné cash flow vůči jistině a skutečné zajištění.
Dluhopisy malých emitentů patří do rizikové části portfolia a jen v rozloženém koši.

Část IIIDluhopisy v praxi

Dluhopisy v portfoliupokročilý

Výnos dluhopisu za rok se dá rozložit na kousky, které mají každý svou příčinu: kupón, stárnutí po křivce, změnu sazeb, změnu spreadu, ztráty a měnu. Kdo rozkladu rozumí, ví, na co sází. A kdo ví, kdy se dluhopisy pohybují s akciemi a kdy proti nim, ví, co od nich v portfoliu čekat.

🧩

Výnos dluhopisu je jako výplatní páska: základní mzda (kupón), příplatek za odpracované roky (sklouzávání), prémie nebo srážky podle toho, jak se dařilo firmě (spread) a celému trhu (sazby), a nakonec kurz, pokud vám platí v cizí měně. Jen součet jde na účet, ale z rozpisu poznáte, co se může změnit.

Rozklad výnosu dluhopisu za rok

Vodopád ukazuje, z čeho se skládá výnos za jeden rok: zelené části přidávají, červené ubírají, modrý sloupec je výsledek. Výchozí nastavení odpovídá pětiletému firemnímu dluhopisu investičního stupně.

LABORATOŘ

Carry (výnos při nezměněných sazbách) Sklouzávání po křivce Modifikovaná durace

Změna státních výnosů Změna spreadu Očekávaná ztráta ze selhání Změna kurzu cizí měny

Model: změny výnosů a spreadu proběhnou hned na začátku roku; změna sazeb včetně konvexity \(C \approx D(D+1)\), spreadová durace rovná modifikované. Měna se násobí: \((1+R_{\text{místní}})(1+R_{\text{kurz}})-1\). Zlomový růst výnosů je změna, kterou carry a sklouzávání po odečtení ztrát ještě unesou.

+Teorie: rozklad výnosu, korelace s akciemi, role dluhopisů v portfoliu

10.1Rozklad výnosu dluhopisu

Přibližný výnos dluhopisu za horizont (obvykle rok) se v programu CFA rozkládá takto:fixed-income return decomposition

Rozklad výnosu\[E(R) \approx \underbrace{\text{výnos z kupónu a stárnutí}}_{\text{carry}} + \underbrace{\text{sklouzávání}}_{\text{roll-down}} - D_{\text{mod}}\,\Delta y + \tfrac12 C\,(\Delta y)^{2} - D_{\text{spr}}\,\Delta s - EL \;\pm\; \text{měna}.\]

Carry je výnos při nezměněné křivce bez stárnutí, zhruba výnos do splatnosti; přidáním sklouzávání vznikne valivý výnos. Ostatní členy jsou změny, které nejsou jisté: sazby (kapitola 4), spread (kapitola 5), očekávané ztráty a měna (kapitola 8).carry, rolling yield

Příklad Sedmiletý státní dluhopis na modelové křivce

Sedmiletý dluhopis s kupónem 3,75 % stojí na modelové křivce 99,93 (výnos do splatnosti 3,76 %). Za rok při nezměněné křivce bude šestiletý a ocení se na 100,59; jeho výnos do splatnosti klesne na 3,64 %.

Kupón: \(3{,}75/99{,}93 = 3{,}75\ \%\).
Sklouzávání a stárnutí: \((100{,}59 - 99{,}93)/99{,}93 = 0{,}66\ \%\); pravidlo palce dává \(5{,}29\cdot(3{,}76-3{,}64) = 0{,}65\ \%\).
Celkem při nezměněné křivce 4,41 %. Pokud výnosy vzrostou o 0,5 p. b., bude cena 97,98 a výnos za rok jen 1,79 %.

Carry a sklouzávání by unesly růst výnosů zhruba o \(4{,}41/5{,}29 = 0{,}83\) p. b.; teprve větší růst znamená za rok ztrátu.

Příklad Firemní dluhopis (výchozí nastavení laboratoře)

Carry 5,0 %, sklouzávání 0,3 %, durace 4 (konvexita přibližně \(4\cdot 5 = 20\)), státní výnosy +0,75 p. b., spread +0,25 p. b., očekávaná ztráta 0,6 % (v procentních bodech):

\[R \approx 5{,}0 + 0{,}3 - 4\cdot 0{,}75 + \tfrac12\cdot 20\cdot 0{,}0075^{2}\cdot 100 - 4\cdot 0{,}25 - 0{,}6 = 0{,}76\ \%.\]

Bez konvexity 0,70 %. Z 5,3 % carry a sklouzávání ubere změna sazeb a spreadu skoro 4 p. b. a očekávané ztráty dalších 0,6 p. b.

10.2Korelace dluhopisů a akcií

Diverzifikační hodnota státních dluhopisů stojí na tom, že v krizích akcií obvykle posilují. To ale není přírodní zákon. Korelace výnosů akcií a státních dluhopisů závisí na tom, co je v ekonomice hlavní nejistotou:stock-bond correlation

Nejistota růstu, ukotvená inflace (v řadě vyspělých zemí zhruba 2000–2020): recese tlačí akcie dolů a sazby dolů, dluhopisy posilují; korelace je záporná.
Nejistota inflace (1970–1990 a znovu 2022): inflační překvapení zvedá sazby a sráží ceny dluhopisů i akcií zároveň; korelace je kladná.

Obr. 10.1 Kdy dluhopisy tlumí propad akcií a kdy ne (oddíly 10.2 a 10.3). Státní dluhopisy pojišťují hlavně v recesích s ukotvenou inflací; při inflačním šoku padají s akciemi a v úvěrové krizi se firemní dluhopisy chovají spíš jako akcie.

Ilmanen (2003) popsal, že korelace byla historicky kladná v obdobích vysoké inflace a záporná při nízké inflaci a v obdobích stresu na akciových trzích. Campbell, Sunderam a Viceira (2017) ukázali, že změna znaménka korelace souvisí s tím, zda se nominální dluhopisy chovají jako sázka na inflaci, nebo jako pojištění proti deflaci.

**Tab. 10.1**Volatilita portfolia 60 % akcií a 40 % státních dluhopisů (modelově 16 % a 5 %)
Korelace	−0,3	0	+0,5	bez diverzifikace (+1)
Volatilita portfolia	9,20 %	9,81 %	10,74 %	11,60 %

Průvodce Investování počítá s korelací 0,1 (volatilita 10,0 %). Rozdíl mezi zápornou a kladnou korelací je asi 1,5 p. b. volatility celého portfolia.

10.3Role dluhopisů v portfoliu

Diverzifikace a stabilizace: státní dluhopisy s rozumnou durací tlumí propady akcií v deflačních recesích. Firemní a zvlášť spekulativní dluhopisy se v krizích chovají spíš jako akcie.
Příjem: kupóny dávají předvídatelný tok peněz; u firemních dluhopisů je třeba odečíst očekávané ztráty.
Krytí závazků: dluhopis nebo žebříček se splatností u data výdaje (kapitola 4, imunizace) a protiinflační dluhopisy pro výdaje v reálných penězích.
Likvidita a rebalancování: po propadu akcií jsou dluhopisy zdrojem peněz na nákup levnějších akcií.

Z praxe

Domácnost má často „dluhopisovou“ pozici i bez dluhopisů: stabilní příjem ze zaměstnání se chová podobně jako dluhopis a hypotéka s pevnou sazbou je dluhopis vydaný domácností. Kdo má fixaci hypotéky na deset let, je vůči sazbám zajištěný jinak než ten, kdo za rok refinancuje. Podrobně v průvodci Hypotéka do hloubky.

Pozor

Dluhopisy neochrání ve třech situacích: při inflačním šoku (ztrácejí spolu s akciemi), při úvěrové krizi (firemní dluhopisy padají s akciemi) a bez měnového zajištění, když koruna posílí. Přiřaďte každé dluhopisové složce roli a ověřte, zda ji v nepříznivém scénáři opravdu splní.

10.4Procvičení

Dluhopis má carry 4,2 %, sklouzávání 0,4 % a modifikovanou duraci 6. Výnosy za rok vzrostou o 0,75 p. b. Jaký je přibližný výnos za rok (bez konvexity)?

\(4{,}2 + 0{,}4 - 6\cdot 0{,}75 = 0{,}10\ \%\). Dluhopis jen tak tak zůstane v plusu.

U sedmiletého dluhopisu z oddílu 10.1 (carry 3,75 %, sklouzávání 0,66 %, durace 5,29) spočítejte zlomový růst výnosů.

\((3{,}75 + 0{,}66)/5{,}29 = 0{,}83\) p. b. Vzrostou-li výnosy o víc, bude výnos za rok záporný.

Portfolio 50 % akcií (σ 16 %) a 50 % státních dluhopisů (σ 5 %). Spočítejte volatilitu při korelaci +0,2 a −0,3.

\(\sqrt{0{,}25\cdot 0{,}0256 + 0{,}25\cdot 0{,}0025 + 2\cdot 0{,}25\cdot\rho\cdot 0{,}16\cdot 0{,}05}\): při \(\rho = 0{,}2\) je to 8,85 %, při \(\rho = -0{,}3\) 7,63 %.

Eurový dluhopis vynese za rok v eurech 3 %, euro vůči koruně oslabí o 4 %. Jaký je výnos v korunách?

\(1{,}03\cdot 0{,}96 - 1 = -1{,}12\ \%\). Kurz převážil celý roční výnos dluhopisu; proto se u dluhopisů měnové riziko často zajišťuje.

Za 6 let budete platit školné v odhadované dnešní hodnotě 400 000 Kč. Jak byste z kapitol 4, 6 a 10 sestavili dluhopisovou část, která ho kryje?

Výdaj je reálný (roste s cenami), takže se hodí protiinflační dluhopis nebo kombinace nominálních dluhopisů s durací kolem 6 let a rezervy na inflaci. Splatnost nebo durace by měla odpovídat datu výdaje (imunizace), úvěrové riziko co nejnižší (státní dluhopisy) a bez měnového rizika. Fond s pevnou dlouhou durací tento cíl nekryje, fond s cílovou splatností nebo žebříček ano.

Co si odnést z celého průvodce

Dluhopis jsou peněžní toky. Cena je jejich současná hodnota, výnos do splatnosti slib za tří podmínek.
Durace měří riziko sazeb a zároveň horizont, na kterém mizí. Fond nemá splatnost, ale má duraci.
Spread je cena rizika. Vysoký kupón znamená vysokou pravděpodobnost selhání; jediný dluhopis malé firmy je loterie.
Reálný výnos po dani rozhoduje. Inflace a daně umí z rozumného nominálního výnosu udělat nulu.
Každá dluhopisová složka potřebuje roli. Stabilizace, příjem, nebo krytí závazku – a ověřte, že ji v nepříznivém scénáři splní.

PřílohaA

Slovníček

PřílohaB

Vzorce na jednom místě

Značení: \(P\) cena, \(N\) jmenovitá hodnota, \(c\) roční kupónová sazba, \(C = cN\) roční kupón, \(n\) splatnost v letech, \(m\) počet výplat ročně, \(y\) výnos do splatnosti, \(z_t\) spotová sazba, \(DF_t\) diskontní faktor, \(f_{a,b}\) forwardová sazba, \(D\) Macaulayho durace, \(D_{\text{mod}}\) modifikovaná durace, \(C\) v oddílech o riziku konvexita. Značení odpovídá kapitole 10 průvodce Investování.

Cena a výnos

Cena dluhopisu\[P = \frac{c}{m}N\cdot\frac{1-(1+y/m)^{-mn}}{y/m} + N\,(1+y/m)^{-mn}\]

Věčný dluhopis\[P = \frac{C}{y},\qquad D = \frac{1+y}{y}\]

Přibližný výnos do splatnosti\[y \approx \frac{C + (N-P)/n}{(N+P)/2}\]

Běžný výnos a efektivní výnos\[CY = \frac{C}{P},\qquad EAY = \Big(1+\frac{y}{m}\Big)^{m}-1\]

Konvergence k nominálu\[P_{t+1} = P_t\,(1+y) - C\]

Hrubá cena a AÚV\[P_{\text{hrubá}} = P_{\text{čistá}} + \text{AÚV},\qquad \text{AÚV} = C\cdot\frac{\text{dny od kupónu}}{\text{dny v období}}\]

Realizovaný výnos\[y_{\text{real}} = \Big(\frac{C\,[(1+r)^{n}-1]/r + N}{P}\Big)^{1/n} - 1\]

Výnosová křivka

Diskontní faktor a ocenění\[DF_t = (1+z_t)^{-t},\qquad P = \sum_t CF_t\,DF_t\]

Bootstrapping a par výnos\[DF_n = \frac{1-c_n\sum_{t\lt n}DF_t}{1+c_n},\qquad c_n = \frac{1-DF_n}{\sum_{t\le n}DF_t}\]

Forwardová sazba\[(1+z_{a+b})^{a+b} = (1+z_a)^{a}(1+f_{a,b})^{b}\]

Z-spread\[P = \sum_t \frac{CF_t}{(1+z_t+Z)^{t}}\]

Nelson–Siegel\[z(t) = \beta_0 + \beta_1\frac{1-e^{-t/\tau}}{t/\tau} + \beta_2\Big(\frac{1-e^{-t/\tau}}{t/\tau}-e^{-t/\tau}\Big)\]

Úrokové riziko

Durace\[D = \sum_t t\,\frac{CF_t(1+y)^{-t}}{P},\qquad D_{\text{mod}} = \frac{D}{1+y/m},\qquad D_{\text{al pari}} = \frac{1+y}{y}\big[1-(1+y)^{-n}\big]\]

Efektivní durace a konvexita\[D_{\text{ef}} = \frac{P_- - P_+}{2P_0\Delta y},\qquad C_{\text{ef}} = \frac{P_- + P_+ - 2P_0}{P_0(\Delta y)^{2}}\]

Změna ceny\[\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}}\Delta y + \tfrac12 C(\Delta y)^{2},\qquad C = \frac{\sum_t t(t+1)CF_t(1+y)^{-t}}{P(1+y)^{2}}\]

DV01\[\text{DV01} = D_{\text{mod}}\cdot V\cdot 0{,}0001\]

Úvěrové riziko

Očekávaná ztráta\[EL = PD\cdot LGD\cdot EAD,\qquad LGD = 1-RR,\qquad PD_{\text{kum}}(T) = 1-(1-PD)^{T}\]

Úvěrový trojúhelník a jednoroční PD\[s \approx PD\cdot LGD,\qquad q = \frac{(1+c)-(1+r_f+\pi)}{(1+c)-RR}\]

Z′-skóre\[Z' = 0{,}717X_1 + 0{,}847X_2 + 3{,}107X_3 + 0{,}420X_4 + 0{,}998X_5\]

Inflace, peněžní trh, měna

Fisher a breakeven inflace\[1+y_{\text{nom}} = (1+y_{\text{reál}})(1+\pi^{e})(1+IRP),\qquad BEI = \frac{1+y_{\text{nom}}}{1+y_{\text{reál}}}-1\]

Poukázky\[r_{\text{disk}} = \frac{100-P}{100}\frac{360}{t},\quad r_{\text{PT}} = \frac{100-P}{P}\frac{360}{t},\quad EAR = \Big(\frac{100}{P}\Big)^{365/t}-1\]

Měnové zajištění\[F = S\,\frac{1+i_{CZK}}{1+i_f},\qquad R_{\text{zajištěný}} \approx R_f + (i_{CZK}-i_f)\]

Rozklad výnosu\[R \approx \text{carry} + \text{sklouzávání} - D_{\text{mod}}\Delta y + \tfrac12 C(\Delta y)^{2} - D_{\text{spr}}\Delta s - EL \pm \text{měna}\]

PřílohaC

Zdroje a předpoklady

Předpisy a úřední údaje

Zákon č. 586/1992 Sb., o daních z příjmů, § 4 odst. 1 písm. t) a u), § 4 odst. 3 – osvobození příjmů z prodeje cenných papírů do úhrnu 100 000 Kč za rok a po držbě delší než 3 roky (osvobození se nevztahuje na příjmy z kapitálového majetku); limit 40 000 000 Kč se v aktuálním znění vztahuje jen na kryptoaktiva. Znění účinné od 1. 8. 2026, zakonyprolidi.cz/cs/1992-586. Ověřeno 13. 10. 2026.
Tentýž zákon, § 4 odst. 1 písm. x) – osvobozen je výnos dluhopisu a příjem z práva na splacení dluhopisů vydaných členským státem EU nebo EHP. Podle Ministerstva financí (dluhopisy.gov.cz, Nejčastější dotazy) se osvobození uplatní u státních dluhopisů vydaných po 1. 1. 2021, kdy nabyla účinnosti příslušná novela; výnosy starších emisí se daní dál. Ověřeno 13. 10. 2026.
Tentýž zákon, § 8 odst. 1 písm. a) a c), odst. 2 až 5 a 8, § 16a, § 36 odst. 2 písm. a) a j) – výnosy dluhopisů a úroky jako příjmy z kapitálového majetku; srážková daň 15 % z výnosu dluhopisu z českých zdrojů a z úroků z vkladů fyzických osob; zahraniční příjmy v přiznání bez výdajů s možností samostatného základu daně se sazbou 15 %; kladný rozdíl mezi splacenou jmenovitou hodnotou a pořizovací cenou je příjmem z kapitálového majetku. Ověřeno 13. 10. 2026.
Zákon č. 21/1992 Sb., o bankách, § 41e odst. 2 – náhrada z pojištění vkladů nejvýše do částky odpovídající 100 000 EUR na oprávněnou osobu a banku, přepočtené kurzem ČNB k rozhodnému dni; § 41e odst. 3 a § 41ea upravují zvýšenou náhradu. Ověřeno 13. 10. 2026.
Zákon č. 190/2004 Sb., o dluhopisech (znění od 15. 2. 2025), § 2, 8, 9, 9a, 16, 20, 21 až 23, 24, 28 a 34 – definice dluhopisu, emisní podmínky, podlimitní veřejná nabídka (100 000 až 1 000 000 EUR) a její náležitosti, způsoby určení výnosu, zajištění a agent pro zajištění, schůze vlastníků (usnášeníschopnost nad 30 % jmenovité hodnoty), společný zástupce, krytý dluhopis, podřízený dluhopis. zakonyprolidi.cz/cs/2004-190. Ověřeno 13. 10. 2026.
Nařízení Evropského parlamentu a Rady (EU) 2017/1129 (o prospektu), čl. 1 odst. 4, čl. 2 písm. r), čl. 3 odst. 1, 2, 2a a 2b ve znění nařízení (EU) 2024/2809 – výjimky z povinnosti prospektu; od 5. 6. 2026 hranice 12 mil. EUR na emitenta za 12 měsíců s možností členského státu zvolit 5 mil. EUR; schválení prospektu jako přezkum úplnosti, srozumitelnosti a soudržnosti. Znění podle interaktivního souboru pravidel ESMA (esma.europa.eu). Ověřeno 13. 10. 2026.
ČNB, stanovisko RS2024-46 „K výjimce de minimis z povinnosti uveřejnit prospekt“ (platné 4. 12. 2024 až 4. 6. 2026) – ČR hranici 1 mil. EUR nezvýšila, ČNB do 4. 6. 2026 akceptovala nabídky do 1 mil. EUR bez prospektu. cnb.cz. Ověřeno 13. 10. 2026.
Zákon č. 256/2004 Sb., o podnikání na kapitálovém trhu – konsolidované znění účinné od 1. 9. 2026 dosud neobsahuje českou hranici 5 mil. EUR ani emisní dokument; novela byla podle odborných zdrojů (advokátní kanceláře, 2025–2026) v legislativním procesu. Nejisté, ověřte aktuální stav. Ověřeno 13. 10. 2026.
ČNB, Rozhodnutí bankovní rady – 18. 6. 2026 zvýšení 2T repo sazby na 3,75 % s platností od 19. 6. 2026; na jednáních 6. 8. a 17. 9. 2026 sazby beze změny (diskontní 2,75 %, lombardní 4,75 %). cnb.cz/cs/menova-politika/br-zapisy-z-jednani. Ověřeno 13. 10. 2026.
Ministerstvo financí, dluhopisy.gov.cz – oznámení o výnosech protiinflačních státních dluhopisů pro občany (kupón podle meziroční změny indexu spotřebitelských cen, u některých emisí s přirážkou 0,5 p. b., u jiných s dolní hranicí nula). Ověřeno 13. 10. 2026.
Nařízení (EU) 2017/1131 o fondech peněžního trhu, čl. 24 a 25 – krátkodobý fond peněžního trhu: vážená průměrná splatnost nejvýše 60 dní a vážená průměrná doba trvání nejvýše 120 dní; standardní fond 6 a 12 měsíců (čl. 25 podle odborného shrnutí, text článku jsme nedohledali). Ověřeno 13. 10. 2026.
Směrnice 2014/59/EU (BRRD) a zákon č. 374/2015 Sb., o ozdravných postupech a řešení krize na finančním trhu – odpis a konverze závazků bank (bail-in); název zákona ověřen na zakonyprolidi.cz 13. 10. 2026, pořadí odpisu uvádíme zjednodušeně.

Údaje o osvobození prodeje (časový test 3 roky, hodnotový test 100 000 Kč, limit 40 mil. Kč jen pro rok 2025 a od 2026 jen pro kryptoaktiva) a o pojištění vkladů do 100 000 EUR jsou v souladu s průvodcem Investování.

Literatura

Fabozzi, F. J., Fabozzi, F. A. (2021): Bond Markets, Analysis, and Strategies. 10. vyd. Cambridge (MA): MIT Press.
Tuckman, B., Serrat, A. (2022): Fixed Income Securities: Tools for Today’s Markets. 4. vyd. Hoboken: Wiley.
CFA Institute: CFA Program Curriculum, Level I a Level II – Fixed Income (vydání pro roky 2025 a 2026).
Macaulay, F. R. (1938): Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest Rates, Bond Yields and Stock Prices in the United States since 1856. New York: NBER.
Redington, F. M. (1952): Review of the Principles of Life-Office Valuations. Journal of the Institute of Actuaries 78 (3), 286–340.
Fisher, I. (1930): The Theory of Interest. New York: Macmillan.
Hicks, J. R. (1939): Value and Capital. Oxford: Clarendon Press.
Culbertson, J. M. (1957): The Term Structure of Interest Rates. Quarterly Journal of Economics 71 (4), 485–517.
Modigliani, F., Sutch, R. (1966): Innovations in Interest Rate Policy. American Economic Review 56 (1/2), 178–197.
Nelson, C. R., Siegel, A. F. (1987): Parsimonious Modeling of Yield Curves. Journal of Business 60 (4), 473–489.
Litterman, R., Scheinkman, J. (1991): Common Factors Affecting Bond Returns. Journal of Fixed Income 1 (1), 54–61.
Estrella, A., Hardouvelis, G. A. (1991): The Term Structure as a Predictor of Real Economic Activity. Journal of Finance 46 (2), 555–576.
Altman, E. I. (1968): Financial Ratios, Discriminant Analysis and the Prediction of Corporate Bankruptcy. Journal of Finance 23 (4), 589–609.
Altman, E. I. (1983): Corporate Financial Distress. New York: Wiley.
Merton, R. C. (1974): On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates. Journal of Finance 29 (2), 449–470.
Elton, E. J., Gruber, M. J., Agrawal, D., Mann, C. (2001): Explaining the Rate Spread on Corporate Bonds. Journal of Finance 56 (1), 247–277.
Vasicek, O. (2002): The Distribution of Loan Portfolio Value. Risk 15 (12), 160–162.
Ilmanen, A. (2003): Stock-Bond Correlations. Journal of Fixed Income 13 (2), 55–66.
Campbell, J. Y., Sunderam, A., Viceira, L. M. (2017): Inflation Bets or Deflation Hedges? The Changing Risks of Nominal Bonds. Critical Finance Review 6 (2), 263–301.

Modelové předpoklady

Třídy aktiv a inflace podle průvodce Investování (tab. 0.1); modelová státní křivka podle tab. 0.2, v laboratoři Nelsonův–Siegelův model s β₀ = 4,75 %, β₁ = −2,5 p. b., β₂ = −2,0 p. b., τ = 1,5 roku.
Kupóny roční, pokud není řečeno jinak; ceny po výplatě kupónu; změny výnosů jednorázové a paralelní.
Úvěrové simulace: jednofaktorový gaussovský model, selhání na konci roku, kupóny a výtěžnost ukládané za 3,5 %.
Daně zjednodušené na sazbu 15 % a pravidla k 13. 10. 2026; nezohledňují souběh s jinými příjmy, ztráty ani zvláštní režimy.
Všechna čísla v příkladech, tabulkách a řešeních jsou spočítaná skriptem a zaokrouhlená až na konci.

Interaktivní průvodce Dluhopisy a úroky (říjen 2026). Studijní materiál, ne investiční doporučení ani nabídka; neposkytuje investiční, daňové ani právní poradenství. Beta, s.r.o. je smyšlená firma. Minulé ani modelové výnosy nejsou zárukou budoucích.