INTERAKTIVNÍ PRŮVODCE · ŘÍJEN 2026

Astronomie

Od noční oblohy nad zahradou
po rozpínání celého vesmíru

Za textem obíhají planety od Merkuru po Saturn tak, jak se skutečně pohybují od 13. 10. 2026. Vzdálenosti od Slunce jsou kvůli přehlednosti zmenšené, rychlosti odpovídají Keplerovým zákonům: Merkur oběhne Slunce za tři měsíce, Saturn za necelých třicet let. Čísla dole se počítají z poloh planet.

datum simulace–

Země – Mars–

signál k Marsu letí–

Země – Jupiter–

ZačítRovnou k černým dírám

Úvodem

Jak průvodce používat

Astronomie je nejstarší přírodní věda a zároveň jedna z nejrychleji se měnících. Průvodce začíná tím, co uvidíte pouhým okem z vlastní zahrady, a postupně přidává fyziku: gravitaci, světlo, stavbu hvězd, galaxie a nakonec vesmír jako celek. Na konci byste měli rozumět nejen tomu, co astronomové vědí, ale hlavně tomu, jak to zjistili.

🔭

Tři patra každé kapitoly. Nahoře krátké vysvětlení a laboratoř, kde si věc vyzkoušíte: otočíte oblohou, vystřelíte družici, změříte tranzit planety. Pod ní mise za XP, od pozorovatele až po kosmologa. Dole rozbalovací teorie pro ty, kdo chtějí jít do hloubky: definice, vzorce, řešené příklady a příklady k procvičení. Barevná tečka v obsahu ukazuje úroveň. Postup se ukládá jen ve vašem prohlížeči.

Mapa průvodce

**Tab. 0.1**Kapitoly, úrovně a co se v nich naučíte
Kapitola	Úroveň	Co se naučíte
1 Noční obloha	základy	najít Polárku, pochopit otáčení oblohy, souhvězdí a hvězdné velikosti; bezpečně pozorovat
2 Země, Slunce a Měsíc	základy	proč se střídají roční období, jak se mění délka dne, fáze Měsíce a zatmění
3 Sluneční soustava	základy	planety a malá tělesa, astronomická jednotka a světelné minuty, definice planety
4 Gravitace a oběžné dráhy	střední škola	Keplerovy zákony, Newtonův gravitační zákon, kruhová a úniková rychlost, družice
5 Světlo a dalekohledy	střední škola	spektrum, spektrální čáry, Dopplerův jev, rozlišovací schopnost, atmosférická okna
6 Hvězdy	střední škola	paralaxa, hvězdná velikost, Wienův a Stefanův–Boltzmannův zákon, HR diagram
7 Život hvězd	střední škola	vznik hvězd, hlavní posloupnost, obři, bílí trpaslíci, supernovy, neutronové hvězdy
8 Galaxie a temná hmota	střední škola	Mléčná dráha, typy galaxií, rotační křivky a důkazy temné hmoty
9 Exoplanety	střední škola	tranzitní a radiální metoda, obyvatelná zóna, co o exoplanetách víme
10 Kosmologie	vysoká škola	Hubbleův–Lemaîtrův zákon, Friedmannovy rovnice, reliktní záření, temná energie, Hubbleovo napětí
11 Obecná relativita a černé díry	vysoká škola	princip ekvivalence, Schwarzschildův poloměr, gravitační čočky a gravitační vlny
12 Nitro hvězd a měření ve vesmíru	vysoká škola	hydrostatická rovnováha, přenos energie, hmotnostní limity, žebřík vzdáleností

Co budete potřebovat

Kapitoly 1–3 nepotřebují nic než zvědavost a jasnou noc. Počítá se nejvýš s trojčlenkou a mocninami.
Kapitoly 4–9 předpokládají středoškolskou algebru (mocniny, odmocniny, logaritmy, goniometrické funkce) a základy mechaniky: rychlost, zrychlení, síla, energie. Vše najdete v průvodcích Matematika a Fyzika.
Kapitoly 10–12 používají derivace a integrály v jednoduché podobě. Kde je to možné, výsledek je řečen i slovy.
Sousední průvodci: jak ve hvězdách vznikají prvky a jak funguje jaderná fúze vykládá průvodce Jaderná fyzika; tvar Země, klima, časová pásma a mapy průvodce Zeměpis a planeta Země; práci s nejistotami měření a prokládání dat průvodce Statistika a modely; jak odlišit vědecké tvrzení od pseudovědy (třeba astrologie) průvodce Logika a kritické myšlení; gravitaci a pohyb těles obecně průvodce Fyzika.

Čtyři druhy rámečků

Příklad Výpočet na číslech

Řešený příklad krok za krokem, který si můžete přepočítat.

Ve skutečnosti

Jak se věc pozoruje, měří nebo používá: historie objevů, přístroje, kosmické mise.

Pomůcka

Rychlé pravidlo nebo odhad bez kalkulačky. Ke kontrole, ne místo výpočtu.

Pozor

Místo, kde se nejčastěji chybuje, nebo upozornění na bezpečnost.

Jak průvodce počítá

Konstanty jsou z doporučených hodnot CODATA 2022, sluneční a planetární veličiny z nominálních hodnot Mezinárodní astronomické unie (IAU, 2015) a údaje o planetách z přehledu NASA. Všechny jsou na jednom místě v příloze B. Laboratoře jsou modely: zjednodušují, aby byl vidět princip, a v popisku každé z nich stojí, co zanedbávají.

Studijní materiál, nenahrazuje učebnici ani výuku. Nikdy se nedívejte do Slunce pouhým okem, dalekohledem ani fotoaparátem bez certifikovaného slunečního filtru; poškození sítnice nebolí a bývá trvalé. Průvodce nejmenuje komerční produkty ani firmy. Údaje, které se mění (počet exoplanet a měsíců, hodnoty Hubbleovy konstanty), mají v příloze C zdroj a datum ověření; stav k 13. 10. 2026.

Rozsahem odpovídá: kapitoly 1–3 vzdělávacímu obsahu RVP ZV (Fyzika – Vesmír; Zeměpis – Země jako vesmírné těleso), kapitoly 4–9 učivu gymnázia podle RVP G a maturitní úrovni fyziky (gravitační pole, elektromagnetické záření, astrofyzika), kapitoly 10–12 typickým úvodním vysokoškolským kurzům astronomie a astrofyziky (v rozsahu úvodních kapitol učebnic Carroll a Ostlie, Kutner a Ryden uvedených v příloze C).

Část IObloha a Sluneční soustava

Noční oblohazáklady

Hvězdy se během noci pohybují po obloze, ale ne proto, že by se hýbaly ony. Otáčí se Země a s ní i my. Osa otáčení míří téměř přesně k Polárce, a proto se celá obloha zdánlivě točí kolem ní. Kdo to pochopí, najde se na obloze v kteroukoli hodinu a v kterémkoli ročním období.

🎠

Sedíte na kolotoči a díváte se ven. Stromy, lavičky i lidé kolem vás krouží, i když stojí na místě. Jediný bod, který se nehýbe, je přímo nad osou kolotoče. Noční obloha funguje stejně: kolotočem je Země, osou je zemská osa a bodem nad ní je Polárka.

Obloha nad vámi

Mapa celé oblohy nad obzorem: střed je zenit (bod přímo nad hlavou), okraj kruhu je obzor, sever je nahoře. Mapa se drží nad hlavou, proto je východ vlevo. Nastavte zeměpisnou šířku, měsíc a hodinu, nebo spusťte noc. Zelený kruh ohraničuje hvězdy, které nikdy nezapadají.

LABORATOŘ

Zeměpisná šířka Měsíc Hodina (středoevropský čas)

Model: 55 nejjasnějších a nejznámějších hvězd s polohami pro epochu J2000, bez lomu světla v atmosféře a bez precese. Hvězdný čas pro zeměpisnou délku Prahy (14,4° v. d.) a 15. den zvoleného měsíce roku 2026, bez letního času. Velikost tečky odpovídá jasnosti.

Kolik hvězd uvidíte

Bortleova stupnice popisuje tmu oblohy od 1 (nejtmavší místa na Zemi) po 9 (centrum velkoměsta). S každým stupněm se snižuje mezní hvězdná velikost, tedy nejslabší hvězda, kterou ještě uvidíte pouhým okem. Počet viditelných hvězd přitom klesá velmi rychle.

LABORATOŘ

Třída Bortleovy stupnice

Model: mezní hvězdná velikost podle popisu tříd (Bortle 2001), počet hvězd na celé obloze z přibližného vztahu \(N(\lt m) \approx 4\,900\cdot 10^{0{,}48\,(m-6)}\) nastaveného podle katalogů jasných hvězd. Nad obzorem je v každé chvíli zhruba polovina, u obzoru ještě část pohltí atmosféra.

Minihra: pravda, nebo mýtus?

U každého tvrzení o noční obloze rozhodněte, zda platí. Vysvětlení najdete v teorii níže.

MINIHRA

0 / 7

+Teorie: nebeská sféra, souřadnice, souhvězdí a hvězdné velikosti

1.1Nebeská sféra a obzorníkové souřadnice

Hvězdy jsou různě daleko, ale pro pozorovatele na Zemi vypadají, jako by byly přišpendlené na vnitřní straně obrovské koule. Této pomyslné kouli se říká nebeská sféra. Je to užitečný model: pro určení, kde na obloze hvězdu hledat, stačí dva úhly a vzdálenost nehraje roli.celestial sphere

Nejjednodušší jsou obzorníkové souřadnice. Výška \(h\) je úhel nad obzorem (0° na obzoru, 90° v zenitu), azimut \(A\) je směr po obzoru, měřený od severu přes východ (sever 0°, východ 90°, jih 180°, západ 270°). Zenit je bod přímo nad hlavou, nadir přímo pod nohama. Obzorníkové souřadnice hvězdy se ale stále mění, protože se obloha otáčí, a pro dva pozorovatele na různých místech jsou různé.horizontal coordinates: altitude, azimuth, zenith

Obr. 1.1 Nebeská sféra pro pozorovatele na severní zeměpisné šířce φ. Osa otáčení oblohy (oranžově) míří k nebeskému pólu, který je nad severním obzorem ve výšce φ. Hvězdy opisují kruhy rovnoběžné s nebeským rovníkem; ty blízko pólu nikdy nezapadají.

1.2Rovníkové souřadnice a otáčení oblohy

Aby měla hvězda souřadnice, které se nemění, používají astronomové rovníkové souřadnice. Prodloužením zemské osy dostaneme na sféře severní a jižní nebeský pól, prodloužením zemského rovníku nebeský rovník. Deklinace \(\delta\) je úhel od nebeského rovníku (obdoba zeměpisné šířky, od −90° do +90°), rektascenze \(\alpha\) je obdoba zeměpisné délky a měří se v hodinách (0 h až 24 h) od jarního bodu, ve kterém Slunce na jaře přechází nebeský rovník.equatorial coordinates: declination, right ascension

Rovníkové souřadnice se otáčejí spolu s oblohou, takže hvězda je má (téměř) stále stejné. Kterou část oblohy vidíte v danou chvíli, určuje místní hvězdný čas: rektascenze hvězd, které právě procházejí místním poledníkem nad jihem. Z geometrie obrázku 1.1 plynou tři užitečné vztahy pro pozorovatele na severní zeměpisné šířce \(\varphi\):local sidereal time, meridian

Pól a cirkumpolární hvězdy\[h_{\text{pól}} = \varphi,\qquad \text{nikdy nezapadá: } \delta \gt 90^\circ-\varphi,\qquad \text{nikdy nevyjde: } \delta \lt -(90^\circ-\varphi).\]

Nejvyšší výška hvězdy (kulminace)\[h_{\max} = 90^\circ - |\varphi-\delta|,\qquad h_{\min} = \delta-(90^\circ-\varphi)\ \ (\text{záporná = hvězda zapadá}).\]

Hvězdám, které nikdy nezapadají, se říká cirkumpolární. V Praze (\(\varphi = 50{,}08^\circ\)) jsou to všechny hvězdy s deklinací nad 39,92°: celý Velký vůz, Kasiopeja, Capella i Deneb. Na severním pólu jsou cirkumpolární všechny hvězdy severní polokoule oblohy a žádná jiná nevyjde; na rovníku naopak vycházejí a zapadají všechny.circumpolar star

Příklad Vega a Sirius z Prahy

Vega má deklinaci 38,78°, což je méně než 39,92°. Není tedy cirkumpolární: nejníž klesne na \(38{,}78-39{,}92 = -1{,}14^\circ\), těsně pod obzor. Nejvýš vystoupá na \(90-|50{,}08-38{,}78| = 78{,}7^\circ\), skoro do zenitu.

Sirius (\(\delta = -16{,}72^\circ\)) vystoupá nejvýš na \(90-(50{,}08+16{,}72) = 23{,}2^\circ\). Proto ho v zimě vidíme nízko nad jihem, kde jeho světlo prochází silnou vrstvou neklidného vzduchu a hvězda se třpytí všemi barvami.

Hvězdný a sluneční den

Země se vůči hvězdám otočí jednou za hvězdný den, 23 h 56 min 4 s. Sluneční den je o necelé čtyři minuty delší, protože Země mezitím postoupí po své dráze kolem Slunce a musí se pootočit ještě o kousek, aby bylo Slunce opět nad jihem. Hvězdy proto vycházejí každý den o 3 min 56 s dříve, za měsíc zhruba o 2 hodiny a za půl roku o 12 hodin. Proto vidíme v zimě večer jiná souhvězdí (Orion, Býk) než v létě (Labuť, Lyra, Orel).sidereal day, solar day

Pomůcka

Natažená ruka měří úhly na obloze: šířka malíčku je asi 1°, sevřená pěst asi 10°, roztažená dlaň od palce po malíček asi 20°. Měsíc v úplňku má průměr jen půl stupně, schová se za malíček.

Obr. 1.2 Jak najít Polárku. Prodlužte spojnici zadních kol Velkého vozu (Merak → Dubhe) zhruba pětkrát: vzdálenost Merak–Dubhe je 5,4°, Dubhe–Polárka 28,7°. Polárka je nejjasnější hvězdou Malého vozu. Na opačné straně od Polárky leží „W“ Kasiopeji. Polohy jsou spočítané z rovníkových souřadnic.

1.3Souhvězdí a hvězdná velikost

Souhvězdí je dnes přesně ohraničená oblast oblohy, ne jen obrazec. Mezinárodní astronomická unie (IAU) přijala v roce 1922 seznam 88 souhvězdí a do roku 1930 stanovila jejich hranice; dohromady pokrývají celou oblohu. Výrazné obrazce, které nejsou samostatným souhvězdím (Velký vůz je částí Velké medvědice, letní trojúhelník tvoří Vega, Deneb a Altair), se nazývají asterismy. Hvězdy jednoho souhvězdí spolu obvykle nijak nesouvisejí: leží jen zhruba stejným směrem, často v úplně jiných vzdálenostech.constellation, asterism

Jasnost hvězd vyjadřuje hvězdná velikost (magnituda) \(m\). Stupnice pochází od Hipparcha (2. stol. př. n. l.), který nejjasnější hvězdy označil za hvězdy 1. velikosti a nejslabší viditelné za hvězdy 6. velikosti. Pogson (1856) ji zpřesnil: rozdíl 5 magnitud odpovídá přesně stonásobku jasnosti. Čím menší číslo, tím jasnější objekt; nejjasnější tělesa mají záporné magnitudy.apparent magnitude, Pogson ratio

Pogsonova rovnice\[m_1-m_2 = -2{,}5\,\log_{10}\frac{F_1}{F_2},\qquad \frac{F_1}{F_2} = 10^{\,0{,}4\,(m_2-m_1)},\qquad 10^{0{,}4} = 2{,}512.\]

\(F\) je hustota zářivého toku, tedy výkon dopadající na plochu 1 m² na Zemi. Rozdíl jedné magnitudy znamená poměr 2,512, pěti magnitud poměr 100.

**Tab. 1.1**Zdánlivé hvězdné velikosti vybraných objektů (přibližně)
Objekt	m	Poznámka
Slunce	−26,7	jen se slunečním filtrem
Měsíc v úplňku	−12,7
Venuše (nejjasnější)	−4,6	„Večernice“ a „Jitřenka“
Sirius	−1,46	nejjasnější hvězda noční oblohy
Vega	0,03	historicky nulový bod stupnice
Polárka	1,98	středně jasná, kolem 50. místa
mez pouhého oka, tmavá obloha	6–7	Bortle 1–3
mez pouhého oka, centrum města	kolem 4	Bortle 8–9

Příklad Kolikrát je Sirius jasnější než Polárka

\(\dfrac{F_{\text{Sirius}}}{F_{\text{Polárka}}} = 10^{\,0{,}4\,(1{,}98-(-1{,}46))} = 10^{1{,}376} = 23{,}8.\) Na obloze tedy Sirius svítí asi 24× jasněji. Ve skutečnosti je ale Polárka mnohem svítivější hvězda; jen je asi 50× dál (kapitola 6).

Pozor

Polárka není nejjasnější hvězda oblohy, jak se často tvrdí. Je výjimečná jen polohou: je méně než 1° od severního nebeského pólu. A nebude tam navždy. Zemská osa opisuje kužel s periodou asi 26 000 let (precese), takže za zhruba 12 000 let bude „polárkou“ Vega.precession

1.4Světelné znečištění

Světelné znečištění je umělé světlo, které svítí tam, kam nemá, hlavně do nebe. Rozptyluje se na molekulách vzduchu a prachu a vytváří nad městy světlý závoj, který přezáří slabé hvězdy. Podle světového atlasu jasu noční oblohy (Falchi a kol., 2016) žije pod světlem znečištěnou oblohou přes 80 % lidí na světě a přes 99 % obyvatel Evropy a USA; Mléčnou dráhu nevidí víc než třetina lidstva, včetně 60 % Evropanů.light pollution, skyglow

Tmu oblohy popisuje Bortleova stupnice s devíti třídami (Bortle, 2001). Ve třídě 1 je vidět stín vrhaný Mléčnou dráhou a hvězdy do 7,6–8,0 magnitudy, ve třídě 9 (centrum velkoměsta) jen hvězdy do zhruba 4. velikosti. Rozdíl tří až čtyř magnitud znamená podle laboratoře výše mnohonásobně méně viditelných hvězd.Bortle dark-sky scale, limiting magnitude

Ve skutečnosti

Světelné znečištění není jen astronomický problém. Ruší noční živočichy (hmyz, ptáky na tahu, netopýry) a u lidí může narušovat cirkadiánní rytmus. Pomáhá málo: svítidla, která nesvítí nad vodorovnou rovinu, nižší intenzita a teplejší barva světla. V Česku existuje několik vyhlášených oblastí tmavé oblohy (například Jizerská, Beskydská a Manětínská), kde obce a správci území omezují noční osvětlení.

1.5Jak pozorovat bezpečně a s užitkem

Oči potřebují tmu. Plná adaptace na tmu trvá 20–30 minut a jeden pohled do displeje ji zničí. Používejte červené světlo a co nejméně jasu.
Boční pohled. Slabé objekty uvidíte lépe, když se díváte kousek vedle nich: okraj sítnice má víc tyčinek citlivých na slabé světlo.
Hvězdy blikají, planety méně. Hvězda je bodový zdroj a neklid vzduchu ji rozmazává a přebarvuje (scintilace). Planety mají malý, ale konečný kotouček a svítí klidněji. Navíc se během týdnů posouvají mezi hvězdami.

Pozor: Slunce

Nikdy se nedívejte do Slunce bez certifikovaného slunečního filtru, ani na okamžik, ani při částečném zatmění. Sluneční brýle, začouzené sklo, CD, fotografický film ani svářečské sklo neznámé třídy nestačí. Brýle pro pozorování zatmění musí splňovat normu ISO 12312-2 a nesmí být poškrábané. Dalekohled, triedr ani fotoaparát nikdy nemiřte na Slunce bez filtru před objektivem; soustředěné světlo poškodí oko během zlomku sekundy. Bezpečné je promítnout obraz Slunce dalekohledem na bílý papír, ale ani tehdy se do okuláru nedívejte. Poškození sítnice nebolí a projeví se až později, často trvale.

1.6Procvičení

Brno leží na 49,2° s. š. Jak vysoko je tam Polárka a které hvězdy jsou v Brně cirkumpolární? Je cirkumpolární Vega (\(\delta = 38{,}78^\circ\))?

Výška nebeského pólu se rovná zeměpisné šířce, tedy 49,2°. Polárka je od pólu 0,74°, takže během noci krouží ve výšce 48,5° až 49,9°. Cirkumpolární jsou hvězdy s \(\delta \gt 90^\circ-49{,}2^\circ = 40{,}8^\circ\). Vega cirkumpolární není: nejníž klesne na \(38{,}78-40{,}8 = -2{,}0^\circ\), tedy pod obzor.

Do jaké nejvyšší výšky vystoupá Sirius (\(\delta = -16{,}72^\circ\)) v Aténách (38,0° s. š.)? Srovnejte s Prahou.

\(h_{\max} = 90^\circ-|38{,}0-(-16{,}72)| = 90-54{,}72 = 35{,}3^\circ\). V Praze jen 23,2°. Čím jižněji pozorovatel je, tím výš vystupují hvězdy jižní oblohy.

Vega má magnitudu 0,03, Polárka 1,98. Kolikrát víc světla od Vegy dopadá na Zemi?

\(F_{\text{Vega}}/F_{\text{Polárka}} = 10^{\,0{,}4\,(1{,}98-0{,}03)} = 10^{0{,}78} = 6{,}0\). Vega je na obloze asi šestkrát jasnější.

Orion je v lednu nejvýš nad jihem kolem půlnoci. Kdy bude ve stejné poloze v polovině března?

Hvězdy vycházejí (i kulminují) každý den o 3 min 56 s dříve. Za dva měsíce (asi 60 dní) je to \(60\cdot 3{,}93 = 236\) minut, tedy zhruba o 4 hodiny dříve: kolem 20. hodiny. Proto je Orion zimní souhvězdí: v létě kulminuje ve dne.

Odkud lze vidět Kanopus (\(\delta = -52{,}70^\circ\)), druhou nejjasnější hvězdu oblohy? A Jižní kříž (\(\delta \approx -63{,}1^\circ\) u jeho nejjasnější hvězdy)?

Hvězda vůbec vyjde, jestliže \(\delta \gt -(90^\circ-\varphi)\), tedy \(\varphi \lt 90^\circ+\delta\). Kanopus: \(\varphi \lt 37{,}3^\circ\) s. š. (jih Evropy jen těsně nad obzorem, například Kréta). Akrux z Jižního kříže: \(\varphi \lt 26{,}9^\circ\) s. š. (například Havajské ostrovy nízko nad obzorem). Lom světla v atmosféře hvězdy u obzoru zvedne asi o 0,5°, takže skutečné hranice jsou nepatrně severněji.

Kolikrát víc hvězd uvidíte na tmavém venkově s mezní hvězdnou velikostí 6,5 než ve městě s mezní velikostí 4,0? Použijte model z laboratoře.

Podle modelu \(N(\lt m) \approx 4\,900\cdot 10^{0{,}48\,(m-6)}\) je poměr \(10^{0{,}48\,(6{,}5-4{,}0)} = 10^{1{,}2} = 15{,}8\). Na tmavé obloze uvidíte zhruba 16× víc hvězd (asi 8 500 na celé obloze proti asi 540).

Co si odnést

Obloha se zdánlivě otáčí kolem nebeského pólu, protože se otáčí Země. Výška pólu nad obzorem se rovná zeměpisné šířce.
Polárku najdete pětinásobným prodloužením zadních kol Velkého vozu. Není nejjasnější, jen stojí skoro přesně u pólu.
Menší magnituda znamená jasnější objekt; 5 magnitud je stonásobek jasnosti.
Do Slunce se nikdy nedívejte bez certifikovaného filtru.

Část IObloha a Sluneční soustava

Země, Slunce a Měsíczáklady

Roční období nevznikají tím, že by Země byla v létě blíž Slunci. Vznikají proto, že zemská osa je skloněná o 23,4°: půl roku je ke Slunci natočená severní polokoule, půl roku jižní. Slunce pak u nás svítí výš a déle, nebo níž a kratší dobu. Měsíc mezitím oběhne Zemi přibližně dvanáctkrát a jeho tvar na obloze prozrazuje, kde právě je.

🔦

Posviťte baterkou kolmo na stůl: vznikne malá, jasná skvrna. Nakloňte baterku a stejné světlo se rozlije do velké, bledé elipsy. Stejně v zimě dopadá šikmé sluneční světlo na zem: stejný výkon se rozprostře na větší plochu, a navíc svítí jen osm hodin.

Délka dne a výška Slunce

Křivka ukazuje délku dne během roku 2026 pro zvolenou zeměpisnou šířku, tečkovaná čára pro rovník. Posuňte datum a šířku, nebo zkuste místo za polárním kruhem.

LABORATOŘ

Zeměpisná šířka Den v roce

Model: poloha Slunce podle zjednodušených vzorců (přesnost asi 0,01°). „S lomem světla“ počítá východ a západ jako okamžik, kdy horní okraj Slunce protne obzor (střed Slunce 0,833° pod obzorem); „geometricky“ bere střed Slunce na obzoru. Časy jsou v pravém místním slunečním čase, kdy je Slunce v poledne přesně nad jihem; občanský čas se od něj liší podle zeměpisné délky a ročního období o desítky minut.

Fáze Měsíce

Vlevo pohled shora na Zemi a dráhu Měsíce, Slunce svítí zprava. Vpravo tvar, který vidí pozorovatel na severní polokouli. Posouvejte stáří Měsíce, tedy počet dní od novu.

LABORATOŘ

Stáří Měsíce

Model: kruhová dráha Měsíce v rovině ekliptiky, synodický měsíc 29,53 dne. Časy kulminace, východu a západu jsou průměrné (Měsíc se každý den opozdí asi o 50 minut); skutečné časy se liší podle ročního období a zeměpisné šířky.

Minihra: dorůstá, nebo couvá?

Podle popisu určete, zda Měsíc dorůstá, je v novu či úplňku, nebo couvá. Platí pro pozorovatele v Česku.

MINIHRA

0 / 6

+Teorie: roční období, délka dne, Měsíc a zatmění

2.1Den, rok a kalendář

Země se otočí kolem své osy jednou za den a oběhne Slunce jednou za rok. Sluneční den (24 h) je doba mezi dvěma průchody Slunce místním poledníkem; hvězdný den (23 h 56 min 4 s) je doba jedné otočky vůči hvězdám (kapitola 1). Tropický rok, podle kterého se opakují roční období, trvá 365,2422 dne. Proto má gregoriánský kalendář přestupné roky: každý čtvrtý rok, kromě let dělitelných stem, která nejsou dělitelná čtyřmi sty (1900 nebyl přestupný, 2000 byl). Průměrný kalendářní rok má pak 365,2425 dne a odchylka od tropického roku naroste na den asi za 3 200 let.solar day, sidereal day, tropical year

2.2Proč se střídají roční období

Zemská osa svírá s kolmicí k rovině oběžné dráhy úhel \(\varepsilon = 23{,}44^\circ\) (sklon zemské osy) a míří stále stejným směrem do prostoru, k Polárce. Během roku se proto mění, která polokoule je natočená ke Slunci. Úhlová vzdálenost Slunce od nebeského rovníku, deklinace Slunce \(\delta_\odot\), kolísá mezi +23,44° při letním slunovratu (kolem 21. 6.) a −23,44° při zimním slunovratu (kolem 21. 12.). O rovnodennostech (kolem 20. 3. a 23. 9.) je nulová.axial tilt (obliquity), solar declination, solstice, equinox

Obr. 2.1 Zemská osa míří po celý rok stejným směrem. V červnu je severní polokoule natočená ke Slunci (léto), v prosinci od Slunce (zima). O rovnodennostech osvětluje Slunce obě polokoule stejně.

Sklon osy působí dvěma způsoby. Slunce v létě vystoupá výš, takže jeho paprsky dopadají strměji a stejný výkon se soustředí na menší plochu; výkon dopadající na vodorovnou plochu je úměrný \(\sin h\), kde \(h\) je výška Slunce. A Slunce v létě svítí déle. Oba vlivy se sčítají.

Výška Slunce v poledne\[h_{\text{poledne}} = 90^\circ-\varphi+\delta_\odot\qquad(\text{pro } \varphi \gt \delta_\odot,\ \text{Slunce v poledne nad jihem})\]

Příklad Polední Slunce v Praze

Praha, \(\varphi = 50{,}08^\circ\). Při letním slunovratu \(h = 90-50{,}08+23{,}44 = 63{,}36^\circ\), o rovnodennostech 39,92°, při zimním slunovratu jen 16,48°.

Poměr výkonu na vodorovnou plochu v poledne: \(\sin 63{,}36^\circ / \sin 16{,}48^\circ = 0{,}894/0{,}284 = 3{,}15\). V červnovém poledni dopadá na každý metr čtvereční zhruba třikrát víc slunečního výkonu než v prosincovém, a navíc je den dvakrát delší.

Pozor

Vzdálenost od Slunce roční období nezpůsobuje. Země je Slunci nejblíž (147,1 mil. km, přísluní) začátkem ledna a nejdál (152,1 mil. km, odsluní) začátkem července. V lednu tak dopadá na Zemi asi o 7 % víc slunečního záření \(\big((152{,}1/147{,}1)^2 = 1{,}069\big)\), a přesto je na severní polokouli zima. Na jižní polokouli je v lednu léto.perihelion, aphelion

Jak se roční období projevují v podnebí, proudění vzduchu a oceánech, rozebírá průvodce Zeměpis a planeta Země.

2.3Délka dne podle zeměpisné šířky

Slunce opisuje během dne kruh rovnoběžný s nebeským rovníkem. Jak velká část tohoto kruhu je nad obzorem, závisí na zeměpisné šířce \(\varphi\) a deklinaci Slunce. Hodinový úhel \(H_0\) východu a západu (úhel, o který se obloha otočí mezi východem a polednem) splňuje:hour angle of sunrise

Východ a západ Slunce\[\cos H_0 = \frac{\sin h_0-\sin\varphi\,\sin\delta_\odot}{\cos\varphi\,\cos\delta_\odot},\qquad \text{délka dne} = \frac{2H_0}{15^\circ}\ \text{hodin}.\]

\(h_0\) je výška středu Slunce v okamžiku východu: geometricky 0°, prakticky −0,833°, protože lom světla v atmosféře zvedá obraz Slunce u obzoru asi o 0,57° a horní okraj Slunce je o 0,27° výš než střed. Bez těchto oprav dostaneme jednodušší tvar \(\cos H_0 = -\tan\varphi\,\tan\delta_\odot\).atmospheric refraction

Když vyjde \(\cos H_0 \lt -1\), Slunce nezapadá: polární den. Když \(\cos H_0 \gt 1\), nevyjde: polární noc.
Severní polární kruh leží na \(90^\circ-23{,}44^\circ = 66{,}56^\circ\) s. š. Díky lomu světla je ale Slunce o slunovratu nad obzorem celou noc už od 65,7° s. š.
Na rovníku je den po celý rok zhruba 12 hodin (s lomem světla 12 h 7 min).

**Tab. 2.1**Délka dne o slunovratech a rovnodennostech (s lomem světla, výpočet podle vzorce výše)
Místo	Šířka	Letní slunovrat	Rovnodennost	Zimní slunovrat
rovník	0°	12 h 7 min	12 h 7 min	12 h 7 min
Praha	50,08° s.	16 h 23 min	12 h 10 min	8 h 3 min
60° s. š.	60° s.	18 h 52 min	12 h 13 min	5 h 52 min
Tromsø	69,65° s.	24 h	12 h 19 min	0 h

Ve skutečnosti

Délku stínu v poledne použil už kolem roku 240 př. n. l. Eratosthenés z Kyrény k měření velikosti Země. V Syéně (dnešní Asuán) bylo Slunce v den letního slunovratu v poledne v zenitu, v Alexandrii o 7,2° níž, tedy o padesátinu kruhu. Vzdálenost obou měst 5 000 stadií tak dávala obvod Země 250 000 stadií, podle délky stadia zhruba 40 000 km.

2.4Měsíc a jeho fáze

Měsíc obíhá Zemi ve střední vzdálenosti 384 400 km; světlo tu cestu urazí za 1,28 s. Vůči hvězdám oběhne za siderický měsíc 27,32 dne. Fáze se ale opakují za delší synodický měsíc 29,53 dne: mezitím se Země posune po dráze kolem Slunce a Měsíc musí kus dráhy dohnat, aby byl opět ve stejné poloze vůči Slunci.sidereal month, synodic month

Synodický a siderický měsíc\[\frac{1}{S} = \frac{1}{P_{\text{sid}}}-\frac{1}{P_\oplus} = \frac{1}{27{,}3217}-\frac{1}{365{,}2564}\ \Rightarrow\ S = 29{,}53\ \text{dne}.\]

Měsíc nesvítí sám; vždy je osvětlena polovina obrácená ke Slunci. Kolik z ní vidíme, závisí na úhlu Slunce–Země–Měsíc (elongaci \(E\)). Osvětlená část viditelného kotouče je

Osvětlený podíl\[k = \frac{1-\cos E}{2},\qquad E \approx 360^\circ\cdot\frac{\text{stáří}}{29{,}53\ \text{dne}}.\]

Obr. 2.2 Vnitřní kruh: Měsíc na dráze kolem Země, osvětlený vždy ze strany Slunce. Vnější kruh: jak ho v té poloze vidí pozorovatel na severní polokouli. Dorůstající Měsíc má osvětlenou pravou stranu, couvající levou (na jižní polokouli naopak).

Měsíc se k Zemi obrací stále stejnou stranou: otočí se kolem osy přesně jednou za oběh. Tomuto stavu se říká vázaná rotace a je výsledkem slapového působení Země během miliard let. Odvrácená strana Měsíce není temná; v době novu je naopak celá osvětlená.tidal locking

Pomůcka

Měsíc každý den vychází v průměru asi o 50 minut později (\(24\cdot 60/29{,}53 = 48{,}8\) min). Úplněk proto vychází při západu Slunce a svítí celou noc, první čtvrť je večer nad jihem a zapadá kolem půlnoci, poslední čtvrť vychází kolem půlnoci a ráno je nad jihem.

2.5Zatmění

Zatmění Slunce nastane, když Měsíc v novu vstoupí mezi Slunce a Zemi a jeho stín dopadne na Zemi. Zatmění Měsíce nastane v úplňku, když Měsíc vstoupí do stínu Země. Nedochází k nim každý měsíc, protože dráha Měsíce je k rovině ekliptiky skloněná o 5,1°. Měsíc v novu a úplňku obvykle projde nad nebo pod Sluncem či stínem Země. Zatmění je možné jen tehdy, když nov nebo úplněk nastane blízko uzlu, průsečíku dráhy Měsíce s ekliptikou. Taková období zatmění nastávají zhruba dvakrát do roka a v každém z nich může dojít k jednomu až dvěma zatměním Slunce i Měsíce.solar eclipse, lunar eclipse, node

Obr. 2.3 Zatmění Slunce. Kde na Zemi dopadne stín Měsíce (tmavý kužel), je zatmění úplné; v polostínu je Slunce zakryté jen zčásti. Když je Měsíc dál od Země, jeho stín Zemi nedosáhne a v ose zatmění zůstane kolem Měsíce světlý prstenec.

Měsíc je 400× menší než Slunce a zároveň asi 400× blíž, a proto mají na obloze skoro stejný úhlový průměr. Protože se jeho vzdálenost mění (od asi 363 000 km do 406 000 km), mění se i jeho úhlový průměr: od 0,49° do 0,55°. Slunce měří 0,52° až 0,54°. Je-li Měsíc blízko, zakryje Slunce celé a zatmění je úplné; je-li daleko, zůstane kolem něj svítící prstenec a zatmění je prstencové.total, annular eclipse

Úhlový průměr\[\theta = 2\arctan\frac{D}{2d} \approx \frac{D}{d}\ \text{rad},\qquad \theta_{\text{Měsíc, přízemí}} = 2\arctan\frac{3\,474{,}8}{2\cdot 363\,300} = 0{,}548^\circ.\]

Ve skutečnosti

Zatmění se opakují v cyklu saros, který trvá 6 585,32 dne (18 let, 10 nebo 11 dní a asi 8 hodin); po něm se Slunce, Měsíc a uzel vrátí do téměř stejné vzájemné polohy. Úplné zatmění Slunce je pro jedno místo vzácné: podle České astronomické společnosti bylo na našem území naposledy 12. 5. 1706 a příště bude 7. 10. 2135. Částečná zatmění jsou odsud vidět častěji. Zatmění Měsíce vidí celá noční polokoule najednou a pozorovat ho lze bez jakékoli ochrany.

Pozor

I při částečném zatmění, kdy je 90 % Slunce zakryto, je zbylý srpek dost jasný na to, aby poškodil sítnici. Bez certifikovaného filtru (ISO 12312-2) lze pouhým okem bezpečně hledět jen během úplné fáze úplného zatmění, která trvá nejvýš několik minut, a hned po jejím konci je nutné filtr vrátit.

2.6Procvičení

Jak dlouhý stín vrhá v poledne svislá tyč dlouhá 1 m v Praze při zimním a při letním slunovratu?

Délka stínu je \(1/\tan h\). V zimě \(h = 16{,}48^\circ\): stín \(1/\tan 16{,}48^\circ = 3{,}38\) m. V létě \(h = 63{,}36^\circ\): stín 0,50 m. O rovnodennostech (\(h = 39{,}92^\circ\)) 1,20 m.

Kde na Zemi je Slunce v poledne letního slunovratu přesně v zenitu?

Zenit znamená \(h = 90^\circ\): \(90-\varphi+23{,}44 = 90\), tedy \(\varphi = 23{,}44^\circ\) s. š. Je to obratník Raka. Při zimním slunovratu je Slunce v zenitu nad obratníkem Kozoroha (23,44° j. š.).

O kolik se v Praze liší délka nejdelšího a nejkratšího dne?

Podle vzorce s \(h_0 = -0{,}833^\circ\): 16 h 23 min při letním a 8 h 3 min při zimním slunovratu. Rozdíl je 8 h 20 min. Geometricky (bez lomu světla) by to bylo 16 h 10 min a 7 h 50 min.

Kolik procent viditelného kotouče Měsíce je osvětleno tři dny po novu a kolik deset dní po novu?

\(E = 360^\circ\cdot 3/29{,}53 = 36{,}6^\circ\), \(k = (1-\cos 36{,}6^\circ)/2 = 0{,}098\), tedy asi 10 % (úzký srpek). Deset dní po novu: \(E = 121{,}9^\circ\), \(k = 0{,}76\), tedy 76 % (dorůstající Měsíc mezi první čtvrtí a úplňkem).

Měsíc je v odzemí (406 000 km, úhlový průměr 0,49°) a Země v přísluní (úhlový průměr Slunce 0,54°). Jaké zatmění může nastat?

Měsíc je na obloze menší než Slunce (0,49° < 0,54°), takže ho nezakryje celé: v ose zatmění bude prstencové zatmění. Podíl zakryté plochy disku v maximu je nejvýš \((0{,}49/0{,}54)^2 = 0{,}82\), tedy asi 82 %.

Proč vidíme zatmění Měsíce z celé noční polokoule najednou, ale úplné zatmění Slunce jen z úzkého pásu?

Při zatmění Měsíce je Měsíc skutečně ve stínu Země a jeho zatemnění vidí každý, kdo ho má nad obzorem. Při zatmění Slunce dopadá na Zemi stín Měsíce, jehož plný kužel na zemském povrchu měří nejvýš asi 270 km; mimo něj je zatmění jen částečné nebo žádné.

Co si odnést

Roční období způsobuje sklon zemské osy (23,44°), ne vzdálenost od Slunce.
Výška Slunce v poledne je \(90^\circ-\varphi+\delta_\odot\); deklinace Slunce kolísá mezi ±23,44°.
Fáze Měsíce určuje úhel Slunce–Země–Měsíc; cyklus fází trvá 29,53 dne.
Zatmění vyžaduje nov nebo úplněk blízko uzlu dráhy Měsíce. Do Slunce se díváme jen přes certifikovaný filtr.

Část IObloha a Sluneční soustava

Sluneční soustavazáklady

Sluneční soustava je hlavně prázdno. Kdyby Slunce byla koule o průměru 30 cm, Země by byla necelé 3 mm velké zrnko pepře 32 m daleko a Neptun lískový oříšek skoro kilometr daleko. Nejbližší hvězda by ležela 8 700 km daleko, zhruba jako Japonsko od Prahy. Kapitola ukazuje, co v tom prázdnu obíhá a jak velké ty vzdálenosti doopravdy jsou.

⚽

Obrázky v učebnicích kreslí planety jako korále na šňůrce, těsně u sebe a stejně velké. Kdyby je kreslily ve správném měřítku, na stránku by se vešlo Slunce a nejvýš Merkur. Zbytek by byl na jiných stránkách a planety by se ztratily jako tečky.

Sluneční soustava v měřítku

Zvolte, jak velké bude Slunce ve vašem modelu, a laboratoř dopočítá velikosti planet a jejich vzdálenosti. Graf ukazuje planety na přímce ve stejném měřítku jako vzdálenosti. Světelný čas je skutečný: tak dlouho letí světlo ze Slunce k planetě.

LABORATOŘ

Průměr Slunce v modelu

Model: střední vzdálenosti od Slunce a rovníkové průměry podle přehledu NASA (Planetary Fact Sheet), průměr Slunce 1 391 400 km (dvojnásobek nominálního poloměru IAU). Planety ve skutečnosti nejsou nikdy všechny v jedné řadě.

Výlet po planetách

Vyberte planetu. Kolik byste tam „vážili“ na osobní váze, jak dlouhý je tam den a rok a kolik by vám bylo let?

LABORATOŘ

Vaše hmotnost Váš věk

Model: tíhové zrychlení, délka slunečního dne, oběžná doba a průměrná teplota podle přehledu NASA. U obřích planet se tíhové zrychlení udává ve výšce, kde je tlak 1 bar; pevný povrch tam není. Hmotnost se nemění, mění se tíha: váha ukáže hmotnost, jakou by měla stejná tíha na Zemi.

Minihra: co je to za těleso?

Zařaďte tělesa podle definic IAU: planeta, trpasličí planeta, měsíc, nebo malé těleso Sluneční soustavy.

MINIHRA

0 / 8

+Teorie: stavba Sluneční soustavy, vzdálenosti, definice planety, malá tělesa

3.1Co tvoří Sluneční soustavu

Ve středu je Slunce, které obsahuje asi 99,87 % hmotnosti celé soustavy. Kolem něj obíhá osm planet, stovky měsíců, trpasličí planety, planetky, komety a meziplanetární prach. Všechny planety obíhají stejným směrem a téměř v jedné rovině, což je stopa po vzniku z rotujícího disku plynu a prachu.Solar System

Terestrické (kamenné) planety Merkur, Venuše, Země a Mars jsou malé, husté, s pevným povrchem a jen málo měsíci.terrestrial planets
Obří planety jsou velké a řídké. Jupiter a Saturn (plynní obři) jsou převážně z vodíku a helia; Uran a Neptun (ledoví obři) obsahují víc vody, metanu a čpavku. Jupiter sám má 71 % hmotnosti všech planet.gas giants, ice giants
Malá tělesa: planetky (hlavně mezi Marsem a Jupiterem), tělesa Kuiperova pásu za Neptunem a komety přilétající z vnějších částí soustavy.

Obr. 3.1 Slunce a planety ve stejném měřítku průměrů (vzdálenosti ve skutečnosti mnohem větší). Do Slunce by se vešlo přes milion Zemí; Jupiter má jedenáctkrát větší průměr než Země.

3.2Jak měřit vzdálenosti ve vesmíru

Kilometry jsou pro Sluneční soustavu nepraktické. Astronomická jednotka (au) je přibližně střední vzdálenost Země od Slunce; od roku 2012 je podle rezoluce IAU definována přesně jako 149 597 870 700 m. Pro větší vzdálenosti se používá světelný rok (ly), vzdálenost, kterou světlo urazí za juliánský rok (365,25 dne), a parsek (pc), který vychází z měření paralaxy (kapitola 6).astronomical unit (au), light-year, parsec

Jednotky vzdálenosti\[1\ \text{au} = 149\,597\,870\,700\ \text{m},\quad 1\ \text{ly} = 9{,}4607\cdot 10^{15}\ \text{m} = 63\,241\ \text{au},\quad 1\ \text{pc} = 3{,}0857\cdot 10^{16}\ \text{m} = 3{,}2616\ \text{ly} = 206\,265\ \text{au}.\]

Rychlost světla ve vakuu je přesně \(c = 299\,792\,458\) m/s. Čas, za který světlo urazí danou vzdálenost, je užitečná „měrka“: ze Slunce k Zemi letí světlo \(t = d/c = 149\,597\,870\,700/299\,792\,458 = 499{,}0\) s, tedy 8 min 19 s. Slunce, které vidíme, je obraz starý osm minut.

Obr. 3.2 Sluneční soustava na logaritmické ose: každý dílek je desetkrát dál než předchozí. Planety leží do 30 au, Kuiperův pás asi 30–50 au, Oortův oblak kometárních jader se předpokládá zhruba ve vzdálenosti 2 000–100 000 au. Nejbližší hvězda je 268 600 au daleko.

3.3Planety v číslech

**Tab. 3.1**Základní údaje o planetách (NASA Planetary Fact Sheet; počty měsíců podle NASA, stav k září 2026)
Planeta	Vzdálenost (au)	Průměr (km)	Oběžná doba	Hustota (kg/m³)	Měsíce
Merkur	0,387	4 879	88,0 dne	5 429	0
Venuše	0,723	12 104	224,7 dne	5 243	0
Země	1,000	12 756	365,2 dne	5 514	1
Mars	1,524	6 792	1,88 roku	3 934	2
Jupiter	5,20	142 984	11,86 roku	1 326	115
Saturn	9,57	120 536	29,4 roku	687	293
Uran	19,2	51 118	83,7 roku	1 270	29
Neptun	30,2	49 528	163,7 roku	1 638	16

Vzdálenost je střední vzdálenost od Slunce přepočtená z údaje v milionech km. Počty měsíců obřích planet rostou s každou přehlídkou slabých objektů; většina nově objevených měří jen pár kilometrů. Zdroj a datum jsou v příloze C.

Pomůcka

Pořadí planet: „Můj Velmi Zvídavý Medvídek Jí Sladké Ulepené Nudle“ – Merkur, Venuše, Země, Mars, Jupiter, Saturn, Uran, Neptun.

3.4Co je planeta

Po objevu Eris (2005), která je hmotnější než Pluto, musela astronomie rozhodnout, co planeta vlastně je. Valné shromáždění IAU v Praze přijalo 24. 8. 2006 definici (rezoluce B5). Planeta je těleso, které

obíhá kolem Slunce,
má dostatečnou hmotnost, aby ho vlastní gravitace stáhla do přibližně kulového tvaru (hydrostatické rovnováhy),
vyčistilo okolí své dráhy od jiných těles.

Trpasličí planeta splňuje body 1 a 2, ale ne bod 3, a není měsícem. IAU jich zatím uznává pět: Ceres v hlavním pásu planetek, Pluto, Eris, Haumea a Makemake za Neptunem. Ostatní tělesa obíhající Slunce (kromě měsíců) jsou malá tělesa Sluneční soustavy.planet, dwarf planet, small Solar System body

Ve skutečnosti

Pluto bylo „degradováno“ právě v Praze. Dráhu sdílí s tisíci dalších těles Kuiperova pásu a jeho hmotnost je jen asi 0,2 % hmotnosti Země. Rozhodnutí bylo sporné a část planetologů dodnes navrhuje geofyzikální definici, podle níž by planetou bylo každé dost velké kulaté těleso. Pro astronomii jako vědu je podstatné, že klasifikace je dohoda: Pluto se tím nezměnilo.

3.5Malá tělesa: planetky, komety, meteory

Planetky (asteroidy) jsou kamenná a kovová tělesa, většinou v hlavním pásu mezi Marsem a Jupiterem (asi 2,2–3,2 au). Přes milion jich má známé dráhy. Největší je Ceres (průměr asi 940 km), dnes trpasličí planeta.asteroid, main belt
Kuiperův pás za Neptunem (asi 30–50 au) obsahuje ledová tělesa, mezi nimi Pluto.Kuiper belt
Komety jsou jádra z ledu a prachu. Když se přiblíží ke Slunci, led sublimuje a vytvoří komu a ohon, který míří vždy od Slunce. Krátkoperiodické komety pocházejí hlavně z Kuiperova pásu, dlouhoperiodické z Oortova oblaku, který zatím nikdo přímo nepozoroval; jeho existenci prozrazují dráhy komet.comet, Oort cloud
Meteoroid je malé těleso v prostoru, meteor světelný jev při jeho průletu atmosférou a meteorit zbytek, který dopadne na zem. Když Země projde proudem prachu za kometou, vidíme meteorický roj: Perseidy (vrchol kolem 12.–13. 8.) pocházejí z komety 109P/Swift–Tuttle.meteoroid, meteor, meteorite, meteor shower

Příklad Halleyova kometa a třetí Keplerův zákon

Halleyova kometa má velkou poloosu dráhy \(a = 17{,}83\) au a výstřednost \(e = 0{,}967\). Podle třetího Keplerova zákona (kapitola 4) je její oběžná doba \(T = a^{3/2} = 17{,}83^{1{,}5} = 75{,}3\) roku. Ke Slunci se přiblíží na \(a(1-e) = 0{,}59\) au (blíž než Venuše) a vzdálí se na \(a(1+e) = 35{,}1\) au (za Neptun). Naposledy prošla přísluním v roce 1986, příště v roce 2061.

3.6Jak Sluneční soustava vznikla

Před asi 4,57 miliardy let se zhroutila část mezihvězdného oblaku plynu a prachu. Většina hmoty vytvořila Slunce, zbytek se roztočil do plochého protoplanetárního disku. Prachová zrna se slepovala do větších těles (planetesimál) a ta do zárodků planet. Blízko Slunce bylo teplo a pevné látky tvořily jen horniny a kovy, proto zde vznikly malé kamenné planety. Za sněžnou čárou (asi 3–5 au) zamrzala i voda, pevného materiálu bylo víc a zárodky obřích planet narostly natolik, že strhly okolní vodík a helium.protoplanetary disk, planetesimal, snow line

Stáří soustavy se měří radioaktivním datováním nejstarších zrn v meteoritech (podrobnosti o radioaktivním rozpadu v průvodci Jaderná fyzika). Podobné disky dnes astronomové přímo pozorují u mladých hvězd.

3.7Procvičení

Vzdálenost Marsu od Země se mění zhruba od 56 do 401 milionů km. Jak dlouho letí rádiový signál k vozítku na Marsu?

Rádiové vlny letí rychlostí světla. \(t = 56\cdot 10^{9}/299\,792\,458 = 187\) s, tedy 3,1 min; v největší vzdálenosti \(401\cdot 10^{9}/c = 1\,338\) s, tedy 22,3 min. Vozítko proto nejde řídit „joystickem“ v reálném čase; dostává příkazy předem a jede samo.

V modelu je Slunce koule o průměru 30 cm. Jak velká je Země a jak daleko od Slunce musí ležet? Kam by patřila Proxima Centauri (4,25 ly)?

Měřítko je \(0{,}30\ \text{m}/1\,391\,400\ \text{km}\). Země: \(12\,756\cdot 0{,}30/1\,391\,400 = 2{,}75\cdot 10^{-3}\) m, tedy 2,75 mm. Vzdálenost: \(149{,}6\cdot 10^{6}\cdot 0{,}30/1\,391\,400 = 32{,}3\) m. Proxima: \(4{,}25\) ly \(= 268\,600\) au, tedy \(268\,600\cdot 32{,}3\) m \(\approx 8\,700\) km.

Kolik byste „vážili“ na Marsu a na Jupiteru, je-li vaše hmotnost 70 kg? (Tíhové zrychlení: Země 9,8 m/s², Mars 3,7 m/s², Jupiter 23,1 m/s².)

Váha měří tíhu a ukazuje ji jako hmotnost v pozemském tíhovém poli: \(70\cdot 3{,}7/9{,}8 = 26{,}4\) kg na Marsu, \(70\cdot 23{,}1/9{,}8 = 165\) kg na Jupiteru (v hladině tlaku 1 bar). Hmotnost zůstává 70 kg.

Kolik marsovských a jupiterských let je dvacet pozemských let?

Marsovský rok trvá 687,0 dne: \(20\cdot 365{,}25/687{,}0 = 10{,}6\) roku. Jupiterův rok 4 331 dní: \(20\cdot 365{,}25/4\,331 = 1{,}69\) roku.

Které z kritérií IAU nesplňuje Pluto a které Měsíc?

Pluto obíhá Slunce a je kulaté, ale nevyčistilo okolí své dráhy (sdílí ji s tělesy Kuiperova pásu), proto je trpasličí planetou. Měsíc je kulatý, ale neobíhá primárně kolem Slunce, nýbrž kolem Země; je to měsíc (přirozená družice), ne planeta.

Co si odnést

Slunce má 99,87 % hmotnosti soustavy; čtyři kamenné planety jsou blízko, čtyři obří daleko.
1 au = 149 597 870 700 m; světlo ji urazí za 8 min 19 s. Nejbližší hvězda je 268 600 au daleko.
Planeta obíhá Slunce, je kulatá a vyčistila okolí dráhy. Pluto třetí podmínku nesplňuje.

Část IIFyzika vesmíru

Gravitace a oběžné dráhystřední škola

Družice nepadá na Zemi ne proto, že by na ni gravitace nepůsobila. Padá neustále, ale letí do strany tak rychle, že povrch Země pod ní stále uhýbá. Stejný zákon, kterým Newton vysvětlil pád jablka, popisuje dráhu Měsíce, planet i sond k Marsu. Keplerovy zákony jsou jeho důsledkem.

🍎

Hoďte kámen vodorovně: dopadne pár metrů daleko. Hoďte ho rychleji a dopadne dál. Newton si představil dělo na vysoké hoře: při rychlosti asi 8 km/s by koule padala stejně rychle, jako se pod ní zakřivuje povrch Země, a obletěla by ji dokola. To je oběžná dráha.

Newtonovo dělo

Družici vypustíte z dané výšky nad Zemí zvolenou rychlostí. Laboratoř spočítá dráhu a vyznačí polohy po stejných časových úsecích (dvanáctinách oběhu): kde jsou tečky hustě, letí družice pomalu. Vyzkoušejte rychlost pod kruhovou, přesně kruhovou, vyšší a nad únikovou.

LABORATOŘ

Výška startu nad povrchem Rychlost Úhel vůči vodorovné

Model: Země jako koule o poloměru 6 378 km bez atmosféry a bez vlivu Měsíce a Slunce, gravitační parametr \(GM_\oplus = 3{,}986\,004\cdot 10^{14}\) m³/s² (IAU). Dráha je spočítaná numericky (integrace pohybové rovnice), typ dráhy a výšky z energie a momentu hybnosti.

Minihra: trefte kruhovou dráhu

Raketa vás vynesla do zadané výšky a natočila vodorovně. Nastavte rychlost a zažehněte motor. Dráha se počítá jako kruhová, pokud má výstřednost menší než 0,01. Za tři trefy získáte odměnu. Nápověda je v teorii (oddíl 4.3).

MINIHRA

Rychlost po zážehu

trefy 0 / 3

+Teorie: Keplerovy zákony, gravitační zákon, kruhová a úniková rychlost, energie dráhy

4.1Keplerovy zákony

Johannes Kepler zpracoval dlouholetá přesná měření polohy Marsu, která pořídil Tycho Brahe (část z nich v Praze). Výsledkem byly tři zákony; první dva publikoval v knize Astronomia nova (1609), třetí v Harmonices mundi (1619).Kepler’s laws

Planety obíhají po elipsách, v jejichž společném ohnisku je Slunce. Elipsu popisuje velká poloosa \(a\) a výstřednost (excentricita) \(e\); nejbližší bod dráhy je přísluní ve vzdálenosti \(a(1-e)\), nejvzdálenější odsluní \(a(1+e)\).ellipse, semi-major axis, eccentricity
Plochy opsané průvodičem (spojnicí planety se Sluncem) za stejný čas jsou stejné. Planeta je tedy nejrychlejší v přísluní a nejpomalejší v odsluní.
Druhé mocniny oběžných dob jsou úměrné třetím mocninám velkých poloos: \(T^2/a^3\) je pro všechny planety stejné. V jednotkách roku a au platí jednoduše \(T^2 = a^3\).

Obr. 4.1 Dráha s výstředností 0,6 (pro názornost; dráha Země má 0,017). Obě vybarvené výseče opíše průvodič za stejný čas, a proto mají stejnou plochu: u přísluní je výseč krátká a široká, u odsluní dlouhá a úzká. Výseče jsou spočítané z Keplerovy rovnice.

Příklad Rok na Marsu z třetího zákona

Mars má velkou poloosu \(a = 1{,}5237\) au. Pak \(T = a^{3/2} = 1{,}5237^{1{,}5} = 1{,}881\) roku \(= 687{,}0\) dne, přesně jak se pozoruje. Planeta čtyřikrát dál od Slunce by obíhala \(4^{1{,}5} = 8\)× déle.

4.2Newtonův gravitační zákon

Isaac Newton v díle Principia (1687) ukázal, že Keplerovy zákony plynou z jediného zákona: každá dvě tělesa se přitahují silou úměrnou součinu jejich hmotností a nepřímo úměrnou druhé mocnině vzdálenosti.Newton’s law of universal gravitation

Gravitační zákon\[F = G\,\frac{M m}{r^{2}},\qquad G = 6{,}674\,30\cdot 10^{-11}\ \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}\ (\text{CODATA 2022}).\]

Gravitační zrychlení ve vzdálenosti \(r\) od středu tělesa je \(g = GM/r^2\); na povrchu Země \(g = 3{,}986\cdot 10^{14}/(6{,}378\cdot 10^{6})^2 = 9{,}80\) m/s². Konstantu \(G\) poprvé změřil Henry Cavendish (1798) torzními vahami; tím „zvážil Zemi“. V astronomii se ale přesněji než \(G\) a \(M\) zvlášť zná jejich součin, gravitační parametr \(GM\), protože ho lze změřit z drah družic a planet.standard gravitational parameter

Ve skutečnosti

Newton svou teorii ověřil na Měsíci. Měsíc je asi 60,3krát dál od středu Země než povrch, takže by měl padat se zrychlením \(9{,}81/60{,}3^2 = 0{,}0027\) m/s². Z oběžné doby 27,32 dne a vzdálenosti 384 400 km vychází dostředivé zrychlení Měsíce \(4\pi^2 r/T^2 = 0{,}0027\) m/s². Jablko a Měsíc padají podle stejného zákona.

Třetí Keplerův zákon podle Newtona

Pro kruhovou dráhu stačí položit gravitační sílu rovnou dostředivé: \(GMm/r^2 = m\,(2\pi/T)^2 r\). Pro elipsu platí totéž s velkou poloosou místo poloměru:

Třetí Keplerův zákon\[T^{2} = \frac{4\pi^{2}}{G\,(M+m)}\,a^{3}\]

Ze vzorce lze zvážit centrální těleso: stačí změřit oběžnou dobu a velkou poloosu libovolného tělesa kolem něj. Tak se určují hmotnosti Slunce, planet s měsíci, dvojhvězd, galaxií i černé díry v centru Mléčné dráhy.

Příklad Hmotnost Slunce z oběhu Země

\(a = 1{,}496\cdot 10^{11}\) m, \(T = 365{,}256\) dne \(= 3{,}156\cdot 10^{7}\) s, hmotnost Země zanedbáme:

\[M_\odot = \frac{4\pi^{2} a^{3}}{G\,T^{2}} = \frac{4\pi^2\,(1{,}496\cdot 10^{11})^3}{6{,}674\cdot 10^{-11}\,(3{,}156\cdot 10^{7})^2} = 1{,}989\cdot 10^{30}\ \text{kg}.\]

4.3Kruhová a úniková rychlost

Těleso obíhá po kruhové dráze o poloměru \(r\), jestliže gravitační zrychlení přesně stačí na dostředivé: \(GM/r^2 = v^2/r\). Aby těleso uniklo z gravitačního pole úplně (do nekonečna s nulovou rychlostí), musí mít kinetickou energii rovnou práci potřebné k překonání gravitace: \(\tfrac12 v^2 = GM/r\).circular velocity, escape velocity

Kruhová a úniková rychlost\[v_{\text{kruh}} = \sqrt{\frac{GM}{r}},\qquad v_{\text{únik}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{2}\,v_{\text{kruh}}.\]

**Tab. 4.1**Dráhy kolem Země (výška nad povrchem, \(R_\oplus = 6\,378\) km)
Dráha	Výška	Kruhová rychlost	Oběžná doba	Úniková rychlost
u povrchu (teoreticky)	0 km	7,91 km/s	84 min	11,18 km/s
Mezinárodní kosmická stanice	400 km	7,67 km/s	92,6 min	10,85 km/s
navigační družice (GNSS)	20 200 km	3,87 km/s	11,98 h	5,48 km/s
geostacionární dráha	35 786 km	3,07 km/s	23,93 h	4,35 km/s

Geostacionární družice obíhá nad rovníkem s periodou jednoho hvězdného dne (23 h 56 min 4 s), a proto visí stále nad stejným místem. Z třetího Keplerova zákona plyne poloměr její dráhy \(r = \big(GM_\oplus T^2/4\pi^2\big)^{1/3} = 42\,164\) km, tedy výška 35 786 km. Navigační družice obíhají dvakrát za hvězdný den.geostationary orbit

Pozor

Astronauti na oběžné dráze nejsou „mimo gravitaci“. Ve výšce 400 km je gravitační zrychlení 8,68 m/s², tedy 88 % povrchové hodnoty. Beztíže vzniká proto, že stanice i astronauti spolu volně padají kolem Země; nic je nepodpírá, a tak necítí tíhu.

Pomůcka

Kruhová rychlost klesá s odmocninou vzdálenosti: čtyřikrát dál znamená poloviční rychlost. Únik vyžaduje vždy \(\sqrt2 \approx 1{,}41\)násobek kruhové rychlosti v daném místě.

4.4Energie a tvar dráhy

Celková mechanická energie obíhajícího tělesa na jednotku hmotnosti (specifická orbitální energie) je součtem kinetické a potenciální energie a během pohybu se nemění. Pro eliptickou dráhu závisí jen na velké poloose:specific orbital energy, vis-viva equation

Energie dráhy a rovnice vis-viva\[\varepsilon = \frac{v^{2}}{2}-\frac{GM}{r} = -\frac{GM}{2a},\qquad v^{2} = GM\Big(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\Big).\]

\(\varepsilon \lt 0\): elipsa (kružnice je speciální případ s \(e = 0\)). Těleso zůstane vázané.
\(\varepsilon = 0\): parabola, těleso má právě únikovou rychlost.
\(\varepsilon \gt 0\): hyperbola, těleso unikne a v nekonečnu mu zbude rychlost \(v_\infty = \sqrt{2\varepsilon}\).

Všechny tři křivky jsou kuželosečky; Newton dokázal, že jiné dráhy dvě tělesa v gravitačním poli mít nemohou. Druhý Keplerův zákon je zákonem zachování momentu hybnosti \(L = m\,r\,v_\perp\): blíž ke Slunci musí být planeta rychlejší. Poměr rychlostí v přísluní a odsluní je \(v_p/v_a = (1+e)/(1-e)\).conic section, conservation of angular momentum

Příklad Družice vypuštěná rychleji než kruhově

Ve výšce 400 km (\(r = 6\,778\) km) dostane družice vodorovně rychlost 8,00 km/s místo kruhových 7,67 km/s. Energie: \(\varepsilon = 8\,000^2/2-3{,}986\cdot 10^{14}/6{,}778\cdot 10^{6} = -2{,}681\cdot 10^{7}\) J/kg. Velká poloosa \(a = -GM/(2\varepsilon) = 7\,435\) km, výstřednost \(e = 1-r/a = 0{,}088\).

Odzemí je ve vzdálenosti \(a(1+e) = 8\,091\) km od středu, tedy 1 713 km nad povrchem; oběžná doba \(2\pi\sqrt{a^3/GM} = 106{,}3\) min. Rychlost v odzemí podle vis-viva 6,70 km/s.

4.5Cesty k planetám a slapy

Sonda k Marsu nemíří přímo na planetu. Nejúspornější cesta mezi dvěma kruhovými drahami je Hohmannova přechodová dráha: polovina elipsy, která se dotýká dráhy Země v přísluní a dráhy Marsu v odsluní. Velká poloosa je průměrem obou poloměrů, \(a = (1+1{,}524)/2 = 1{,}262\) au, a let trvá polovinu oběžné doby: \(\tfrac12\cdot 1{,}262^{1{,}5}\) roku \(= 259\) dní. Proto se k Marsu startuje jen v „oknech“ zhruba každých 26 měsíců, kdy jsou planety ve vhodné vzájemné poloze. Sondy k vnějším planetám šetří palivo gravitačním prakem: při průletu kolem planety získají rychlost na úkor nepatrné části jejího pohybu.Hohmann transfer orbit, gravity assist

Slapové síly vznikají tím, že gravitace slábne se vzdáleností: Měsíc přitahuje přivrácenou stranu Země silněji než střed a střed silněji než odvrácenou stranu. Oceány se proto vzdouvají na dvou protilehlých stranách a Země se pod nimi otáčí, takže příliv přichází zhruba dvakrát denně. Slapové zrychlení klesá s třetí mocninou vzdálenosti, \(\Delta g \approx 2GM\,d/r^3\); Slunce je sice 27milionkrát hmotnější než Měsíc, ale 389krát dál, a jeho slapový účinek je proto jen asi poloviční (poměr Měsíc : Slunce \(= 2{,}2\)).tidal force

Obr. 4.2 Newtonovo dělo, spočítané numericky. Z vrcholu (pro názornost) obrovské hory jsou vystřeleny koule rychlostmi 0,48; 0,75; 1,00; 1,09 a 1,55násobku kruhové rychlosti. Úniková rychlost je 1,41násobek kruhové.

4.6Procvičení

Jupiter má velkou poloosu 5,204 au. Jaká je jeho oběžná doba? A jaká by byla u planetky s velkou poloosou 2,768 au (Ceres)?

\(T = a^{3/2}\): \(5{,}204^{1{,}5} = 11{,}87\) roku (skutečně 11,86). Ceres: \(2{,}768^{1{,}5} = 4{,}61\) roku.

Odvoďte výšku geostacionární dráhy. \(GM_\oplus = 3{,}986\cdot 10^{14}\) m³/s², hvězdný den 86 164 s, \(R_\oplus = 6\,378\) km.

\(r = \big(GM\,T^2/4\pi^2\big)^{1/3} = \big(3{,}986\cdot 10^{14}\cdot 86\,164^2/39{,}48\big)^{1/3} = 4{,}2164\cdot 10^{7}\) m \(= 42\,164\) km. Výška \(42\,164-6\,378 = 35\,786\) km, rychlost \(2\pi r/T = 3{,}07\) km/s.

Jaká je úniková rychlost z povrchu Měsíce (\(GM = 4{,}905\cdot 10^{12}\) m³/s², \(R = 1\,737\) km) a z Marsu (\(GM = 4{,}283\cdot 10^{13}\) m³/s², \(R = 3\,390\) km)?

Měsíc: \(\sqrt{2\cdot 4{,}905\cdot 10^{12}/1{,}737\cdot 10^{6}} = 2\,376\) m/s \(\approx 2{,}38\) km/s. Mars: \(\sqrt{2\cdot 4{,}283\cdot 10^{13}/3{,}390\cdot 10^{6}} = 5{,}03\) km/s. Proto se z Měsíce startuje mnohem snáz než ze Země (11,18 km/s).

Měsíc Io obíhá Jupiter po téměř kruhové dráze o poloměru 421 700 km za 1,769 dne. Jaká je hmotnost Jupiteru?

\(M = 4\pi^2 a^3/(G\,T^2) = 4\pi^2(4{,}217\cdot 10^{8})^3/\big(6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot(1{,}5285\cdot 10^{5})^2\big) = 1{,}90\cdot 10^{27}\) kg, tedy asi 318 hmotností Země.

Jak dlouho trvá let po Hohmannově dráze ze Země k Marsu (\(a_{\text{Mars}} = 1{,}524\) au) a jaké změny rychlosti jsou potřeba vůči Slunci? (\(GM_\odot = 1{,}327\cdot 10^{20}\) m³/s²)

\(a_t = 1{,}262\) au, doba letu \(\pi\sqrt{a_t^3/GM_\odot} = 259\) dní. Rychlost Země 29,78 km/s, v přísluní přechodové dráhy podle vis-viva 32,73 km/s: první zážeh +2,94 km/s. V odsluní je rychlost 21,48 km/s, Mars obíhá rychlostí 24,13 km/s: druhý zážeh +2,65 km/s. (Ke startu ze Země a navedení na oběžnou dráhu Marsu se přidávají další manévry.)

Družice je ve výšce 400 km na kruhové dráze. Kolik procent rychlosti musí přidat, aby unikla ze Země?

Úniková rychlost je \(\sqrt2\)násobkem kruhové, tedy o 41,4 % vyšší: z 7,67 km/s na 10,85 km/s, přírůstek 3,18 km/s. Směr nehraje roli (nesmí jen mířit do Země).

Co si odnést

Planety obíhají po elipsách, v přísluní rychleji; \(T^2 = a^3\) (roky, au).
Newtonův zákon \(F = GMm/r^2\) vysvětluje Keplerovy zákony i hmotnosti nebeských těles.
Kruhová rychlost \(\sqrt{GM/r}\), úniková \(\sqrt{2GM/r}\); u Země 7,9 a 11,2 km/s.
Oběžná dráha je volný pád, který „mine“ Zemi. Tvar dráhy určuje energie: elipsa, parabola, hyperbola.

Část IIFyzika vesmíru

Světlo a dalekohledystřední škola

Ke hvězdám se nedostaneme, ale jejich světlo k nám přichází. Je to jediný posel a nese překvapivě mnoho zpráv: rozložené do spektra prozradí teplotu, chemické složení i rychlost, kterou se hvězda nebo galaxie přibližuje či vzdaluje. Dalekohled je především sběrač tohoto světla.

🚑

Když kolem vás projíždí sanitka, siréna zní vyšším tónem, dokud se blíží, a nižším, když se vzdaluje. Se světlem je to stejné: světlo zdroje, který se k nám blíží, je posunuté k modrému konci spektra, světlo vzdalujícího se zdroje k červenému. Podle velikosti posunu se měří rychlost.

Spektrum a Dopplerův jev

Nahoře spektrální čáry zvoleného prvku tak, jak je změříme v laboratoři. Dole stejné čáry ve světle zdroje, který se vůči nám pohybuje. Kladná rychlost znamená vzdalování (posun k červené), záporná přibližování (posun k modré).

LABORATOŘ

Radiální rychlost zdroje

Model: vlnové délky čar ve vzduchu (nm), relativistický Dopplerův vzorec pro pohyb ve směru pohledu. Barvy spektra jsou přibližné. U vzdálených galaxií nejde o pohyb prostorem, ale o rozpínání prostoru (kapitola 10); odhad vzdálenosti \(d = v/H_0\) s \(H_0 = 70\) km/s/Mpc platí jen pro malé rychlosti.

Jak ostře a jak hluboko dalekohled vidí

Rozlišovací schopnost je nejmenší úhel mezi dvěma body, které dalekohled ještě rozliší. Závisí na průměru objektivu a na vlnové délce. Sběrná plocha určuje, kolik světla dalekohled zachytí ve srovnání s okem.

LABORATOŘ

Průměr objektivu

Model: difrakční mez \(\theta = 1{,}22\,\lambda/D\), oko s pupilou 7 mm. Pozemní optické dalekohledy jsou bez adaptivní optiky omezeny neklidem atmosféry (seeing) na zhruba 1″. Průměry nad 10 km odpovídají interferometrům, které spojují vzdálené antény (až velikost Země).

Minihra: projde atmosférou?

Rozhodněte, zda záření dané vlnové délky dopadne až na zemský povrch, nebo je nutné pozorovat z kosmu (či z velké výšky).

MINIHRA

0 / 7

+Teorie: spektrum, spektrální čáry, Dopplerův jev, dalekohledy a atmosférická okna

5.1Elektromagnetické spektrum

Světlo je elektromagnetické vlnění. Všechny jeho druhy se ve vakuu šíří stejnou rychlostí \(c\) a liší se vlnovou délkou \(\lambda\) a frekvencí \(f\). Zároveň se světlo chová jako proud částic, fotonů, s energií úměrnou frekvenci. Lidské oko vidí jen úzký pruh vlnových délek od asi 380 do 750 nm.electromagnetic spectrum, photon

Vlna a foton\[c = \lambda f,\qquad E = h f = \frac{h c}{\lambda},\qquad h = 6{,}626\,070\,15\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}.\]

Foton zeleného světla (550 nm) má energii \(hc/\lambda = 3{,}61\cdot 10^{-19}\) J \(= 2{,}25\) eV. Rentgenový foton má tisíckrát víc, rádiový foton miliardkrát méně.

**Tab. 5.1**Oblasti spektra a co v nich astronomové pozorují
Oblast	Vlnová délka	Typické zdroje	Projde atmosférou?
záření gama	pod 0,01 nm	výbuchy, okolí černých děr, jaderné procesy	ne
rentgenové	0,01–10 nm	plyn o milionech kelvinů, akreční disky	ne
ultrafialové	10–380 nm	horké hvězdy	jen nad asi 300 nm
viditelné	380–750 nm	hvězdy, galaxie	ano
infračervené	750 nm – 1 mm	chladné hvězdy, prach, vzdálené galaxie	jen v úzkých oknech
rádiové	nad 1 mm	chladný plyn (čára 21 cm), pulzary, reliktní záření	asi od 1 cm do 10 m

Obr. 5.1 Schéma pohltivosti zemské atmosféry (šedě): vysoko znamená, že záření k povrchu nedojde. Volná jsou jen optické okno, několik úzkých infračervených oken a rádiové okno. Gama, rentgenové, většinu ultrafialového a dalekého infračerveného záření je nutné pozorovat z kosmu.

5.2Spektrální čáry: otisky prstů prvků

Rozložíme-li světlo hranolem nebo mřížkou, dostaneme spektrum. Gustav Kirchhoff a Robert Bunsen kolem roku 1860 popsali tři základní typy (Kirchhoffovy zákony):spectrum, Kirchhoff’s laws

Horké husté těleso (nebo hustý plyn) září spojitým spektrem.
Řídký horký plyn září jen na určitých vlnových délkách: emisní čáry.
Chladnější řídký plyn před zdrojem spojitého spektra pohltí právě tytéž vlnové délky: absorpční čáry.

Obr. 5.2 Kirchhoffovy zákony. Pohled přímo na horké těleso dává spojité spektrum, pohled přes chladnější plyn absorpční čáry, pohled na samotný zářící plyn emisní čáry na stejných vlnových délkách. Spektrum hvězdy je absorpční: chladnější atmosféra hvězdy leží před horkým nitrem.

Čáry vznikají, když elektron v atomu přeskočí mezi dvěma energetickými hladinami a vyzáří nebo pohltí foton s energií rovnou rozdílu hladin. Každý prvek má jiné hladiny, a tedy jiný soubor čar. U vodíku jsou hladiny \(E_n = -13{,}6\ \text{eV}/n^2\) a vlnové délky čar udává Rydbergův vzorec; přechody na druhou hladinu tvoří viditelnou Balmerovu sérii. Podrobněji stavbu atomu vykládají průvodci Fyzika a Chemie.energy level, Rydberg formula, Balmer series

Rydbergův vzorec pro vodík\[\frac{1}{\lambda} = R_{\mathrm H}\Big(\frac{1}{n_1^{2}}-\frac{1}{n_2^{2}}\Big),\qquad R_{\mathrm H} = 1{,}0968\cdot 10^{7}\ \text{m}^{-1}.\]

Příklad Čára H-alfa

Přechod \(n = 3 \to 2\): \(1/\lambda = 1{,}0968\cdot 10^{7}\,(1/4-1/9) = 1{,}5233\cdot 10^{6}\) m⁻¹, \(\lambda = 656{,}5\) nm (ve vakuu; ve vzduchu 656,3 nm). Je to červená čára, která dává mlhovinám s ionizovaným vodíkem jejich typickou růžovou barvu. Přechody \(4\to 2\), \(5\to 2\), \(6\to 2\) dávají 486,3 nm, 434,2 nm a 410,3 nm.

Ve skutečnosti

Joseph Fraunhofer zmapoval roku 1814 stovky tmavých čar ve spektru Slunce, aniž by věděl, co znamenají. Po Kirchhoffovi a Bunsenovi bylo jasné, že prozrazují složení sluneční atmosféry. Helium bylo dokonce objeveno nejprve ve spektru Slunce (1868), a teprve o čtvrt století později na Zemi; odtud jméno podle řeckého hélios.

5.3Dopplerův jev a rudý posuv

Pohybuje-li se zdroj vůči pozorovateli ve směru pohledu rychlostí \(v_r\) (radiální rychlost), mění se pozorovaná vlnová délka. Relativní posun se značí \(z\); kladné \(z\) je rudý posuv (vzdalování), záporné modrý posuv (přibližování).Doppler effect, redshift, blueshift, radial velocity

Dopplerův jev pro světlo\[z = \frac{\lambda_{\text{poz}}-\lambda_0}{\lambda_0} \approx \frac{v_r}{c}\ \ (v_r \ll c),\qquad 1+z = \sqrt{\frac{1+v_r/c}{1-v_r/c}}\ \ (\text{relativisticky}).\]

Příklad Hvězda se vzdaluje rychlostí 300 km/s

\(\Delta\lambda = \lambda_0\,v_r/c = 656{,}28\cdot 300/299\,792 = 0{,}66\) nm. Čára H-alfa se posune z 656,28 nm na 656,94 nm. Takový posun dnešní spektrografy měří s přesností lepší než tisícina nanometru; nejlepší z nich rozliší změnu rychlosti hvězdy o méně než 1 m/s (kapitola 9). Galaxie v Andromedě se k nám přibližuje rychlostí asi 300 km/s, její čáry jsou posunuté k modré.

Pozor

Dopplerův jev měří jen složku rychlosti ve směru pohledu. Pohyb napříč oblohou (vlastní pohyb) posun čar nezpůsobí a měří se ze změny polohy hvězdy během let. A rudý posuv vzdálených galaxií není v pravém smyslu Dopplerův jev: vzniká natahováním vlnové délky při rozpínání prostoru (kapitola 10).

5.4Dalekohledy

Dalekohled má dva úkoly: sebrat co nejvíc světla a rozlišit jemné detaily. Obojí roste s průměrem objektivu \(D\). Refraktor sbírá světlo čočkou, reflektor dutým zrcadlem. Velké čočky se prohýbají vlastní vahou a mají barevnou vadu, proto jsou všechny velké dalekohledy zrcadlové; největší optické mají zrcadla složená ze segmentů o průměru přes 10 m.refractor, reflector, aperture

Obr. 5.3 Čočkový a zrcadlový dalekohled. Objektiv soustředí rovnoběžné paprsky z hvězdy do ohniska, okulár vytvořený obraz zvětší. V Newtonově soustavě odkloní malé rovinné zrcátko světlo ze zrcadla do okuláru na boku tubusu.

Sběrná plocha, zvětšení, rozlišení\[\frac{\text{světlo}_1}{\text{světlo}_2} = \Big(\frac{D_1}{D_2}\Big)^{2},\qquad Z = \frac{f_{\text{obj}}}{f_{\text{ok}}},\qquad \theta_{\min} = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}\ \ (\text{rad}).\]

Zvětšení \(Z\) je nejméně důležitý parametr: objektiv s ohniskovou vzdáleností 1 000 mm a okulár 25 mm dávají 40×, ale přílišné zvětšení jen zvětší rozmazání. Rozhodující je difrakční mez \(\theta_{\min}\), vyplývající z vlnové povahy světla (Rayleighovo kritérium). 1 rad = 206 265″ (úhlových vteřin).magnification, diffraction limit, Rayleigh criterion

Příklad Deseticentimetrový dalekohled a Měsíc

\(\theta = 1{,}22\cdot 550\cdot 10^{-9}/0{,}10 = 6{,}71\cdot 10^{-6}\) rad \(= 1{,}38''\). Na Měsíci (384 400 km) to odpovídá \(384\,400\cdot 6{,}71\cdot 10^{-6} = 2{,}6\) km. Sběrná plocha je \((100/7)^2 = 204\)× větší než u oka, takže dalekohled ukáže hvězdy o \(5\log_{10}(100/7) = 5{,}8\) magnitudy slabší.

Pozemní dalekohledy omezuje neklid vzduchu, seeing: obraz hvězdy se rozmaže do kotoučku kolem 1″, což odpovídá difrakční mezi dalekohledu o průměru jen 14 cm. Obří dalekohledy proto používají adaptivní optiku, která tvar zrcadla stovkykrát za sekundu deformuje podle měření neklidu atmosféry. Interferometrie spojuje signály vzdálených dalekohledů; rozlišení pak odpovídá jejich vzdálenosti. Síť radioteleskopů po celé Zemi (Event Horizon Telescope) tak na vlnové délce 1,3 mm dosahuje rozlišení kolem 25 mikrovteřin a zobrazila okolí černých děr (kapitola 11).seeing, adaptive optics, interferometry

5.5Kosmické dalekohledy

Nad atmosférou odpadá seeing i pohlcování a otevírá se celé spektrum. Kosmické observatoře národních a mezinárodních kosmických agentur pozorují v oborech, které na zem nedopadají: rentgenové observatoře (například Chandra, od 1999) studují horký plyn a okolí černých děr, Hubbleův kosmický dalekohled (od 1990, zrcadlo 2,4 m) ultrafialové, viditelné a blízké infračervené světlo, Webbův kosmický dalekohled (start 2021, zrcadlo 6,5 m) infračervené světlo z bodu L2 1,5 milionu km od Země. Družice Gaia (2013–2025) změřila polohy, paralaxy a pohyby téměř dvou miliard hvězd.space telescope

Pomůcka

Proč do kosmu: (1) atmosféra něco pohlcuje (gama, rentgen, UV, daleké IR), (2) rozmazává obraz (seeing), (3) sama září a ruší infračervená pozorování. Proč na Zemi: velké dalekohledy jsou tam mnohem levnější a dají se opravovat a vylepšovat.

5.6Procvičení

Rádiová čára neutrálního vodíku má vlnovou délku 21,1 cm. Jaká je její frekvence a energie fotonu?

\(f = c/\lambda = 299\,792\,458/0{,}211 = 1{,}42\cdot 10^{9}\) Hz \(= 1\,420\) MHz. \(E = hf = 6{,}626\cdot 10^{-34}\cdot 1{,}42\cdot 10^{9} = 9{,}4\cdot 10^{-25}\) J \(= 5{,}9\cdot 10^{-6}\) eV, asi 380 000× méně než foton zeleného světla.

Sodíková čára 589,0 nm je ve spektru galaxie naměřena na 594,9 nm. Jakou radiální rychlostí se galaxie vzdaluje?

\(z = (594{,}9-589{,}0)/589{,}0 = 0{,}0100\), \(v_r \approx cz = 3\,000\) km/s. Při takové rychlosti je rozdíl proti relativistickému vzorci malý (méně než 1 %).

Jaký rudý posuv by měl zdroj vzdalující se rychlostí poloviny rychlosti světla? Proč nestačí vzorec \(z = v/c\)?

\(1+z = \sqrt{(1+0{,}5)/(1-0{,}5)} = \sqrt3 = 1{,}732\), tedy \(z = 0{,}732\), ne 0,5. Přibližný vzorec platí jen pro \(v \ll c\); u vysokých rychlostí se uplatní dilatace času.

Jaká je difrakční mez Hubbleova dalekohledu (2,4 m) ve viditelném světle (550 nm) a radioteleskopu o průměru 100 m na 21 cm?

Hubble: \(1{,}22\cdot 550\cdot 10^{-9}/2{,}4 = 2{,}80\cdot 10^{-7}\) rad \(= 0{,}058''\). Radioteleskop: \(1{,}22\cdot 0{,}21/100 = 2{,}56\cdot 10^{-3}\) rad \(= 528'' = 8{,}8'\). Stometrová anténa vidí na 21 cm hůř než lidské oko; proto radioastronomie spojuje antény do interferometrů.

O kolik magnitud slabší hvězdy ukáže dalekohled s objektivem 20 cm proti oku s pupilou 7 mm?

Poměr sebraného světla \((200/7)^2 = 816\), rozdíl magnitud \(2{,}5\log_{10} 816 = 5\log_{10}(200/7) = 7{,}3\). Při mezní hvězdné velikosti oka 6,0 ukáže dalekohled hvězdy zhruba do 13. velikosti (ve skutečnosti o něco méně kvůli ztrátám v optice a jasu oblohy).

Co si odnést

Světlo nese informaci o teplotě, složení a pohybu zdroje; atmosféra propouští jen viditelné, rádiové a část infračerveného záření.
Každý prvek má vlastní spektrální čáry; jejich posun \(z \approx v_r/c\) měří radiální rychlost.
Dalekohled sbírá světlo úměrně \(D^2\) a rozliší úhel \(1{,}22\,\lambda/D\); na zemi omezuje ostrost seeing.

Část IIFyzika vesmíru

Hvězdystřední škola

Hvězda na obloze je jen bod. Přesto o ní astronomové znají vzdálenost, teplotu, svítivost, poloměr i hmotnost. Stačí k tomu tři měření: o kolik se hvězda posune, když Země oběhne Slunce, jak jasně svítí a jakou má barvu a spektrum. Když se svítivost vynese proti teplotě, hvězdy se seřadí do obrazce, který je klíčem k jejich životu.

🔥

Kovář pozná teplotu železa podle barvy: tmavě červená, oranžová, žlutá, až bílá. Hvězdy fungují stejně. Načervenalá Betelgeuze má povrch kolem 3 600 K, bělomodrý Rigel přes 12 000 K. Barva je teploměr, který funguje na stovky světelných let.

Hertzsprungův–Russellův diagram

Nastavte povrchovou teplotu a svítivost hvězdy, nebo klepněte na známou hvězdu. Laboratoř ze Stefanova–Boltzmannova zákona spočítá poloměr. Teplota roste doleva, jak je v astronomii zvykem. Šikmé čárkované přímky spojují hvězdy stejného poloměru, modrý pás je hlavní posloupnost.

LABORATOŘ

Povrchová teplota Svítivost (Slunce = 1)

Model: \(R/R_\odot = \sqrt{L/L_\odot}\,(T_\odot/T)^2\) s \(T_\odot = 5\,772\) K (IAU). Hodnoty známých hvězd jsou zaokrouhlené literární odhady; u veleobrů je nejistota svítivosti i desítky procent. Hlavní posloupnost je zjednodušený pás \(R \approx (T/T_\odot)^{1{,}68}\,R_\odot\), zařazení do skupin je orientační.

Paralaxa a hvězdná velikost

Z paralaxy plyne vzdálenost, ze vzdálenosti a zdánlivé hvězdné velikosti absolutní hvězdná velikost a svítivost. Zkuste známé hvězdy, nebo vlastní hodnoty.

LABORATOŘ

Paralaxa Zdánlivá hvězdná velikost m

Model: \(d = 1/p\), \(M = m-5\log_{10}(d/10\ \text{pc})\), bez mezihvězdné extinkce. Svítivost je jen ve viditelném oboru (pásmo V, \(M_{V\odot} = 4{,}83\)); u chladných červených trpaslíků je celková svítivost mnohem větší, protože září hlavně infračerveně. Nejistota vzdálenosti předpokládá přesnost paralaxy 0,03 mas (jasné hvězdy v katalogu Gaia).

Minihra: O, B, A, F, G, K, M

Přiřaďte hvězdy podle povrchové teploty ke spektrálním třídám. Hranice: O nad 30 000 K, B 10 000–30 000 K, A 7 500–10 000 K, F 6 000–7 500 K, G 5 200–6 000 K, K 3 700–5 200 K, M pod 3 700 K.

MINIHRA

0 / 7

+Teorie: paralaxa, hvězdné velikosti, záření černého tělesa, spektrální třídy a HR diagram

6.1Paralaxa: jak daleko je hvězda

Podívejte se na prst před obličejem nejprve levým, pak pravým okem: prst poskočí vůči pozadí. Stejně se blízká hvězda posouvá vůči vzdáleným hvězdám, když Země oběhne Slunce. Roční paralaxa \(p\) je úhel, pod kterým by z hvězdy byla vidět střední vzdálenost Země–Slunce (1 au). Hvězda s paralaxou 1″ je ve vzdálenosti 1 parseku.stellar parallax, parsec

Vzdálenost z paralaxy\[d\,[\text{pc}] = \frac{1}{p\,['']},\qquad 1\ \text{pc} = 206\,265\ \text{au} = 3{,}2616\ \text{ly}.\]

Obr. 6.1 Roční paralaxa (úhly silně zveličené). Za půl roku se Země přesune o 2 au a blízká hvězda se vůči pozadí posune o úhel 2p. I nejbližší hvězda, Proxima Centauri, má paralaxu jen 0,768″: úhel, pod kterým je vidět mince ze vzdálenosti přes 5 km.

Ve skutečnosti

Paralaxu hvězdy poprvé změřil Friedrich Bessel v roce 1838 u hvězdy 61 Cygni: 0,314″, tedy vzdálenost 3,2 pc (10,4 ly). Družice Hipparcos (1989–1993) změřila paralaxy asi sto tisíc hvězd s přesností kolem tisíciny úhlové vteřiny. Družice Gaia (2013–2025) zpřesnila měření na desítky mikrovteřin u téměř dvou miliard hvězd; paralaxu Proximy Centauri 768,07 mas měří s přesností lepší než promile.

6.2Hvězdná velikost a svítivost

Zdánlivá hvězdná velikost \(m\) (kapitola 1) říká, jak jasná je hvězda na obloze. Vlastnost hvězdy samotné popisuje absolutní hvězdná velikost \(M\): jak jasná by byla ze standardní vzdálenosti 10 pc. Hustota toku klesá se čtvercem vzdálenosti, a proto platí:absolute magnitude, distance modulus

Modul vzdálenosti\[m-M = 5\log_{10}\frac{d}{10\ \text{pc}}\quad\Longleftrightarrow\quad d = 10^{\,(m-M+5)/5}\ \text{pc}.\]

Svítivost \(L\) je celkový výkon, který hvězda vyzáří (ve wattech nebo v násobcích Slunce, \(L_\odot = 3{,}828\cdot 10^{26}\) W). Souvisí s bolometrickou absolutní hvězdnou velikostí, která zahrnuje záření všech vlnových délek. Rezoluce IAU z roku 2015 stanovila nulový bod stupnice tak, že \(M_{\text{bol}} = 0\) odpovídá \(L_0 = 3{,}0128\cdot 10^{28}\) W; Slunce pak má \(M_{\text{bol}\odot} = 4{,}74\).luminosity, bolometric magnitude

Svítivost a absolutní hvězdná velikost\[M_{\text{bol}} = -2{,}5\log_{10}\frac{L}{L_0},\qquad \frac{L}{L_\odot} = 10^{\,0{,}4\,(4{,}74-M_{\text{bol}})}.\]

Příklad Sirius

Paralaxa 379,21 mas, tedy \(d = 1/0{,}37921 = 2{,}637\) pc = 8,60 ly. Zdánlivá velikost \(m = -1{,}46\). Absolutní: \(M = -1{,}46-5\log_{10}(0{,}2637) = 1{,}43\). Ve viditelném oboru (\(M_{V\odot} = 4{,}83\)) svítí \(10^{0{,}4\,(4{,}83-1{,}43)} = 23\)× víc než Slunce. Sirius je tedy jasný na obloze hlavně proto, že je blízko.

6.3Záření hvězd: černé těleso

Hvězdy září přibližně jako absolutně černé těleso, ideální zdroj, jehož spektrum závisí jen na teplotě a popisuje ho Planckův zákon. Ze spektra plynou dva zákony, které astronomie používá neustále. Wienův posunovací zákon: čím teplejší těleso, tím kratší vlnová délka maxima záření. Stefanův–Boltzmannův zákon: výkon vyzářený z jednotky plochy roste se čtvrtou mocninou teploty.black body, Planck’s law, Wien’s displacement law, Stefan–Boltzmann law

Wien a Stefan–Boltzmann\[\lambda_{\max}\,T = b = 2{,}897\,771\,955\cdot 10^{-3}\ \text{m}\,\text{K},\qquad L = 4\pi R^{2}\,\sigma T^{4},\quad \sigma = 5{,}670\,374\,419\cdot 10^{-8}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}\,\text{K}^{-4}.\]

Obr. 6.2 Spektra černého tělesa (Planckův zákon) pro tři teploty, každá křivka vydělená svým maximem. Maximum se s rostoucí teplotou posouvá ke kratším vlnám: 724 nm pro 4 000 K, 502 nm pro Slunce, 386 nm pro 7 500 K. Ve skutečnosti teplejší povrch září na každé vlnové délce víc: při 7 500 K je to na metr čtvereční (7 500/4 000)⁴ = 12× víc výkonu než při 4 000 K.

Příklad Slunce jako černé těleso

Pro \(T = 5\,772\) K: \(\lambda_{\max} = 2{,}8978\cdot 10^{-3}/5\,772 = 502\) nm, zelenomodré světlo (Slunce je přesto bílé, protože září v celé viditelné oblasti). Svítivost \(L = 4\pi(6{,}957\cdot 10^{8})^2\cdot 5{,}670\cdot 10^{-8}\cdot 5\,772^4 = 3{,}828\cdot 10^{26}\) W, ve shodě s nominální hodnotou IAU. Ve vzdálenosti 1 au dává \(L/(4\pi\,\text{au}^2) = 1\,361\) W/m², sluneční konstantu.

Když známe svítivost (ze vzdálenosti a jasnosti) a teplotu (z barvy nebo spektra), dostaneme ze Stefanova–Boltzmannova zákona poloměr, i když hvězda je jen bod:

Poloměr hvězdy\[\frac{R}{R_\odot} = \sqrt{\frac{L}{L_\odot}}\,\Big(\frac{T_\odot}{T}\Big)^{2}.\]

6.4Spektrální třídy

Na Harvardově observatoři roztřídila Annie Jump Cannonová na přelomu 19. a 20. století spektra stovek tisíc hvězd do tříd, které se po přeuspořádání podle teploty čtou O, B, A, F, G, K, M. Každá třída se dělí na podtřídy 0–9; Slunce je G2. Cecilia Payneová ve své disertaci (1925) ukázala, že rozdíly mezi spektry způsobuje hlavně teplota, ne složení, a že hvězdy jsou převážně z vodíku a helia. Yerkesská klasifikace (1943) přidala třídy svítivosti I (veleobři) až V (hvězdy hlavní posloupnosti); úplné označení Slunce je G2 V.spectral class, luminosity class

**Tab. 6.1**Spektrální třídy (orientační teploty hvězd hlavní posloupnosti)
Třída	Teplota (K)	Barva	Typické čáry ve spektru	Příklad
O	nad 30 000	modrá	ionizované helium	Alnitak, Mintaka (veleobři v Orionově pásu)
B	10 000–30 000	modrobílá	neutrální helium, vodík	Spika, Rigel (veleobr)
A	7 500–10 000	bílá	nejsilnější vodíkové čáry	Sirius, Vega
F	6 000–7 500	žlutobílá	vodík slabší, ionizované kovy	Prokyon
G	5 200–6 000	žlutá	ionizovaný vápník, kovy	Slunce, α Centauri A
K	3 700–5 200	oranžová	neutrální kovy	Arktur, Aldebaran (obři)
M	pod 3 700	červená	molekuly (oxid titanatý)	Proxima Centauri, Betelgeuze (veleobr)

Pomůcka

Anglická mnemotechnická pomůcka „Oh Be A Fine Girl/Guy, Kiss Me“. Česky třeba „Ondřej Byl A Furt Gumoval Konce Matematiky“. Pod třídou M jsou ještě chladnější hnědí trpaslíci tříd L, T a Y.

6.5Hertzsprungův–Russellův diagram

Ejnar Hertzsprung (1911) a Henry Norris Russell (1913) nezávisle vynesli svítivost hvězd proti jejich teplotě (nebo spektrální třídě). Hvězdy nevyplní graf rovnoměrně, ale soustředí se do několika skupin. Asi 90 % hvězd leží na úzkém pásu, hlavní posloupnosti, od horkých a svítivých vlevo nahoře po chladné a slabé vpravo dole. Vpravo nahoře jsou obři a veleobři, velcí a chladní, vlevo dole bílí trpaslíci, horcí a malí jako Země.Hertzsprung–Russell diagram, main sequence, giant, white dwarf

Poloha hvězdy na hlavní posloupnosti je dána hlavně její hmotností: hmotnější hvězdy jsou svítivější a teplejší. Skupiny mimo hlavní posloupnost jsou různá stadia vývoje (kapitola 7). HR diagram je tak pro astronomii tím, čím je pro biologii srovnání živočichů různého věku: jedním pohledem ukazuje celý život hvězd.

Pozor

Na vodorovné ose HR diagramu teplota roste doleva a obě osy jsou logaritmické. Hvězdy vpravo nahoře nejsou horké, ale velké: svítí hodně, protože mají obrovský povrch, i když je chladný.

6.6Hmotnosti hvězd

Hmotnost se měří jen u dvojhvězd: z oběžné doby a velké poloosy dráhy plyne podle třetího Keplerova zákona součet hmotností, \(M_1+M_2 = a^3/T^2\) (v \(M_\odot\), au a letech), a z poměru vzdáleností obou složek od těžiště jejich poměr. Pro hvězdy hlavní posloupnosti tak byl nalezen vztah hmotnost–svítivost, přibližně \(L \propto M^{3{,}5}\) pro hvězdy od asi jedné do deseti hmotností Slunce. Hvězdy mají hmotnosti zhruba od 0,08 do 150 hmotností Slunce (hranice vysvětluje kapitola 12).binary star, mass–luminosity relation

6.7Procvičení

Hvězda má paralaxu 0,050″. Jak daleko je v parsecích a světelných letech?

\(d = 1/0{,}050 = 20\) pc \(= 20\cdot 3{,}2616 = 65{,}2\) ly.

Hvězda ve vzdálenosti 100 pc má zdánlivou hvězdnou velikost 8,0. Jaká je její absolutní hvězdná velikost a kolikrát svítí víc než Slunce (ve viditelném oboru, \(M_{V\odot} = 4{,}83\))?

\(M = 8{,}0-5\log_{10}(100/10) = 3{,}0\). Poměr \(10^{0{,}4\,(4{,}83-3{,}0)} = 5{,}4\). Svítí asi 5,4× víc než Slunce.

Maximum záření hvězdy leží na 290 nm. Jaká je její povrchová teplota a do jaké spektrální třídy patří?

\(T = b/\lambda_{\max} = 2{,}8978\cdot 10^{-3}/2{,}90\cdot 10^{-7} = 9\,990\) K, tedy asi 10 000 K: rozhraní tříd A a B (podobně jako Sirius).

Hvězda má svítivost 10 000 \(L_\odot\) a povrchovou teplotu 3 000 K. Jaký má poloměr? Vešla by se do dráhy Země?

\(R/R_\odot = \sqrt{10\,000}\cdot(5\,772/3\,000)^2 = 100\cdot 3{,}70 = 370\). To je \(370\cdot 6{,}957\cdot 10^{8}\) m \(= 2{,}57\cdot 10^{11}\) m \(= 1{,}72\) au. Hvězda by sahala za dráhu Země i Marsu: je to rudý veleobr.

Složky dvojhvězdy obíhají s periodou 50 let, velká poloosa vzájemné dráhy je 20 au. Jaký je součet hmotností?

\(M_1+M_2 = a^3/T^2 = 20^3/50^2 = 8\,000/2\,500 = 3{,}2\ M_\odot\).

Jak jasné by bylo Slunce (\(M_V = 4{,}83\)) ze vzdálenosti 10 pc a ze vzdálenosti Proximy Centauri (1,302 pc)?

Z 10 pc přesně \(m = M = 4{,}83\): slabá hvězda, viditelná jen na tmavé obloze. Z 1,302 pc: \(m = 4{,}83+5\log_{10}(0{,}1302) = 0{,}40\), jedna z nejjasnějších hvězd oblohy.

Co si odnést

Paralaxa dává vzdálenost: \(d\) [pc] = 1/\(p\) [″]. Ze vzdálenosti a jasnosti plyne svítivost.
Barva a spektrum dávají teplotu (\(\lambda_{\max}T = b\)); z \(L\) a \(T\) plyne poloměr (\(L = 4\pi R^2\sigma T^4\)).
Spektrální třídy O–M řadí hvězdy podle teploty. V HR diagramu leží většina hvězd na hlavní posloupnosti.

Část IIIHvězdy, galaxie, planety

Život hvězdstřední škola

O osudu hvězdy rozhoduje hlavně jediné číslo: hmotnost, se kterou se narodí. Malé hvězdy žijí biliony let a tiše vyhasnou, hvězdy jako Slunce se nafouknou v rudé obry a skončí jako bílí trpaslíci, nejhmotnější hvězdy prožijí jen pár milionů let a zahynou v explozi supernovy. Po nich zbude neutronová hvězda nebo černá díra.

🕯️

Tlustá svíčka hoří dlouho, tenká krátce. U hvězd je to naopak: hmotnější hvězda má víc paliva, ale spaluje ho nepoměrně rychleji. Hvězda desetkrát hmotnější než Slunce vydrží jen zhruba 25 milionů let místo deseti miliard.

Osud hvězdy podle hmotnosti

Zvolte počáteční hmotnost hvězdy. Graf ukazuje, jak dlouho hvězdy různých hmotností zůstávají na hlavní posloupnosti; vodorovná čára je dnešní stáří vesmíru. Pruh pod grafem ukazuje poměr hlavních fází života a výsledný pozůstatek.

LABORATOŘ

Počáteční hmotnost (Slunce = 1)

Model: hrubý. Svítivost na hlavní posloupnosti podle přibližného vztahu hmotnost–svítivost (\(L \approx 0{,}23M^{2{,}3}\) pod 0,43 M☉, \(M^4\) do 2 M☉, \(1{,}4M^{3{,}5}\) do 55 M☉), doba života \(t \approx 10\ \text{mld. let}\cdot M/L\) s opravou pro plně konvektivní trpaslíky (spotřebují skoro všechen vodík) a s minimem asi 3 miliony let pro nejhmotnější hvězdy. Hmotnost bílého trpaslíka podle empirického vztahu \(M_f \approx 0{,}109\,M_i+0{,}394\) (Kalirai a kol., 2008). Hranice mezi neutronovou hvězdou a černou dírou (kolem 20–25 M☉) je nejistá a závisí na rotaci, ztrátě hmoty a složení hvězdy. Podrobné modely se mohou lišit o desítky procent.

Minihra: co z hvězdy zbude?

Přiřaďte každému objektu jeho konečný osud.

MINIHRA

0 / 7

+Teorie: vznik hvězd, hlavní posloupnost, obři, bílí trpaslíci, supernovy a neutronové hvězdy

7.1Jak hvězdy vznikají

Hvězdy se rodí v molekulových mračnech, chladných (10–20 K) a na pozemské poměry nesmírně řídkých oblacích plynu a prachu. Když se část mračna stlačí (například rázovou vlnou blízké supernovy), může ji vlastní gravitace přemoci tlak plynu a začne se hroutit. Podmínku popsal James Jeans: oblak se zhroutí, pokud je hmotnější než Jeansova hmotnost.molecular cloud, Jeans mass

Jeansova hmotnost\[M_{\mathrm J} \approx \Big(\frac{5kT}{G\,\mu m_{\mathrm H}}\Big)^{3/2}\Big(\frac{3}{4\pi\rho}\Big)^{1/2}\]

\(k\) je Boltzmannova konstanta, \(\mu\) střední molekulová hmotnost (pro molekulový vodík s heliem asi 2,33), \(m_{\mathrm H}\) hmotnost atomu vodíku a \(\rho\) hustota. Teplejší plyn se hroutí hůř (víc tlaku), hustší snáz.

Příklad Jádro molekulového mračna

Při \(T = 10\) K a hustotě \(10^4\) molekul v cm³ (\(\rho = 10^{10}\cdot 2{,}33\cdot 1{,}674\cdot 10^{-27} = 3{,}9\cdot 10^{-17}\) kg/m³) vychází \(M_{\mathrm J} \approx 5{,}4\ M_\odot\). Hroutící se oblak se cestou dále tříští, proto hvězdy vznikají ve skupinách a hvězdokupách.

Ve středu hroutící se části vznikne protohvězda, kterou zahřívá uvolňovaná gravitační energie. Kolem ní se kvůli zachování momentu hybnosti vytvoří disk, ve kterém mohou vzniknout planety (kapitola 3). Hvězda velikosti Slunce se smršťuje desítky milionů let (Kelvinova–Helmholtzova časová škála, kapitola 12), než teplota v jádru dosáhne asi deseti milionů kelvinů a zažehne se jaderná fúze vodíku. Objekty lehčí než asi 0,08 \(M_\odot\) (80 hmotností Jupiteru) tuto teplotu nikdy nedosáhnou: stanou se hnědými trpaslíky.protostar, brown dwarf

7.2Hlavní posloupnost: dlouhý klidný život

Hvězda na hlavní posloupnosti přeměňuje v jádře vodík na helium. Čtyři jádra vodíku jsou o 0,7 % hmotnější než jedno jádro helia; rozdíl se podle \(E = mc^2\) uvolní jako energie. Jak přesně fúze probíhá (proton-protonový řetězec ve Slunci, cyklus CNO v hmotnějších hvězdách) a proč uvolňuje energii, vykládá průvodce Jaderná fyzika. Tady nám stačí energetická bilance.main sequence, hydrogen burning

Příklad Jak dlouho bude svítit Slunce

Ve fúzi se spotřebuje asi 10 % vodíku Slunce (zbytek mimo jádro se nepromíchá). Uvolněná energie: \(E = 0{,}1\cdot 0{,}007\cdot M_\odot c^2 = 0{,}1\cdot 0{,}007\cdot 1{,}989\cdot 10^{30}\cdot(2{,}998\cdot 10^{8})^2 = 1{,}25\cdot 10^{44}\) J. Při výkonu \(3{,}828\cdot 10^{26}\) W vystačí na \(3{,}27\cdot 10^{17}\) s, tedy asi 10 miliard let. Slunce je staré 4,6 miliardy let, je tedy zhruba v polovině.

Hmotnější hvězdy mají víc paliva (\(\propto M\)), ale svítivost roste mnohem rychleji (\(L \propto M^{3{,}5}\)). Doba života na hlavní posloupnosti proto s hmotností prudce klesá:

Doba života na hlavní posloupnosti\[t_{\mathrm{HP}} \approx 10^{10}\ \text{let}\cdot\frac{M/M_\odot}{L/L_\odot} \approx 10^{10}\ \text{let}\cdot\Big(\frac{M}{M_\odot}\Big)^{-2{,}5}.\]

Pozor

Vztah \(t \propto M^{-2{,}5}\) je jen hrubé přiblížení. U nejhmotnějších hvězd roste svítivost s hmotností pomaleji a doba života neklesne pod asi 3 miliony let. U nejlehčích červených trpaslíků, které jsou celé promíchané konvekcí, spotřebuje hvězda skoro všechen vodík a žije biliony let; žádný z nich proto ještě nestihl zestárnout.

7.3Hvězdy jako Slunce: rudý obr a bílý trpaslík

Když v jádru dojde vodík, jádro z helia se smršťuje a zahřívá, vodík dál hoří ve slupce kolem něj a obal hvězdy se nafoukne a ochladí: vzniká rudý obr. Slunce se za asi 5 miliard let roztáhne nejspíš až kolem dráhy Venuše, možná i Země. Při teplotě kolem 100 milionů kelvinů se v jádru zapálí helium a mění se na uhlík a kyslík. Na konci obr odhodí vnější vrstvy, které ozářené horkým jádrem září jako planetární mlhovina (s planetami nemá nic společného, jen v malých dalekohledech připomínala kotoučky planet).red giant, planetary nebula

Zbylé jádro je bílý trpaslík: koule z uhlíku a kyslíku o velikosti Země a hmotnosti asi 0,5–1,3 Slunce, bez vlastního zdroje energie, která jen pomalu chladne. Proti gravitaci ji drží tlak degenerovaného elektronového plynu, kvantový efekt, který nezávisí na teplotě. Tento tlak však má mez: bílý trpaslík nemůže být hmotnější než asi 1,4 \(M_\odot\) (Chandrasekharova mez, Subrahmanyan Chandrasekhar, 1931).white dwarf, electron degeneracy pressure, Chandrasekhar limit

Obr. 7.1 Hlavní vývojové cesty hvězd. Hranice jsou přibližné: kolem 8 hmotností Slunce dělí hvězdy, které skončí jako bílí trpaslíci, od těch, které vybuchnou jako supernovy; zda po výbuchu zbude neutronová hvězda, nebo černá díra, nelze z počáteční hmotnosti určit jednoznačně.

7.4Hmotné hvězdy: supernova, neutronová hvězda, černá díra

Ve hvězdách nad asi 8 \(M_\odot\) je jádro tak horké, že po heliu postupně hoří uhlík, neon, kyslík a křemík. Každé další palivo vydrží kratší dobu (křemík jen dny) a hvězda získá „cibulovou“ stavbu. Řetěz končí u železa: jeho jádra jsou nejpevněji vázaná ze všech, takže jejich slučováním už energie nevzniká. Když železné jádro přesáhne zhruba 1,4 \(M_\odot\), tlak elektronů ho neudrží a zhroutí se za zlomek sekundy. Elektrony se slučují s protony na neutrony a vzniká neutronová hvězda; padající obal se od ní odrazí a s pomocí obrovského toku neutrin je vymrštěn v explozi supernovy typu II (kolaps jádra). Supernova může na týdny zazářit jako celá galaxie.core-collapse supernova, neutron star

Obr. 7.2 Slupková („cibulová“) stavba hmotné hvězdy těsně před kolapsem jádra; není v měřítku. Ve slupkách hoří postupně těžší prvky; vznik prvků vykládá průvodce Jaderná fyzika.

Neutronová hvězda má hmotnost kolem 1,2–2 \(M_\odot\) v kouli o poloměru 10–12 km; čajová lžička její látky by vážila kolem dvou miliard tun. Rychle se otáčí a má silné magnetické pole, takže svazky záření z magnetických pólů mohou přejíždět přes Zemi jako paprsek majáku: takovému objektu říkáme pulzar. První objevila Jocelyn Bellová Burnellová v roce 1967. Pokud je hroutící se jádro příliš hmotné (zhruba nad 2–2,5 \(M_\odot\); přesná mez není známa), nezastaví kolaps ani tlak neutronů a vznikne černá díra (kapitola 11).pulsar, black hole

7.5Supernovy typu Ia a původ prvků

Jiný druh výbuchu postihne bílého trpaslíka ve dvojhvězdě, který přetahuje hmotu z druhé složky (nebo s jiným bílým trpaslíkem splyne). Když se přiblíží Chandrasekharově mezi, zapálí se v něm překotná termonukleární fúze uhlíku a celá hvězda se roztrhne: supernova typu Ia. Protože vybuchují za podobných podmínek, mají podobnou maximální svítivost a slouží jako „standardní svíčky“ k měření vzdáleností galaxií (kapitoly 10 a 12).type Ia supernova, standard candle

Ve skutečnosti

V roce 1054 zaznamenali čínští astronomové „hostující hvězdu“ viditelnou několik týdnů i ve dne; její pozůstatek je Krabí mlhovina s pulzarem uprostřed. Supernovy z let 1572 a 1604 pozorovali Tycho Brahe a Johannes Kepler. V únoru 1987 vybuchla supernova ve Velkém Magellanově oblaku a detektory na Zemi zachytily dvě desítky neutrin z jejího kolapsu. Uhlík, kyslík a železo v našem těle vznikly ve hvězdách a do vesmíru se dostaly jejich větry a výbuchy; jak přesně, vykládá průvodce Jaderná fyzika.

7.6Procvičení

Odhadněte dobu života na hlavní posloupnosti pro hvězdu o hmotnosti 2 \(M_\odot\) podle vztahu \(t \propto M^{-2{,}5}\) a podle \(t \propto M/L\) se svítivostí \(L = M^4\).

\(10\cdot 2^{-2{,}5} = 1{,}77\) mld. let; \(10\cdot 2/2^4 = 1{,}25\) mld. let. Rozdíl ukazuje, jak hrubé tyto odhady jsou; podrobné modely dávají něco přes miliardu let.

Jaká je průměrná hustota bílého trpaslíka o hmotnosti 0,6 \(M_\odot\) a poloměru Země (6 371 km)? Kolik by vážila čajová lžička (5 cm³) jeho látky?

\(\rho = 0{,}6\cdot 1{,}989\cdot 10^{30}/\big(\tfrac43\pi(6{,}371\cdot 10^{6})^3\big) = 1{,}1\cdot 10^{9}\) kg/m³. Lžička: \(1{,}1\cdot 10^{9}\cdot 5\cdot 10^{-6} = 5\,500\) kg, tedy asi 5,5 t.

Neutronová hvězda má hmotnost 1,4 \(M_\odot\) a poloměr 12 km. Jaká je její hustota a úniková rychlost z povrchu?

\(\rho = 1{,}4\cdot 1{,}989\cdot 10^{30}/\big(\tfrac43\pi(1{,}2\cdot 10^{4})^3\big) = 3{,}8\cdot 10^{17}\) kg/m³ (hustota atomového jádra). \(v = \sqrt{2GM/R} = 1{,}76\cdot 10^{8}\) m/s \(= 0{,}59\,c\). Tady už je potřeba obecná relativita.

Slunce se otočí jednou za 25 dní. Jak rychle by se otáčelo, kdyby se se zachováním momentu hybnosti smrštilo z poloměru 696 000 km na 12 km (předpokládejte stejné rozložení hmoty)?

Moment hybnosti \(L \propto M R^2/P\) se zachovává, takže \(P' = P\,(R'/R)^2 = 25\cdot 86\,400\cdot(12/696\,000)^2 = 6{,}4\cdot 10^{-4}\) s, asi 1 600 otoček za sekundu. Proto se neutronové hvězdy rodí jako rychle rotující pulzary.

Jakou hmotnost bude mít bílý trpaslík po hvězdě o počáteční hmotnosti 3 \(M_\odot\) podle vztahu \(M_f \approx 0{,}109\,M_i+0{,}394\)? Kolik procent hmotnosti hvězda během života odhodí?

\(M_f = 0{,}109\cdot 3+0{,}394 = 0{,}72\ M_\odot\). Hvězda ztratí \(3-0{,}72 = 2{,}28\ M_\odot\), tedy 76 % své hmotnosti, hlavně větrem ve fázi obra a v planetární mlhovině. Tato látka obohacuje mezihvězdný prostor o uhlík a dusík.

Co si odnést

Hvězdy vznikají hroucením chladných mračen; pod 0,08 \(M_\odot\) vzniknou jen hnědí trpaslíci.
Na hlavní posloupnosti hvězda spaluje vodík; hmotnější žijí kratčeji (\(t \propto M^{-2{,}5}\) zhruba).
Do asi 8 \(M_\odot\): rudý obr, planetární mlhovina, bílý trpaslík (nejvýš 1,4 \(M_\odot\)). Nad tím: supernova a neutronová hvězda nebo černá díra.

Část IIIHvězdy, galaxie, planety

Galaxie a temná hmotastřední škola

Slunce je jedna ze stovek miliard hvězd Mléčné dráhy a Mléčná dráha je jedna ze stovek miliard galaxií. Když astronomové změřili, jak rychle hvězdy a plyn kolem středů galaxií obíhají, zjistili, že galaxie musí obsahovat mnohem víc hmoty, než kolik vidí. Této neviditelné složce se říká temná hmota a dodnes nevíme, z čeho je.

🎡

Na kolotoči se vnější sedačky pohybují rychleji než vnitřní, protože je drží pevná konstrukce. Planety Sluneční soustavy naopak obíhají tím pomaleji, čím jsou dál, protože skoro všechna hmota je uprostřed ve Slunci. Hvězdy na okraji galaxií obíhají skoro stejně rychle jako ty blíž středu. Galaxie se tedy chová, jako by její hmota sahala daleko za poslední viditelné hvězdy.

Rotační křivka Mléčné dráhy

Body jsou modelová „měření“ oběžné rychlosti v různých vzdálenostech od středu galaxie. Nastavte hmotnost viditelného disku a výdutě a pak zkuste data vysvětlit. Bez hala temné hmoty to nepůjde: rychlost viditelné hmoty venku klesá. Přidejte halo a hledejte shodu (χ² na bod pod 2).

LABORATOŘ

Hmotnost disku (10¹⁰ M☉) Hmotnost výdutě (10¹⁰ M☉)

Halo: rychlost daleko od středu Halo: poloměr jádra

Model: exponenciální disk (charakteristický poloměr 2,6 kpc), výduť podle Hernquistova profilu (0,6 kpc), pseudoizotermní halo temné hmoty; rychlosti složek se sčítají kvadraticky, \(v^2 = v_{\text{disk}}^2+v_{\text{výduť}}^2+v_{\text{halo}}^2\). „Měření“ jsou vygenerovaná z modelu podobného Mléčné dráze (229 km/s u Slunce, mírný pokles navenek podle Eilers a kol. 2019) s náhodnou chybou asi 6 km/s. Slunce je 8,28 kpc od středu (GRAVITY 2021).

Minihra: Hubbleova ladička

Zařaďte galaxie podle tvaru do tříd Hubbleovy klasifikace.

MINIHRA

0 / 8

+Teorie: Mléčná dráha, typy galaxií, rotační křivky a temná hmota

8.1Mléčná dráha

Pruh slabého světla napříč noční oblohou rozložil Galileo Galilei v roce 1610 dalekohledem na nesčetné hvězdy. Je to pohled do disku naší Galaxie zevnitř. Harlow Shapley (1918) z rozložení kulových hvězdokup ukázal, že Slunce není ve středu Galaxie, ale daleko na okraji. Dnes víme, že Mléčná dráha je spirální galaxie s příčkou o průměru disku kolem 30 kpc (asi 100 000 ly) se 100–400 miliardami hvězd.Milky Way, barred spiral galaxy

Disk obsahuje mladší hvězdy, plyn a prach ve spirálních ramenech; tenký disk je silný jen asi 300 pc.
Výduť s příčkou ve středu tvoří staré hvězdy. V samém středu leží černá díra Sagittarius A* o hmotnosti asi 4 milionů Sluncí; její hmotnost byla určena z drah hvězd, které kolem ní obíhají (Nobelova cena 2020).
Halo je zhruba kulové, s řídce rozptýlenými starými hvězdami a kulovými hvězdokupami. Podle rotační křivky v něm převažuje temná hmota.

Obr. 8.1 Schéma Mléčné dráhy shora (spirální ramena a příčka, schematicky) a z boku. Slunce leží v disku asi 8,3 kpc (27 000 ly) od středu a oběhne ho jednou za zhruba 220 milionů let.

Příklad Galaktický rok

Slunce obíhá rychlostí asi 230 km/s ve vzdálenosti 8,28 kpc \(= 8{,}28\cdot 3{,}086\cdot 10^{19}\) m. Jeden oběh trvá \(2\pi r/v = 2\pi\cdot 2{,}553\cdot 10^{20}/2{,}3\cdot 10^{5} = 6{,}98\cdot 10^{15}\) s, tedy 221 milionů let. Za 4,6 miliardy let své existence oběhlo Slunce Galaxii asi 21krát.

8.2Galaxie a jejich typy

Ještě v roce 1920 se vedla „Velká debata“, zda jsou spirální mlhoviny součástí Mléčné dráhy, nebo samostatné hvězdné ostrovy. Rozhodl Edwin Hubble (1925), když v mlhovině v Andromedě našel proměnné hvězdy cefeidy a z jejich svítivosti (kapitola 12) určil, že je daleko za hranicemi naší Galaxie. Galaxie v Andromedě je asi 2,5 milionu světelných let daleko.galaxy, Great Debate

Hubble galaxie také roztřídil podle vzhledu do schématu připomínajícího ladičku. Pořadí neznamená vývoj, jak se kdysi myslelo; je to jen třídění tvarů.

Obr. 8.2 Hubbleova „ladička“. Eliptické galaxie (E0 kulaté až E7 protáhlé) jsou ze starých hvězd s málo plynem. Spirální (S) a spirální s příčkou (SB) mají od typu a k typu c stále menší centrální výduť a volněji navinutá ramena. Mimo schéma stojí nepravidelné galaxie, například Magellanova mračna.

Ve skutečnosti

Mléčná dráha, galaxie v Andromedě, galaxie v Trojúhelníku a desítky trpasličích galaxií tvoří Místní skupinu. Galaxie v Andromedě se k nám přibližuje rychlostí kolem 110 km/s. Starší výpočty předpovídaly srážku obou galaxií za 4–5 miliard let; novější analýzy s přesnějšími pohyby z družic ukazují, že srážka v příštích deseti miliardách let je zhruba stejně pravděpodobná jako to, že k ní nedojde. Hvězdy by se přitom navzájem prakticky nesrazily, jsou příliš daleko od sebe.

8.3Rotační křivky a temná hmota

Pro těleso na kruhové dráze ve vzdálenosti \(r\) od středu platí (kapitola 4) \(v^2/r = GM(\lt r)/r^2\), kde \(M(\lt r)\) je hmotnost uvnitř dráhy (pro kulové rozložení hmoty přesně, pro disk přibližně). Z naměřené oběžné rychlosti tak plyne hmotnost:rotation curve, enclosed mass

Hmotnost uvnitř dráhy\[M(\lt r) = \frac{v^{2} r}{G}.\]

Kdyby byla hmota soustředěná tam, kde svítí (ve výduti a vnitřním disku), rychlost by venku klesala jako u planet, \(v \propto r^{-1/2}\) (keplerovský pokles). Měření však ukazují, že rychlost zůstává daleko za okrajem viditelného disku téměř stálá. Plochá křivka \(v \approx \text{konst.}\) znamená \(M(\lt r) \propto r\): hmota roste se vzdáleností, i když světla přibývá jen nepatrně.

Příklad Kolik hmoty je uvnitř dráhy Slunce

\(v = 230\) km/s, \(r = 8{,}28\) kpc: \(M = (2{,}3\cdot 10^{5})^2\cdot 2{,}553\cdot 10^{20}/6{,}674\cdot 10^{-11} = 2{,}0\cdot 10^{41}\) kg \(= 1{,}0\cdot 10^{11}\ M_\odot\). Kdyby všechna hmota Galaxie byla uvnitř dráhy Slunce, ve vzdálenosti 25 kpc by rychlost klesla na \(230\sqrt{8{,}28/25} = 132\) km/s. Měří se ale kolem 200 km/s.

První náznak chybějící hmoty našel Fritz Zwicky (1933) v kupě galaxií v souhvězdí Vlasy Bereniky: galaxie se v ní pohybují tak rychle, že by se kupa bez další hmoty rozletěla. Přesvědčivé se to stalo až s rotačními křivkami spirálních galaxií, které měřili Vera Rubinová a Kent Ford (1970, galaxie v Andromedě) a později radioastronomové na čáře vodíku 21 cm daleko za viditelným okrajem galaxií.dark matter

Další důkazy: gravitační čočky (kapitola 11) vážící kupy galaxií; srážka kup galaxií 1E 0657-56 („Bullet Cluster“, 2006), kde se hmota určená čočkováním oddělila od horkého plynu; a výkonové spektrum reliktního záření (kapitola 10). Podle modelu ΛCDM tvoří temná hmota asi 84 % veškeré hmoty ve vesmíru.
Co to je: nevíme. Nejde o běžné atomy (ty by zářily nebo pohlcovaly světlo) ani o neutrina známých hmotností. Kandidáty jsou dosud neobjevené částice. Přímé detektory je zatím nenašly.
Alternativa: modifikovaná newtonovská dynamika (MOND, Milgrom 1983) mění zákon gravitace při velmi malých zrychleních. Rotační křivky galaxií popisuje dobře, ale potíže má s kupami galaxií a reliktním zářením. Většina astronomů dává přednost temné hmotě, otázka ale není uzavřená.

Pozor

Temná hmota a temná energie (kapitola 10) jsou dvě různé věci. Temná hmota se gravitačně přitahuje a pomáhá držet galaxie pohromadě; temná energie způsobuje zrychlené rozpínání vesmíru. Společné mají jen to, že je nevidíme a nevíme, co jsou.

8.4Aktivní galaxie a velkorozměrová struktura

Téměř každá velká galaxie má ve středu supermasivní černou díru s hmotností milionů až miliard Sluncí. Pokud do ní padá plyn, rozžhavený akreční disk může zářit víc než celá galaxie: vzniká aktivní galaktické jádro, nejjasnější z nich jsou kvasary. První kvasar, 3C 273, rozpoznal Maarten Schmidt (1963) podle rudého posuvu \(z = 0{,}158\). Galaxie se shlukují do skupin a kup, ty do nadkup, a na největších škálách tvoří vesmír síť vláken a stěn kolem obrovských prázdných oblastí (voidů).active galactic nucleus, quasar, cosmic web

8.5Procvičení

Galaxie má plochou rotační křivku s rychlostí 200 km/s až do vzdálenosti 30 kpc. Jaká hmotnost je uvnitř 30 kpc? Kolik procent tvoří temná hmota, je-li hmotnost hvězd a plynu \(5\cdot 10^{10}\ M_\odot\)?

\(M = (2\cdot 10^{5})^2\cdot 30\cdot 3{,}086\cdot 10^{19}/6{,}674\cdot 10^{-11} = 5{,}55\cdot 10^{41}\) kg \(= 2{,}8\cdot 10^{11}\ M_\odot\). Temná hmota: \(1-5\cdot 10^{10}/2{,}8\cdot 10^{11} = 0{,}82\), tedy asi 82 % hmoty uvnitř 30 kpc.

Jak by vypadala rotační křivka, kdyby veškerá hmota galaxie byla v bodě ve středu? Jakou rychlost bychom čekali ve dvojnásobné vzdálenosti?

\(v = \sqrt{GM/r} \propto r^{-1/2}\) (keplerovský pokles). Ve dvojnásobné vzdálenosti \(v/\sqrt2 = 0{,}71\,v\). Pozorujeme však zhruba stálou rychlost.

Galaxie v Andromedě je asi 2,5 milionu ly daleko a přibližuje se rychlostí asi 110 km/s. Za jak dlouho by urazila tuto vzdálenost stálou rychlostí? Proč je skutečný odhad kratší?

\(t = 2{,}5\cdot 10^{6}\cdot 9{,}461\cdot 10^{12}\ \text{km}/110\ \text{km/s} = 2{,}15\cdot 10^{17}\) s \(= 6{,}8\) mld. let. Galaxie se navzájem přitahují a zrychlují; navíc rozhoduje i boční (tečná) rychlost, která může srážce zabránit. Proto modely dávají první těsné přiblížení zhruba za 4–5 miliard let, ale ne jistě.

Slunce oběhne Galaxii za asi 221 milionů let. Kolik oběhů vykonalo od vzniku Sluneční soustavy (4,6 mld. let) a kolik od vymření dinosaurů (66 mil. let)?

\(4\,600/221 = 20{,}8\), tedy asi 21 oběhů. Od vymření dinosaurů \(66/221 = 0{,}30\): necelá třetina oběhu.

Rudý posuv kvasaru 3C 273 je 0,158. Jakou „rychlostí vzdalování“ \(cz\) to odpovídá a jak daleko kvasar je podle Hubbleova–Lemaîtrova zákona s \(H_0 = 70\) km/s/Mpc?

\(cz = 0{,}158\cdot 299\,792 = 47\,400\) km/s. \(d \approx cz/H_0 = 47\,400/70 = 677\) Mpc, asi 2,2 miliardy ly. Při takovém \(z\) je jednoduchý vztah už jen přibližný (kapitola 10).

Co si odnést

Mléčná dráha je spirální galaxie s příčkou; Slunce je v disku asi 8,3 kpc od středu a oběhne ho za ~220 milionů let.
Z oběžné rychlosti plyne hmotnost: \(M(\lt r) = v^2 r/G\).
Ploché rotační křivky ukazují, že galaxie obsahují mnohem víc hmoty, než září: temnou hmotu, jejíž podstata je neznámá.

Část IIIHvězdy, galaxie, planety

Exoplanetystřední škola

Ještě v roce 1994 nikdo nevěděl, zda kolem jiných hvězd podobných Slunci obíhají planety. K 8. 10. 2026 jich NASA Exoplanet Archive eviduje 6 445 potvrzených. Většinu z nich nikdo nikdy neviděl: prozradily se tím, že na chvíli zastínily svou hvězdu, nebo tím, že s ní nepatrně zakolébaly.

🪰

Představte si, že pozorujete pouliční lampu z druhého konce města a chcete zjistit, zda kolem ní létá moucha. Moucha je vidět nedá, ale když přeletí přímo před žárovkou, lampa nepatrně zeslábne. Přesně tak funguje tranzitní metoda; planeta velikosti Země zeslabí hvězdu podobnou Slunci asi o osm setin promile.

Tranzitní světelná křivka

Graf ukazuje jasnost hvězdy v době, kdy před ní prochází planeta. Body jsou modelová měření s šumem 100 ppm (miliontin). Měňte velikost planety a hvězdy, oběžnou dobu a parametr srážky (jak daleko od středu kotouče planeta přechází).

LABORATOŘ

Poloměr planety (Země = 1) Poloměr hvězdy (Slunce = 1)

Hmotnost hvězdy (Slunce = 1) Oběžná doba Parametr srážky b

Model: kruhová dráha, zastínění spočítané numericky přes kotouč planety; okrajové ztemnění kvadratickým zákonem (\(u_1 = 0{,}44\), \(u_2 = 0{,}23\), přibližně pro Slunce ve viditelném světle). Velká poloosa ze třetího Keplerova zákona, svítivost hvězdy z hmotnosti (\(L \approx M^4\), u lehkých hvězd \(0{,}23\,M^{2{,}3}\)), rovnovážná teplota pro albedo 0,3 bez skleníkového efektu. Obyvatelná zóna podle konzervativních mezí 0,99–1,70 au pro Slunce (Kopparapu a kol. 2013), zjednodušeně škálovaných \(\sqrt{L}\).

Metoda radiálních rychlostí

Planeta i hvězda obíhají kolem společného těžiště. Hvězda se proto střídavě přibližuje a vzdaluje a její spektrální čáry se nepatrně posouvají. Graf ukazuje radiální rychlost hvězdy během dvou oběhů planety; body jsou měření s přesností 1 m/s.

LABORATOŘ

Hmotnost planety (Země = 1) Oběžná doba Hmotnost hvězdy

Model: kruhová dráha viděná z boku (\(\sin i = 1\)), \(K = (2\pi G/P)^{1/3}\,M_p/(M_\ast+M_p)^{2/3}\). Šum měření 1 m/s odpovídá dobrým současným spektrografům; nejlepší dosahují asi 0,3 m/s, ale hvězda sama „šumí“ (skvrny, konvekce) na podobné úrovni.

Minihra: kterou metodou?

Podle popisu pozorování určete metodu, kterou byla planeta objevena.

MINIHRA

0 / 7

+Teorie: tranzitní a radiální metoda, další metody, obyvatelná zóna

9.1Od první exoplanety k tisícům

Exoplaneta je planeta obíhající jinou hvězdu než Slunce. První potvrzené objevili Aleksander Wolszczan a Dale Frail (1992) kolem pulzaru PSR B1257+12, z nepravidelností v příchodu jeho pulzů. První planetu u hvězdy podobné Slunci, 51 Pegasi b, ohlásili Michel Mayor a Didier Queloz (1995) metodou radiálních rychlostí; za objev dostali Nobelovu cenu za fyziku 2019. Planeta byla překvapením: obr s hmotností asi poloviny Jupiteru oběhne svou hvězdu za 4,2 dne. Takovým planetám se říká horcí Jupiteři.exoplanet, hot Jupiter

Kosmický dalekohled Kepler (2009–2018) sledoval jedno pole oblohy a objevil tisíce planet tranzitní metodou; družice TESS (od 2018) prohlíží celou oblohu a k 8. 10. 2026 má přes tisíc potvrzených planet. NASA Exoplanet Archive eviduje k tomuto datu 6 445 potvrzených exoplanet, většinu objevenou tranzitní metodou. Nejčastějším typem jsou planety velikosti mezi Zemí a Neptunem (superzemě a subneptuny), které ve Sluneční soustavě vůbec nemáme.super-Earth, sub-Neptune

9.2Tranzitní metoda

Když planeta přechází před kotoučem hvězdy (tranzit), zastíní část jejího povrchu. Pokles jasnosti je dán poměrem ploch:transit method, transit depth

Hloubka a délka tranzitu\[\delta = \frac{\Delta F}{F} \approx \Big(\frac{R_p}{R_\ast}\Big)^{2},\qquad T_{\text{tr}} \approx \frac{P}{\pi}\arcsin\!\Big(\frac{R_\ast}{a}\sqrt{(1+k)^2-b^2}\Big),\quad k = \frac{R_p}{R_\ast}.\]

\(P\) je oběžná doba, \(a\) velká poloosa a \(b\) parametr srážky, nejmenší vzdálenost středu planety od středu kotouče hvězdy v poloměrech hvězdy. Tranzit uvidíme jen tehdy, když leží dráha téměř přesně v zorném paprsku; pravděpodobnost je přibližně \(R_\ast/a\).impact parameter

Obr. 9.1 Tranzit. Během přechodu planety (poloha 2) hvězda zeslábne; hloubka poklesu je rovna poměru ploch kotoučů planety a hvězdy, délka závisí na rychlosti planety a na tom, jak blízko středu hvězdy přechází. Zakřivené dno křivky způsobuje okrajové ztemnění: okraj kotouče hvězdy je tmavší než střed. Měřítko poklesu je silně zveličené.

Příklad Země a Jupiter při pohledu z dálky

Země: \(\delta = (6\,378/695\,700)^2 = 8{,}4\cdot 10^{-5} = 84\) ppm, tranzit trvá \(\tfrac{365{,}25}{\pi}\arcsin(0{,}00469) = 0{,}546\) dne \(= 13{,}1\) h a nastane jen pro pozorovatele, kterému dráha leží v zorném paprsku s pravděpodobností \(R_\odot/1\ \text{au} = 0{,}47\ \%\).

Jupiter: \(\delta = (71\,492/695\,700)^2 = 1{,}06\ \%\), tranzit trvá 32,6 h, jednou za 11,86 roku, s pravděpodobností 0,09 %.

Okrajové ztemnění pokles při přechodu středem kotouče mírně prohloubí (u Slunce asi o pětinu), proto se při přesném měření modeluje. Tranzit dává poloměr planety, ne hmotnost. Když se planeta navíc „zváží“ metodou radiálních rychlostí, známe její hustotu, a tedy i to, zda je kamenná, vodní, nebo plynná. Při tranzitu prochází část světla hvězdy atmosférou planety; transmisní spektroskopie (dnes hlavně Webbovým kosmickým dalekohledem) v něm hledá otisky vody, oxidu uhličitého a dalších molekul.transmission spectroscopy

9.3Metoda radiálních rychlostí

Hvězda a planeta obíhají kolem společného těžiště. Jupiter posouvá Slunce po kružnici o poloměru asi 1,07 poloměru Slunce rychlostí 12,5 m/s. Vzdálený pozorovatel vidí, že se čáry ve spektru Slunce s periodou 11,86 roku posouvají (Dopplerův jev, kapitola 5). Amplituda radiální rychlosti hvězdy je:radial velocity method, barycentre

Amplituda radiální rychlosti\[K = \Big(\frac{2\pi G}{P}\Big)^{1/3}\frac{M_p\,\sin i}{(M_\ast+M_p)^{2/3}}\,\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}.\]

\(i\) je sklon dráhy k zornému paprsku (\(i = 90^\circ\) vidíme dráhu z boku) a \(e\) výstřednost. Protože \(i\) obvykle neznáme, metoda dává jen minimální hmotnost \(M_p\sin i\). Metoda nejlépe najde hmotné planety blízko hvězdy.

Obr. 9.2 Metoda radiálních rychlostí (velikosti a posuny silně zveličené). Hvězda se kolébá kolem těžiště soustavy; když se k nám blíží, čáry v jejím spektru se posunou k modré, když se vzdaluje, k červené. Perioda posunu je oběžná doba planety, amplituda prozradí její minimální hmotnost.

Příklad 51 Pegasi b

\(P = 4{,}231\) dne, hvězda 1,11 \(M_\odot\), minimální hmotnost planety 0,47 \(M_{\mathrm J}\). Dosazením \(K = (2\pi G/P)^{1/3}\,M_p/(M_\ast+M_p)^{2/3} = 55\) m/s, ve shodě s měřeními (kolem 56 m/s). Země by Slunce rozkolébala jen rychlostí 0,09 m/s, což je pod současnými možnostmi.

9.4Další metody

Přímé zobrazení: světlo hvězdy se zakryje koronografem a zbylé světlo planety se zachytí, nejlépe v infračerveném oboru u mladých, ještě horkých obřích planet daleko od hvězdy (soustava HR 8799 se čtyřmi planetami).direct imaging
Gravitační mikročočkování: když před vzdálenou hvězdou projde bližší hvězda, její gravitace na čas zesílí světlo pozadí (kapitola 11). Planeta u čočkující hvězdy přidá do křivky krátký výběžek. Metoda najde i planety daleko od hvězd a volně letící planety, ale každé měření je neopakovatelné.gravitational microlensing
Astrometrie: měří kolébání hvězdy napříč oblohou; očekává se od dat družice Gaia.
Časování: u pulzarů a zákrytových dvojhvězd planeta mění dobu příchodu signálu.

9.5Obyvatelná zóna

Obyvatelná zóna je oblast kolem hvězdy, kde by planeta s vhodnou atmosférou mohla mít na povrchu kapalnou vodu. Rozhoduje hlavně oslunění \(S\), výkon dopadající na jednotku plochy, které klesá se čtvercem vzdálenosti. Z rovnováhy mezi pohlceným a vyzářeným výkonem plyne rovnovážná teplota (bez skleníkového efektu):habitable zone, insolation, equilibrium temperature

Oslunění a rovnovážná teplota\[S = \frac{L_\ast}{4\pi a^{2}},\qquad T_{\text{eq}} = T_\ast\sqrt{\frac{R_\ast}{2a}}\,(1-A)^{1/4} = 254\ \text{K}\cdot\Big(\frac{S}{S_\oplus}\Big)^{1/4}\ \ (A = 0{,}3).\]

\(A\) je albedo, podíl odraženého světla. Pro Zemi vychází \(T_{\text{eq}} = 5\,772\sqrt{695\,700/(2\cdot 149{,}6\cdot 10^{6})}\cdot 0{,}7^{1/4} = 255\) K, tedy −18 °C. Skutečná průměrná teplota je asi +15 °C díky skleníkovému efektu atmosféry (podrobně v průvodci Zeměpis a planeta Země). Konzervativní obyvatelná zóna Slunce sahá podle klimatických modelů (Kopparapu a kol. 2013) přibližně od 0,99 do 1,70 au; u slabších hvězd je blíž, zhruba úměrně \(\sqrt{L}\).

Pozor

„V obyvatelné zóně“ neznamená „obydlená“, ani „obyvatelná“. Venuše by byla u jiné hvězdy na hranici zóny, a přesto je to pec. Planety u červených trpaslíků mají často vázanou rotaci a jejich hvězdy chrlí silné erupce, které mohou atmosféru odvát. Život mimo Zemi zatím nikde prokázán nebyl.

Ve skutečnosti

Nejbližší hvězda, Proxima Centauri, má planetu Proxima b s minimální hmotností asi 1,1 hmotnosti Země v obyvatelné zóně (objevena v roce 2016 metodou radiálních rychlostí). Soustava TRAPPIST-1, 12 pc daleko, má sedm planet velikosti Země, z nichž několik leží v obyvatelné zóně; všechny byly objeveny tranzitní metodou a dnes se zkoumají jejich případné atmosféry.

9.6Procvičení

Jak hluboký je tranzit planety velikosti Neptunu (3,88 \(R_\oplus\)) před hvězdou podobnou Slunci?

\(\delta = (3{,}88\cdot 6\,378/695\,700)^2 = 1{,}27\cdot 10^{-3}\), tedy 1 265 ppm (0,13 %). To pozemní dalekohledy změří, planetu velikosti Země (84 ppm) spolehlivě jen kosmické.

Pravděpodobnost, že dráha dvojčete Země u hvězdy jako Slunce je natočená tak, abychom viděli tranzit, je 0,47 %. Kolik takových hvězd je třeba sledovat, aby byl v průměru vidět jeden tranzit (za předpokladu, že každá takovou planetu má)?

\(1/0{,}0047 = 215\) hvězd. Protože dvojčata Země má jen část hvězd a tranzit nastává jednou za rok, sledovala mise Kepler zhruba 150 000 hvězd nepřetržitě čtyři roky.

Jakou rovnovážnou teplotu má planeta ve vzdálenosti 0,05 au od hvězdy podobné Slunci (albedo 0,3)?

Oslunění \(S = 1/0{,}05^2 = 400\,S_\oplus\). \(T_{\text{eq}} = 254{,}8\cdot 400^{1/4} = 254{,}8\cdot 4{,}47 = 1\,140\) K. Typický horký Jupiter.

Proxima Centauri má svítivost asi 0,0017 \(L_\odot\). Kde leží její obyvatelná zóna a je v ní planeta Proxima b (velká poloosa 0,0485 au)?

Meze škálované \(\sqrt{L} = 0{,}041\): od \(0{,}99\cdot 0{,}041 = 0{,}041\) au do \(1{,}70\cdot 0{,}041 = 0{,}070\) au. Proxima b s 0,0485 au leží uvnitř; dostává asi \(0{,}0017/0{,}0485^2 = 0{,}72\) slunečního oslunění Země.

Tranzit dal poloměr planety 1,2 \(R_{\mathrm J}\), radiální rychlosti hmotnost 0,7 \(M_{\mathrm J}\). Jaká je její hustota (Jupiter 1 326 kg/m³)?

\(\rho = \rho_{\mathrm J}\cdot 0{,}7/1{,}2^3 = 1\,326\cdot 0{,}405 = 537\) kg/m³, řidší než voda. Takových „nafouknutých“ horkých Jupiterů je známo mnoho; ohřev od hvězdy jim zvětšuje poloměr.

Proč je Proxima b snazší objevit metodou radiálních rychlostí než Zemi u Slunce, i když mají podobnou hmotnost?

\(K \propto P^{-1/3} M_\ast^{-2/3}\). Proxima b obíhá za 11,2 dne (místo 365) kolem hvězdy osmkrát lehčí než Slunce. Dosazením vychází \(K \approx 1{,}2\) m/s proti 0,09 m/s u Země, tedy asi čtrnáctkrát víc.

Co si odnést

K 8. 10. 2026 je potvrzeno 6 445 exoplanet (NASA Exoplanet Archive), většina tranzitní metodou.
Tranzit dává poloměr (\(\delta \approx (R_p/R_\ast)^2\)), radiální rychlosti minimální hmotnost; spolu hustotu.
Obyvatelná zóna je vymezena osluněním; neznamená, že na planetě je život.

Část IVVesmír jako celek

Kosmologievysoká škola

Čím je galaxie dál, tím rychleji se od nás vzdaluje. Z tohoto jednoduchého pozorování plyne, že se vesmír rozpíná, že byl kdysi horký a hustý a že má konečné stáří, asi 13,8 miliardy let. Obecná relativita k tomu dodává rovnice, které rozpínání popisují. Dvě velké neznámé ale zůstávají: temná energie, která rozpínání zrychluje, a nesoulad v měření rychlosti rozpínání.

🍞

V těstě na bábovku jsou rozinky. Když těsto kyne, každá rozinka vidí, že se od ní ostatní vzdalují, a to tím rychleji, čím jsou dál. Žádná rozinka není střed a rozinky se těstem nepohybují: roste těsto mezi nimi. Galaxie jsou rozinky a těsto je prostor.

Hubbleův diagram

Body jsou modelové galaxie: vzdálenost změřená s chybou kolem 8 % a rychlost vzdalování ovlivněná vlastním pohybem galaxií. Posuňte sklon přímky tak, aby co nejlépe procházela body, a pak porovnejte svůj odhad s metodou nejmenších čtverců. Odhad do 2 km/s/Mpc od výsledku přinese odměnu.

LABORATOŘ

Hubbleova konstanta (sklon přímky)

Model: 40 galaxií ve vzdálenostech 10–400 Mpc, skutečná hodnota \(H_0\) se pro každou sadu dat náhodně volí mezi 62 a 78 km/s/Mpc, rozptyl vlastních rychlostí 250 km/s, relativní chyba vzdálenosti 8 %. Přímka prochází počátkem, fit minimalizuje součet čtverců odchylek rychlostí. Hubbleův čas \(1/H_0\) v miliardách let je \(977{,}8/H_0\).

Stáří a osud vesmíru

Škálový faktor \(a\) udává, kolikrát byly vzdálenosti mezi galaxiemi menší (\(a = 1\) dnes). Nastavte hustotu hmoty \(\Omega_m\), temné energie \(\Omega_\Lambda\) a Hubbleovu konstantu; laboratoř vyřeší Friedmannovu rovnici a ukáže minulost i budoucnost. Čárkovaně je pro srovnání model Planck 2018.

LABORATOŘ

\(\Omega_m\) (hmota) \(\Omega_\Lambda\) (temná energie) \(H_0\) (km/s/Mpc)

Model: \(H(a)^2 = H_0^2\big(\Omega_r a^{-4}+\Omega_m a^{-3}+\Omega_k a^{-2}+\Omega_\Lambda\big)\) s \(\Omega_r = 9{,}2\cdot 10^{-5}\) (fotony a neutrina) a \(\Omega_k = 1-\Omega_m-\Omega_\Lambda-\Omega_r\). Stáří je integrál \(\int_0^1 \mathrm da/(aH)\), budoucnost numerické řešení rovnice pro zrychlení \(\ddot a\). Temná energie je kosmologická konstanta (stálá hustota).

+Teorie: rozpínání, Friedmannovy rovnice, velký třesk, reliktní záření, temná energie, Hubbleovo napětí

10.1Hubbleův–Lemaîtrův zákon

Vesto Slipher změřil v letech 1912–1925 rudé posuvy desítek spirálních mlhovin; většina se vzdalovala. Georges Lemaître (1927) odvodil z obecné relativity, že rozpínající se vesmír vede k úměrnosti rychlosti a vzdálenosti, a z tehdejších dat odhadl konstantu úměrnosti. Edwin Hubble (1929) vztah ukázal na vlastních měřeních vzdáleností. Mezinárodní astronomická unie v roce 2018 doporučila (78 % hlasujících) nazývat zákon Hubbleův–Lemaîtrův.Hubble–Lemaître law

Hubbleův–Lemaîtrův zákon\[v = H_0\,d,\qquad t_H = \frac{1}{H_0} = \frac{977{,}8}{H_0\,[\text{km}\,\text{s}^{-1}\,\text{Mpc}^{-1}]}\ \text{mld. let}.\]

\(H_0\) je Hubbleova konstanta, dnešní hodnota Hubbleova parametru. Hubbleův čas \(t_H\) je doba, za kterou by se galaxie dostaly do dnešních vzdáleností, kdyby se vzdalovaly stálou rychlostí; je to první odhad stáří vesmíru.Hubble constant, Hubble time

Ve skutečnosti

Hubble dostal \(H_0 \approx 500\) km/s/Mpc, tedy Hubbleův čas jen 2 miliardy let, méně než stáří Země z radioaktivního datování. Chyba byla v kalibraci vzdáleností: Hubble zaměnil dva typy proměnných hvězd a některé jasné mlhoviny považoval za hvězdy. Oprava (Baade, 50. léta) a další měření snížily hodnotu na dnešních 67–73 km/s/Mpc. Sedmdesát let byla hlavní otázkou kosmologie hodnota jediné konstanty.

10.2Rozpínající se vesmír

Kosmologie vychází z kosmologického principu: na velkých škálách (stovky Mpc) je vesmír stejnorodý (homogenní) a ve všech směrech stejný (izotropní). Rozpínání pak popisuje jediná funkce času, škálový faktor \(a(t)\), s dnešní hodnotou \(a_0 = 1\). Vzdálenost dvou galaxií je \(d(t) = a(t)\,\chi\), kde \(\chi\) je jejich neměnná souřadnicová (komovingová) vzdálenost. Derivací dostaneme Hubbleův zákon:cosmological principle, scale factor, comoving distance

Rozpínání a rudý posuv\[v = \dot d = \dot a\,\chi = \frac{\dot a}{a}\,d = H(t)\,d,\qquad 1+z = \frac{\lambda_{\text{poz}}}{\lambda_{\text{vys}}} = \frac{1}{a(t_{\text{vys}})}.\]

Kosmologický rudý posuv tedy přímo udává, kolikrát se vesmír od vyslání světla roztáhl: světlo galaxie se \(z = 1\) vyletělo, když byly vzdálenosti poloviční. Vázané soustavy (atomy, planety, galaxie, kupy) se nerozpínají; jejich vlastní gravitace nebo elektrické síly je drží pohromadě.

Obr. 10.1 Rozpínání prostoru. Mezi dvěma okamžiky se všechny vzdálenosti zvětší stejným poměrem 1/0,6. Bližší galaxie se vzdálí o 40 jednotek, vzdálenější o 57: rychlost vzdalování je úměrná vzdálenosti. Totéž uvidí pozorovatel v kterékoli galaxii; vesmír nemá střed.

10.3Friedmannovy rovnice v kostce

Jak se \(a(t)\) mění, určuje obecná relativita (kapitola 11). Pro homogenní a izotropní vesmír ji zjednodušil Alexandr Fridman (1922, 1924) a nezávisle Lemaître (1927). Výsledek lze odhadnout i newtonovsky: koule o poloměru \(r = a\chi\) s hustotou \(\rho\) má na povrchu kinetickou energii \(\tfrac12\dot r^2\) a potenciální \(-GM/r = -\tfrac43\pi G\rho r^2\) na jednotku hmotnosti. Zákon zachování energie dává tvar první rovnice:Friedmann equations

Friedmannovy rovnice\[H^{2} = \Big(\frac{\dot a}{a}\Big)^{2} = \frac{8\pi G}{3}\,\rho-\frac{k c^{2}}{a^{2}}+\frac{\Lambda c^{2}}{3},\qquad \frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\Big(\rho+\frac{3p}{c^{2}}\Big)+\frac{\Lambda c^{2}}{3}.\]

\(k\) je křivost prostoru (\(+1\) uzavřený, \(0\) plochý, \(-1\) otevřený), \(p\) tlak a \(\Lambda\) kosmologická konstanta. Hustotu stačí porovnat s kritickou hustotou, při níž je vesmír plochý, a zavést bezrozměrné parametry hustoty:critical density, density parameter

Kritická hustota a parametry hustoty\[\rho_c = \frac{3H_0^{2}}{8\pi G},\qquad \Omega_i = \frac{\rho_{i,0}}{\rho_c},\qquad \frac{H^2}{H_0^2} = \Omega_r a^{-4}+\Omega_m a^{-3}+\Omega_k a^{-2}+\Omega_\Lambda.\]

Hustota hmoty klesá jako \(a^{-3}\) (objem), záření jako \(a^{-4}\) (objem a navíc natahování vlnové délky), temná energie v podobě kosmologické konstanty se nemění. V raném vesmíru proto vládlo záření, pak hmota, dnes temná energie.

Příklad Kritická hustota a vesmír bez temné energie

Pro \(H_0 = 67{,}4\) km/s/Mpc \(= 2{,}184\cdot 10^{-18}\) s⁻¹: \(\rho_c = 3(2{,}184\cdot 10^{-18})^2/(8\pi\cdot 6{,}674\cdot 10^{-11}) = 8{,}5\cdot 10^{-27}\) kg/m³, asi pět protonů v krychlovém metru.

Ve vesmíru jen s hmotou a \(\Omega_m = 1\) platí \(a \propto t^{2/3}\) a stáří je \(t_0 = \tfrac23\,t_H = 9{,}7\) mld. let. To je méně než stáří nejstarších hvězd (kolem 12–13 mld. let). S \(\Omega_m = 0{,}315\) a \(\Omega_\Lambda = 0{,}685\) vychází integrací 13,8 mld. let.

Zda se rozpínání zrychluje, říká decelerační parametr \(q_0 = \tfrac12\Omega_m-\Omega_\Lambda\) (bez záření). Pro hodnoty Planck 2018 je \(q_0 = -0{,}53\): rozpínání se zrychluje. Přechod od zpomalování ke zrychlování nastal při \(1+z = (2\Omega_\Lambda/\Omega_m)^{1/3}\), tedy \(z = 0{,}63\), asi 7,7 mld. let po velkém třesku.deceleration parameter

10.4Velký třesk a reliktní záření

Když se vesmír rozpíná, byl dříve hustší a teplejší. Pojem velký třesk označuje tento horký hustý počátek, ne výbuch v nějakém bodě prostoru: hustý byl celý prostor. Co bylo „před“ ním, současná fyzika neříká. Pro teorii svědčí čtyři nezávislá pozorování:Big Bang

Rozpínání vesmíru (Hubbleův–Lemaîtrův zákon).
Reliktní záření (kosmické mikrovlnné pozadí), objevené náhodou Arnem Penziasem a Robertem Wilsonem (1965). Má spektrum černého tělesa o teplotě 2,7255 K s fluktuacemi jen asi 1 : 100 000.cosmic microwave background (CMB)
Zastoupení lehkých prvků: asi čtvrtinu hmotnosti běžné hmoty tvoří helium, které vzniklo v prvních minutách (prvotní nukleosyntéza; podrobně průvodce Jaderná fyzika).
Vývoj galaxií: vzdálené (tedy mladé) galaxie vypadají jinak než blízké a kvasarů bylo dříve víc.

Reliktní záření se uvolnilo asi 380 000 let po velkém třesku, když teplota klesla na asi 3 000 K a elektrony se spojily s jádry v neutrální atomy (rekombinace). Vesmír se tehdy stal průhledným. Od té doby se roztáhl asi 1 090krát a teplota záření klesla úměrně: \(T = T_0(1+z)\).recombination

Obr. 10.2 Dějiny vesmíru na logaritmické ose (každý dílek je stokrát delší než předchozí). Zelená tečka těsně před dneškem je vznik Slunce před 4,6 mld. let. Údaje podle modelu ΛCDM s parametry Planck 2018.

10.5Temná energie a model ΛCDM

Dvě skupiny měřící vzdálenosti supernov typu Ia (Riess a kol. 1998, Perlmutter a kol. 1999) zjistily, že vzdálené supernovy jsou slabší, než by odpovídalo zpomalujícímu se rozpínání: rozpínání se zrychluje (Nobelova cena 2011). Příčině se říká temná energie; nejjednodušší popis je kosmologická konstanta \(\Lambda\), energie samotného prostoru s tlakem \(p = -\rho c^2\), který v rovnici pro \(\ddot a\) působí odpudivě.dark energy, accelerating expansion

**Tab. 10.1**Parametry standardního modelu ΛCDM podle mise Planck (Planck Collaboration 2020, „Planck 2018 results VI“)
Parametr	Hodnota	Význam
\(H_0\)	67,4 ± 0,5 km/s/Mpc	Hubbleova konstanta (odvozená z modelu)
\(\Omega_m\)	0,315 ± 0,007	veškerá hmota (z toho asi 84 % temná)
\(\Omega_\Lambda\)	0,685	temná energie
\(\Omega_k\)	0,001 ± 0,002	křivost: vesmír je plochý v mezích přesnosti
stáří	13,79 ± 0,02 mld. let	od velkého třesku
\(T_0\) reliktního záření	2,7255 K	měřeno přímo (Fixsen 2009)

Model ΛCDM (Λ + studená temná hmota) popisuje reliktní záření, rozložení galaxií i zastoupení prvků s pouhými šesti volnými parametry. Jeho dvě hlavní složky, temná energie a temná hmota, ale nikdo přímo nezměřil. Měření baryonových akustických oscilací projektu DESI (2025) navíc naznačují, že temná energie by se mohla s časem měnit; statistická významnost zatím na objev nestačí.ΛCDM model

10.6Hubbleovo napětí

Hodnotu \(H_0\) lze získat dvěma nezávislými cestami. Raný vesmír: z reliktního záření (a baryonových akustických oscilací) za předpokladu modelu ΛCDM. Pozdní vesmír: přímo ze žebříku vzdáleností (kapitola 12) a rudých posuvů blízkých galaxií. Výsledky si odporují víc, než dovolují udávané nejistoty. Rozdílu se říká Hubbleovo napětí.Hubble tension

**Tab. 10.2**Vybraná měření \(H_0\) (km/s/Mpc); stav k 13. 10. 2026
Metoda	Zdroj	\(H_0\)
reliktní záření (Planck)	Planck Collaboration, 2020	67,4 ± 0,5
reliktní záření (Planck + ACT + SPT)	SPT-3G, 2025	67,2 ± 0,4
BAO + prvotní nukleosyntéza	DESI DR2, 2025	68,5 ± 0,6
žebřík: červení obři (TRGB) a supernovy Ia	Freedman a kol., 2025	70,4 ± 1,9
žebřík: cefeidy a supernovy Ia	Riess a kol. (SH0ES), 2022	73,0 ± 1,0
síť metod místního vesmíru	H0DN, Local Distance Network, 2026	73,5 ± 0,8

Nejistota u Freedmanové a kol. je součet statistické, systematické a supernovové složky v kvadrátu (1,22; 1,33; 0,70). Výsledky jsou zaokrouhlené na desetiny, zdroje v příloze C.

Rozdíl SH0ES a Planck je \((73{,}04-67{,}4)/\sqrt{1{,}04^2+0{,}5^2} = 4{,}9\) směrodatné odchylky, pro síť H0DN proti kombinaci reliktního záření kolem 7. Měření týmu Freedmanové metodou TRGB leží mezi oběma skupinami a v rámci své nejistoty je slučitelné i s hodnotou z raného vesmíru (rozdíl 1,5 směrodatné odchylky). Možná vysvětlení jsou dvě: dosud nerozpoznaná systematická chyba v některém z měření, nebo nová fyzika v raném vesmíru (například další složka energie před rekombinací). K 13. 10. 2026 napětí není vyřešeno.

Pozor

„Vesmír se rozpíná rychlostí 70 km/s/Mpc“ neznamená, že by se něco pohybovalo rychlostí 70 km/s. Je to rychlost na jednotku vzdálenosti. Galaxie dál než \(c/H_0 \approx 4\,400\) Mpc se vzdalují rychleji než světlo, a to teorii relativity neodporuje: nepohybují se prostorem, roste prostor mezi námi.

10.7Procvičení

Galaxie je 150 Mpc daleko. Jakou rychlostí se vzdaluje při \(H_0 = 70\) km/s/Mpc a jaký má přibližně rudý posuv?

\(v = 70\cdot 150 = 10\,500\) km/s, \(z \approx v/c = 10\,500/299\,792 = 0{,}035\).

Jaký je Hubbleův čas pro \(H_0 = 67{,}4\) a pro \(H_0 = 73{,}0\) km/s/Mpc?

\(977{,}8/67{,}4 = 14{,}5\) mld. let a \(977{,}8/73{,}0 = 13{,}4\) mld. let. Skutečné stáří závisí i na složení vesmíru (\(\Omega_m\), \(\Omega_\Lambda\)); pro Planck 2018 je 13,8 mld. let.

Jakou teplotu mělo reliktní záření v době, kdy svítila galaxie s \(z = 3\), a v době rekombinace (\(z \approx 1\,090\))?

\(T = 2{,}7255\,(1+z)\): pro \(z = 3\) je to 10,9 K, při rekombinaci \(2{,}7255\cdot 1\,091 = 2\,974\) K, asi 3 000 K. Maximum dnešního záření leží podle Wienova zákona na \(2{,}898/2{,}7255 = 1{,}06\) mm, v mikrovlnné oblasti.

Vesmír obsahuje jen hmotu s \(\Omega_m = 1\) a \(H_0 = 67{,}4\) km/s/Mpc. Jaké je jeho stáří a proč tento model neobstál?

\(t_0 = \tfrac23\cdot 14{,}51 = 9{,}67\) mld. let. Nejstarší hvězdy v kulových hvězdokupách jsou staré kolem 12–13 mld. let, vesmír nemůže být mladší než jeho hvězdy. Navíc pozorování supernov ukazují zrychlování, které model jen s hmotou dát nemůže (\(q_0 = 0{,}5 \gt 0\)).

Při jakém rudém posuvu měla hmota a temná energie stejnou hustotu (\(\Omega_m = 0{,}315\), \(\Omega_\Lambda = 0{,}685\))? A kdy začalo zrychlování?

Stejná hustota: \(\Omega_m a^{-3} = \Omega_\Lambda\), \(a = (0{,}315/0{,}685)^{1/3} = 0{,}772\), \(z = 0{,}30\). Zrychlování (\(\ddot a = 0\)): \(\tfrac12\Omega_m a^{-3} = \Omega_\Lambda\), \(a = 0{,}613\), \(z = 0{,}63\), asi 7,7 mld. let po velkém třesku.

Spočítejte kritickou hustotu pro \(H_0 = 73\) km/s/Mpc. Jak se změní oproti 67,4?

\(\rho_c \propto H_0^2\): \(8{,}53\cdot 10^{-27}\cdot(73/67{,}4)^2 = 1{,}00\cdot 10^{-26}\) kg/m³, o 17 % víc, asi šest protonů na m³.

Co si odnést

\(v = H_0 d\); rudý posuv \(1+z = 1/a\) říká, kolikrát se vesmír od vyslání světla roztáhl.
Friedmannova rovnice spojuje rozpínání s obsahem vesmíru: záření, hmota, křivost, temná energie.
Velký třesk podporuje rozpínání, reliktní záření (2,7255 K), zastoupení lehkých prvků a vývoj galaxií. Stáří 13,8 mld. let.
Rozpínání se zrychluje (temná energie); měření \(H_0\) z raného a pozdního vesmíru si k 13. 10. 2026 odporují.

Část IVVesmír jako celek

Obecná relativita a černé díryvysoká škola

Newtonova gravitace je síla. Einsteinova obecná teorie relativity (1915) ji vykládá jinak: hmota a energie zakřivují prostoročas a tělesa se v něm pohybují po nejpřímějších možných drahách. V běžných podmínkách dávají obě teorie skoro stejné výsledky. U černých děr, gravitačních čoček a gravitačních vln je rozdíl zásadní, a všechny tři předpovědi obecné relativity byly potvrzeny.

🛗

Ve výtahu, jehož lano se přetrhlo, by vám vypadlé klíče plavaly před očima, jako byste byli ve stavu beztíže. Einstein to později označil za nejšťastnější myšlenku svého života: volný pád gravitaci lokálně „vypne“. Gravitace tedy není obyčejná síla, ale vlastnost prostoru a času, ve kterých se pohybujeme.

Černá díra zblízka

Zvolte hmotnost objektu a vzdálenost od jeho středu v násobcích Schwarzschildova poloměru. Graf ukazuje, jak pomalu tam jdou hodiny ve srovnání s hodinami daleko. Svislé čáry: fotonová sféra (1,5 R_s) a nejvnitřnější stabilní kruhová dráha (3 R_s).

LABORATOŘ

Hmotnost (Slunce = 1) Vzdálenost od středu

Model: nerotující nenabitá černá díra (Schwarzschildovo řešení), hodiny v klidu ve vzdálenosti \(r\): \(\mathrm d\tau/\mathrm dt = \sqrt{1-R_s/r}\). Slapové zrychlení podle newtonovského přiblížení \(\Delta a \approx 2GM\,L/r^3\) pro těleso délky \(L = 2\) m. U Země a Slunce leží zvolená vzdálenost pod povrchem, pokud je menší než jejich poloměr; laboratoř tehdy počítá, jako by byla veškerá hmota soustředěná.

Gravitační vlny: cvrlikání splývajících těles

Dvě kompaktní tělesa se spirálovitě přibližují a vyzařují gravitační vlny s rostoucí frekvencí a amplitudou („chirp“). Graf ukazuje deformaci prostoru \(h\) v detektoru během posledních okamžiků před splynutím.

LABORATOŘ

Hmotnost 1 (M☉) Hmotnost 2 (M☉) Vzdálenost

Model: kvadrupólové přiblížení pro kruhovou dráhu (newtonovská fáze přibližování) až po nejvnitřnější stabilní dráhu; samotné splynutí a „dozvuk“ výsledné černé díry nejsou modelovány. Frekvence gravitačních vln je dvojnásobkem oběžné frekvence. Ukázka začíná, když frekvence překročí 30 Hz (zhruba odkud jsou detektory LIGO citlivé), nebo nejvýš 0,5 s před koncem.

Minihra: pravda, nebo mýtus o černých dírách?

Rozhodněte o každém tvrzení.

MINIHRA

0 / 7

+Teorie: princip ekvivalence, zakřivený prostoročas, Schwarzschildovo řešení, čočky a gravitační vlny

11.1Princip ekvivalence

Všechna tělesa padají ve stejném gravitačním poli se stejným zrychlením; setrvačná a gravitační hmotnost jsou si rovny. Experimenty to ověřily s přesností lepší než \(10^{-14}\). Einstein (1907) z toho učinil princip: v malé volně padající laboratoři nelze žádným pokusem rozlišit, zda je v gravitačním poli, nebo daleko od všech hmot; a laboratoř stojící na Zemi je k nerozeznání od rakety zrychlující s \(g\).equivalence principle

Obr. 11.1 Einsteinův myšlenkový pokus. V raketě zrychlující tempem g padá upuštěný míček k podlaze stejně jako na Zemi a vodorovně vyslaný paprsek dopadne na protější stěnu níž, protože se raketa mezitím zrychlila. Podle principu ekvivalence se proto musí i v gravitačním poli světlo ohýbat.

Z principu plynou dvě předpovědi ještě před úplnou teorií: světlo se v gravitačním poli ohýbá a hodiny hlouběji v gravitačním poli jdou pomaleji (gravitační dilatace času, s ní gravitační rudý posuv). Pro malé výškové rozdíly platí \(\Delta f/f \approx g h/c^2\). Robert Pound a Glen Rebka (1959) změřili posun frekvence záření gama ve věži vysoké 22,5 m: \(9{,}81\cdot 22{,}5/c^2 = 2{,}46\cdot 10^{-15}\).gravitational time dilation, gravitational redshift

11.2Zakřivený prostoročas

V obecné relativitě (1915) není gravitace silou, ale zakřivením prostoročasu. Volně padající tělesa se pohybují po geodetikách, nejpřímějších možných drahách v zakřiveném prostoročase. Zakřivení určuje rozložení hmoty a energie podle Einsteinových rovnic pole:spacetime, geodesic, Einstein field equations

Einsteinovy rovnice\[G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^{4}}\,T_{\mu\nu}\]

Vlevo je geometrie (Einsteinův tenzor \(G_{\mu\nu}\) z metriky \(g_{\mu\nu}\)), vpravo zdroj (tenzor energie a hybnosti \(T_{\mu\nu}\)). Je to deset provázaných nelineárních parciálních diferenciálních rovnic; pro slabá pole a malé rychlosti přecházejí v Newtonův zákon. Friedmannovy rovnice z kapitoly 10 jsou jejich řešením pro homogenní vesmír.

**Tab. 11.1**Klasické testy obecné relativity
Jev	Předpověď	Ověření
stáčení přísluní Merkuru navíc proti Newtonovi	43″ za století	známá anomálie od 19. století, vysvětlena 1915
ohyb světla hvězdy u okraje Slunce	1,75″	zatmění Slunce 1919 (Eddington, Dyson), dnes rádiová interferometrie
zpoždění radarového signálu u Slunce	až ~200 µs	Shapiro (1964–1968), sonda Cassini (2003)
gravitační rudý posuv	\(gh/c^2\)	Pound a Rebka (1959), atomové hodiny

Příklad Proč relativitu potřebují navigační družice

Hodiny družice ve výšce 20 200 km jsou výš v gravitačním poli, a proto jdou rychleji o \(\frac{GM_\oplus}{c^2}\big(\frac{1}{R_\oplus}-\frac{1}{r}\big)\cdot 86\,400\ \text{s} = 45{,}7\) µs za den. Zároveň se pohybují rychlostí 3,87 km/s a podle speciální relativity jdou pomaleji o \(\frac{v^2}{2c^2}\cdot 86\,400\ \text{s} = 7{,}2\) µs za den. Výsledek: +38,5 µs za den. Bez korekce by chyba polohy rostla o \(c\cdot 38{,}5\ \mu\text{s} \approx 11\) km denně.

11.3Schwarzschildovo řešení a černé díry

Karl Schwarzschild našel v roce 1916 přesné řešení Einsteinových rovnic pro prostoročas kolem kulové nerotující hmoty:Schwarzschild metric

Schwarzschildova metrika\[\mathrm ds^{2} = -\Big(1-\frac{R_s}{r}\Big)c^{2}\mathrm dt^{2}+\Big(1-\frac{R_s}{r}\Big)^{-1}\mathrm dr^{2}+r^{2}\,\mathrm d\Omega^{2},\qquad R_s = \frac{2GM}{c^{2}}.\]

Je-li těleso menší než svůj Schwarzschildův poloměr \(R_s\), vznikne černá díra. Plocha \(r = R_s\) je horizont událostí: nic, ani světlo, co ho překročí, se nemůže vrátit. Pro Slunce je \(R_s = 2\cdot 1{,}327\cdot 10^{20}/c^2 = 2{,}95\) km, pro Zemi 8,9 mm. Hodiny v klidu ve vzdálenosti \(r\) jdou pomaleji faktorem \(\sqrt{1-R_s/r}\); na horizontu by se z pohledu vzdáleného pozorovatele zastavily.Schwarzschild radius, event horizon

Obr. 11.2 Okolí nerotující černé díry (schematicky). Na fotonové sféře může světlo kroužit po (nestabilní) kruhové dráze; pod nejvnitřnější stabilní kruhovou drahou plyn akrečního disku padá rovnou do díry. Teleskop EHT zobrazil světlý prstenec kolem „stínu“ o průměru asi 5,2 R_s.

Ve skutečnosti

Černé díry hvězdných hmotností (jednotky až desítky hmotností Slunce) prozrazuje rentgenové záření plynu, který na ně padá z druhé složky dvojhvězdy; první přesvědčivou byla Cygnus X-1 (začátek 70. let). V centru Mléčné dráhy je černá díra Sagittarius A* s hmotností asi 4 milionů Sluncí, odvozenou z drah hvězd kolem ní (Nobelova cena 2020 pro Reinharda Genzela a Andreu Ghezovou, spolu s Rogerem Penrosem za teorii). Síť radioteleskopů Event Horizon Telescope zveřejnila snímky okolí černé díry M87* (2019) a Sgr A* (2022). Stephen Hawking (1974) ukázal, že kvantové jevy dávají černé díře nepatrnou teplotu; pro hmotnost Slunce jen \(6\cdot 10^{-8}\) K.

Pozor

Černá díra není kosmický vysavač. Ve vzdálenosti mnoha \(R_s\) se gravitačně chová jako kterékoli jiné těleso stejné hmotnosti. Kdyby se Slunce náhle změnilo v černou díru o stejné hmotnosti, Země by obíhala dál po stejné dráze (jen by byla tma a zima).

11.4Gravitační čočky

Světlo procházející ve vzdálenosti \(b\) kolem hmoty \(M\) se ohne o úhel \(\alpha = 4GM/(c^2 b)\), dvojnásobek „newtonovské“ hodnoty. Leží-li zdroj, čočka a pozorovatel v přímce, vznikne prstenec o úhlovém poloměru \(\theta_E\) (Einsteinův prstenec); jinak vzniknou dva nebo více obrazů.gravitational lensing, Einstein ring

Ohyb světla a Einsteinův poloměr\[\alpha = \frac{4GM}{c^{2}b},\qquad \theta_E = \sqrt{\frac{4GM}{c^{2}}\,\frac{D_{LS}}{D_L D_S}}.\]

Obr. 11.3 Gravitační čočka (úhly silně zveličené). Světlo vzdáleného zdroje se ohne kolem hmotné čočky a pozorovatel vidí obrazy ve směrech, odkud paprsky přicházejí. V přesném zákrytu se obrazy slijí do Einsteinova prstence.

Čočky se uplatňují ve třech režimech. Silné čočkování kupami galaxií vytváří oblouky a násobné obrazy; z nich se váží kupy včetně temné hmoty (kapitola 8). Slabé čočkování mírně deformuje tvary miliónů galaxií a statisticky mapuje rozložení hmoty. Mikročočkování hvězdou na čas zjasní hvězdu pozadí (kapitola 9).

Příklad Ohyb světla u Slunce

\(\alpha = 4GM_\odot/(c^2 R_\odot) = 2R_s/R_\odot = 2\cdot 2\,953/6{,}957\cdot 10^{8} = 8{,}49\cdot 10^{-6}\) rad \(= 1{,}75''\). Eddingtonova a Dysonova expedice za zatměním Slunce 29. 5. 1919 naměřila hodnoty blízké této předpovědi, ne poloviční newtonovské, a Einstein se stal slavným.

11.5Gravitační vlny

Zrychleně se pohybující hmoty vysílají gravitační vlny, vlnky zakřivení prostoročasu šířící se rychlostí světla. Natahují a stlačují vzdálenosti napříč směrem šíření; relativní změna délky se nazývá amplituda deformace \(h = \Delta L/L\). Nepřímo je potvrdil dvojitý pulzar PSR B1913+16 (Hulse a Taylor, 1974), jehož dráha se zmenšuje přesně podle ztrát energie vyzařováním vln.gravitational waves, strain

Přímo je 14. 9. 2015 zachytily oba detektory LIGO (GW150914; Abbott a kol. 2016). Dvě černé díry o hmotnostech asi 36 a 29 hmotností Slunce ve vzdálenosti asi 410 Mpc splynuly v jednu o hmotnosti asi 62 Sluncí; rozdíl, asi 3 hmotnosti Slunce, se vyzářil jako gravitační vlny (\(E = 3M_\odot c^2 = 5{,}4\cdot 10^{47}\) J). Deformace na Zemi měla amplitudu asi \(10^{-21}\): čtyřkilometrová ramena detektoru se změnila o \(4\cdot 10^{-18}\) m, setinu poloměru protonu. Za objev byla udělena Nobelova cena za fyziku 2017.GW150914, LIGO

Cvrlikavá hmotnost a frekvence\[\mathcal M = \frac{(m_1 m_2)^{3/5}}{(m_1+m_2)^{1/5}},\qquad f(\tau) = \frac{1}{\pi}\Big(\frac{5}{256\,\tau}\Big)^{3/8}\Big(\frac{G\mathcal M}{c^{3}}\Big)^{-5/8}.\]

\(\tau\) je čas zbývající do splynutí. Z rychlosti, s jakou frekvence roste, se měří cvrlikavá hmotnost \(\mathcal M\); pro GW150914 vychází \(\mathcal M = (36\cdot 29)^{3/5}/65^{1/5} = 28{,}1\ M_\odot\). Srážka dvou neutronových hvězd GW170817 (17. 8. 2017) byla pozorována i jako záblesk záření gama a kilonova v optickém oboru; ukázala, že v takových srážkách vznikají těžké prvky (průvodce Jaderná fyzika) a že gravitační vlny letí rychlostí světla. Katalog GWTC-4.0 (srpen 2025) obsahuje 218 kandidátů splynutí.chirp mass, kilonova

11.6Procvičení

Jaký je Schwarzschildův poloměr černé díry v centru Galaxie (asi \(4{,}3\cdot 10^{6}\ M_\odot\)) a černé díry v galaxii M87 (\(6{,}5\cdot 10^{9}\ M_\odot\))?

\(R_s = 2{,}95\ \text{km}\cdot M/M_\odot\). Sgr A*: \(1{,}27\cdot 10^{7}\) km \(= 0{,}085\) au (asi pětina dráhy Merkuru). M87*: \(1{,}92\cdot 10^{10}\) km \(= 128\) au, víc než čtyřnásobek poloměru dráhy Neptunu.

Jak pomalu jdou hodiny v klidu ve vzdálenosti \(3R_s\) a \(1{,}5R_s\) ve srovnání s hodinami daleko?

\(\sqrt{1-1/3} = 0{,}816\) a \(\sqrt{1-1/1{,}5} = 0{,}577\). Za hodinu vzdáleného času uplyne 49,0 min, respektive 34,6 min.

Jaké slapové zrychlení by natahovalo dvoumetrového astronauta na horizontu černé díry o 10 \(M_\odot\) a na horizontu Sgr A*?

\(\Delta a = 2GM\,L/r^3\) s \(r = R_s\). Pro 10 \(M_\odot\) (\(R_s = 29{,}5\) km): \(2\cdot 1{,}327\cdot 10^{21}\cdot 2/(2{,}953\cdot 10^{4})^3 = 2{,}1\cdot 10^{8}\) m/s², dvacet milionů \(g\): „špagetizace“. Pro Sgr A* jen \(1{,}1\cdot 10^{-3}\) m/s²; horizontem by astronaut prošel bez povšimnutí. Slapy na horizontu klesají s \(1/M^2\).

Ověřte, že stočení přísluní Merkuru podle obecné relativity dělá 43″ za století. (\(\Delta\varphi = 6\pi GM_\odot/[c^2 a(1-e^2)]\) za oběh, \(a = 0{,}3871\) au, \(e = 0{,}2056\), oběžná doba 87,97 dne.)

\(\Delta\varphi = 6\pi\cdot 1{,}327\cdot 10^{20}/\big(8{,}988\cdot 10^{16}\cdot 5{,}791\cdot 10^{10}\cdot 0{,}9577\big) = 5{,}02\cdot 10^{-7}\) rad \(= 0{,}1035''\) za oběh. Za století \(36\,525/87{,}97 = 415{,}2\) oběhů: \(43{,}0''\).

Jak dlouho před splynutím GW150914 (\(\mathcal M = 28{,}1\ M_\odot\)) prošel signál frekvencí 35 Hz a do jaké frekvence dorostl na nejvnitřnější stabilní dráze (\(f = c^3/(6^{3/2}\pi G M)\), \(M = 65\ M_\odot\))?

\(\tau = \tfrac{5}{256}\,(G\mathcal M/c^3)^{-5/3}(\pi f)^{-8/3} = 0{,}19\) s. Na nejvnitřnější stabilní dráze \(f = 68\) Hz; při samotném splynutí signál vystoupal ještě výš (k asi 150 Hz), což už kvadrupólové přiblížení nepopisuje.

O kolik se za den předbíhají hodiny navigační družice proti hodinám na Zemi a jak velkou chybu polohy by to způsobilo?

Gravitační efekt +45,7 µs, rychlostní −7,2 µs, celkem +38,5 µs za den. Světlo urazí za 38,5 µs vzdálenost \(299\,792\,458\cdot 38{,}5\cdot 10^{-6} = 11{,}5\) km; chyba by rostla zhruba o tolik denně.

Co si odnést

Princip ekvivalence: volný pád je k nerozeznání od beztíže; z toho plyne ohyb světla a gravitační dilatace času.
Hmota zakřivuje prostoročas; \(R_s = 2GM/c^2\) (Slunce 2,95 km) je mez, pod kterou vzniká černá díra.
Gravitační čočky váží kupy galaxií; gravitační vlny (GW150914, 2015) otevřely nové okno do vesmíru.

Část IVVesmír jako celek

Nitro hvězd a měření ve vesmíruvysoká škola

Do nitra Slunce nikdo nevidí, a přece známe jeho teplotu, hustotu i to, jak dlouho tam putuje energie k povrchu. Stačí k tomu několik rovnic: rovnováha tlaku a gravitace, zákony přenosu energie a stavová rovnice plynu. Kapitola končí otázkou, na které stojí celá astronomie: jak se vlastně měří vzdálenosti, hmotnosti a stáří objektů, ke kterým se nikdy nedostaneme.

🎈

Nafouknutý balonek drží tvar, protože tlak vzduchu uvnitř vyrovnává napětí gumy. Hvězda je balon bez gumy: tlak horkého plynu uvnitř vyrovnává vlastní gravitaci. Když hvězda ztrácí energii, smrští se, zahřeje a tlak zase vzroste. Hvězda je samoregulující termostat.

Polytropní model hvězdy

Nejjednodušší model nitra hvězdy předpokládá, že tlak závisí jen na hustotě, \(P = K\rho^{1+1/n}\) (polytropa s indexem \(n\)). Pak stačí vyřešit Laneovu–Emdenovu rovnici. Graf ukazuje průběh hustoty, tlaku, teploty a hmotnosti od středu k povrchu.

LABORATOŘ

Polytropní index n Hmotnost (M☉) Poloměr (R☉)

Model: Laneova–Emdenova rovnice řešená numericky (Runge–Kutta), teplota ze stavové rovnice ideálního plynu se střední molekulovou hmotností \(\mu = 0{,}62\) (plně ionizovaná sluneční směs), bez tlaku záření. Index \(n = 3\) odpovídá Eddingtonovu standardnímu modelu, \(n = 1{,}5\) plně konvektivní hvězdě. Skutečné Slunce má podle standardního modelu ve středu asi \(1{,}5\cdot 10^{5}\) kg/m³ a \(1{,}57\cdot 10^{7}\) K; polytropa dává řádově správné hodnoty.

Cefeida jako měřítko vzdálenosti

Cefeidy jsou pulzující obří hvězdy; čím delší perioda pulzací, tím větší svítivost (Leavittová, 1912). Ze změřené periody tedy plyne absolutní hvězdná velikost, z porovnání se zdánlivou vzdálenost. Mezihvězdný prach hvězdu zeslabuje (extinkce), což je potřeba odečíst.

LABORATOŘ

Perioda Střední zdánlivá velikost V Extinkce A_V

Model: vztah perioda–svítivost \(M_V = -2{,}43\,(\log_{10}P-1)-4{,}05\) podle paralax cefeid změřených Hubbleovým dalekohledem (Benedict a kol. 2007), bez závislosti na chemickém složení. Rychlost z Hubbleova–Lemaîtrova zákona s \(H_0 = 70\) km/s/Mpc jen pro orientaci (u blízkých galaxií převažují vlastní pohyby).

Minihra: příčky žebříku vzdáleností

Přiřaďte metodu k oblasti vzdáleností, ve které se nejvíc používá.

MINIHRA

0 / 7

+Teorie: hydrostatická rovnováha, přenos energie, časové škály, hmotnostní limity a žebřík vzdáleností

12.1Hydrostatická rovnováha

Uvažujme tenkou slupku hvězdy o poloměru \(r\), tloušťce \(\mathrm dr\) a ploše \(A\). Zdola na ni tlačí tlak \(P(r)\), shora menší tlak \(P(r+\mathrm dr)\) a dolů ji táhne gravitace hmoty \(m(r)\) uvnitř. V rovnováze se síly vyrovnají a dostaneme první dvě rovnice stavby hvězd:hydrostatic equilibrium, mass continuity

Hydrostatická rovnováha a spojitost hmoty\[\frac{\mathrm dP}{\mathrm dr} = -\frac{G\,m(r)\,\rho(r)}{r^{2}},\qquad \frac{\mathrm dm}{\mathrm dr} = 4\pi r^{2}\rho(r).\]

Obr. 12.1 Element plynu ve hvězdě. Rozdíl tlaků zdola a shora nese tíhu elementu: [P(r) − P(r + dr)] · A = G m(r) dm / r². Proto tlak směrem ke středu roste.

Hrubý odhad tlaku ve středu dostaneme nahrazením derivace podílem: \(P_c \sim GM^2/R^4\), pro Slunce \(\sim 10^{15}\) Pa. Přesné modely dávají \(2{,}5\cdot 10^{16}\) Pa, stokrát víc než v jádru Země, protože hustota ke středu prudce roste.

Viriálová věta a teplota nitra

Pro hvězdu v rovnováze platí viriálová věta: dvojnásobek tepelné (kinetické) energie částic plynu plus gravitační potenciální energie je nula, \(2K+U = 0\). Odtud plyne odhad střední teploty: \(kT \sim GM\mu m_{\mathrm H}/R\), pro Slunce řádově \(10^{7}\) K. Teplota v jádře je tedy dána jen hmotností a poloměrem, ne tím, zda v něm hoří fúze.virial theorem

Příklad Teplota nitra Slunce z viriálové věty

\(T \sim \dfrac{GM_\odot\,\mu m_{\mathrm H}}{k R_\odot} = \dfrac{6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}989\cdot 10^{30}\cdot 0{,}62\cdot 1{,}674\cdot 10^{-27}}{1{,}381\cdot 10^{-23}\cdot 6{,}957\cdot 10^{8}} = 1{,}4\cdot 10^{7}\ \text{K}.\) Standardní model Slunce dává ve středu \(1{,}57\cdot 10^{7}\) K.

Z viriálové věty plyne i pozoruhodná vlastnost: hvězda má zápornou tepelnou kapacitu. Když vyzáří energii, smrští se a polovinu uvolněné gravitační energie získá jako teplo, takže se ohřeje. Tento „termostat“ udržuje fúzi stabilní: když se jádro přehřeje, rozepne se a ochladí.

Polytropy

Pokud tlak závisí jen na hustotě, \(P = K\rho^{1+1/n}\), lze obě rovnice spojit substitucí \(\rho = \rho_c\theta^n\), \(r = \alpha\xi\) do jediné Laneovy–Emdenovy rovnice. Povrch hvězdy odpovídá prvnímu nulovému bodu \(\xi_1\).polytrope, Lane–Emden equation

Laneova–Emdenova rovnice\[\frac{1}{\xi^{2}}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\xi}\Big(\xi^{2}\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm d\xi}\Big) = -\theta^{n},\qquad \theta(0) = 1,\ \theta'(0) = 0,\qquad \frac{\rho_c}{\bar\rho} = \frac{\xi_1}{3\,|\theta'(\xi_1)|}.\]

**Tab. 12.1**Polytropy (numerické řešení; stejné hodnoty používá laboratoř)
Index n	Odpovídá	\(\xi_1\)	\(\rho_c/\bar\rho\)	\(T_c\) pro Slunce
0	nestlačitelná koule	2,449	1,00	7,1 mil. K
1,5	plně konvektivní hvězda, chladný bílý trpaslík	3,654	5,99	7,7 mil. K
3	Eddingtonův standardní model Slunce	6,897	54,2	12,2 mil. K

12.2Přenos energie

Energie z jádra se k povrchu dostává třemi způsoby. Zářivou difuzí: fotony se neustále pohlcují a znovu vyzařují do náhodných směrů a pomalu „prosakují“ ven. Gradient teploty potřebný k přenosu svítivosti \(L\) je

Zářivý přenos\[\frac{\mathrm dT}{\mathrm dr} = -\frac{3\,\kappa\,\rho\,L(r)}{16\pi a c\,r^{2}T^{3}},\qquad a = \frac{4\sigma}{c},\]

kde \(\kappa\) je opacita (neprůhlednost, m²/kg). Je-li potřebný gradient příliš strmý (vysoká opacita nebo velký tok energie), začne se plyn konvekcí promíchávat jako vařící voda; podmínku stanovil Karl Schwarzschild (1906). V degenerované látce bílých trpaslíků vede energii hlavně vedení elektrony.radiative diffusion, opacity, convection, Schwarzschild criterion

Obr. 12.2 Stavba Slunce (řez, poloměry v měřítku). V jádře probíhá fúze, v zářivé zóně energii nesou fotony náhodnou procházkou, v horních 29 % poloměru konvekce. Hranice zón byly změřeny helioseizmologií z kmitů slunečního povrchu.

Příklad Náhodná procházka fotonu

Foton s volnou dráhou \(\ell\) urazí po \(N\) krocích náhodným směrem vzdálenost jen \(\ell\sqrt N\). K dosažení poloměru \(R\) potřebuje \(N = (R/\ell)^2\) kroků a čas \(t = N\ell/c = R^2/(\ell c)\). Pro \(\ell = 1\) mm: \(t = (6{,}957\cdot 10^{8})^2/(10^{-3}\cdot 3\cdot 10^{8}) = 1{,}6\cdot 10^{12}\) s, asi 51 000 let; pro \(\ell = 1\) cm 5 100 let. Skutečná volná dráha se v nitru mění o mnoho řádů, a odhady proto kolísají od tisíců po statisíce let. Volně letící neutrina z fúze opustí Slunce za 2,3 s.

12.3Časové škály a zdroj energie

Tři čísla shrnují život hvězdy. Dynamická škála \(t_{\text{dyn}} \sim 1/\sqrt{G\bar\rho}\) (pro Slunce 54 min) říká, jak rychle by se hvězda bez tlaku zhroutila. Kelvinova–Helmholtzova škála \(t_{KH} = GM^2/(RL)\) (31 milionů let) udává, jak dlouho by hvězdu živilo smršťování. Na konci 19. století z ní lord Kelvin usoudil, že Slunce nemůže být starší než desítky milionů let, v rozporu s geology a Darwinem. Spor vyřešila až jaderná časová škála, asi 10 miliard let (kapitola 7). Návrh, že hvězdy září díky slučování vodíku na helium, vyslovil Arthur Eddington (1920); podrobný mechanismus popsal Hans Bethe (1939). Jadernou fyziku fúze vykládá průvodce Jaderná fyzika.dynamical timescale, Kelvin–Helmholtz timescale, nuclear timescale

Z rovnic stavby lze bez řešení odvodit závislosti (homologie): pro hvězdy se zářivým přenosem a stálou opacitou vychází \(L \propto \mu^4 M^3/\kappa\). Svítivost tedy roste přibližně s třetí mocninou hmotnosti, ve shodě s pozorovaným vztahem hmotnost–svítivost (kapitola 6).homology relations

12.4Hmotnostní limity hvězd

Dolní mez, asi 0,075–0,08 \(M_\odot\): lehčí objekty se při smršťování dřív stanou degenerovanými, než jádro dosáhne teploty pro trvalou fúzi vodíku; vzniknou hnědí trpaslíci. Nad asi 13 hmotnostmi Jupiteru krátce spalují deuterium.
Horní mez, kolem 150 \(M_\odot\): u velmi hmotných hvězd se blíží svítivost Eddingtonově mezi, kdy tlak záření na elektrony vyrovná gravitaci a vnější vrstvy začnou odtékat. Pro rozptyl na elektronech (\(\kappa = 0{,}034\) m²/kg) je \(L_{\text{Edd}} = 4\pi GMc/\kappa = 1{,}5\cdot 10^{31}\ \text{W}\cdot M/M_\odot \approx 38\,000\,L_\odot\cdot M/M_\odot\).Eddington luminosity
Chandrasekharova mez, asi 1,4 \(M_\odot\): nejvyšší hmotnost bílého trpaslíka; pro složení s \(\mu_e = 2\) je \(M_{\text{Ch}} = 5{,}83/\mu_e^2\,M_\odot = 1{,}46\,M_\odot\).
Mez neutronových hvězd, asi 2–2,5 \(M_\odot\): závisí na neznámé stavové rovnici jaderné hmoty; nejhmotnější spolehlivě změřené neutronové hvězdy mají kolem 2,1 \(M_\odot\).

12.5Jak astronomové měří: žebřík vzdáleností

Žádná metoda neměří všechny vzdálenosti. Astronomové proto skládají žebřík vzdáleností: každá příčka kalibruje tu další. Chyba na nižší příčce se přenáší do všech vyšších, a proto se dnes věnuje tolik úsilí nezávislým cestám (kapitola 10).cosmic distance ladder

Obr. 12.3 Příčky žebříku vzdáleností a jejich přibližný dosah. Radar určil astronomickou jednotku, ta je základnou paralax; paralaxy kalibrují cefeidy a červené obry v Galaxii, ty supernovy Ia v blízkých galaxiích a supernovy Hubbleovu konstantu.

**Tab. 12.2**Co a jak se ve vesmíru měří
Veličina	Metoda	Fyzika	Kapitola
vzdálenost	radar, paralaxa, standardní svíčky, rudý posuv	geometrie, \(F = L/4\pi d^2\), rozpínání	3, 6, 10, 12
hmotnost	oběžné dráhy, rotační křivky, čočky	Kepler a Newton, obecná relativita	4, 6, 8, 11
teplota	barva a spektrum	Wienův a Planckův zákon, ionizace	5, 6
složení	spektrální čáry	atomová fyzika	5
rychlost	Dopplerův jev, vlastní pohyb	vlnění	5, 9
stáří	radioaktivní datování, HR diagram hvězdokup, rozpínání	rozpad jader, vývoj hvězd, kosmologie	3, 7, 10

Pomůcka

Dobré astronomické měření má vždy tři části: hodnotu, statistickou nejistotu (náhodný rozptyl, klesá s počtem měření) a systematickou nejistotu (chyba kalibrace nebo modelu, opakováním nezmizí). Spory jako Hubbleovo napětí jsou téměř vždy o systematických chybách. Proto se cení nezávislé metody, slepé analýzy (výsledek se „odkryje“ až po ukončení postupu) a zveřejněná data. Jak se s nejistotami počítá, vykládá průvodce Statistika a modely.

12.6Procvičení

Pro polytropu s \(n = 3\) je \(\rho_c/\bar\rho = 54{,}18\) a \(P_c = 11{,}05\,GM^2/R^4\). Spočítejte hustotu, tlak a teplotu ve středu Slunce (\(\mu = 0{,}62\)).

\(\bar\rho = M_\odot/(\tfrac43\pi R_\odot^3) = 1\,410\) kg/m³, \(\rho_c = 54{,}18\cdot 1\,410 = 7{,}6\cdot 10^{4}\) kg/m³. \(P_c = 11{,}05\cdot 6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot(1{,}989\cdot 10^{30})^2/(6{,}957\cdot 10^{8})^4 = 1{,}24\cdot 10^{16}\) Pa. \(T_c = \mu m_u P_c/(k\rho_c) = 0{,}62\cdot 1{,}661\cdot 10^{-27}\cdot 1{,}24\cdot 10^{16}/(1{,}381\cdot 10^{-23}\cdot 7{,}64\cdot 10^{4}) = 1{,}2\cdot 10^{7}\) K. Standardní model dává \(1{,}5\cdot 10^{5}\) kg/m³ a \(1{,}57\cdot 10^{7}\) K.

Jaká je Kelvinova–Helmholtzova a dynamická časová škála Slunce?

\(t_{KH} = GM^2/(RL) = 6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot(1{,}989\cdot 10^{30})^2/(6{,}957\cdot 10^{8}\cdot 3{,}828\cdot 10^{26}) = 9{,}9\cdot 10^{14}\) s \(= 31\) mil. let. \(t_{\text{dyn}} = 1/\sqrt{G\bar\rho} = 1/\sqrt{6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot 1\,410} = 3\,260\) s \(= 54\) min.

Jaká je Eddingtonova svítivost hvězdy o 60 \(M_\odot\)? Porovnejte se svítivostí podle vztahu \(L \approx 1{,}4\,M^{3{,}5}\).

\(L_{\text{Edd}} = 38\,400\cdot 60 = 2{,}3\cdot 10^{6}\,L_\odot\). Vztah \(1{,}4\cdot 60^{3{,}5} = 2{,}4\cdot 10^{6}\,L_\odot\) by mez dosáhl; proto pro nejhmotnější hvězdy roste svítivost už jen úměrně hmotnosti a hvězdy nad asi 150 \(M_\odot\) jsou nestabilní.

Cefeida δ Cephei má periodu 5,366 dne, střední zdánlivou velikost \(V = 3{,}954\) a extinkci \(A_V = 0{,}23\). Jak je daleko?

\(M_V = -2{,}43\,(\log_{10}5{,}366-1)-4{,}05 = -2{,}43\cdot(-0{,}2704)-4{,}05 = -3{,}39\). Modul vzdálenosti \(m-M-A_V = 3{,}954+3{,}39-0{,}23 = 7{,}12\), \(d = 10^{(7{,}12+5)/5} = 265\) pc. Bez opravy na extinkci by vyšlo 295 pc, o 11 % víc. Paralaxa z Hubbleova dalekohledu dává asi 270 pc.

Supernova typu Ia má v maximu \(M_B \approx -19{,}3\) a naměřenou zdánlivou velikost 19,0. Jak je daleko (bez extinkce a kosmologických oprav)?

\(d = 10^{(19{,}0+19{,}3+5)/5}\) pc \(= 10^{8{,}66}\) pc \(= 457\) Mpc. Při takové vzdálenosti (\(z \approx 0{,}1\)) už je potřeba rozlišovat různé definice vzdálenosti v rozpínajícím se vesmíru.

Co si odnést

Hvězda je v hydrostatické rovnováze: \(\mathrm dP/\mathrm dr = -Gm\rho/r^2\); viriálová věta dává teplotu nitra ~\(10^7\) K.
Energie putuje zářením (pomalu, náhodnou procházkou) nebo konvekcí; jaderná škála 10 mld. let, Kelvinova–Helmholtzova 31 mil. let.
Hvězdy existují zhruba mezi 0,08 a 150 \(M_\odot\); bílí trpaslíci do 1,4, neutronové hvězdy do ~2–2,5 \(M_\odot\).
Vzdálenosti se měří žebříkem: radar → paralaxa → cefeidy a červení obři → supernovy Ia → rudý posuv. Nejistoty se přenášejí nahoru.

PřílohaA

Slovníček

Hesla jsou řazena abecedně; hledat lze česky i anglicky.

PřílohaB

Vzorce a konstanty

Konstanty a nominální hodnoty

**Tab. B.1**Fyzikální konstanty (CODATA 2022, SI) a astronomické jednotky a nominální hodnoty (IAU)
Veličina	Hodnota	Zdroj
rychlost světla \(c\)	299 792 458 m/s	SI, přesně
gravitační konstanta \(G\)	6,674 30(15) · 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²	CODATA 2022
Planckova konstanta \(h\)	6,626 070 15 · 10⁻³⁴ J s	SI, přesně
Boltzmannova konstanta \(k\)	1,380 649 · 10⁻²³ J/K	SI, přesně
Stefanova–Boltzmannova konstanta \(\sigma\)	5,670 374 419 · 10⁻⁸ W m⁻² K⁻⁴	CODATA 2022 (odvozená, přesně)
Wienova konstanta \(b\)	2,897 771 955 · 10⁻³ m K	CODATA 2022 (odvozená, přesně)
atomová hmotnostní konstanta \(m_u\)	1,660 539 07 · 10⁻²⁷ kg	CODATA 2022
astronomická jednotka au	149 597 870 700 m	IAU 2012 B2, přesně
parsek pc	648 000/π au = 3,085 678 · 10¹⁶ m	IAU 2015 B2
světelný rok ly	9,460 730 · 10¹⁵ m = 63 241 au	juliánský rok 365,25 dne
nominální poloměr Slunce \(R_\odot\)	6,957 · 10⁸ m	IAU 2015 B3
nominální svítivost Slunce \(L_\odot\)	3,828 · 10²⁶ W	IAU 2015 B3
nominální efektivní teplota Slunce	5 772 K	IAU 2015 B3
nominální sluneční konstanta	1 361 W/m²	IAU 2015 B3
\((GM)_\odot\)	1,327 124 4 · 10²⁰ m³/s²	IAU 2015 B3
hmotnost Slunce \(M_\odot = (GM)_\odot/G\)	1,988 4 · 10³⁰ kg	odvozeno
rovníkový / polární poloměr Země	6,378 1 · 10⁶ m / 6,356 8 · 10⁶ m	IAU 2015 B3
\((GM)_\oplus\)	3,986 004 · 10¹⁴ m³/s²	IAU 2015 B3
rovníkový poloměr Jupiteru	7,149 2 · 10⁷ m	IAU 2015 B3
\((GM)_{\mathrm J}\)	1,266 865 3 · 10¹⁷ m³/s²	IAU 2015 B3
nulový bod absolutní bolometrické velikosti	\(L_0 = 3{,}0128\cdot 10^{28}\) W; \(M_{\text{bol}\odot} = 4{,}74\)	IAU 2015 B2
Hubbleova konstanta (raný vesmír)	67,4 ± 0,5 km/s/Mpc	Planck 2018
teplota reliktního záření	2,7255 K	Fixsen 2009

Nominální hodnoty IAU jsou převodní jednotky, ne nejlepší odhady skutečných veličin; proto jsou přesné. Laboratoře používají tyto hodnoty a CODATA 2022.

Obloha a Sluneční soustava (kapitoly 1–3)

Výška pólu, cirkumpolární hvězdy, kulminace\[h_{\text{pól}} = \varphi,\qquad \delta \gt 90^\circ-\varphi,\qquad h_{\max} = 90^\circ-|\varphi-\delta|\]

Pogsonova rovnice\[m_1-m_2 = -2{,}5\log_{10}(F_1/F_2)\]

Polední výška Slunce, délka dne\[h = 90^\circ-\varphi+\delta_\odot,\qquad \cos H_0 = \frac{\sin h_0-\sin\varphi\sin\delta_\odot}{\cos\varphi\cos\delta_\odot}\]

Synodický měsíc, fáze\[1/S = 1/P_{\text{sid}}-1/P_\oplus,\qquad k = (1-\cos E)/2\]

Gravitace a světlo (kapitoly 4–5)

Newton, Kepler III\[F = \frac{GMm}{r^2},\qquad T^2 = \frac{4\pi^2 a^3}{G(M+m)}\]

Kruhová a úniková rychlost, vis-viva\[v_{\text{kruh}} = \sqrt{GM/r},\quad v_{\text{únik}} = \sqrt{2GM/r},\quad v^2 = GM(2/r-1/a)\]

Foton, Doppler, rozlišení\[E = hc/\lambda,\qquad z \approx v_r/c,\qquad \theta = 1{,}22\,\lambda/D\]

Hvězdy a galaxie (kapitoly 6–8)

Paralaxa a modul vzdálenosti\[d\,[\text{pc}] = 1/p\,[''],\qquad m-M = 5\log_{10}(d/10\ \text{pc})\]

Wien, Stefan–Boltzmann\[\lambda_{\max}T = b,\qquad L = 4\pi R^2\sigma T^4\]

Doba života, Jeansova hmotnost\[t_{\mathrm{HP}} \approx 10^{10}\ \text{let}\,(M/M_\odot)^{-2{,}5},\qquad M_{\mathrm J} \approx \Big(\frac{5kT}{G\mu m_{\mathrm H}}\Big)^{3/2}\Big(\frac{3}{4\pi\rho}\Big)^{1/2}\]

Hmotnost z rotace\[M(\lt r) = v^2 r/G\]

Exoplanety (kapitola 9)

Tranzit a radiální rychlost\[\delta \approx (R_p/R_\ast)^2,\qquad K = \Big(\frac{2\pi G}{P}\Big)^{1/3}\frac{M_p\sin i}{(M_\ast+M_p)^{2/3}}\]

Rovnovážná teplota\[T_{\text{eq}} = T_\ast\sqrt{R_\ast/2a}\,(1-A)^{1/4}\]

Kosmologie a relativita (kapitoly 10–11)

Hubble–Lemaître, rudý posuv\[v = H_0 d,\qquad 1+z = 1/a\]

Friedmannova rovnice\[H^2/H_0^2 = \Omega_r a^{-4}+\Omega_m a^{-3}+\Omega_k a^{-2}+\Omega_\Lambda,\qquad \rho_c = 3H_0^2/8\pi G\]

Schwarzschild, ohyb světla\[R_s = 2GM/c^2,\qquad \mathrm d\tau/\mathrm dt = \sqrt{1-R_s/r},\qquad \alpha = 4GM/(c^2 b)\]

Cvrlikavá hmotnost\[\mathcal M = (m_1m_2)^{3/5}/(m_1+m_2)^{1/5}\]

Nitro hvězd (kapitola 12)

Stavba hvězdy\[\frac{\mathrm dP}{\mathrm dr} = -\frac{Gm\rho}{r^2},\quad \frac{\mathrm dm}{\mathrm dr} = 4\pi r^2\rho,\quad \frac{\mathrm dT}{\mathrm dr} = -\frac{3\kappa\rho L}{16\pi a c r^2T^3}\]

Časové škály, Eddingtonova mez\[t_{KH} = \frac{GM^2}{RL},\qquad t_{\text{dyn}} \sim \frac{1}{\sqrt{G\bar\rho}},\qquad L_{\text{Edd}} = \frac{4\pi GMc}{\kappa}\]

Cefeidy (Benedict a kol. 2007)\[M_V = -2{,}43\,(\log_{10}P-1)-4{,}05\]

PřílohaC

Zdroje a ověření

Údaje, které se mění (ověřeno 13. 10. 2026)

Počet exoplanet: NASA Exoplanet Archive (exoplanetarchive.ipac.caltech.edu) uvádí 6 445 potvrzených planet, aktualizace 8. 10. 2026; z toho 1 008 objevených misí TESS. Ověřeno 13. 10. 2026.
Počty měsíců: NASA Science (science.nasa.gov), stránky o měsících aktualizované 21.–22. 9. 2026: Jupiter 115, Saturn 293 (stav k srpnu 2026), Uran 29 (stav k srpnu 2026), Neptun 16. Minor Planet Center ohlásilo 16. 3. 2026 jedenáct nových měsíců Saturnu a čtyři Jupiteru (oběhníky MPEC 2026-F09 až F14). Ověřeno 13. 10. 2026.
Hubbleova konstanta: Planck Collaboration (2020), A&A 641, A6: 67,4 ± 0,5; Riess a kol. (2022), ApJL 934, L7 (SH0ES): 73,04 ± 1,04; Freedman a kol. (2025), ApJ 985, 203 (CCHP, TRGB): 70,39 ± 1,22 (stat.) ± 1,33 (syst.) ± 0,70 (SN); Camphuis a kol. (2025), SPT-3G D1, arXiv:2506.20707 (kombinace SPT + ACT + Planck kolem 67,2 ± 0,4); DESI DR2 (2025), BAO + nukleosyntéza: 68,51 ± 0,58; H0 Distance Network (2026), Local Distance Network, A&A, arXiv:2510.23823: 73,50 ± 0,81. Stav k 13. 10. 2026: napětí trvá.
Gravitační vlny: LIGO–Virgo–KAGRA (2025), GWTC-4.0, arXiv:2508.18082: 218 kandidátů splynutí (stav katalogu z 26. 8. 2025).
Zatmění Slunce na území ČR: Česká astronomická společnost, tisková prohlášení: poslední úplné 12. 5. 1706, příští 7. 10. 2135.

Rezoluce a normy

IAU 2006, rezoluce B5 a B6 (Praha, 24. 8. 2006): definice planety a trpasličí planety, Pluto trpasličí planetou.
IAU 2012, rezoluce B2: astronomická jednotka 149 597 870 700 m.
IAU 2015, rezoluce B2 (nulové body bolometrických hvězdných velikostí, implicitně parsek) a B3 (nominální sluneční a planetární hodnoty); Prša, A. a kol. (2016): Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3. AJ 152, 41.
IAU 2018, rezoluce B4: doporučení názvu Hubbleův–Lemaîtrův zákon (elektronické hlasování ukončené 26. 10. 2018, 78 % hlasů pro).
CODATA 2022: Mohr, P. J. a kol. (2025): CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2022. Reviews of Modern Physics 97, 025002.
ISO 12312-2: požadavky na filtry pro přímé pozorování Slunce.
NASA Planetary Fact Sheet (NSSDCA, nssdc.gsfc.nasa.gov, aktualizace 18. 3. 2025): údaje o planetách v kapitole 3.

Učebnice

Carroll, B. W., Ostlie, D. A.: An Introduction to Modern Astrophysics. 2. vyd. Pearson Addison-Wesley 2007; Cambridge University Press 2017.
Kutner, M. L. (2003): Astronomy: A Physical Perspective. 2. vyd. Cambridge University Press.
Ryden, B. (2017): Introduction to Cosmology. 2. vyd. Cambridge University Press.

Historické a klíčové práce

Kepler, J. (1609): Astronomia nova. Heidelberg. – Kepler, J. (1619): Harmonices mundi libri V. Linec.
Newton, I. (1687): Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Londýn.
Leavitt, H. S., Pickering, E. C. (1912): Periods of 25 Variable Stars in the Small Magellanic Cloud. Harvard College Observatory Circular 173.
Einstein, A. (1916): Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. Annalen der Physik 49, 769–822. – Schwarzschild, K. (1916): Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, 189–196.
Lemaître, G. (1927): Un Univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques. Annales de la Société Scientifique de Bruxelles A47, 49–59.
Hubble, E. (1929): A Relation between Distance and Radial Velocity among Extra-Galactic Nebulae. Proceedings of the National Academy of Sciences 15, 168–173.
Chandrasekhar, S. (1931): The Maximum Mass of Ideal White Dwarfs. Astrophysical Journal 74, 81.
Zwicky, F. (1933): Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln. Helvetica Physica Acta 6, 110–127.
Penzias, A. A., Wilson, R. W. (1965): A Measurement of Excess Antenna Temperature at 4080 Mc/s. Astrophysical Journal 142, 419.
Rubin, V. C., Ford, W. K. (1970): Rotation of the Andromeda Nebula from a Spectroscopic Survey of Emission Regions. Astrophysical Journal 159, 379.
Wolszczan, A., Frail, D. A. (1992): A planetary system around the millisecond pulsar PSR1257+12. Nature 355, 145–147.
Mayor, M., Queloz, D. (1995): A Jupiter-mass companion to a solar-type star. Nature 378, 355–359.
Riess, A. G. a kol. (1998): Observational Evidence from Supernovae for an Accelerating Universe and a Cosmological Constant. Astronomical Journal 116, 1009. – Perlmutter, S. a kol. (1999): Measurements of Ω and Λ from 42 High-Redshift Supernovae. Astrophysical Journal 517, 565.
Abbott, B. P. a kol. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration) (2016): Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger. Physical Review Letters 116, 061102.

Data použitá v laboratořích

Bortle, J. E. (2001): Introducing the Bortle Dark-Sky Scale. Sky & Telescope, únor 2001. – Falchi, F. a kol. (2016): The new world atlas of artificial night sky brightness. Science Advances 2, e1600377.
Kopparapu, R. K. a kol. (2013): Habitable Zones around Main-sequence Stars: New Estimates. Astrophysical Journal 765, 131.
Benedict, G. F. a kol. (2007): Hubble Space Telescope Fine Guidance Sensor Parallaxes of Galactic Cepheid Variable Stars: Period-Luminosity Relations. Astronomical Journal 133, 1810.
Kalirai, J. S. a kol. (2008): The Initial-Final Mass Relation: Direct Constraints at the Low-Mass End. Astrophysical Journal 676, 594.
Eilers, A.-C. a kol. (2019): The Circular Velocity Curve of the Milky Way from 5 to 25 kpc. Astrophysical Journal 871, 120. – GRAVITY Collaboration (2021): Improved GRAVITY astrometric accuracy from modeling optical aberrations. Astronomy & Astrophysics 647, A59 (\(R_0 = 8{,}275\) kpc).
Fixsen, D. J. (2009): The Temperature of the Cosmic Microwave Background. Astrophysical Journal 707, 916.
Polohy hvězd v laboratoři kapitoly 1: rovníkové souřadnice J2000 zaokrouhlené na tisíciny hodiny a stupně; střední elementy drah planet v úvodní animaci podle přibližných vzorců JPL (Standish).

Modelové předpoklady

Laboratoře jsou didaktické modely. Mapa oblohy zanedbává lom světla a precesi, výpočet délky dne používá zjednodušenou polohu Slunce, oběžné dráhy kolem Země neuvažují atmosféru ani zploštění Země. Model vývoje hvězd používá přibližné vztahy hmotnost–svítivost a jeho doby života se mohou od podrobných modelů lišit o desítky procent. Rotační křivka, tranzit i radiální rychlosti pracují s kruhovými drahami a modelovým šumem. Kosmologický model předpokládá temnou energii jako kosmologickou konstantu, gravitační vlny jen fázi přibližování v kvadrupólovém přiblížení. Polytropy zanedbávají tlak záření a změny složení. Všechna čísla v příkladech a procvičení byla přepočítána skriptem s konstantami z tabulky B.1.

Interaktivní průvodce Astronomie (říjen 2026). Studijní materiál, nenahrazuje učebnici ani výuku. Nikdy se nedívejte do Slunce bez certifikovaného filtru. Průvodce nejmenuje komerční produkty ani firmy; aktuální údaje mají zdroj a datum ověření výše.