Než pustíme koruny do práce, malá zkouška. Zkuste klikáním vymyslet řadu 50 hodů, která bude vypadat jako skutečná. Pak ji porovnáme s tím, jak se chovají opravdové koruny. Většina lidí neprojde.

Before we put the coins to work, a quick test. Click your way through 50 made-up tosses that look like the real thing. Then we'll compare them with how real coins behave. Most people fail.

Jeden chodec je nevyzpytatelný. Tisíc chodců už vytvoří tvar, který se dá předpovědět. Galtonova deska to ukazuje doslova: každý kolíček je jeden hod korunou a kulička na něm odskočí doleva, nebo doprava. Dole se kuličky samy seskládají do zvonové křivky normálního rozdělení.

One walker is unpredictable. A thousand walkers form a shape you can predict. The Galton board shows it literally: every peg is one coin toss, and the ball bounces left or right. At the bottom the balls pile up into the bell curve of the normal distribution.

Druhá důležitá věc: jak daleko chodci po n krocích typicky dojdou? Ne n kroků, ale jen zhruba √n. Po 100 hodech je typický chodec asi 10 kroků od startu, po 10 000 hodech asi 100. Nejistota roste s odmocninou času. Tuhle odmocninu pak uvidíte v každém vzorci pro opce.

The second key fact: how far do walkers typically get after n steps? Not n steps, only about √n. After 100 tosses a typical walker is about 10 steps from the start, after 10,000 tosses about 100. Uncertainty grows with the square root of time. You will meet that square root in every option pricing formula.

Matematik Šizuo Kakutani to shrnul jednou větou: „Opilý muž domů trefí, opilý pták se může ztratit navždy.“ Zní to jako hospodská historka, ale je to přesná matematika. George Pólya v roce 1921 dokázal, že náhodná procházka po přímce i po rovině se na start vrátí s jistotou, kdežto v prostoru jen asi ve 34 % případů. Svůj problém přitom popsal doslova jako bloudění v síti ulic.

The mathematician Shizuo Kakutani put it in one line: “A drunk man will find his way home, but a drunk bird may get lost forever.” It sounds like a pub joke, but it is exact mathematics. In 1921 George Pólya proved that a random walk on a line or on a plane returns to its start with certainty, while in space it does so only about 34% of the time. He literally described his problem as wandering through a network of streets.

Teď přijde trik. Časový úsek od 0 do 1 rozdělíme na n hodů a necháme n růst. Kroky musí být čím dál menší, jinak procházka uteče. Ale jak malé? Vyzkoušejte tři možnosti a posouvejte počet hodů.

Now for the trick. We split the time from 0 to 1 into n tosses and let n grow. The steps must get smaller, or the walk runs away. But how small? Try three options and slide the number of tosses.

Jen volba √Δt udrží rozptyl v čase 1 rovný jedné, ať hodů je kolik chce. V limitě vznikne Brownův pohyb W_t (matematici mu říkají Wienerův proces). Všechny jeho vlastnosti zdědil přímo po korunách:

Only the √Δt choice keeps the variance at time 1 equal to one, however many tosses there are. In the limit we get Brownian motion W_t (mathematicians call it the Wiener process). It inherits every property straight from the coins:

Pravděpodobnost q, se kterou cena vychází jako obyčejný zdiskontovaný průměr, se jmenuje rizikově neutrální. Není to odhad budoucnosti. Je to pomocné číslo, které zařídí, že akcie v průměru roste přesně bezrizikovou úrokovou sazbou. Proto se v oceňovacích modelech místo očekávaného výnosu akcie μ používá úroková sazba r. Názor banky na to, kam trh půjde, v ceně opce není.

The probability q that turns the price into a plain discounted average is called risk-neutral. It is not a forecast. It is a helper number that makes the share grow, on average, at exactly the risk-free rate. That is why pricing models use the interest rate r instead of the expected return μ. The bank's view on where the market will go is not in the option price.

S rostoucím N cena ze stromu kmitá a blíží se ke vzorci Black–Scholes. Ten je přesně tím, co dostanete, když hody korunou zjemníte do nekonečna, tedy když strom nahradíte Brownovým pohybem z kapitoly 4.

As N grows, the tree price zigzags towards the Black–Scholes formula. That formula is exactly what you get when you refine the coin tosses to infinity, replacing the tree with the Brownian motion from chapter 4.

Strukturovaný produkt je balíček: dluhopis plus jedna nebo několik opcí. Tady jsou nejčastější z nich. Všechny oceňujeme stejně: necháme korunu hodit dvacet tisíc budoucností, v každé zahrajeme podle pravidel opce a výplaty zprůměrujeme. Všechny opce vidí stejné hody korunou, liší se jen pravidla výplaty. Ceny jsou na 100 Kč nominální hodnoty a index startuje na 100.

A structured product is a bundle: a bond plus one or more options. Here are the most common ones. We price all of them the same way: let the coin toss twenty thousand futures, play each by the option's rules and average the payoffs. Every option sees the same coin tosses; only the payoff rules differ. Prices are per 100 of nominal value, and the index starts at 100.

Teď to složíme dohromady. Emitent dostane od investora 100 Kč a musí je rozdělit tak, aby produkt dával smysl a zbyla mu marže. Vyzkoušejte, jak s výsledkem hýbou úrokové sazby a volatilita.

Now we put it all together. The issuer receives 100 from the investor and has to split it so that the product makes sense and leaves a margin. See how interest rates and volatility move the result.

Model z korun je skvělý začátek, ale skutečný trh je divočejší. Banky proto model dál vylepšují. Pro investora a poradce jsou důležité tyhle rozdíly.

The coin model is a great start, but real markets are wilder. Banks keep refining the model. For investors and advisers, these differences matter.